Приёмы учебно-познавательной деятельности при решении стереометрических задач на построение

1. Внимательно прочитать текст задачи;

2. Установить к какому виду принадлежит данная задача;

3. Выявить условия (что дано?) и требования (что требуется?) задачи;

4. Оформить чертёж, соответствующий условию и требованию задачи (если есть необходимость);

5. Записать кратко условие и требование задачи.

Результатом этой деятельности, после выяснения характера задачи её вида, установления условий и требований (конечно, не всегда в полном объёме), является принятие задачи учащимся как цели своей деятельности.

Второй этап решения задачи (поиск способа решения) реализуется приёмом поиска решения учебной задачи с помощью второго учебного действия (моделирование выделенного отношения). На этом этапе, выделенное основное отношение фиксируется учебной моделью, содержащей внутренние характеристики задачи, не наблюдаемые непосредственно (внутреннюю структуру задачи).

Для стандартной задачи учебной моделью является программа - последовательность шагов решения задач данного вида, составленная (если, конечно, такая программа не рассматривалась в курсе математики) на основе общего правила (формулы, тождества) или общего положения (определения, теоремы). Тогда, следующий этап, само решение стандартной задачи состоит в применении полученной модели (общей программы) к условиям данной задачи. Если некоторые шаги программы решения требуют для своего выполнения использования каких-то программ, то в отношении их производятся рассмотренные выше операции (распознавание вида задачи, составление программ решения и осуществление решения на основе этой программы).

Анализ научно-методической литературы показал, что поиск решения любой нестандартной задачи школьного курса математики состоит в последовательном применении двух основных операций:

1) Путём преобразования или переформирования свести нестандартную задачу к другой, ей эквивалентной, но уже к стандартной задаче;

2) Разбить нестандартную задачу на несколько стандартных подзадач.

Таким образом, приём поиска решения учебной задачи реализуется при решении нестандартной задачи с помощью двух учебных действий: моделирование выделенного отношения и преобразования модели.

Сформируем общие операции приёма поиска решения учебной задачи при решении учащимся математической задачи:

1. Провести анализ задачи и установить, к какому типу задач она принадлежит;

2. Если предложенная задача является стандартной, то на основе общего правила (формулы, тождества) или общего положения (определения, теоремы) составить программу (если нет готовой) последовательности шагов решения задач данного вида;

3. Если предложенная задача не является стандартной, то применить одну из операций:

3.1 Разбить данную задачу на стандартные или более простые подзадачи с помощью разбиения на части:

а) условий задачи;

б) объекта задачи;

в) требований задачи;

3.2 Ввести в условие вспомогательные элементы (вспомогательные параметры, вспомогательные построения) для:

а) сближения данных и искомых;

б) расчленения задачи на части;

в) придания задаче определённости;

3.3 Переформулировать данную задачу, заменив её другой равносильной задачей, которая является стандартной или задачей способ решения кото-рой известен, с помощью:

а) преобразования условия;

б) замены переменных (неизвестных);

в) замены (кодирования) объектов другими;

4. Построить учебную модель решения задач данного вида.

Таким образам, при решении математической задачи приём поиска решения учебной задачи определяется структурой (схема 12).

Из проведённых выше рассуждений, следует, что приёмы деятельности могут быть разной степени сложности и обобщённости. Более сложный приём состоит из большего числа действий, включает в себя в качестве составляющих другие приёмы. Приём деятельности назовём обобщённым, если он получен на основе анализа частных приёмов путём выделения общего, неизменного содержания деятельности по решению конкретных (частных) задач. Именно обобщённый приём создаёт ориентировочную основу необходимой деятельности по решению ряда учебных задач и обеспечивает переносимость приёма на широкий круг новых частных задач.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Схема 12

Таким образом, обобщённый приём решения школьных математических задач имеет структуру (схема 13).



Размещено на http://www.allbest.ru/

Схема 13

психологический учебный познавательный математика



Глава 2. Проблема формирования приёмов учебной деятельности в научно-методической литературе и практике обучения математики

Проведённый в предыдущей главе анализ психолого-педагогических основ деятельностного подхода показал, что цели данного подхода в области обучения решению задач достигаются тогда, когда они реализуются через формирование приёмов учебной деятельности учащихся по решению задач. Следовательно, с точки зрения деятельностного подхода, процесс обучения решению задач происходит в процессе формирования у учащихся приёмов учебной деятельности по решению учебных задач.

Однако, прежде чем рассматривать формирование приёмов учебной деятельности учащихся по решению стереометрических задач на построение, выделенных в параграфе 4, необходимо рассмотреть следующие вопросы:

1. Для каких видов задач выявлены приёмы учебной деятельности.

2. Как формируются выделенные приёмы у учащихся в учебном процессе.

Ответ на первый вопрос может быть найден после проведения анализа научно-методической литературы, а на второй - практики школьного обучения.

§1. Проблема формирования приёмов учебной деятельности в научно-методической литературе

Рассматривая вопрос о формировании приёмов учебной деятельности в научно-методической литературе, выделим следующие направления:

1. Разработка различных советов, рекомендаций, указаний, вопросов, правил и т.д. для решения математических задач.

2. Выявление приёмов для решения и составления математических задач.

3. Выявление приёмов учебной деятельности учащихся по решению математических задач.

Остановимся на каждом, из перечисленных выше, направлений.

Представители первого направления Д. Пойа, Ю.М. Калягин, Л.М. Фридман и другие предлагают различные рекомендации, советы в процессе решения задач.

При анализе условия и требования задачи Д. Пойа предлагает обращаться к учащимся со следующими вопросами: Что гласит задача? Что дано? Что нужно найти? Определено ли неизвестное данными задачи? Или недостаточны, или чрезмерны? Нельзя ли сформулировать задачу иначе? Нельзя ли найти связь между данной задачей и какой-нибудь задачей с известным решением? Или с задачей, решающейся проще? Решающейся сразу [39]?

Отвечая на вопрос: Как же научиться решать задачи? Л.М. Фридман предлагает следующее:

Во-первых, надо научиться анализировать сами задачи.

Это значит, что нужно уметь расчленять задачу на элементарные условия и требования. А в каждом элементарном условии видеть объект и его характеристику, если же объектов в условии несколько, то выявить их отношение (связь). Нужно также установить характер каждого требования (вопроса) и тем самым определить вид задачи;

Во-вторых, надо хорошо понять, что решение любой задачи есть последовательное применение каких-то знаний (главным образом математических) к условиям данной задачи, получение тем самым из этих условий следствий (промежуточных решений) до тех пор, пока не получим такие следствия, которые являются ответами на требования (вопросы) задачи.

А для того чтобы получать эти следствия, надо хорошо знать и помнить все знания (определения, правила, форму, теоремы и т.д.) из курса математики. Без этих знаний решать задачи невозможно;

В-третьих, надо уметь использовать основные методы решения задач. А их всего лишь три: разбиение задачи на подзадачи, преобразование (моделирование) задачи и метод вспомогательных элементов.

Получив задачу, проанализировав её, построив её схематическую запись (если надо), дальше надо действовать, как правило, в таком порядке:

1. Если можно, разбить сложную задачу на более простые подзадачи.

При этом в ряде случаев это разбиение можно производить последовательно, вычисляя из данной задачи её подзадачи одну за другой.

2. Если же разбить сложную задачу на подзадачи не удастся, то надо, если можно, преобразовать её в более простой, более знакомый вид.

Для этого можно использовать различные приёмы: тождественные преобразования данных выражений, замену переменных (неизвестных), различные замены объектов задачи другими более знакомыми или более удобными объектами и т.д.

Самый простой приём заключается в том, что сопоставляя между собой условия задачи, делают такие выводы, которые позволяют преобразовать задачу в более простой вид.

3. Если же разбить задачу на подзадачи или преобразовать её в более простой вид непосредственно не удаётся, то надо попытаться ввести какие-либо вспомогательные элементы, с тем чтобы получить задачу, которую или можно разбить на подзадачи, или же преобразовать в более простой вид [54, с.179].

Различные приёмы и методы в поиске решения задач рассматривают Г. Д. Балк, М.Б. Балк, В.Г. Болтянский, Я.И. Груднев и другие. Разрабатывая различные методы и приёмы при решении задач они обращают внимание на то, что овладение различными эвристическими приёмами происходит не при изложении готового «отшлифованного» доказательства теоремы или решения задачи, а в процессе поиска доказательства или решения, в процессе самостоятельного открытия новых математических фактов. «Как искать решение? Как догадаться? Такие вопросы постоянно вставали перед учащимися» [3, с.55]. Основное внимание в поиске решения задач уделяется таким методам как анализ, синтез, обобщение, аналогия, интуиция, прогнозирование и перебор [4], в качестве эвристических приёмов рассматриваются такие приёмы как испытание на правдоподобность, обобщение плюс индукция, поиск решения путём предельных случаев, математическое экспериментирование и поиск неизвестных закономерностей, метод малых изменений, аналогия как средство поиска решения задач, введении вспомогательных неизвестных, переход к равносильной задаче, выделение подзадач и т.д. [3].

Говоря об эвристических приёмах при обучении геометрии А.К. Артемев выделяет такие приёмы: равносильного преобразования требования задачи, незавершённых задач, постановки и выполнения произвольного задания, сопоставительного вычисления [2, с.25-26].

Заметим, что перечисленные выше эвристические приёмы особенно эффективны при решении нестандартных задач. Однако вопрос о практическом вооружении учащихся эвристическими приёмами остаётся недостаточно разработанным.

Представители второго направления разрабатывают не только приёмы решения задач, но и приёмы их составления.

Рассматривая составление и решение задач, порождённых данной Е.С. Камин выделяет следующие приёмы составления таких задач: замена части данных исходной задачи другими данными без замены заключения задачи; обобщение данных и искомых; специализация задачи (обратное её обобщению); добавление новых заключений при сохранении данных; обращение задачи [25].

В учебно-методической литературе мало внимания уделяется вопросу воспитания у учащихся критического отношения к содержанию условия задачи. Поэтому особое значение при обучении учащихся анализировать условие и требование задачи имеют исследование И.Я. Кушнир, М.П. Буловацкого, Г.П. Недогарок, предлагающие различные приёмы определения доста-точности и недостаточности условий задач для её решения, а также различные вспомогательные задачи с недостающими и мнимыми данными, и пути их исследования [5, 28, 32].

Различные методы решения задач освещены в работах В.Н. Литвиненко, И.А. Терехова, И.В. Чичаевой [29, 51, 58].

Рассматривая роль метода вспомогательных задач в обучении учащихся решению задач, И.А. Терехов предлагает ученику, испытывающему затруднения при решении задачи, заранее подобранную задачу, в некоторых элементах решения аналогичную основной задаче. Автор выделяет два вида вспомогательных задач: эквивалентные и являющиеся частью основой. При этом, две задачи эквивалентны, если решение одной из них вытекает из решений другой.

На основании опыта преподавания геометрии в средней школе Г.Д. Зайцева предлагает один из возможных путей формирования умений учащихся решать стереометрические задачи. Идея заключается в составлении схемы «разложения» решений задачи на более простые - составляющие задачи. Применение такого разложения при решении ряда стереометрических за-дач даёт возможность учащимся осознать:

1. Из решения каких частных задач состоит решение данных задачи.

2. Какие составляющие задачи повторяются в «разложениях» разных задач.

3. Где метод, результат решения составляющих задач можно использовать в дальнейшем.

Автор отмечает, что «разложение» задач на составляющие помогает учащимся осознанно выделить систему часто повторяющихся составляющих стереометрических задач, которую называет системой опытных задач. Приводится система правил для выбора необходимых опорных задач по решению данной задачи [21].

В исследованиях М.Е. Тимощук [53] по формированию навыков и умений учащихся решать стереометрические задачи основными моментами являются:

1. Отбор задач.

2. Использование обучающих воздействий, которые повышают познавательную активность учащихся, обеспечивают возможность переноса умений. При отборе задач необходим учёт их объективной и субъективной сложности, соответственные уровню развития учащихся.

В разграничении уровней объективной сложности задачи используются следующие понятия:

1. Элементарные простые задачи - решаемые в один-два шага на основании известных теорем, аксиом, определений.

2. Элементарные составные задачи - относительно простые по своей фабуле, они являются составляющими сложных задач.

3. Сложные задачи первого уровня, которые в результате переформирования исходного требования сравнительно легко сводятся к цепочке элементарных задач.

4. Сложные задачи второго уровня - сводятся к элементарным подзадачам (обычно этот процесс вызывает затруднения).

Автор уделяет особое внимание, выделению «ключевой подзадачи» в процессе сведения сложной задачи к элементам.

Для преодоления формализма в усвоении понятий двугранного угла и выработки навыков построения линейных узлов учащимся необходима определённая система задач [46]. Предлагаемые задачи разбиты на четыре группы:

1. На доказательство того, что отмеченный на рисунке угол является линейным.

2. На выделение линейного угла среди нескольких обозначенных на рисунке углов.

3. На построение линейного угла данного двугранного угла.

4. Вычислительные задачи.

В процессе решения этих задач учащихся вырабатывают навыки и умения построения линейных углов, двугранных углов, построения изображений пространственных фигур.

В своих исследованиях [44] Г.И. Саранцев отмечает, что в школьных учебниках решение геометрических задач основано на трансформации словесной формулировки задачи в чертёж, а обратная трансформация не используется, что ведет к перекосу в обучении умения решать геометрические задачи. В процессе составления задач на заданных чертежах формируется комплекс действий: преобразования требования задачи, выделение следствий из данных условий, представление фигуры в плане различных понятий и т.д. автор указывает, что в учебно-методической литературе выделяются опорные знания, задачи и конфигурации. Под последними понимаются такие геометрические конфигурации, которые несут основные теоретические положения темы или раздела, могут использоваться для ознакомления с понятиями и теоремами при решении задач. Опорные конфигурации должны являться источником составления задач. Составление задач по чертежу является хорошим средством интеллектуального развития учащихся.

В работе [10] С.Б. Верченко приходит к выводу о том, что планомерная и систематическая реализация разработанной системы упражнений помогает подвести учащихся младших классов к необходимому уровню развития пространственных представлений и подготовить их к изучению систематического курса геометрии, т.к. программа геометрии старших классов в значительной степени опирается на запас наглядных представлений конструктивных навыков, сформированных в IV-V классах. Автор предлагает конкретные методические рекомендации по формированию и развитию пространственных представлений при изучении геометрического материала в курсе математики IV-V классов.

Систематическое использование на уроках стереометрии устных упражнений и проведения устного опроса являются одним из средств повышения эффективности урока [7, 8, 14] и др. они служат для более глубокого и прочного понимания учащимися свойств параллельного проектирования, основных геометрических понятий, теорем аксиом плоскости и т.д. кроме того, устный опрос и устные упражнения способствуют развитию и формированию пространственного воображения учащегося. Однако, они носят логический характер и конструктивный характер, не касаясь решения стереометриических задач на построение.

Таким образом, представители второго направления приводят определённую работу по систематизации задач на основе выявления опорных задач при «разложении» задач на составляющие (Г.Д. Зайцева), элементарных задач, являющихся основой при решении других задач (Я.И. Груденов и др.), отбор задач с учётом их объективной и субъективной сложности (М.Е. Глинощук и др.), определение опорных конфигураций, являющихся источниками составления задач по данным чертежам (Г.Н. Саранцев), составление специальных упражнений для устного опроса (И.Б. Вейцман, В.П. Демидов и др.), направленных на формирование и развитие воображения учащихся на уроках математики.

Рассмотрим теперь исследования, выявляющие необходимые умения, приёмы решения отдельных типов задач.

В исследовании [6] Г.А. Буткин разработал умения, лежащие в основе геометрического доказательства. В качестве основных знаний и умений решения задач на доказательство он предлагает: действия подведения геометрических явлений под понятие; знание систем необходимых и достаточных признаков искомых геометрических понятий, умение развернуть условие, получить систему его следствий, обнаружить за содержащимися в нём понятиями признаки искомого понятия [6, с.190]. Однако не указываются условия и способы выработки у учащихся этих умений.

Рассматривая вопрос о решении геометрических задач на доказательство, А.Т. Кислицина в работе [26] предлагает системы указаний (обучающую и частичную) при решении геометрических задач на доказательство. Автором выделена следующая система общих указаний: «Чтобы решить геометрическую задачу на доказательство необходимо:

? Точно знать, в чём состоит условие, заключение теоремы;

? Заменить теоремы их определениями;

? Расчленить условие и заключение её на составные части;

? Использовать в рассуждениях условие теоремы и даже использовать его, вообще говоря, полностью;

? Преобразовать условие теоремы для того, чтобы легче было обнаружить справедливость её заключения;

? Преобразовать заключение теоремы;

? Из возможных способов решения выбрать такой, который допускает простое решение предложенной задачи»

При этом формирование выявленных общих умений осуществляется на основе обобщения частных умений.

В работе [45] С.Н. Садыхов и О.С. Садыхова рассматривают системы вопросов, предлагаемых учащимися на каждом этапе решения задачи на построение треугольников, направляющих мышление учащихся в процессе решения задач.

Например, на этапе анализа система вопросов имеет вид:

1. Есть ли на данном рисунке фигуры (точка, отрезок, угол, окружность и т.д.), которые были частью искомого треугольника?

2. Если есть, то, как их можно построить?

3. Сколько при этом вершин искомого треугольника уже имеется?

Значение этих указаний при обучении учащихся решению задач велико. Однако эти указания пока остаются недостаточно обобщёнными.

В диссертационном исследовании Б.А. Абремского [1], на основе анализа использованного при решении задачи теоретического материала, выявляются частные приёмы решения планиметрических задач на вычисление. Исследуя полученные системы частных приёмов, автор выделяет общие приёмы решения геометрических задач на вычисление:

1. Выявление (актуализация) такой зависимости между алгебраическими объектами задачной ситуации, которая содержит искомое.

2. Непосредственное отыскание неизвестного из некоторой зависимости, не содержащей других неизвестных.

3. Составление и решение уравнений или системы уравнений и последующее нахождение всех или некоторых неизвестных.

4. Выделение вспомогательных задач на отыскание значения одной величины или значения комбинации каких-либо величин.

Однако, с точки зрения деятельностного подхода, в работе рассматривается только операционный состав каждого приёма.

В исследованиях Л.О. Демищевой, М.Б. Воловича, Н.С. Новичковой, И.Ф. Протасова [10, 15, 33, 41] рассматриваются приёмы работы с теоретическим материалом (приёмы работы с понятиями) и применения их при решении задач.

Например, в статье Л.О. Демищевой отмечается, что значительное число учащихся затрудняются составить план решения задачи, раскрыть его ход, даже в том случае, когда или получен правильный ответ, т.е. фактически задача решена. Это говорит о том, что учащиеся не осознают самого процесса получения результата, способа своей деятельности [15, с.15]. В этой же работе приведены приёмы учебной работы учащихся для определения критических точек и для нахождения первообразных функций, выявленные из теоретического материала данной темы.

О.Б. Епилиева, К.А. Загородных, О.К. Одинемадов в своих диссертационных исследованиях [19, 20, 35] рассматривают проблему формирования приёмов учебной деятельности учащихся при обучении решению задач.

О.Б. Епилиева рассматривает проблему формирования приёмов учебной деятельности учащихся на материале уравнений и неравенств. Основу исследования составляет методика формирования обобщённого приёма решения уравнений и неравенств с одной переменной, который получен путём обобщения частных приёмов решения конкретных задач по указанной теме.

В работе отмечено, что обобщение способов деятельности учащихся при решении уравнений и неравенств происходит постепенно. При этом вы-делены следующие этапы процесса обобщения приёмов решения уравнений:

? Решение простейших уравнений данного вида;

? Анализ действий необходимых для решения;

? Вывод алгоритма (формулы, правила) решения и запоминание его;

? Решение несложных уравнений данного вида, не являющихся простейшими; анализ действий, необходимых для их решения;

? Формулировка частного приёма решения;

? Применение полученного частного приёма по образцу, в сходных ситуациях, в легко создаваемых вариациях образца;

? Работа по описанным этапам для следующих видов уравнений согласно программе;

? Сравнение получаемых частных приёмов, выделение общих действий в их составе и формулировка обобщающего приёма решения;

? Применение обобщённого приёма в различных ситуациях, перенос и создание на его основе новых частных приёмов для других видов уравнений.

Проводя работу по этапам процесса обобщения, автор выделяет: обобщённый приём решения уравнения первой степени с одной переменной, обобщённый приём решения задач с помощью уравнений, обобщённый приём решения квадратного уравнения, обобщённый приём решения уравнений (неравенств) первой степени с одной переменной, обобщённый приём решения уравнений (неравенств) второй степени с одной переменной, обобщённый приём решения рациональных (тригонометрических, иррациональных, показательных, логарифмических) уравнений и неравенств. Разработана методика формирования обобщенных приёмов решения уравнений и неравенств.

Разработанная система общих приёмов учебной деятельности учащихся позволяет учителям спланировать свою деятельность в процессе обучения этим приёмам.

В исследовании К.А. Загородных [20] выявлены приёмы учебной деятельности учащихся по решению текстовых задач в IV-V классах. Здесь все адекватны действиям учащихся по решению учебной задачи, выделенным в концепции учебной деятельности.

О.К. Одинамадов на основе анализа задач на тождественные преобразования в курсе алгебры средней школы выявил приёмы деятельности учащихся по решению этих задач экспериментальное обучение показало эффективность этих приёмов при обучении учащихся решению задач на тождественные преобразования [35].

Анализ научно-методической литературы показал, что в отличие от первого и второго направления, третье направление ещё недостаточно разработано. Особенно это касается геометрического материала.

§2. Проблема формирования приёмов учебной деятельности в практике школьного обучения

Проведённый выше анализ научно-методической литературы показал, что поставленные перед школой задачи по овладению школьниками математических знаний, умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности, могут быть решены лишь путём систематического обучения школьников эффективным рациональным приёмам умственной деятельности и рациональным приёмам учебной работы. При этом формирование соответствующих приёмов удобно осуществлять в процессе решения школьником предметной задачи. Таким образом, процесс формирования приёмов учебной деятельности предлагает организацию учебной деятельности учащихся по решению задач.

Существуют два пути усвоения приёмов деятельности: стихийный и управляемый. В первом случае приёмы учебной деятельности не являются предметом специального усвоения, их формирование идёт лишь по ходу усвоения знаний, в процессе решения задач и т.п.; при этом они не всегда осознаются и, следовательно, не всегда приводят к желаемому результату. В большинстве случаев в наше время процесс обучения протекает по этому пути.

Во втором случае приёмы служат предметом специального усвоения. Формирование приёмов может реализоваться при введении приёма «в готовом виде» учителем (с привлечением учащихся к активному решению задач), или при подведении учащихся к самостоятельному нахождению приёма (под общим руководством учителя) [23].

В случае управляемого усвоения приёмов учебной деятельности резко сокращается процесс их формирования, учащиеся учатся самостоятельно учиться, что и является главной целью деятельностного подхода.

Показателем сформированности приёмов учебной деятельности школьников является осознание ими этих приёмов, т.е. умение рассказать о составе приёма учебной деятельности, заключающейся в умении обосновать, аргументировать правильность его выполнения [50], а также самостоятельное применение учащимися этих приёмов при решении задач.

Говоря о сущности и значении сознания учащимися своих действий, психологи отмечают, что только тогда учащийся будет осознавать содержание того, что он усвоил, сознавать свой путь познания, т.е. формы своего мышления, ход его развития, когда в состоянии анализировать не только предмет своего изучения, лежащий вне его, но и свою мысль он рассматривает как объект изучения. Осознание своего сознания в процессе учения, т.е. появление учебного самосознания является показателем сдвига в умственном развитии.

О необходимости учёта психологических закономерностей мышления и формирования приёмов умственной деятельности школьников в процессе обучения математике говорят в последние годы не только психологи, дидакты, методисты, но и учителя-практики. Однако учителя математики в своей деятельности не всегда опираются на психологические и педагогические основы процесса обучения, не в полной мере используют достижения современной педагогической психологии и дидактики. Это объясняется тем, что при подготовке учителей математики по психологии и педагогике не всегда учитывается их будущая профессия, а учителя - практики недостаточно осведомлены о современных достижениях психологии и дидактики, т.к. в обще-доступной литературе по проблемам психологии и дидактики не рассматриваются вопросы применения результатов исследований психологов и дидактов в процессе обучения математике.

Таким образом, ставя перед учителем цель: прямо и косвенно формировать у учащихся приёмы общих и специфических умственных и учебных действий, входящих в состав различных видов учебно-познавательной деятельности; необходимо «вооружить» его способами управления учебной деятельностью учащихся при изучении программного материала, раскрыть психологические и дидактические предпосылки, обеспечивающие глубокое и прочное усвоение школьниками математических знаний и умений оперировать ими. При этом активная познавательная деятельность учащихся должна рассматриваться не только как средство овладения знаниями, умениями и навыками, но и как важнейший источник умственного развития школьников.

Опыт передовых учителей показывает, что реализация поставленной перед учителем задачи возможна лишь тогда, когда при подготовке к уроку учитель не только тщательно отбирает систему учебного материала, выделяет в нём «единицы усвоения», продумывает формы его представления, но и вычленяет, программирует способы деятельности учащихся, т.е. те умственные действия и приёмы учебной работы, с помощью которых школьники будут усваивать запланированный учебный материал. При этом важно учитывать, какими знаниями, действиями и приёмами учащиеся уже владеют, а какие должны быть сформированы на данном этапе обучения, а также принимать во внимание закономерности восприятия, памяти, мышления, возрастные и индивидуальные особенности учащихся на различных этапах обучения. Известно, что выбор способов усвоения программного материала по математике зависит от конкретных дидактических и воспитательных целей, особенностей его содержания, подготовленности учащихся к восприятию нового и т.п. Поэтому в одних случаях учебный материал объясняется учителем, а воспроизводится и закрепляется учащимися, в других случаях организуется поисковая деятельность: выявление существенных признаков понятий и конструирование определений, поиск доказательства теорем и алгоритма решения стандартных задач, эвристическая деятельность по нахождению способа решения нестандартных задач и т.д. Следовательно, задача учителя состоит в том, чтобы выбрать такой способ организации познавательной деятельности учащихся, при котором они в процессе усвоения знаний овладеют рациональными приёмами как практических, так и умственных действий. Общие и специфические приёмы умственных действий (а через них и рациональные приёмы учебной работы) становятся в этом случае объектом усвоения и сознательного их применения, контроля со стороны учителя и самоконтроля учащихся.

Но чтобы целенаправленно проводить эту работу, учитель сам должен хорошо знать содержание и структуру общих и специфических умственных действий, примеры их выполнения, видеть их роль в различных видах учебно-познавательной деятельности в процессе обучения математике.

В учебниках геометрии и соответствующих им учебных пособиях не рассматриваются проблемы выявления приёмов решения задач, а также вопросы о том каким образом найдено то или другое решение, как обобщить решение задачи или как выявить общий способ решения нескольких задач и т.п. В лучшем случае рассматривается только один из этапов процесса решения задачи - этап осуществления найденного способа решения задачи. Другими словами, приведённые в учебниках геометрии образы решения задач дают некоторые представления о способах решения, что соответствует первому типу ориентировочной основы действия, который характеризуется неполным составом ориентировочной основы, когда ориентиры представлены в частном виде.

Из сказанного следует, что в учебниках геометрии раскрытие процесса решения задач не направленно на достижение цели деятельностного подхода. Потому, что цели деятельностного подхода достигаются лишь в том случае, когда выявляется состав действий относящихся к третьему типу ориентировочной основы действия, которая имеет полный состав, ориентиры которого представлены для целого класса явлений.

В действующих учебниках отсутствуют первоначальные сведения о задачах (например, что собой представляет задача?; что значит решить задачу?; из каких этапов состоит процесс решения задач?). Поэтому у большинства учащихся весьма смутные, а порой и неверные представления о сущности решения задач, о самих задачах. Как могут учащиеся решить сложную задачу, если они не представляют, из чего складывается анализ задачи, как могут учащиеся решить сложную задачу, если они не знают в чём смысл доказательства [56, с.4].

Таким образом, в существующих программах и учебниках не уделяется должного внимания формированию приёмов деятельности, а что в процессе обучения этому также уделяется мало внимания.

О положении дел с формированием приёмов в учебном процессе Е.Н. Кабанова-Мюллер пишет: «В существующих условиях обучения школьники обычно не ставят перед собой цели овладеть приёмами. Они знакомы с терминами «понятие», «умение», но ничего не знают о приёмах учебной работы. И это не случайно, как уже говорилось, ни в программах, ни в методиках, ни в учебниках вопросу о приёмах не уделяется достаточного внимания» [24, с.50].

Поэтому многие учащиеся не знают, как взяться за решение задачи, как продолжить решение, как контролировать процесс решения и т.д. Об этом свидетельствуют и анализы письменных работ, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы: «Многие абитуриенты не решили геометрическую задачу, и это становится традицией» [11, с.34]. Из года в год во многих анализах письменных работ авторы отмечают низкий уровень знаний и умений учащихся, особенно по геометрии. Это известная в настоящее время проблема в математической подготовке школьников, и сдвигов в её решении пока не происходит [34, с.43].

Из сказанного, однако, не следует, что в практике работы не одной из школ не проводится специального обучения приёмам учебной деятельности. Об обратном говорят статьи и исследования, публикуемые в последнее время в журналах «Математика в школе», сборник статей «Из опыта преподавания математики в школе» и других источниках информации. Все статьи в этом случае представляют собой освещение опыта преподавания математики в средней школе. Часть статей, написанная в основном учителями, раскрывает конкретный опыт изучения соответствующих разделов программы. Встречаются также статьи которые отходят от буквального пересказа опыта и представляют собой обобщение опыта работы ряда учителей.

Проведём анализ некоторых статей, освещающих пути и методы формирования приёмов учебной деятельности учащихся по решению предметных задач.

В статье Т.С. Коржиковой «приёмы учебной работы при обучении решению задач» [22, с.113-118], на примере обучения решения текстовых задач методом уравнения, освещён опыт, ознакомление и обучение учащихся приёмам учебной работы, учителей Тимирязевского района города Москвы. Для облегчения пользования приёмами учебной работы ими был составлен плакат «Как решать задачу» (Таблица 2). Этот плакат вывешивается в классе на уроках, когда решаются текстовые задачи.

Приёмы учебной работы и примеры их применения к решению задач учащихся записывают в специальную тетрадь. Затраты времени на такую работу окупаются в дальнейшем. Эти записи помогают ученикам в затруднительных случаях быстро найти сходную задачу и ещё раз вспомнить подход к её решению, составить план решения очередной задачи.

Опыт обучения учащихся в соответствии с изложенными рекомендациями показал, что облегчается обучение учащихся решению задач, повышается интерес учащихся к решению задач, учащиеся легче осваивают оформление решений.

Описанию сравнительного общего подхода к обучению решению задач посвящена статья А.В. Рудник «Переформулирование текста задачи как путь отыскания её решения» [22]. Автор, опираясь на богатый опыт школы, удачно подметила, что затруднения при решении задач часто возникают потому, что учащиеся не поняли редакционного варианта изложения текста условия в целом, отдельных его частей или отдельных употребляемых в тексте терминов. Изменение редакции непонятных предложений, раскрытие содержания непонятных слов поможет усвоить условие задачи и найти её решение. При этом следует иметь в виду, что описанный в статье приём может помочь при изучении любого программного материала, как в курсе алгебры, так и в курсе геометрии.

Таблица 2

Как решать задачу

Этапы решения задачи	Приёмы работы	Пословицы помогут
1. Понимание условия задачи.	1. Верьте в свои силы. 2. Поймите содержание задачи. 3. Выделите величины, о которых идёт речь в задаче. 4. Выделите величины, которые требуются определить. 5. Составьте схематический чертёж условия задачи.	1. Несчастен человек, который не делает того, что он может, и берётся за то, что он ещё не освоил. 2. Обдумай цель, прежде чем приступить к делу. 3. Предварительное знание того, что хочешь сделать, даёт смелость и лёгкость. 4. С началом считается глупец, о конце думает мудрец. 5. Если действовать не будешь, ни к чему ума палата. 6. Смысл рыбной ловли не в том, чтобы забрасывать удочку, а в том, чтобы поймать рыбку. 7. Тот, кто не думает снова, не может думать правильно. 8. Перепробуй все ключи в связке. 9. Проверь, прежде чем прыгать. 10. Дуб не валится с одного удара. 11. Вторые мысли всегда лучше.
2. Составление плана решения задачи.	1. Вспомните зависимость между величинами задачи. 2. Введите обозначения для искомых величин. 3. Разбейте решение задачи на этапы. 4. Определите последовательность составления упражнений. 5. Установите уравниваемые величины.
3. Осуществление составного плана.	1. Не забывайте о конечной цели решения задачи. 2. Приступайте к следующему шагу только тогда, когда убедитесь в правильности предыдущего шага. 3. Проверьте размерность состав-ленных выражений. 4. Контролируйте каждый свой шаг. 5. Попробуйте ещё один путь.
4. Контроль за решением задачи.	1. Проверьте правильность решения задачи. 2. Проверьте все ли данные из условия задачи использованы при решении задачи. 3. Проверьте размерность величины, получившейся в ответе. 4. Оцените общий подход выбранного способа решения. Если можно, то упростите его. 5. Проверьте соответствие ответа условию задачи.

Методика введения понятия, освящается в статьях Е.Г. Глаголевой, Ю.В. Ревзина, Г.А. Ястребинецкого [22, с.129-167]. В каждой из этих работ приводится мысль о том, что формальное определение понятия не может служить оправданным пунктом изучения темы; оно должно быть логическим завершением работы по созданию индуктивно-наглядных образов.

В статье М.И. Бурда «Формирование умений осуществлять поиски геометрических доказательств» [37, с.99-105] показано, что нахождение пути доказательства геометрических утверждений во многом зависит от овладения учащимися ориентировочной деятельностью. Автором выделены компоненты, составляющие содержание ориентировочной деятельности, и кратко рассмотрена сущность каждого из них.

1. Распознавание понятий. Умение распознавать геометрические понятия, входящие в условия доказываемых утверждений, особенно важно тогда, когда признаки этих понятий содержатся в условиях в опосредованном виде, т.е. заданы через системы признаков других понятий.

2. Доказательства вспомогательных утверждений. Этот компонент ориентировочной деятельности часто облегчает отыскание пути доказательства основного утверждения. Важное значение при этом имеет выработка умения переносить принцип доказательства со вспомогательного утверждения не основное. Это умение, как показали исследования С.Л. Рубинштейна, Н.А. Менчинской, К.А. Славской и др., базируется на проведении анализа условия вспомогательного утверждения через его соотнесение с требованием основного.

3. Проведение анализа состава доказываемого утверждения. Успешному осуществлению такого ряда анализа способствует использование следующей системы указаний по его проведению:

1) Выделить условие и требование доказываемого утверждения; сделать их сокращённую запись.

2) Начать изучение условия утверждения по рисунку. При выполнении рисунка избегать частичных случаев; выделить на рисунке (цветом или толстой линией) данные и искомые элементы.

3) Сформулировать определение тех понятий, которые содержатся в условии и заключении.

4) Заменить понятия условия и заключения их определениями.

4. Поиск плана доказательства. При поиске плана доказательства геометрических утверждений полезно использовать следующие указания:

1) Вспомнить и применить теорему (или другое истинное утверждение), которая непосредственно устанавливает зависимость между данными и искомыми величинами.

2) Сделать попытку расчленить данные утверждения на ряд более простых утверждений, последовательное доказательство которых может привести к доказательству.

3) Вспомнить утверждение, аналогичное данному. Воспользоваться его доказательства.

4) Если возникает трудность при доказательстве равенства двух величин, то одну из них или обе заменить равносильными им величинами и доказывать равенство последних.

5) При необходимости заменить утверждение, которое надо доказать, другим, равносильным данному.

5. Применение указаний по использованию конкретных методов доказательств.

6. Применение обучающих алгоритмов доказательств (или предписаний) определённых типов утверждений. Следует отметить, что чем лучше учащиеся владеют различными алгоритмами доказательства тех или иных типов утверждений, тем выше уровень их умений осуществлять поиски доказательств.

Если обратиться к пособиям по геометрии, то нетрудно заметить, что систематически и целенаправленно такая работа не приводится и все же можно выделить ряд общих алгоритмов доказательства определённых типов теорем и задач на доказательство.

Усвоение всех выделенных компонентов осуществлять по методике, разработанной с учётом основных положений ассоциативной теории поэтапного формирования умственных действий. В соответствии с этой методикой можно выделить следующие пять основных этапов работы:

I. На приёмах специально подобранных доказательств в каждом из них выделяются компоненты, составляющие содержание ориентировочной деятельности.

II. Выделяются общие компоненты всех этих доказательств.

III. Проводится раздельное закрепление компоненты всех этих доказательств.

IV. На основе этих компонентов составляется план, алгоритм или эвристическая схема доказательства.

V. Осуществляется закрепление данных действий в целом.

На каждом этапе используются такие приёмы, как принцип вариаций, сравнение наблюдаемых частных фактов (сопоставление и противопоставление) и специальные проблемные ситуации, ставящие учащегося в положении исследователя.

Опыт показывает, что систематическое проведение такой работы обеспечивает повышение умений учащихся доказывать теоремы и решать задачи.

В статье «Геометрические задачи на построение как средство повышения интереса учащихся восьмилетней школы к изучению математики» [40, с.67-73] С.Н. Садыхов останавливается на следующих методических приёмах, хорошо себя зарекомендовавших на практике обучения в ряде школ Азербайджанской ССР:

1. Решение задачи различными способами.

2. Использование одной задачи для решения других типовых задач.

3. Решение сложных задач комбинированием ранее решённых простых задач.

Южусов Ф.М. в статье «Некоторые аспекты совершенствования обучения геометрии в восьмилетней школе» [40, с.74-77] рассматривает роль системы задач в качестве средства обучения для эффективного изучения математики учащимися. Автор подчёркивает, что задачи являются тем средством обучения, без применения которого нельзя добиться прочного и сознательного усвоения учащимися программного материала, всестороннего развития и воспитания, приобщения учащихся к труду. В некоторых случаях упорядоченные комплексы математических задач выступают в качестве ведущего средства обучения при изучении того или иного раздела математики (например, в форме проблемного обучения, в ходе применения исследовательского и частично-поискового методов обучения).

Решая математические задачи, представленные в продуманной системе, учащиеся не только активно овладевают содержанием курса математики, но и приобретают умения мыслить творчески. Это проявляется, например, в умении изменить условие задачи с целью применить тот или иной метод. Приём; в умении изобретать новые приёмы для решения задач; в умении выделять и накапливать потенциально полезную информацию; в умении конструировать на базе данной задачи новые; в умении осуществлять самоконтроль, исследовать результат решения и т.п.

В статье Саранцева Г.И. «О методике обучения школьников поиску решения математических задач» [40, с.123-131], исходя из концепции обучения деятельности, рассматривается обучение школьников решению геометрических задач. Наряду с вопросами теории обучения решению задач (Закономерности поиска решения геометрических задач. Умение анализировать условие задачи.), рассматриваются эвристические приёмы поиска решения геометрических задач.

Эвристическая схема, способствующая поиску решения наиболее распространённых задач с определённым требованием, может быть таков.

1. Прочитайте задачу.

2. Выделите условие и требование задачи, запишите их, сделайте рисунок.

3. Замените термины, содержащиеся в требовании задачи, определением понятий, которые они обозначают, либо их признаками.

4. Если необходимо, преобразуйте требование задачи в равносильное ему. Попробуйте выразить требование задачи на векторном, координатном языке.

5. Установите те положения, из которых следует требование задачи.

6. Прочитайте ещё раз условие и, сообразуясь с соотношениями, из которых следует требование задачи, выберите одно из них.

7. Выявите информацию, непосредственно содержащуюся в условии.

8. Старайтесь из полученной информации получить новую информацию и так до тех пор, пока не осуществите «стыковку» полученной информации с положением, принятым в п.6.

9. Если выбранный путь не привёл к успеху, то рассмотрите другой путь, «идя» по нему до «стыковки» с новым положением п.5.

10. Продолжайте рассматривать возможные пути до тех пор, пока не придёте к одному из положений п.5.

Эта схема не только направляет процесс поиска решения задачи, но и является источником самостоятельных обобщений заданных в схеме принципов.

Если же рассматриваемая задача содержит неопределённое требование, то, после того как высказана гипотеза, осуществляется поиск согласно приведённой схемы.

Целесообразность выбора метода решения задачи осуществляется после п.5. Сообразуясь с условием данной задачи, выбирается один из известных учащимся методов решения. С этого момента «включаются» в работу и специфические умения, характеризующие деятельность по овладению тем или иным методом.

Статья Канина Е.С. и Нагибина Ф.Ф. [40, с.131-138] «Заключительный этап решения учебных задач» ограничивается рассмотрением заключительного этапа решения задач, методика которого по существу не разработана.

Выдающийся советский математик-педагог А.Я. Хинчин в известной статье о формализме в школьном преподавании математики делился своим опытом работы с математической статьёй: «…я начинаю размышлять над тем, какие новые задачи встают в связи с результатами усвоенной мной статьи. Все возникшие в моём воображении задачи я тщательно записываю в виде вопросов и пытаюсь их разрешить, продолжая эти попытки до тех пор, пока мне не удаётся изучить степень сложности каждой из поставленных задач [57]. Американский математик Норбет Винер писал: «В науке часто недостаточно решить какую-нибудь задачу или группу задач. После этого нужно присмотреться к этим задачам и заново осмыслить, какие же задачи вы решили. Нередко, решая одну задачу, мы автоматически находим ответ и на другой вопрос, о котором раньше вовсе не думали» [9]. Д. Пойа, успешно разрабатывающий проблемы методики математических задач, писал о решении математических задач: «Резервируйте при этом немного времени для ретроспективного разбора законченного решения - это может помочь при решении последующих задач» [38].

Приведенные высказывания дают основания сделать следующий вывод:

1) заключительный этап является необходимой и существенной частью решения задачи;

2) основным содержанием его должно быть осмысление выполненного решения, формулирование и решение (если оно окажется возможным) других задач, явно связанных с решённой, и извлечение из всей проделанной работы выводов о том, как находятся и выполняются решения.

Эти общие положения подтверждающиеся и повседневной практикой обучения математике, в особенности опытом учителей математики, добивающихся высокого уровня математической подготовки своих учеников.

Авторы рассматривают составные части заключительного этапа решения задачи:

I. Обсуждение задачи и её решения. Эта часть включает в себя:

а) Более полное использование входной информации задачи (того, что дано) с целью сделать более полной выходную информацию (то, что находится);

b) Математические выводы, к которым приводят задача и полученная выходная информация;

c) Обсуждение работы по поиску решения;

d) Выявление связи задачи с ранее решёнными задачами.

II. Поиски и осуществление новых способов решения задачи их сравнение и выбор лучшего варианта решения. Решение задачи несколькими способами являются одним из путей проверки правильности полученного результата.

III. Формулирование и решение некоторых других задач, «порождённых» разобранной. Эту часть заключительного этапа можно назвать развитием темы задачи. В методическом отношении развитие темы задачи особенно ценно тем, что приучает учащихся к переконструированию задач, а это, как известно приём поиска решений.

IV. Полезные выводы из проделанной работы. Имеются в виду фиксации из проделанной работы о том, как в подобных случаях находится и осуществляется решение. А также, какие особенности задач подсказывают приём решения.

Основные методические приёмы проведения заключительного этапа по работе с задачей - это классная беседа, изложение учителя, самостоятельная работа учащихся и фронтальное или индивидуальное чтение учебника. Особенно часто пользуются первым из этих приёмов. На заключительном этапе работы с задачей учащимся могут быть предложены следующие вопросы:

1) Что общего в этих задачах?

2) Чем они отличаются?

3) С какими задачами они сходны?

4) чем отличаются от них?

5) Какие выводы должны быть сделаны из решения данных задач?

6) Что лежит в основе решения данных задач?

7) В чём состоит идея решения данной задачи?

8) Какое решение более удачное, рациональное, изящное?

9) Что вы узнали нового из решения данных задач?

10) Какие задачи вы научились решать?

В пособии «параллельные проекции и решение задач по стереометрии» наряду с другими вопросами А. Б. Василевский рассматривает «Обобщённые приёмы решения задач по геометрии в десятом классе» [7].

При изучении тем «Координатный метод в пространстве», «Многогранники», «Фигуры вращения» применяются все основные свойства фигур, рассмотренных в девятом классе. Поэтому успешное изучение материала десятого класса невозможно без систематического повторения важнейших понятий стереометрии и взаимного положения прямых и плоскости. Такое повторение целесообразно вести через решение задач. Анализ действующих учебных пособий по геометрии для IX-X класса показывает, что в них есть задачи, работа над которыми позволяет обучить учащихся обобщённым приёмам, которые дают возможность им успешно определять элементы многогранников и фигур вращения.