Рассматриваемый механизм можно заменить эквивалентным ему шарнирным четырёхзвенным механизмом 0₁ВС0₂. Высшая кинематическая пара 4-го класса в точке А заменяется звеном 3, образующим в точках В и С вращательные пары 5-го класса.

Механизм 0₁ВС0₂ называют замещающим, его степень подвижности:

W = 3(4 1) 24 = 1,

2. Почему требуется при анализе выявлять в структуре механизма пассивные звенья?

3. Что такое группа Ассура?

4. Дайте определение класса, порядка и вида группы Ассура?

5. Приведите последовательность структурного анализа механизмов?

6. В чем заключаются условия замены высших пар низшими в плоских механизмах?

Лекция № 3

Кинематический анализ механизмов. Задачи кинематического анализа. Понятие о геометрических и кинематических характеристиках механизмов (функция положения и её производные по времени и по обобщенной координате). Графические методы кинематического анализа: метод планов и диаграмм. Цикл и цикловые графики. Связь между кинематическими и геометрическими параметрами. Кинематическое исследование типовых механизмов.

Основные задачи кинематического исследования механизмов

В разделе изучается движение отдельных звеньев механизма без учета факторов обуславливающих их движение, какими являются силы, действующие в механизме.

Всякое движение тела характеризуется перемещением его в пространстве, скоростью и ускорением движения его точек.

Кинематический анализ механизмов заключается в определении параметров движения звеньев механизма по заданному закону движения начального звена (без учета сил, обуславливающих это движение) и предусматривает решение следующих основных задач:

определение координат и разметка траектории движения всех характерных точек механизма, что позволяет рационально спроектировать корпусные детали механизма;

определение скоростей характерных точек механизма в различных его положениях, что позволяет определить кинетическую энергию всех подвижных звеньев механизма;

определение ускорений характерных точек механизма, что позволяет определить силы инерции движущихся звеньев.

Существует несколько методов кинематического анализа:

· Экспериментальный;

· Графический (не обладает большой точностью, но быстр в исполнении);

· Графоаналитический;

· Аналитический (точный, но очень сложный даже для простейших схем).

Понятие о геометрических и кинематических характеристиках механизмов

Функцией положения механизма называется зависимость углового или линейного перемещения точки или звена механизма от времени или обобщенной координаты (рис. 3.1).

dP(q)/dq Первая dP²(q)/dq² Вторая

передаточная передаточная

P(q) функция функция

_q, ?_q a_q, ?_q

Функция

положения

, ??????????????????????????????????????????????a, ?

P(t)

Скорость Ускорение

dP(t)/dt dP²(t)/dt²

Рис. 3.1

Кинематическими передаточными функциями механизма называются производные от функции положения по обобщенной координате. Первая производная называется первой передаточной функцией или аналогом скорости (обозначается _q , ?_q), вторая - второй передаточной функцией или аналогом ускорения (обозначается a_q, ?_q).

Кинематическими характеристиками механизма называются производные от функции положения по времени. Первая производная называется скоростью (обозначается , ?????вторая - ускорением (обозначается a, ??).

Механизм с одной подвижностью имеет одно заданное входное движение и бесчисленное множество выходных (движение любого звена или точки механизма). Передаточные функции тех движений, которые в данном случае используются как выходные, называются главными, остальные - вспомогательными.

Рассмотрим схему механической системы образованной последовательным и параллельным соединением типовых механизмов. Схема включает входное звено, зубчатую передачу, кулачковый и рычажный механизмы и имеет два выходных звена (рис. 3.2).

5

С В 2

6 1

D A P O

0

K

E

Q

4

3

Рис. 3.2. Схема механической системы

?₂ ?₃

Кулачковый

механизм - P₃(?₂)

?₁ Зубчатый

механизм P₂(?₁)

?₂ Четырехшарнирный ?₆

механизм - P₆(?₂)

Рис. 3.3

На рис. 3.3. представлена функциональная схема машины. Функции положений механизмов приведены на рис. 3.4.

Функции положения

P₃ (?₁)

Главные

Входное P₆ (?₁)

перемещение

?₁ P₂ (?₁)

Вспомогательные P₃ (?₂)

P₆ (?₂)

Рис. 3.4. Функции положения в механизмах

Связь кинематических и передаточных функций

Линейные скорости и ускорения

_L = dS_L/ dt = (dS_L/d?_???d?₁/dt) = _qL ?₁;

a_L = d(_ql ?₁)/dt = (d_qL/d?₁)(d?_??dt)?₁ + _qL ?₁ = a_qL ?₁² + _qL ?₁;

Угловые скорости и ускорения

?_i = d?_i/ dt = (d?_i /d?_???d?₁/dt) = ?_qi ?₁;

?_i = d(?_qi?₁)/dt = (d?_i/d?₁)(d?₁/dt)?₁ + ?_qi ?₁ = ?_qi ?₁² + ?_qi ?_{i .}

Так как данные формулы получены как производные от скалярных величин, то при операциях с векторными величинами они применимы только для проекций этих величин на оси координат.

Аналитические методы кинематического анализа

1.1. Метод проекций векторного контура (рычажные механизмы)

Рассмотрим простейший кулисный механизм (рис. 3.5).

Рис. 3.5

Заменим кинематическую схему механизма эквивалентным векторным контуром. Тогда уравнение замкнутости векторного контура запишется

Задача о положениях звеньев механизма

Проецируем векторный контур на оси координат и получаем координаты точки В механизма:

x_B = l_AB cos (?₁) = l_AD cos (?) + l_DB cos (?₃);

y_B = l_AB sin (?_?) = l_AD sin (?????l_DB sin (?_???

из решения этой системы уравнений определяем неизвестные величины ?₃ и l_DB, которые определяют положение звеньев и точек механизма

tg (?₃) = sin (?_???/ cos (?₃) = l_AB sin (?_?)?? (l_AB cos (?₁) - l_AD cos (?));

l_DB = (l_AB sin (?_?)) / sin (?_???

Задача о первых кинематических передаточных функциях механизма

Продифференцируем уравнения проекций векторного контура по обобщенной координате и получим

_qBx = - l_AB sin (?_?????_qDB cos (?₃) - l_DB ?_q3 sin (?₃);

_qBy = l_AB cos (?_?????_qDB sin (?₃) + l_DB ?_q3 cos (?₃).

Из этой системы уравнений определяем первые передаточные функции _qB и ?_q3.

Задача о вторых передаточных функциях механизма

Вторично продифференцируем уравнения проекций векторного контура по обобщенной координате и получим

a_qBx= - l_ABcos (?₁) = a_qDBcos (?₃) -2_qDB?_q???sin (?_?) - l_DB??_q3sin (?_??? -

- l_DB?_q?^??cos (?₃);

a_qBy = - l_AB sin (?₁) = a_qDB sin (?₃) + 2 _qDB ?_q???cos (?_?) + l_DB ??_q3 cos (?_??? - l_DB ?_q?^? sin (?₃);

Из этой системы уравнений определяем вторые передаточные функции a_qB и ?_q3.

Для кинематического анализа результаты целесообразнее представлять в виде кинематических диаграмм.

Диаграмма функции положения

?₃,рад

_{0 ??????????????????????????????????????????????}

_{?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????}??₁,рад

Диаграмма первой передаточной функции

???????????_q3, рад/с

_{0 ??????????????????????????????????????????????}

_{?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????}??₁,рад

Диаграмма второй передаточной функции

?_q3, с^-2

_{0 ??????????????????????????????????????????????}

_{?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????}??₁,рад

Рис. 3.6

Цикловые кинематические (геометрические) диаграммы для кулисного механизма (рис. 3.6).

Циклом называется период времени или изменения обобщенной координаты по истечении, которого все параметры системы принимают первоначальные значения. Поэтому значения величин в начале и в конце цикла одинаковы.

1.2. Метод центроид (зубчатые передачи) рис. 3.7

Центроидой (полоидой) называется геометрическое место центров (полюсов) относительного вращения в системах координат связанных со звеньями механизма. В зубчатом механизме при передаче движения центроиды колес перекатываются друг по другу без скольжения.

Повернем ведущее колесо на малый угол d?₁, тогда ведомое колесо повернется на угол d?_???Так как центроиды или начальные окружности колес перекатываются друг по другу без скольжения, то дуга dS_w1 будет равна дуге dS_w2. Тогда можно записать следующее равенство

,

где dS_w1 = r_w1 ?d?_???? dS_w2 = r_w2 ?d?_??

Откуда

i ₂₁ = d?₂/d?₁ = r_w1/r_w2 = const.

Функция положения для выходного звена зубчатой передачи

d?₂= i ₂₁ d?₁ , откуда .

Построенный ряд последовательных планов положений механизма позволяет получить траектории движения точек звеньев механизма, а также их перемещения, рассмотрим последовательность построений для кривошипно-ползунного механизма (рис. 3.9, а).

Разметка траекторий движения всех звеньев механизма осуществляется методом засечек. С этой целью угол поворота кривошипа разбивается 12 равных частей, и строятся текущие положения кривошипа О₁А_i (за начало отсчета удобней принять внешнее предельное положение кривошипа и шатуна соответствующее нижней мертвой точке ползуна). Из полученных точек А_i циркулем, расстояние, между ножками которого равно длине шатуна АВ в масштабе построения, делаются засечки на траектории движения ползуна (прямая ХХ), т.е. получаем текущие положения ползуна (точка В_i), соединив которые с соответствующими точками А_i, получают промежуточные положения шатуна. На плане положений механизма определяем текущие положения центров тяжести кривошипа и шатуна (точки S₁ и S₂).

Текущие значения перемещений ползуна можно определить из плана положений механизма, как расстояние от крайнего нижнего положения ползуна (точка В₀) до текущего положения (точки В_i) умноженное на масштаб построений.

Построение плана скоростей:

Построение планов скоростей и ускорений ведется в порядке присоединения групп Ассура к начальному механизму. Поскольку кривошипно-ползунный механизм имеет одну степень подвижности, то заданное движение входного звена (в данном случае кривошипа О₁А) определяет движение всех остальных звеньев. Т.к. звено О₁А совершает вращательное движение, то траекторией точки А является окружность с центром в точке О₁. Вектор скорости точки А направлен по касательной к траектории движения, т.е. перпендикулярно радиусу О₁А, в сторону вращения кривошипа. Величина скорости определяется из выражения:

,

где _{кр .}- угловая скорость кривошипа, рад/с; r - радиус кривошипа, м.

Известный по величине и направлению вектор скорости _А строят в виде отрезка произвольной длины ра, из выбранного полюса р - плана скоростей (рис. 3.9, б). В этом случае масштаб плана скоростей:

, .

При определении скорости точки В следует отметить, что ползун совершает возвратно-поступательное движение, т.е. траекторией его движения является прямая линия, а вектор её скорости направлен параллельно линии перемещения. Т.к. точка В одновременно принадлежит и ползуну, и шатуну, то для дальнейшего построения плана скоростей следует воспользоваться векторным уравнением, выражающим связь между скоростями точек А и В шатуна:

,

где - вектор абсолютной скорости точки В; - вектор скорости переносного движения, скорости полюса в качестве которого принята точка А; - вектор относительной скорости точки В по отношению к точке А (вектор вращательной скорости точки В вокруг полюса - точки А).

Внимание: чтобы отложить любой вектор нужно знать его величину и направление, поэтому, здесь, и далее вектор, известный по величине и направлению, подчеркнут двумя линиями, а вектор известный только по направлению, подчеркнут одной линией.

Рис. 3.9

В векторном равенстве две неизвестные величины: скорость _В и относительная (вращательная) скорость _ВА. Вектор абсолютной скорости направлен параллельно линии перемещения ползуна ХХ, а вектор относительной скорости - перпендикулярно радиусу вращения, т.е. перпендикулярно текущему положению шатуна АВ. Вектор переносной скорости (скорости полюса) на плане скоростей представлен отрезком ра, поэтому данное векторное равенство можно решить графическим путем.

Через точку а вектора ра проводят линию действия скорости _ВА перпендикулярно АВ. Далее, в соответствии с векторным уравнением, через полюс плана скоростей р проводят линию действия скорости _В параллельно линии ХХ перемещения ползуна. На пересечении линий действия скоростей _ВА и _В находим точку в, расстояние от которой до полюса плана в масштабе и определяет величины скоростей, м/с:

; .

Зная относительную скорость точки В вокруг полюса точки А, можно определить угловую скорость шатуна, рад/с:

,

где _ВА - м/с; l - длина шатуна, м.

Теорема подобия фигур для планов скоростей: фигуры на плане положений и на плане скоростей образованные векторами относительных скоростей подобны. Рассмотрим треугольники на плане положений 0₁АВ и на плане скоростей рав, они являются подобными как имеющими две стороны взаимно перпендикулярные друг другу и одну параллельную.

Для определения скоростей центров тяжести звеньев следует найти положения точек S₁ и S₂ на плане скоростей, воспользовавшись теоремой подобия составив соотношения:

и ,

т.е. абсолютная скорость .

Чтобы получить абсолютную скорость точки S₂ следует соединить точку s₂ с полюсом плана скоростей р , и тогда отрезок рs₂ определит в масштабе плана скоростей абсолютную скорость центра тяжести шатуна. Истинное значение абсолютной скорости точки S₂ определяем, м/с:

.

Построение плана ускорений:

Построение плана ускорений необходимо начать с вычисления и нанесения на план ускорения т. А кривошипа. В общем случае полное ускорение т. А складывается из нормального (центростремительного) и касательного ускорений:

.

Численное значение нормального ускорения определяют по формуле, м/с²:

.

Направлено это ускорение параллельно отрезку О₁А от точки А к центру вращения О₁.

Касательное ускорение определяется по формуле, м/с²:

,

где _кр - угловое ускорение кривошипа, с^-2; r - длина кривошипа м.

Направлено ускорение перпендикулярно отрезку О₁А, либо по направлению вектора скорости_А (ускоренное вращение), либо против_А (замедленное вращение).

Складывая геометрически нормальное и касательное ускорения, найдем полное ускорение точки А:

При равномерном вращении кривошипа (_кр=const) его угловое ускорение , следовательно, полное ускорение точки А будет определяться только нормальной составляющей , имеющей численное значение:

,

Вычисленное нормальное ускорение изображаем на плане ускорений в виде отрезка р_аа произвольной длины, из выбранного полюса р_а плана ускорений так, чтобы он был параллелен текущему положению кривошипа О₁А и направлен от точки А к точке О₁ (рис. 3.9, в). Тогда масштаб плана ускорений:

, .

Далее переходят к определению ускорения точки В. В векторном виде:

,

гдеа_В - вектор полного ускорения точки В ползуна и шатуна;а_А - вектор полного ускорения точки А кривошипа;а_ВА - вектор относительного ускорения движения точки В шатуна по отношению к точке А кривошипа, которое можно разложить на нормальную () и касательную () составляющие, направления которых известны (вектор направлен параллельно положению шатуна АВ от точки В к точке А, вектор направлен перпендикулярно вектору нормального ускорения). При известной вращательной скорости точки В вокруг полюса А (_ВА), численное значение нормального ускорения определяют по формуле, м/с²:

,

здесь _ВА - в м/с; l - длина шатуна в м.

Чертежное значение длины вектора равно , мм.

Следовательно, векторное уравнение может быть решено графическим путём.

Через точку а проводят прямую, параллельную текущему положению шатуна А_iВ_i , и откладываем на ней вектор в направлении от точки В_i к точке А_i. Затем через точку а₁ проводят линию действия касательного ускорения, перпендикулярную данному положению шатуна. Из полюса плана ускорений р_а проводят линию действия полного ускорения точки В, параллельную линии ХХ перемещения ползуна. Расстояние от точки в, пересечения линий действия двух последних ускорений до полюса и точки а₁ определяет в масштабе значения ускорений, м/с²:

; .

Соединив точки а и в вектором , получаем полное ускорение точки В в относительном движении по отношению к полюсу точке А, т.е.:

, м/с².

Для определения ускорений центров тяжести звеньев следует найти положения точек S₁ и S₂ на плане ускорений, воспользовавшись соотношениями:

и ,

Абсолютные значения ускорений центров тяжести звеньев, м/с²:

и .

Зная величину касательного ускорения , можно определить угловое ускорение шатуна, с^-2:

.

Чтобы определить, какое движение совершает шатун (ускоренное или замедленное), необходимо знать направление угловой скорости ₂ и углового ускорения ₂ в данный момент времени. Для этого векторы вращательной скорости _ВА с плана скоростей и касательного ускорения с плана ускорений переносятся параллельно в соответствующую точку В плана положений механизма. Их направление относительно точки А и определит направление угловых скорости и ускорения. Если направление угловой скорости совпадает с направлением углового ускорения, то движение шатуна будет ускоренным и наоборот.

Планы скоростей и ускорений построенные для данного положения механизма, дают возможность установить лишь значения мгновенных скоростей и ускорений различных точек звеньев механизма, в соответствующее время. Построение последовательных планов положений, скоростей и ускорений механизма позволяет получить кинематические диаграммы S = S(t), = (t), a = a(t) соответственно. Кинематические диаграммы строятся в прямоугольной системе координат: по оси абсцисс откладываем отрезок l - длина которого в масштабе _t, принимается равным времени одного оборота (периода) начального звена.

Контрольные вопросы

1. Что такое кинематические характеристики механизма?

2. В чем заключается метод проекций кинематического анализа рычажного механизма?

3. Для чего строится кинематическая схема механизма?

4. На чем основано определение скоростей точек звеньев, совершающих сложное (плоскопараллельное) движение?

5. В чем заключается используемый при построении планов скоростей и ускорений метод подобия?

Лекция 4

Графическое дифференцирование. Задачи проектирования механизмов. Механические передачи: классификация, параметры.

Метод кинематических диаграмм

Графический способ кинематического анализа методом построения диаграмм отличается простотой выполнения и наглядностью представления результатов. Итогом метода являются графики перемещений, скоростей и ускорений в зависимости от времени или угла поворота начального звена, данные графики получили название кинематических диаграмм.

При кинематическом анализе используют способ графического дифференцирования (существует способ хорд и способ касательных, рассмотрим первый: делается допущение, что хорда дуги окружности адекватна касательной).

Пусть задан график S = S(t), требуется построить = (t) и a = a(t). Для точки А кривой (рис. 4.1) можно записать:

S = у _S ,

t = x _t

Тогда:

,

где - угол наклона касательной к рассматриваемой точке А (предполагаем, что касательная параллельна хорде дуги окружности около рассматриваемой точки).

Рис. 4.1

Методика графического дифференцирования (рис. 4.2):

Диаграмма скоростей. Её строят графическим дифференцированием диаграммы перемещений по методу хорд:

разделяют ось абсцисс диаграммы перемещений на произвольное число одинаковых частей;

через точки деления 1, 2, 3… проводят координатную сетку;

точки пересечения ординат с графиком перемещений соединяют отрезками (хордами) 01, 02, 03, (чем больше точек деления, тем хорды будут ближе к истинной кривой);

строят систему координат = (t), справа от начала координат откладываем отрезок 0р., называемый полюсным расстоянием, длиной Н₁ и отмечают полюс диаграммы скоростей р;

Примечание: Величина Н₁ выбирается в зависимости от желаемого размаха диаграммы = (t).

из полюса р проводят лучи, параллельные соответствующим хордам на диаграмме перемещений до пересечения с осью ординат, получают точки 1, 2,

из полученных точек проводят горизонтальные лучи до пересечения с вертикальными прямыми, опущенными из середин соответствующих отрезков на диаграмме перемещений. Полученные точки 1, 2, соединяют плавной кривой и получают диаграмму изменения скорости (первое приближение), в масштабе

,

где _S - масштаб диаграммы перемещений, м/мм; - масштаб угла поворота начального звена, рад/мм; ₁- угловая скорость начального звена, рад/с; _t - масштаб времени, с/мм; Н₁- полюсное расстояние, взятое с чертежа, мм.

Проделав аналогичные операции с диаграммой = (t), предварительно восстановив точки 1, 2, 3, и т.д., получаем зависимость ускорения а = (t) в масштабе

,

где Н₂ - полюсное расстояние для диаграммы а = (t), мм.

Рис. 4.2

Экспериментальный метод кинематического исследования

При экспериментальном исследовании кинематики механизмов кинематические характеристики звеньев и точек механизма определяются и регистрируются с помощью чувствительных элементов - датчиков, которые используя различные физические эффекты преобразуют кинематические параметры в пропорциональные электрические сигналы. Эти сигналы регистрируются измерительными самопишущими приборами (самописцами, осциллографами и др.).

В последнее время для регистрации и обработки экспериментальных данных все более широко используются специальные или универсальные компьютеры. Для примера рассмотрим экспериментальную установку для исследования кинематических характеристик синусного механизма (рис. 4.3):

Датчик перемещения

1 2

?_? B, C R

S_D = f(t)

A D

Датчик Датчик

0 скорости N S ускорения

3 Тензометрический

_D= f(t) усилитель

Рис. 4.3 a_D = f(t)

В этой экспериментальной установке:

для измерения перемещения выходного звена используется потенциометрический датчик перемещения, в котором пропорционально положению движка потенциометра изменяется его сопротивление;

для измерения скорости выходного звена используется индукционный датчик скорости, в котором напряжение на концах катушки движущейся в поле постоянного магнита пропорционально скорости катушки;

для измерения ускорения выходного звена используется тензометрическиий акселерометр. Он состоит из пластинчатой пружины, один конец которой закреплен на выходном звене механизма, а на втором закреплена масса. На пластину наклеены проволочные тензопреобразователи. При движении выходного звена с ускорением инерционность массы вызывает изгиб пластины, деформацию тензопреобразователей и изменение их сопротивления пропорциональное ускорению выходного звена.