Решение краевой задачи методом конечных разностей
Порядок и принципы составления дифференциального уравнения, методика нахождения неизвестных значений. Замена исходного дифференциального уравнения на систему n-линейных уравнений относительно n-неизвестных. Формирование и решение системы уравнений.
| Рубрика | Математика |
| Вид | задача |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 20.09.2013 |
| Размер файла | 118,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Решение краевой задачи методом конечных разностей
Задание
Решить дифференциальное уравнение y'' - xy' + 2y = 4,
при y(0)=0, y(1)=2, n=5
Решение
Теоретическое обоснование
Дифференциальное уравнение в общем виде выглядит так:
y'' + P(x) y' + Q(x) y = f(x)
для нашего исходного уравнения находим:
P(x)= - x
Q(x)= 2
f(x)= 4
Так как в общем случае найти аналитический вид функции y(x) в виде формулы невозможно, сделаем упрощение: будем искать значение у в некоторой точке xi. Разобьем интервал [xn; xk] на n-равных частей с шагом h:
h=
Используя обозначения y(xi) = yi, заменим y'(xi) и y''(xi) конечно-разностными выражениями для производных:
С помощью данных выражений для производных заменим исходное дифференциальное уравнение на систему n-линейных уравнений относительно n-неизвестных:
i = 1,2,3,…, n - 1
P(x)= pi
Q(x)= qi
f(x)= fi
+ pi + qi yi = fi
умножим полученное уравнение на h2:
yi-1 + yi + yi+1 = fi
введем следующие обозначения:
Ai = ; Bi = ; Ci =
получаем следующее уравнение:
yi-1 - yi + yi+1 = fi
составляем систему (n-1) - уравнений:
x0: y0 =yn
x1: A1y0-C1y1+B1y2 =f1h2
x2: A2y1-C2y2+B2y3 =f2h2
x3: A3y2-C3y3+B3y4 =f3h2
x4: A4y3-C4y4+B4y5 =f4h2
x5: y5 =yn
Получаем систему, которая имеет трехдиагональную матрицу коэффициентов. При решении такой системы можно применить метод прогонки.
Подставим во второе уравнение системы yo из первого уравнения и выразим из полученного y1:
y1 = y2 + ,
тогда можно вывести следующие коэффициенты:
1 = ; 1 = ;
затем подставим в третье уравнение системы выражение для y1 и выразим из этого уравнения y2, проделав аналогичные действия (n-1) раз, получим формулы для остальных неизвестных в общем виде:
i = ; i =
основное уравнение для выражения yi:
yi = iyi+1 + i
затем выполняем обратный ход прогонки, вычисляя yi.
Практическая часть
1. Метод прогонки
Из исходных данных y(0)=0, y(1)=2, n=5 найдем шаг сетки h:
h = 0,2
дифференциальный уравнение линейный
для заданного дифференциального уравнения:
P(x)= - x
Q(x)= 2
f(x)= 4
далее рассчитываем коэффициенты А, В и С:
Ai = 1 - (-xi); Bi = 1+(-xi); Ci = 2-2
из исходных данных и полученных результатов, построим таблицу следующих значений:
|
№ узла |
Xi |
p(x) |
q(x) |
f(x) |
A |
B |
C |
F |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
||||
|
1 |
0,2 |
-0,2 |
2 |
4 |
1,02 |
0,98 |
1,92 |
0,16 |
|
|
2 |
0,4 |
-0,4 |
2 |
4 |
1,04 |
0,96 |
1,92 |
0,16 |
|
|
3 |
0,6 |
-0,6 |
2 |
4 |
1,06 |
0,94 |
1,92 |
0,16 |
|
|
4 |
0,8 |
-0,8 |
2 |
4 |
1,08 |
0,92 |
1,92 |
0,16 |
|
|
5 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
2 |
Система уравнений записывается в виде:
Пользуясь полученными данными можно рассчитать прогоночные коэффициенты: прямой ход:
|
a |
b |
|
|
0 |
0 |
|
|
0,510416667 |
-0,083333333 |
|
|
0,691061788 |
-0,177564487 |
|
|
0,791595942 |
-0,293242806 |
|
|
0,863787814 |
-0,447575628 |
|
|
0 |
2 |
Пользуясь формулой yi = iyi+1 + i и полученными прогоночными коэффициентами, сделаем обратный ход прогонки для вычисления значений искомой функции:
|
Xi |
Y |
|
|
0 |
0 |
|
|
0,2 |
0,08 |
|
|
0,4 |
0,32 |
|
|
0,6 |
0,72 |
|
|
0,8 |
1,28 |
|
|
1 |
2 |
Полученные точки нанесем на координатные оси:
Проверка:
0=0
1,02*0-1,92*0,08+0,98*0,32=0,16
1,04*0,08-1,92*0,32+0,96*0,72=0,16
1,06*0,32-1,92*0,72+0,94*1,28=0,16
1,08*0,72-1,92*1,28+0,92*2=0,16
2=2
Аналитический метод:
Составим аналитическую модель решения в виде y=ax2+bx+c
|
a |
2 |
|
|
b |
0 |
|
|
c |
-8,88178E-16 |
Для проверки возьмем точку (1; 2)
y'=4x
y''=4
Подставляя эти значения в формулу y'' - xy' + 2y = 4 получаем:
4-1*(4*1)+2*2=4 => 4=4
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Последовательность решения линейной краевой задачи. Особенности метода прогонки. Алгоритм метода конечных разностей: построение сетки в заданной области, замена дифференциального оператора. Решение СЛАУ методом Гаусса, конечно-разностные уравнения.
контрольная работа [366,5 K], добавлен 28.07.2013Описание метода сведения краевой задачи к задаче Коши. Решение системы из двух уравнений с четырьмя неизвестными. Метод Рунге-Кутта. Расчет максимальной погрешности и выполнение проверки точности. Метод конечных разностей. Описание полученных результатов.
курсовая работа [245,2 K], добавлен 10.07.2012Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015Решение линейной краевой задачи методом конечных разностей (методом сеток). Замена области непрерывного изменения аргументов дискретным множеством узлов (сеток). Сведение линейной краевой задачи к системе линейных алгебраических уравнений (сеточных).
лекция [463,7 K], добавлен 28.06.2009Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.
контрольная работа [65,3 K], добавлен 15.12.2010Особенности решения обыкновенного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с заданными граничными условиями методом конечной разности. Составление трехдиагональной матрицы. Реализация решения в программе Microsoft Office Excel.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 23.12.2013Решение системы линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса. Решение задачи на нахождение производных, пользуясь правилами и формулами дифференцирования. Исследование заданных функций методами дифференциального исчисления.
контрольная работа [161,0 K], добавлен 16.03.2010Решение дифференциального уравнения методом Адамса. Нахождение параметров синтезирования регулятора САУ численным методом. Решение дифференциального уравнения неявным численным методом. Анализ системы с использованием критериев Михайлова и Гурвица.
курсовая работа [398,2 K], добавлен 13.07.2010Матричные уравнения, их решение и проверка. Собственные числа и собственные векторы матрицы А. Решение системы методом Жорданa-Гаусса. Нахождение пределов и производных функции, ее градиент. Исследование функции методами дифференциального исчисления.
контрольная работа [287,0 K], добавлен 10.02.2011Метод аналитического решения (в радикалах) алгебраического уравнения n-ой степени с возвратом к корням исходного уравнения. Собственные значения для нахождения функций от матриц. Устойчивость решений линейных дифференциальных и разностных уравнений.
научная работа [47,7 K], добавлен 05.05.2010
