Измерение, контроль, диагноз и устранение колебаний ротационных машин

f) В случае если априорной информации очень мало, априорное распределение неизвестного параметра все равно может достаточно обоснованно быть выбранным в классе так называемых неинформативных априорных распределений.

g) Если же априорной информации достаточно для формирования априорного распределения, то выбор его в соответствующем классе сопряженных распределений очень упрощает все необходимые вычисления и снижает саму размерность задачи.

2.3 Общее решение задачи определения оптимального момента перехода на статистическую диагностику

Обратная индукция - чтобы приблизить задачу к практике, напомним, что может рассматриваться как , поскольку жизненный цикл ОД конечен, хотя можно получить решение задачи и для случая, когда может быть. Но в этом на практике просто нет необходимости.

Обозначим класс всех моментов остановки , таких, что, и определим

Считаем, что существует для всех. Придерживаясь предыдущей терминологии, скажем, что момент оптимален в, еслии .

Для решения задачи вычисления и интегрируемой стохастической последовательности текущих выигрышей от бучения системы диагностики воспользуемся следующим «вложением», характерным для динамического программирования. Пусть для каждого обозначает множество всех моментов остановки, таких, что.

Заметим, что и . Теперь покажем, как в найти оптимальный момент остановки (т.е. момент перехода на статистическую диагностику). Если, то задача тривиальна, так как является единственным правилом остановки в, и поэтому. Для интуитивно ясно, что следует сравнить с и использовать правило

Эти рассуждения мотивируют следующую теорему динамического программирования, которая формализует принцип обратной индукции.

Пусть - фиксированное положительное целое число. Определим последовательность , полагая

(2.1)

Пусть для каждого равно первому, такому, что

. (2.2)

Тогда и

следовательно,

Чтобы определить оптимальный момент перехода на статистические методы, необходимо согласно (2.2) уметь как-то определять . Методологически это довольно просто делается по рекуррентному уравнению (2.1). Однако реализовать (2.1) в непосредственном виде на ЭВМ можно лишь в плоском случае, т.е. когда достаточная статистика вполне описывается лишь двумя числовыми гиперпараметрами и сама история диагноза одномерна (т.е. сводится только к записи значений контролируемой величины). Но в случае большой размерности истории диагноза и в случае многомерности вектора гиперпараметров соотношение (2.1) реализовать на ЭВМ просто невозможно. Поэтому надо иметь какой-то другой метод получения удовлетворительного решения задачи. Далее рассмотрим такой метод.

Монотонный случай - Выше рассматривался случай. Ниже можно считать . Это позволит упростить обозначения за счет отбрасывания индекса N.

Пусть дана интегрируемая последовательность . Обозначим через класс всех моментов остановки , для которых. Практически это всегда выполняется. Тогда по определению .

Если, и для каждого

(2.3)

на множестве , то

(2.4)

на множестве.

Справедливо также следующее обращение этого утверждения: если , то для любого при справедливы неравенства (2.3) и (2.4). Физически эти соотношения характеризуют случай, когда является более выгодным моментом перехода на статистическую диагностику, чем момент .

Если - момент остановки, такой, что для каждого

на ,

то является субмартингалом. Если кроме того, существует и

(2.5)

то выполняется (2.3)

Другими словами, если момент sостанавливает субмартингал, то остановленный субмартингал остается субмартингалом. Это вполне естественно, поскольку в момент перехода на статистические методы последнее значение замораживается.

Если и для каждого на ,

(2.3.6)

то справедливо (2.4).

Другими словами, если s останавливает обучение, когда уже появилась супермартингальность, то любое запаздывание (остановка по , где ) только усугубляет все дело (снижает выигрыш от перехода на статистическую диагностику).

Существует один случай, в котором есть естественный претендент на оптимальный момент остановки. Это так называемый монотонный случай, в котором стохастическая последовательность удовлетворяет следующим условиям. Положим

т.е. множество - множество тех траекторий обучения, на которых в момент уже появилась супермартингальность. Предположим, что имеет место монотонный случай, если

В этом случае момент остановки равен первому , такому, что

(2.7)

заслуживает специального рассмотрения с точки зрения оптимальности. В дополнительной литературе приводятся примеры, которые показывают, что момент остановки (2.7) не всегда оптимален. Но эти примеры слишком конструктивны и практически не встречаются в диагностической практике. К тому же можно выдвинуть ряд ограничений, которые вполне выполнимы на практике, и внутри этих ограничений МО (2.7) оптимален. Эти ограничения формируются следующим образом. Предположим, что в монотонном случае момент , определяемый в (2.7), принадлежит классу . Тогда, если выполняется (2.5), тодля которых справедливо (2.6). Условие (2.5) означает отсутствие очень больших положительных выбросов в последовательности до момента , а условие (2.6) - отсутствие больших отрицательных выбросов до момента . На практике эти допущения вполне выполняются, поскольку даже если выбросы и будут, они маловероятны и при интегрировании в (2.5), (2.6) будут нивелированы бесконечно малыми значениями их вероятностей.

Таким образом, на практике, если имеет место монотонный случай, то момент из (2.7) является оптимальным моментом перехода на статистические методы диагностики.

Остается оценить, как часто практические задачи обучения системы диагностики являются монотонными. Если это случается всегда, то (2.7) даст полное решение всей задачи. Причем это решение легче реализовать в многомерном случае, чем обратную индукцию.

2.4 Обучение системы диагностики непараметрический общий случай

Обучение системы диагностики в общем случае должно строиться по схеме на рисунок 2.2, где

1 - блок выработки очередной гипотезы о виде распределения наблюдения (измеряемой контрольной величины) ;

2 - блок оптимальной оценки параметров;

3 - блок проверки гипотезы о виде распределения.\

Рисунок 2.2 - Схема обучения системы диагностики в общем случае

Общая идея работы блока 3 заключается в следующем. Очевидно, если первая гипотеза блока 1 отвергнута блоком 3, то при оценке параметров следующей гипотезы в блоке 2 может использоваться уже накопленная история , Возможно, что она сразу окажется достаточной и для оценки параметров для второй гипотезы. Если нет, то блок 2 будет ждать накопления до . Гипотезой назовем непустое подмножество множества мер , а статистику со значением в [0, 1], где - момент остановки параметрического обучения системы диагностики, назовем рандомизированной стратегией непараметрического обучения системы диагностики. Считаем, что моменты , , на рис. 2.2 диктует блок 2. Это позволяет упростить рассуждения, не снижая их общности. Возможен также вариант, когда Поэтому ниже опустим все нюансы, связанные с , поскольку они не повлияют на основные принципы работы блока 3.

Будем разбирать случай, когда в блоке 3 проверяется гипотеза при альтернативе при достаточной выборке .

Необходимо дать основные рекомендации по выбору. Стратегия приписывает вероятность гипотезе Г и вероятность (1 - ) гипотезе Г. Таким образом, налицо рандомизация. Поэтому в непараметрической статистике оперируют в основном с математическим ожиданием

называемым мощностью стратегии непараметрического обучения (оценки функции распределения). Естественно, что две стратегии непараметрической оценки функции распределения эквивалентны, если у них одинаковая функция мощности. Неправильное непараметрическое решение о функции распределения может быть принято только двумя способами:

a) можно выбрать , в то время как ; этому событию отвечает вероятность ;

b) принять , когда в действительности ; этому событию отвечает вероятность,

Уровнем значимости стратегии называется

Стратегия называется несмещенной, если

Использование сопряженных распределений. Сначала уточним еще раз понятие статистической структуры измерений. Выяснено, что и задачу непараметрической оценки в большом числе случаев можно свести к параметрической оценке путем использования обобщенных распределений, то необходимо более четко описать именно параметризованную статистическую структуру наблюдений. Последней будем называть

. (2.8)

Напомним, что - измеримое пространство историй диагнозов или просто значений контролируемых величин, получаемых в каждой -й диагностике,.

Структура (2.8) написана для случая одной диагностики. Она отражает тот факт, что значение конкретной вероятности, определенной на , известно лишь с точностью до неизвестного параметра . Если же речь идет о диагностиках, где каждая связана с одной и той же структурой (2.8), то будем ее записывать как

(2.9)

Это параметризованная структура повторной выборки.

Покажем теперь связь с этой структурой апостериорной вероятности на , в терминах которой сформулирована вся задача обучения системы диагностики.

Теорема (Неймана) о факторизации говорит, что если имеет место структура наблюдений (2.9), то статистика достаточна тогда и только тогда, когда; почти всюду,

,(2.10)

Выше в дополнительный индекс , говорит о том, что речь идет о вероятности на . Структурная схема на рисунке 2.3 иллюстрирует взаимосвязь упомянутых выше пространств.

Рисунок 2.3 - Структура для случая одной диагностики

Заметим еще, что Нейман предполагал также существование плотности по

некоторой мере . В непрерывных наблюдениях это естественно, а если наблюдения дискретны (само дискретно), то на дискретных координатах можно брать как считающую меру. Используя интеграл Лебега-Стильтьеса, можем для любой статистики написатьгде для дискретных составляющих интегрирование сводится к суммированию, а для непрерывных компонент .

В (2.10) показана лишь априорная вероятность на . Покажем, как понятие достаточности статистики выражается в терминах апостериорной вероятности .

Статистика является достаточной, если

т.е. если на зависит лишь от . Это получается непосредственно из формулы Байеса.

Действительно,

если

то

Сравнение с (2.10) показывает, что

Здесь через обозначалась вероятность на

Заключение

В данной работе, были рассмотрены существующие ротационные системы, был проведён их анализ. Освещены принципы возникновения паразитных колебаний приводящих к поломке или разрушению механизмов. Изучены методы их измерения и контроля.

Был проведён анализ принципов и методов разработки и реализации методов и средств обработки информации поступающей с дигнастируемой системы.

Были рассмотрены различные методы и алгоритмы обработки данных, в том числе метод статистического обучения системы диагностики.

Проведено исследование структурной схемы обучаемой системы диагностики, отображающей взаимодействие двух пространств.

Проведенные в данной работе исследования показали, что для повышения эффективности, надёжности и экономичности работы элементов системы автоматизированного управления решать поставленную задачу практичнее всего на основе различных методов и средств обработки информации. Используя при этом методы статистического обучения системы диагностики

Размещено на Allbest.ru