Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

Так как в процессе обучения математике обычно используют-ся так называемые конкретно - индуктивные или абстрактно-дедук-тивные методы обуче-ния, то, естественно, возника-ет необходимость (из дидакти-ческих соображений) говорить о конкретном (предметном) или абстрактном мышлении школьников.

Конкретное (предметное) мышление - это мышление в тесном взаимодействии с конкретной моделью объекта.

Различаются две формы конкретного мышле-ния:

1) неоперативное (наблюдение, чувственное восприя-тие);

2) оперативное (непосредственные действия с конкрет-ной моделью объекта).

Неоперативное конкретное мышление чаще всего проявляется у дошкольников и младших школьников, которые мыслят лишь наглядными образами, воспринимая мир лишь на уровне пред-ставлений. То, что школьники на этом уровне развития не владе-ют понятиями, ярко иллюстрируется опытами психологов школы Ж. Пиаже. Рассмотрим некоторые из них:

1. Детям демонстрируются два сосуда (рис. 2 , а) одинаковой формы и размеров, содержащие поровну темную жидкость. Дети легко устанавливают равенство жидкостей в первом и втором сосуде. Далее, на виду у детей жидкость из одного сосуда перели-вают в другой более высокий и узкий (рис. 2 , б) и предлагают срав-нить количество жидкости в этом сосуде и оставшемся нетронутым. Дети утверждают, что в новом сосуде жидкости стало больше.

2. Детям демонстрируют цветы: васильки и маки (например, 20 маков и 3 василька) и спрашивают, чего больше: цветов или ма-ков? И хотя дети как будто бы знают, что и васильки и маки суть цветы, они отвечают, что маков больше.

3. Через полую непрозрачную трубку (рис.3) на виду у детей пропускают проволоку с фиксированными на ней шариками (красным, белым, синим, зеленым), пока все шарики не скроются в трубке.

Дети наблюдают порядок «вхождения» шариков в трубку. Затем начинают обратное движение проволоки, предлагая детям назвать цвет шарика, который теперь выйдет первым, вторым и т. д. Дети обычно называют шарики в том порядке, в каком они «вхо-дили» в трубку.

Дело в том, что неоперативное мышление детей еще непосред-ственно и полностью подчинено их восприятию и потому они по-ка не могут отвлечься, абстрагироваться с помощью понятий от некоторых наиболее бросающихся в глаза свойств рассматривае-мого предмета. В частности, думая о первом сосуде (см. первый опыт Ж. Пиаже), дети смотрят на новый сосуд и им представляет-ся, что жидкость в нем занимает больше мест а, чем раньше (уровень жидкости стал выше).

Их мышление, протекающее в форме наглядных образов, приводит к выводу (следуя за восприя-тием), что жидкости в сосудах стало непоровну.

В процессе обучения математике в среднем и старшем звене школы воздействие на неоперативное конкретное мышление уча-щихся проявляется при использовании различных наглядных » пособий, диафильмов, кино и телевидения.

Возвращаясь к описанным выше трем опытам Ж. Пиаже, от-метим, что сам Пиаже объясняет ошибочные ответы детей отсутст-вием у них способностей к особым мыслительным операциям (постоянство целого, устойчивое отношение части к целому и обрати-мость), без формирования которых невозможно овладение поня-тием натурального числа.

Вместе с тем Ж. Пиаже утверждает (и это утверждение согла-суется с мнениями многих советских психологов), что оператив-ное конкретное мышление является более действенным для под-готовки детей к овладению абстрактными понятиями. Самостоя-тельная мыслительная деятельность выделяется именно по мере развития практической деятельности, лежащей в основе развиваю-щейся психики ребенка.

Конкретное мышление играет большую роль в образовании абстрактных понятий, в конструировании особых свойств математического мышления, развитие которых способствует познанию математических абстракций.

Поэтому психологи рекомендуют широко использовать различ-ные дидактические пособия (например, геоплан Гаттеньо, лине-ечки Кюзинера и т. п.), с которыми школьники могут действовать непосредственно в процессе обучения. В процессе обучения мате-матике роль конкретного мышления особенно велика в младших и средних классах. В целях развития у учащихся этого типа мы-шления, помимо традиционного применения наглядных средств в обучении, необходимо учить школьников общим рассуждениям на конкретных (частных) примерах.

В старших классах мера конкретного в процессе познания убывает, в то время как само конкретное меняет свою форму, на смену конкретному приходит абстрактное, которое должно выступать как целесообразное обобщение конкретного.

Особенно полезно использовать это положение при введении в новую тему. В учебном пособии И. К. Андронова и А. К. Окунева таким путем рассматривается, например, вопрос о введении понятия о тангенсе острого угла (решается задача о целесообразном наклоне крыши здания, затем вводится понятие тангенса угла наклона и, наконец, изученные круговые функции применяются к определению расстояния Земля - Луна).

Содействуя развитию у учащихся неоперативного конкретно-го мышления, полезно помнить о том, что постоянное обращение к наглядным представлениям может иногда оказаться вредным. Так, например, чрезмерное увлечение наглядностью преподавания начал стереометрии может затормозить формирование у учащихся пространственного воображения.

Абстрактное мышление

Абстрактное мышление тесно связано с мыслительной опе-рацией, называемой абстрагированием. Напомним, что абстраги-рование имеет двойственный характер: негативный (от-влекаются от некоторых сторон или свойств изучаемого объекта) и позитивный (выделяют определенные стороны или свойства этого же объекта, подлежащие изучению).

Поэтому, абстрактным мышлением называют мышление, ко-торое характеризуется умением мысленно отвлечься от конкретного содержания изучаемого объекта в пользу его общих свойств, подле-жащих изучению.

Абстрактное мышление может проявляться в про-цессе обучения математике:

а) в явном виде. Например, рассматривая в курсе геометрии понятие геометрического тела, мы явно отвлекаемся от и всех свойств реальных тел, кроме формы, размеров и положения в пространстве;

б) в неявном виде. Например, при счете предметов. конкретного множества мы неявно отвлекаемся от свойств каждого ; отдельного предмета, полагая, что все предметы одинаковы (тож-дественны).

Абстрактное мышление можно подразделить на:

1) аналитическое мышление;

2) логическое мышление;

3) пространственное мышление.

1. Аналитическое мышление характеризуется четкостью отдельных этапов в познании, полным осознанием, как его содержания, так и применяемых операций. Оно проявляется в процессе обучения через:

а) аналитический способ доказательства теорем и решения задач (чтобы узнать, надо знать);

б) решение задач методом уравнения;

в) исследование результата решения некоторой задачи и т.п.

В свою очередь, побуждая школьников к упомянутой выше ма-тематической деятельности, учитель может способствовать раз-витию у учащихся аналитического мышления.

Аналитическое мышление не выступает изолированно от других видов абстрактного мышления; на отдельных этапах мышления оно может лишь превалировать над теми видами, с которыми оно выступает совместно. Этот вид мышления тесно связан с мысли-тельной операцией анализа .

2. Логическое мышление характеризуется обычно умением выводить следствия из данных предпосылок, умением вычленять частные случаи из некоторого общего положения, уме-нием теоретически предсказывать конкретные результаты, обоб-щать полученные выводы и т. п. Известно, что развитие логического мышления школьников в процессе обучения математике является предметом особой заботы учителей и методистов. В процессе обу-чения математике логическое мышление проявляется (и разви-вается) у учащихся, прежде всего в ходе различных математиче-ских выводов: индуктивных (полная индукция) и дедуктивных, в ходе доказательств теорем, обоснований решения задачи т.п.

3. Пространственное мышление характе-ризуется умением мысленно конструировать пространственные образы или схематические конструкции изучаемых объектов и выполнять над ними операции, соответствующие тем, которые дол-жны были быть выполнены над самими объектами.

Известно, что невысокий уровень развития пространственного воображения и мышления, учащихся обычно является для них камнем преткновения при изучении стереометрии, так как оно не формируется сразу; для его успешного развития обычно требуется кропотливая предварительная подготовка учащихся. В определен-ной степени развитию пространственного мышления способствует использование в обучении таких технических средств обучения, как кинофильмы, диафильмы, диапозитивы, кодоскоп.

Широкое применение наглядных пособий (в частности, анагли-фов) при изучении стереометрии, конечно, в какой-то мере способствует развитию у учащихся пространственного мышления (и воображения).

С этим типом мышления тесно связана способность учащихся выразить при помощи, какой - либо схемы тот или иной математический объект, операции или отношения между объектами. Схемы, которые при этом составляются, могут иметь самый разнообразный характер.

Интуитивное мышление

«Интуиция (лат. intuito - при-стальное всматривание) - особый способ познания, характеризующийся непосредст-венным постижением истины. . . К облас-ти интуиции принято относить такие явле-ния, как внезапно найденное решение зада-чи, долго не поддававшейся логическим уси-лиям, мгновенное нахождение единственно верного способа избежать опасности, быст-рое и безотчетное отгадывание замыслов или мотивов поведения человека и т. д.»

В современной педагогике специфику интуитивного мышления в его отличии от аналитического мышления пытался рассмот-реть Дж. Брунер. «Можно более конкрет-но охарактеризовать аналитическое и ин-туитивное мышление. Аналитическое мышление характеризуется тем, что его отдельные этапы отчетливо выражены и думающий мо-жет рассказать о них другому человеку. Такое мышление обычно осуществляется с относительно полным осознанием как его содер-жания, так и составляющих его операций...

В противоположность аналитическому, интуитивное мышление характеризуется тем, что в нем отсутствуют четко определенные этапы. Оно имеет тенденцию основываться, прежде всего, на свер-нутом восприятии всей проблемы сразу. Человек достигает ответа, который может быть правильным или ошибочным, не осознавая при этом (если вообще такое осознание имеет место) тот процесс, посред-ством которого он получил искомый ответ... Обычно интуитивное мышление основывается на знакомстве с основными знаниями в данной области и с их структурой, и это дает ему возможность осуществляться в виде скачков, быстрых переходов, с пропуском отдельных звеньев; эти особенности требуют проверки выводов аналитическими средствами - индуктивными или дедуктивными».

В процессе традиционного школьного обучения математике иногда основное внимание уделяется точному воспроизведению школьником полученных им знаний. Поэтому нередко своеобразный ответ одаренного учащегося ценится меньше, чем хорошо заучен-ный ответ другого. В первом случае, хотя учащийся не в состоянии четко изложить ход своих мыслей, он приходит к правильному ре-зультату, показывая хорошее умение применять свои знания, во втором - учащийся много и правильно говорит, но по существу не умеет пользоваться понятиями, выраженными в его речи.

Часто преподавание математики строится именно так. Школь-ник учится не столько понимать математические отношения, сколь-ко просто применять определенные схемы или правила без понима-ния их значения и связи. После такого неудачного начала обуче-ния учащийся приходит к убеждению, что самое важное - быть «точным», хотя точность относится скорее к вычислениям, чем вообще к математике. Американский педагог-психолог Д. Брунер пишет, что «...Быть может, самым поразительным примером такого подхода является первоначальное изложение евклидовой геометрии учащимися средней школы в виде ряда аксиом и теорем без всякой опоры на непосредственный опыт оперирования простыми геометри-ческими формами. Если бы ребенок раньше овладел понятиями и доступными ему способами действий в виде «интуитивной» геометрии, то он смог бы более глубоко усвоить смысл теорем и аксиом, которые ему объясняются позднее».

В настоящее время развитие интуитивного мышления привлекло внимание многих прогрессивных педагогов-математиков. На роль интуиции в обучении математики указывает А. Н. Колмогоров, Который пишет: «...Везде, где это возможно, математики стремятся сделать изучаемые ими проблемы геометрически наглядными.

...Геометрическое воображение, или, как говорят, «геометриче-ская интуиция», играет большую роль при исследовательской работе почти во всех разделах математики, даже самых отвлечен-ных. В школе обычно с особенным трудом дается наглядное пред-ставление пространственных фигур. Надо, например, быть уже очень хорошим математиком (по сравнению с обычным школьным уровнем), чтобы, закрыв глаза, без чертежа ясно представить себе, какой вид имеет пересечение поверхности куба с плоскостью, про-ходящей через центр куба и перпендикулярной одной из его диаго-налей».

Правда, значение интуиции нельзя переоценивать. Конечно, человек с хорошо развитой способностью к интуитивному мышле-нию обычно обладает определенными математическими способно-стями, но сама по себе интуиция не может обеспечить хорошего зна-ния предмета.

Д. Брунер высказывает мысль, что «может быть, прежде всего, нужно создать интуитивное понимание материала и только тогда знакомить учащихся с более традиционными и формальными мето-дами дедукции и доказательства».

То же самое отмечает и Э. Кастельнуово в книге «Дидактика математики».

Говоря об обучении геометрии, она указывает, что надо сделать так, чтобы курсу «рациональной» геометрии предшествовал курс «интуитивной» геометрии. Этот курс должен быть построен таким образом, чтобы к 14 годам дети имели полное представление о мире геометрических фигур и вопросы, изученные в начале на интуитив-ной основе, были затем повторены с более абстрактной точки зрения, т. е. предлагается метод действия с объектом, а не метод наблюдения над ним.

Автор ставит вопрос: «Если ясно, что надо начинать с изложения курса интуитивной геометрии, исходя из конкретного развития понятий и свойств, то какой смысл следует придавать опоре на конкретное?» И приводит пример, рассказывающий о различном подходе к конкретному: представим, что с детьми 11 лет мы изучаем квадрат. Чтобы дать определение этой фигуры, впрочем, уже из-вестной всем детям этого возраста, исходя из конкретного, можно вырезать квадраты из листа бумаги и дать детям задание наблюдать за сторонами и диагоналями вырезанных квадратов. Можно при-вести примеры предметов, имеющих форму квадратов, сравнить квадраты с другими видами четырехугольников. Все это делается для того, чтоб ученик смог самостоятельно дать определение. Отправляясь от небольшого числа наблюдений неподвижных фигур, учащийся 11 лет, как правило, не способен сделать это самостоя-тельно.

Автор предлагает другой, более естественный путь, используя не наблюдения над объектом, а действия с объектом.

Детям дают равные между собой планки и винты для их скреп-ления. Скрепив планки, учащиеся замечают, что фигура, которую они получили, может изменятся, преобразовываться в ромб.

Если сосредоточить внимание ребенка на элементах, которые не изменяются и которые изменяются при переходе от одной фигуры к другой, то он сможет интуитивно почувствовать постоянство суммы величин углов и изменение суммы длин диагоналей через рассмотрение предельных случаев, когда ромб «стремится» к отрезку. В этом случае наблюдение за большим числом фигур образующихся при преобразовании квадрата, приводит к характеристике и квадрата через ромб и, следовательно, к определению фигуры.

Д. Брунер задает вопрос: «Является ли более вероятным раз-витие интуитивного мышления учащегося в тех случаях, когда пре-подаватель сам мыслит интуитивно?.. Кажется невероятным, что-бы учащийся мог развить у себя или имел доверие к интуитивному методу мышления, если он никогда не видел, как его эффективно используют взрослые. Учитель, который готов по догадке давать ответ на вопрос, заданный классом, и затем подвергнуть свою до-гадку критическому анализу, быть может, с большим успехом сформирует у своих учащихся умение пользоваться интуицией, чем тот учитель, который анализирует все свои впечатления заранее...

...Следует ли стимулировать учащихся к догадкам? Как созда-вать ситуации, требующие напряжения интеллектуальных про-цессов? Возможно, что имеются определенные условия, в которых догадки желательны и могут в некоторой степени способствовать нормированию интуитивного мышления. Такие догадки нужно заботливо развивать. Однако в школе выдвижение догадки часто тяжело наказывается и как-то ассоциируется с леностью учащихся. Конечно, никому бы не понравилось, если бы наши учащиеся не отмели совершать иных интеллектуальных операций, кроме догадок, как за догадками всегда должны следовать проверка и подтвер-ждение в той мере, в какой это необходимо... Не лучше ли для учащихся строить догадки, чем лишаться дара речи, когда они не могут немедленно дать правильный ответ?»

Поэтому в процессе обучения математике следует всячески по-ощрять у учащихся желание и способность к догадке. При этом сле-дует каждый раз обращать внимание учащихся на то, что каждая гипотеза, выдвинутая при помощи догадки, нуждается в проверке на правдоподобность и в обосновании (если она не будет опровергнуты каким-либо примером).

Интуитивное мышление нередко проявляется в процессе умозаключений по аналогии.

Так, например, пусть нам известно, что центр тяжести одно-родного треугольника совпадает с центром тяжести трех его вер-шин (т. е. трех материальных точек одинаковой массы, помещенных в трех вершинах треугольника).

Зная это, мы можем предположить, что центр тяжести одно-родного тетраэдра совпадает с центром тяжести его четырех вершин. Такая догадка представляет собой «догадку по аналогии». Зная, что треугольник и тетраэдр похожи друг на друга во многих отно-шениях, мы и высказываем эту догадку. Предоставляем читателю самостоятельно проверить, насколько верна высказанная только что догадка.

Функциональное мышление, характеризу-емое осознанием динамики общих и частных соотношений между математическими объектами или их свойствами (и умением это использовать), ярко проявляется в связи с изучением одной из ведущих идей школьного курса математики - идеи функции.

Как известно, одним из центральных требований начальной стадии международного движения за реформу математического обра-зования (возглавлявшегося Ф. Клейном) было требование обращать особое внимание на развитие у школьников функционального мыш-ления, наиболее характерными чертами, которого являются:

а) представление математических объектов в движении, изме-нении;

б) операционно-действенный подход к математическим фактам, оперирование причинно-следственными связями;

в) склонность к содержательным интерпретациям математичес-ких фактов, повышенное внимание к прикладным аспектам мате-матики.

Как показывают исследования, наглядно кинематические и физические представления, лежащие в основе функционального мышления, органически сливаются с формально-логическими ком-понентами мышления.

Одним из средств развития функционального мышления могут служить системы задач на математическое выражение и исследова-ние конкретных ситуаций с ярко выраженным «функциональным Содержанием».

В общем случае решение такой задачи содержит в себе три мо-мента:

1. В изучаемом явлении выделяют основные, существенные связи, отбрасывая второстепенные, несущественные детали, вводят различного рода упрощения и допущения.

2. Связав объекты, выступающие в изучаемом явлении, с чис-лами или геометрическими образами, переходят от зависимостей между этими объектами к математическим соотношениям - фор-мулам, таблицам, графикам.

3. Полученные математические соотношения исследуют, поль-зуясь уже известными, выработанными и изученными математическими правилами действий над ними, а результаты исследования истолковывают в терминах и понятиях изучаемого явления.

К сожалению, на практике из-за недостатка времени нередко приходится ограничиваться неполными задачами, содержащими только некоторые из перечисленных выше элементов. Какими именно, зависит от возраста учащихся и преследуемых учителем целей.

Нетрудно обнаружить, что разновидности математического мышления являются не чем иным, как специфическими формами - проявления диалектического мышления в процессе изучения мате-матики. Можно, например, указать на тот факт, что так называемое функциональное мышление является адекватным осознанию из-менчивости, взаимосвязи и взаимозависимости математических понятий и соотношений, что характерно для диалектического мышления.

Известно также, что наряду с задачей развития логического мыш-ления, составляющей одну из задач обучения математике, в школьном обучении должна решаться не менее важная, хотя и более общая задача - задача воспитания логической гра-мотности. Содержание понятия «логическая грамотность» доставляют такие логические знания и умения, которые дают воз-можность для успешного обучения в школе, для дальнейшего обучения и самообразования, для успешной общественно полезной практической деятельности и повседневной жизни. Исследования Л. Никольской показали, что от выпускников средней школы требуется овладение следующими логическими знаниями и уме-ниями: умения определять известные понятия, классифици-ровать, понимать смысл основных логических связок, распозна-вать логическую форму математических предложений, доказывать утверждения и обнаруживать логические ошибки, организовывать свою деятельность в соответствии с внутренней логикой ситуации, мыслить критически, последовательно, четко и полно, владеть основными мыслительными приемами. Нетрудно обнаружить, что в понятие логической грамотности вкладываются не только со-ответствующие знания и умения, но и сформированность многих качеств научного мышления. Поэтому задача воспитания логической грамотности правомерно рассматривается как важный элемент общей культуры мышления.

Развитие же логического мышления учащихся в процессе обучения математике есть, прежде всего, развитие тео-ретического мышления, которое представляет собой один из важнейших аспектов развития диалектического мышления. В самом деле, не только в ходе обучения и развития, но и в ходе воспитания, и в особенности в процессе формирования диалектико-материалистического мировоззрения школьников, предполагается целенаправленная работа учителя по развитию логического мышле-ния, основанная на самом содержании учебного материала и его методологии. Конечным итогом обучения любому предмету (в том числе и математике) должно быть подведение учащихся к наиболее общим философским выводам о видах и формах существования ма-терии. При этом важно, чтобы эти выводы и обобщения были сде-ланы самими учащимися в процессе размышления над логикой тех или иных посылок и следствий, в процессе изучения конкретного учебного предмета, под руководством учителя.

Таким образом, с научной точки зрения говорить о вышеуказан-ных типах мышления как о компонентах, присущих только мате-матическому мышлению, было бы неверно.

Вместе с тем с дидактических позиций выделение этих компонен-тов математического мышления возможно и даже целесообразно, т. е. целенаправленная работа учителя по формированию у школь-ников функционального, логического, интуитивного и т. д. мышле-ния реализует задачу математического развития учащихся в целом.

Использование условной терминологии дает возможность ориен-тировать учителя на ту или иную сторону развития математиче-ского мышления у школьников в соответствующих методических рекомендациях. Так, обратимся еще раз, к примеру, упомянутому ранее. Говоря о необходимости развития у учащихся абстрактно-го мышления, можно рекомендовать учителю, приступающему к преподаванию систематического курса геометрии, начать с рас-смотрения реальной ситуации - задачи проведения трубопровода между двумя пунктами. Сам трубопровод представляет собой ре-альный объект, обладающий самыми различными, важными в практическом смысле свойствами: весом отдельных звеньев, ка-чеством металла, размерами, формой, протяженностью, качеством покрытия, пропускной способностью и т. д.

Начиная проектировать строительство трубопровода, инженер-конструктор, прежде всего, будет интересоваться протяженностью и трассой, по которой он будет проложен. На этом уровне конструктор отвлекается от всех других свойств этого объекта, обращая вни-мание лишь на названные выше свойства; возникает абстракт-ная модель трубопровода в виде геометрической линии. Руководствуясь оптимальными условиями эффективной работы трубопровода, инженер начинает изучать вопрос о необхо-димой для этого форме и размерах трубопровода, не интересуясь теперь тем, по какой трассе он будет проложен. Возникает новая абстрактная модель этого же объекта, представленная в виде геометрического тела. Прораб, который руководит обкладкой трубопровода изоляционным материалом (или окраской трубопровода, защищающей его от коррозии), имеет дело уже с другой абстрактной моделью трубопровода: он рассматривает его как геометрическую поверхность. Решение этой и других аналогичных ей задач устанавливает полезность рассмотрения среди многообразных свойств объекта таких свойств, как размеры, форма и положение в пространстве. Возникает целая отрасль научного знания об объек-тах реальной действительности, в которой изучаются именно эти свойства реальных объектов, называемая геометрией.

Таким образом, тезис В. И. Ленина о том, что «диалектика вещей создает диалектику идей...», имеет отношение, но только к анализу природы абстракции, но и к методам обучения математике. Говоря о том, что в процессе обучения математике необходимо развивать абстрактное мышление школьников, мы, в частности, имеем в виду широкое использование методических приемов, аналогичных вышеприведенному.

В состав математического мышления включаются мыслит ильные умения, адекватные известным методам научного познания. В практике обучения математике от выступают не столько как методы математической деятельно-сти, сколько как комплекс средств, необходимых для усвоения у^чащимися математики и развития у них качеств, присущих ма-тематическому мышлению. Эти мыслительные умения могут проявиться (и формироваться) в обучении на уровнях эмпириче-ского и научно-теоретического мышления.

Наряду со спецификой математического мышления справедливо P3Дичать специфику физического, технического, гуманитарного и других видов мышления. Именно в силу этой специфики в про-цессе познания конкретных наук (и обучения конкретным учебным предметам) активизируется развитие того или иного компонента мышления вообще, усиливается роль того или иного приема мы-слительной деятельности, того или иного метода познания.

Формирование математического мышле-ния школьников предполагает, таким образом, целенаправленное развитие на предмете математики всех качеств, присущих естественнонаучному мышлению, комплекса мыслительных умений, лежащих в основе методов научного позна-ния, в органическом единстве с формами проявле-ния мышления, обусловленными спецификой самой математики, с постоянным акцентом на развитие научно-теоретического мышления.

В процессе обучения математике естественно уделять особое внимание развитию у учащихся качеств мышления, специфичных для мышления математического. При условии, что проблеме развития мышления школьников при изучении других учебных пред-мета будет уделено должное внимание, опасность одностороннего развития мышления школьников не возникает. Развивающее обу-чение, осуществляемое при изучении других учебных предметов, неизбежно приведет к усилению развития тех компонентов мышле-ния, которые с точки зрения математического образования счи-таются второстепенными.

Органическое сочетание и повышенная активность разнообраз-ных компонентов мышления вообще и различных его качеств про-являются в особых способностях человека, дающих ему возможность успешно осуществлять деятельность творческо-го характера в самых разнообразных областях науки, техники и производства. Так называемые математические способности - это определенная совокупность некоторых качеств творческой личности, сформированных (и применяемых) в процессе математической деятельности.

Совокупность способностей, присущих творческой личности, реализуемых в процессе мышления, называют творческим мышлением.

1.3. Развитие мышления при обучении математике.

1.3.1. Средства и условия развития мышления.

Рассматривая вопрос о средствах и условиях развития мышления, определим эти понятия. Под условиями, согласно теории деятельности, понимают все то, что влияет на характер и эффективность деятельности, а под средством - такие условия, которыми субъект деятельности может произвольно и непроизвольно оперировать в процессе реализации цели.

Среди теорий, рассматривающих проблемы развития мышления, интеллекта, следует выделить ассоцианистскую теорию, стоящую у истоков многих других теорий развития (Д.С. Выготский, С.Л. Рубинштейн и др.). Мышление, согласно этой теории, - это процесс.

Мыслительный процесс делится на акты, этапы, каждый из которых имеет результативное выражение - «продукт». Последний включается в дальнейшее протекание процесса. Предметом психологического исследования являются не продукт, а процесс, процессуальное мышление.

Внутренние закономерности мышления - это закономерности мыслительных операций анализа, синтеза, сравнения, обобщения, абстрагирования и др. и их взаимосвязей.

Согласно этой теории и ученик и ученый овладевают новыми знаниями с помощью мыслительных операций, формы и уровень которых различны. По мере формирования операций формируется интеллект.

Каждый учебный предмет имеет свою специфику, и каждая умственная операция преломляется через специфику содержания предмета. Эти операции не привлекаются извне, они порождают-ся процессом мышления в результате анализа задачи, ее условий.

Одним из ключевых моментов поиска решения задачи, соглас-но рассматриваемой теории, является перенос уже имеющегося способа решения на новую задачу. Перенос решения предпола-гает аналитико-синтетическую деятельность относительно реша-емой и решенной задачи. Использование вспомогательной зада-чи может быть осуществлено только при достаточном анализе основной задачи. Раскрытие общего в обеих задачах - необходи-мое условие переноса. Перенос не осуществляется решающим в силу следующих обстоятельств: не знает, забыл вспомогатель-ную задачу, не умеет в задачах найти общее, недостаточная обоб-щенность результата решенной задачи. Если, например, учащие-ся, изучившие теорему Пифагора, не могут перенести ее условия на ситуацию, связанную с ромбом, значит, ими не проведена аналитико-синтетическая деятельность по анализу задачи, выделе-нию главного, определяющего метод решения задачи.

Содержанием процесса переноса является анализ через син-тез, т. е. рассмотрение ситуации с различных точек зрения.

Говоря о теориях развивающего обучения нельзя не сказать о теории Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова, получившей особенно широкое распространение в начальной школе, в том числе при обучении математике. Эта теория постепенно завоевывает свое место и в средней школе. В чем суть рассматриваемой концеп-ции? В чем выражается эффект развития и за счет чего он получа-ется?

Исходные установки концепции Д.Б. Эльконина - В.В. Давы-дова касаются всех сторон обучения. Это - создание условий для развития личности ребенка, смена содержания обучения, измене-ние форм работы с детьми. Изменение содержания курса диктует-ся основным положением концепции - изучением содержания на уровне теоретического обобщения. Теоретические знания, соглас-но концепции, должны отражать внутренние существенные связи материала, не данные в рамках чувственного опыта. Произвести содержательное обобщение - значит открыть некоторую законо-мерность, взаимосвязь особенных и единичных явлений, открыть закон становления внутреннего единства этого целого. Теорети-ческие обобщения возникают не путем простого сравнения пред-метов, а с помощью выявления генетической основы всех конк-ретных проявлений целостной системы.

Основная форма организации изучения материала в этой тео-рии - постановка и решение учебных задач в рамках проблемно-го подхода. Понятие «учебная задача» введена авторами кон-цепции. Она означает обобщенное знание, обобщенное умение. Примеры обобщенных знаний: как устроено определение поня-тия, почему необходимы неопределяемые понятия, как устроена дедуктивная теория. Примеры обобщенных умений/анализиро-вать условие задачи, составлять прием решения типовой задачи, применять любое правило на практике, читать математическую книгу и многое другое.

Учебная задача существенно отличается от многочисленных частных задач, входящих в программу того или иного класса при традиционном обучении. При решении учебной задачи школьник первоначально овладевает общим способом решения част-ных задач на уровне теоретического обобщения. Задача решает-ся для всех однородных случаев сразу. Разрешение учебной зада-чи всегда заканчивается построением программы, предписания, алгоритма - получением ориентировочной основы для решения сходных задач.

Эта ориентировочная основа является основанием для анали-за условия, планирования, осуществляемых учеником при реше-нии частных задач, для рефлексивных действий, для развития со-ответствующих особенностей мышления, которые являются по-казателями развитого мышления.

Итак, каждая из рассмотренных концепций предлагает свой путь развития мышления, свой путь организации обучения, свои формы и методы работы, свой подход к содержанию материала. Представляется, что, во-первых, в практике обучения нельзя ис-ходить из одной, пусть даже очень эффективной, концепции. Процесс обучения многогранен, поэтому необходим подход к нему с точек зрения различных теорий, различных концепций. Во-вто-рых, теории развивающего обучения не только не противоречат друг другу, но имеют много общего. Все они предполагают обу-чение учащихся ориентированию в неопределенных ситуациях, анализу этих ситуаций, уточнению целей, поиску выхода из за-труднительной ситуации, осознанию путей выхода из ситуации.

Рассмотренные теории могут найти свое место в процессе обу-чения - в организованном процессе передачи старшим поколени-ем младшему своего опыта.

Многие педагоги и психологи в качестве важнейшего показа-теля развития личности выделяют наличие систематизированных знаний, накопление фонда знаний относят к одной из важнейших задач умственного воспитания, считают, что если школа не доби-вается от учащихся глубоких, прочных знаний, то она не может развивать мышление и творческие способности. Знания как пред-мет обучения являются лишь одной из целей обучения, но этот такая цель, в которой концентрируются другие цели обучения. Без знаний не может быть умений. Знания являются предпосылкой, средством и результатом творчества. Без глубоких систе-матизированных знаний невозможно формирование мировоззре-ния. Достаточно полный и систематизированный запас знаний об окружающем мире является важнейшим показателем разви-тия личности учащегося. Знания - не только фонд для осуществ-ления мышления. Усвоение содержания не есть акт простого при-своения знаний. Осознание содержания даже при предъявлении его в готовом виде объяснительно-иллюстративным методом предполагает понимание его внутренней логики, различных вза-имосвязей элементов знаний, соотнесение новых знаний с имею-щейся системой знаний, ее дополнение, изменение. Усвоение зна-ний при любых методах обучения предполагает осуществление мыслительных операций, заложенных в содержании, результа-том выполнения которых и является осознание содержания. Логика содержания в значительной мере определяет логику позна-ния. И развитие происходит при всех формах передачи знаний, хотя и в разной степени. При передаче знаний также предполага-ется и деятельность прогнозирования при восприятии материала, предвосхищение взаимосвязей в этом материале. Происходит со-поставление нового с собственным опытом, критический его ана-лиз. Возникают различные аналогии. И если ученик впервые в каком-либо содержаний встречается, например, с отношением транзитивности и понимает его в соответствующем контексте, то это хоть и небольшое, но продвижение в развитии его мышления.

Итак, создание системы знаний, наличие этой системы являет-ся и условием, и средством, и показателем развития мышления.

Но знания важны не сами по себе. Важно функционирование знания в мышлении, выработка собственных практических ре-шений под воздействием знаний. Необходимо заботиться не про-сто о системе знаний, а об интеграции знаний в такую систему, которая соответствует логике решения задач. Гибкость, подвиж-ность, обобщенность, осознанность, систематизированность зна-ний приобретается и проявляется в применении знаний, в умениях применять знания.

Умение есть овладение «технологией» деятельности, т. е. про-цессом ее построения, контроля, коррекции и оценки. Многие пе-дагоги и психологи под развитием личности субъекта понимают процесс становления его готовности к самостоятельной органи-зации своей работы в соответствии с возникшими или поставлен-ными задачами различного уровня сложности, в том числе выхо-дящими за рамки ранее усвоенного. А готовность субъекта к са-мостоятельной деятельности напрямую зависит от сформирован-ности умений.

Если исходить из классификации умений, разделяющей уме-ния на организационные, практические и интеллектуальные, то последние можно разделить на общие и специальные.

В связи с нашим подходом к анализу процесса мышления среди общих интеллектуальных умений выделим умения по осуществлению отдельных мыслительных операций, формально-логические умения, характеризуемые значительной мерой жесткости, алгоритмичности, и умения эвристического поиска.

Тогда к первой группе умений можно отнести умения обоб-щать, сравнивать, анализировать и т. д. Ко второй группе - уме-ние рассуждать доказательно, предъявляя аргументы для подтверждения каждого факта, правильно формулировать определения понятий, подводить под определение, распознавать свойства и признаки, и многое другое. К умениям вести эвристический поиск можно отнести умения видоизменять цель, разбивать задачи на подзадачи, рассматривать один и тот же объект с различных сто-рон, выделять частные случаи для получения общей закономер-ности и т.д.

Ко второй группе умений - специальных можно отнести уме-ния по использованию координатного, векторного метода реше-ния задач, умение решать задачи с помощью составления уравне-ний и т.д.

1.4. Развитие логического мышления при обучении математике.

1.4.1. Актуальность проблемы развития логического мышления учащихся.

Об актуальности проблемы развития логического мышления школьников можно говорить в различных аспектах.

Во-первых, проблема развития логического мышления долж-на иметь свое отражение в школьном курсе математики в силу недостаточности подготовки учащихся в этой части, в силу боль-шого числа логических ошибок, допускаемых учащимися в усва-иваемом содержании школьного курса математики, где предъявляются наиболее высокие требования по сравнению с другими школьными предметами по логической организации материала.

Во-вторых, необходимо четко поставить, сформулировать про-блему в силу того, что разные авторы под развитием логического мышления подразумевают различные задачи. В статьях, рекомен-дациях, как правило, поднимаются отдельные аспекты, обшей за-дачи развития логического мышления. Есть необходимость в це-лом сформулировать проблему.

Существуют различные трактовки терминов «логика мышле-ния», «логическое мышление». В педагогике, в методике препо-давания математики эти понятия отдельными авторами понима-ются очень широко как обеспечение связей в мыслях. Такое пони-мание охватывает и логику поиска нового знания (диалектичес-кую логику) и логику оформления имеющегося знания и логику здравого смысла. Также имеет место смешение элементарных психологических операций процесса мышления и логических форм. Нередко к логическим операциям относят элементарные операции мышления: анализ, синтез, сравнение и т.д.

Кроме того, часто понятия диалектическое и логическое мыш-ление четко не разделяются.

В данном изложении принята точка зрения на логическое мыш-ление как отличное от диалектического, творческого, мышления поиска нового знания.

В реальном процессе мышления творческое и логическое мыш-ление тесно переплетены, взаимопроникают, но нетождественны.

В целях изучения проблемы развития логического мышления эти два понятия целесообразно разделить. Тогда логическое мыш-ление - мышление, проходящее в рамках формальной логики, отвечающее требованиям формальной логики. Логическое мыш-ление в таком понимании не является творческим, т. к. согласно законам и правилам формальной логики нельзя вывести из посы-лок ничего такого, что не было бы в этих посылках заключено. Эта мысль содержится в словах английского философа Д. Локка о том, что силлогизм в лучшем случае есть лишь искусство вести борьбу при помощи того небольшого знания, какое у нас есть, не прибавляя к нему ничего. Известные математики, изучавшие про-цесс открытия нового знания (Ж. Адамар, А. Пуанкаре), психо-логи, изучавшие процесс мышления (Я. А. Пономарев, А.Ф. Эсаулов и др.), разделяют творческое и логически мышление. Логи-ческие рассуждения предполагают отсутствие скачка мысли, про-пуска отдельных звеньев в рассуждении и всего рассуждения, т. е. озарения, инсайта, интуиции.

Задача развития логического мышления учащихся ставится и определенным образом решается в массовой школе. Во всех школьных программах по математике как одна из целей обучения предмету отмечена - развитие логического мышления. Еще столетие назад Л.Н. Толстой отмечал, что математика имеет своей задачей не счисление, но обучение человеческой мысли при счислении.

Но программы по математике пока не содержат расшифровки этой цели. Поэтому каждый учитель понимает ее по-своему и по-своему ее решает. Представляется, что есть необходимость осознавать проблему развития логического мышления во всей широте и многогранности и уметь ее реализовывать в обычном учебном про-цессе, не привлекая дополнительного содержания, лишь расстав-ляя в обычном учебном материале определенные акценты.

Выработка умений учащихся логически мыслить протекает быстрее, если обучение определенным образом организовано, если осознаются отдельные логические формы. С осознанием отдель-ных логических форм человек начинает более четко мыслить и выражать свои мысли в речи.

Существующее положение дел в усвоении норм логического мышления не может считаться удовлетворительным в массовой школе, т. к. многие учащиеся, выпускники школ допускают мно-гочисленные логические ошибки при определении понятий, их классификации, путают прямую и обратную теоремы, свойства и признаки понятий, не умеют подводить под определение, не уме-ют строить отрицания высказываний и т. д. Приведем примеры типичных ошибок учащихся. Например, при обосновании, что треугольник со сторонами 3,4,5 является прямоугольным, назы-вается теорема Пифагора, а не ей обратная. При определении понятий неверно указывается родовое понятие: «Диаметр - пря-мая, проходящая через центр окружности». Неверно или не пол-ностью указываются видовые отличия: «Параллелограмм - это такой четырехугольник, у которого боковые стороны равны». Отсутствует родовое понятие или видовое отличие: «Средняя ли-ния трапеции - это отрезок», «Параллелограмм - это когда сто-роны параллельны». Формулировки определений избыточны: «Равнобедренный треугольник - это треугольников котором сто-роны, лежащие против равных углов, равны».

Учащиеся путают определение понятия, признак, свойство. Вместо признака, требуемого при решении задачи, приводится определение или свойство, вместо определения - признак и т.д.

Многочисленные ошибки наблюдаются при установлении свя-зи между понятиями, при классификации понятий, при выяснении, которая из двух теорем является следствием другой. Пример не-верной классификации: «Прямые в пространстве могут быть па-раллельными, перпендикулярными, пересекающимися, скрещива-ющимися». И т. д.

Как можно видеть, существует необходимость в процессе обу-чения обращать специальное внимание на развитие логического мышления. В настоящем пособии тема развития логического мышления учащимся рассматривается после того, как основные вопросы курса методики изучены. Представляется, что когда предмет методики преподавания математики лишь начинается, цели развития логического мышления при обучении математике могут быть лишь обозначены примерно в том плане, как это сде-лано в программе по математике.

По мере изучения вопросов общей и частных методик проблема развития логического мышления раскрывается более деталь-но. Требования к формулировкам определений понятий, к по-строению доказательств и т. д. рассматриваются в соответству-ющих темах. Однако разрозненные сведения необходимо систе-матизировать, обобщить, углубить, довести до такого уровня, что-бы постанова целей развития логического мышления, постанов-ка соответствующих учебных задач не представляла бы трудно-стей.

Почему проблема развития логического мышления чаще все-го поднимается в школьном курсе математики? Существуют ме-тодические работы по развитию мышления, в том числе и ло-гического, в школьных курсах русского языка, истории и т. д. В русском языке, чтобы оградить себя от возможных граммати-ческих ошибок, приходится постоянно рассуждать логически. Ло-гически мыслить можно учить через любую науку, любой школь-ный предмет. Но на школьную математику в этом плане ложится самая большая нагрузка. Ни в одном школьном предмете нет це-почек получения новых суждений, т. е. нет сложных формальных доказательств. В других школьных предметах доказательства фрагментарны, состоят из одного - двух шагов. Наличие много-шаговых доказательств - одно из проявлений специфики матема-тики - науки и школьного предмета. Отсутствие полноценного школьного курса математики существенно отражается на логи-ческом, и, соответственно, на общем развитии человека.

Особую актуальность проблема развития логического мышления приобретает в связи с реализацией идей гуманизации и гумантаризации школьного математического образования.

1.4.2. История проблемы развития логического мышления

учащихся.

История проблемы развития логического мышления при обу-чении математике связана определенным образом с проблемами строгости доказательства в самой науке математике/Известные из истории математики первые доказательства таковыми не явля-ются с современной точки зрения. В древней индийской книге Ганеши доказательство формулы площади круга ограничивалось рисунком (см. рис.4) и надписью: «Смотри».

Рис. 4

Логика формальных рассуждений - формальная логика до-шла до настоящего времени из древних времен благодаря рабо-там древнегреческого мыслителя Аристотеля (384-322 гг. до н.э.), в которых разработана теория дедукции, т. е. правил логическо-го вывода, независящих от содержания рассуждений. Аристоте-лю принадлежит открытие формального характера логического вывода, состоящего в том, что в рассуждениях одни предложения выводятся из других независимо от их содержания, в силу своей определенной структуры, формы. Отсюда и название формаль-ной логики.

Формальная логика возникает тогда, когда развитие специ-альных наук и вообще человеческого мышления сделало акту-альным вопрос о том, как надо рассуждать, чтобы получать пра-вильные выводы.

В связи с появлением неэвклидовых геометрий, осознанием проблемы непротиворечивости системы научных знаний возни-кает потребность в совершенствовании аппарата доказательств! В IXX веке в результате применения в формальной логике мате-матических методов возникает математическая логика.

Математическая логика существенно обогатила курс фор-мальной логики, введя большую строгость в математические доказательства на основании новых требований к получению но-вых суждений.

Ответ на вопрос, заниматься ли развитием логического мыш-ления учащихся, отечественные психологи и методисты давали однозначно положительный в отличие от зарубежных, например, Ж. Пиаже, отстаивавшего положение о независимости развития логических структур от обучения.

Методист И.А. Гибш, выделяя аспекты проблемы развития логического мышления, подчеркивал необходимость формирова-ния умений учащихся: по подведению объектов под определение, классификации понятий, выведению следствий из определения, развитию умений пользоваться суждениями и умозаключениями, получать новые умозаключения на основании правил вывода и законов логики, пользоваться терминами «необходимо» и «дос-таточно», использовать различные приемы и виды доказательств. В недалеком прошлом крайнюю точку зрения в плане развития логического мышления учащихся отстаивал методист А. А. Сто-ляр, который считал необходимым на определенном этапе обуче-ния знакомить учащихся с элементами математической логики.

В работе И.Л. Никольской и Е.Е. Семенова выделены зна-ния и умения, которыми, по мнению авторов, выпускник школы должен владеть: уметь правильно формулировать определение знакомого понятия, классифицировать, понимать значение свя-зок «и» и «или», уметь строить отрицание утверждений, содержа-щих кванторы, понимать смысл терминов «если..., то...», «тогда и только тогда, когда», «не более», «не менее» и т. д.

1.4.3. Содержание проблемы развития логического мышления при обучении математике в школе.

Основной задачей формальной логики является отделение пра-вильных способов рассуждения от неправильных. Рассуждение можно считать верным лишь в том случае, если из истинных суж-дений - посылок нельзя получить ложное суждение - ложное заключение. Рассуждение, допускающее получение ложного заклю-чения из истинных посылок, не только не расширяет наши знания об окружающем мире, но доставляет о нем неправильную инфор-мацию. Поэтому такие рассуждения недопустимы.

Совокупность общественной практики, являющейся критери-ем истинности получаемых суждений из имеющихся, вылилась в ряд правил, законов, которые зависят только от формы рассужде-ний, от взаимосвязей составных частей рассуждения, но не от их содержания. Отсюда понятна важность законов и правил выво-да. О формах мышления и правилах вывода не ведется разговора ни в одном школьном предмете, хотя все предметы их широко используют. И это, вероятно, справедливо - не обязательно знать законы пищеварения, чтобы правильно переваривать пищу.