Методика обучения решению комбинаторных задач

Оля: Ну а «Русское лото?» Самая популярная лотерея в стране.

Андрей: Да, это надо, чтобы ты закрыла 30 номеров из 90 возможных. Это 19-значное число. За счет того, что в этой игре несколько кругов, то шансы увеличиваются до 56 млн.

Оля: Да, Андрей, и как я до этого раньше не додумалась? Скажи, а как ты так быстро считаешь шансы?

Андрей: Недавно прочитал учебник по теории вероятностей, вот и научился.

Оля: Вот и я такой куплю. Спасибо за совет.

Подведение итогов.

Итак, ребята, сегодня вы познакомились с элементами комбинаторики и теории вероятностей. Вероятность - это ожидаемая частота того, что какое-то событие произойдет.

Определите, глядя на таблицу 1 к какому виду можно отнести каждое из следующих событий:

а) выигрыш 3 млн. в лотерее;

б) камень, брошенный в воду, поплыл по реке;

в) выходишь на улицу, а навстречу идет слон;

г) летом у школьников будут каникулы;

д) на этой неделе выпадет снег.

Домашнее задание.

1. Возьмите две пуговицы - «с ножкой» и без нее. Оцените вероятность выпадения на каждую из сторон пуговиц, проведя 100 экспериментов с каждой пуговицей.

2. На 100 батареек попадают 3 бракованные. Какова вероятность купить бракованную батарейку?

Класс: 5 класс

Тема: «Элементы комбинаторики».

Цель: Сообщение новых знаний, формирование умения решать простейшие комбинаторные задачи.

Оборудование: цветные треугольники и бумаги (синий, красный, зеленый, желтый).

Ход занятия.

Сообщение темы занятия и цели.

Ребята, сегодня мы с вами познакомимся с некоторыми комбинаторными задачами. К таким задачам относятся задачи на перебор всех возможных вариантов или подсчет таких вариантов. Например:

Задача 1. Запишите все трехзначные числа цифрами 1, 2 и 3 без повторения. Сколько таких чисел?

Решение: Запишем числа в порядке возрастания: 123, 132, 213, 231,312, 321. здесь выписаны все числа, удовлетворяющие условию задачи, без пропусков и повторений. На первое место можно поставить любую из трех цифр, на второе место можно поставить только одну из двух оставшихся, т.е. имеется 3·2=6 возможностей занять два первых места. В каждом из этих шести случаев третье место займет оставшаяся цифра. Всего таким образом можно составить только 6 трехзначных чисел (рисунок 1.)

Задача 2. Сколько двузначных чисел можно записать, используя цифры 1, 2 и 3?

Решение: в отличие от задачи 1 здесь можно повторять цифры. Чтобы ответить на вопрос задачи, можно выписать все числа без пропусков и повторений:

11 21 31

12 22 32

13 23 33

На первом месте может стоять одна из трех цифр: 1, 2 или 3. в каждом из этих трех случаев на второе место можно поставить одну из трех цифр 1, 2 или 3. Итого, имеется 3·3=9 двузначных чисел, записанных цифрами 1, 2 и 3.

Практическая часть.

Раздаются цветные треугольники из бумаги: синий, желтый, зеленый, красный.

- Ребята, а теперь давайте посмотрим какие и сколько можно составить елочек из предложенных треугольников, не повторяя цвета?

Ответ: 24 елочки.

Учащиеся раскладывают на партах елочки. Результаты оформляются на доске и в тетрадях (рис. 2).

- Ребята, а теперь давайте решим задачу. Коля написал два раза свое имя

К О Л Я

К О Л Я

Его сосед по парте заметил, что Коля может прочитать свое имя более 10 раз, и показал один из способов.

К-О Л Я

К О Л-Я

Сколькими способами Коля может прочитать свое имя?

Решение: К каждой букве О можно прийти двумя способами, к каждой букве Л - четырьмя способами, к каждой букве Я - восемью, а всего прочитать слово можно шестнадцатью способами.

К О₂ Л₄ Я₈

К О₂ Л₄ Я₈

Задача. Бросили два игральных кубика. На первом выпало 2 очка, на втором 6 очков. Сколькими различными способами может выпасть 8 очков на этих кубиках?

Решение: Рассмотрим варианты, когда может выпасть 8 очков: 2?6, 3?5, 4?4, 5?3, 6?2. Мы видим, что 8 очков может выпасть пятью способами.

Задача. Восемь друзей решили провести турнир по шашкам так, чтобы каждый сыграл с каждым одну партию. Сколько партий будет сыграно?

Решение: Каждый игрок должен сыграть по 7 партий. Рассмотрим случаи, когда игроки не повторяются. Первый должен сыграть 7 партий (со 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 игроками), второй - 6 партий (с 3, 4, 5, 6, 7, 8 игроками), третий - 5 партий (с 4, 5, 6, 7, 8 игроками), четвертый - 4 партии (с 5, 6, 7, 8 игроками), пятый - 3 партии (с 6, 7, 8 игроками), шестой - 2 партии (с 7, 8 игроками), седьмой - 1 партия (с 8-м игроком). Отсюда, количество партий: 7+6+5+4+3+2+1=28.

- Ребята, сегодня мы с вами изучили некоторые элементы комбинаторики, решили задачи на перебор всех возможных вариантов.

Домашнее задание:

1. Запишите все трехзначные числа, используя цифры 0, 3, 5, 9 с повторением, без повторений.

2. Четыре подружки купили четыре билета в кино. Сколькими различными способами они могут занять свои места в зрительном зале?

3. Запишите своё имя. Сколькими способами вы можете его прочитать?

4. Сколькими способами можно выложить узор из четырех предметов, используя треугольник, квадрат и круг.

3.2 Экспериментальная часть

Методику обучения решению комбинаторных задач и задач на вероятность в 5-6 классах основной школы была проверена на педагогической практике путем эксперимента в 6 «А» классе (гимназическом).

Эксперимент был построен в три этапа:

I. Констатирующий этап. На данном этапе были проведены и обработаны тесты на психодиагностику познавательных процессов и оценку мышления у школьников. А также даны задания на выборочное решение задач (обычные, комбинаторные, на теорию вероятностей).

Проведение психодиагностического теста на исследование гибкости мышления. Методика позволяет определить вариативность подходов, гипотез, исходных данных, точек зрения, операций, вовлекаемых в процесс мыслительной деятельности. Тест проводился в группе.

Учащимся предлагался бланк, каждому на парту, с записанными анаграммами (наборами букв). В течение 3 минут они должны составить из наборов букв слова, не пропуская и не добавляя ни одной буквы. Слова могут быть только существительными.

Предложенный бланк:

йво укб яодл аапл аицпт отмшр

йла ирм руот орщб уаргшоелсв

абл отм еноб оетл оосвл аашлп

ашр асд аукл оерм оалмс оесмт

озв обл иапл октс бреор аилдн

Обработка результатов:

Кол-во уч-ся по списку	Кол-во уч-ся, выполнивших тест	Показатель гибкости мышления (кол-во составленных слов)
		Высокий (21 и более)	Средний (13-20)	Низкий (7-12)
31	26	7	18	1

Проведение психодиагностического теста на изучение логической памяти. Методика позволяет определить развитие логической памяти.

Учащимся зачитывается ряд слов, которые они должны запомнить, причем эти слова составляют часть предложений. Вторые части будут прочитаны несколько позже. Учитель читает слова первого ряда с 5-секундным интервалом. После 10-секундного перерыва зачитывает слова второго ряда с интервалом 10 сек.

Учащиеся записывают предложения, составленные из слов первого и второго рядов.

Первый ряд Второй ряд

БАРАБАН ВОСХОД СОЛНЦА

СЕЛА НА ЦВЕТОК ПЧЕЛА

ГРЯЗЬ ЛУЧШИЙ ОТДЫХ

ТРУСОСТЬ ПОЖАР

ПРОИЗОШЕЛ НА ФАБРИКЕ ВИСЕЛ НА СТЕНЕ

В ГОРАХ ДРЕВНИЙ ГОРОД

В КОМНАТЕ ОТВРАТИТЕЛЬНОЕ КАЧЕСТВО

СОН ОЧЕНЬ ЖАРКО

МОСКВА МАЛЬЧИК

МЕТАЛЛЫ ЖЕЛЕЗО И ЗОЛОТО

НАША СТРАНА ПРИЧИНА БОЛЕЗНИ

ПРИНЕС КНИГУ ПЕРЕДОВОЕ ГОСУДАРСТВО

Предложения

Барабан висел на стене

Пчела села на цветок

Грязь - причина болезни

Трусость - отвратительное качество

Восход солнца в горах

На фабрике произошел пожар

В комнате очень жарко

Лучший отдых - сон

Москва - древний город

Железо и золото - металлы

Наша страна - передовое государство

Мальчик принес книгу

Обработка результатов:

Кол-во уч-ся по списку	Кол-во уч-ся, выполнивших тест	Показатель развития логической памяти
		Высокий	Средний	Низкий
31	26	5	19	2

Задания на выборочное решение задач. Учащимся предлагается три задачи и дается задание: решить две из них (при желании - три).

Задача 1. В одном пакете кг конфет, а в другом - на меньше, чем в первом. Какова масса конфет в двух пакетах?

Решение: 1) (кг) - во 2-м пакете

2) (кг) - всего.

От

Задача 2. В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник - и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из двух блюд, которые может заказать посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.

Решение:

Борщ	Рассольник
гуляш	котлеты	сосиски	пельмени	гуляш	котлеты	сосиски	пельмени

Итак, посетитель может заказать 8 вариантов обедов.

Ответ: 8 обедов.

Задача 3. В коробке 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Вытаскиваем наугад 4 шара. Какие из следующих событий невозможные, какие - случайные, а какие - достоверные:

А = {все вынутые шары одного цвета};

В = {все вынутые шары разных цветов};

С = {среди вынутых шаров есть шары разных цветов};

D = {среди вынутых есть шары всех трех цветов}.

Решение:

Событие А - невозможное: нельзя вынуть из коробки четыре шара одного цвета, так как в ней только по три шара каждого цвета.

Событие В - тоже невозможное: шары в коробке трех цветов, а вынимаем четыре.

Событие С - достоверное: ведь все четыре шара, как мы уже выяснили не могут быть одного цвета, поэтому среди них обязательно есть шары хотя бы двух цветов.

Событие D - случайное.

Обработка результатов:

Кол-во уч-ся по списку	Кол-во уч-ся, выполнивших задание	3 задачи	1-2 задачи	1-3 задачи	2-3 задачи
31	29	9	12	6	2

На данном этапе был проверен уровень знаний учащихся в области комбинаторики и теории вероятностей, т.к. автор на практике пробных уроков давал уроки на комбинаторику и теорию вероятностей в этом же классе. Учащиеся показали довольно высокий уровень знаний в данной области.

II. Формирующий этап. На уроках математики даются комбинаторные задачи и задачи на вероятность в домашнем задании и используются в устном счете.

Проведены внеклассные мероприятия на тему: «Элементы комбинаторики и теории вероятностей», на которых давался теоретический и практический материал.

В домашнем задании даются задачи из сборника задач (см. приложение 1).

В устном счете давались задачи из сборника (приложение 1), но не решались сами задачи, а учащиеся должны были определить к какому типу относятся эти задачи. Так же давались задания на вычисление факториала, типа:

1. Делится ли число 30! на:

а) 90; б) 92; в)94; г) 96?

Решение. а) 90=2·5·9. среди множителей числа 30! есть числа 2, 5 и 9. Значит, число 30! делится на 90.

б) 92=4•23. среди множителей 30! есть числа 4, 23. значит, число 30! делится на 92.

в) 94=2·47. число 47 простое и больше, чем 30. так как среди множителей числа 30! Нет числа 47, то число 30! Не делится на 94.

г) 96=2·3·16. среди множителей 30! есть числа 2, 3, 16. значит, число 30! делится на 96.

2. Делится ли число 14! на:

а) 168; б) 136; в) 147; г) 132?

3. Найдите значение выражения:

а) б) в) г)

Решение: а)

б)

в)

г)

4. Что больше и во сколько раз:

а) 6!•5 или 5! •6 б) (п+1)! •п или п! •(п+1)

Внеклассное мероприятие на тему «Элементы комбинаторики»

6 «А» класс (школа №858)

Цель: Ввести новые знания по теме «Элементы комбинаторики»

Задачи:

1. Образовательные:

· выявить, обобщить и расширить математические знания, имеющиеся у детей на данный момент в области комбинаторики;

· ввести понятия перестановки, факториал;

· начать формирование умений по применению знаний в решении заданий;

2. Развивающие:

· развивать логическое мышление, долговременную память, внимательность;

· развивать умение рассуждать, обобщать и делать выводы;

· развивать правильную математическую речь, вычислительный навык;

3. Воспитательные:

· воспитывать усидчивость, дисциплинированность, инициативность;

· воспитывать уважение к преподавателю, одноклассникам.

Ход мероприятия

1. Организационный момент: Здравствуйте, садитесь! Сегодня на уроке вы познакомитесь с комбинаторикой.

2. Подготовительный этап.

Вы уже знакомы с некоторыми задачами на перебор всех возможных вариантов, которые решали с помощью составления древа.

Например: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

При решении этой задачи сначала составляется древо всех возможных вариантов (учитель у доски со слов учащихся).



Первая цифра	1	3	5	7
Вторая цифра	3	5	7	1	5	7	1	3	7	1	3	5
Третья цифра	5	7	3	7	3	5	5	7	1	7	1	5	3	7	1	7	1	3	3	5	1	5	1	3

3. Введение новых знаний

Но как вы уже знаете, ответ на поставленный в вопрос можно получить, не выписывая сами числа и не строя дерево возможных вариантов. Рассуждать будем так. Первую цифру трехзначного числа можно выбрать четырьмя способами. Так после выбора первой цифры останутся три, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся цифр уже тремя способами. Наконец, третью цифру можно выбрать (из оставшихся двух) двумя способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 4·3·2 = 24.

Ответ на поставленный в примере вопрос мы нашли, используя так называемое комбинаторное правило умножения (записывается в тетрадь).

Пусть имеется n элементов и требуется выбрать один за другим некоторые k элементов. Если первый элемент можно выбрать n₁ способами, после чего второй элемент можно выбрать из оставшихся n₂ способами, затем третий элемент - n₃ способами и т.д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению n₁·n₂·n₃·…·n_k.

4. Практический этап

1. В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник - и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из двух блюд, которые может заказать посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.

Решение:



Борщ	Рассольник
гуляш	котлеты	сосиски	пельмени	гуляш	котлеты	сосиски	пельмени

На первое место можно выбрать одно из двух блюд, на второе - одно из четырех блюд. Значит количество обедов из двух блюд: 2·4=8.

Ответ: 8 обедов.

2. Стадион имеет 4 входа: А, В, С и Д. укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход и выйти через другой. Сколько таких способов?

Решение: Посетитель может войти через один из четырех входа, а выйти через один из трех оставшихся, т.е. имеется 4·3=12 способов.

Ответ: 12 способов.

3. Из села Дятлово в село Матвеевское ведут три дороги, а из села Матвеевское в село Першино - четыре дороги. Сколькими способами можно попасть из Датлова в Першино через Матвеевское?

Решение: В село Матвеевское из Дятлова можно попасть тремя способами. А из Матвеевского в Першино - 4 способами. Значит, 3·4=12 способов.

Ответ: 12 способов.

4. Петр решил пойти на новогодний карнавал в костюме мушкетера. В ателье проката ему предложили на выбор различные по фасону и цвету предметы: пять пар брюк, шесть камзолов, три шляпы, две пары сапог. Сколько различных карнавальных костюмов можно составить из этих предметов?

Решение: Брюки можно выбрать пятью способами, камзолы - шестью, шляпы - тремя, сапоги - двумя. Значит, костюм можно составить 5·6·3·2=180 способами.

Ответ: 180 способов.

5. Введение новых знаний

Пример. Пусть имеются три книги. Обозначим их буквами a, b, c. Эти книги можно расставить на полке по-разному: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Каждое из этих расположений называют перестановкой из трех элементов.

Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.

Число перестановок из n элементов обозначается символом P_n (читается «Р из n»).

Мы установили, что Р₃ = 6. Для того, чтобы найти число перестановок из трех элементов, можно не выписывать эти перестановки, а воспользоваться правилом умножения. Будем рассуждать так. На первое место можно поставить любой из трех элементов. Для каждого выбора первого элемента есть две возможности выбора второго из оставшихся двух элементов. Наконец, для каждого выбора первых двух элементов остается единственная возможность выбора третьего элемента. Значит, число перестановок из трех элементов равно 3·2·1, т.е. 6.

Выведем теперь формулу для числа перестановок из п элементов.

Пусть мы имеем n элементов. На первое место можно поставить любой из них. Для каждого выбора первого элемента на второе место можно поставить один из оставшихся n-1 элементов. Для каждого выбора первых двух элементов на третье место можно поставить один из оставшихся n-2 элементов и т.д. в результате получим, что

P_n = n(n-1)(n-2) ·…·3·2·1.

Расположив множители в порядке возрастания, получим

P_n = 1·2·3·…·(n-2)(n-1)n.

Для произведения первых n натуральных чисел используется специальное обозначение: n! (читается «n факториал»).

Таким образом, число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле P_n = n!

Например, 2!=1·2=2; 5!=1·2·3·4·5=120.

По определению считают, что 1!=1.

6. Практический этап

- Ребята, давайте вспомним басню И.А.Крылова «Квартет»:

Проказница мартышка,

Осел,

Козел,

Да косолапый мишка

Затеяли сыграть Квартет.

Достали нот, баса, альта, две скрипки

И сели на лужок под липки -

Пленять своим искусством свет.

Ударили в смычки, дерут, а толку нет.

«Стой, братцы, стой!» - кричит мартышка. - «Погодите!

Как музыке идти? Ведь вы не так сидите.

Ты с басом Мишенька садись против альта,

Я, прима, сяду против вторы;

Тогда пойдет уж музыка не та:

У нас запляшут лес и горы!»

Расселись, начали Квартет,

Он все-таки на лад нейдет.

«Постойте ж, я сыскал секрет! -

Кричит Осел, - мы верно уж поладим,

Коль рядом сядем.»

Послушались осла, уселись чинно в ряд;

А все-таки Квартет нейдет на лад.

Вот пуще прежнего пошли у них разборы

И споры,

Кому и как сидеть.

Случилось Соловью на шум их прилететь.

Тут с просьбой все к нему, чтоб их решить сомненье.

«Пожалуй, - говорят, - возьми на час терпенье,

Чтобы Квартет в порядок наш привесть:

И ноты есть у нас, и инструменты есть,

Скажи, лишь как нам сесть!» -

«Чтоб музыкантом быть, так надобно уменье

И уши ваших понежней, -

Им отвечает Соловей, -

А вы, друзья, как ни садитесь, все в музыканты не годитесь».

Сколько способами могут рассесться участники Квартета?

Решение: Квартет состоит из четырех участников. Число способов равно числу перестановок из 4 элементов. Р₄=1•2•3•4=24. Значит, существует 24 способа.

Ответ: 24 способа.

5. Сколькими способами могут быть расставлены 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?

Решение: Число способов равно числу перестановок из 8 элементов.

Р₈=1•2•3•4•5•6•7•8=40320. Значит, существует 40320 способов расстановки участниц забега на восьми беговых дорожках.

Ответ: 40320 способов.

6. Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?

Решение: Из цифр 0, 2, 4, 6 можно получить Р₄ перестановок. Из этого числа надо исключить те перестановки, которые начинаются с 0, т.к. натуральное число не может начинаться с цифры 0. число таких перестановок равно Р₃. значит, искомое число четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 2, 4, 6 равно Р₄ - Р₃= 4!-3!=1•2•3•4 - 1•2•3= 24 - 6=18.

Ответ: 18 чисел.

7. Имеется девять различных книг, четыре из которых - учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

Решение: Сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9, а 6 книг это можно сделать Р₆ способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р₄ перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг на полке равно произведению Р₆·Р₄ = 6! ·4! = 720·24 = 17280.

Ответ: 17280 способов.

8. Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?

Решение: Число способов равно числу перестановок из 9 элементов.

Р₉=9!=1•2•3•4•5•6•7•8•9=362880.

Ответ: 362880 способов.

9. В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание на этот день так, чтобы два урока математики (алгебра и геометрия) стояли рядом?

Решение: Рассмотрим алгебру и геометрию как один урок. Тогда расписание надо составить не из 6, а из 5 уроков - Р₅ способов. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р₂ перестановки алгебры и геометрии. Значит, искомое число способов составления расписания:

Р₅•Р₂=1•2•3•4•5•1•2= 120•2=240

Ответ: 240 способов.

7. Подведение итогов. Итак, вы познакомились с некоторыми правилами комбинаторики и применили их при решении задач. Какие это правила?

8. Домашнее задание:

1. В кафе имеются три первых блюда, пять вторых блюд и два третьих. Сколькими способами посетитель кафе может выбрать обед, состоящий из первого, второго и третьего блюд?

Решение. Первое блюдо можно выбрать 3 способами. Для каждого выбора первого блюда существует 5 возможностей выбора второго блюда. Значит, первые два блюда можно выбрать 3·5 способами. Наконец, для каждого выбора третьего блюда, т.е. существует 3·5·2 способов составления обеда из трех букв. Итак, обед из трех букв может быть составлен 30 способами.

2. Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?

Решение: Число маршрутов равно числу перестановок из 7 элементов.

Р₇=7!= 1•2•3•4•5•6•7=5040

Ответ: 5040 маршрутов.

3. Имеется девять различных книг, четыре из которых - учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

Решение: Сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9, а 6 книг это можно сделать Р₆ способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р₄ перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг на полке равно произведению Р₆·Р₄ = 6! ·4! = 720·24 = 17280.

4. Вычислите значение дроби:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е)

III. Контролирующий этап. Повторное проведение и обработка тестов на психодиагностику познавательных процессов, оценку мышления у школьников. Повторное задание на выборочное решение задач. Обработка результатов и сравнение с результатами констатирующего этапа.

Проведение психодиагностического теста на исследование гибкости мышления.

Обработка результатов:



Кол-во уч-ся по списку	Кол-во уч-ся, выполнивших тест	Показатель гибкости мышления (кол-во составленных слов)
		Высокий (21 и более)	Средний (13-20)	Низкий (7-12)
31	29	14	12	1

Сравнение результатов с результатами констатирующего этапа представлены в диаграмме. Показатель гибкости мышления учащихся значительно увеличился.

Проведение психодиагностического теста на изучение логической памяти.

Обработка результатов:

Кол-во уч-ся по списку	Кол-во уч-ся, выполнивших тест	Показатель развития логической памяти
		Высокий	Средний	Низкий
31	29	13	15	1

Сравнение результатов с результатами констатирующего этапа представлено в диаграмме. Показатель развития логической памяти учащихся значительно увеличился - большее количество учащихся справилось с заданием верно.

Задания на выборочное решение задач. Учащимся предлагается три задачи и дается задание: решить две из них (при желании - три).

Задача 1. В первый день магазин продал 32% имевшегося ситца, а во второй день 7%. После этого осталось 305 м. сколько ситца поступило в магазин?

Решение: 1) 32+7=39 (%)-продали за 2 дня

2) 100-39=61 (%) - осталось.

3)305:0,61=500 (м) - ситца поступило в магазин

Ответ: 500 м ситца поступило в магазин.

Задача 2. Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10? Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки - на четных?

Решение. Если мальчики и девочки сядут в один ряд в произвольном порядке, то это можно сделать Р₁₀=10!=3628800 способами. Если мальчики сядут на нечетные места, то существуют Р₅ способов их расположения. Столькими же способами могут расположиться девочки на четных местах. Каждому способу расположения мальчиков соответствует Р₅ способов расположения девочек.

Значит, расположиться так, что мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки - на четных, можно Р₅·Р₅=5! ·5!=120·120=14400 способами.

Задача 3. В коробке 2 красных, 4 желтых, 3 зеленых кубика. Вытаскиваем наугад 5 кубиков. Какие из следующих событий невозможные, какие - случайные, а какие - достоверные:

А = {все вынутые кубики одного цвета};

В = {все вынутые кубики разных цветов};

С = {среди вынутых кубиков есть кубики разных цветов};

D = {среди вынутых есть кубики всех трех цветов}.

Решение:

Событие А - невозможное: нельзя вынуть из коробки пять кубиков одного цвета, так как в ней каждого цвета меньше пяти кубиков.

Событие В - тоже невозможное: кубики в коробке трех цветов, а вынимаем пять.

Событие С - достоверное: ведь все пять кубиков, как мы уже выяснили не могут быть одного цвета, поэтому среди них обязательно есть кубики хотя бы двух цветов.

Событие D - случайное.

Обработка результатов:

Кол-во уч-ся по списку	Кол-во уч-ся, выполнивших задание	3 задачи	1-2 задачи	1-3 задачи	2-3 задачи
31	29	13	7	6	3

Сравнение результатов с констатирующим этапом представлено в диаграмме.

Большее количество учащихся решило все три задачи верно, в том числе задачи на комбинаторику и вероятность, что говорит об успешности формирующего этапа эксперимента.

Значит, возможно сформировать первоначальное представление о вероятности и научить решать комбинаторные задачи учащихся 5-6 классов, используя методы проблемного обучения, занимательные задачи, задачи, содержащие жизненные ситуации и тем самым повысить показатель логической памяти и гибкости мышления у учащихся 5-6 классов.

Заключение

Исследуя тему «Методика обучения решению комбинаторных задач и формирование первичного представления о вероятности» проанализировали научно-методическую литературу, выявили уровень логического мышления учащихся 5-6 классов основной школы. Так же изучили психологические особенности учащихся 5-6 классов основной школы, изучили методику ознакомления учащихся с задачами на комбинаторику. Разработаны фрагменты уроков.

Цель исследования выполнена - изучили методику обучения решению комбинаторных задач и задач на вероятность в 5-6 классах основной школы.

Гипотеза, положенная в основу исследования подтверждается - возможно сформировать первоначальное представление о вероятности и научить решать комбинаторные задачи учащихся 5-6 классов, используя методы проблемного обучения, занимательные задачи.

Библиография

1. Бардиер Г.Л. «Тонкости психологической помощи детям», Издательство Генезис, М., 2002.

2. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика. Пособие для общеобразовательных учебных заведений. - М.: Дрофа, 2002.

3. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Основы статистики и вероятность. 5-9 кл.: Пособие для общеобразовательных учреждений - М.: Дрофа, 2004.

4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учебное пособие для студ.втузов - 5 изд., испр. - М.: Издательский центр «Академия», 2003.

5. Выготский Л.С. Воображение и творчество в детском возрасте. Спб.: Союз, 1997.

6. Дорофеев Г.В. Петерсон А.Г. Математика. 5-й класс. Часть 1: Учеб. для общеобразоват. учеб.заведений. - М.: издательство «Ювента», 2002.

7. Дорофеев Г.В. Петерсон А.Г. Математика. 5-й класс. Часть 2: Учеб. для общеобразоват. учеб.заведений. - М.: издательство «Ювента», 2002.

8. Дорофеев Г.В. Петерсон А.Г. Математика. 6-й класс. Часть 1: Учеб. для общеобразоват. учеб.заведений. - М.: издательство «Ювента», 2002.

9. Дорофеев Г.В. Петерсон А.Г. Математика. 6-й класс. Часть 2: Учеб. для общеобразоват. учеб.заведений. - М.: издательство «Ювента», 2002.

10. Дорофеев Г.В. Петерсон А.Г. Математика. 6-й класс. Часть 3: Учеб. для общеобразоват. учеб.заведений. - М.: издательство «Ювента», 2002.

11. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Шарыгин И.Ф. и др. Математика. 6-й класс: Учеб. для общеобразоват. учеб.заведений - М.: Дрофа, 1997.

12. Дорофеев Г.В.Математика. 6-й класс: Рабочая тетрадь: К учебнику под редакцией Г.В.Дорофеева, И.Ф.Шарыгина "Математика 6". - М.: Дрофа, 1998.

13. Крутецкий В.А. Психология: Учеб. для учащ. пед. училищ - М.: Просвещение, 1986.

14. Крылов И.А. Басни. - М.: Просвещение, 1985.

15. Локалова Н.П. «Уроки психологического развития в средней школе (5-6 классы), издат. Ось, М., 1989.

16. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей. Учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений/ под редакцией Теляковского С.А. - М., «Просвещение», 2003.

17. Немов Р.С. Психология. Учеб. для студ.высш.пед.учеб.заведений - в 2 кн. Кн.1. общие основы психологии. - М.: Просвещение: Владос, 1994.

18. Нестеренко Ю.В., Олехник С.Н., Потапов М.К. Лучшие задачи на смекалку. - М.: Научно-технический центр "Университетский": АСТ-ПРЕСС, 1999.

19. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Арифметика 5-й класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений - Издат. Отдел УНЦ ДО МГУ, 1997

20. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Арифметика 6-й класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений - Издат. Отдел УНЦ ДО МГУ, 1997

21. Оганесян В.А. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Санинский В.Я. Методика преподавания математики в средней школе/ Общая методика. Учебное пособие для студ. физ.-мат.фак.пед. институтов - М.: Просвещение, 1980.

22. Петровский А.В. Практические занятия по психологии. - М., 1972

23. Савельев Л.Я. Комбинаторика и вероятность. - Новосибирск, Наука, 1975.

24. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика - М.: Педагогика-Пресс, 1997.

25. Свешникова А.А. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций - М., Наука, 1965.

26. Стойлова Л.П. Математика: Учеб. пособие для студ. сред. пед. учеб. заведений - М.: Издательский центр «Академия», 1998

27. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Теория вероятностей и статистика. - М.: МЦНМО: АО «Московские учебники», 2004.

28. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Теория вероятностей и статистика. - 2-е изд., переработанное. - М.: МЦНМО: АО «Московские учебники», 2008.

29. Фадеев Д.К., Никулин М.С., Соколовский И.Ф. Элементы высшей математики для школьников. - М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1987.

30. Журнал «Математика в школе» №9, 2001

31. Журнал «Математика в школе» №5, 2003

32. Журнал «Математика в школе» №6, 2003

33. Журнал «Математика в школе» №5, 2004

34. Журнал «Математика в школе» №6, 2004

35. Журнал «Математика в школе» №7, 2004.

Приложения

Приложение 1

Сборник основных правил комбинаторики и упражнений для их применения

1. Примеры комбинаторных задач

Пример 1. Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека - Антонов, Григорьев, Сергеев и Федоров, тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?

Решение: Составим сначала все пары, в которые входит Антонов (для краткости будем писать первые буквы фамилий). Получим три пары: АГ, АС, АФ.

Выпишем теперь пары, в которые входит Григорьев, но не входит Антонов. Таких пар две: ГС, ГФ.

Далее составим пары, в которые входит Сергеев, но не входят Антонов и Григорьев. Такая пара только одна: СФ.

Других вариантов составления пар нет, так как все пары, в которые входит Федоров уже составлены.

Итак, мы получили 6 пар:

АГ, АС, АФ

ГС, ГФ

СФ,

т.е. 3·2·1=6. значит, существует всего шесть вариантов выбора тренером пары теннисистов из данной группы.

Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют перебором возможных вариантов.

Пример 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

При решении этой задачи сначала составляется древо всех возможных вариантов.

Первая цифра	1	3	5	7
Вторая цифра	3	5	7	1	5	7	1	3	7	1	3	5
Третья цифра	5	7	3	7	3	5	5	7	1	7	1	5	3	7	1	7	1	3	3	5	1	5	1	3

Заметим, что ответ на поставленный в примере вопрос можно получить, не выписывая сами числа и не строя дерево возможных вариантов. Рассуждать будем так. Первую цифру трехзначного числа можно выбрать четырьмя способами. Так после выбора первой цифры останутся три, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся цифр уже тремя способами. Наконец, третью цифру можно выбрать (из оставшихся двух) двумя способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 4·3·2 = 24.

Ответ на поставленный в примере 2 вопрос мы нашли, используя так называемое комбинаторное правило умножения.

Пусть имеется n элементов и требуется выбрать один за другим некоторые k элементов. Если первый элемент можно выбрать n₁ способами, после чего второй элемент можно выбрать из оставшихся n₂ способами, затем третий элемент - n₃ способами и т.д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению n₁·n₂·n₃·…·n_k.

Пример 3. Из города А в город В ведут две дороги, из города В в город С - три дороги, из города С до пристани - две дороги (рис. 1). Туристы хотят проехать из города А через города В и С к пристани. Сколькими способами они могут выбрать маршрут?



2

А В С Пристань Рис. 1

Решение. Путь из А в В туристы могут выбрать двумя способами. Далее в каждом случае они могут проехать из В в С тремя способами. Значит, имеется 2·3 вариантов маршрута из А в С. Так как из города С на пристань можно попасть двумя способами, то всего существует 2·3·2, т.е. 12 способов выбора туристами маршрута из города А к пристани.

Упражнения в данном пункте направлены на составление различных комбинаций и подсчет числа возможных вариантов этих комбинаций.

Упражнения

5. В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник - и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из двух блюд, которые может заказать посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.

6. Имеется белый хлеб, черный хлеб, сыр, колбаса и варенье. Сколько видов бутербродов можно приготовить?

7. На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод?

Решение. По условию задачи яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин - четырьмя. Так как в задаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо апельсин», то его, согласно правилу суммы, можно осуществить 5 + 4 = 9 способами.

8. На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать пару плодов, состоящую из яблока и апельсина?

Решение: По условию задачи яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин - четырьмя. Так как в задаче речь идет о выборе пары (яблоко, апельсин), то ее, согласно правилу произведения, можно выбрать 5·4=20 способами.

9. Сколько всего двузначных чисел можно составить из цифр 7, 4 и 5 при условии, что они в записи числа не повторяются?

Решение: чтобы записать двузначное число, надо выбрать цифру десятков и цифру единиц. Согласно условию на месте десятков в записи может быть любая из цифр 7, 4 и 5. другими словами, выбрать цифру десятков можно тремя способами. После того, как цифра десятков определена, для выбора цифры единиц остается две возможности, цифры в записи числа не должны повторяться. Так как любое двузначное число - это упорядоченная пара, состоящая из цифр десятков и цифр единиц, то ее выбор, согласно правилу произведения, можно осуществить 3·2=6 способами.

10. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 7, 4 и 5?

Решение: в данной задаче рассматриваются трехзначные числа, так как цифры в записи этих чисел могут повторяться, то цифру сотен, цифру десятков и цифру единиц можно выбрать тремя способами каждую. Поскольку запись трехзначного числа представляет собой упорядоченный набор из трех элементов, то, согласно правилу произведения, его выбор можно осуществить 3·3·3=27 способами.

11. Сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 0 и 3?

Решение: Запись четырехзначного числа представляет собой упорядоченный набор (кортеж) из четырех цифр. Первую цифру - цифру тысяч можно выбрать только одним способом, так как запись числа не может начинаться с нуля. Цифрой сотен может быть либо ноль, либо три, т.е. имеется два способа выбора. Цифру десятков можно выбрать двумя способами, цифру единиц - двумя. Чтобы узнать, сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 0 и 3, согласно правилу произведения, способы выбора каждой цифры надо перемножить: 1·2·2·2=8. таким образом, имеем 8 четырехзначных чисел.

12. Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 1, 3, 6, 7 и 9, если каждая из них может быть использована в записи только один раз?

Решение: Так как запись числа не может начинаться с нуля, то цифру сотен можно выбрать пятью способами; выбор можно также осуществить пятью способами, поскольку цифры в записи числа не должны повторяться, а одна из шести цифр будет уже использована для записи сотен; после выбора двух цифр (для записи сотен и десятков) выбрать цифру единиц из данных шести можно четырьмя способами. Отсюда, по правилу произведения, получаем, что трехзначных чисел можно образовать 5·5·4 = 100 способами.

13. У Ирины пять подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана. Она решила двух из них пригласить в кино укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов?

14. Сколько можно составить пар, выбирая:

а) первый предмет из 4, а второй из 8;

б) первый предмет из 6, а второй из 3;

в) первый предмет из 15, а второй из 12;

15. В школе есть все классы с 1 по 11. каждый из них имеет дополнительную букву «а», «б», «в», «г» или «д». сколько всего классов в этой школе?

16. на каждом барабане игрального автомата изображены символы: «вишня», «лимон» и числа от 1 до 9. автомат имеет три одинаковых барабана, которые вращаются независимо друг от друга. Сколько всего комбинаций может выпасть?

17. Первый класс праздновал Новый год. Каждая девочка подарила каждому мальчику открытку, а каждый мальчик подарил каждой девочке гвоздику. Чего было больше - подаренных открыток или подаренных гвоздик?

18. Стадион имеет 4 входа: А, В, С и Д. укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход и выйти через другой. Сколько таких способов?

19. Укажите все способы, какими можно разложить три яблока в две вазы (учтите при этом случаи, когда одна из ваз окажется пустой).

20. Составьте все возможные двузначные числа, используя в записи указанные цифры не более одного раза:

а) 1, 6, 8; б)0, 3, 4.

21. Из цифр 1, 2, 3 составьте все возможные двузначные числа при условии, что:

а) цифры в числе не повторяются;

б) допускается повторение цифр в числе.

22. Используя цифры 0, 2, 4, 6, составьте все возможные трехзначные числа, в которых цифры не повторяются.

23. В шахматном турнире участвуют 9 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?

24. В соревнованиях по футболу участвовало 12 команд. Каждая команда провела с каждой из остальных по одной игре на своем поле и по одной игре на поле соперника. Сколько всего игр было сыграно?

25. При встрече 8 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

26. Учащиеся 6 класса решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий для этого потребуется, если в классе 24 человека?

27. На входной двери дома установлен домофон, на котором нанесены цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. каждая квартира получает кодовый замок из двух цифр типа 0-2, 3-7, 7-3, 8-8 и т.п., позволяющий открывать входную дверь. Хватит ли кодовых замков для всех квартир дома, если в доме 96 квартир?

28. Из села Дятлово в село Матвеевское ведут три дороги, а из села Матвеевское в село Першино - четыре дороги. Сколькими способами можно попасть из Датлова в Першино через Матвеевское?

29. В кафе имеются три первых блюда, пять вторых блюд и два третьих. Сколькими способами посетитель кафе может выбрать ответ, состоящий из первого, второго и третьего блюд?

Решение. Первое блюдо можно выбрать 3 способами. Для каждого выбора первого блюда существует 5 возможностей выбора второго блюда. Значит, первые два блюда можно выбрать 3·5 способами. Наконец, для каждого выбора третьего блюда, т.е. существует 3·5·2 способов составления обеда из трех букв. Итак, обед из трех букв может быть составлен 30 способами.

30. Петр решил пойти на новогодний карнавал в костюме мушкетера. В ателье проката ему предложили на выбор различные по фасону и цвету предметы: пять пар брюк, шесть камзолов, три шляпы и две пары сапог. Сколько различных карнавальных костюмов можно составить из этих предметов?

2. Перестановки

Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества являются перестановки.

Рассмотрим пример 1. Пусть имеются три книги. Обозначим их буквами a, b, c. Эти книги можно расставить на полке по-разному:

abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Каждое из этих расположений называют перестановкой из трех элементов.

Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.

Число перестановок из n элементов обозначается символом P_n (читается «Р из n»).

Мы установили, что Р₃ = 6. для того, чтобы найти число перестановок из трех элементов, можно не выписывать эти перестановки, а воспользоваться правилом умножения. Будем рассуждать так. На первое место можно поставить любой из трех элементов. Для каждого выбора первого элемента есть две возможности выбора второго из оставшихся двух элементов. Наконец, для каждого выбора первых двух элементов остается единственная возможность выбора третьего элемента. Значит, число перестановок из трех элементов равно 3·2·1, т.е. 6.

Выведем теперь формулу для числа перестановок из п элементов.

Пусть мы имеем n элементов. На первое место можно поставить любой из них. Для каждого выбора первого элемента на второе место можно поставить один из оставшихся n-1 элементов. Для каждого выбора первых двух элементов на третье место можно поставить один из оставшихся n-2 элементов и т.д. в результате получим, что

P_n = n(n-1)(n-2) ·…·3·2·1.

Расположив множители в порядке возрастания, получим

P_n = 1·2·3·…·(n-2)(n-1)n.

Для произведения первых n натуральных чисел используется специальное обозначение: n! (читается «n факториал»).

Таким образом, число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле P_n = n!

Например, 2!=1·2=2; 5!=1·2·3·4·5=120.

По определению считают, что 1!=1.

Применение данной формулы иллюстрируется в пособии следующими примерами.

Пример 2. Сколькими способами могут быть расставлены 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?

Число способов равно числу перестановок из 8 элементов. По формуле числа перестановок находим, что Р₈ = 8!= 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 40320.

Значит, существует 40320 способов расстановки участниц забега на восьми беговых дорожках.

Пример 3. Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?

Из цифр 0, 2, 4, 6 можно получить Р₄ перестановок. Из этого числа надо исключить те перестановки, которые начинаются с 0, т.к. натуральное число не может начинаться с цифры 0. число таких перестановок равно Р₃. значит, искомое число четырехзначных чисел (без повторения цифр), которые можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, равно Р₄ - Р₃. Получаем, Р₄ - Р₃ = 4! - 3! = 24 - 6 = 18.

Пример 4. Имеется девять различных книг, четыре из которых - учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

Сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9, а 6 книг это можно сделать Р₆ способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р₄ перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг на полке равно произведению Р₆·Р₄ = 6! ·4! = 720·24 = 17280.

Упражнения

31. Сколькими способами 4 человека могут разместиться на четырехместной скамейке?

32. Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?

33. Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?

34. В автосервис одновременно приехали 3 машины для ремонта. Сколько существует способов выстроить их в очередь на обслуживание?

35. Сколько есть способов раздать спортивные номера с 1 по 5 пяти хоккеистам?

36. Сколько существует выражений тождественно равных произведению аbcde, которые получаются из него перестановкой множителей?

37. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 5, 6, 7, но забыла в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.

38. Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр:

а) 1, 2, 5, 6, 7, 8; б) 0, 2, 5, 6, 7, 8?

39. Сколько среди четырехзначных чисел (без повторения цифр), составленных из цифр 3, 5, 7, 9, таких, которые:

а) начинаются с цифры 3; б) кратны 15?

40. Найдите сумму цифр всех четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 5, 7 (без их повторения).

41. Сколько чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, таких которые:

а) больше 3000; б) больше 2000?

42. Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если:

а) Олег должен находиться в конце ряда;

б) Олег должен находиться в начале ряда, а Игорь - в конце;

в) Олег и Игорь должны стоять рядом.

Решение. а) так как место Олега фиксировано, то число комбинаций зависит от расположения остальных шести мальчиков. Значит число комбинаций равно Р₆=6!=1·2·3·4·5·6=720.

б) Так как места Олега и Игоря фиксированы, то число комбинаций зависит от расположения пяти остальных мальчиков, т.е. равно Р₅=5!=1·2·3·4·5=120.

в) Будем рассматривать пару Олег-Игорь как один элемент. Расположение этой пары и пяти остальных мальчиков может быть выполнено Р₆=6! способами. В каждой из этих комбинаций Олег и Игорь могут располагаться Р₂=2! Способами. Значит искомое число способов расположения мальчиков равно Р₆·Р₂=6! ·2!=720·2=1440.

43. В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание на этот день так, чтобы два урока математики (алгебра и геометрия) стояли рядом?

44. Сколько существует перестановок букв слова «конус», в которых буквы к, о, н стоят рядом?

45. Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг - это сборники стихов, так, чтобы сборники стихов стояли рядом?

46. Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10? Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки - на четных?

Решение. Если мальчики и девочки сядут в один ряд в произвольном порядке, то это можно сделать Р₁₀=10!=3628800 способами. Если мальчики сядут на нечетные места, то существуют Р₅ способов их расположения. Столькими же способами могут расположиться девочки на четных местах. Каждому способу расположения мальчиков соответствует Р₅ способов расположения девочек. Значит, расположиться так, что мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки - на четных, можно Р₅·Р₅=5! ·5!=120·120=14400 способами.

47. Делится ли число 30! на:

а) 90; б) 92; в)94; г) 96?

Решение. а) 90=2·5·9. Среди множителей числа 30! есть числа 2, 5 и 9. значит, число 30! делится на 90.

б) 92=4•23. Среди множителей 30! есть числа 4, 23. Значит, число 30! делится на 92.

в) 94=2·47. Число 47 простое и больше, чем 30. Так как среди множителей числа 30! нет числа 47, то число 30! не делится на 94.

г) 96=2·3·16. Среди множителей 30! есть числа 2, 3, 16. Значит, число 30! делится на 96.

48. Делится ли число 14! на:

а) 168; б) 136; в) 147; г) 132?

49. Найдите значение выражения:

а) б) в) г)

Решение: а) б)

в) г)

50. Вычислите значение дроби:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е)

51. Выпишите все натуральные делители числа:

а) 4!; б) 5!; в)6!

52. Докажите, что если n<m, то m! делится на n! без остатка.

53. Что больше и во сколько раз:

а) 6!•5 или 5! •6 б) (п+1)! •п или п! •(п+1)

3. Размещения

Пусть имеется 4 шара и 3 пустых ячейки. Обозначим шары буквами a, b, c, d. в пустые ячейки можно по-разному разместить три шара из этого набора шаров. Если мы поместим шар a в первую ячейку, шар b во вторую, а шар с в третью ячейку, то получим одну из возможных упорядоченных троек шаров:

a	b	c

Выбирая по-разному первый, второй и третий шары, будем получать различные упорядоченные тройки шаров, например:

a	c	b		b	a	c		a	b	c

Каждую упорядоченную тройку, которую можно составить из четырех элементов, называют размещением четырех элементов по три.

После этого дается определение и вводится соответствующее обозначение.

Размещением из n элементов по k (k ? n) называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов.

Число размещений из n элементов по k обозначают (читают «А из n по k»).

Из определения следует, что два размещения из п элементов по k считаются различными, если они отличаются самими элементами или порядком их расположения.

Составим из элементов a, b, с, d все размещения по три элемента. В первой строке запишем все размещения, которые начинаются с элемента a, во второй - с элемента b, в третьей - с элемента c, в четвертой - с элемента d. Получим такую таблицу: