III. Закрепление изученного материала (15 мин)

(решение задач).

1. Решить задачу № 2 (для точек А, В, М₁, М₂).

2. Решить задачу № 3 (б) на доске и в тетрадях.

3. Решить задачу № 4 (а) самостоятельно в тетрадях, а один ученик за доской. После окончания решения сравнить результаты, сделать выводы.

4. Решить задачу № 5 (г) самостоятельно в тетрадях.

IV. Итоги урока (2мин).

Учитель подводит итоги урока, говорит оценки.

V. Задание на дом (2мин).

Изучить материал пунктов 93 и 94; ответить на вопросы 1-4, (см. Приложение), 2 (для точек М₂ и М₃), № 3 (б, в), 4 (б, в), 5 (б).

5.2 Урок 2: Формулы приведения. Формулы для вычисления координат точки

Цели:

образовательная: вывести формулы для вычисления координат точки; ознакомиться с формулами приведения; закрепить полученные знания при решении задач;

развивающая: развить логическое мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления, углублять и систематизировать знания по данной теме; формировать умения видеть ключевую задачу в более сложной математической задаче; развивать точную, лаконическую речь;

воспитательная: учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Ход урока

I. Организационный момент (2мин).

Учитель приветствует учеников, проверяет присутствующих, знакомит учащихся с темой целями урока.

II. Повторение ранее изученного материала (5мин).

Для повторения ранее изученного материала рекомендуется провести математический диктант 10мин (см. Приложение). А так же можно провести фронтальное повторение теоретического материала, для этого рекомендуется следующие вопросы (использовать настенную таблицу «Тригонометрические функции»).

Учитель: Объясните, как найти синус и косинус угла из промежутка 0°180°?

Ученик: Для любого угла из промежутка 0°180°, синусом угла называется ордината точки, а косинусом угла называется абсцисса точки.

Учитель: Что называется тангенсом угла ? Для какого значения тангенс не определен? Почему?

Ученик 1: Тангенсом угла ( 90) называется отношение , то есть .

Ученик 2: При = 90° tg не определен, поскольку cos 90° = 0 и в формуле знаменатель обращается в нуль.

Учитель: Записать, на доске, основное тригонометрическое тождество?

Ученик: Равенство sin² a + cos² a= 1- основное тригонометрическое тождество.

Данное равенство выполняется для любого из промежутка 0°180°.

III. Изучение нового материала (12мин).

1. Делаем вместе с классом задачу № 1, обсуждая решение с учащимися, (см. Приложение).

2. Решить задачу:

Используя единичную полуокружность, постройте угол:

а) косинус, которого равен 0; -1;

б) синус, которого равен ; 1.

Для решения этой задачи полезно заготовить на доске несколько полуокружностей. Для решения этой задачи необходимо вызывать учащихся, по очереди к доске. Решая задачу, каждый из них должен пояснять свои действия.

3.Решите задачу (решают сильные ученики, объясняя каждый свой шаг). Найти tg , если: а)cos = ; б) .

Учитель: Ребята, давайте запишем формулы приведения, доказательство которых вы изучите в курсе алгебры!

sin (90° - ) = cos ; cos (90° - ) = sin при 0° < < 90°;

sin (180° - ) = sin ; cos (180° - ) = - cos при 0° < < 180°.

5. Объяснение учащимся нового материала:

Учитель: Ребята, сегодня нам предстоит решить задачу и вычислить координаты точки? Подумайте, как мы это можем сделать?

Ученик: Нам надо построить прямоугольную систему координат и в ней выбрать произвольную точку A с неотрицательной ординатой y.

Учитель: Предложение хорошее. Иди и изобрази нам рисунок!

Ученик: Рисует рисунок.

Учитель: Что нам делать дальше?

Ученик: Нам надо выразить координаты точки A.

Учитель: Как это можно сделать?

Ученик: Проведем радиус вектор ОА, и выразим координаты точки А через длину отрезка ОА и угол , между лучом ОА и положительной полуосью Ox.

Учитель: Чтобы вычислить координаты точки А, все ли нам известно?

Ученик: Нет. Мы не можем сразу найти координаты точки. Сначала мы должны найти точку пересечения радиус вектора с единичной полуокружностью. Мы получим точку М, координаты которой мы уже знаем как найти, они равны М {cos ; sin }

Учитель: Для чего это нам надо? Что это нам даст?

Ученик 1: А мы можем сказать, что вектор ОМ, имеет те же координаты, что и точа М, то есть OM { cos ; sin }.

Ученик 2: Тогда и вектор ОА будет иметь те же координаты, что точка А, то есть ОА {x,y}. А мы можем представить вектор ОА= ОАОМ, тогда вектор ОА будет иметь координаты x=OAcos , y= OAsin .

Учитель: Что мы сейчас с вами доказали?

Ученик: Мы доказали, что координаты произвольной точки можно вычислить по формулам x=OA·cos , а y= OA·sin.

IV. Закрепление изученного материала (10мин) (решение задач).

1. Решить задачу № 6 на доске и в тетрадях.

2. Решить задачу № 8 (в).

3. Решить задачу № 9 (в).

V. Самостоятельная работа (контролирующего характера)

Данная самостоятельная работа рассчитана на 10 минут.

Вариант 1: № 5(а); № 8(а); № 7(б);

Вариант 2: № 5(в); № 8(д); № 7(а).

VI. Итоги урока (1-2мин).

Учитель: Напишите формулы приведения?

Ученик: (записывает на доске)

sin (90° - ) = cos ; cos (90° - ) = sin при 0° < < 90°;

sin (180° - ) = sin ; cos (180° - ) = - cos при 0° < < 180°.

Учитель: Напишите формулы выражающие координаты произвольной точки?

Ученик: Координаты произвольной точки можно вычислить по формулам x=OA·cos , а y= OA·sin.

VII. Задание на дом (1мин):

Изучить материал пунктов 93-95; повторить материал пунктов 52, 66 и 67; решить задачи № 7(в); № 8(б); № 9(2).

5.3 Урок 3: Теорема о площади треугольника

Цели:

обучающая: Доказать теорему о площади треугольника, показать её применение этой теорема при решении задач;

развивающая: развить логическое мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления, углублять и систематизировать знания по данной теме; формировать умения видеть ключевую задачу в более сложной математической задаче; развивать точную, лаконическую речь;

воспитательная: учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Ход урока

I. Организационный момент (1мин).

Учитель приветствует учеников, проверяет присутствующих, знакомит учащихся с темой целями урока.

II. Проверка опорных знаний учащихся (10мин).

Провести математический диктант, рассчитанный на 10 минут (см. Приложение)

III. Объяснение нового материала (15мин).

Учитель: Ребята, какие формулы для вычисления площади треугольника вам известны?

Ученик 1: , где a - основание, h - высота.

Ученик 2: , где a, b, c - стороны треугольника, p - его полупериметр.

Ученик 3: , где a и b катеты прямоугольного треугольника.

Ученик 4: , где r- радиус вписанной окружности, p- полупериметр треугольника

Ученик 5: , где a, b, c -стороны треугольника, R- радиус описанной окружности.

Учитель: Какие формулы применяются для вычисления координат точки?

Ученик: Координаты точки можно вычислить по формулам x=OA·cos , а y= OA·sin, где ОА- длина отрезка ОА, - угол между положительной полуосью Ox и лучом ОА.

Учитель: Ребята, давайте решим задачу и найдем площадь треугольника? Если известно, что треугольник лежит в системе координат с началом в точке С, где его вершина B лежит на положительной полуоси Cx, а точка A имеет положительную ординату. Известно так же, что BC=a, а CA=b. Итак, кто изобразит рисунок? Какие мысли у вас есть на этот счет?

Ученик: (желательно, чтобы это был сильный ученик) рисует рисунок.

Учитель: Рисунок соответствует данным, а как нам найти площадь треугольника?

Ученик: Мы опустим высоту h из вершины А, и найдем S по формуле

,

где a - основание, h - высота.

Учитель: Ребята, а мы можем найти h? Как это сделать?

Ученик 1: Можно заметить, что высота у нас равна ординате точки А! Поэтому нам надо найти координаты точки А.

Ученик 2: Для этого мы воспользуемся формулой для вычисления координат точки, то есть получим, что x=b ·cos С, а y= b·sinС.

Ученик 3: А ещё мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник ACK, и из него по определению синуса имеем h=b·sinС. Мне кажется, это будет быстрее.

Учитель: Оба способа верны. Но что делать дальше?

Ученик: Мы подставим в формулу вместо h её значение и получим, что

Учитель: Ребята, мы сейчас с вами доказали теорему о площади треугольника. Кто - нибудь из вас может её попробовать сформулировать?

Ученик 1: Площадь произвольного треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними.

Учитель: Кто - нибудь ещё хочет?

Ученик 2: Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Учитель: Теорема сформулирована, верно. А теперь, давайте решим задачу изображенную на плакате? Давайте, решим задачу, изображенную на плакате, устно?

Решите задачу. Найдите площадь треугольника?

Ответ:

IV. Закрепление изученного материала (7мин):

1. Решить задачу № 10(б) на доске и в тетрадях.

2. Решить задачу № 12 на доске и в тетрадях.

3. Решить задачу № 24.

V. Самостоятельная работа (контролирующего характера)

Данная самостоятельная работа рассчитана на 5 - 7 минут (см. Приложение).

VII. Задание на дом (1мин):

Изучить материал пункта 96; решить задачи № 10(а, в); № 13.

5.4 Урок 4: Теорема синусов. Решение задач

Цели:

образовательная: выработать у учащихся умение формулировать и доказывать теорему синусов, записывать её формулировку символически и составлять пропорции для сторон треугольника, применять полученные знания при решении задач;

развивающая: развить логическое мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления, углублять и систематизировать знания по данной теме; формировать умения видеть ключевую задачу в более сложной математической задаче; развивать точную, лаконическую речь;

воспитательная: учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Ход урока:

I. Организационный момент:

Учитель приветствует учеников, проверяет присутствующих, знакомит учащихся с темой целями урока.

II. Проверка опорных знаний учащихся (10мин).

Для проверки опорных знаний рекомендуется провести математический диктант рассчитанный на 10 минут (см.Приложение)

III. Объяснение нового материала (15мин).

а) Полезно предложить вниманию учащихся, решить устно задачу по плакату.

Учитель: Верно ли, для треугольника ABC равенство: =? (см.Рис.1.)

Ученик: Да, данное равенство верно!

б) После того как учащиеся убедились в этом равенстве, ставим перед ними вопрос.

Учитель: Верно ли это утверждение для любого треугольника? Давайте, рассмотрим утверждение, что нам известно, что надо найти?

Ученик 1: Нам дан треугольник - ABC и его стороны, которые равны AC=b; AB= c; BC= a

Ученик 2: А найти нам надо отношение сторон к синусам противолежащих углов.

Учитель: С чего мы начнем?

Ученик: Нам надо найти площадь треугольника!

Учитель: А как нам найти площадь треугольника ABC?

Ученик: Площадь треугольников мы можем найти по формулам: ,,, где a, b, c - стороны треугольника, а sinA, sinB, sinC - синусы противолежащих углов треугольника.

Учитель: Найденные площади треугольника равны? Что мы можем с ними сделать?

Ученик: Площади треугольника равны и мы можем их приравнять.

Учитель: Что мы получим?

Ученик 1: Мы получим, что =, откуда имеем .

Ученик: А если мы рассмотрим равенство =, то получим, что .

Учитель: Итак, что мы можем сказать о полученных равенствах?

Ученик: Из этого равенства мы получим, что .

Учитель: Итак, ребята, мы с вами доказали теорему синусов! Кто попробует её сформулировать.

Ученик 1: Теорема звучит так: стороны произвольного треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов треугольника.

Ученик 2: А, я, думаю она звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Учитель: Теорема сформулирована верно!

IV. Закрепление изученного материала ().

1. Вычислить устно задачу, расположенную на плакате;

Даны сторона a и углы и треугольника. Как найти: а) сторону b; б)сторону c треугольника.

Ответ:

2. Решить задачу № 16, на доске и в тетрадях;

3. Решить задачу № 14(а), на доске и в тетрадях.

4. Решить задачу № 19, на доске и в тетрадях

V. Подведение итогов урока.

Учитель: Сформулируйте теорему синусов?

Ученик: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Следующую задачу рекомендуется изготовить на плакате заранее.

Учитель: Как найти сторону с?

Ученик: Чтобы найти сторону с нам надо: , откуда .

VI. Задание на дом (1мин):

Изучить материал пунктов 97 - 96; повторить материал пункта 89; решить задачи № 17; №14(б).

5.5 Урок 5: Теорема косинусов

Цели:

образовательная: выработать у учащихся умение доказывать теорему косинусов, записывать её в виде теоремы косинусов, записывать её в виде равенства. Сформулировать у учащихся умение применять изученную теорему в решении задач при нахождении углов треугольника (косинусов углов) по трем данным сторонам, нахождение третей стороны треугольника по данным двум сторонам и углу между ними.

развивающая: развить логическое мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления, углублять и систематизировать знания по данной теме; формировать умения видеть ключевую задачу в более сложной математической задаче; развивать точную, лаконическую речь;

воспитательная: учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Ход урока:

I. Организационный момент:

Учитель приветствует учеников, проверяет присутствующих, знакомит учащихся с темой целями урока.

II. Проверка опорных знаний учащихся (10мин).

Письменная работа на 10 минут.

Учитель: Итак, ребята, первый вариант доказывает теорему о площади треугольника, а второй вариант доказывает теорему синусов.

Ответ:

Теорема: Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.	Теорема: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Доказательство: Пусть в треугольнике ABC ВС=с, СА= b и S - площадь этого треугольника. Докажем, что . Введем систему координат с началом в точке С так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Сх, а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольник; можно вычислить по формуле S=ah, где h -высота треугольника. Но h равна ординате точки А, т. е. h = b sin С. Следовательно . Теорема доказана.	Доказательство: Пусть в треугольнике ABC AB = c, ВС = а, СА=b. Докажем, что По теореме о площади треугольника имеем: , , , Из первых двух равенств получаем =, откуда Точно так же из второго и третьего равенств, имеем =, откуда следует, что Итак, имеем , теорема доказана

Учитель: А, теперь проверим решение задачи № 17 (если вопросов нет, то идем дальше). Решение задачи см. Приложение.

III. Объяснение нового материала (15мин).

Учитель: Запишите формулу расстояния между точка M₁(x₁;y₁) и M₂(x₂;y₂)

Ученик: Формула расстояния между двумя точками имеет вид: , где (x₁; y₁), (x₂;y₂) -координаты соответствующих сторон.

Учитель: (Заранее изобразить рисунок на доске). Пользуясь рисунком, объясните, почему точки B и C имеют такие значения координаты, как указано на рисунке?

Ученик: Потому что, мы поместили треугольник ABC в систему координат; с началом в точке A, тогда точка C имеет координаты (b;0), а точка B имеет координаты (csinA;ccosA).

Учитель: Выпишите координаты точки точек B и C, найдите расстояние между этими точками. Что мы получим?

Ученик: По формуле расстояния между двумя точками B и C, получаем: BC²= a²=(c·cosA-b)² +c·sin²A = c² ·cos²A + c² ·sin²A - 2b·c·cosA +b²= c²(cos²A + sin²A) +b² - 2b·c·cosA = c²+b²- 2b·c·cosA.

Учитель: Ребята, мы сейчас с вами доказали теорему косинусов. Кто попытается её сформулировать?

Ученик: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Учитель: Заметьте, теорема сформулирована, верно. Теперь, используя теорему косинусов, выразите косинусы углов, то есть cosA, cosB, cosC.

Ученик 1: a²=b²+c² -2b·c·cosA, откуда .

Ученик 2: b²=a²+c²-2a·c·cosB, откуда .

Ученик 3: c²=a²+b² -2a·b·cosC, откуда .

Учитель: Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Почему, об этом нам расскажет ученик1?

Ученик 1:(Слушаем доклад на 2-3 минуты). Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в треугольнике ABC угол A прямой, то cosA = cos90ъ = 0 и по формуле имеем: a²=b²+c²-2b· c·0= b²+c², то есть квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Учитель: Спасибо - это было интересно!

IV. Закрепление изученного материала ( мин).

1.Решите задачу № 21(в), на доске и в тетрадях

2. Решите задачу № 35, на доске и в тетради

3. Решите задачу № 36, на доске и в тетради

4. Решите задачу № 37, на доске и в тетради

5. Самостоятельная работа, контролирующего характера.

Данная работа рассчитана на 10 минут.

Вариант 1: № 21 (б); № 30 (а);

Вариант 2: № 21 (а); № 30 (б).

V. Подведение итогов урока.

Учитель: Какие три элемента треугольника надо знать, чтобы вычислить четвертый элемент, используя теорему синусов?

Ученик 1: Две стороны и угол противолежащий одной из них.

Ученик 2: Или два угла и сторона противолежащая одной из них.

Учитель: Какие три элемента треугольника надо знать, чтобы вычислить четвертый элемент, используя теорему косинусов?

Ученик 1: Три стороны.

Ученик 2: Две стороны и угол между ними.

VI. Задание на дом (1мин):

Повторить материалы пунктов 96 - 98; решить задачи № 20; № 22.

5.6 Урок 6: Решение треугольника по стороне и двум углам

Цели урока:

образовательная: научить находить неизвестные элементы треугольника по известным сторонам и углам, то есть по стороне и двум прилежащим углам, находить остальные стороны и угол, показать связь теории с практикой, способствовать выработке навыков решения задач, применения теоремы синусов;

развивающая: развить логическое мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления, углублять и систематизировать знания по данной теме; формировать умения видеть ключевую задачу в более сложной математической задаче; развивать точную, лаконическую речь;

воспитательная: учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Ход урока:

I. Организационный момент:

Учитель приветствует учеников, проверяет присутствующих, знакомит учащихся с темой целями урока.

II. Проверка опорных знаний учащихся (10мин).

Учитель: Сформулируйте теорему о сумме углов треугольника?

Ученик: Сумма углов треугольника равна 180.

Учитель: Ребята, что называется синусом, косинусом, тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

Ученик 1: Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Ученик 2: Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Ученик 3: Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Учитель: Какие три элемента треугольника надо знать, чтобы вычислить четвертый элемент, используя теорему синусов?

Ученик 1: Две стороны и угол противолежащий одной из них.

Ученик 2: Или два угла и сторона противолежащая одной из них.

Учитель: Какие три элемента треугольника надо знать, чтобы вычислить четвертый элемент, используя теорему косинусов?

Ученик 1: Три стороны.

Ученик 2: Две стороны и угол между ними.

III. Объяснение нового материала (15мин).

Учитель: Сегодня нам предстоит научиться по данным длинам или градусным мерам трех его элементов треугольника вычислять остальные его элементы. Подумайте и скажите, что значит решить треугольник?

Ученик: Решение треугольника называется нахождение трех его неизвестных элементов, по каким - нибудь трем данным.

Учитель: Какие обозначения мы можем ввести для треугольников?

Ученик: Для треугольника мы используем следующие обозначения: ABC- треугольник, BC=a, AB=c, AC=b, BAC=, ABC =, ACB=.

Учитель: Ребята, какие теоремы, определения, следствия мы можем использовать для нахождения неизвестных элементов треугольника?

Ученик 1: В решении таких задач, мы будем использовать теоремы синусов, косинусов, теорему о сумму углов треугольника.

Ученик 2: А так же мы можем использовать следствия из теоремы синусов (в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол).

Ученик: (Доклад на 3 - 5 минут)

Доклад на тему: «Рассказ из истории геометрии»

В Древней Греции, наряду с блестящим развитием теоретической геометрии, научных методов исследования и логических доказательств, большое значение имела прикладная геометрия. Римляне вообще занимались лишь одной практической и прикладной стороной математики, необходимой для землемерия, строительства городов, технических и военных сооружений.

В XVI - XVII вв. все более развивающаяся промышленность и торговля требуют удовлетворения, в первую очередь, практических нужд. Появление первых инструментов и аппаратов для научных исследований (термометра, телескопа, барометра, микроскопа и др.) вызывало интерес к практической стороне науки и особенно к практической геометрии, которая нужна была для военных целей, мореплавания, строительства и землемерия. В этот период появляется много руководств по геометрии, в которых излагаются правила, формулы и рецепты для решения тех или иных практических задач.

Учитель: Спасибо, это было весьма интересно! А теперь, кто сформулирует первую задачу?

Ученик: Нам необходимо, решить треугольник по стороне и прилежащим к ней углам.

Учитель: Хорошо! Что в задаче нам дано? А что, надо найти?

Ученик 1: Нам дано, треугольник ABC, в котором BC=a, BAC=,

ABC =.

Ученик 2: А найти нам надо сторону AB=c и сторону AC=b, а так же угол ACB=.

Учитель: Какие идеи есть по решению задачи?

Ученик 1: Из теоремы о сумме углов треугольника, мы можем найти угол ACB. Для этого нам необходимо ACB= = 180 -ABC -BAC=180--

Ученик 2: А с помощью теоремы косинусов, мы можем найти стороны c и b. Таким образом, мы имеем:

, откуда .

Ученик 3: А сторона c тогда равна , откуда .

Учитель: Верно, а сколько решений может иметь задача?

Ученик 1: Только одно, так как любые два треугольника, построенные по стороне и двум прилежащим углам, будут равны.

Ученик 2: Как мы видим - это следует из равенства треугольников.

Учитель: Верно, заметил! Ребята, сейчас мы с вами рассмотрели один из методов решения треугольников.

III. Закрепление изученного материала (15 минут):

1.Решить задачу № 15(а,б,г), на доске и тетрадях

2.Решить задачу № 38(2,6), расположенную на плакате (см.рис)

IV. Подведение итогов урока, выставление оценок (1 минута).

Учитель подводит итоги урока, говорит оценки.

V. Задание на дом (1-2минуты)

Повторить материал пунктов 96-98, изучить материал пунктов 99 - 100, решить задачи № 26, 38 (1,3).

5.7 Урок 7: Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Цели урока:

образовательная: научить находить неизвестные элементы треугольника по известным сторонам и углам, то есть по двум сторонам и углу между ними, находить остальные стороны и угол, показать связь теории с практикой, способствовать выработке навыков решения задач, применения теоремы косинусов;

развивающая: развить логическое мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления, углублять и систематизировать знания по данной теме; формировать умения видеть ключевую задачу в более сложной математической задаче; развивать точную, лаконическую речь;

воспитательная: учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Ход урока:

I. Организационный момент:

Учитель приветствует учеников, проверяет присутствующих, знакомит учащихся с темой целями урока.

II. Проверка опорных знаний учащихся (10мин).

Учитель: Запишите формулы приведения?

(записывают по очереди на доске)

Ученик 1: sin (90° - ) = cos а; cos (90° - ) = sin при 0° < < 90°;

Ученик 2: sin (180° - ) = sin ; cos (180° - ) = - cos при 0° < < 180°.

Учитель: Найдите угол , если известно, что в треугольнике. Каким может быть б?

Ученик 1: Нам необходимо разобрать различные случаи. Например, угол может быть как 30°, так и 150°.

Ученик 2: А, если мы рассмотрим треугольник, в котором угол г тупой, то тогда угол может быть только 30°.

Ученик 3: Если мы рассмотрим треугольник, в котором сторона лежащая против угла меньше стороны, к которой прилежит угол , то есть a<b, то по следствию к теореме синусов, имеем, что угол может быть только 30 °. Так как в треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Ученик 4: Если мы рассмотрим треугольник, в котором сторона лежащая против угла больше стороны, к которой прилежит угол , то есть a>c, при этом a<b, то по следствию к теореме синусов, имеем, что угол равен 30 °. Если же a>c и a>b, то угол равен 150 °.

Учитель: Все рассмотренные случаи абсолютно верны.

III. Объяснение нового материала:

Учитель: Сегодня, мы, рассмотрим ещё один из способов решения треугольников. Ребята, скажите, что значит решить треугольник?

Ученик: Решение треугольника называется нахождение трех его неизвестных элементов, по каким - нибудь трем данным.

Учитель: Какие обозначения мы можем ввести для треугольников?

Ученик: Для треугольника мы используем следующие обозначения: ABC- треугольник, BC=a, AB=c, AC=b, BAC=, ABC =, ACB=.

Учитель: Ребята, какие теоремы, определения, следствия мы можем использовать для нахождения неизвестных элементов треугольника?

Ученик 1: В решении таких задач, мы будем использовать теоремы синусов, косинусов, теорему о сумму углов треугольника.

Ученик 2: А так же мы можем использовать следствия из теоремы синусов (в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол).

Учитель: А теперь, кто попытается сформулировать задачу, согласно теме данного урока?

Ученик: Нам необходимо, решить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Учитель: Заметьте, задача сформулирована, верно! Что в задаче нам дано? А что, надо найти?

Ученик 1: Нам дано, треугольник ABC, в котором BC=a, AC=b ACB=.

Ученик 2: А найти нам надо сторону AB=c, а так же угол BAC= и угол ABC =.

Учитель: Какие идеи есть по решению задачи?

Ученик 1: Нам необходимо найти длину третьей стороны. Мы можем это сделать используя теорему косинусов, то есть мы получим: c²=a²+b² -2a·b·cosC, откуда .

Ученик 2: С помощью теоремы косинусов, мы можем найти угол . Таким образом, мы имеем:

a²=c²+b² -2c·b·cosA, откуда, откуда.

Ученик 3: Тогда из теоремы о сумме углов треугольника имеем, что = 180°- (+).

Ученик 4: Можно заметить, что, если угол - острый, то находим меньший угол из неизвестных, используя следствие из теореме синусов (против большей стороны лежит больший угол).

Учитель: Верно, но для чего это нам надо? Что это нам дает?

Ученик: Если нам известно, что сторона a<b. Тогда по теореме синусов имеем, что , откуда . Таким образом, мы находим угол . А дальше, аналогично предыдущему случаю.

Учитель: Верно, а, сколько решений может иметь данная задача?

Ученик 1: Данная задача имеет единственное решение, так как любые два треугольника с двумя заданными сторонами и углом между ними равны, по первому признаку равенства треугольников.

Ученик 2: Данное утверждение следует из равенства треугольников.

Учитель: Верно, заметил! Ребята, сейчас мы с вами рассмотрели ещё один из способов решения треугольников.

IV. Закрепление изученного материала:

1. Решить задачу № 15(в, ж), на доске и тетрадях

2. Решить задачу № 39(2).

V. Самостоятельная работа (10минут)

VI. Подведение итогов урока, выставление оценок (1минута).

Учитель подводит итоги урока, говорит оценки.

VII. Задание на дом:

Повторить материал пунктов 96-98, изучить материал пунктов 99 - 100, решить задачу № 27,№ 39 (1,4,6).

5.8 Урок 8: Решение треугольника по трем сторонам

Цели урока:

образовательная: научить находить неизвестные элементы треугольника по известным сторонам, то есть по трем сторонам, находить углы треугольника, показать связь теории с практикой, способствовать выработке навыков решения задач, применения теорем синусов и косинусов;

развивающая: развить логическое мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления, углублять и систематизировать знания по данной теме; формировать умения видеть ключевую задачу в более сложной математической задаче; развивать точную, лаконическую речь;

воспитательная: учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Ход урока:

I. Организационный момент:

Учитель приветствует учеников, проверяет присутствующих, знакомит учащихся с темой целями урока.

II. Проверка опорных знаний учащихся (10мин).

Учитель: Ребята, кто ознакомит нам с решением домашних задач?

(двое учеников воспроизводят решение домашних задач, а класс проверяет их решение, см. Приложение)

Учитель: Кто желает поработать с карточками?

(Вызываются два ученика для работы у доски, по карточкам)

Ученик 1	Ученик 2
Дано: ? ABC, BC=10см, ABC= 45°, BAC= 60° Найти: AB Решение: 1.Из треугольника ABC, по теореме о сумме углов треугольника имеем, что BCA= 180 °-(45 °+60 °) = 75 ° 2.Из треугольника ABC, по теореме синусов имеем: , откуда, Ответ:	Дано: ? ABC, AB=9см, ABC= 45°, BC= 11см Найти: AC Решение: Из треугольника ABC, по теореме косинусов имеем, что Ответ: 138,6см
Теорема. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.	Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Учитель: Ребята, пока ваши друзья готовятся, мы будем решать устные задачи (читает вслух первую задачу): В треугольнике KLN, KL=8,4 см, LN=13,2. Какой из углов треугольника наибольший, какой - наименьший?

Ученик 1: LKN-будет большим углом, так как он лежит против большей стороны.

Ученик 2: KNL - будет наименьшим углом, так как он лежит против наименьшей стороны.

Учитель: Верно! Следующая задача: Стороны треугольника равны 10см и 12см. Может ли угол, противолежащий стороне, равной 7см, быть тупым? Почему?

Ученик: Данный угол не может быть тупым, так как он лежит против меньшей стороны.

Учитель: Верно! Рассмотрим ещё одну задачу: Стороны треугольника равны 9см и 12см. Может ли угол, противолежащий стороне, равной 9см, быть прямым? Почему?

Ученик: Данный угол не может быть прямым , так как треугольник не является прямоугольным.

Учитель: Верно! А теперь, давайте внимательно послушаем подготовившихся ребят.

III. Объяснение нового материала:

Учитель: Сегодня, мы, рассмотрим ещё один из способов решения треугольников. Какие обозначения мы можем ввести для треугольников?

Ученик: Для треугольника мы используем следующие обозначения: ABC- треугольник, BC=a, AB=c, AC=b, BAC=, ABC =, ACB=.

Учитель: Ребята, какие теоремы, определения, следствия мы можем использовать для нахождения неизвестных элементов треугольника?

Ученик 1: В решении таких задач, мы будем использовать теоремы синусов, косинусов, теорему о сумму углов треугольника.

Ученик 2: А так же мы можем использовать следствия из теоремы синусов (в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол).

Учитель: А теперь, кто попытается сформулировать задачу, согласно теме данного урока?

Ученик: Нам необходимо, решить треугольник по трем сторонам.

Учитель: Заметьте, задача сформулирована, верно! Что в задаче нам дано? А что, надо найти?

Ученик 1: Нам дано, треугольник ABC, в котором сторона BC=a, AC=b и AB=c.

Ученик 2: А найти нам надо углы. Угол ACB=, угол BAC= и угол ABC =.

Учитель: Какие идеи есть по решению задачи?

Ученик 1: Пусть BC=a - наибольшая из сторон, тогда по теореме косинусов, мы, найдем наибольший угол. Остальные будут острыми. То есть a²=c²+b² -2c·b·cos , откуда .

Ученик 2: С помощью теоремы синусов, мы можем найти угол . Таким образом, мы имеем:

.

Ученик 3: Тогда из теоремы о сумме углов треугольника имеем, что = 180°- (+).

Ученик 4: Можно заметить, что, если угол - острый, то находим меньший угол из неизвестных, используя следствие из теореме синусов (против большей стороны лежит больший угол).

Учитель: Верно, но для чего это нам надо? Что это нам дает?

Ученик: Если нам известно, что сторона a<b. Тогда по теореме синусов имеем, что , откуда . Таким образом, мы находим угол . А дальше, аналогично предыдущему случаю.

Учитель: Верно, а, сколько решений может иметь данная задача?

Ученик 1: Данная задача имеет единственное решение, так как любые два треугольника с двумя заданными сторонами и углом между ними равны, по первому признаку равенства треугольников.

Ученик 2: Данное утверждение следует из равенства треугольников.

Учитель: Верно, заметил! Ребята, сейчас мы с вами рассмотрели ещё один из способов решения треугольников.

IV. Закрепление раннее изученного материала:

1. Решить задачу № 15(и,з) , на доске и тетрадях

2. Решить задачу № 41(5).

V. Самостоятельная работа (10минут)

Вариант 1: № 38(4), № 39(5) , № 41(2);

Вариант 2: № 38(5), № 39(3) , № 41(4).

VI. Подведение итогов урока, выставление оценок (1минута).

Учитель подводит итоги урока, говорит оценки.

VII. Задание на дом:

Повторить материал пунктов 96-100, решить задачу №28, № 41(1,3,6).

5.9 Урок - факультатив: Решение треугольника по двум сторонам и углу лежащему против одной из них

Цели урока:

образовательная: научить находить неизвестные элементы треугольника по известным сторонам и углам, то есть по двум сторонам и углу лежащему против одной из них; а так же отработать умение применять теорему синусов и косинусов в решении таких задач;

развивающая: развить логическое мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления, углублять и систематизировать знания по данной теме; формировать умения видеть ключевую задачу в более сложной математической задаче; развивать точную, лаконическую речь;

воспитательная: учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

методическое оборудование: плакаты с изображением формул и рисунков решения треугольников.

Ход урока:

I. Организационный момент:

Учитель приветствует учеников, проверяет присутствующих, знакомит учащихся с темой целями урока.

II. Изучение нового материала

1.Изучение решения задачи четвертого типа (повышенной сложности) не следует рассматривать на уроке в общем, виде с полным исследованием, достаточно дать схему решения и рассмотреть задачи с числовыми данными;···

2. Схему решения задачи можно оформить в виде опорного конспекта с заранее подготовленным плакатом, из которого видно, когда получается два решения, одно решение и в каком случае решения нет.

Общий вид решения задачи:

Дано: a, b, .

Найти: c, , .

Решение:

1.

2. = 180- ( + )

3.

Рассмотрим 1 случай, когда b a

1) Если , то задача имеет два решения: существуют два угла ₁ и ₂ (острый и тупой), синусы которых равны числу (₁+ ₂)=180.

₁=180 - -₁, откуда с₁=

₂=180 - -₂, откуда с₂=

2) Если , то = 90, решение единственное: = 90 - , c=b·cos

3) Если , то решения нет.

Рассмотрим 2 случай, если b<a

Решение единственное - угол может быть только острым, тогда

=180 - - , с =

Рассмотрим 3 случай, когда a=b

При < 90 решение единственное: = , тогда = 180 - 2·, с=

При 90 решения нет, так как углы при основании равнобедренного треугольника могут быть только острыми

III. Закрепление изученного материала().

1. Решение задачи № 15(в), на доске и в тетрадях;

2. Решение задачи № 40(1,3,5), на доске и в тетрадях.

IV. Задание на дом (1мин):

Повторить материал пунктов 93 - 99; решить задачу № 15(д), № 40 (2,4).

5.10 Урок - обобщение по теме: «Решение треугольников»

Цели:

образовательная: закрепить ранее изученный материал, ликвидировать пробелы в знаниях учащихся, подготовка к контрольной работе.

развивающая: развить логическое мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления, углублять и систематизировать знания по данной теме; формировать умения видеть ключевую задачу в более сложной математической задаче; развивать точную, лаконическую речь;

воспитательная: учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Ход урока:

I. Организационный момент:

Учитель приветствует учеников, проверяет присутствующих, знакомит учащихся с темой целями урока.

II. Проверка опорных знаний учащихся (10мин).

а)Самостоятельная работа с карточками (см.Приложение), данная работа рассчитана на 10 минут. Ребята выполняют данную работу на отдельных листках, затем проверяем решение, обсуждаем сложные моменты.

б) Устная работа. Решение задач с плакатов.

в) Фронтальный опрос.

Учитель: Объясните, как найти синус и косинус угла из промежутка 0°180°?

Ученик: Для любого угла из промежутка 0°180°, синусом угла называется ордината точки, а косинусом угла называется абсцисса точки.

Учитель: Что называется тангенсом угла ? Для какого значения тангенс не определен? Почему?

Ученик 1: Тангенсом угла ( 90) называется отношение , то есть .

Ученик 2: При = 90° tg не определен, поскольку cos 90° = 0 и в формуле знаменатель обращается в нуль.

Учитель: Записать, на доске, основное тригонометрическое тождество?

Ученик: Равенство sin² a + cos² a= 1- основное тригонометрическое тождество.

Данное равенство выполняется для любого из промежутка 0°180°.

Учитель: Запишите формулы приведения?

(записывают по очереди на доске)

Ученик 1: sin (90° - ) = cos а; cos (90° - ) = sin при 0° < < 90°;

Ученик 2: sin (180° - ) = sin ; cos (180° - ) = - cos при 0° < < 180°.

Учитель: Какие три элемента треугольника надо знать, чтобы вычислить четвертый элемент, используя теорему синусов?

Ученик 1: Две стороны и угол противолежащий одной из них.

Ученик 2: Или два угла и сторона противолежащая одной из них.

Учитель: Какие три элемента треугольника надо знать, чтобы вычислить четвертый элемент, используя теорему косинусов?

Ученик 1: Три стороны.

Ученик 2: Две стороны и угол между ними.

III. Закрепление ранее изученного материала. Решение задач.

1. Решить задачу № 31, на доске и в тетрадях;

2. Решить задачу № 34, на доске и в тетрадях;

3. Решить задачу № 23, (совместно с учащимися разобрать и зафиксировать в тетрадях решение задачи).

4. Самостоятельная работа контролирующего характера:

Данная самостоятельная работа рассчитана на10минут.

Вариант 1: № 32(а); № 30(б); № 32(а);

Вариант 2: № 32(б); № 30(а); № 32(б).

IV. Подведение итогов урока ( мин).

Учитель подводит итоги урока, говорит оценки.

V. Задание на дом ( мин).

Повторить материал пунктов 93- 100; прорешать задачи №25, № 33(г); 32(в,г).

Контрольная работа

(1 час)

Цели:

образовательная: Проверить знания, умения и навыки учащихся по теме: «Соотношения между сторонами и углами треугольника»;

развивающая: развить логическое мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления, углублять и систематизировать знания по данной теме; формировать умения видеть ключевую задачу в более сложной математической задаче; развивать точную, лаконическую речь;

воспитательная: учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Ход урока

I. Организация учащихся на выполнение работы (2-3м).

II. Выполнение работы по вариантам.

На выполнение работы, учащимся отводится 35 минут (см.Приложение).

III. Задание на дом:

Прорешать дома невыполненные задания. А так же повторить материал пунктов 39- 41 и пунктов 21, 74-75.

Заключение

Данная работа посвящена одной из сложных тем школьного курса геометрии «Решение треугольников в 9 классе».

В результате проведенного исследования были реализованы следующие задачи:

- изучены и проанализированы основные теоретические положения по данной теме;

- проведен анализ психолого-педагогической и учебно-методической литературы;

- были определены методические особенности этой темы;

-подобраны дидактические материалы;

- разработаны уроки и факультативное занятие.

Тема «Решение треугольников в 9 классе» в данной работе рассматривается с точки зрения школьного курса геометрии.

В процессе написания работы были разработаны методические рекомендации для изучения материала, включенного в школьный курс геометрии.

Практическая значимость данной работы заключается в том, что данный материал может использовать студентами педагогических Вузов для работы на лабораторных занятиях по методике преподавания математики, внося свои поправки и умозаключения. Для начинающих специалистов данная работа будет интересна некоторыми методическими рекомендациями.

Литература

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия 7 - 9. - М.: Просвещение, 1999. - 335 с.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А. и др. Изучение геометрии в 7 - 9 классах: Метод. Рекомендации к учебнику.: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 2000. - 255 с.: ил.

3. Афанасьева Т.Л., Талина Л.А. Геометрия. 9 класс: Поурочные планы (по учебнику Атанасяна Л.С. и др. «Геометрия 7-9»).- Волгоград.: Учитель, 2004. - 136с.

4. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1990. - 224с.: ил.

5. Иванчук Н.В., Резник Н.А. Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла // Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе». 2003. № 4. -с. 10-15.

6. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. - М.: Просвещение, 1968. - 320с.

7. Кузнецова В.А., Миндюк Н.Г. Программа для образовательных школ, гимназий, лицей. Математика 5 -11 кл. - М.: Дрофа, 2002. - 320с.

8. Купорова Т.И. Геометрия IX кл.(Поурочные планы).-Волгоград.: Учитель 2001. - 80с.

9. Метельский Н.В. Дидактика математики: общая методика и её проблемы. Учебное пособие для Вузов - 2-е изд., перераб. - Мн.: БГУ, 1982.-25с.

10. Мищенко Т.Н. Геометрия 7- 9. Плакаты// Математика. Еженедельное приложение к газете «Первое сентября». 2003. № 36. с.7 -9.

11. Мищенко Т.Н. Геометрия 7- 9. Плакаты// Математика. Еженедельное приложение к газете «Первое сентября». 2003. № 40. с.11 -14.

12. Мухина Л.С. Возрастная психология. -М.: Просвещение, 2000. - 394 с.

13. Оганесян В.А., Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Санкин В.Л. Методика преподавания математики в средней школе: общая методика. Учебное пособие для студентов физ. - мат. фак. пед. ин - ов. - 2-е изд. перераб. и доп. М.: Просвещение, 1980. -368 с.

14. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. Пособие для 7-11кл. сред.шк.- 10-е изд. -М.: Просевещение, 1990.-330с: ил.

15. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун -тов. - М.: Просвещение, 2002. - 224 с.: ил.

16. Скорикова Л. Решение треугольников // Математика. Еженедельное приложение к газете «Первое сентября». 2002. № 35. с.29 -32.

17. Третьяков П.И., Сенновский И.Б. Технология модульного обучения в школе.-М.: Новая школа, 1997. - 485с.

18. Филоненко Н.А. Решение треугольников// Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе». 2003. № 4. -с.4- 6.

19. Чаманов М.А. Гибкая технология проблемно - модульного обучения. - М.: Народное образование 1996. - 286 с.

Приложения

Приложение 1

Плакат 1. Тригонометрические функции

0 ° 180 °
x= cos -1 cos 1	, 90	y= sin -1 sin 1
sin2 +cos2 =1
sin (90° - ) = cos ; cos (90° - ) = sin при 0° < < 90°; sin (180° - ) = sin ; cos (180° - ) = - cos при 0° < < 180°.
OM { cos ; sin }; ОА= ОАОМ x=OA·cos , y= OA·sin. OA { OA cos ; OA sin }.

Плакат 2. Прямоугольный треугольник

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: AB2= AC2+BC2 или c2= a2+ b2 Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету:

Таблица значений синуса, косинуса и тангенса некоторых углов из промежутка от 0 до 90

	0	30	45	60	90
sin	0				1
cos	1				0
tg	0		1		не сущ.

Плакат 3. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника (основные формулы для решения прямоугольного треугольника)

	c2= a2+ b2
Катет, противолежащий углу , равен произведению гипотенузы и синус угла . Катет, прилежащий к углу , равен произведению гипотенузы и косинус угла . Катет, противолежащий углу , равен произведению второго катета и тенгенса угла .
	a2=cc2; b2=cc1; h2=c2c1.
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

Плакат 4. Формулы площади треугольника

	, где a - сторона треугольника, h - высота, проведенная к этой стороне.
	, где a, b, c - стороны треугольника, p - его полупериметр.
	, где a и b - катеты прямоугольного треугольника.
	, где r- радиус вписанной окружности, p- полупериметр треугольника (т.е. p=1/2(a+b+c)).
	, где a, b, c -стороны треугольника, R- радиус описанной окружности.
	, где a, b - стороны треугольника, - угол между ними.

Плакат 5. Решение треугольника

Дан треугольника ABC.

Обозначим его стороны и углы:

BC=a, AB=c, AC=b,

BAC=, ABC =, ACB=.

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними Дано: ? ABC, BC, AC ACB. Найти: AB, BAC, ABC.	Решение треугольника по стороне и двум углам Дано: ?ABC, BC=a, BAC=, ABC =. Найти: AB, AC, ACB.	Решение треугольника по трем сторонам Дано: ? ABC, BC, AC, AB. Найти: ACB, BAC, ABC.
c2 = a2 + b2 -2a ·b·cosC, .	= 180 -(+ )

Подобные документы

• Урок геометрии по теме: "Треугольники. Признаки равенства треугольников"

  Исследование основных свойств и признаков треугольника, признаки их равенства. Сферы и правила применения треугольников в современном мире кроме математики. Составные части треугольников, их соотношение. Знакомство и использование электронной доски.
  
  разработка урока [12,9 K], добавлен 20.12.2010
  

• Чему равна сумма углов треугольника

  Характеристика свойств параллельных прямых и видов треугольников. Формулировка и методы доказывания теоремы о сумме внутренних углов в треугольнике. Отличительные черты видов треугольников по углам и по сторонам. Определение суммы односторонних углов.
  
  презентация [340,7 K], добавлен 09.11.2010
  

• Методические особенности изучения темы "Подобные треугольники" в средней общеобразовательной школе

  Идея подобия треугольников как эффективный метод решения большого класса задач на доказательство, построение, вычисление. Решение элементарных задач на геометрические преобразования - хороший материал для развития пространственного воображения учащихся.
  
  дипломная работа [274,6 K], добавлен 18.05.2009
  

• Применение проблемного обучения при изучении темы: "Предельные одноосновные кислоты"

  Способы выявления учебных проблем при преподавании химии в школе. Основные проблемные ситуации при изучении темы "Предельные однооосновные кислоты". Особенности и этапы осуществления проблемного обучения. Примеры проблемных ситуаций и их решение.
  
  курсовая работа [151,2 K], добавлен 04.01.2010
  

• Методика обучения теме "Теорема Безу" в школьном курсе алгебры

  Принципы технологии академика Монахова. Дидактические принципы организации обучения алгебре и характеристика возрастных особенностей подростков. Методические особенности изучения теоремы Безу: авторская программа, методические рекомендации и банк задач.
  
  дипломная работа [909,4 K], добавлен 20.10.2011
  

• Методика изучения задач на построение циркулем и линейкой в средней школе

  Психолого-педагогический аспект и общие методические рекомендации к изучению темы "Геометрические построения циркулем и линейкой". Планы уроков, методические комментарии, факультативные занятия к изучению простейших задач на построение (в 7 классе).
  
  дипломная работа [1,1 M], добавлен 03.07.2011
  

• Изучение темы "Треугольники" в курсе геометрии 7-9 классов средней школы

  Сравнительный анализ школьных учебников по теме: "Треугольники" в 7-9 классах. Содержание и порядок изложения материала. Определение треугольника, признаки равенства, подобия треугольников. Конспекты итоговых уроков по теме "Треугольники" для 7-9 классов.
  
  курсовая работа [2,0 M], добавлен 12.06.2010
  

• Методика изучения темы "Подобные треугольники"

  Анализ понятийного аппарата темы "Подобные треугольники". Методика изучения темы, ее раскрытие в учебниках различных авторов. Усвоение учащимися признаков подобия треугольников и формирования умения применять их. Этапы решения геометрических задач.
  
  курсовая работа [300,5 K], добавлен 06.10.2011
  

• Разработка элементов модульной технологии обучения математике в 6-ом классе

  Основные качества новых современных педагогических технологий. Психологические теории как основа некоторых педагогических технологий. Использование элементов модульной технологии и рейтинговой оценки знаний при дифференциации в обучении математике.
  
  дипломная работа [60,9 K], добавлен 11.01.2011
  

• Методика проектирования на уроках технологии

  Одна из стратегических задач системы школьного образования - решение проблемы личностно-ориентированного обучения. Метод учебного проектирования. Процесс обучения строится на основе обучения в сотрудничестве всех участников образовательного процесса.
  
  статья [19,8 K], добавлен 14.01.2009
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам