Элективные курсы по математике в профильной школе

Элективные курсы дополняют математические кружки, факультативы не только новым содержанием, новыми подходами к его раскрытию, но и компонентами, присущими любому учебному предмету: связностью изложения, длительностью цикла изучения темы и др.

Также элективные курсы предоставляют большие возможности для подготовки к олимпиадам, поступлению в вуз и др.

Между тем любой элективный курс немыслим без определённого набора задач, соответствующих данному курсу. Задачи используются как очень эффективное средство усвоения школьниками понятий, методов, вообще математических теорий, как наиболее действенное средство развития культуры мышления учащихся, как незаменимое средство привития учащимся умений и навыков в практических применениях математики.

В литературе выделяются следующие принципы отбора задач, ориентированных на усвоение содержания элективного курса:

1. Принцип преемственности. Отметим, что задачи содействуют установлению преемственных связей, так как уже в самом содержании задачи «заложено» содержание обучения математике (понятия, теоремы, способы деятельности и т.д.). С помощью задач устанавливаются взаимосвязи между различными понятиями, суждениями, между различными темами и предметами и основного курса математики, и элективного курса.

2. Принцип связи теории с практикой. В процессе обучения задачи должны выступать как средство связи теории с практикой, при этом практика может как предшествовать познанию, так и сопутствовать ему и заключать его. Задачи «должны не только заключать изучение теорем, понятий, … но и предшествовать, и сопутствовать им, то есть выступать в качестве средства усвоения знаний» (Г.И. Саранцев).

3. Принцип полноты, то есть стремление более полно отразить в цепочке задач математические идеи, а также привести примеры, относящиеся к различным отраслям знаний (физика, экономика и т.д.), установить межпредметные связи.

4. Принцип контрастности ориентирован на то, что уже на начальных этапах обучения при подборе заданий необходимо брать контрастные виды заданий, не допускать повторяемости одних и тех же видов (Ю.М. Колягин, Г.И. Саранцев и др.). При этом задания должны быть как с положительными, так и с отрицательными ответами.

5. Овладение методами научного познания происходит, главным образом, в процессе решения задач. Поэтому система задач должна предусматривать обучение эвристическим приёмам. Эвристические приёмы являются элементами содержания, однако школьные учебники практически не знакомят с ними учащихся, отсутствуют и задачи, способствующие их формированию. Поэтому на занятиях в процессе решения задач целесообразно обучать школьников основным эвристическим приёмам. В исследованиях по методике преподавания математики среди эвристических приёмов наиболее часто встречаются следующие: аналогия, индукция, приём элементарных задач, приём моделирования и т.д.

В литературе также выделяются и другие эвристические приёмы: введения вспомогательных элементов и нового неизвестного, достраивания фигуры, обобщения, постановки и выполнения производного задания, равносильного преобразования требования задачи, получения следствий и т.д. При этом одни приёмы раскрывают весь процесс решения задачи (иногда его называют способом решения задачи), другие - отдельные его фрагменты (тактические или локальные приёмы).

6. Принцип формирования исследовательских умений. Под учебными исследованиями будем понимать вид познавательной деятельности, который связан с выполнением учебных заданий, предполагающих самостоятельный творческий поиск учащимися новых для них знаний. Учебные исследования состоят из нескольких основных этапов: постановка проблемы, выдвижение гипотез, доказательство или опровержение гипотез. Чаще всего в учебном исследовании проблема формулируется самим учителем. Доказательство или опровержение гипотезы обычно сводится к доказательству соответствующей гипотезы математического факта. Основная же эвристическая деятельность учащихся связана с выдвижением гипотез. Создание гипотезы в учебных исследованиях основывается на аналогии, сравнении, исследовании предельных случаев, наблюдении, интуиции, опыте и суждениях [42].

Заметим, что элективные курсы реализуются в школе за счет времени, отводимого на компонент образовательного учреждения. Именно поэтому в примерных учебных планах отдельных профилей в рамках времени, отводимого на элективные курсы, предусмотрены часы в 10-11 классах на организацию учебных практик, проектов, исследовательской деятельности. При этом организация обучения в рамках элективного курса предполагает разделение класса, как минимум, на две подгруппы.

Таким образом, элективные занятия позволяют формировать и развивать у учащихся разносторонние интересы, культуру мышления, математическую культуру, умение самостоятельно восполнять знания, приобщают школьников к самостоятельной исследовательской работе, дают возможность познакомиться с некоторыми современными достижениями науки. Кроме того, они способствуют раскрытию внутреннего потенциала учащихся, созданию условий для их самореализации и развития. Элективные курсы позволяют наиболее успешно применять индивидуальный подход к каждому школьнику с учётом его способностей, более полно удовлетворять познавательные и жизненные интересы учащихся.

2.5 Содержание элективных курсов по математике

Содержание элективных курсов определено программой, разработанной учителем и предусматривает изучение разделов: «Избранные вопросы математики», «Математика в приложениях» и др. К программе прилагается список литературы, рекомендованный для изучения темы элективного курса, а также примерное содержание.

Исторический материал на элективных курсах.

Историческому аспекту математики на элективных курсах можно уделить большее внимание, чем в основном курсе (особенно для гуманитарного профиля). Степень включённости исторических сведений может меняться - от эпизодических упоминаний о фактах и личностях до изложения темы в плане её последовательного исторического развития.

В элективном курсе «Элементы комбинаторики и теории вероятностей» роль исторических сведений очень велика. Может быть сделан акцент на практическую важность статистической обработки информации (статистика числа рождений и смертей, деятельность страховых обществ и др.), первых попыток развития теории вероятностей как отражения запросов развития общества, роли азартных игр как простейшей математической модели, на которой отшлифовались основные понятия теории вероятностей. В качестве финала такого построения курса можно рассказать о современных методах контроля качества изделий.

Практическая работа.

Так как программа элективных курсов чаще всего является авторской, ее усвоение потребует от ученика умения слушать и воспринимать материал, легко его конспектировать, а также использовать дополнительную литературу. С другой стороны, элективные курсы должны способствовать развитию навыков самостоятельной работы, поэтому особое внимание необходимо уделить организации исследовательской деятельности. С этой целью в программу должны быть включены различные практикумы:

* групповая работа с научным текстом с последующим коллективным анализом для определения основных понятий, для выделения проблемы, постановки целей и задач исследования;

* работа в библиотеке, подбор литературы по заданной теме с помощью каталогов;

* работа в компьютерном классе, использование электронных энциклопедий и справочников, использование поисковых серверов Интернет для подбора информации;

* публичные выступления по заданной проблеме.

Современное общее образование универсально в том смысле, что оно предназначено для всех, безотносительно к тому, чем сегодняшний ребенок впоследствии будет заниматься - торговлей, политикой, военным делом. Но как бы ни развивалось общество, некоторая его часть занимается наукой. Именно к тем ученикам, которые обнаруживают склонность к теоретической деятельности, имеет смысл обратить некоторые избранные математические курсы.

Суть разрабатываемых курсов состоит в том, чтобы представить в наиболее явной и чистой форме суть науки как таковой.

2.6 Формы занятий и контроль знаний на элективных курсах по математике

Введение профильного обучения, а особенно элективных курсов, в программу старшей школы, несомненно, потребует разнообразия форм и методов обучения, так как профильное обучение - это не только дифференцирование содержания образования, но, как правило, и по-другому построенный учебный процесс.

При выборе форм и приёмов обучения на элективных курсах необходимо учитывать содержание курса, уровень развития и подготовки учащихся, их интерес к тем или иным разделам программы.

Одно из главных требований к формам и методам состоит в активизации мышления учащихся, развитии самостоятельности в различных формах её проявления.

Выделим возможные формы организации занятий элективного курса - это лекции, беседы, дискуссии, групповые соревнования, игры, индивидуальные консультации, теоретические практикумы по решению задач, практическая и исследовательская работа в группах и индивидуально, дистанционное обучение и создание проектов. При этом дифференцированный подход к обучению учащихся осуществляется за счет выбора задач и работ, содержащих различные уровни сложности. Например, лекция «Теория вероятностей в нашей жизни» - в теме «Теория вероятностей и элементы комбинаторики».

В конце изучения каждой темы может быть проведено зачетное занятие в форме игры или мини-олимпиады. Контроль по изучению всего материала может быть осуществлен через творческое задание по составлению задач и проверочные тесты.

Итогом освоения программы элективного курса может также являться констатация личных достижений по освоению содержания, представление индивидуальной творческой работы по выбору учащихся или создание проектов, как каждым учащимся, так и группой учащихся. При этом может быть организован круглый стол - как презентация творческих работ, проектов и подведение итогов.

Таким образом, во второй главе нашей работы обосновывается, что элективные курсы - это неотъемлемая часть профильного образования, эти курсы обязательны для посещения старшеклассниками. Элективные куры направлены прежде всего на удовлетворение индивидуальных образовательных интересов, потребностей, склонностей школьника.

В литературе встречается несколько типологий элективных курсов: «по разрешаемым задачам», «по связи с предметом», «по содержанию», но каждый курс создаётся при условии выполнения определённых требований - это такие как избыточность, кратковременность, оригинальность содержания и др. При этом любой элективный курс немыслим без задач, поэтому необходимо знать принципы их построения - принцип преемственности, принцип связи теории с практикой, принцип полноты и др.

В этой же главе предложены методические рекомендации для подбора содержания элективного курса, а так же предложены формы занятий и контроль знаний на элективных курсах.

Таким образом, из всего вышесказанного можно сделать вывод, что каждое занятие элективного курса - это тот же самый урок, требуемый подготовки, отличных знаний изучаемого материала, поиск дополнительных интересных сведений и фактов и др.

3. Опытная работа

3.1 Анкетирование учителей математики МОУ СОШ с углублённым изучением отдельных предметов №27

Нас заинтересовал вопрос: «Насколько правильно учителя понимают понятие элективного курса и проводят ли они их?». В связи с этим мы сочли необходимым изучить эту проблему. Метод исследования, который мы использовали, - анкетирование.

Проводилось анкетирование учителей математики МОУ СОШ с УИОП №27 города Кирова, в опросе приняли участие 8 учителей математики. Данная школа является школой с углублённым изучением отдельных предметов, в том числе существуют профили с профилирующим предметом математика - математический и физический профиль.

Содержание анкеты представлено в таблице 2

Таблица 2

Вопросы	Ответы
1. Существуют ли в вашей школе профильные классы с профилирующим предметом «математика»?
2. Какие виды профилей существуют в Вашей школе с профилирующим предметом «математика»?
3. Как известно, элективные курсы являются неотъемлемой частью профильного обучения. Что такое элективный курс? В чём его основное отличие от факультативного курса?
4. Проводите ли Вы элективные курсы?
5. В соответствии с письмом Министерств образования Российской Федерации от 23.09.2003 г. №03-93 ин/13-03 «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования школы» рекомендуется во всех образовательных учреждениях начать с 2003/2004 учебного года изучение курса «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей». Включены ли данные темы в Ваш учебный план?
6. Проводите ли вы элективные курсы в классах, например, гуманитарного или экономического профиля? Если да, то какие?
7. Где вы находите нужную информацию для своих факультативных или элективных курсов?

Анализ анкет.

Из всех опрошенных учителей никто правильно не сформулировал понятие элективного курса, но если собрать воедино все ответы, то определение элективного курса получится. Наиболее распространённые ответы: «вопросы вне программы», «это не расширение школьной программы, а добавление новых тем», «темы, интересующие учащегося» и др. среди учителей встретились и те, у кого пока ещё не сформировалось понятие элективного курса.

41,6% ответов - «темы, выходящие за рамки программы»;

25% ответов - «межпредметные связи»;

16,6% ответов - «темы, интересующие учеников»;

8,3% ответов - «задачи с практическим содержанием», «курс по выбору», «познавательный курс».

Основное отличие элективного курса от факультативного сформулировали только два учителя «факультативный курс предусмотрен программой министерства образования».

Также выяснилось, что не все учителя проводят элективные курсы, только трое из восьми, это 37,5% от общего количества учителей. Это курсы:

1. 9 класс. «Нестандартные приёмы решения уравнений», «Решение текстовых задач», «Упражнения с модулем».

2. 10 класс. «Комбинаторика и вероятность», «Исследование в задачах по планиметрии».

3. 11 класс. «Задачи с параметром».

Видно, что некоторые темы не соответствуют тематике элективных курсов. Тема «Решение текстовых задач» сформулирована некорректно. Рассмотрение всех текстовых задач - это скорее факультативный курс, нежели элективный. Элективным же курсом могли стать темы «Задачи на движение», «Задачи на работу», «Задачи на проценты».

На вопрос о том, есть ли в вашем учебном плане темы по комбинаторике и теории вероятностей, всё учителя ответили положительно (100%).

Выяснилось, что никто из учителей не проводит элективные курсы в других профилях, помимо математического и физического.

Где же учителя находят нужную информацию? Опрос показал, что в учебниках для углублённого изучения математики, в дополнительной литературе, на курсах повышения квалификации, в методической литературе, разрабатывают собственные методики, в Интернете и т.п.

Итак, до сих пор среди учителей нет полной ясности в исследуемом нами вопросе. Это связано с переходом на профильное обучение, реорганизацией учебных планов и школ, а так же недостаточностью учебно-методической литературы, в которой можно найти информацию по данному вопросу. Это всё ещё раз доказывает, что наше исследование актуально.

3.2 Анализ учебников с точки зрения вероятностно - стохастической линии

Как показал анализ анкет, в школе №27 вероятностно-стохастическая линия включена в учебные планы учителей математики, но при прохождении нами педагогической практики (5 курс) в школе №14 выяснилось, что данная тема не рассматривалась учителем до 11 класса, хотя профиль класса социально-экономический. Поэтому мы посчитали необходимым разработать элективный курс «Элементы комбинаторики и теории вероятностей», который позволил бы сформировать представление об основных понятиях данной темы. Для этого обратимся, прежде всего, к анализу школьных учебников, в которых прослеживается вероятностно-стохастическая линия.

Построение полноправной вероятностно-стохастической линии в базовом курсе математики основной школы выполнено в рамках учебных комплектов [28], [29], а так же [30], [31], [32]. В 5-9 классах последовательно вводится новая для нашей школы содержательно-методическая линия «Анализ данных», включающая комбинаторику, элементы теории вероятностей и статистику, которая органично сочетается с традиционными вопросами и существенно усиливает практическое и прикладное звучание.

В 5 классе в главе «Натуральные числа» [28] происходит знакомство с комбинаторикой, а именно с понятием комбинаторные задачи, решаемые методом перебора и построение дерева возможных вариантов. В конце главы «Обыкновенные дроби» дети стремятся постичь случайные события, которые разделяются на возможные и невозможные. Далее даётся понятие достоверных, невозможных, случайных, равновероятностных или равновозможных событий. В конце курса происходит знакомство с таблицами и диаграммами, как одним из способов представления информации. На этом знакомство с теорией вероятностей в 5 классе заканчивается.

В 6 классе [29] изучение темы начинается с повторения таблиц и диаграмм. Затем в главе «Вероятность случайных событий» учащиеся знакомятся с наукой - теорией вероятностей, где раскрывается понятие вероятности случайного события и частоты. Учащиеся сталкиваются с задачами на определение вероятности достоверных, невозможных, случайных, равновероятностных или равновозможных событий.

7 класс [30] знакомит учащихся со статистикой, а именно со статистическими характеристиками: средним арифметическим ряда чисел, модой, размахом ряда. В главе «Свойства степени с натуральным показателем» учащиеся учатся решать комбинаторные задачи с помощью рассуждений, где впервые, хотя и неосознанно, применяют комбинаторные формулы. В этой же главе рассказывается о перестановках и даётся первая формула комбинаторики. Обращение к теории вероятности в 7 классе происходит в главе «Частота и вероятность». В 8 классе [31] повторяется ранее изученные статистические характеристики, а также знакомятся с новыми характеристиками: таблицей частот, медианой ряда. Ещё в 8 классе можно изучить геометрическую вероятность.

Итак, в этом комплекте учебников учащиеся знакомятся с основными понятиями теории вероятностей, комбинаторики и статистики.

В учебниках [13], [14] идёт изучение достоверных, невозможных и случайных событий, правила умножения для комбинаторных задач, решение комбинаторных задач. Осуществляется первое знакомство с понятием «вероятность», с подсчётом вероятности.

Продолжение развёртывания вероятностно-статистической линии осуществляется в дополнительных материалах к курсу алгебры 7-9 классов общеобразовательных учреждений «События. Вероятность. Статистическая обработка данных» [34]. Пособие предназначено для ознакомления учащихся с элементами теории вероятностей и математической статистикой. На большом количестве примеров изложены начальные понятия, идеи и методы комбинаторики, теории вероятностей и статистики.

Для изучения вероятностно-статистического материала при работе по учебникам [1], [2], [3] предназначено учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений. Учащиеся знакомятся с простейшими статистическими характеристиками (среднее арифметическое, размах, мода, медиана), изучают элементы статистики и получают начальные представления о сборе и группировке статистических данных, составление таблиц частот и относительных частот. Рассматриваются различные способы наглядного изображения результатов статистических исследований - построение столбчатых и круговых диаграмм, полигонов, гистограмм. Вводятся начальные понятия теории вероятностей. Учащиеся знакомятся с комбинаторным правилом умножения.

Итак, учащиеся к 9 классу, занимаясь по любому из предложенных учебников, знают основные понятия, умеют анализировать, сопоставлять, сравнивать данные, составлять таблицы, диаграммы, обрабатывать информацию.

3.3 Разработка элективного курса «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

Актуальность темы

В соответствии с письмом Министерства образования Российской Федерации от 23.09.2003 г. №03-93 ин/13-03 «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования школы» рекомендуется во всех образовательных учреждениях начать с 2003/2004 учебного года курса «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей». Однако, внедрение в практику этого нового материала требует несколько лет и нуждается в накоплении методического опыта. Поэтому в настоящее время в школах, начиная с 5 класса, вводится вероятностно-стохастическая линия, но в этих же школах можно встретить учеников 10 и 11 классов, в учебные планы которых не была включена данная линия, при этом учащиеся обучаются в социально-экономическом профиле, где данная вероятностно-стохастическая линия очень важна.

Так же, существуют межпредметные связи между математикой и физикой, математикой и биологией, математикой и экономикой и др. С одной стороны физика, биология, химия содержат примеры случайных явлений, с другой стороны эти дисциплины не могут обойтись без элементов теории вероятностей для раскрытия собственных закономерностей.

Как уже было сказано выше, современная физика, химия, весь комплекс социально-экономических наук построены и развиваются на вероятностно-статистической базе, и без соответствующей подготовки невозможно полноценное изучение этих дисциплин.

То есть данная тема «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» актуальна в социально-экономическом профиле, поэтому нами был разработан элективный курс и проведено 2 урока, конспекты которых представлены в Приложении 1.

Цели курса:

1. Овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для продолжения образования.

2. Формирование качеств прикладного стиля мышления, необходимого для продуктивной жизни в обществе.

3. Формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности.

4. Формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики для общественного прогресса.

Задачи курса:

Развитие интеллектуальных умений учащихся.

Расширение сферы математических знаний.

Реализация внутрипредметных связей.

Облегчение подготовки учащихся к экзаменам как в школе, так и при поступлении в общеобразовательные учреждения после окончания школы.

Элективный курс предназначен для учащихся 10-11^х классов, выбравших для себя социально-экономическую область деятельности, в которой комбинаторика и теория вероятностей играют важную роль.

Основные формы проведения элективного курса - лекции учителя, практические занятия и доклады учеников.

В конце изучения каждой темы предусмотрено зачетное занятие в форме игры или мини-олимпиада.

Учащиеся, успешно освоившие программу, получат зачет.

Программа рассчитана на 16 учебных часов (1 учебный час - 40 минут), так как возрасте (15 - 17 лет) учащиеся владеют не малым багажом знаний, умений и навыков и способны усваивать информацию быстрее.

Учебно-тематический план

№ п/п	Тема занятий	Кол-во часов	из них
			Теория	практика
	I. Простейшие комбинаторные задачи. Правило умножения и дерево вариантов. Перестановки. (4 ч) (Приложение 1)
1	Правило умножения	1	15 мин	25 мин
2	Дерево вариантов, перестановки	1	10 мин	30 мин
3	Перестановки	1	10 мин	30 мин
4	Обобщение знаний, закрепление пройденного	1	10	30
	III. Выбор нескольких элементов. Сочетания (6 ч) (Приложение 1)
1	Выбор двух элементов	1	10	30
2	Число	1	15 мин	25 мин
3	Выбор трёх и более элементов	1	10 мин	30 мин
4	Обобщение знаний, закрепление пройденного материала	1	10 мин	30 мин
6	Зачетное занятие	2	-	40 мин
	IV. IV. Случайные события и их вероятности (6 ч) V. (Приложение 1)
1	Виды событий	1	20 мин	20 мин
2	Классическое определение вероятности	1	15 мин	25 мин
3	Вероятность противоположного события	1	15 мин	25 мин
4	Вероятность суммы несовместных событий	1	15 мин	40 мин
5	Обобщение знаний, закрепление пройденного материала	1	10 мин	30 мин
6	Зачетное занятие	1	-	40 мин

С такими темами, как комбинаторика и теория вероятности тесно связана тема статистики (это видно из анализа учебников), поэтому после данного курса целесообразно проведение элективного курса по статистической обработке данных. Примерная разработка представлена ниже.

Статистика - дизайн информации (5 ч.)
1	Варианты, их кратности.	1	15	25
2	Многоугольники распределения данных.	1	10	30
3	Кривая нормального распределения.	1	15	25
4	Числовые характеристики выборки.	1	15	25
5	Обобщение знаний.	1	5	35
Независимые повторения испытаний с двумя исходами (5 ч.)
6	Схема Бернулли.	1	20	20
7	Использование функции .	1	15	25
8	Использование функции Ф.	1	10	30
9	Обобщение знаний	1	5	35
10	Зачётное занятие	2	5	37

Опыт показал, что тема воспринималась учащимися 11^х классов быстро и с интересом. А так же подтвердилось, что установленные нами временные рамки, ограничивающие одно занятие, соответствуют темпу восприятия материала учениками.

3.4 Анализ учебно-методических пособий для проведения элективных курсов по математике

В настоящее время литературы, связанной с элективными курсами сравнительно немного, так как данные курсы вошли в жизнь школы сравнительно недавно, и многие учителя (как показал анализ анкет) не проводят их, то есть нет опыта преподавания в данной области.

Мы обратились к анализу учебных пособий по проблеме исследования, представленных в продаже и доступных учителям города.

Данное пособие предназначено для учителей математики, для учеников общеобразовательных школ (10-11 классов) и студентов педагогических вузов.

Данное пособие знакомит учащихся с законами логики, а также с основными понятиями логики. Поможет научить решать логические задачи и применять эти умения при решении задач, а также в математических доказательствах, поможет развить логическое и абстрактное мышление.

В данном пособии рассмотрены достаточно глубоко следующие темы: предмет и задачи логики; понятие; суждения (высказывания); законы правильного мышления; дедуктивное умозаключение; математическая логика; индуктивное умозаключение; искусство доказательства и опровержения; гипотеза. В конце пособия можно найти тематический словарь терминов, вопросы для повторения, а также стихи и кроссворды, связанные с логикой.

Харламов, Л.Н. Самый простой способ решения неравенств. Избранные задачи по планиметрии. Решение задач с помощью графов. [Текст] / Л.Н. Харламов. - Волгоград: Учитель, 2008.

Данное пособие предназначено для учителей математики и учеников.

Содержание представленных элективных курсов предназначено для 8 - 9 классов в рамках предпрофильной подготовки: самый простой способ решения неравенств, избранные задачи по планиметрии, решение задач с помощью графов.

Цель, поставленная автором, - расширить спектр решаемых задач, познакомиться с новым способом моделирования условия задач - сетевым графом.

Григорьева, Г.И. Текстовые задачи: сложности и пути их решения. Алгебра, 9 класс. [Текст] / Г.И. Григорьева. - Волгоград: Корифей, 2002.

Книга предназначена для учителей математики, может использоваться учащимися.

Данное пособие по элективным курсам содержит учебно-тематический план, программу, разработку занятий курса, пособие предназначено для 9 классов общеобразовательных школ. Курс поможет расширить и углубить знания по математике, сделать выбор профиля в старшей школе.

Цель - формирование полного представления о математических знаниях, развитие интереса к математике.

Козина, М.Е. Элективные курсы по математике и информатике с экономическим содержанием, 10 - 11 класс. [Текст] / М.Е. Козина, Л.И. Малоцкая, Э. А Мурзагалиев и др. - М.: Глобус, 2007.

Пособие предназначено для преподавателей математики и информатики, учащихся, работников методической службы, студентов педагогических вузов.

В сборник вошли элективные курсы по математике и информатике для старших классов общеобразовательных учреждений. В пособии можно найти материал к занятиям, а также необходимую литературу для проведения занятия.

Итак, воспользовавшись любым пособием из вышеперечисленных, есть возможность найти необходимую вам информацию, если ваша тема, совпадает с темой из данных источников.

Заключение

В заключении нашего исследования можно сказать, что поставленные цели и выдвинутые задачи достигнуты и получены следующие результаты и выводы:

1. Профильное обучение направлено на реализацию личностно-ориентированного учебного процесса.

2. Система профильной школы состоит из базовых общеобразовательных, профильных и элективных курсов.

3. Организация обучения математике в различных профилях должна осуществляться в соответствии с психолого-педагогическими особенностями и стилем мышления учеников.

4. Элективные курсы позволяют поддержать изучение математики как профильного предмета на заданном профильном уровне или служат внутрипрофильной специализации обучения и построения индивидуальных образовательных интересов.

5. Выделяют несколько типологий элективных курсов: «по связи с предметом», по содержанию, по разрешаемым задачам.

6. Сформулированы основные требования к отбору задач для элективных курсов: преемственность, контрастность, полнота и др.

7. Разработаны методические рекомендации по проведению элективных курсов (отбор содержания, формы занятий, контроль знаний и др.).

8. Разработан элективный курс по математике для социально-экономического профиля, проведено 2 занятия в 11 классе школы №14 города Кирова.

Материал данной дипломной работы поможет любому учителю, желающему разработать свой элективный курс, а также воспользоваться уже разработанным элективным курсом.

Список литературы

1. Алгебра: Учебник для 7 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Под ред. С.А. Теляковского. - М.: Просвещение: Дрофа - 2003. - с. 368.

2. Алгебра: Учебник для 8 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Под ред. С.А. Теляковского. - М.: Просвещение: Дрофа - 2003. - с. 288.

3. Алгебра: Учебник для 9 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Под ред. С.А. Теляковского. - М.: Просвещение: Дрофа - 2003. - с. 356.

4. Аксёнова, Э.А. Профильное образование школьников [Текст] / Э.А. Аксёнова // Образование в Сибири. - 2002. - №1. - с. 2-5.

5. Артёмова, Л.К. Профильное обучение: опыт, проблемы, пути решения [Текст] / Л.К. Артемова. // Школьные технологии. - 2003. - №4. - с. 22-32.

6. Артюхова, И.С. Проблема выбора профиля обучения в старшей школе [Текст] / И.С. Артюхова. // Педагогика. - 2004. - №2. - с. 28-33

7. Бабичева, Л. Школа будущего [Текст] / Лана Бабичева. // Лидеры образовния. - 2003. - №6. - с. 18-21.

8. Безденежных, Т. Профильное обучение: реальный опыт и сомнительные нововведения [Текст] / Т. Безденежных, В. Шмелёв. // Директор школы. - 2003. - №1. - с. 7-12.

9. Болотов, В.А. Перспективы перехода школы на профильное обучение [Текст] / В.А. Болотов. // Воспитание школьников. - 2004. - №1. - с. 2-8.

10. Болотов, В.А. Образование на старшей ступени во всех развитых странах является профильным [Текст] / В.А. Болотов. // Математика в школе. - 2003. - №9. - с. 4-8.

11. Буравова, Н.И. Профильное обучение в 9 классе [Текст] / Н.И. Буравова. // Математика в школе. - 2000. - №5. - с. 48-55.

12. Гузеев, И. С Содержание образования и профильное обучение в старшей школе [Текст] / И.С. Гузеев // Народное образование. - 2002. - №9. - с. 113-123.

13. Зубарева, И.И., Мордкович, А.Г. Математика: Учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений [Текст]. - М.: Мнемоза. - 2002. - с. 146

14. Зубарева, И.И., Мордкович, А.Г. Математика: Учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений [Текст]. - М.: Мнемоза. - 2003. - с. 158

15. Клёнов, Н. Как подготовить школу к профильному oбучению [Текст] / Н. Клёнов. // Народное образование. - 2003. - №7. - с. 106-114.

16. Колосов, В. Углублённое математическое образование [Текст] / В. Колосов. // Математика. - 2004. - №. - с. 2-7.

17. Колягин, Ю.М. Профильная дифференциация обучения математике [Текст] / Ю.М. Колягин. // Математика в школе. - 1990. - №4. - с. 21-27.

18. Колягин, Ю.М. О прикладной и практической направленности обучения математике [Текст] / Ю.М. Колягин, В.В. Пикал. // Математика в школе. - 1995. - №6. - с. 27-32.

19. Комбинаторика. // Математика. - 2004. - №17. - с. 22-27.

20. Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года [Текст] // Нормативные документы в образовании. - 2003. - №2. - с. 2-21.

21. Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования [Текст] // Официальные документы в образовании. - 2002. - №27. - с. 3-12.

22. Концепция развития школьного математического образования [Текст] // Математика в школе. - 1990. - №1. - с. 2-13.

23. Крутецкий, В.А. Психология математических способностей школьников [Текст] / В.А. Крутецкий. - М.: Просвещение, 1968. - с. 431.

24. Крутецкий, В.А. Психология обучения и воспитания школьников: книга для учителей и классных руководителей [Текст] / В.А. Крутецкий. - М.: Просвещение, 1976. - с. 303

25. Кузнецов, А.А. Базовые и профильные курсы: цели, функции, содержание [Текст] / А.А. Кузнецов. // Педагогика. - 2004. - №2. - с. 28-33.

26. Макарычев, Ю.Н. Элементы статистики и теории вероятностей: Учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений [Текст] / Ю.Н. Макарычев. - М.: Просвещение. - 2003. - с. - 78

27. Марков, В.И. Деятельностный подход в обучении математике в условиях предпрофильной подготовки и профильного обучения [Текст] / В.И. Марков. - Киров. - 2006. - с. 200.

28. Математика: Учебник для 5 кл. общеобразоват. Учреждений [Текст] / Под ред. Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин. - М.: Просвещение: Дрофа - 2003. - с. 368.

29. Математика: Учебник для 6 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Под ред. Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин. - М.: Просвещение. - 2000. - с. 416.

30. Математика: Арифметика, алгебра, анализ данных. 7 класс: Учебник для общеобразоват. учреждений [Текст] / Под ред. Г.В. Дорофеев. - М.: Дрофа. - 2003. - с. 288.

31. Математика: Арифметика, функции, анализ данных: Учебник для 8 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Под ред. Г.В. Дорофеев. - М.: Просвещение. - 2000. - 356

32. Математика: Арифметика, функции, анализ данных: Учебник для 9 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Под ред. Г.В. Дорофеев. - М.: Просвещение. - 2000. - 352

33. Методика преподавания математики в средней школе: общая методика [Текст]: учебное пособие для студентов педагогических институтов по физико-математической специальности / А.Я. Блох, Е.С.канин, Г. В, И.Г. Килина. - М.: Просвещение, 1985. - с. 336

34. Мордкович, А.Г., Семёнов, П.В. События. Вероятность. Статистическая обработка данных: Дополнительные материалы к курсу алгебры для 7-9 кл [Текст] - М.: Мнемозина. - 2002

35. Основные понятия комбинаторики [Текст] // Математика. - 2004. - №7. - с. 11-13.

36. Программа для общеобразовательных учреждений. Математика [Текст]. - М.: Просвещение, 1998. - с. 320

37. Романовская, М. Профильная школа [Текст] / Романовская и др. // Директор школы. - 2003. - №7. - с. 12-21.

38. Семёновых, А. Комбинаторика [Текст] / А. Семёновых. // Математика. - 2000. - №15. - с. 28-32.

39. Симонова, И.М. Профильная модель обучения математике [Текст] / И.М. Симонова. // Математика в школе. - 1997. - №1. - с. 32-36.

40. Терешин, Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики: книга для учителя [Текст] / Н.А. Терешин. - М.: Просвещение, 1990.

41. Шестакова, Л.Г. Математика в гуманитарных классах. [Текст] / Л.Г. Шестакова // Математика в школе. - 1996. - №1. - с. 10-13.

42. Элективные курсы по математике [Текст]: учебно-методические рекомендации. / М.В. Крутихина, З.В. Шилова. - Киров, ВятГГУ. - 2006. - с. - 40

Приложение 1

Уроки 1, 2.

Простейшие комбинаторные задачи: правило умножения и дерево вариантов, перестановки

Цель: сформировать представление о таком разделе математики, как «Комбинаторика», сформировать умения по решению простейших задач комбинаторики.

Простейшие комбинаторные задачи: правило умножения и дерево вариантов, перестановки.

Пример: Начальник написал 10 писем и поручил своему помощнику надписать 10 конвертов с нужными адресами. Тот так и сделал, но дальнейшее перепоручил секретарше. Она выполнила это ответственное задание формально, то есть разложила письма по конвертам, не обращая внимания на адреса. Какова вероятность того, что ни одно письмо не попало в нужный конверт?

Оказывается, что вероятность такой масштабной ошибки превышает 36%.

Все мы довольно часто говорим «это невероятно», «более вероятно, что…», «это маловероятно», «можно утверждать со стопроцентной вероятностью, что…», когда пытаемся спрогнозировать наступление того или иного события. При этом обычно опираемся на интуицию, жизненный опыт, здравый смысл и т.п. Но очень часто такие приблизительные оценки оказываются недостаточными: бывает важно знать, на сколько или во сколько раз совершение одного случайного события вероятнее другого. Иными словами, нужны точные количественные оценки, надо уметь численно характеризировать возможность наступления того или иного события. Раздел математики, посвященный исследованию количественных оценок случайных событий, называется теорией вероятности.

На практике часто приходится выбирать из некоторого множества объектов подмножества элементов, обладающих теми или иными свойствами, расположение элементов одного или нескольких множеств в определённом порядке.

Так как речь идёт о комбинациях объектов - задачи называются комбинаторными, а область математики - комбинаторикой.

Её основателями считают Пьера Ферма и Блеза Паскаля. Эти французские учёные XVII века первыми нашли ключ к составлению количественной оценки вероятности события. Они использовали метод, который позже был назван комбинаторным анализом или комбинаторикой.

Знакомство с новым для вас понятием начнём с двух простых задач, одну из которых решаем вместе, а другую самостоятельно.

Пример 1. Сколько чётных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 4, 5, 9.

Решение. Составим таблицу: слева от первого столбца поместим первые цифры искомых чисел, а выше первой строки - вторые цифры этих чисел. Так как в двузначном числе впереди может стоять любая цифра, кроме 0, то строки будут отмечены цифрами 1, 2, 4, 5, 9. Значит, в нашей таблице будет 5 строк. На втором месте в искомом числе должна стоять чётная цифра. Значит, столбцы будут отмечены цифрами 0, 2, 4. Всего в таблице будет 3 столбца.

	0	2	4
1	10	12	14
2	20	22	24
4	40	42	44
5	50	52	54
9	90	92	94

Клетки таблицы заполнятся следующим образом: первая цифра числа равна метке строки, а вторая цифра - метке столбца, поэтому каждое из интересующих нас чисел попадёт в определённую клетку таблицы. По строкам и столбцам мы перечислим все возможные варианты, значит, искомых чисел будет столько же, сколько клеток в таблице, то есть 5*3=15.

Ответ: 15.

Здесь был осуществлён полный перебор всех возможных вариантов, или, как обычно говорят в таких случаях, всех возможных комбинаций.

Поэтому подобные задачи называют комбинаторными.

Пример 2. На завтрак Илья может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Илья может выбирать? (самостоятельно).

Решение. Соберём все варианты в такой таблице:

	Плюшка	Бутерброд	Пряник	Кекс
Кофе	Кофе, плюшка	Кофе, бутерброд	Кофе, пряник	Кофе, кекс
Сок	Сок, плюшка	Сок, бутерброд	Сок, пряник	Сок, кекс
Кефир	Кефир, плюшка	Кефир, бутерброд	Кефир, пряник	Кефир, кекс

В ней 3 строки и 4 столбца, они образуют 12 клеток. Так как выбор еды и напитка происходит независимо, то в каждой клетке будет стоять один из возможных вариантов завтрака и, наоборот, любой вариант завтрака будет записан в одной из клеток. Значит, всего вариантов столько же, сколько клеток в таблице.

Ответ: 12.

Видно, что, хотя примеры 1 и 2 очень разные, их решения совершенно одинаковые. Основаны они на общем правиле умножения.

Задачи:

1. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9?

2. Сколько среди них чисел, кратных 5?

3. Сколько среди них чисел, кратных 11?

4. Сколько среди них чисел, кратных 3?