Измерения геометрических величин в курсе геометрии 7-9 классов

Ученикам могут быть предложены разные виды задач на:

- измерение с помощью палетки площадей плоских фигур, изображенных на бумаге;

- измерение площади поверхности многогранника и др.

Рис. 18

Мы рассмотрели измерительные инструменты, с которыми полезно знакомить в школе. Изучение некоторых из них является обязательным. Это такие инструменты как линейка, угольник, транспортир, циркуль. Без умения использовать их невозможно изучение геометрии, так как измерения являются одной из основных линий геометрии. И именно при изучении этой линии у школьников появляется возможность познакомится с разнообразными методами геометрии, например, метод площадей, знание которого важно при изучении других геометрических фактов. Вычислительные и измерительные задания формируют у учащихся навыки, необходимые в их будущей трудовой деятельности. Рассмотрение таких измерительных инструментов как астролябия, малка, штангенциркуль и др. дает возможность активизировать работу учащихся по формированию вычислительных навыков, навыков измерений и работы с единицами измерений [29].

§ 5. Различные направления использования измерений геометрических величин при обучении геометрии

Роль измерений в жизни человека невозможно преувеличить. Рассмотрим, какова же роль измерений в курсе геометрии.

Немало слов было сказано о прикладном значении геометрии и роли измерений в ней, как самостоятельного раздела для изучения. Также измерения могут быть использованы и как средство обучения.

5.1 Типология задач на измерения

Измерения могут быть использованы как при изучении нового материала, решении задач, доказательстве теорем, так и при закреплении материала. Но прежде чем перейти к рассмотрению способов применения измерений в том или ином случае, рассмотрим виды заданий на измерения:

- задания на непосредственные измерения;

- задания на косвенные измерения;

- задания на косвенные и непосредственные измерения;

- задания на измерения с помощью информационных технологий.

В результате проведенного сравнительного анализа школьных учебников по геометрии мы можем сделать вывод: в школьном курсе геометрии основное внимание уделяется вычислению геометрических величин: длин отрезков, градусной и радианной мер углов, площадей, объемов и т.п., - то есть опосредованному измерению. Но нельзя проигнорировать непосредственные измерения. Ведь геометрия возникла в глубокой древности в связи с необходимостью измерять, расстояния, площади земельных участков, возводить постройки и т.п. И в настоящее время любой человек в своей жизни сталкивается с необходимостью что-либо измерять.

5.1.1 Задачи на непосредственные измерения

Рассмотрим задачи на непосредственные измерения. К таким задачам относятся задачи, при решении которых используются только измерительные инструменты: линейка, транспортир и др.

- Найти длину отрезков АВ, CD, EF, GH (рис. 19).

Рис. 19

При этом учащиеся проявляют свои знания, умения пользоваться измерительными инструментами.

- Найти периметр многоугольника АВCDEF (рис. 20).

Рис. 20

- Найти градусные меры углов, указанных на рисунке 21.

Рис. 21

При решении подобных задач ученикам могут быть заданы вопросы:

- Что нам нужно измерить? (длину отрезка, градусную меру угла)

- Что мы знаем о длине отрезка, о градусной мере угла? (длина отрезка, градусная мера угла выражается некоторым положительным числом)

- Каким измерительным инструментом удобно пользоваться? (линейкой, транспортиром)

Также к задачам этого типа можно отнести и измерение площади плоской фигуры с помощью палетки. Важно отметить, что при непосредственных измерениях мы сталкиваемся с понятием погрешности измерения. Поэтому ученики должны понимать, что результаты, полученные при их измерениях неточны. Следующим типом задач, могут быть задачи, в которых использование измерительных инструментов недостаточно. Кроме них необходимо использование дополнительных средств.

Например, найти длину окружности (рис. 22).

Рис. 22 расстояния на местности

При решении подобной задачи возможно использование подручных средств, например, нити. С помощью нити и линейки можно измерить длину окружности.

Также могут быть решены задачи такого типа как измерение.

Например, измерить длину коридора в школе. Это можно сделать с помощью рулетки, мерной ленты, шагами или на глаз.

Измерения расстояний на местности могут быть выполнены непосредственно различными инструментами. В тех случаях, когда достаточны менее точные результаты измерения, могут быть применены измерения расстояний шагами. Рассмотрим, примеры таких измерений. Для шагомерного определения расстояний каждый ученик должен знать среднюю длину своего шага. Длина шага находится путем двух, трехкратного измерения шагами одного и того же расстояния, измеренного рулеткой. Делением расстояния, измеренного рулеткой, на среднее арифметическое числа шагов находится средняя длина шага. Чтобы найти длину шага точнее, можно измерить несколько расстояний. Для удобства может быть заполнена таблица:

Таблица 1

	Расстояние, измеренное рулеткой, м	Число сделанных шагов	Длина шага, м
Расстояние 1

Приведем пример заполнения такой таблицы (таблица 2).

Среднее арифметическое числа шагов:

Таким образом, длина шага:

Таблица 2

	Расстояние, измеренное рулеткой, м	Число сделанных шагов	Длина шага, м
Расстояние 1	6	10	0,62
		9
		10

Развитие глазомера учащихся также имеет большое практическое значение. Привитие навыков в определении расстояний на глаз в различных условиях должно осуществляться в школе систематически. Только постоянной тренировкой в развитии глазомера можно добиться более или менее удовлетворительных результатов.

Начинать упражнения следует с определения на глаз малых расстояний, а по мере совершенствования глазомера переходить к определению больших расстояний. Определяемые на глаз расстояния необходимо проверять путем непосредственного измерения мерной лентой с целью убеждения в качестве глазомера.

В процессе непосредственных измерений, учащиеся поймут, как вычисляются те или иные геометрические величины, с помощью формул, а также смогут оценить все достоинства непосредственных и косвенных измерений. В школьном курсе геометрии большое внимание уделяется задачам на косвенное измерение величин. Косвенные измерения могут быть осуществлены на основании геометрических свойств фигур. Использование учащимися знаний, приобретенных на уроках геометрии, имеет большое образовательное и практическое значение. Учащиеся на личном опыте проведения измерительных работ убеждаются в ценности математических знаний, что несомненно способствует повышению у них интереса к изучению геометрии, а также математики, в целом.

5.1.2 Задачи на косвенные измерения

Рассмотрим, задачи на косвенные измерения, то есть в которых необходимо использовать теорему для нахождения геометрической величины.

Пример 1. Найти площадь прямоугольного треугольника, есди известны катеты а и b.

Для этого учащимся необходимо вспомнить определение прямоугольного треугольника и формулу, по которой удобно вычислить площадь рассматриваемого треугольника.

Итак, прямоугольным треугольником называется треугольник, у которого один из углов прямой. Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: , где а и b - катеты прямоугольного треугольника (рис. 23). Таким образом, по известным катетам ученики могут найти площадь треугольника, не прибегая к использованию измерительных инструментов.

Рис. 23

5.1.3 Задачи, в которых до методов косвенного измерения, применяются непосредственные измерения

Можно также выделить класс задач, в которых до методов косвенного измерения, применяются непосредственные измерения.

Пример 2. Найти площадь круга.

Для этого, ученикам необходимо применить формулу: . При этом, ученики путем непосредственного измерения могут найти радиус круга, а затем и площадь. Рассмотрим способ нахождения радиуса:

1. Построим произвольную хорду окружности (рис. 24).

Рис. 24

2. Построим серединный перпендикуляр m к отрезку АВ.

3. Прямая m пересекает окружность в двух точках С и D. Середина этого отрезка О - центр окружности (рис. 25).

Рис. 25

Таким образом, ученикам необходимо измерить радиус ОА, а после найти по уже указанной формуле площадь круга.

Также к задачам на косвенные измерения можно отнести некоторые задачи на измерения на местности: например, измерение недоступного расстояния между доступными точками; измерение расстояния между недоступными точками; измерение расстояния до доступной точки.

Пример 3. Измерить ширину озера.

Рис. 26 задачи были использованы признаки равенства треугольников.

Строим произвольный треугольник ABC. На продолжениях АС и ВС откладываем А'С и В'С . Соединив точки А' и В', получим ?А'В'С = ?АВС по двум сторонам и углу между ними (рис. 26). Из равенства треугольников следует, что АВ = А'В'. Измерив непосредственно А'В', определим и равное ему недоступное расстояние АВ.

Заметим, что при решении данной

При измерениях на местности часто используют и другие известные теоремы, свойства и признаки:

- свойства равнобедренного треугольника;

- свойства прямоугольного треугольника;

- подобие треугольников;

- теорема Фалеса;

- теоремы синусов и косинусов и др.

5.1.4 Задачи на измерение геометрических величин средствами информационных технологий

Также при обучении измерениям в курсе геометрии могут быть использованы измерения с помощью информационных технологий. Одной из программ для наглядного иллюстрирования математических процессов является программа «Живая геометрия» [33]. Она является наиболее простым и легко доступным средством иллюстрации математических процессов и явлений.

С помощью этой программы возможно измерение следующих величин: длины отрезка; расстояния между двумя точками; периметра; длины окружности; углов; площади; длины дуги; радиуса. Использование данной программы возможно при решении различного рода задач.

Пример 4. Необходимо найти гипотенузу прямоугольного треугольника (рис. 27).



Рис. 27

Ученики могут самостоятельно построить прямоугольный треугольник с использованием данной программы, и измерить необходимые длины. Посмотреть, как изменяется длина гипотенузы в зависимости от изменения длины катетов. Также учащиеся могут проверить результат, путем вычислений. Это можно сделать самостоятельно: по теореме Пифагора: или с использованием программы (рис. 28):

Рис. 28

Так же как и в случае непосредственных измерений мы работаем с приближенными значениями. Применение рассматриваемой программы не только показывает ученикам возможности ее использования и вызывает интерес у учащихся к предмету, в целом, к изучаемой теме, в частности. Также позволяет увидеть и «открыть» некоторые геометрические теоремы.

Таким образом, мы рассмотрели виды заданий на измерения. Теперь перейдем к рассмотрению различных направлений использования измерений в курсе геометрии.

5.2 Использование измерений геометрических величин на разных этапах урока геометрии

Как уже было сказано выше, измерения можно использовать на самых различных этапах обучения:

- при изучении нового материала;

- при закреплении полученных знаний;

- при решении задач, выводе формул или установлении каких-либо математических фактов;

- для установления межпредметных связей;

- для опровержения утверждений и др.

Использование измерений при изучении нового материала.

Например, при изучении площадей треугольника по формуле

.

Ученикам могут быть розданы различные вырезанные из бумаги треугольники с отмеченными на них высотами (рис. 29).



Рис. 29

Учащиеся измеряют длины сторон а и b и длины высот, проведенных к стороне a, а также угол . И вычисляют площадь треугольника по уже известной формуле.

Для удобства заносят результаты измерений в таблицу:

Таблица 3

	Длина стороны а	Длина стороны b	Длина высоты hа	sin	Площадь треугольника
1.
2.

После нескольких таких измерений, учащиеся могут догадаться, что . Таким образом, сформулировать гипотезу. Ученики при этом пользовались непосредственными и косвенными измерениями.

При изучении, например, теоремы о площади треугольника, вычисляемой по формуле: , могут быть использованы измерения с помощью информационных технологий (рис. 30).

Рис. 30

Ученикам можно показать, что пока длина высоты и стороны, к которой проведена эта высота, не изменятся, площадь треугольника также не изменится (рис. 31).

Рис. 31

Таким образом, учащиеся могут сделать вывод о том, что площадь треугольника зависит от стороны треугольника и высоты, проведенной к этой стороне. После некоторых исследований, учащиеся также смогут сделать вывод, что площадь треугольника вычисляется по формуле: .

Таким образом, измерения могут быть средством обнаружения каких-то математических фактов.

Помимо этого, измерения могут быть использованы для проверки достоверности или опровержения какого-то высказывания.

Например, в треугольнике сумма двух его сторон меньше третьей стороны.

Итак, учащиеся могут проверить правильность этого высказывания путем измерения сторон произвольного треугольника. Затем сделать вывод о недостоверности этого высказывания.

Или учитель предлагает ученикам выяснить верно, ли высказывание о том, что в любом треугольнике сумма двух его сторон больше третьей его стороны. Учащиеся, начертив каждый свой треугольник в тетради, убеждаются в том, что неравенство выполняется. После чего уже ищут доказательство этого утверждения.

Рассмотрим другой пример: пусть ученикам уже известно, что внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла этого треугольника, не смежного с ним. Для уточнения знаний о соотношении между величиной любого внешнего угла и величиной суммы внутренних углов треугольника, не смежных с ним, учащимся может быть предложено начертить произвольный треугольник АВС, построить три внешних угла и обозначить внутренние и внешние углы цифрами.

Затем убедиться в том, что внешний угол треугольника действительно равен сумме внутренних углов этого треугольника, несмежного с ним. После этого доказать соответствующую теорему.

Измерения могут быть использованы и для решения каких-либо задач.

Рассмотрим следующую задачу:

По данным катетам a и b прямоугольного треугольника найдите высоту, проведенную к гипотенузе: а = 5см, b = 12см.

Эту задачу можно решить с применением косвенных измерений площади треугольника, то есть, используя известную формулу: , и вычислив при этом гипотенузу прямоугольного треугольника. Также можно построить такой треугольник, и измерить необходимый отрезок. Таким образом, также пользуясь измерениями.

При этом все задачи, решаемые с использованием измерений можно разделить на две группы: задачи на местности, то есть для которых не составлена математическая модель для их решения и задачи, которые являются математической моделью некоторой реальной ситуации.

Итак, направления применения измерений в курсе геометрии, рассмотренные нами:

- использование измерений для обнаружения математических фактов;

- измерения для доказательства теорем или опровержения утверждений;

- использование измерений при решении задач;

- для установления межпредметных связей и др.

Таким образом, мы можем сделать вывод не только о практической значимости измерений, но и ценности их во всей геометрии.

Глава 2. Измерения геометрических величин в курсе геометрии 7 - 9 классов

§1. Примеры использования измерений в обучении геометрии

Мы рассмотрели различные направления использования измерений в курсе геометрии. Теперь приведем примеры использования измерений при изучении различных тем курса, при достижении различных дидактических целей.

1.1 Использование измерений при введении новой темы

Ученикам предлагается для изучения новая теорема или какой-либо математический факт. Важно, чтобы школьник усвоил и формулировку и все пункты доказательства, чтобы он был убежден в справедливости доказываемого утверждения, также важно, чтобы ученик понимал, для чего служит эта теорема. Использование измерений помогает добиться этого понимания. Также ученик в результате ряда измерений может самостоятельно прийти к формулировке гипотезы. При введении новой темы могут быть применены как непосредственные так и косвенные измерения. Они могут служить средством обнаружения математических фактов, средством для доказательства теоремы или опровержения утверждений.

Рассмотрим способ применения измерений при введении теоремы о сумме углов треугольника. Важно, чтобы ученики понимали, что сумма углов произвольного треугольника постоянна. И для того, чтобы они убедились в этом, им нужно самим измерить углы различных треугольников и найти их сумму. Таким образом, на уроке используются непосредственные измерения.

1.1.1 Сумма углов треугольника

Тема: «Сумма углов треугольника»

Цель: доказать теорему о сумме углов треугольника, добиться понимания этого факта, научить решать задачи с использованием полученных знаний.

В результате изучения данной темы учащиеся должны:

- знать формулировку и доказательство теоремы о сумме углов треугольника;

- уметь применять теорему при решении задач.

Оборудование: чертежные и измерительные инструменты: линейка, транспортир, учебник для 7 - 11 кл, Погорелов, А.В. [20].

Фрагмент урока.

1. Актуализация опорных знаний, умений и навыков.

Так как на этом уроке учащимся необходимо измерять углы, то нужно вспомнить, какая фигура называется углом, виды углов и способы их измерений. Ученикам могут быть предложены следующие задания и вопросы:

- Какая геометрическая фигура называется углом?

(Углом называется фигура, которая состоит из точки - вершины угла - и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, - сторон угла.)

- Назовите виды углов?

(острый, тупой, прямой)

- Укажите на рисунке 32 тупые, острые и прямые углы.

-

а б в



д е ж

Рис. 32 (а - прямой угол, б - острый, в - прямой, д - тупой, е - острый, ж - тупой)

- С помощью какого измерительного инструмента мы можем измерить угол?

(с помощью транспортира)

Сегодня на уроке мы будем измерять углы треугольника.

- Что же такое треугольник?

(Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.)

- Укажите на рисунке 33 треугольники и вид треугольника:

-

а б в

Г д

Рис. 33

(а - остроугольный треугольник, в - тупоугольный, г - прямоугольный)

2. Изучение нового материала

Ученикам предстоит выяснить, что сумма углов в треугольнике постоянна и равна 180є.

Ученикам предлагается выполнить лабораторную работу:

1) Начертить треугольник АВС.

2) Измерить углы треугольника АВС.

3) Повторить опыт 3 раза.

Данные занести в таблицу:

Таблица 4

	А	В	С	А+В+С
Опыт 1
Опыт 2
Опыт 3

4) Вывод: сумма углов треугольника равна ___________________________________

Таким образом, учащиеся самостоятельно пришли к формулировке теоремы о сумме углов треугольника. Обсудив вопрос о необходимости доказательства, переходят его осуществлению.

3. Первичное закрепление полученных знаний. На данном этапе ученики применяют теорему о сумме углов треугольника при решении задач следующего типа:

1) Определите углы треугольника и его вид, если один его угол равен 25°, а другой - 75°. (ответ: 25°, 75°, 80°, остроугольный)

2) В треугольнике АВС угол А в 2 раза больше угла В, а С = 45°. Определите А и В. (ответ: А = 90°, В = 45°)

Отметим, что большинство задач решается без использования измерительных инструментов, а с помощью уравнения ° (с помощью косвенных измерений).

Здесь мы использовали измерение градусной меры углов при введении нового материала как средство обнаружения математического факта.

Также непосредственные измерения могут использоваться при введении таких тем, как «Смежные и вертикальные углы». Ученики при измерении вертикальных углов убеждаются, что такие углы равны, а сумма смежных углов равна 180°. При изучении темы «Равенство треугольников» школьникам могут быть выданы модели треугольников с равенством различных элементов: равны только углы, равны два/один угол, равны стороны, равны две стороны и угол между ними и т.п. При измерении элементов треугольника ученики «отбросят» варианты, которых недостаточно для равенства двух фигур. И останется только доказать достоверность оставшихся утверждений. Учащиеся могут самостоятельно прийти к формулировке свойств равнобедренных треугольников после ряда измерений: измерение углов, сторон равнобедренного треугольника.

Помимо непосредственных измерений при введении новой темы могут быть использованы и косвенные измерения. Рассмотрим способ их применения при изучении площади трапеции. Здесь удобно использовать именно косвенные измерения, так как большинство формул, связанных с площадями, ученикам уже известны: это и площадь треугольника, и площадь квадрата, параллелограмма.

1.1.2 Площадь трапеции

Тема: «Площадь трапеции»

Цель: сформулировать и доказать теорему о площади трапеции.

В результате изучения данной темы учащиеся должны:

- знать формулировку и доказательство теоремы о площади трапеции;

- уметь применять теорему при решении задач.

Оборудование: картонные геометрические фигуры: треугольники, квадрат, прямоугольник, трапеции, параллелограмм, учебник Геометрия 7 - 9, Л.С. Атанасян и др. [7].

Фрагмент урока:

1. Актуализация опорных знаний и умений.

- Какая фигура называется трапецией?

(Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.)

Ученикам предлагаются следующие задачи:

- Укажите на рисунке 34 трапеции.

а б в

Г д

Рис. 34

(а, г - трапеции)

- Из каких фигур можно составить трапецию?

(из треугольника и параллелограмма (рис. 35, а), из треугольника и квадрата или прямоугольника (рис. 35, б), из двух трапеций (рис. 35, в), из нескольких треугольников и др.) Ученикам раздаются картонные фигуры, и они пробуют собрать из них трапецию.

а)

б)

в)

Рис. 35

- Что такое площадь, и какими свойствами она обладает?

(Площадь многоугольника - это положительное число, которое показывает сколько раз единица измерения и ее части укладываются в данном многоугольнике.)

Свойства:

- Равные многоугольники имеют равные площади.

- Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.)

2. Введение нового материала.

После того, как ученики поняли, что трапецию можно разбить на несколько фигур, площади которых они могут найти, основываясь на известных им свойствах площадей, школьники найдут и площадь трапеции. Рассматривается задача: известно, что высота трапеции BH = 4 см, ВС = 8 см, AD = 16 см. Найти площадь трапеции.



Рис. 36

Учитель поясняет, что данную трапецию можно разбить на две фигуры: треугольник и параллелограмм (рис. 36), площади которых мы уже умеем находить. Таким образом, площадь трапеции АВСD равна сумме площадей треугольника и параллелограмма.

Ученикам предлагается самостоятельно решить эту задачу.

Решение:

1. Построим отрезок BF, параллельный отрезку CD.

2. Четырехугольник BCDF является параллелограммом, так как BC || FD (ABCD - трапеция, AD || BC) и BF || CD - по построению.

3. Найдем площадь параллелограмма BCDF: BC = FD = 8. BH = 4 - высота параллелограмма (так как BH - высота трапеции, то BH | ВС). S = BH*BC = 4*8=32

4. Найдем площадь треугольника ABF: BH - высота, AF - основание: BH = 4 cм, AF = AD - FD = 16 - 8 = 8 (cм). S = (см²).

5. Площадь трапеции равна сумме площадей треугольника и параллелограмма: S_трап=S_пар+S_тр = 32+16 = 48 (см²).

Ответ: 48 см²)

После рассмотрения частного случая можно перейти к рассмотрению общего случая нахождения площади трапеции. Учитель задает школьникам вопрос:

- Любую ли трапецию можно разбить на треугольник и параллелограмм, как?

(да, нужно провести через одну из ее вершин прямую параллельную одному из боковых ребер, тогда эта прямая разобьет трапецию на параллелограмм и треугольник)

Итак, нам дана трапеция с основаниями AD = b, BC = a, высотой BH = h. Нужно найти площадь этой трапеции. Учащиеся уже ознакомлены с алгоритмом решения такой задачи:

1. Провести через одну из вершин трапеции прямую параллельную одному из боковых ребер, тогда эта прямая разобьет трапецию на параллелограмм и треугольник.

2. Найти площадь полученного параллелограмма: .

3. Найти площадь полученного треугольника:

4. Сложить результаты:

Таким образом, ученики самостоятельно доказали и сформулировали теорему.

В этом случае косвенные измерения площадей треугольника и параллелограмма помогли при доказательстве теоремы. Косвенные измерения могут быть использованы при введении тем: Теорема Пифагора (доказательство этой теоремы происходит с помощью косвенных измерений - вычислений площадей треугольника и квадрата), признаки подобия, площадь круга и многое другое. Использовать именно косвенные измерения удобно при изучении тем, связанных с площадями, где можно применять уже известные формулы, к тому же непосредственное измерение площадей затрудняется в связи с неточностью измерительных инструментов (палетка). Эти недостатки исчезают при использовании информационных измерений, то есть измерений геометрических величин с помощью технических средств. Заметим, что они могут быть заменены и непосредственными и косвенными, так как компьютер выполняет лишь роль вычислителя. Информационные «измерения» могут быть использованы при введении многих тем: обнаружения фактов, доказательстве теорем. Рассмотрим использование такого вида измерений при введении формулы длины окружности.

1.1.3 Длина окружности

Тема: «Длина окружности»

Цели: вывести формулу для нахождения длины окружности.

В результате изучения данной темы учащиеся должны:

- знать формулу для нахождения длины окружности и ее вывод;

- уметь применять полученные знания при решении задач.

Оборудование: компьютер, приложение «Живая математика» [33], учебник Геометрия 7 - 9, Л.С. Атанасян и др. [7].

Фрагмент урока.

1. Актуализация опорных знаний.

Прежде чем перейти к выводу формулы для нахождения длины окружности необходимо вспомнить, какая фигура называется окружностью.

(Окружность - это геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки)

2. Введение нового материала.

Учащимся необходимо выполнить работу исследовательского характера, с целью определения формулы для нахождения длины окружности.

Им предлагается с помощью программы Живая геометрия провести ряд измерений и заполнить таблицу:

Таблица 5

	Длина окружности - C, см	Радиус окружности - R, см
Измерение 1
…………..

1. Запустить приложение Живая геометрия.

2. Выбрать элемент Циркуль, расположенный на панели инструментов:

3. С помощью выбранного инструмента начертить окружность.

4. Выполнить команду: Измерения - Длина окружности.

На экране появится поле, в котором будет отображаться длина начерченной окружности.

5. Выбрать элемент Линейка:

6. С помощью выбранного инструмента соединить центр окружности с точкой, лежащей на окружности.

7. Выполнить команду Измерения - Длина.

На экране появится поле, в котором указана длина отрезка, являющимся радиусом (рис. 37).

Рис. 37

8. Провести подобные измерения пять раз.

После заполнения таблицы учащиеся замечают, что в четвертом столбце у них получается примерно одно и тоже число, то есть чтобы найти длину окружности необходимо знать радиус окружности. Длина окружности равна удвоенному произведению радиуса окружности на полученное школьниками число.

Затем учитель поясняет, что число обозначается (число «пи»), которое приближенно равно 3,14.

Затем учитель рассказывает историю открытия числа .

Также можно объединить несколько видов измерений, так появляется косвенное и непосредственное измерение, то есть измерения, где нужно применять и умения использовать измерительные инструменты и знания различных формул. Рассмотрим применение таких измерений при введении темы «Теорема Пифагора».

1.1.4 Теорема Пифагора

Тема: «Теорема Пифагора»

Цель: сформулировать и доказать теорему Пифагора.

В результате изучения данной темы учащиеся должны:

- знать формулировку теоремы Пифагора и ее доказательство;

- уметь применять полученные знания при решении задач.

Оборудование: чертежные и измерительные инструменты: линейка, транспортир, учебник для 7 - 11 кл, Погорелов, А.В. [20].

Фрагмент урока.

1. Актуализация опорных знаний.

Учитель предлагает ученикам вопросы и задания для выполнения, позволяющие вспомнить необходимые для усвоения нового материала факты.

- Что такое треугольник?

(Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.)

- Как называется треугольник, если у него все углы острые? (если один из углов тупой, прямой?)

(остроугольный, тупоугольный, прямоугольный)

2. Введение нового материала.

Учитель предлагает школьникам высказать предположения о справедливости следующей формулы: с² = а² + b², где а и b - катеты прямоугольного треугольника, с - гипотенуза треугольника.

Ученикам выдаются модели прямоугольных треугольников.

Затем им предлагается провести измерения длин катетов прямоугольного треугольника и его гипотенузы и заполнить таблицу:

Таблица 6

а	b	c	а2	b2	а2 + b2	с2

Таким образом, ученики убедятся в истинности предположения, и уже после этого можно перейти к доказательству этого утверждения.

1.2 Использование измерений при решении задач

Еще одно направление использования измерений в геометрии, которое мы рассмотрим - это использование измерений при решении задач.

Часто решая какую-либо задачу, ученик сталкивается с рядом проблем: не знает с чего начать рассуждения, от чего отталкиваться и др. В таком случае может помочь непосредственное измерение. Школьник строит необходимый чертеж и измеряет элементы фигур, пытаясь найти какую-либо связь, зависимость между исходными данными и получаемыми результатами. Это помогает ученику найти способ решения задачи.

Пример 5. Дан треугольник АВС. Сторона АС равна 6 см. Высота, проведенная к АС, равна см см. Высота, проведенная к АВ, равна 3см. С треугольника АВС равен 30°. Найти А (рис. 38).

Рис. 38

При решении такой задачи дети могут не сразу догадаться, как же ее решить, им может потребоваться некоторая наводка. Они могут получить эту подсказку, если точно выполнят чертеж к задаче и найдут связь между исходными данными и неизвестными.

Дано:

?АВС,

АС = 6 см,

ВМ = см - высота ?АВС,

СН = 3см - высота ?АВС,

С = 30°,

Найти: А.

Уже при построении чертежа от учеников требуется умение строить такие отрезки, как см. Это построение может быть выполнено следующим образом:

1. Сначала построим отрезок, равный см. Для этого построим прямоугольный треугольник с гипотенузой 2 см, а катетом 1 см. Тогда второй катет этого треугольника будет равен см (по теореме Пифагора) (рис. 39).

2. Затем мы три раза откладываем полученный отрезок и делим его пополам.

Рис. 39

Таким образом, при использовании такого вида измерения в качестве средства поиска решения задачи, учащиеся должны хорошо владеть измерительными и чертежными инструментами.

Построение (рис. 40):

1. АС = 6 см;

2. С = 30°;

3.

4. ;

5. КР = ВМ, К а;

6. b || АС, Р b;

7.



Рис. 40

После того, как школьник построил такой треугольник, он может измерить угол, который необходимо найти. Измерив А, ученики убедятся, что он равен 60°, таким образом, треугольник АВС - прямоугольный. У школьников появятся мнения о том, с чего начать решение этой задачи - найти АВ, после чего, показать, что треугольник, в самом деле, прямоугольный.

А уже после того, как ребенок нашел способ решения этой задачи, он ее решает с использованием косвенных измерений.

(Решение:

1. Найдем площадь треугольника АВС:

С одной стороны: (см²);

С другой стороны: . Откуда АВ = (см)

2. С = 30°, АС = 6 см, АВ = 3 см, сл-но, ?АВС - прямоугольный, В = 90°, А = 60°.

Ответ: А = 60°.)

Непосредственные и косвенные измерения также могут помочь в решении задач.

Пример 6. Дана монета (монета имеет форму окружности) (рис. 41). Найти ее радиус.



Рис. 41

Ученики с помощью нити измеряют длину окружности, а затем вычисляют ее радиус по уже известной им формуле.

Заметим, что использование информационных измерений при решении задач возможно, но в большинстве случаев они помогают лишь вычислить что-то, не позволяют ученику понять ход решения. Использование информационных измерений при решении задач оказывают влияние в следующих случаях:

- для четкого построения чертежа. С помощью компьютерных технологий школьник может сделать правильный и точный чертеж к задаче, а после этого перейти к поиску решений.

- Решение задач на ГМТ.

- Решение задач исследовательского характера.

Пример 7. Дан равносторонний треугольник со стороной а и окружность с радиусом, равным стороне треугольника. Определить, сколько возможно точек пересечения окружности со сторонами треугольника.

В программе Живая геометрия ученики могут построить равносторонний треугольник и окружность. Передвигая эту окружность, школьники определят количество точек пересечения. Учитель может сделать это для демонстрации в классе, с использованием анимации, что также возможно в указанном компьютерном приложении.

- В решении задач на построение. На этапе анализа задачи ученики могут выполнить чертеж на компьютере, а уже после этого и к отысканию способа построения.

1.3 Использование измерений для опровержения каких-либо утверждений

Школьникам задается вопрос об истинности какого-то утверждения. Не каждый ребенок может сразу ответить верно, поэтому чтобы ученики убедились в правильности своего ответа, они проверяют выполнение факта на практике. Рассмотрим несколько примеров таких вопросов.

Ученикам предлагается высказать предположение о том, верно ли следующее утверждение: в треугольнике сумма двух сторон меньше, чем другая его сторона. Учащиеся высказывают свои догадки, после чего учитель предлагает построить в тетрадях произвольный треугольник и проверить выполняется ли это неравенство. После некоторых измерений ученики убеждаются в том, что это утверждение ложно. В этом им помогли непосредственные измерения.

Рассмотрим другой вопрос, для ответа на который понадобятся косвенные измерения: всегда ли площадь квадрата, сторона которого равна диаметру круга, больше площади такого круга. Пусть сторона квадрата равна а, тогда его площадь равна а². Площадь круга с диагональю а равна . Ученикам нужно сравнить полученные площади: так как <1, то площадь квадрата будет больше, чем площадь круга, диаметр которого равен стороне квадрата. Таким образом, ученики получают ответ на вопрос. (ответ: да)

1.4 Измерения, подчеркивающие практическую значимость геометрии

Использование измерений в школьном курсе геометрии помогает при достижении различных целей, дает возможность организовывать урок и в форме лабораторной, исследовательской, практической работы, то есть разнообразить формы организации обучения, что поможет учителю и при контроле знаний и умений учащихся, и при организации индивидуального и дифференцированного подхода к обучению. Заметим, что помимо перечисленных нами направлений использования измерений, они так же существуют как самостоятельная единица. Существует множество разнообразнейших занимательных задач на измерения, подчеркивающих практическую направленность геометрии и межпредметную связь. Рассмотрим примеры таких задач.

Пример 8. Измерить высоту дерева.

Рис. 42

На некотором расстоянии (рис. 42) от измеряемого дерева, на ровной земле в точке С кладут горизонтально зеркальце и отходят от него назад в такую точку D, стоя в которой наблюдатель видит в зеркале верхушку А дерева. Тогда дерево (АВ) во столько раз выше роста наблюдателя (ED), во сколько раз расстояние ВС от зеркала до дерева больше расрасстояния CD от зеркала до наблюдателя. Способ основан на законе отражения света. Вершина А (рис. 43) отражается в точке А' так, что АВ = А'В. Из подобия же треугольников ВСА' и СЕВ следует, что A'B:ED = BC:CD. В этой пропорции остается лишь заменить A'В равным ему АВ, чтобы обосновать указанное в задаче соотношение.

Рис. 43

Пример 8. В тени серебристого тополя от его корней разрослась поросль. Сорвите лист и заметьте, как он велик по сравнению с листьями родительского дерева, особенно с теми, что выросли на ярком солнце. Теневые листья возмещают недостаток света размерами своей площади, улавливающей солнечные лучи. Определить, во сколько именно раз площадь листа поросли больше площади листа родительского дерева.

Оба листа, различные по величине, имеют все же одинаковую или почти одинаковую форму: другими словами, -- это фигуры, геометрически подобные. Площади таких фигур, мы знаем, относятся, как квадраты их линейных размеров. Значит, определив, во сколько раз один лист длиннее или шире другого, мы простым возведением этого числа в квадрат узнаем отношение их площадей.

Пример 9. У одуванчика, выросшего в тени, лист имеет длину 31 см. У другого экземпляра, выросшего на солнцепеке, длина листовой пластинки всего 3,3 см. Во сколько примерно раз площадь первого листа больше площади второго? [18]

Отношение площадей равно . Значит, один лист больше другого по площади раз в 90.

Такие задачи могут быть использованы также при подготовке внеклассных мероприятий по математике или факультативов.

§2. Рекомендации по реализации основных направлений использования измерений в школьном курсе геометрии

В предыдущих параграфах мы рассмотрели виды измерений и направления их использования в обучении геометрии. В зависимости от направления использования измерений целесообразно применять тот или иной вид измерений. Рассмотрим, при изучении каких тем школьного курса геометрии, возможно использование измерений геометрических величин.

Применение непосредственных измерений, то есть измерений с помощью специальных инструментов, возможно при изучении таких тем как «Смежные и вертикальные углы», «Признаки равенства треугольников», «Свойства равнобедренных треугольников», «Параллельные прямые», «Соотношения между сторонами и углами треугольника», «Подобные треугольники» и др. На уроках при введении перечисленных тем, разделов ученикам предлагается с помощью измерений обнаружить какой-либо факт, убедиться в истинности утверждения. Это можно реализовать с помощью непосредственного измерения геометрических величин. При этом, ученикам нужно дать понять, что непосредственные измерения не всегда точны, и поэтому результат может не совпадать с ожидаемым. В этом случае школьников необходимо познакомить с такими понятиями как погрешности и приближенные значения величин. С погрешностью мы сталкиваемся при измерениях в связи с неточностью измерительного прибора, человеческим фактором, внешними воздействиями. О них следует рассказать ученикам и научить их определять погрешности измерений и работать с ними, если школьники углубленно занимаются математикой. В остальных случаях столь подробного рассмотрения этих понятий не требуется, так как вопрос об погрешности измерений очень сложен. Нам достаточно уметь находить приближенные значения величин.

Итак, при знакомстве с понятиями смежных и вертикальных углов школьники самостоятельно могут сформулировать утверждения: сумма смежных углов равна 180°, вертикальные углы равны. При изучении признаков равенства треугольников, свойств равнобедренных треугольников, признаков параллельности прямых ученики так же приходят к формулировке теорем. После ряда измерений учащиеся приходят к этому. Но после проведенной ими работы учитель должен объяснить необходимость в доказательстве нужной гипотезы: ведь измерения были неточны, и то, что утверждение верно в одном случае не означает, что оно верно всегда.

Использование измерений при изучении нового материала очень широко, но есть и такие темы, при которых применение измерений не требуется. К таким можно отнести следующие темы: «Векторы», «Метод координат», «Движения».

Также при введении нового материала возможно и использование косвенных измерений, то есть те, где необходимо использование известных ученикам формул. Но в отличие от непосредственных, которые помогали прийти к формулировке гипотезы, косвенные измерения могут помочь и в ее доказательстве. Применение косвенных измерений может быть реализовано при изучении таких тем как «Теорема Пифагора», «Подобие фигур», «Площади фигур». Ведь именно здесь ребята уже знакомы с некоторыми формулами, которые помогут им в дальнейшем. Так при изучении площадей четырехугольников они уже знают, как находится площадь треугольника. А так как любой четырехугольник можно разбить на несколько треугольников, то сложностей в нахождении их площадей не возникает.

Применение информационных «измерений» также играет немалую роль при изучении новых понятий. С помощью компьютерных технологий можно продемонстрировать всему классу ряд свойств или теорем. Так, например, при изучении темы «Площадь треугольника» можно показать ученикам, что площадь треугольника не изменится пока будут постоянными основание и высота треугольника.

Так как наглядность в геометрии играет важную роль, то применение информационных технологий на уроках также поможет при реализации принципа наглядности в обучении.

Следующим направлением использования измерений являются измерения при решении задач. Заметим, что непосредственные измерения здесь помогают в поиске решения. Так сделав чертеж к той или иной задаче и измерив необходимые величины, ученик может обнаружить связь между искомыми и данными значениями. Косвенные же измерения необходимы практически при решении любой геометрической задачи. А вот информационные измерения не всегда помогают в решении задач. Компьютер, как мы знаем, создан человек для ускорения вычислений, поэтому ни в поиске решения, ни на этапе осуществления плана решения, он не помогает ученику. При этом информационные технологии, как уже было отмечено выше, могут помочь в следующих случаях:

- для четкого построения чертежа.

- решение задач на ГМТ.

- решение задач исследовательского характера.

- решении задач на построение.

Помимо того, чтобы выбрать какой тип измерений использовать на каждом из этапов обучения, учитель должен организовать работу учащихся. Активизировать процесс обучения математике позволяет собственная практическая деятельность учащихся. Так как измерения тесным образом связаны с практической деятельностью, то необходимо правильно подобрать форму обучения. Одной из таких форм является лабораторная работа.

Хотя лабораторная работа обычно выполняется в группах это не всегда удобно. При введении темы, например, учащиеся должны быть сосредоточены на изучаемом материале и на работе, которую они выполняют. Работая в парах или группах, школьники могут отвлекаться, что помешает качественному усвоению темы. Поэтому ученикам нужно дать индивидуальные занятия, нацеленные на достижение одной цели. Например, при изучении признаков равенства треугольников, ученики могут быть разделены на группы, но при этом каждый должен выполнять свою функцию: к примеру, один человек измеряет стороны треугольников, розданных учителем, и заносит результаты в таблицу, второй - измеряет углы, третий путем наложения, проверяет равны ли треугольники. Таким образом, каждый из учеников играет важную роль в выполнении работы. Это подчеркивает их важность и позволяет не отвлекаться. Также при выполнении работы учителю следует продемонстрировать ход работы перед ее выполнением, или вместе с учениками проделывать все шаги. Не менее важным является обеспечение всех школьников нужными измерительными инструментами.

Помимо лабораторных работ могут быть использованы также и практические работы, и работы исследовательского или творческого характера.

Таким образом, измерения не только помогают при изучении геометрии, но и позволяют разнообразить формы обучения.

геометрия школьный курс измерение

§3. Элективный курс «Измерения расстояний на местности»

Пояснительная записка

Измерительные работы на местности связаны с измерением реальных расстояний, в том числе между недоступными предметами, высот, площадей участков, съемкой плана местности. Обучение выполнению таких работ способствует подготовке к моделированию разнообразных задач, а также к дальнейшей профессиональной деятельности.

Предлагаемый элективный курс предназначен для реализации в 9 классах средней школы. При изучении предложенных тем ученикам достаточно знаний, приобретенных на уроках математики, поэтому никакой дополнительной подготовки от школьников не требуется. При изучении элективного курса реализуются междпредметные связи с такими областями как физика, информационные технологии, черчение, технология и др.

Цель элективного курса: подготовить учащихся к дальнейшей профессиональной деятельности, повысить уровень понимания практической значимости предмета.

Задачами курса являются:

- формирование или развитие представлений учащихся об измерениях геометрических величин и расстояний на местности;

- применение знаний, полученных на уроках математики;

- выделение разных видов взаимосвязей математики с другими областями знаний;

Элективный курс имеет большой образовательный, воспитательный и развивающий потенциал:

- обучает разнообразным способам измерения расстояний на местности,

- воспитывает интерес к предмету;

- направлен на обучение школьников грамотному использованию измерительных инструментов.

На изучение курса целесообразно отвести 9 часов.

Тематическое планирование курса:

1. Меры длины, измерения расстояний подручными средствами - 1ч

2. Измерение расстояний шагами и на глаз - 1ч

3. Измерительные инструменты - 1ч

4. Измерение диаметра ствола дерева - 1ч

5. Измерение недоступного расстояния между доступными точками - 1ч

6. Применение свойств прямоугольного треугольника и осевой симметрии - 1ч

7. Измерение расстояний до недоступной точки - 1ч

8. Измерение расстояний между недоступными точками - 1ч

9. Итоговое занятие - 1ч

Содержание курса

Номер занятия	Тема	Краткое содержание
1	Меры длины, измерения расстояний подручными средствами	Различные меры длины (ладонь, фаланги пальцев, пядь, аршин, сажень, сантиметр, метр, фут и др.). Измерение геометрических величин с помощью частей тела: ладонь, фаланги пальцев и т.п.
2	Измерение расстояний шагами и на глаз	Измерение расстояний на местности на глаз и шагами. Определение длины шага, измерение расстояния шагами. Определение расстояний на глаз.
3	Измерительные инструменты	Обучение школьников пользоваться измерительными инструментами: штангенциркуль, рулетка, мерная вилка лесовода. Определение расстояний с помощью разнообразных измерительных инструментов.
4	Измерение диаметра ствола дерева	Измерение диаметра ствола дерева различными инструментами (мерная вилка лесовода, диаметромер-центроискатель, нить)
5	Измерение недоступного расстояния между доступными точками	Рассмотрение возможности применения математических фактов на практике, в частности при измерении недоступного расстояния между доступными точками. Применение равенства и подобия треугольников при измерении недоступного расстояния между доступными точками.
6	Применение свойств прямоугольного треугольника и осевой симметрии	Применение свойств прямоугольного треугольника и осевой симметрии при измерении недоступного расстояния между доступными точками
7	Измерение расстояний до недоступной точки	Применение теоремы о зависимости между углами и сторонами треугольника при измерении расстояний до недоступной точки
8	Измерение расстояний между недоступными точками	Применение теорем синусов и косинусов при Измерение расстояний между недоступными точками
9	Итоговое занятие	Подведение итогов

Занятие 1. Меры длины, измерения расстояний подручными средствами

Время, отведенное на это занятие, нужно отвести на рассмотрение возможности измерения расстояний подручными средствами. Важно дать понять школьникам, как производилось измерение геометрических величин раньше, когда еще не было таких понятий как сантиметр, метр и др. На уроках геометрии ученики уже знакомились с различными мерами длины: аршин, сажень и др. Учащиеся должны знать, что с древности мерой длины и веса был человек: на сколько он протянет руку, сколько сможет поднять на плечи и т.д. Для того, чтобы измерять маленькие величины использовали пядь. Пядь - это расстояние между концами расставленных большого и указательного пальцев. Еще одной древнерусской мерой была сажень - одна из наиболее распространенных на Руси мер длины, расстояние между концами пальцев широко расставленных рук взрослого мужчины. Также широко использовались такие меры как аршин, локоть, ладонь и др. Учитель рассказывает о происхождении этих мер, после чего учащиеся учатся измерять геометрические величины с помощью частей тела: ладонь, фаланги пальцев и т.п. Школьникам предлагаются задания на нахождение длины или ширины парты, книги и т.п. При этом ученикам нужно рассказать и о мерах длины, используемых в современном мире: сантиметр, метр, фут и др., о их происхождении. А также указать связь между древними и современными мерами длин:

1 аршин = 0,7112 м,

1 сажень = 2,1336 м и др.

Ученики могут произвести некоторые измерения и занести результаты в таблицу:

Таблица 7

Измеряемая длина	Длина, аршин	Длина, ладонь	Длина, сантиметр	Длина, метр
1. длина книги

Таким образом, ребята научатся измерять расстояния без помощи измерительных инструментов, а также вспомнят некоторый материал, изучаемый на уроках геометрии и алгебры.

Ученики в конце занятия уже знают о различных способах измерений и поэтому на следующем занятии можно приступить к измерениям с помощью шагов или на глаз. У школьников появится возможность самим попробовать измерить расстояния на местности, используя при этом «старинные» меры длины.

Литература

1. Перельман Я.И. Живая математика. Математические рассказы и головоломки.- М.: Наука, 1967.- 160 с.: ил. [17]

2. Прочухаев, В.Г. Измерения в курсе математики средней школы.- М.: Просвещение, 1965.- 140 с. [23]

3. Шапиро, И.М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики. Кн. для учителя.- М.: Просвещение, 1990.- 96 с.: ил. [32]

Занятие 2. Измерение расстояний шагами и на глаз

На данном занятии важно показать ученикам возможность измерения расстояния без применения измерительных инструментов, то есть измерение расстояний на глаз или шагами.

Для шагомерного определения расстояний каждый ученик должен знать среднюю длину своего шага. Длина шага находится путем 2-3 кратного измерения шагами одного и того же расстояния, измеренного рулеткой. Делением расстояния, измеренного инструментом, на среднее арифметическое числа шагов находится средняя дина шага. Для удобства ученикам выдаются инструкции, которые они должны выполнить, а также сдать отчет в конце работы.

Итак, первым заданием для учеников будет измерение длины своего шага.