Одним из наиболее широко известных групп задач данного класса являются задачи, имеющие обобщенное название - оптимизационные задачи. Приведем пример решения задачи.

Задача оптимизации прибыли. Фирма, специализирующаяся на производстве расфасованных орешков, выпускает три различных продукта (продукт 1, продукт 2 и продукт 3), каждый из которых получается путем определенной обработки ореха и подлежит соответствующей упаковке. В начале технологического процесса необработанный орех сортируется по размеру и качеству, после чего его распределяют по различным поточным линиям.

Фирма может закупить орех у двух различных поставщиков. При этом объемы продуктов 1, 2 и 3, которые можно получить из одной тонны ореха первого поставщика, отличаются от объемов продуктов 1, 2 и 3, получаемых из того же количества ореха второго поставщика. Соответствующие показатели приведены в табл. 7.

Исходные данные по задаче. Из данной таблицы следует, что из 1 т ореха поставщика 1 можно изготовить 0,2 т продукта 1, 0,2 т продукта 2 и 0,3 т продукта 3; остальные 0.3 m составляют отходы. У ореха поставщика 2 аналогичные показатели по отношению к продукту 3 и к отходам совпадают с соответствующими показателями для предыдущего случая; однако процент выхода продукта 1 во втором случае оказывается более высоким.

Необходимо определить, какое количество ореха следует купить у каждого из поставщиков. Для ответа необходимо знать «относительную» прибыль, получаемой фирмой в случае покупки ореха у поставщика 1 и у поставщика 2. При этом относительная прибыль при покупке ореха у поставщика 1 вычисляется путем вычитания из полной выручки в результате продажи фирмой всех видов продуктов, полученных из 1 т. необработанного ореха, закупленного у поставщика 1, стоимости 1 т ореха. Аналогично определяется относительная прибыль фирмы, получаемая за счет покупки ореха у поставщика 2. Цены на орех у поставщика 1 и у поставщика 2 могут быть разными.

Термин относительная прибыль используется постольку, поскольку в расчетах пока не принимаются другие виды расходов. К их числу могут, в частности, относиться затраты, связанные с доставкой продукции к местам сбыта и с обслуживанием покупателей. Такого рода затраты имеют место лишь после получения готовой продукции, и считаем что они одинаковы для поставщиков. Они не имеют отношения к затратам во время покупки ореха, и, следовательно, при принятии решения размещение поставщиков ореха не учитывается. Предположим, что относительная прибыль при закупке ореха у поставщика 1 равна 5, а при закупке картофеля у поставщика 2 составляет 6. Из того факта, что относительная прибыль при закупке ореха у поставщика 2 является более высокой, однако, вовсе не следует, что фирме следует произвести закупку всего требуемого ей количества ореха у поставщика 2.

При принятии решения по закупке ореха возможны три основных варианта: либо все закупить у поставщика 1; либо у поставщика 2; либо выявить доли объемов продукции закупаемых у поставщиков. При этом, необходимо учесть следующие факторы: максимальное количество каждого продукта, которое фирма может продать, и максимальное количество каждого из продуктов, которое фирма может изготовить при заданных условиях производства. Для простоты изложения допустим, что, учитывая оба эти фактора одновременно, мы получаем следующие ограничения:

- продукт 1 не может выпускаться в количестве, превышающем 1.8;

- продукт 2 не может выпускаться в количестве, превышающем 1.2;

- продукт 3 не может выпускаться в количестве, превышающем 2,4.

Эти ограничения математически можно сформулировать следующим образом.

Пусть P1 и Р2 означают количество ореха, которое будет закуплено у поставщиков 1 и 2 соответственно. Тогда значения Р1 и Р2 должны подчиняться следующим линейным неравенствам:

0,2Р1 + 0,3Р2 1.8 для продукта 1,

0,2Р1 + 0,1Р2 1.2 для продукта 2, (1)

0,3Р1 + 0,3Р2 2.4 для продукта 3,

P1 0,

P2 0.

Условия неотрицательности P1 0 и P2 0 приняты потому, что отрицательные значения этих величин (например P1 = -4) не имели бы физического смысла.

На основании системы (1) построим предельные линии ограничения. Для этого по каждому из уравнений

0,2Р1 + 0,3Р2 = 1.8

0,2Р1 + 0,1Р2 = 1.2

0,3Р1 + 0,3Р2 = 2.4

дадим значения крайних координат линии ограничения. Например, для уравнения

0,2Р1 + 0,3Р2 = 1.8 имеем Р1 = 0, тогда Р2 = 1.8 : 0.3 = 6. Для Р2 = 0, Р1 = 1.8 : 0.2 = 9.

Аналогично найдем нулевые координаты для других уравнений. Линии ограничения построены на графиках, приведенных на рис.1

Стрелка, проведенная от каждой из этих линий, указывает направление, определяемое знаком неравенства в соответствующем ограничении. Для нахождения совместного решения, совместим линии ограничения на одном графике (рис.2), которые характеризуют допустимые стратегии закупок.

Заштрихованная область является совместной областью для системы (1), значения из которой удовлетворяют условиям ограничения. Все значения Р1 и P2 удовлетворяющие условиям (1), представлены на рис.6 заштрихованной областью.

При этом необходимо сформулировать условие оптимизации и построить целевую функцию решения задачи. Оптимальными являются такие значения P1 и Р2, при которых относительная прибыль максимальна, если при этом выполняются условия (1). Таким образом, задача оптимизации сводится к максимизации выражения

5Р1 + 6Р2 max, (2)

при наличии ограничений (1).

Каждая из множества параллельных прямых, изображенных на этом рисунке, соответствует различным комбинациям значений P1 и Р2, приводящим к одному и тому же значению линейной целевой функции

5Р1 + 6Р2.

Самая верхняя линия, содержащая точку в области допустимых с точки зрения условий (1) значений, определяет максимальное значение целевой функции. Оптимальное решение задается именно этой точкой.

Легко убедиться графически. что в рассматриваемом случае оптимальное решение является единственным; оно находится на пересечении прямых, определяемых двумя первыми условиями (1). Следовательно, оптимальные значения Р1 и Р2 можно вычислить путем совместного решения двух линейных уравнений

0,2Р1 + 0,3Р2 = 1,8 для продукта 1,

0,2Р1 + 0,1Р2 = 1,2 для продукта 2. (3)

Решая данную систему линейных уравнений методом подстановки или Жордана - Гаусса можно определить, что оптимальные значения Р1 = 4,5, а Р2 = 3. Тогда значение целевой функции принимает значение 40,5.

Задача JA - класса (неструктурированные критерии)

Данная группа задач может быть еще разбита на две подгруппы, связанные с количеством используемых критериев и их возможной взаимосвязью.

Для группы с небольшим количеством невзаимосвязанных целей (критериев) используется методология решения основанная на использовании различных стратегий ЛПР относительно получения результатов решения. К ним можно отнести методы: оптимизма, пессимизма (гарантированного результата), Гурвица, Сэвиджа. Рассмотрим методику решения данной группы задач.

Пример задачи JA - класса. Рассмотрим задачу выбора наилучшей структуры объема закупок оптовой компанией продукции для реализации по торговым предприятиям.

Для выбора продукции относящейся к алкогольной, были сформулированы несколько целевых критериев: - оптовая цена, (руб.), (А₁); - срок хранения, (кол-во дней) , (А₂); - ассортимент торговой марки (шт), (А₃).

Выбор производится из следующих видов продукции, предлагаемых предприятиями-поставщиками: Долина (Y₁); Фанагория (Y₂); Славянский (Y₃).

Исходные данные по задаче приведены в табл.9.

Таблица 9

Обобщенная постановка задачи

Альтернативы	Критерии (цели)
	А1	А2	А3
Y1	1	8	4
Y2	4	2	5
Y3	6	5	3

1. Принцип максимина (гарантированного результата)

Принцип максимина заключается в выборе в качестве наиболее эффективной той альтернативы (стратегии), которая имеет наибольшее среди наименьших по всем альтернативам значение функции полезности или фактора. Данная стратегия ориентирована на получение гарантированного минимума желательности (не хуже чем "лучший из худших").

Рассмотрим действие принципа максимина на задаче. В соответствии с решающим правилом, оптимальной (u(y*)) считается альтернатива, для которой выполняется соотношение

Методика выбора включает в себя два этапа.

На первом - для каждой альтернативы выбираем по соответствующей строке минимальное значение функции полезности. Для альтернативы Y₁ минимальное из значений 1, 8, 4 является значение функции полезности f₁ = 1 соответствующее критерию А₁; для альтернативы Y₂ минимальное из значений 4, 2 ,5 является значение функции полезности U₂ = 2 соответствующее критерию А₂; для альтернативы Y₃ минимальное из значений 6, 7, 3 является значение функции полезности U₃ = 3 соответствующее критерию А_3. Тогда имеем следующие минимальные значения полезности по каждой альтернативе, соответственно:

На втором этапе из полученных минимальных значений проводится выбор максимального:

Максимальной из существующих минимальных является значение = 3, которое соответствует третьей альтернативе. Таким образом, оптимальной (по критерию максимина) является альтернатива Y₃.

2. Принцип оптимизма.

При решении задач, относящихся к простым задачам и имеющим четкую структуризацию, обычно применяют некоторый спектр методов, одним из которых является принцип оптимизма. Структуризация проблемной ситуации состоит в исследовании и анализе структуры элементов проблемы, установлении взаимосвязи между ними, решаемой проблемой и другими проблемами, предшествующими данной, т.е. исходная проблема разбивается на составные части и упорядочивается.

Принцип оптимизма заключается в выборе в качестве наиболее эффективной той альтернативы (стратегии), которая имеет наибольшее из наибольших по всем альтернативам значение функции полезности или фактора, т.е. принцип оптимизма (по правилу «лучший из лучших») учитывает возможность получения максимального уровня желательности. Эта стратегия реализуется решающим правилом вида:

u(y*) = max max U_ij.

i j

Проведем решение исходной задачи (табл.9 ) с использованием данной методики.

Решение задачи по принципу оптимизма.

На первом этапе для каждой альтернативы выбираем максимальное значение по соответствующей строке.

Для альтернативы Y₁ минимальное из значений 1, 8, 4 является значение 8 соответствующее критерию А₂; для альтернативы Y₂ минимальное из значений 4, 2, 5 является значение 5 соответствующее критерию А₃; для альтернативы Y₃ минимальное из значений 6, 5 ,3 является значение 7 соответствующее критерию А_1.

На втором этапе из уже полученных максимальных значений выбирается максимальное:

Оптимальной (по критерию оптимизма) является альтернатива Y₁.

3. Принцип Гурвица.

Для принципа выбора Гурвица характерно использование взвешенных значений принципа гарантированного результата (пессимизма) и принципа оптимизма. Здесь каждая стратегия характеризуется своим коэффициентом важности стратегии б,в = [0,1]. Функция выбора, описывающая принцип Гурвица, может быть записана в виде:

u (y*)= б·u₁(y)+(1-б)·u₂(y),

где u₁(y) - стратегия выбора, характеризующая принцип гарантированного результата;

u₂(y) - стратегия выбора, характеризующая принцип оптимизма.

Учитывая, что

u₁(y) = max min U _{i j}

i j

u₂(y) = max max U _{i j}

i j

можно представить общее выражение для принципа Гурвица в виде

u (y*)= б max min U _{i j} + (1-б)· max max U _{i j} (3)

i j i j

или

u (y*)= max [б min U _{i j} + (1-б)· max U _{i j} ]. (4)

i j j

Следовательно, наиболее предпочтительна стратегия Y*, для которой выполняется условие (4). При этом в зависимости от значения весового коэффициента б можно получить различные стратегии выбора при изменении его в диапазоне 0 ? б ? 1:

если б = 1, то получим принцип гарантированного результата;

если б = 0, получим принцип оптимизма.

Проведем решение исходной задачи (табл.9)с использованием данной методики.

Решение задачи по принципу Гурвица.

1. Задаём коэффициент , который характеризует ориентацию на принцип максимина или принцип оптимизма и . Пусть = 0,6.

2. Решаем задачу по формуле Y^* max_i ( min U_ij + (1 - ) max_j U_ij) в два этапа:

2.1. Для каждой альтернативы находим *min_j U_ij +(1-)* max_j U_ij , для чего используем уже вычисленные значения по предыдущим задачам (значения Min U_ij, Max U_ij в табл.10). Расчет этих значений формируется так.

Исходными данными для выбора по методу Гурвица будут данные, полученные по стратегиям:

- для стратегии гарантированного результата:

- для стратегии оптимизма:

Принцип Гурвица Таблица 10

Альтернати- вы Yi	Критерии (цели)	Знач. предпочт. по Гурвицу	Весовой коэф-т
	A1	A2	A3	Min Uij	Max Uij
Y1	1	8	4	1	8	3,8	0,6
Y2	4	2	5	2	5	3,2	0,6
Y3	6	5	3	3	6	4,2	0,6
min	1	2	3		5
max	6	8	5	3		4,2

Пусть весовой коэффициент характеризует степень важности соответствующей первой стратегии и его значение примем = 0,6. Тогда получим для первого этапа

Подставляя соответствующие значения в систему получим:

Подставим их в графу «Значение предпочтений по Гурвицу» табл.10.

2.2. На втором этапе производим выбор в соответствии с правилом :

Оптимальной (по комбинированному принципу Гурвица) будет альтернатива Y₃, значение функции полезности которой равно 4,2.

Для оценки влияния коэффициента на уровень предпочтений по Гурвицу, проведем анализ значений для различных коэффициентов (табл.11).

Таблица 11

Значения предпочтений по Гурвицу для различных коэффициентов

	возможные значения весового коэффициента а
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
Y1	7,3	6,6	5,9	5,2	4,5	3,8	3,1	2,4	1,7
Y2	4,7	4,4	4,1	3,8	3,5	3,2	2,9	2,6	2,3
Y3	5,7	5,4	5,1	4,8	4,5	4,2	3,9	3,6	3,3
Y*	7,3	6,6	5,9	5,2	4,5	4,2	3,9	3,6	3,3	7,3

На основании данных значений можно сказать, что общим правилом выбора по всем значениям будет метрика с = 0,1, при этом, эффективной альтернативой является вариант 1 (Y1) с функцией предпочтения = 7,3.

Решение данной задачи в интегрированной системе Excel предполагает процедуру расчета показателей приведенных в табл.10-11, по алгоритму и формулам, приведенным в табл.12 и табл.13. Экранная форма указанных таблиц приведена на рис.10, 11.

Алгоритм расчета показателей по принципу Гурвица, в виде экранной формы приведен на рис.12.

4. Принцип Сэвиджа (принцип минимаксного сожаления ).

Стратегия выбора основанная на использовании стратегии Сэвиджа характеризуется теми потенциальными потерями, которые ЛПР может иметь, если выберет неоптимальное решение. Процедура выбора обычно происходит в три этапа и строится на вычислении промежуточного показателя функции потерь (w) на базе имеющихся для каждой альтернативы функции полезности (.U_ij).

На первом этапе для каждого критерия A_j по конкретной альтернативе y_i определяется максимальное значение функции полезности .

max U_ij = max U_i ¦ A_j ,

i i

показывающей возможный наилучший уровень полезности U_i, который можно получить, для конкретного критерия A_j .

На втором этапе, на основании полученных значений для каждой альтернативы строится показатель

w (y₁) ¦A_j = w(y_ij) = max U_ij -U_ij

i

характеризующий потенциальный риск (потерянную выгоду от выбора неоптимальной альтернативы).

На третьем этапе производится выбор стратегии с наименьшим показателем риска :

u (y* ) = min w(y_ij )

Проведем решение исходной задачи (табл. 9) с использованием данной методики.

Решение задачи по принципу Сэвиджа.

На первом этапе для каждого критерия А_j по конкретной альтернативе Y_i определяется максимальное значение:

Данные значения приведены в табл. 10 в строке «max».

На втором этапе на основе полученных значений для каждой альтернативы строится показатель, характеризующий потенциальный риск.

Если для первого критерия А₁ руководство предприятием выбрало стратегию Y_3, то значение потерь равно:

Если для первого критерия А₁ руководство предприятием выбрало стратегию Y_1, то значение потерь равно:

Если для первого критерия А₁ руководство предприятием выбрало стратегию Y_2, то значение потерь равно:

Для второго критерия А₂ максимальной является альтернатива Y_1, при выборе ее руководство имеет минимальные потери: w(y₁₂)=0.

Если для первого критерия А₂ руководство предприятием выбрало стратегию Y_2, то значение потерь равно:

Если для первого критерия А₂ руководство предприятием выбрало стратегию Y_3, то значение потерь равно:

Для второго критерия А₃ максимальной является альтернатива Y_2, при выборе ее руководство имеет минимальные потери: w(y₂₃)=0.

Если для первого критерия А₃ руководство предприятием выбрало стратегию Y_1, то значение потерь равно:

Если для первого критерия А₃ руководство предприятием выбрало стратегию Y_3, то значение потерь равно:

На основании полученных данных строится матрица сожалений (табл.14).

Таблица 14

Матрица сожалений

Альтернативы	Критерии (цели)
	А1	А2	А3
Y1	5	0	1
Y2	2	6	0
Y3	0	3	2

На основании матрицы потерь можно определить максимальные потери по каждой альтернативе.

Оптимальной будет та альтернатива, которая имеет минимальные потери, т.е.

Таким образом, оптимальной здесь представляется альтернатива Y_3, имеющая минимальные потери выгоды. На рис.13 представлена экранная форма решающих матриц по принципу Сэвиджа.

Алгоритм и формулы реализации решающих таблиц представлены в табл.15-18.

Таблица 15

Алгоритм формирования матриц для обобщенной постановки задачи

	A	B	C	D
2	Альтернативы		Критерии (цели)
3		A1	A2	A3
4	Y1	1	8	4
5	Y2	4	2	5
6	Y3	6	5	3
7	maxj	=МАКС(B4:B6)	=МАКС(C4:C6)	=МАКС(D4:D6)

Таблица 16Расчетная матрица формирования потенциальных потерь wij

	A	B	C	D	E
11	Альтернативы	Критерии (цели)	maxj
12		A1	A2	A3
13	Y1	=$B$7-B4	=$C$7-C4	=$D$7-D4	=МАКС(B13:D13)
14	Y2	=$B$7-B5	=$C$7-C5	=$D$7-D5	=МАКС(B14:D14)
15	Y3	=$B$7-B6	=$C$7-C6	=$D$7-D6	=МАКС(B15:D15)
				mini	=МИН(E13:E15)

Задачи JA - класса (неструктурированные критерии), решаемую методом «смещенного идеала»

Пример задачи JA - класса с неструктурированными критериями:(метод «смещенного идеала»).

Постановка задачи. Осуществить закупку наиболее эффективного варианта принтера, удовлетворяющего потребительским качествам. Определим параметры решения задачи.

1.1. Время для ПР: Т=2 недели.

1.2. Ресурсы для ПР: информация о характеристиках принтеров.

1.3. Критерии потребительского выбора {К}:

К₁ - скорость печатающего механизма в монохромном режиме, страниц в минуту

К₂ - ОЗУ, установлено/максимум, Мбайт

К₃ - цена принтера.

1.4. Множество ограничений (В)

- на финансовые ресурсы;

- развитие сервисных служб.

2. Множество альтернативных вариантов - предлагаемые производителями марки принтеров различных типов.

Решение задачи методом «идеального объекта».

Этап расчета 1. На предварительном этапе отобранная группа принтеров, состоящая из 7 типов принтеров Y={А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, А₇}. На основании исходных данных строим матрицу вариантов (табл.17)

Таблица 17

Матрица описания задачи

Принтеры	Критерии
	К 1	К 2	К 3
А 1	12	12	4854
А 2	8	3	3442
А 3	7	4	2776
А 4	9	2	4270
А 5	11	8	4450
А 6	14	6	5830
А 7	10	8	4667

На основании данных приведенных в таблице сформируем «идеальный объект» по указанным критериям со значениями равными максимальным значениям показателей, полезность по которым возрастает, и минимальным полезность по которым убывает. Таким образом, получаем «идеальный объект» А⁺:

А⁺ 14; 2; 2776

Кроме идеального объекта сформируем также модель «наихудшего объекта»:

А^- 7; 12; 5830

Для сопоставления значений критериев необходимо перейти к нормированным единицам, т.к. критерии разнородные, преобразовав их по формуле

_j = (К⁺-К_j) / (К⁺- К^-).

Переходя к относительным значениям критериев, получим следующую нормализованную матрицу (табл18):

Таблица 18

Нормализованная матрица описания задачи

Принтеры	Критерии
	К 1	К 2	К 3
А 1	0,29	1	0,68
А 2	0,86	0,1	0,22
А 3	1	0,2	0
А 4	0,71	0	0,49
А 5	0,43	0,6	0,55
А 6	0	0,4	1
А 7	0,57	0,6	0,62

Зададим относительную важность критериев в виде весов: W₁ = 6, W₂ = 2, W₃ = 4.

Для выявления ненаилучших объектов найдем свертки (расстояние до идеального объекта), используя следующую обобщенную метрику:



Вычислим для наших объектов метрики с разной степенью концентрации, соответствующие различным стратегиям выбора, и значения запишем в таблицу (табл.19).

Таблица 19

Метрика расстояний по альтернативам

Значения меры расстояния	Степень концентрации (р)
	р=1	р=2	р=3	р=5	р=6	р=8
L(А1)	5,56	4,47	4,32	4,29	4,29	4,29
L(А2)	5,78	3,71	3,33	3,17	3,15	3,13
L(А3)	5,60	4,31	4,08	4,01	4,00	4,00
L(А4)	5,76	3,33	2,78	2,42	2,34	2,24
L(А5)	6,04	3,96	3,60	3,46	3,44	3,43
L(А6)	7,20	6,12	6,02	6,00	6,00	6,00
L(А7)	4,89	3,09	2,76	2,61	2,59	2,58

Чем больше значение L, тем ближе объект А_i к идеальному А⁺. Получим следующие ранжировки предпочтений по L.

Для р=1 А₆А₅А₂А₄А₃А₁А₇

Для р=2 А₆А₁А₃А₅А₂А₄А₇

Для р=3 А₆А₁А₃А₅А₂А₄А₇

Для р=5 А₆А₁А₃А₅А₂А₇А₄

Для р=6 А₆А₁А₃А₅А₂А₇А₄

Для р=8 А₆А₁А₃А₅А₂А₇А₄.

Ненаилучшие решения в нашем случае - А₄ и А₇. Исключим их из рассмотрения, получив сокращенное исходное множество альтернатив А₁, А₂, А₃, А₅, А₆.

Рассмотрим компьютерное решение данного фрагмента задачи в системе Excel.

Экранная форма комплекса таблиц расчета по первому этапу приведена на рис.14.

Алгоритм формирования матрицы описания задачи и расчета нормализованной матрицы приведены по 1 этапу приведены в табл.20-21. В данных таблицах приводятся формулы выбора экстремальных уровней критериев по каждой альтернативе (в табл. 20, в координатах граф и строк, это - диапазон B12:D12 для выбора значений идеального варианта, B13:D13 - для выбора значений наихудшего варианта). В табл.21 приводятся формулы расчета нормализованных значений критериев по альтернативам.

Таблица 20

Матрица описания задачи

	А	B	C	D
3	Принтеры	Критерии
4		К 1	К 2	К 3
5	А 1	12	12	4854
6	А 2	8	3	3442
7	А 3	7	4	2776
8	А 4	9	2	4270
9	А 5	11	8	4450
10	А 6	14	6	5830
11	А 7	10	8	4557
12	идеальный объект А+	=МАКС(B5:B11)	=МИН(C5:C11)	=МИН(D5:D11)
13	наихудший объект А-	=МИН(B5:B11)	=МАКС(C5:C11)	=МАКС(D5:D11)

Таблица 21.

Нормализованная матрица описания задачи

	А	B	C	D
17
18		К1	К2	К3
19	А1	=(B12-B5)/(B12-B13)	=(C12-C5)/(C12-C13)	=(D12-D5)/(D12-D13)
20	А2	=(B12-B6)/(B12-B13)	=(C12-C6)/(C12-C13)	=(D12-D6)/(D12-D13)
21	А3	=(B12-B7)/(B12-B13)	=(C12-C7)/(C12-C13)	=(D12-D7)/(D12-D13)
22	А4	=(B12-B8)/(B12-B13)	=(C12-C8)/(C12-C13)	=(D12-D8)/(D12-D13)
23	А5	=(B12-B9)/(B12-B13)	=(C12-C9)/(C12-C13)	=(D12-D9)/(D12-D13)
24	А6	=(B12-B10)/(B12-B13)	=(C12-C10)/(C12-C13)	=(D12-D10)/(D12-D13)
25	А7	=(B12-B11)/(B12-B13)	=(C12-C11)/(C12-C13)	=(D12-D11)/(D12-D13)
26	W (важность критерия)	6	2	4

В табл.22 приводятся формулы расчета расстояния по нормализованным значениям для различных степеней концентрации, в частности, для р = 2, имеем Евклидово расстояние. В строке 31 дается линейка коэффициентов концентрации от 1 до 8.

Этап расчета 2. На втором этапе, по усеченному множеству альтернатив (табл.23) опять строим идеальный А⁺ и наихудший А^- варианты.

Таблица 23

Матрица описания задачи

по сокращенному множеству альтернатив

Принтеры	Критерии
	К 1	К 2	К 3
А 1	12	12	4854
А 2	8	3	3442
А 3	7	4	2776
А 5	11	8	4450
А 6	14	6	5830

Значение параметров крайних альтернатив следующие:

Принтеры	Критерии
	К 1	К 2	К 3
идеальный объект А+	14	3	2776
наихудший объект А-	7	12	5830

Для сопоставления значений критериев также необходимо перейти к нормированным единицам, т.к. критерии разнородные, опять преобразовав их по формуле

_j = (К⁺-К_j) / (К⁺- К^-).

Переходя к относительным значениям критериев, получим новую нормализованную матрицу (табл.24).

Таблица 24

Нормализованная матрица описания задачи

по сокращенному множеству альтернатив

Принтеры	Критерии
	К 1	К 2	К 3
А 1	0,29	1	0,68
А 2	0,86	0	0,22
А 3	1	0,11	0
А 5	0,43	0,56	0,55
А 6	0	0,33	1

Также зададим относительную важность критериев в виде весов: W₁=6, W₂=2, W₃=4.

Для выявления не наилучших объектов найдем свертки (расстояние до идеального объекта), используя метрику:

Вычислим для наших объектов разные метрики, соответствующие различным стратегиям выбора, и значения запишем в таблицу (табл.25).

Таблица 25

Метрика расстояний по альтернативам

Значения меры расстояния	Степень концентрации (р)
	р=1	р=2	р=3	р=5	р=6	р=8
L(А1)	5,56	4,47	4,32	4,29	4,29	4,29
L(А2)	5,98	3,81	3,40	3,19	3,16	3,14
L(А3)	5,78	4,38	4,11	4,01	4,01	4,00
L(А5)	6,12	3,98	3,61	3,46	3,44	3,43
L(А6)	7,33	6,15	6,02	6,00	6,00	6,00

Чем больше значение L, тем ближе объект А_i к идеальному А⁺. Получим следующие ранжировки предпочтений по L.

Для р=1 А₆А₅А₂А₃А₁

Для р=2 А₆А₁А₃А₅А₂

Для р=3 А₆А₁А₃А₅А₂

Для р=5 А₆А₁А₃А₅А₂

Для р=6 А₆А₁А₃А₅А₂

Для р=8 А₆А₁А₃А₅А₂

Ненаилучшие решения в нашем случае - А₂ и А₅. Исключим их из рассмотрения, получив сокращенное исходное множество А₁, А₃, А₆. Рассмотрим компьютерное решение данного фрагмента (2 уровня) решения задачи в системе Excel.

Экранная форма комплекса таблиц расчета по второму этапу приведена на рис.15.

Алгоритм формирования матрицы описания усеченной задачи и расчета нормализованной матрицы приведены по 2 этапу приведены в табл.26-27. В данных таблицах приводятся формулы выбора экстремальных уровней критериев по каждой альтернативе (в табл. 26, в координатах граф и строк, это - диапазон B10:D10 для выбора значений идеального варианта, B11:D11 - для выбора значений наихудшего варианта). В табл.27 приводятся формулы расчета нормализованных значений критериев по альтернативам.

Таблица 26

Матрица описания задачи (2 этап)

	A	B	C	D
3	Принтеры	Критерии
4		К 1	К 2	К 3
5	А 1	12	12	4854
6	А 2	8	3	3442
7	А 3	7	4	2776
8	А 5	11	8	4450
9	А 6	14	6	5830
10	идеальный объект А+	=МАКС(B5:B9)	=МИН(C5:C9)	=МИН(D5:D9)
11	наихудший объект А-	=МИН(B5:B9)	=МАКС(C5:C9)	=МАКС(D5:D9)

Таблица 27.

Нормализованная матрица описания задачи

	A	B	C	D
14
15		К 1	К 2	К 3
16	А1	=(B10-B5)/(B10-B11)	=(C10-C5)/(C10-C11)	=(D10-D5)/(D10-D11)
17	А2	=(B10-B6)/(B10-B11)	=(C10-C6)/(C10-C11)	=(D10-D6)/(D10-D11)
18	А3	=(B10-B7)/(B10-B11)	=(C10-C7)/(C10-C11)	=(D10-D7)/(D10-D11)
19	А5	=(B10-B8)/(B10-B11)	=(C10-C8)/(C10-C11)	=(D10-D8)/(D10-D11)
20	А6	=(B10-B9)/(B10-B11)	=(C10-C9)/(C10-C11)	=(D10-D9)/(D10-D11)
21	W (важность критерия)	6	2	4

В табл.28 приводятся формулы расчета расстояния по нормализованным значениям усеченной матрицы альтернатив для различных степеней концентрации.

Этап расчета 3. На третьем этапе также строим идеальный А⁺ 14; 4; 2776 и наихудший А^- 7; 12; 5830 варианты уже по усеченному множеству (до 3) альтернатив (табл.29).

Таблица 29

Матрица описания задачи по сокращенному множеству альтернатив

Принтеры	Критерии
	К1	К2	К3
А1	12	12	4854
А3	7	4	2776
А6	14	6	5830

Определяем значения параметров крайних альтернатив:

Принтеры	Критерии
	К 1	К 2	К 3
идеальный объект А+	14	4	2776
наихудший объект А-	7	12	5830

Для сопоставления значений критериев необходимо перейти к нормированным единицам, т.к. критерии разнородные, преобразовав их по формуле

_j = (К⁺-К_j) / (К⁺- К^-).

Переходя к относительным значениям критериев, получим новую нормализованную матрицу (табл.30).

Таблица 30

Нормализованная матрица описания задачи по сокращенному множеству альтернатив

Принтеры	Критерии
	К1	К2	К3
А1	0,29	1	0,68
А3	1	0	0
А6	0	0,25	1

Опять зададим относительную важность критериев в виде весов:W₁ = 6, W₂ = 2, W₃ =4.

Для выявления ненаилучших вариантов найдем метрические свертки (расстояние до идеального варианта), используя следующую метрику:

Вычислим для наших объектов разные метрики, соответствующие различным стратегиям выбора, и значения запишем в таблицу (табл.31).

Таблица 31

Метрика расстояний по сокращенному количеству альтернативам

Значения меры расстояния	Степень концентрации (р)
	р=1	р=2	р=3	р=5	р=6	р=8
L(А1)	5,56	4,4723	4,32	4,29	4,29	4,29
L(А3)	6,00	4,4721	4,16	4,02	4,01	4,00
L(А6)	7,50	6,18	6,03	6,00	6,00	6,00

Чем больше значение L, тем ближе объект А_i к идеальному А⁺. Получим следующие ранжировки предпочтений по L.

Для р=1 А₆А₃А₁

Для р=2 А₆А₁А₃

Для р=3 А₆А₁А₃

Для р=5 А₆А₁А₃

Для р=6 А₆А₁А₃

Для р=8 А₆А₁А₃

Ненаилучшие решения в нашем случае - А₁ и А₃. Остался один доминирующий объект А₆, т.е. это и есть наилучшее решение в нашей ситуации.

Компьютерное решение данного фрагмента (3 уровня) решения приведено на рис.16.

Алгоритм формирования матрицы описания усеченной до 3 альтернатив задачи и расчета нормализованной матрицы по 3 этапу приведены в табл.32-33. В данных таблицах приводятся формулы выбора экстремальных уровней критериев по каждой альтернативе (в табл. 32, в координатах граф и строк, это - диапазон B8:D8 для выбора значений идеального варианта, B9:D9 - для выбора значений наихудшего варианта). В табл.33 приводятся формулы расчета нормализованных значений критериев по альтернативам.

Таблица 32

Матрица описания задачи (3 этап)

	А	B	C	D
3	Принтеры	Критерии
4		К 1	К 2	К 3
5	А 1	12	12	4854
6	А 3	7	4	2776
7	А 6	14	6	5830
8	идеальный объект А+	=МАКС(B5:B11)	=МИН(C5:C11)	=МИН(D5:D11)
9	наихудший объект А-	=МИН(B5:B11)	=МАКС(C5:C11)	=МАКС(D5:D11)

Таблица 33

Нормализованная матрица описания задачи

	A	B	C	D
12		Критерии
13		К 1	К 2	К 3
14	А1	=(B10-B5)/(B10-B11)	=(C10-C5)/(C10-C11)	=(D10-D5)/(D10-D11)
15	А3	=(B10-B7)/(B10-B11)	=(C10-C7)/(C10-C11)	=(D10-D7)/(D10-D11)
16	А6	=(B10-B9)/(B10-B11)	=(C10-C9)/(C10-C11)	=(D10-D9)/(D10-D11)
17	W (важность критерия)	6	2	4

В табл.34 приводятся формулы расчета расстояния по нормализованным значениям усеченной матрицы альтернатив для различных степеней концентрации.

Заключение

Принятие решения представляет собой генерирование альтернативных решений и определенных действий над множеством альтернатив, в результате которого исходное множество альтернатив сужается. Это действие называется «выбор», которое придает всей управленческой деятельности целенаправленность. Именно через элемент выбора реализуется подчиненность всей деятельности определенной цели или совокупности взаимосвязанных целей. При этом каждому ЛПР приходится участвовать в процессе управления и проводить этап принятия решений, т.е. выбирать и анализировать наиболее перспективные направления развития проблемы и оценивать ее последствия с точки зрения увеличения общей экономической эффективности предприятия, организации. Для реализации выбранной альтернативы в процессе управления необходим еще и этап организации принятия решения.

Решения являются универсальной формой управленческого поведения как отдельной личности, так и социальных групп. Эта универсальность объясняется сознательным и целенаправленным характером человеческой деятельности. Однако, несмотря на универсальность решений, их принятие в процессе управления экономической системой существенно отличается от решений, принимаемых в частной жизни.

Список литературы

1. Алдокин И.П., Бубенко И.В. Теория принятия решений.Киев: Наук. думка,1990.156 с.

2. Афоничкин А.И, Михаленко Д.Г. Управленческие решения в экономических системах: Учебник для вузов.- Спб.: Питер, 2009. - 480с.

3. Афоничкин А.И. Принятие управленческих решений в экономических системах. . Саранск, Изд-во МордГУ, 1998. - 184 с.

4. Афоничкин А.И. и др. Системы поддержки в теории и практике оценки управленческих решений. Саранск: Изд-во Мордов ун-та, 1995. - 224с.

5. Дорохов А.А. Теория принятия оперативных решений / МАИ. М., 1989. 40 с.

6. Евланов Л.Г. Основы теории принятия решений /МИФИ. М,.1979. 78 с.

7. Емельянов С.В. Многокритериальные методы принятия решений. М.: Наука, 1985. 217 с.

8. Кини Р., Райфа Х. 0 Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. М.: Радио и связь, 1981. 242 с.

9. Крылова Т.Б. Выбор партнера: анализ отчетности капиталистического предприятия. М.: Финансы и статистика, 1991. 160 с.

10. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: Аксиомы и модели. М.: Мир, 1991. 281 с.

11. Планкет Л.,Хейл Г. Выработка и принятие управленческих решений. М.: Мир, 1984. 167 с.

12. Разработка бизнес-приложений в экономике на базе MS EXCEL /Под общей редакц. А.И.Афоничкина. - М.: Диалог-МИФИ, 2003. - 416с.

13. Теория выбора и ринятия решений\ под ред И.М.Макарова. М.Наука, 1982г . 328с.

14. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. М.: Мир., 1978. 380 с.