Методические особенности изучения квадратного трехчлена на уроках алгебры в 7-9 классах

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Выпускная квалификационная работа

Методические особенности изучения квадратного трехчлена на уроках алгебры в 7-9 классах

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

I. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН

I.1 Понятие квадратного трехчлена и квадратичной функции

I.2 Решение квадратных уравнений

I.3 Решение квадратных неравенств

I.4 Решение квадратных уравнений и неравенств с параметрами

II. Методика изучения квадратного трехчлена в основной общеобразовательной школе

Заключение

Библиографический список

квадратное уравнение трехчлен квадратичная функция

ВВЕДЕНИЕ

Тема «Квадратный трехчлен» занимает в курсе алгебры одно из центральных мест. Задания по этой теме - непременный атрибут любого экзамена, и вступительных экзаменов в вуз, в частности.

Главной целью занятий по математике является расширение и углубление знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей. Процесс обучения основан на совместной исследовательской деятельности учащихся.

Большую роль в развитии математического мышления учащихся на занятиях играет изучение темы «Квадратный трехчлен». Это понятие вообще является одной из основных в школьном курсе математики. Но в реализации этой линии в частности, как? и когда? знакомить учащихся с понятием «квадратный трехчлен», возможны различные подходы и точки зрении.

Впервые о квадратном трехчлене говорится в 7 классе. После этого линия квадратного трехчлена постоянно поддерживается.

Поэтому квадратный трехчлен играет большую и важную роль не только в школьном курсе алгебры, но и в дальнейшем обучении в учебных заведениях. Задачи по этой теме так же непременно включают в варианты вступительных экзаменов в ВУЗы. И хочется отметить важность этого небольшого раздела школьного курса заключается в его чрезвычайно широких областях применения.

Тема моей курсовой работы: «Методические особенности изучения квадратного трехчлена на уроках алгебры в 7 - 9 классах».

Цель исследования: Проанализировать степень усвоения квадратного трехчлена на примерах заданий на повторение.

Область исследования - элементарная математика.

Объект исследования - алгебра.

Предмет исследования - квадратичная функция.

Задачи исследования:

- Рассмотреть тематическое планирование по разным учебникам.

- Проанализировать степень трудности заданий по одному из учебников.

- Проанализировать степень усвоения данной темы на примерах заданий на повторение.

Гипотеза: Если на каждом уроке алгебры выполнять с учащимися задания, связанные с квадратным трехчленом, то степень усвоения квадратного трехчлена значительно улучшится.

Глава I. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН

I.1 Понятие квадратного трехчлена и квадратичной функции

В различных источниках, понятие «квадратного трехчлена», дается по - разному. В одних, квадратный трехчлен - это многочлен второй степени с одной переменной

ax² + bx + c, (1)

где x- переменная; a,b - коэффициенты, с- свободный член, a0. В других, квадратным трехчленом относительно x называется выражение вида ax²+bx+c, где a,b,c - некоторые числа, причем a0. Числа a,b,c называются коэффициентами квадратного трехчлена. В дальнейшем будем предполагать, что a,b,c - действительные числа.

Значения x, при которых квадратный трехчлен ax² + bx + c обращается в нуль, называются корнями трехчлена. Таким образом, для нахождения корней квадратного трехчлена нужно решить квадратное уравнение:

ax² + bx + c = 0. (2)

Напомним, каким образом находятся корни квадратного уравнения; при этом мы несколько уточним факты, обычно излагаемые в школьном курсе. Для решения квадратного уравнения пользуются приемом «выделение полного квадрата», то есть записывают его в виде (напомним, что a 0):

ax² + bx + c = a(x² + x) + c = a (x² + 2x) + c = a (x² + 2x + ) + c - = a (x + )² -

Таким образом, уравнение ax² + bx + c=0 можно записать в виде:

a (x+)² - = 0,

Или (перенося дробь в правую часть и поделив на a ) в виде:

(x + )² = (3)

При этом уравнение (3) равносильно уравнению ax² + bx + c = 0, то есть имеет те же корни, что и уравнение ax² + bx + c.

В самом деле, если некоторое число x удовлетворяет уравнению

ax² + bx + c = 0

то как показывают проведенные выкладки, оно удовлетворяет и уравнению (3) . Но эти выкладки можно провести и в обратном порядке, то есть если число x удовлетворяет уравнению (3), то оно удовлетворяет и уравнению

ax² + bx + c = 0.

Иными словами, равенство ax² + bx +c = 0 представляет собой неопределенное высказывание, которое для одних значений x (а именно для корней трехчлена) является истинным, а для других - ложным. Эквивалентность уравнений

ax² + bx + с = 0 и (3) заключается в том, что эти два неопределенных высказывания одновременно истинны и ложны. Итак, остается решить уравнение (3). Обычно число b² - 4ac обозначают через «D» и его называют дискриминантом квадратного трехчлена.

Таким образом, уравнение (3) можно записать так:

(x + )² =, где D=b²- 4ac (4)

Теперь предлагаются три различных случая - в зависимости от того, каким является число D:

А) Если число D положительно, то положительно и число . Поэтому существуют два числа, квадрат каждого из которых равен : это будут числа и -(где, как всегда, - арифметический корень из положительного числа D). Но согласно (4) x+ как раз есть такое число, квадрат которого равен . Значит, x удовлетворяет уравнению (4) в двух случаях:

1) если x + = (и тогда x = )

2) если x + = (и тогда х = )

Итак, при D>0 уравнение (4), а значит и уравнение ax² + bx + c = 0, имеет два корня:

X₁=, X₂=, Где D=b²-4ac (5)

Заметим, что в этом случае оба корня x₁, x₂ действительны, причем x₁ x₂ (то есть уравнение в самом деле имеет два корня).

Б) если число D равно нулю, то уравнение (4) принимает вид:



Но квадрат числа равен нулю только в том случае, если само число равно нулю, и поэтому мы отсюда получаем

x = 0, или x = -.

Итак, при D=0 уравнение (4), а значит и уравнение x² + bx + c = 0, имеет только один корень x = -, то есть существует только одно число ( а именно -), удовлетворяющее этому уравнению. Однако в целях единообразия считают, что и в этом случае уравнение ax² + bx + c = 0 имеет два корня, только они оба совпадают. Иными словами, условно считают, что и при D = 0 уравнение ax² + bx + c = 0 имеет два корня:

X₁ = X₂ = -

Заметим, что то же получается и из формул (5), поскольку D = 0. Таким образом, если мы условимся при D = 0 считать корень X = - два раза (или, как еще говорят, уславливаемся считать его двукратным корнем), то формулы (5) для корней сохраняют силы и в этом случае. Мы увидим, что и во многих дальнейших случаях это соглашение (считать при D = 0 корень двукратным) оказывается очень удобным: иначе во многих теоремах приходилось бы делать специальные оговорки, относящиеся к этому случаю. Поэтому в математике всегда принято считать, что при D = 0 уравнение ax² + bx + c = 0 имеет два совпадающих корня. Однако отдаем себе ясный отчет в том, что это лишь условное соглашение: при D = 0 из всех действительных чисел только одно ( а именно - ) удовлетворяет уравнению ax² + bx + c = 0.

В) Осталось рассмотреть случай, когда D отрицательно. В этом случаи и число отрицательно. А так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, то, значит, в этом случае уравнение ax² + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Как мы знаем, существует два комплексных числа, квадрат каждого из которых равен отрицательному числу D. Эти числа являются чисто мнимыми и притом сопряженными. Если мы условимся одно из них (безразлично, какое) обозначать через , то другое будет равно

-. Тогда числами, квадрат каждого из которых равен отрицательному числу ,будут чисто мнимые числа и - (а других таких чисел не существует). Но согласно (4) x + есть число, квадрат которого равен.

Следовательно, x удовлетворяет уравнению (4), а значит и уравнению

ax² + bx + c = 0, в двух случаях:

1)Если x + (и тогда x = );

2)Если x + (и тогда x = ).

Таким образом, и в этом случае (то есть при D < 0) уравнение ax² + bx +c = 0

Имеет два корня, вычисляемые по формулам (5) и являющиеся комплексно сопряженными числами. Еще раз подчеркну, что это утверждение имеет лишь условный смысл - если мы уславливаемся через обозначать какое-либо одно из комплексных чисел, квадрат которого равен отрицательному числу D. Это, в самом деле, лишь условное соглашение, так как знак «» используется, по определению, для обозначения арифметического корня из положительного действительного числа, а в комплексной области этот знак однозначного смысла не имеет. Тем не менее, уславливаются при решении квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом всегда считать, что обозначает одно из двух чисел, квадрат которого равен D. Тогда формулы (5) для корней сохраняют смысл и при D <0.

Квадратный трехчлен тесно связан с квадратичной функцией.

Функция вида

f (x) = ax² + bx + c (6)

где a ?0, b и c - постоянные, а переменная x принадлежит множеству R действительных чисел, называется квадратичной функцией.

Из определения ясно, что квадратичной является и каждая из функций

F(x) = ax² + bx, ( где b0, с?0),

y = ax² + c , (где b=0, c = 0)

УТВЕРЖДЕНИЕ №1

Если a?0, то

ax² +bx +c= a x+ (7)

Это тождество легко доказать преобразованием правой части. Немного труднее преобразование левой части путем выделения точного квадрата. Используя это утверждение и равенство (6), можно записать такую схему:

На основании равенства (7) легко доказать следующее утверждение:

УТВЕРЖДЕНИЕ № 2

Квадратичная функция при:

А) a>0 имеет глобальный минимум

y₀ = , при x₀ = -;

Б) a<0 имеет глобальный максимум

y₀ = , при x₀ = -

Ясно, что в каждом из двух случаев соответствующий экстремум является единственным и совпадает с наибольшим или наименьшим значением функции на R. Утверждение № 2 можем толковать и в связи с графиком квадратичной функции: при традиционном расположении координатной системы на плоскость. ( -; ) при a>0 является самой нижней точкой графика функции, а при a<0 - самой верхней точкой графика.

УТВЕРЖДЕНИЕ №3

Квадратичная функция при:

a) a >0 убывает на промежутке

D₁ = (- ?; -] и возрастает на промежутке

D₂ = [- ; + ?);

б) a<0 возрастает на промежутке D₁ и убывает на промежутке D₂.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Докажем, что при a 0 на интервале D₁ убывает. Дадим произвольные различные значения x₁ и x₂ переменной, и для определенности пусть

x₁ x₂ - (8)

Обозначим a ( x₁+ ) + через f (x₁), а a( x₂ + )² +

через f (x₂). Тогда достаточно доказать, что f (x₁) f (x₂).

На основании (8) последовательно находим

x₁ + x₂ + 0,

откуда

-(x₁ + ) -(x₂ + ) 0, (x₁ + )² (x₂ + )²,

a (x₁ + )² + a (x₂ +)² + ,

то есть f (x₁) f (x₂). Следовательно, на интервале D₁ квадратичная функция убывает.

К этому выводу короче можно прийти следующими рассуждениями:

f (x₂) - f (x₁) = a (x - x) + b (x₂ - x₁) =

( x₂ - x₁) (a (x₂ + x₁) + b) (x₂ - x₁) ( a (x₂ - x₁) (a ( -) + b ) = 0,

откуда, f (x₁) f (x₂).

Аналогичным образом рассматриваем и остальные случаи. При помощи производной функции утверждения 3 можем доказать, используя необходимое и достаточное условие убывания или возрастания функции. Утверждение 2 доказывается с использованием производной функции, точнее, с помощью достаточного условия существования локального экстремума.

Далее, предварительно вспомнив определение графика функции, можем приступить к изучению свойств графика квадратичной функции с рассмотрения еще одного утверждения.

УТВЕРЖДЕНИЕ № 4

График квадратичной функции f(x) = ax² + bx + c симметричен относительно прямой q₀, которая проходит через точку А (-; 0) и параллельна оси ординат (или совпадает с ней).

Чтобы доказать это утверждение, даем два произвольных значения x₁ и x₂ переменной, симметричных относительно точки x₀ = -, и, используя равенство (7), находим, что соответствующие значения функции равны. Можем также дать произвольное значение x₃ переменной, получив точку P(x₃; f(x₃)) графика функции, и показываем, что точка Q, симметричная точке P относительно прямой q₀, тоже принадлежит графику.

График квадратичной функции является кривой линией, которая называется параболой. Прямая q₀ и (-; ) называются соответственно осью и вершиной параболы. Известно, что ось абсцисс содержит те и только те точки, ординаты которых равны 0. Значит, чтобы установить, при каких значениях аргумента x квадратичная функция принимает значения, равное 0, нужно проверить, имеет ли парабола хотя бы одну общую точку с осью абсцисс тогда и только тогда, когда ордината ее вершины ? 0, то есть когда b²-4ac ? 0. Число b² - 4ac обозначается через D и называется дискриминантом, как квадратичной функции, так и квадратного уравнения:

ax² + bx + c = 0 (9)

Следовательно, если a>0, то:

При D>0 уравнение (9) имеет различные действительные корни x₁ и x₂;

При D=0 уравнение (9) имеет один действительный корень;

При D<0 уравнение (9) не имеет действительных корней.

Если a 0, парабола имеет хотя бы одну общую точку с осью абсцисс тогда и только тогда, когда ордината ее вершины ? 0, то есть когда

4ac - b² ? 0 или когда D ? 0.

Таким образом, снова получаем тот же вывод.

Из этих рассуждений и утверждений 2 и 3 следует, что при a 0 возможны такие случаи:

А) При D 0 и x₁ x₂ функция принимает значения, равные 0, для значений переменной x₁ и x₂, положительные значения для каждого

x ( - , x₁) ( x₂; + ),

отрицательные значения для каждого x (x₁; x₂).

Б) При D = 0 функция принимает значение, равное 0, только для значений переменной x₁ и x₂ = -, положительные значения для каждого x - ; В) При D 0 функция принимает положительное значение для каждого значения переменной. Аналогично, если a 0, то:

А) При D 0 и x₁ x₂ функция принимает значение, равное 0, для значений переменной x₁ и x₂, отрицательные значения для каждого

x ( - ; x₁ ) ( x₂; + ), положительные значения для каждого

x ( - ; x₁ ) ( x₂; + ), положительные значения для каждого x ( x₁;x₂ ).

Б) При D = 0 функция принимает значение, равное 0, только для значения переменной x₁ = x₂ = -, отрицательные значения для каждого x - ;

В) При D 0 функция принимает отрицательные значения для каждого значения переменной.

Можно особо отметить, что если D 0, то для каждого значения переменной знак значения функции совпадает со знаком коэффициента a.

Все эти свойства, содержащиеся в утверждениях 1 - 3, могут быть отражены в схеме, изображенной на рисунке (на каждом из чертежей ось ординат не показана, поэтому, что это обычно не имеет существенного значения при рассмотрении указанных свойств).

Таким образом, тема: «квадратный трехчлен» является основной в курсе алгебры, которая теснейшим образом связана с квадратичной функцией. Изложенный выше материал полезен для дальнейшей работы с квадратными неравенствами (по одному возможному способу при помощи графика квадратичной функции) и до некоторой степени с квадратными уравнениями.

I.1 Понятие квадратного трехчлена и квадратичной функции

Уравнение, в котором левая часть есть многочлен второй степени относительно неизвестного x, а правая часть равна нулю, называется квадратным.

Общий вид квадратного уравнения

ax² + bx + c = 0.

Числа a, b и c называются коэффициентами квадратного уравнения; из них

a - первый коэффициент, или коэффициент при старшем члене, b - второй коэффициент, или коэффициент при неизвестном в первой степени, c - свободный член. Число x₀, обращающее квадратный трехчлен ax² + bx + c в нуль, называется корнем квадратного трехчлена, а также и корнем квадратного уравнения

ax² + bx + c = 0.

Квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 1, то есть уравнение вида

x²+ px + q = 0.

Для приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0.

Формула корней имеет вид:

X_1,2 = -

а для уравнения ax² + b + c = 0 ( с четным коэффициентом при x ) - вид

x_1,2 =

Для коэффициентов и корней квадратного уравнения ax² + b + c = 0, где a? 0 выполняются соотношения:

x + x = -

x₁ x₂ =

Эти соотношения называют теоремой Виета, по имени французского математика Ф. Виета (1540 - 1603г).

Особенно удобна эта теорема для приведенного квадратного уравнения:

x₁ + x₂ = - p ; x₁x₂ = q

Уравнение второй степени умели решать еще в Древнем Вавилоне во 2-ом тысячелетии до н. э. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид - при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях.

Например, корни трехчлена y = 2x² - 5x - 3 равны x₁ = - и x₂ = 3,

так как y(-) = 2(-)² - 5(-) - 3 = 0

и y(3) = 2 Ч 3² - 5 Ч 3 - 3 = 0

По - другому мы скажем, что квадратное уравнение 2x² - 5x - 3 = 0 имеет два корня: x₁ = -; x₂ = 3.

Неполные квадратные уравнения.

Типы неполных квадратных уравнений.

Если в квадратном уравнении общего вида ax² + bx + c = 0 один из двух коэффициентов, b или c, равен нулю или оба одновременно равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным.

Возможны три типа неполных квадратных уравнений:

1) ax² + bx + c = 0 ( c = 0, a ? 0, b ? 0 )

2) ax² + c = 0 ( b = 0, a ?0, c ? 0 )

3) ax² = 0 ( a ? 0, b = c = 0 ).

Решение неполных квадратных уравнений.

1) Уравнение ax² + bx = 0 решается разложением левой части на множители:

x (ax + b ) = 0. Произведение обращается в нуль, если один из множителей равен нулю; поэтому либо x = 0, либо ax + b = 0, откуда x = -.

Итак, неполное квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 имеет два корня:

x₁ = 0, x₂ = -

Пример:

4x² - 3x = 0, x₁ = 0, x₂ =

2) Уравнение ax² + c = 0 почленным делением на a и члена в правую часть приводим к виду: переносом свободного

x² = -, x = .

Если коэффициенты a и c имеют противоположные знаки, то 0, а потому неизвестное x имеет два действительных значения, противоположных по знаку:

x₁ = -, x₂ = .

Примеры:

1) 4x² - 9 = 0, x₁ = - = -.

2) 3x² + 5 = 0, x² = -. Данное уравнение корней не имеет, так как нет такого действительного числа x , квадрат которого равен отрицательному числу -. В таких случаях говорят, что корни мнимые.

3) аx² = 0, a ? 0, то x² = 0, x = 0. Говорят, что число 0 является двукратным корнем уравнения ax² = 0, то есть x₁ = x₂ = 0.

Биквадратные уравнения.

Уравнение четвертой степени, содержащее только четные степени неизвестного, называется биквадратным. Общий вид такого уравнения

ax⁴ + bx² + c = 0 (a ? 0 ).

Решение такого уравнения сводится к решению двух квадратных уравнений, о чем говорит само название (биквадратное означает «двойное квадратное»). Отметим, что если биквадратное уравнение имеет корень x₀, то оно имеет также и корень - x₀, то есть корни биквадратного уравнения попарно противоположны.

В самом деле, если x₀ есть корень, то подстановка в уравнении н6а место x числа x₀ дает справедливое равенство

ax+ bx + c = 0, (1)

но тогда справедливо и другое равенство:

a (- x₀)⁴ + b (- x₀)² + c = 0, (2)

так как левые части у равенств (1) и (2) одинаковы.

Чтобы решить биквадратное уравнение, введем вспомогательное неизвестное z, полагая z = x², z² = x⁴. Тогда уравнение примет вид

az² + bz + c = 0.

Это - квадратное уравнение относительно вспомогательного неизвестного z, и его корни

z₁ = , z₂ = .

Но z₁ = x² и z₂ = x², откуда

x_{1,2 = ,} x_3,4 =

Таким образом, биквадратное уравнение имеет четыре корня, причем корни x₁ и x₂, x₃ и x₄ попарно противоположны, то есть сумма каждой пары корней равна нулю, а потому и сумма всех четырех корней равна нулю.

Эти формулы можно объединить в одну:

x_{1, 2, 3, 4} = .

Пример. 2x⁴ - 19x² + 9 = 0.

z = x², 2z² - 19z + 9 = 0,

z₁ =, z₂ = 9; x_1,2 = _, x_3,4 = 3.

Исследование корней биквадратного уравнения.

Характер корней биквадратного уравнения

ax⁴ + bx² + c = 0 (3)

зависит от того, каковы корни вспомогательного квадратного уравнения

az² + bz + c = 0 (4)

1. Предположим, что a >0 и дискриминант уравнения (4) положителен:

D = b² - 4ac > 0. Тогда при c > 0 и b < 0 оба корня положительны:

z₁ > 0 и z₂ > 0, и биквадратное уравнение (3) имеет четыре действительных корня, так как

x_1,2 = , x_3,4 = .

2. Если a > 0, D > 0, c > 0 и b > 0 , то z₁ < 0, z₂ < 0. Все четыре корня биквадратного уравнения мнимы. 3. При a > 0, D > 0, c < 0 квадратное уравнение (4) имеет один корень положительный, другой - отрицательный, z₁ < 0 и z₂ > 0, поэтому одна пара корней x₃ и x₄ - действительная, другая x₁ и x₂ - мнимая.

Разложение квадратного трехчлена на множители.

Пользуясь свойствами корней квадратного уравнения, можно всякий трехчлен с действительными корнями разложить на множители:

ax² + bx + c = a (x² + x + ) = a [x² - (x₁ + x₂)x + x₁x₂] = a [(x² - x₁x₂) - (x₂x - x₁x₂)] = a [x (x - x₁) - x₂ (x - x₁)] = a (x - x₁) (x - x₂).

Пример:

2x² + 5x - 3 = 2 (x + 3) (x - ).

Корни трехчлена: x₁ = -3, x₂ = .

Таким образом, мы рассмотрели различные виды квадратных уравнений, которые тесным образом связаны с квадратным трехчленом.

I.3 Решение квадратных неравенств

Неравенство вида

ax² + bx + c = 0,(1)

где а, b, с -- действительные числа, а ? 0, будем называть квадратным неравенством.

Если вместо x в левую часть неравенства (1) подставить некоторое действительное число x₀, то получим числовое неравенство ax + bx₀ + c > 0, которое при одних значениях x₀ может оказаться верным, а при других -- неверным.

Иначе говоря, неравенство (1) можно рассматривать как неопределенное высказывание, которое для одних значений x является истинным, а для других -- ложным. Число x₀ назовем решением неравенства (1), если при подстановке вместо x числа x₀ получается верное числовое неравенство ax² + bx + c >0, то есть если квадратный трехчлен ax² + bx + c при x = x₀ принимает положительное значение.

Решить неравенство (1) -- значит найти все решения этого неравенства.

Если использовать график функции y = ax² + bx + c, то решение неравенства (1) сводится к отысканию всех тех значений x для которых точки графика функции y + ax² + bx + c лежат выше оси абсцисс.

Наряду с неравенствами вида (1) можно рассматривать, например, такие неравенства:

ax² + bx + c < 0, (2)

aх² + bх + с ? 0, (3)

ax² + bx + c ? 0, (4)

a₁x² + b₁x + с₁ > а₂х² + b₂х + с₂ (5)

Эти неравенства мы также будем называть квадратными (если в (5) а₁ = а₂, то это неравенство становится линейным).

Введем следующее определение. Два квадратных неравенства будем называть равносильными, если эти неравенства имеют одни и те же решения, то есть если всякое решение первого неравенства является решением второго и, обратно, всякое решение второго неравенства является решением первого.

Из этого определения следует, что

а)неравенство ax² + bx + c < 0 равносильно неравенств - ax² + bx + c > 0;

б)неравенство a₁x² + b₁x + c₁ > a₂x² + b₂x + c₂ равносильно неравенству

(a₁ - a₂) x² + ( b₁ - b₂) x + c₁ - c₂ > 0

(при любых действительных a₁, a₂, b₁, b₂, c₁, c₂).

Докажем, например, первое из этих утверждений.

Пусть x₀ -- решение неравенства ax² + bx + c < 0; тогда ax + bx₀ + c < 0 -- верное числовое неравенство. Умножив обе части этого неравенства на -1, в силу свойств неравенств получаем - ax - bx₀ - c > 0, откуда видно, что x₀ -- решение неравенства - ax² - bx - c > 0.

Обратно, если x₁-- решение неравенства - ax²- bx - c > 0,

то - ax - bx₁ - c > 0 -- верное числовое неравенство, откуда находим ax + bx₁ + c < 0, то есть x₁ -- решение неравенства ax² + bx +c < 0.

Перейдем к нахождению решений квадратных неравенств. Мы ограничимся рассмотрением строгих неравенств, то есть неравенств, содержащих знаки « > » или « < ». Такими являются неравенства (1), (2), (5). В отличие от строгих неравенства вида (3), (4) называют нестрогими.

Заметим, что всякое строгое квадратное неравенство можно привести к одному из следующих видов:

a) ax² + bx + c >0 при a >0; (6)

б) ax² + bx + c < 0 при a >0. (7)

Действительно, если a < 0, то неравенство ax² + bx + c > 0, по доказанному выше, равносильно неравенству

a₁x² + b₁x + c₁ < 0,

где a₁ = -a, b₁ = -b, c₁ = -c, причем a₁ > 0 (то есть равносильно неравенству вида (7)).

Аналогично, при а < 0 неравенство ax² + bx + c < 0 умножением на -1 сводится к равносильному неравенству вида (6).

Итак, рассмотрим неравенства (6) и (7), в которых, а > 0.

Исследование квадратного трехчлена позволяет утверждать, что

1) если D < 0, то неравенство (6) имеет место при всех действительных x, а неравенство (7) не имеет решений.

2)если D=0, то неравенство (6) имеет место при всех x, кроме x = - ,

а неравенство (7) не имеет решений;

3)если D > 0, то неравенство (6) выполняется при x < x₁ и x > x₂

( то есть вне отрезка [ x₁, x₂ ], где x₁ < x₂ -- корни трехчлена),

а неравенство (7) выполняется при x₁ < x < x₂ ( т о есть на интервале ( x₁, x₂)).

Итак, при а > 0 неравенство ax² + bx + c > 0 выполняется всегда, кроме случая, когда

D ? 0 и x₁? x ? x₂, а неравенство ax² + bx + c < 0 при а > 0 имеет место лишь тогда, когда

D >0 и x₁ < x< x_.

Пример 6. Решить неравенство x² - 5x + 6 > 0.

Решение. Имеем D = 5² -- 6·4=1 > 0.

Решив уравнение x² -- 5x + 6 = 0, находим его корни: x₁ = 2, x₂ = 3.

Так как, а= 1 > 0, то неравенство имеет место при x < 2 и x > 3.

Этот же результат можно получить из разложения

x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).

Наконец, решение неравенства можно найти графически: график функции

y = x² - 5x + 6 пересекает ось Оx в точке x₁ = 2 и x₂ = 3 и расположен выше оси Оx при x < 2 и x > 3.

Пример 7. Решить неравенство 6x - 9 < x².

Решение. Неравенство равносильно следующему:

x² - 6x + 9 >0 или ( x - 3)² > 0;

оно выполняется при всех x, кроме x = 3.

Пример 8. Решить неравенство 2х² + 4x + 3 < 0.

Решение. Так как D=16 -- 24<0 и а = 2 > 0, то данное неравенство не имеет решений.

Пример 9. Решить неравенство x² ? 4x - 4.

Решение. Неравенство равносильно следующему: x² - 4x + 4 ? 0 или

( x-2)² ? 0; оно имеет место лишь при x = 2.

Таким образом, можно сделать вывод, что квадратные неравенства, которые тесным образом связаны с квадратным трехчленом, имеют не маловажное значение и играют очень важную роль при сдаче ЕГЭ и при поступлении в Вузы, а также играют большую роль в развитии математического мышления учащихся и вызывают интерес к теме.

I.4 Решение квадратных уравнений и неравенств с параметрами

Решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами

Квадратные уравнения и неравенства - одни из важнейших понятий математики. В большинстве практических и научных задач, где какую - то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить соотношение (или несколько соотношений), которым оно удовлетворяет. Так получают уравнение (или систему уравнений) для определения неизвестной величины.

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами встречаются во многих вступительных и выпускных экзаменах. Но в учебниках школьного курса слишком мало практики, на мой взгляд, для успешного выполнения данных уравнений и неравенств на экзамене.

Рассмотрим несколько примеров квадратных уравнений и неравенств с параметрами, чтобы лучше понять, в чем состоит суть их решения.

При решении квадратных уравнений с параметрами рассматриваются два случая:

1) Первый коэффициент равен нулю, тогда квадратное уравнение превращается в линейное;

2) Первый коэффициент не равен нулю.

Решим уравнение 1.

(a - 1) x² + 2 (2a +1) x + (4a + 3) = 0

Решение. В данном случае контрольным является значение a = 1. Дело в том, что при a = 1 это уравнение является линейным, а при a ? 1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения.) Значит, целесообразно рассмотреть уравнение как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) a = 1; 2) a ? 1.

Рассмотрим эти случаи.

1) При a = 1 уравнение примет вид 6x + 7 = 0.

Из этого уравнения находим x = -.

2) Из множества значений параметра a ? 1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения обращается в 0.

Дело в том, что если дискриминант D = 0 при a = a₀, то при переходе значения D через точку a₀ дискриминант может изменить знак ( например, при a a₀ D 0). Вместе с этим при переходе через точку a₀ меняется и число действительных корней квадратного уравнения ( в нашем примере при a a₀ корней нет, так как D 0, а при a a₀ D 0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.

Составим дискриминант уравнения:

D = 4 (2a + 1)² - 4 ( a - 1)( 4a + 3 ) = 16a² + 16a + 4 - 16a² + 16a - 12a + 12 = 20a + 16 = 4 (5a +4 )

При a = -, D = 0; уравнение имеет корень x =

При a - , D ? 0 уравнение не имеет действительных корней.

При a - , D 0 уравнение имеет два различных действительных корня.

X = - (2a + 1)

Таким образом, если a -, то действительных корней нет, если a = 1, то x = -.

2. Найти все значения параметра а, при которых уравнение

|x² - 1| + |x² - x - 2| - x - a = 0 имеет три различных корня.

Решение.

Переписав уравнение в виде |x² - 1|+|х² - x - 2|= x + a и рассмотрев пару функций

f(x) =|х² -1|+| x² - x - 2|, g(x) = x + a, можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции g(x), при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции f(x).

3. Найти все значения параметра a.

ax² + 2x(a +3) + a + 2 = 0,

поделим на a

x² + 2()x + (1 + ) = 0,

пусть x₁, x₂ - корни уравнения

x₁x₂ =

x₁ + x₂ = -

так как x₁ ? 0 и x₂ ? 0, то

x_1,2 ? 0 и x₁ + x₂ ? 0



Ответ: x ? 0 при a -3 ; -2 .

Таким образом, для успешного решения уравнений с параметрами необходимо последовательно рассматривать решение от простых уравнений, решение которых можно изобразить графически к более сложным уравнениям, где требуется абстрактное представление и выбор конкретного решения.

Способы решений неравенств с параметрами.

1) При каких значениях параметра a имеет решение система

x² + (5a +2)x + 4a² + 2a 0 (1)

x² + a² = 4 (2)

Решение:

Найдем корни трехчлена левой части неравенства -

x₁ = -4а - 2, х₂= -а(*)

Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчленx² + (5a + 2)x + 4a² + 2a = (x + 4a + 2)(x + a)

сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихованной области с окружностью, где

a (a₁; a₂) ( a₃ ; a₄ ), а значения a₁ и a₄ находятся из системы

x + a = 0

x² + a² = 4

а значения a₁ и a₄ находятся из системы

x + 4a + 2 = 0

x² + a² = 4

Решая эти системы, получаем, что

a₁ = , a₄ = , a₂ = -, a₃ = 0.

Ответ: a ( - ) ( 0; ).

2) Решить неравенство

Решение:

Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)

2a - 3 ? 0 2x + 1 ? 0

a ? x ? -

Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству:

 =

Разложим числитель на множители:

a² - 3а + 2 = 0

т. к. а₁ = 1, а₂ = 2, то

=

Разделим обе части равенства на (1 - a) при a ? 1. Но a = 1 является решением: левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при

x R.

2ax + 2a - 3x -3 = 2ax + a - 4x - 2

x = 1- x

Строим в ПСК хОа графики функций

a , x , a = 1, x = 1- a

и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять областей.

Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку из области и подставляем в неравенство.

Для наглядности составим таблицу.

№	точка	неравенство:	вывод
1	( 2; 0)	0 -1	-
2	( 2; -)	0	+
3	( 2; -2 )	0	-
4	( ; -1 )	0	+
5	( 0; -1)	0	-
6	( 0; 0 )	1	+
7	( 0; 2 )		-
8	( ; 0 )		+

Найдем точки пересечения графиков

a₁ = 1 ; a₂ =

Зададим прямую a = сonst и будем сдвигать её от - до + .

Ответ:

при a 1 x 1 - a

при a = 1 x R

при 1 a x

x 1 - a

при a = решений нет

при a 1 - a x -

Таким образом, для успешного решения квадратных неравенств и уравнений с параметрами необходимо последовательно рассматривать решение от простых неравенств и уравнений к более сложным, где требуется абстрактное представление и выбор конкретного решения.

Таким образом, видно, что квадратный трехчлен является неотъемлемой частью курса алгебры. На решении квадратного трехчлена строится решение многих практических задач, необходимых для жизни. Также на этом материале строится дальнейшее изучение курса математики в школе, техникуме и ВУЗе.

Квадратный трехчлен является важным элементом в курсе алгебры, так как он тесным образом связан с квадратичной функцией, квадратным уравнением и квадратными неравенствами. Изучение этих тем необходимо, так как решение различных заданий из данных тем способствуют развитию логического мышления, что ведет за собой и развитие ребенка в целом.

Все это доказывает, что в школе необходимо изучать квадратный трехчлен более подробно, так как они помогут учащимся сдать как выпускные, так и вступительные экзамены.

Глава II. Методика изучения квадратного трехчлена в основной общеобразовательной школе

Мы рассматривали методику изучения квадратного трехчлена в основной общеобразовательной школе по двум учебным пособиям: 1) учебник под редакцией Ю. Н. Макарычева, 2) учебник под редакцией А. Г. Мордковича, где выяснили, что разные авторы, по-разному предлагают изучение данной темы.

Я считаю целесообразно показать в своей выпускной квалификационной работе методику изучения квадратного трехчлена по двум учебным пособиям, начиная с 7-го класса, то есть провести сравнительный анализ.

В 7 классе, по учебнику Ю. Н. Макарычева, начинается изучение функции вида y = x² и y = x³, в теме «Одночлены», тем самым, подготавливая учащихся к изучению темы «Квадратный трехчлен», в главе: «Степень с натуральным показателем», на которую отводится 18 часов. Рассмотрим фрагмент урока:

- Ребята, вы изучали функцию, которая задается уравнением вида

y = kx + m с двумя переменными x, y.

- Какую функцию задает это уравнение?

+ Линейную функцию.

- Как вы думаете, не встречаются ли математические модели такого же плана, но такие, у которых «y» выражается через «x» не по формуле y = kx + m, а иным способом?

- Пусть x - сторона квадрата, а y - его площадь. Как выразить y через x?

+ y = x²

- Пусть x - сторона куба, а y - его объем. Как выразить y через x?

+ y = x³.

Говоря об учебнике 7 класса, под редакцией А. Г. Мордковича, можно сказать, что на изучение данной темы отводится отдельная глава «Функция y = x² »:

1. Функция y = x² и ее график.

2. Графическое решение уравнений.

3. Что означает в математике запись y = f (x).

Но следует отметить тематическое планирование по учебнику «алгебра 7-го класса» под редакцией А. Г. Мордковича, рассчитывая по 3 часа в неделю. Основная цель: дать учащимся представление о том, что в математике, кроме линейных функций встречаются и другие функции, например y = x² и кусочные функции; познакомить учащихся еще с двумя свойствами функций: непрерывность функции, область определения функции; показать, как можно использовать графики функций для решения уравнений.

Глава: Функция y = x²:

1. Функция y = x² и ее график. На эту тему отводится 2 часа,

2. Графическое решение уравнений - 2 часа,

3. Что означает в математике запись y = f (x)? - 3 часа,

4. Контрольная работа - 1 час,

5. Итоговое повторение и итоговая контрольная работа - 1 час,

Таким образом, на эту тему отводится 9 часов. Эта тема рассматривается в более широком контексте, чем в учебнике под редакцией Ю. Н. Макарычева. Рассмотрим план изучения данной темы:

1. Познакомить учащихся с графическими моделями, отличными от линейной функции.

2. Построить график функции y = x²

3. Исследовать свойства функции и особенности ее графика.

Также первое упоминание квадратного трехчлена в 7-ом классе можно проследить в теме: «Разложение многочлена на множители», в подразделе «Разложение многочлена на множители с помощью способа группировки». Рассмотрим фрагмент урока:

- Решим уравнение x² - 7x + 12 = 0.

- Прежде чем решить это уравнение нам нужно разложить на множители многочлен или как правильно сказать квадратный трехчлен, где в 8 классе вы будете подробно рассматривать его.

-Нам предлагают разложить многочлен способом группировки, как вы уже заметили, что для способа группировки необходимо 4 члена, а в данном случае - только 3. Поэтому здесь можно представить слагаемое -7x, в виде суммы -3x-4x, и получится не три слагаемых, а уже четыре.

- Эти слагаемые можно распределить по двум группам:

x² -7x + 12 = x² - 3x - 4x + 12 = (x² - 3x) + (-4x + 12) = x(x - 3) - 4(x - 3) = (x - 3)(x - 4).

- А теперь заданное уравнение перепишем так

(x - 3)(x - 4) = 0

x - 3 = 0 или x - 4 = 0

x = 3 x = 4

- Итак, заданное уравнение имеет 2 корня.

- Конечно, нахождение корней квадратного трехчлена можно найти по специальной формуле, с которой вы познакомитесь на следующий год.

Тем самым мы выяснили, что основа темы «Квадратного трехчлена» начинает изучаться с 7-го класса и играет важную роль при дальнейших изучениях ее в последующих классах.

Если в 7 классе мы рассматривали тему «Квадратный трехчлен» в общих чертах, то в 8, 9 классах происходит дробление данной темы на более широкие подпункты. А именно, изучение данной темы, в учебнике под редакцией Ю.Н. Макарычева, изучается в 9 классе, в теме «Квадратичная функция», на которую отводится 25 часов:

1. Функция. Область определения и область значений функции. (3ч)

2.Свойства функции. (3ч)

3. Квадратный трехчлен и его корни. (1ч)

4. Разложение квадратного трехчлена на множители. (3ч)

5. Функция y = ax², ее график и свойства. (2ч)

6. Графики функций y = ax² + n и y = a (x - m)² . (2ч)

7. Решение неравенств второй степени с одной переменной. (3ч)

8. решение неравенств методом интервалов. (3ч)

9. Итоговый урок. Решение задач. (1ч)

Основная цель - выработать умение строить график квадратичной функции и применять графические представления для решения неравенств второй степени с одной неизвестной.

Изучение данной темы используется для систематизации расширения сведений о функциях. При изучении вопроса о квадратном трехчлене и его разложении на множители специальное внимание рекомендуется уделить задачам, связанным с выделением квадрата двучлена из квадратного трехчлена. Изучение квадратичной функции начинается с рассмотрения функции y = ax², ее свойств и особенностей графика, а также других частных видов квадратичной функции - функций y = ax² + b; y = a (x - m)² . Эти сведения используются при изучении свойств квадратичной функции общего вида. Важно, что бы учащиеся понимали, что график функции y = ax² + bx + c может быть получен из графика функции

y = ax² с помощью двух параллельных переносов вдоль осей. Приемы построения графика функции y = ax² + bx + c отрабатывается на конкретных примерах. При этом следует уделять внимание формированию умения указывать координаты вершины параболы, ее ось симметрии, направление ветвей параболы.

Формирование умений решать неравенства вида ax² + bx + c > 0,

ax² + bx +c < 0, где a ? 0, осуществляется с опорой на сведения о графике квадратичной функции. Рассмотрим план изучения темы: «Квадратный трехчлен и его корни»:

1. Ввести понятие квадратного трехчлена, корня квадратного трехчлена, дискриминанта квадратного трехчлена.

2. Рассмотреть примеры:

Выделить из трехчлена: a) 2x² - 4x + 6

b) 3x² - 36x + 140

квадрат двучлена.

3. Закрепление нового материала.

Задания по - вариантам, проверка решения - у доски.

I - вариант: Число 3 - v2, II - вариант: Число -v7 + 2

являются корнем квадратного трехчлена x² - 6x + 7?

Говоря об учебнике, под редакцией А. Г. Мордковича, данная тема: «Квадратный трехчлен» изучается в 8 классе, в разделе «Квадратичная функция» и делится на следующие под темы:

1. Функция y = kx², ее свойства и график.

2. Функция y = , ее свойства и график.

3. Как построить график функции y = f (x + l), если известен график функции y = f (x).

4. Как построить график функции y = f (x) + m, если известен график функции y = f (x).

5. Как построить график функции y = f (x + l) + m, если известен график функции y = f (x).

6. Функция y = ax² + bx + c, ее свойства и график.

7. Графическое решение квадратных уравнений.

8. Итоговый урок.

9. Контрольная работа.

Основная цель - расширить класс функций, свойства и графики которых известны учащимся; продолжить формирование представлений о таких фундаментальных понятиях математики, какими являются понятия функции, ее области определения, ограниченности, непрерывности, наибольшего и наименьшего значений на заданном промежутке. В реализуемой в учебнике концепции школьного курса алгебры приоритет среди основных содержательно - методических линий отдается функционально - графической линии. Изучение любого класса функций, преобразований, уравнений выстраивается по жесткой схеме: функция - уравнения - преобразования.

И следует отметить особым вниманием, что эта тема подробнейшим образом изучается в 8 классе, не смотря на то, что она по учебнику Ю.Н. Макарычева изучается в 9 классе. Это, как я думаю, объясняется тем, что автор учебника 8 класса считает целесообразным начать изучение данной темы именно в этом классе нежели, чем в 9. Поэтому нужно отметить тематическое планирование учебника 8 класса, под редакцией А. Г. Мордковича, рассчитывая по 3 часа в неделю.

Глава: Квадратичная функция. Функция y = .

Основная цель: познакомить учащихся с функциями y = kx², y = ,

y = ax² + bx + c, научить их строить графики этих функций и использовать их для графического решения уравнений, для отыскания наибольших значений функции на промежутке, для построения графиков кусочных функций.

1. Функция y = kx² , ее свойства и график. На эту тему отводится 3 часа,

2. Функция y = , ее свойства и график - 2 часа,

3. Как построить график функции y = f (x + l), если известен график функции y = f (x) - 2 часа,

4. Как построить график функции y = f (x) + m, если известен график функции y = f (x) - 2 часа,

5. Как построить график функции y = f (x + l) + m, если известен график функции y = f (x) - 2 часа,

6. Функция y = ax² + bx + c, ее свойства и график - 4 часа,

7. Графическое решение квадратных уравнений - 1 час,

8. Контрольная работа - 1 час.

Таким образом, нужно отметить, что на тему: «Функция y = ax² +bx + c, ее свойства и график», а именно «квадратный трехчлен» отводится 4 часа, тем самым отводится не мало времени, так как эта тема играет важную роль, а на всю тему: «Квадратичная функция» отводится 15 часов. Рассмотрим план изучения темы: «функция y = ax² + bx + c, ее свойства и график»:

1. Дать определение квадратичной функции.

2. Доказать теорему: Графиком квадратичной функции y = ax² + bx + c является парабола, которая получается из параболы y = ax² параллельным переносом

3. Показать правило нахождения оси симметрии параболы.

4. Выписать формулы нахождения координат вершины параболы.

5. Определить направление ветвей параболы.

Построение графика лучше рассмотреть на примере функции y = -x² + 8x - 10.

Так как квадратный трехчлен является частным случаем квадратного уравнения, поэтому рассмотрим методику изучения «Квадратного уравнения».

В 8 классе особое место занимает изучение темы: «Квадратное уравнение», как в учебнике, под редакцией А. Г. Мордковича, так и в учебнике под редакцией Ю.Н. Макарычева.

По учебнику А. Г. Мордковича, в главу: «Квадратные уравнения», входят следующие под разделы:

1. Основные понятия: квадратное уравнение, приведенное и неприведенное уравнение, полное и неполное уравнение, дискриминант. На эту тему отводится 2 часа

2. Формулы корней квадратных уравнений - 3 часа

3. Рациональные уравнения - 3 часа

4. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций - 4 часа

5. Еще одна формула корней квадратного уравнения - 2 часа

6. Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на множители - 2 часа

7. Иррациональные уравнения - 3 часа.

Здесь же, я указала тематическое планирование и выяснила, что на эту тему отводится 19 часов. Основная цель: научить учащихся решать квадратные уравнения и раскладывать квадратный трехчлен на множители, научить школьников решать рациональные уравнения и текстовые задачи; познакомить учащихся с теоремой Виета и некоторыми ее приложениями и так далее.

А по учебнику, под редакцией Ю. Н. Макарычева, на которую отводится 23 часа, в тему: «Квадратные уравнения» входят следующие подразделы:

1. Квадратное уравнение

2. Формулы корней квадратного уравнения.

3. Терема Виета.

4. Решение рациональных уравнений.

5. Решение задач, приводящих к квадратным уравнениям.

Основная цель - выработать умения решать квадратные уравнения, простейшие рациональные уравнения и применять их к решению задач.

Учащиеся 8 класса имеют достаточное представление о квадратных уравнениях и умеют решать отдельные уравнения вида ax² + bx = 0, путем вынесения общего множителя за скобки; и ax² + c = 0, пользуясь формулой «разность квадратов». А также в 7 классе в теме «Формулы сокращенного умножения» учащиеся выполняют задания по выделению квадрата двучлена из квадратного трехчлена, поэтому учителю необходимо на первом уроке по этой теме: систематизировать знания учащихся, дать определение квадратного уравнения, рассмотреть его виды и способы их решения.