Общий курс геодезии

Определение положения точек земной поверхности: астрономические, геодезические, прямоугольны, полярные координаты. Картографическая проекция Гаусса. Конструктивные элементы геодезических измерительных приборов. Номенклатура топографических карт и планов.

Рубрика Геология, гидрология и геодезия
Вид учебное пособие
Язык русский
Дата добавления 05.10.2012
Размер файла 6,2 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Вычисление средней квадратической ошибки по уклонениям от арифметической середины. Формулу Гаусса (1.27) применяют лишь в теоретических выкладках и при исследованиях приборов и методов измерений, когда известно истинное значение измеряемой величины. На практике оно, как правило, неизвестно, и оценку точности выполняют по уклонениям от арифметической середины.

Пусть имеется ряд равноточных измерений величины X:

l1, l2 , ..., ln .

Вычислим арифметическую середину X0 = [1]/n и образуем разности:

(1.38)

Сложим все разности и получим [l] - n * X0 = [V]. По определению арифметической середины n * X0 = [l], поэтому: [V] = 0.

Величины V называют вероятнейшими ошибками измерений; именно по их значениям и вычисляют на практике среднюю квадратическую ошибку одного измерения, используя для этого формулу Бесселя:

(1.40)

Приведем вывод этой формулы. Образуем разности случайных истинных ошибок измерений Д и вероятнейших ошибок V:

(1.41)

Разность (X0 - X) равна истинной ошибке арифметической середины; обозначим ее Д0 и перепишем уравнения (1.41):

(1.42)

Возведем все уравнения (1.42) в квадрат, сложим их и получим:

.

Второе слагаемое в правой части этого выражения равно нулю по свойству (1.39), следовательно,

.

Разделим это уравнение на n и учтя, что [Д2]/n =m2, получим:

(1.43)

Заменим истинную ошибку арифметической середины Д0 ее средней квадратической ошибкой ; такая замена практически не изменит правой части формулы (1.43). Итак,

,

откуда ;

после перенесения (n-1) в правую часть и извлечения квадратного корня получается формула Бесселя (1.40).

Для вычисления средней квадратической ошибки арифметической середины на основании (1.37) получается формула:

(1.44)

Веса измерений. Измерения бывают равноточные и неравноточные. Например, один и тот же угол можно измерить точным или техническим теодолитом, и результаты таких измерений будут неравноточными. Или один и тот же угол можно измерить разным количеством приемов; результаты тоже будут неравноточными. Понятно, что средние квадратические ошибки неравноточных измерений будут неодинаковы. Из опыта известно, что измерение, выполненное с большей точностью (с меньшей ошибкой), заслуживает большего доверия.

Вес измерения - это условное число, характеризующее надежность измерения, степень его доверия; вес обозначается буквой p. Значение веса измерения получают по формуле:

p = C/m2 (1.45)

где C - в общем случае произвольное положительное число.

При неравноточных измерениях одной величины наиболее надежное ее значение получают по формуле средневесовой арифметической середины:

(1.46)

или X0 = [l*p] / [p] .

Ошибку измерения, вес которого равен 1, называют средней квадратической ошибкой единицы веса; она обозначается буквой m. Из формулы (1.45) получаем

откуда (1.47)

то-есть, за число C принимают квадрат ошибки единицы веса.

Подсчитаем вес P средневесовой арифметической середины. По определению веса имеем:

(1.48)

Согласно (1.46) и (1.32) напишем:

Подставим сюда вместо mli2 их выражения через вес m2 = C/p , тогда:

Подставим это выражение в формулу (1.48) и получим,

P = [p], (1.49)

то-есть, вес средневесовой арифметической середины равен сумме весов отдельных измерений.

В случае равноточных измерений, когда веса всех измерений одинаковы и равны единице, формула (1.49) принимает вид:

P = n. (1.50)

При обработке больших групп измерений (при уравнивании геодезических построений по МНК) вычисляются значение ошибки единицы веса, веса измерений и других элементов после уравнивания, а ошибка любого уравненного элемента подсчитывается по формуле:

(1.51)

где pi - вес i-того элемента.

1.9.3 Элементы техники вычислений

Точные и приближенные числа. Точные числа получаются при счете отдельных предметов и понятий (пример: 27 шариков, 45 шагов); точными числами являются масштабные коэффициенты (пример: 1 м = 100 см = 1000 мм, масштаб карты равен 1:25000) или целые числа, условно присваиваемые границам физических интервалов (пример: температура таяния льда 0o C, температура кипения воды 100o C). Приближенные числа в геодезии получают, как правило, из измеререний; считается, что записанное приближенное число ошибочно не более, чем на половину единицы последнего разряда:

2.145 - ошибочно на 0.0005 ,

2145 - ошибочно на 0.5 и т.д.

Значащие цифры числа. Все цифры числа кроме нулей слева являются значащими:

4.147 - 4 значащих цифры ,

0.004147 - 4 значащих цифры ,

40.00 - 4 значащих цифры .

Верными значащими цифрами приближенного числа считаются те цифры, значение которых больше ошибки этого числа. Количество верных значащих цифр в результате операций умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня определяется наименьшим количеством верных значащих цифр в исходных числах:

2.457 * 0.62 = 1.52334 = 1.5 ,

2.457 : 0.62 = 3.96290 = 4.0 ,

2.452 = 6.0025 = 6.00 ,

= 1.5652 = 1.57 .

При выполнении этого правила применяется округление приближенных чисел, которое предусматривает, что:

если первая отбрасываемая цифра больше 5 или 5 с последующими цифрами не равными нулю, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу (2.4617 ~ 2.5 , 2.4523 7~ 2.5),

если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то последняя оставляемая цифра не изменяется (2.4417 ~ 2.4),

если первая отбрасываемая цифра есть 5 и за ней либо нет цифр, либо есть одни нули, то последняя оставляемая цифра округляется до четной (пример: 2.55 = 2.6 , 2.65000 = 2.6).

При записи очень большого или очень маленького числа с небольшим количеством верных значащих цифр рекомендуется использовать степень числа 10 (пример: 2.47*106 , 0.45*10-8).

При сложении и вычитании приближенных чисел количество верных десятичных знаков в ответе определяется наименьшим количеством десятичных знаков в исходных числах:

206.8 (1 дес. знак)

+ 21.385 (3 дес. знака)

0.2751 (4 дес. знака)

228.4601 = 228.5 (1 дес. знак).

Если в задаче более одной арифметической операции, то в результатах промежуточных операций рекомендуется оставлять одну запасную цифру (для уменьшения ошибок округления).

Системы единиц для измерения углов:

Градусная система.

Градус - это 1/90 часть прямого угла,

минута - это 1/60 часть градуса,

секунда - это 1/60 часть минуты,

1o = 60' = 3600" .

Полная форма записи угла:124o12'14.63" , 124o12'00" .

1-я сокращенная форма записи угла 124o12.244' .

2-я сокращенная форма записи угла 124.2047o .

Радианная система. Радиан - это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. Полный угол в 360o содержит 2р радианов.

Переход от радианной системы к градусной и обратно:

Значения переходного коэффициента с :

Градовая система.

Град - это 1/100 часть прямого угла,

сантиград - это 1/100 часть града,

сантисантиград - это 1/100 часть сантиграда,

1 град = 100 с = 10000 сс .

Существуют еще часовая система измерения углов, система делений угломера и некоторые другие.

При нахождении тригонометрических функций угла нужно соблюдать соответствие между значением угла и количеством значащих цифр в значении функции:

угол задан до целых минут - 4 - 5 значащих цифр,

угол задан до десятых долей минуты - 5 - 6 значащих цифр,

угол задан до целых секунд - 6 значащих цифр,

угол задан до десятых долей секунды - 7 значащих цифр.

Приведем некоторые правила оформления геодезических вычислений:

все вычисления следует размещать в таблицах или ведомостях,

написание цифр должно быть аккуратным и четким, исключающим неоднозначное прочтение; желательно использование шрифтов,

записи однородных чисел следует располагать столбиками разряд под разрядом; количество значащих цифр и десятичных знаков должно соответствовать правилам техники вычислений,

исходные данные рекомендуется выделять цветом или подчеркиванием,

записи в таблицах и ведомостях не должны иметь видимых исправлений; неверно написанную цифру нужно аккуратно удалить и на этом месте написать верную цифру,

в полевых журналах запрещается исправлять первичные отсчеты, а вычисления можно исправлять, аккуратно зачеркивая неверные цифры и надписывая сверху верные,

все приращения координат, превышения, невязки и поправки следует писать со знаком ("плюс" или "минус").

Здесь уместно вспомнить слова известного геодезиста В.В. Витковского: "Чьи вычисления представляют изящно расположенные столбцы красивых цифр, тот почти всегда правильно и быстро вычисляет. Наоборот, чьи вычисления разбросаны в беспорядке, а сами цифры поражают своей уродливостью, тот почти всегда путается и вычисляет с ошибками".

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ ТОЧЕК

2.1 Определение координат одной точки

2.1.1 Способы задания прямоугольной системы координат

Как известно, система прямоугольных координат на плоскости может задаваться тремя способами:

1-й способ

фиксируется местоположение центра системы - т.O,

проводится ось OX и указывается ее положительное направление,

перпендикулярно к оси OX проводится ось OY,

в соответствии с типом системы (правая или левая) указывается положительное направление оси OY,

устанавливается масштаб координат вдоль осей.

При наличии координатных осей для определения координат какой-либо точки C нужно сначала опустить перпендикуляры из этой точки на координатные оси и затем измерить длину этих перпендикуляров; длина перпендикуляра к оси OX равна координате Y, длина перпендикуляра к оси OY координате X точки (рис.2.1).

Рис.2.1

Кроме системы XOY можно использовать систему X'O'Y', получающуюся из системы XOY путем переноса начала координат в точку O' (Xo'=дx , Yo'= дy) и поворота осей координат по часовой стрелке на угол б.

Переход из XOY в X'O'Y' выполняется по формулам [25]:

(2.1)

Для обратного перехода используются формулы [25]:

(2.2)

2-й способ

проводятся две взаимно перпендикулярные системы параллельных линий; расстояния между линиями одинаковые,

считается, что эти линии параллельны осям координат, и у каждой линии подписывается значение соответствущей координаты (получается координатная сетка).

3-й способ

указываются численные значения координат двух фиксированных точек.

Первый способ является общепринятым; в геодезии этим способом задается зональная система прямоугольных координат Гаусса. На топографических картах и планах система прямоугольных координат Гаусса задается вторым способом. На местности система прямоугольных координат задается третьим способом; всегда можно найти несколько геодезических пунктов с известными координатами и определять положение новых точек относительно этих пунктов, выполняя какие-либо измерения.

2.1.2 Три элементарных измерения

На плоскости можно измерять углы и расстояния.

Угол фиксируется тремя точками: одна точка - это вершина угла, а две другие точки фиксируют направления 1-й и 2-й сторон угла. В простейшем случае хотя бы одна точка из трех не имеет координат, то-есть, является определяемой; в общем случае определяемыми могут быть одна точка, две точки или все три.

Расстояние фиксируется двумя точками, и в общем случае определяемыми могут быть одна точка или обе.

В данном разделе рассматривается простейший случай, когда измерение угла или расстояния выполняют для определения координат одной точки. Поскольку при измерении угла определяемая точка может располагаться либо в вершине угла, либо на одной из его сторон, то с нашей точки зрения на плоскости имеют место три разных измерения, которые назовем элементарными.

Измеряется угол в на пункте A с известными координатами X4,Y4 между направлением с известным дирекционным углом бAB и направлением на определяемую точку P (рис.2.2).

Рис.2.2

Дирекционный угол б направления AP получается по формуле

(2.3)

Для прямой линии AP, называемой линией положения точки P, можно написать уравнение в системе XOY [25]:

(2.4)

В этом уравнении X и Y - координаты любой точки прямой, в том числе и точки P, но для нахождения двух координат точки P одного такого уравнения недостаточно.

Измеряется расстояние S от пункта A с известными координатами XA, YA до определяемой точки P. Из курса геометрии известно, что точка P находится на окружности радиуса S, проведенной вокруг точки A, и называемой линией положения точки P (рис.2.3). Уравнение окружности имеет вид :

(2.5)

В этом уравнении X и Y - координаты любой точки окружности, в том числе и точки P, но для нахождения двух координат точки одного такого уравнения недостаточно.

Рис.2.3

Измеряется угол в на определяемой точке P между направлениями на два пункта с известными координатами; это измерение рассматривается в разделе 2.1.8.

Координаты X и Y точки P можно найти из совместного решения двух уравнений, поэтому, взяв любую комбинацию из трех измерений по два, получим простейшие способы определения координат точки, назывемые геодезическими засечками:

два уравнения типа (2.4) - прямая угловая засечка,

два уравнения типа (2.5) - линейная засечка,

одно уравнение типа (2.4) и одно уравнение типа (2.5) полярная засечка,

два измерения углов на определяемой точке - обратная угловая засечка.

Остальные комбинации измерений называются комбинированными засечками.

Каждое из трех элементарных измерений является инвариантом по отношению к системам координат, что позволяет решать засечки на различных чертежах, определяя положение точки P относительно фиксированных точек A и B графическим способом.

Аналитический способ решения засечек - это вычисление координат определяемой точки. Оно может быть выполнено через решение системы двух уравнений, соответствующих выполненным измерениям, или через решение треугольника, вершинами которого являются два исходных пункта и определяемая точка (этот способ для краткости назовем способом треугольника).

В любом геодезическом построении принято выделять три типа данных:

исходные данные (координаты исходных пунктов, дирекционные углы исходных направлений и т.п.); эти данные часто принимаются условно безошибочными,

измеряемые элементы; каждый измеренный элемент обычно сопровождается значением средней квадратической ошибки измерения,

неизвестные (или определяемые) элементы; эти элементы подлежат нахождению по специально разработанному алгоритму, и их значения получаются с некоторой ошибкой, зависящей от ошибок измерений и геометрии данного построения.

2.1.3 Полярная засечка

В полярной засечке исходными данными являются координаты пункта A и дирекционный угол направления AB (или координаты пункта B), измеряемыми элементами являются горизонтальный угол в (средняя квадратическая ошибка измерения угла mв) и расстояние S (относительная ошибка его измерения mS / S = 1 / T), неизвестные элементы - координаты X, Y точки P (рис.2.4).

Исходные данные: XA, YA, бAB

Измеряемые элементы: в , S

Неизвестные элементы: X , Y

Рис.2.4

Графическое решение. От направления AB отложить транспортиром угол в и провести прямую линию AQ, затем вокруг пункта A провести дугу окружности радиусом S в масштабе чертежа (плана или карты); точка пересечения прямой линии и дуги является искомой точкой P.

Аналитическое решение. Дирекционный угол б линии AР равен:

б= бAB + в .

Запишем уравнения прямой линии AP - формула (2.4) и окружности радиуса S вокруг пункта A - формула (2.5):

(2.6)

Для нахождения координат X и Y точки P нужно решить эти два уравнения совместно как систему. Подставим значение (Y - YA) из первого уравнения во второе и вынесем за скобки (X - XA) 2:

(X - XA)2 * (1 + tg2 б)= S2 .

Выражение (1 + tg2б) заменим на 1 / Cos2б и получим:

(X - XA)2 =S2 * Cos2б ,

откуда X - XA = S* Cosб .

Подставим это значение в первое уравнение (2.6) и получим:

Y - YA = S * Sinб .

Разности координат (X - XA) и (Y - YA) принято называть приращениями и обозначать ДX и ДY.

Таким образом, полярная засечка однозначно решается по формулам:

(2.7)

2.1.4 Прямая геодезическая задача на плоскости

В геодезии есть две стандартные задачи: прямая геодезичеcкая задача на плоскости и обратная геодезическая задача на плоскости.

Прямая геодезическая задача - это вычисление координат X2, Y2 второго пункта, если известны координаты X1, Y1 первого пункта, дирекционный угол б и длина S линии, соединяющей эти пункты. Прямая геодезическая задача является частью полярной засечки, и формулы для ее решения берутся из набора формул (2.7):

(2.8)

2.1.5 Обратная геодезическая задача на плоскости

Обратная геодезическая задача - это вычисление дирекционного угла б и длины S линии, соединяющей два пункта с известными координатами X1, Y1 и X2, Y2 (рис.2.5).

Рис.2.5

Построим на отрезке 1-2 как на гипотенузе прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат. В этом треугольнике гипотенуза равна S, катеты равны приращениям координат точек 1 и 2 (ДX = X2 - X1, ДY = Y2 - Y1), а один из острых углов равен румбу r линии 1-2.

Если Д X 00 и Д Y 00, то решаем треугольник по известным формулам:

(2.9)

(2.10)

Для данного рисунка направление линии 1-2 находится во второй четверти, поэтому на основании (1.22) находим:

(2.11)

Общий порядок нахождения дирекционного угла линии 1-2 включает две операции:

определение номера четверти по знакам приращений координат Д>X и ДY (рис.1.4-а),

вычисление б по формулам связи (1.22) в соответствии с номером четверти.

Контролем правильности вычислений является выполнение равенства:

(2.12)

Если ДX = 0.0, то S = іДYі;

и б = 90o 00' 00" при ДY > 0 ,

б = 270o 00' 00" при ДY < 0 .

Если ДY = 0.0, то S = іДXі

и б = 0o 00' 00" при ДX > 0 ,

б = 180o 00' 00" при ДX < 0 .

Для решения обратной задачи в автоматическом режиме (в программах для ЭВМ) используется другой алгоритм, не содержащий тангенса угла и исключающий возможное деление на ноль:

(2.13)

если ДY => 0o , то б = a ,

если ДY < 0o , то б = 360o - a .

2.1.6 Прямая угловая засечка

Сначала рассмотрим так называемый общий случай прямой угловой засечки, когда углы в1 и в2 измеряются на двух пунктах с известными координатами, каждый от своего направления с известным дирекционным углом (рис.2.6).

Исходные данные: XA, YA, бAC,

XB, YB, бBD

Измеряемые элементы: в 1 , в2

Неизвестные элементы: X , Y

Если бAC и бBD не заданы явно, нужно решить обратную геодезическую задачу сначала между пунктами A и C и затем между пунктами B и D .

Графическое решение. От направления AC отложить с помощью транспортира угол в1 и провести прямую линию AP; от направления BD отложить угол в2 и провести прямую линию BP ; точка пересечения этих прямых является искомой точкой P.

Аналитическое решение. Приведем алгоритм варианта, соответствующий общему случаю засечки:

вычислить дирекционные углы линий AP и BP

(2.14) ,

(2.15)

написать два уравнения прямых линий

для линии AP Y - YA= tgб1 * (X - XA),

для линии BP Y - YB= tgб2 * (X - XB) (2.16)

решить систему двух уравнений и вычислить неизвестные координаты X и Y:

(2.17) ,

(2.18)

Частным случаем прямой угловой засечки считают тот случай, когда углы в1 и в2 измерены от направлений AB и BA, причем угол в1 - правый, а угол в2 - левый (в общем случае засечки оба угла - левые) - рис.2.7.

Решение прямой угловой засечки методом треугольника соответствует частному случаю засечки. Порядок решения при этом будет такой:

решить обратную задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол бAB и длину b линии AB,

вычислить угол г при вершине P, называемый углом засечки,

(2.19)

используя теорему синусов для треугольника APB:

(2.20)

вычислить длины сторон AP (S1) и BP (S2) ,

вычислить дирекционные углы б1 и б2:

(2.21)

решить прямую задачу от пункта A к точке P и для контроля - от пункта B к точке P. Для вычисления координат X и Y в частном случае прямой угловой засечки можно использовать формулы Юнга:

(2.22)

От общего случая прямой угловой засечки нетрудно перейти к частному случаю; для этого нужно сначала решить обратную геодезическую задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол бAB линии AB и затем вычислить углы в треугольнике APB при вершинах A и B

BAP = бAB - (бAC + в1) и ABP = (бBD + в2) - бBA .

Для машинного счета все рассмотренные способы решения прямой угловой засечки по разным причинам неудобны. Один из возможных алгоритмов решения общего случая засечки на ЭВМ предусматривает следующие действия:

вычисление дирекционных углов б1 и б2 ,

введение местной системы координат X'O'Y' с началом в пункте A и с осью O'X', направленной вдоль линии AP, и пересчет координат пунктов A и B и дирекционных углов б1 и б2 из системы XOY в систему X'O'Y' (рис.2.8):

X'A = 0 , Y'A = 0 ,

(2.23) ,

(2.24) ,

запись уравнений линий AP и BP в системе X'O'Y' :

(2.26)

и совместное решение этих уравнений:

(2.27)

перевод координат X' и Y' из системы X'O'Y' в систему XOY:

(2.28)

Так как Ctgб2' = - Ctgг и угол засечки г всегда больше 0о, то решение (2.27) всегда существует.

2.1.7 Линейная засечка

От пункта A с известными координатами XA, YA измерено расстояние S1 до определяемой точки P, а от пункта B с известными координатами XB, YB измерено расстояние S2 до точки P .

Графическое решение. Проведем вокруг пункта A окружность радиусом S1 (в масштабе чертежа), а вокруг пункта B - окружность радиусом S2; точка пересечения окружностей является искомой точкой; задача имеет два решения, так как две окружности пересекаются в двух точках (рис.2.9).

Исходные данные: XA, YA, XB, YB,

Измеряемые элементы: S1, S2,

Неизвестные элементы: X, Y.

Аналитическое решение. Рассмотрим два алгоритма аналитического решения, один - для ручного счета (по способу треугольника) и один - для машинного счета.

Алгоритм ручного счета состоит из следующих действий:

решение обратной геодезической задачи между пунктами A и B и получение дирекционного угла бAB и длины b линии AB,

вычисление в треугольнике ABP углов в1 и в2 по теореме косинусов:

(2.29)

вычисление угла засечки г

(2.30)

вычисление дирекционных углов сторон AP и BP:

пункт P справа от линии AB

(2.31)

пункт P слева от линии АВ

(2.32)

решение прямых геодезических задач из пункта A на пункт P и из пункта B на пункт P:

1-е решение

(2.33)

2-е решение

(2.34)

Результаты обоих решений должны совпадать.

Алгоритм машинного решения линейной засечки состоит из следующих действий:

решение обратной геодезической задачи между пунктами A и B и получение дирекционного угла бAB и длины b линии AB,

введение местной системы координат X'O'Y' с началом в точке A и осью O'X', направленной вдоль линии AB, и пересчет координат пунктов A и B из системы XOY в систему X'O'Y':

(2.35)

запись уравнений окружностей в системе X'O'Y':

(2.36)

и совместное решение этих уравнений, которое предусматривает раскрытие скобок во втором уравнении и вычитание второго уравнения из первого:

(2.37)

(2.38)

(2.39)

Если искомая точка находится слева от линии AB, то в формуле (2.39) берется знак "-", если справа, то "+".

пересчет координат X' и Y' точки P из системы X'O'Y' в систему XOY по формулам (2.2):

2.1.8 Обратная угловая засечка

К элементарным измерениям относится и измерение угла в на определяемой точке P между направлениями на два пункта A и B с известными координатами XA, YA и XB, YB (рис.2.10). Однако, это измерение оказывается теоретически довольно сложным, поэтому рассмотрим его отдельно.

Проведем окружность через три точки A, B и P. Из школьного курса геометрии известно, что угол с вершиной на окружности измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, измеряется всей дугой, следовательно, он будет равен 2в (рис.2.10).

Расстояние b между пунктами A и B считается известным, и из прямоугольного треугольника FCB можно найти радиус R окружности:

(2.41)

Уравнение окружности имеет вид:

(2.42)

где XC и YC - координаты центра окружности. Их можно вычислить, решив либо прямую угловую, либо линейную засечку с пунктов A и B на точку C. В уравнении (2.42) X и Y - координаты любой точки окружности, в том числе и точки P, но для нахождения двух координат точки P одного такого уравнения недостаточно.

Обратной угловой засечкой называют способ определения координат точки P по двум углам в1 и в2, измеренным на определяемой точке P между направлениями на три пункта с известными координатами A, B, C (рис.2.11).

Графическое решение. Приведем способ Болотова графического решения обратной угловой засечки. На листе прозрачной бумаги (кальки) нужно построить углы в1 и в2 с общей вершиной P; затем наложить кальку на чертеж и, перемещая ее, добиться, чтобы направления углов на кальке проходили через пункты A, B, C на чертеже; переколоть точку P с кальки на чертеж.

Исходные данные: XA, YA, XB,

YB, XC, YC;

Измеряемые элементы: в1, в2.

Неизвестные элементы: X, Y.

Рис.2.11

Аналитическое решение. Аналитическое решение обратной угловой засечки предусматривает ее разложение на более простые задачи, например, на 2 прямых угловых засечки и одну линейную, или на 3 линейных засечки и т.д. Известно более 10-ти способов аналитического решения, но мы рассмотрим только один - через последовательное решение трех линейных засечек.

Предположим, что положение точки P известно, и проведем две окружности: одну радиусом R1 через точки A, B и P и другую радиусом R2 через точки B, C и P (рис.2.11). Радиусы этих окружностей получим по формуле (2.41):

(2.43)

Если координаты центров окружностей - точек O1 и O2 будут известны, то координаты точки P можно определить по формулам линейной засечки: из точки O1 по расстоянию R1 и из точки O2 - по расстоянию R2.

Координаты центра O1 можно найти по формулам линейной засечки из точек A и B по расстояниям R1, причем из двух решений нужно взять то, которое соответствует величине угла в1: если в1<90o, то точка O1 находится справа от линии AB, если в1>90o, то точка O1 находится слева от линии AB.

Координаты центра O2 находятся по формулам линейной засечки из точек B и C по расстояниям R2, и одно решение из двух возможных выбирается по тому же правилу: если в2<90o, то точка O2 находится справа от линии BC, если в2>90o, то точка O2 находится слева от линии BC.

Задача не имеет решения, если все четыре точки A, B, C и P находятся на одной окружности, так как обе окружности сливаются в одну, и точек их пересечения не существует.

2.1.9 Комбинированные засечки

В рассмотренных способах решения засечек количество измерений принималось теоретически минимальным (два измерения), обеспечивающим получение результата.

На практике для нахождения координат X и Y одной точки, как правило, выполняют не два, а три и более измерений расстояний и углов, причем эти измерения выполняются как на исходных пунктах, так и на определяемых; такие засечки называются комбинированными. Понятно, что в этом случае появляется возможность контроля измерений, и, кроме того, повышается точность решения задачи.

Каждое измерение, вводимое в задачу сверх теоретически минимального количества, называют избыточным; оно порождает одно дополнительное решение. Геодезические засечки без избыточных измерений принято называть однократными, а засечки с избыточными измерениями - многократными.

При наличии избыточных измерений вычисление неизвестных выполняют методом уравнивания. Алгоритмы строгого уравнивания многократных засечек применяются при автоматизированном счете на ЭВМ; для ручного счета используют упрощенные способы уравнивания.

Упрощенный способ уравнивания какой-либо многократной засечки (n измерений) предусматривает сначала формирование и решение всех возможных вариантов независимых однократных засечек (их число равно n-1), а затем - вычисление средних значений координат точки из всех полученных результатов, если они различаются между собой на допустимую величину.

2.1.10 Ошибка положения точки

В одномерном пространстве (на линии) положение точки фиксируется значением одной координаты X, и ошибка положения точки Mp равна средней квадратической ошибке mx этой координаты. Истинное положение точки может находиться в интервале (X - t * mx) - (X + t * mx), то-есть, в обе стороны от значения X; на практике коэффициент t обычно задают равным 2.0 или 2.50.

В двумерном пространстве (на поверхности) положение точки фиксируется значениями двух координат, и ошибка положения точки должна задаваться двумя величинами: направлением и ошибкой положения по этому направлению. Геометрическая фигура, внутри которой находится истинное положение точки, может иметь разную форму; в частном случае, когда ошибка положения точки по всем направлениям одинакова, получается круг радиуса R = Mp.

Положение точки по двум измерениям получается в пересечении двух линий положения. Для измеренного расстояния S линией положения является окружность радиуса S с центром в исходной пункте A (рис.2.12а); для измеренного угла в с вершиной в исходном пункте A - прямая линия, проведенная под углом в к исходной линии AB (рис.2.12б).

Вследствие ошибок измерений необходимо ввести понятие "полоса положения". Для расстояния S, измеренного со средней квадратической ошибкой ms - это круговой пояс (кольцо) шириной 2 * ms между двумя окружностями радиусами (S - ms) и (S + ms); для угла в, измеренного с ошибкой mв - это узкий треугольник с вершиной в точке A и углом при вершине 2 * mв. Линия положения точки является осью симметрии полосы положения (рис.2.12).

Рис.2.12. Линия положения и "полоса положения" точки P:

Введем понятие "вектор ошибки измерения" и обозначим его через V. Для измеренного расстояния вектор Vs направлен вдоль линии AP (прямо или обратно) и имеет модуль vs = ms; для измеренного угла вектор Vв направлен перпендикулярно линии AP (влево или вправо от нее) и имеет модуль нв = S * mв / с, где S = A * P.

Точка P, находясь на пересечении двух линий положения, является центром 4-угольника положения, образующегося в пересечении двух полос положения (рис.2.13).

Рис.2.13. 4-угольник положения: а) в линейной засечке, б) в прямой угловой засечке,

Этот элементарный 4-угольник можно считать параллелограммом, так как в пределах него дуги окружностей можно заменить отрезками касательных, а расходящиеся стороны угла - отрезками прямых, параллельных линии положения. Расстояния от точки P до границ 4-угольника неодинаковы, что говорит о различии ошибок положения точки P по разным направлениям. Линии положения делят 4-угольник положения на 4 равные части (рис.2.14-а), которые назовем параллелограммами ошибок с углами при вершинах г и (180o - г), где г(180o - г) - угол между векторами ошибок V1 и V2. Поскольку высоты параллелограммов ошибок численно равны модулям векторов н1 и н2, то стороны параллелограммов получаются по известным формулам (рис.2.14-а):

(2.44)

По известным сторонам параллелограмма ошибок и углу между ними г(180o - г) можно вычислить длину обоих его диагоналей: короткой - d1 и длинной - d2:

Таким образом, ошибка положения точки по шести направлениям (рис.2.14) выражается простыми формулами; для всех остальных направлений формулы будут более сложные.

Для обобщенной характеристики точности определения точки P нужно иметь некоторое усредненное значение ошибки положения точки P, которое можно вычислить:

как радиус круга R, площадь которого (р * R2) равна площади параллелограмма положения точки P (4 * a * b * Sinг),

(2.45)

как ошибку положения по "наиболее слабому направлению", совпадающему с направлением длинной диагонали:

(2.46)

как среднее квадратическое из длинной и короткой диагоналей параллелограмма ошибок:

(2.47)

На практике чаще других применяется третий вариант, в котором легко получаются формулы для оценки точности любой однократной засечки:

полярная засечка (рис.2.4):

(2.48)

прямая угловая засечка (рис.2.6, 2.7):

(2.49)

линейная засечка (рис.2.9):

(2.50)

обратная угловая засечка (рис.2.11).

В этой засечке правая часть формулы ошибки положения точки P должна содержать три слагаемых:

ошибку линейной засечки точки О1 с исходных пунктов A и B (mO1),

ошибку линейной засечки точки О2 с исходных пунктов B и C (mO2),

ошибку линейной засечки точки P с точек О1 и О2 (mP),

(2.50a)

Угол засечки г зависит от взаимного расположения линий BC и BA и углов в1 и в2; для рис.2.11 этот угол вычисляется по формуле:

(2.51)

Для многих случаев практики достаточно считать, что истинное положение точки P находится внутри круга радиуса MP с центром в точке P. В строгой теории рассмотренный критерий называется радиальной ошибкой. Кроме того, в этой теории применяются и более сложные критерии, такие как "эллипс ошибок" (кривая 2-го порядка), "подера эллипса ошибок" (кривая 4-го порядка) и др. [22].

При количестве измерений n>2 (многократные засечки) точка P получается в пересечении n линий положения, соответствующих уравненным значениям измерений; полосы положения, пересекаясь, образуют 2 * n-угольник (рис.2.14-б). Наибольшая ошибка положения точки P будет определяться расстоянием от точки P до самой удаленной от нее вершины этого многоугольника. Из рисунка 2.14-б понятна роль третьего измерения в уменьшении ошибки положения точки P; кстати, на этом рисунке второе измерение практически не влияет на значение ошибки положения точки.

2.2 Определение координат нескольких точек

2.2.1 Задача Ганзена

В задаче Ганзена находят координаты двух точек P и Q по известным координатам двух пунктов A и B и четырем углам, измеренным на определяемых точках (рис.2.15), то-есть, задача Ганзена является сдвоенной обратной угловой засечкой.

Исходные данные: XA, YA, XB, YB.

Измеренные элементы: в1, в2, в3, в4.

Неизвестные элементы: XP, YP, XQ, YQ.

Рис.2.15. Схема задачи Ганзена

Графическое решение. Взять два листа прозрачной бумаги (кальки) и построить на них углы: на одном листе - углы в1 и в2, на другом листе - углы в3 и в4. Наложить на чертеж (план или карту) оба листа и, перемещая их произвольным образом, совместить направления углов на этих листах с точками А и В на чертеже. Переколоть точки P и Q на чертеж.

Аналитическое решение. Известно несколько способов решения задачи Ганзена; приведем краткое изложение одного из них.

Решить обратную задачу между пунктами A и B, то-есть, вычислить длину b отрезка AB и дирекционный угол бAB направления AB.

Ввести условную единицу длины, равную длине l отрезка PQ; l = 1.000.

Вычислить отрезки S'1 = AP, S'3 = AQ, S'2 = BP, S'4 = BQ в условных единицах с использованием теоремы синусов сначала для треугольника PAQ, затем для треугольника PBQ:

(2.55)

Вычислить в условных единицах длину b' отрезка AB из треугольника QAB по теореме косинусов:

(2.56)

и для контроля - из треугольника PAB:

(2.57)

Оба значения должны совпасть.

Вычислить масштабный коэффициент k:

k = b / b' (2.58)

и перевести все вычисленные расстояния в реальные единицы длины:

(2.59)

Вычислить угол ц из треугольника QAB по теореме косинусов:

(2.60)

Вычислить угол ш из треугольника PAB по теореме косинусов:

(2.61)

Вычислить дирекционный угол направления AQ:

(2.62)

и решить прямую геодезическую задачу с пункта A на точку Q :

(2.63)

Вычислить дирекционный угол направления BP бBP= бBA - ц и решить прямую геодезическую задачу с пункта B на точку P:

Расположение исходных пунктов и определяемых точек может быть таким, что отрезки PQ и AB будут пересекаться (рис.2.16); ход решения задачи остается таким же, только изменятся обозначения углов и сторон. Кроме того, доказано, что в этом варианте положение точек P и Q определяется в несколько раз точнее, чем в общем варианте.

Рис.2.16. Вариант задачи Ганзена

В однократной задаче Ганзена отсутствует контроль измерений, поэтому на практике четырьмя измерениями углов не ограничиваются, а выполняют какие-либо дополнительные измерения.

2.2.2 Линейно-угловой ход

2.2.2.1 Классификация линейно-угловых ходов

Для определения координат нескольких точек можно применить различные способы; наиболее распространенными из них являются линейно-угловой ход, система линейно-угловых ходов, триангуляция, трилатерация и некоторые другие. Линейно-угловой ход представляет собой последовательность полярных засечек, в которой измеряются горизонтальные углы и расстояния между соседними точками (рис.2.17).

Рис.2.17. Схема линейно-углового хода

Исходными данными в линейно-угловом ходе являются координаты XA, YA пункта A и дирекционный угол бBA линии BA, который называется начальным исходным дирекционным углом; этот угол может задаваться неявно через координаты пункта B.

Измеряемые величины - это горизонтальные углы в1, в2,..., вk-1, вk и расстояния S1, S2, Sk-1, Sk. Известны также ошибка измерения углов mв и относительная ошибка измерения расстояний mS / S = 1 / T .

Дирекционные углы сторон хода вычисляют последовательно по известным формулам передачи дирекционного угла через угол поворота

для левых углов : (2.64)

для правых углов : (2.65)

Для хода на рис.2.17 имеем:

Координаты пунктов хода получают из решения прямой геодезичекой задачи сначала от пункта A к пункту 2, затем от пункта 2 к пункту 3 и так далее до конца хода.

Линейно-угловой ход, изображенный на рис.2.17, применяется очень редко, так как в нем отсутствует контроль измерений; на практике, как правило, применяются ходы, в которых предусмотрен такой контроль.

По форме и полноте исходных данных линейно-угловые ходы подразделяются на следующие виды:

разомкнутый ход (рис.2.18): исходные пункты с известными координатами и исходные дирекционные углы есть в начале и в конце хода;

Рис.2.18. Схема разомкнутого линейно-углового хода

Если в начале или в конце хода нет исходного дирекционного угла, то это будет ход с частичной координатной привязкой; если исходных дирекционных углов в ходе совсем нет, то это будет ход с полной координатной привязкой.

замкнутый линейно-угловой ход (рис.2.19) - начальный и конечный пункты хода совмещены; один пункт хода имеет известные координаты и называется исходным пунктом; на этом пункте должно быть исходное направление с известным дирекционным углом, и измеряется примычный угол между этим направлением и направлением на второй пункт хода.

Рис.2.19. Схема замкнутого линейно-углового хода

висячий линейно-угловой ход (рис.2.17) имеет исходный пункт с известными координатами и исходный дирекционный угол только в начале хода.

свободный линейно-угловой ход не имеет исходных пунктов и исходных дирекционных углов ни в начале, ни в конце хода.

По точности измерения горизонтальных углов и расстояний линейно-угловые ходы делятся на две большие группы: теодолитные ходы и полигонометрические ходы.

В теодолитных ходах горизонтальные углы измеряют с ошибкой не более 30"; относительная ошибка измерения расстояний mS/S колеблется от 1/1000 до 1/3000.

В полигонометрических ходах горизонтальные углы измеряют с ошибкой от 0.4" до 10", а относительная ошибка измерения расстояний mS/S бывает от 1/5000 до 1/300 000. По точности измерений полигонометрические ходы делятся на два разряда и четыре класса (см. раздел 7.1).

2.2.2.2 Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода

Каждый определяемый пункт линейно-углового хода имеет две координаты X и Y, которые являются неизвестными и которые нужно найти. Общее количество пунктов в ходе обозначим через n, тогда количество неизвестных будет 2 * (n - 2), так как у двух пунктов (исходных начального и конечного) координаты известны. Для нахождения 2 * (n - 2) неизвестных достаточно выполнить 2 * (n - 2) измерений.

Подсчитаем, сколько измерений выполняется в разомкнутом линейно-угловом ходе: на n пунктах измерено n углов - по одному на каждом пункте, измерены также (n - 1) сторон хода, всего получается (2 * n - 1) измерений.

Разность между количеством выполненных измерений и количеством необходимых измерений равна:

(2.65)

то-есть, три измерения являются избыточными: это угол на предпоследнем пункте хода, угол на последнем пункте хода и последняя сторона хода. Но тем не менее, эти измерения выполнены, и их необходимо использовать при вычислении координат пунктов хода.

В геодезических построениях каждое избыточное измерение порождает какое-либо условие, поэтому количество условий равно количеству избыточных измерений; в разомкнутом линейно-угловом ходе должны выполняться три условия: условие дирекционных углов и два координатных условия.

Условие дирекционных углов. Вычислим последовательно дирекционные углы всех сторон хода, используя формулу передачи дирекционного угла на последующую сторону хода:

(2.66)

Сложим эти равенства и получим:

откуда

и (2.67)

Это - математическая запись первого геометрического условия в разомкнутом линейно-угловом ходе. Для правых углов поворота оно запишется так:

(2.68)

Сумма углов, подсчитанная по формулам (2.67) и (2.68), называется теоретической суммой углов хода. Сумма измеренных углов вследствие ошибок измерений, как правило, отличается от теоретической суммы на некоторую величину, называемую угловой невязкой и обозначаемую fв:

(2.69)

Допустимое значение угловой невязки можно рассматривать как предельную ошибку суммы измеренных углов:

(2.70)

Используем известную формулу из теории ошибок для нахождения средней квадратической ошибки функции в виде суммы аргументов (раздел 1.11.2):

(2.71)

При

получим

или (2.72)

После подстановки (2.72) в (2.70) получаем:

(2.73)

Для теодолитных ходов mв = 30", поэтому:

(2.74)

Одним из этапов уравнивания является введение поправок в измеренные величины с целью приведения их в соответствие с геометрическими условиями. Обозначим поправку в измеренный угол Vв и запишем условие:

откуда следует, что:

(2.75)

то-есть, поправки в углы следует выбрать так, чтобы их сумма была равна угловой невязке с противоположным знаком. В уравнении (2.75) n неизвестных, и для его решения необходимо наложить на поправки Vв (n-1) дополнительных условий; наиболее простым вариантом таких условий будет:

(2.76)

то-есть, все поправки в измеренные углы одинаковы. В этом случае решение уравнения (2.75) получается в виде:

(2.77)

это означает, что угловая невязка fв распределяется с обратным знаком поровну во все измеренные углы. Исправленные значения углов вычисляются по формуле:

(2.78)

По исправленным углам поворота вычисляют дирекционные углы всех сторон хода; совпадение вычисленного и заданного значений конечного исходного дирекционного угла является контролем прави льности обработки угловых измерений.

Координатные условия. Решая последовательно прямую геодезическую задачу, вычислим приращения координат по каждой стороне хода ДXi и ДYi. Координаты пунктов хода получим по формулам :

(2.79)

Сложим эти равенства и получим для приращений ДXi:

После приведения подобных имеем:

(2.80)

Аналогичная формула для суммы приращений ДY имеет вид:

(2.81)

Получились еще два условия (2.80) и (2.81), которые называются координатными. Суммы приращений координат, подсчитанные по этим формулам, называются теоретическими суммами приращений. Вследствие ошибок измерения сторон и упрощенного способа распределения угловой невязки суммы вычисленных приращений координат в общем случае не будут равны теоретическим суммам; возникают так называемые координатные невязки хода:

(2.82)

по которым вычисляют абсолютную невязку хода:

(2.83)

и затем относительную невязку хода:

(2.84)

Уравнивание приращений ДX и ДY выполняют следующим образом.

Сначала записывают суммы исправленных приращений:

и приравнивают их теоретическим суммам:

откуда следует, что:

(2.85)

В этих уравнениях по (n - 1) неизвестных и для их решения необходимо наложить на поправки VX и VY дополнительные условия. На практике поправки в приращения координат вычисляют по формулам:

(2.91)

которые соответствуют условию "поправки в приращения координат пропорциональны длинам сторон".

Рассмотренный способ обработки измерений в линейно-угловом ходе можно назвать способом последовательного распределения невязок; строгое уравнивание линейно-углового хода выполняется по методу наименьших квадратов.

После уравнивания одиночного линейно-углового хода ошибки положения его пунктов неодинаковы; они возрастают от начала и конца хода к его середине, и наибольшую ошибку положения имеет пункт в середине хода. В случае приближенного уравнивания эта ошибка оценивается половиной абсолютной невязки хода fs. При строгом уравнивании хода производится сплошная оценка точности, то-есть вычисляются ошибки положения каждого пункта хода, ошибки дирекционных углов всех сторон хода, а также ошибки уравненных значений углов и сторон хода.

2.2.2.3 Вычисление координат пунктов замкнутого линейно-углового хода

Вычисление координат пунктов в замкнутом линейно-угловом ходе выполняется в том же порядке, что и в разомкнутом ходе; отличие состоит в вычислении теоретических сумм углов и приращений координат. Если в замкнутом ходе измерялись внутренние углы, то ;

если внешние, то

(2.92)

(2.93)

2.2.2.4 Привязка линейно-угловых ходов

Под привязкой разомкнутого линейно-углового хода понимают включение в ход двух пунктов с известными координатами (это начальный и конечный исходные пункты хода) и измерение на этих пунктах углов между направлением с известным дирекционным углом (бнач и бкон) и первой (последней) стороной хода; эти углы называются примычными. Как уже отмечалось ранее, если на начальном или (и) конечном пункте хода примычный угол не измеряется, то имеет место частичная (полная) координатная привязка хода.

Привязка замкнутого линейно-углового хода - это включение в ход одного пункта с известными координатами и измерение на этом пункте примычного угла, то-есть, угла между направлением с известным дирекционным углом и первой стороной хода.

Кроме этих стандартных ситуаций встречаются случаи, когда линейно-угловой ход начинается или заканчивается на пункте с неизвестными координатами. В таких случаях возникает дополнительно задача определения координат этого пункта.

Самый простой способ определения координат одного пункта - геодезические засечки; если вблизи определяемого пункта есть несколько известных пунктов, то, выполнив k угловых и (или) линейных измерений (k>2), можно вычислить искомые координаты по стандартным алгоритмам. Если такой возможности нет, то возникают особые случаи привязки; рассмотрим некоторые из них.

Снесение координат с вершины знака на землю. На рис.2.20: P - определяемый пункт, T1, T2, T3 - пункты с известными координатами, которые можно использовать лишь в качестве визирных целей. С пункта P можно измерить только два угла по программе обратной угловой засечки, что недостаточно; кроме того, при малом расстоянии между пунктами P и T1, угол засечки очень маленький и точность засечки невысокая. Закладывают два временных пункта A1 и A2 и измеряют расстояния b1 и b2 и углы в1, в2, в3, в4, в5, в6.

Таким образом, общее число измерений равно 8, а количество неизвестных - 6 (координаты трех пунктов). Обработку этого геодезического построения необходимо выполнять уравниванием по МНК;

приближенное решение можно получить по конечным формулам, приведенным ниже:

вычисление расстояния s (s = T1P) два раза: из треугольников PA1T1 и PA2T2 и затем среднего из двух:

решение обратной геодезической задачи между пунктами T1 и T2 (вычисление б12, L1) и T1 и T3 (вычисление б13, L2),

вычисление углов м1 и м2 из треугольников PT2T1 и PT3T1:

;

вычисление углов л1 и л2 из треугольников PT2T1 и PT3T1:

вычисление дирекционного угла линии T1P:

решение прямой геодезической задачи из пункта T на пункт P:

Привязка линейно-углового хода к стенным маркам. Стенные марки закладываются в цокольный этаж или в стену капитального здания; конструкции их бывают различными и одна из них показана на рис.7.1-г (раздел 7.2). Закладка стенных марок и определение их координат выполняется при создании геодезических сетей на территории населенных пунктов и промышленных предприятий; в дальнейшем эти марки играют роль опорных пунктов в последующих геодезических построениях.

Привязка линейно-углового хода может быть выполнена к двум, трем или более стенным маркам.

Схема привязки хода к двум маркам A и B показана на рис.2.21.

На линии AB с помощью рулетки измеряется отрезок S, и координаты точки P находятся из решения прямой геодезической задачи по формулам:

где б - дирекционный угол направления AB.

Схема привязки к трем маркам A, B, C показана на рис.2.22. С помощью рулетки измеряются расстояния S1, S2, S3 и решается многократная линейная засечка; для большей надежности можно измерить углы в1 и в2 и решить комбинированную засечку.

В качестве примычного направления с известным дирекционным углом можно использовать либо направление на одну из стенных марок, либо направление на какой-нибудь другой пункт с известными координатами.

Кроме метода засечек при привязке ходов к стенным маркам применяют также полярный метод и метод редуцирования. В [28] на стр. 195 - 201 приведено подробное описание этих методов, а так же даны числовые примеры.

2.2.2.5 Понятие о системе линейно-угловых ходов

Совокупность линейно-угловых ходов, имеющих общие точки, называют системой ходов; узловой точкой называется точка, в которой сходятся не менее трех ходов. Как и для отдельного линейно - углового хода, для системы ходов применяют строгую и упрощенную обработку измерений; упрощенную обработку рассмотрим на примере системы из трех линейно-угловых ходов с одной узловой точкой (рис.2.23). Каждый ход опирается на исходный пункт с известными координатами; на каждом исходном пункте имеется направление с известным дирекционным углом.

Рис.2.23. Система линейно-угловых ходов с одной узловой точкой.

Одну сторону какого-либо хода, проходящую через узловую точку, принимают за узловое направление (например, сторону 4 - 7) и вычисляют ее дирекционный угол по каждому ходу в отдельности, начиная от начального дирекционного угла в ходе. Получают три значения дирекционного угла узлового направления:

б1 - из первого хода,

б2 - из второго хода,

б3 - из третьего хода,

и вычисляют средневесовое значение из трех, причем за вес отдельного значения принимают число 1 / ni, где ni - количество углов в ходе от исходного направления до узлового направления (на рис.2.20 n1 = 4, n2 = 3, n3 = 5):

(2.94)

Считая узловое направление исходным, то-есть, имеющим известный дирекционный угол, вычисляют угловые невязки в каждом ходе по отдельности и вводят поправки в измеренные углы. По исправленным углам вычисляют дирекционные углы всех сторон каждого хода и затем - приращения координат по всем сторонам ходов.

По приращениям координат вычисляют координаты узловой точки по каждому ходу в отдельности и получают три значения координаты X и три значения координаты Y узловой точки.

Средне-весовые значения координат подсчитывают по формулам:

(2.95),

(2.96)

Считая узловую точку исходным пунктом с известными координатами, вычисляют координатные невязки для каждого хода в отдельности и вводят поправки в приращения координат по сторонам ходов. По исправленным приращениям координат вычисляют координаты пунктов всех ходов.

Если сказать кратко, то упрощенная обработка системы линейно - угловых ходов с одной узловой точкой состоит из двух этапов: получение дирекционного угла узлового направления и координат узловой точки и обработка каждого хода в отдельности.

2.3 Понятие о триангуляции

Триангуляция представляет собой группу примыкающих один к другому треугольников, в которых измеряют все три угла; два или более пунктов имеют известные координаты, координаты остальных пунктов подлежат определению. Группа треугольников образует либо сплошную сеть, либо цепочку треугольников.

Координаты пунктов триангуляции как правило вычисляют на ЭВМ по программам, реализующим алгоритмы строгого уравнивания по МНК. На стадии предварительной обработки триангуляции последовательно решают треугольники один за другим. В нашем курсе геодезии мы рассмотрим решение лишь одного треугольника.


Подобные документы

  • Составление современных топографических карт. Ортогональный метод проектирования. Поперечно-цилиндрическая равноугольная проекция Гаусса-Крюгера. Составление морских карт в проекции Меркатора. Проекция линии местности на горизонтальную плоскость.

    лекция [78,8 K], добавлен 22.08.2015

  • Предмет и задачи геодезии, понятия о форме и размерах Земли. Системы координат, принятые в геодезии. Система плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера. Изображение рельефа на топографических картах и планах. Решение инженерно-геодезических задач.

    курс лекций [2,8 M], добавлен 13.04.2012

  • Понятие о форме и размерах земли. Географические координаты и порядок их определения. Понятие о картографических проекциях, их классификация. Равноугольная поперечная цилиндрическая проекция Гаусса. Масштаб изображения и искажения длин линий проекции.

    контрольная работа [26,6 K], добавлен 22.12.2010

  • Основные принципы организации геодезических измерений. Методы построения планов геодезических сетей. Классификация государственных плановых геодезических сетей. Государственная высотная основа. Съёмочные геодезические сети.

    статья [56,0 K], добавлен 04.04.2006

  • Топографические материалы как уменьшенное спроецированное изображение участков земной поверхности на плоскость. Знакомство с видами топографических карт и планов: основные, специализированные. Характеристика поперечного масштаба. Анализ форм рельефа.

    курсовая работа [2,0 M], добавлен 11.10.2013

  • Общая характеристика физической поверхности Земли. Понятие уровенной поверхности, земного эллипсоида и геоида в геодезии. Определение положения точки с помощью системы географических координат и высот. Рассмотрение правил использования масштаба.

    презентация [404,6 K], добавлен 25.02.2014

  • Цели и задачи структурной геологии. Основные положения геотектоники. Формы залегания горных пород в земной коре. Элементы геологических карт. Цвета плутонических и субвулканических образований. Номенклатуры топографических листов различных масштабов.

    презентация [3,4 M], добавлен 09.02.2014

  • Понятие о геодезии как о науке, её разделы и задачи. Плоская прямоугольная и полярная системы координат. Абсолютные, условные, относительные высоты точек. Понятие об ориентировании, истинный и магнитный азимуты, геодезические измерения, их виды, единицы.

    шпаргалка [23,7 K], добавлен 23.10.2009

  • Общие сведения о Карагандинском кадастровом центре. Поверки и юстировки геодезических приборов. Вынос точек в натуру. Рационализация и автоматизация тахеометрической съемки. Межевание земель и камеральные работы. Способы геометрического нивелирования.

    отчет по практике [662,0 K], добавлен 21.02.2012

  • Причины создания части геодезических приборов – компенсаторов, их современное применение в приборах, устройство и принцип работы. Необходимость применения компенсаторов угла наклона и основные элементы жидкостного уровня. Поверки и исследования нивелиров.

    курсовая работа [920,4 K], добавлен 26.03.2011

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.