Эмпирические методы обучения математике

Знания и опыт человека откладываются в памяти не изолированно друг от друга, а в виде некоторых комплексов мыслей или представлений. В процессе воспроизведения их в памяти человек обычно вспоминает не только требуемый объект, но и его фон, составляющий с этим объектом определенный комплекс. Процесс отделения фона от объекта весьма сложен и требует высокой культуры мышления. Понятно, что школьники, не обладающие высокой культурой математического мышления, вспоминают обычно вместе с существенными свойствами объекта и многие его несущественные свойства, часто не умея отделить одно от другого. Нередко фон объекта образует мешающие ассоциации, в силу чего некоторые бесполезные в данной ситуации положения, запоминающиеся в комплексе с необходимыми, восстанавливаются в памяти вместе с ними и затушевывают их. Кроме того, знания и опыт весьма часто воспроизводятся сознанием по определенным, привычным для данного индивидуума проторенным путям, выражающимся в следовании определенной системе правил, в применении одного и того же метода решения задачи. Таким образом, нередко проявляется стандартизация мышления. Стандартизация мышления и его нерасчлененность особенно характерны для школьников, поэтому проводить различные эксперименты, опыты будет уместнее в классах постарше, например, на лабораторных и практических занятиях.

Важно также уделять внимание некоторым качествам мышления учащихся, например, целенаправленности мышления.

Целенаправленность мышления характеризуется стремлением осуществлять разумный выбор действий при решении какой-либо проблемы, постоянно ориентируясь на поставленную этой проблемой цель, а также стремлением к поиску наикратчайших путей ее решения, развитие данного качества мышления можно наблюдать уже у учащихся 5-6 классов. Наличие у школьников этого качества мышления особенно важно при поиске плана решения математических задач, при изучении нового материала и т.д. Этому способствуют специально подобранные учителем задачи, посредством которых перед учащимися раскрывается целесообразность изучения новой темы и последовательность рассмотрения относящихся к ней вопросов.

Целенаправленность мышления дает возможность более экономичного решения многих задач, которые обычным способом решаются если не сложно, то слишком долго. Целенаправленность мышления тесно связана с таким нравственным качеством личности, как любознательность, которая может возникнуть у учащихся при наблюдении за каким-либо объектом при решении задач, а значит будет уместен такой эмпирический метод как наблюдение. В основе того и другого качества личности лежит условный рефлекс, названный И.П. Павловым рефлексом «что такое?». Первое из этих качеств (любознательность) обогащает знания и опыт человека именно в силу своей целенаправленности; второе (любопытство), превращаясь в самоцель, гасит стремление человека к познанию, как только оно удовлетворено. Поэтому в обучении математике следует всячески поощрять любознательность учащихся и не поощрять любопытства. Именно поэтому при решении квадратных уравнений в 7 классе учителю не следует говорить о том, что существуют особые, неизвестные сейчас учащимся комплексные числа, которые будут решениями квадратного уравнения с дискриминантом, меньшим нуля. Не имея возможности рассмотреть со школьниками этот вопрос по существу на данном этапе обучения, упоминание о комплексных числах может возбудить у школьников лишь любопытство, а не любознательность.

Активность мышления характеризуется постоянством усилий, направленных на решение некоторой проблемы, желанием обязательно решить эту проблему, изучить различные подходы к ее решению, исследовать различные варианты постановки этой проблемы в зависимости от изменяющихся условий и т.д.

Развитию этого качества мышления у учащихся способствуют рассмотрение различных способов решения одной и той же задачи, различные определения одного и того же математического понятия, обращение к исследованию полученного результата и т.п., это качество мышления проявляется у учащихся 7-9 классов. Исследование результата может происходит, в частности опытным путём.

Критичность мышления характеризуется умением оценить правильность выбранных путей решения проблемы и получаемые при этом результаты с точки зрения их достоверности, значимости и т.п. В процессе обучения математике воспитанию этого качества мышления у учащихся способствует постоянное обращение к различного вида проверкам, грубым прикидкам найденного (искомого) результата, а также к проверке умозаключений, сделанных с помощью индукции, аналогии и интуиции.

Развитие математического мышления предполагает не столько развитие у учащихся способности к овладению фиксированными операциями и приемами, сколько способности к обнаружению новых связей, овладения общими приемами решения новых задач. Проще говоря, у учащихся следует формировать общие приемы мышления, а не приемы мышления в конкретной ситуации.

2. Применение наблюдения, опыта и измерения в обучении математике

2.1 Связь теории с практикой в процессе обучения математике

Раскроем, в чем заключается связь теории с практикой в процессе обучения математике в средней школе.

Выскажем по этому вопросу некоторые общие соображения, которые в дальнейшем изложении получат более конкретное освещение.

1. При обучении математике, прежде всего, необходимо показать опытное происхождение различных математических понятий и существование определяемых объектов. «Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствованы исключительно из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления. Должны были существовать вещи, имеющие определенную форму, и эти формы должны были подвергаться сравнению, прежде чем можно было дойти до понятия фигуры. Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть - весьма реальный материал»… «Как и все другие науки, математика возникла из практических нужд людей: из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и из механики». [13]

2.В процессе формирования математических понятий следует уделить внимание наблюдению, связи с реальными предметами и явлениями. Переход к абстракции, к обобщениям целесообразно совершать постепенно, после накопления достаточных наблюдений, дающих возможность подменить в явлениях то общее, что служит существенным признаком образуемого понятия. Приведем несколько примеров.

Понятие о геометрическом теле формируется на основе рассмотрения разнообразных предметов, при этом обращается внимание на то, что каждый из рассматриваемых предметов обладает различными свойствами, среди которых есть и такие, которые присущи всем предметам, а именно: все они имеют форму и размеры и занимают в пространстве определенное положение. Эти общие свойства и составляют сущность понятия о геометрическом теле.

3. Следует уделить внимание жизненному опыту учащихся на основе практических работ и наблюдению.

Подобно этому в школах проводится работа по вычислению объема куба и прямоугольного параллелепипеда. При этом учащиеся пользуются имеющимися в школах моделями этих тел, изготовленными самими учениками.

Вычисление объема параллелепипеда иллюстрируется наполнением модели его песком или водой. За единицу объема принимается объем кубического дециметра.

В порядке домашнего задания учащимся может быть предложено измерение площади пола своей квартиры, площади крыши сарая или дома, вычисление кубатуры ящиков, комнаты, кладовой, сарая и т.п., подсчет числа столбов, реек и досок, необходимых для устройства сарая или забора.

Аналогично этому в школах проводятся практические работы при вычислении длины окружности и площади круга, поверхности и объема цилиндра.

Дома учащиеся могут вычислить поверхность и объем бидонов для керосина и масла, ведер цилиндрической формы, водосточных труб, баков для воды, консервных банок и т.п. Учащиеся в домашних условиях могут подсчитать необходимое количество листового железа для изготовления предметов цилиндрической формы, требуемое количество материала для их окраски.

После проведения таких практических работ ученики сознательнее будут решать задачи на вычисление периметров и площадей прямоугольника и квадрата, треугольника и четырехугольника произвольной формы, на вычисление длины окружности и площади круга, поверхности и объема куба, прямоугольного параллелепипеда и цилиндра по готовым данным.

При изучении арифметики учащиеся средней школы могут быть ознакомлены с некоторыми деловыми бумагами и их составлением. При этом, конечно, имеются в виду такие деловые бумаги, которые требуют различных денежных и материальных расчетов. Формы деловых бумаг не должны быть надуманными, они должны соответствовать во всем тем деловым бумагам, которые составляются и применяются в различных учреждениях, на производстве и т.д. Формы деловых бумаг расчетного характера могут быть получены в сберегательной кассе, банке, в бухгалтерии, на предприятиях, домоуправлении, в плановых комиссиях и статистических бюро, в торговых учреждениях и т.д.

Приведем некоторые примеры.

В приходной кассе дневные операции записываются в особую ведомость платежей. Итог по такой ведомости за день учащиеся могут подсчитать на калькуляторах, ЭВМ. Такие упражнения приобретают осмысленный, деловой характер, они, как правило, выполняются учащимися с повышенным интересом.

Упражнения с калькулятором с использованием отвлеченного материала такого интереса у учащихся не вызывают. В качестве практической работы учащимся может быть предложено подведение итога дневных поступлений приходной кассы банка по квартирной плате домоуправлению, по платежам за коммунальные услуги разных видов.

При изучении процентов учащимся можно предложить самостоятельно заполнить приходную ведомость и подсчитать пени за просрочку платежа.

Так выполняются упражнения и по некоторым другим денежным и материальным расчетам сберегательной кассы или банка, домоуправления, школы и т.д.

В сельской местности подобные расчеты можно проводить по формам, применяемым в местных учреждениях и предприятиях.

В качестве практических работ в 5 и 6 классе при изучении арифметики могут быть составлены расчеты дневных, недельных и месячных расходов семьи, сметы на закупку учебников и учебных принадлежностей к началу учебного года, на оборудование инвентарем школьной спортивной площадки, на проведение туристского похода, на побелку и ремонт квартиры, на окраску полов и крыши, на устройство изгороди, сарая и т.п.

2.2 Методические приемы использования эмпирических методов в обучении математике и основные виды работ учащихся

О важности методов наблюдения и опыта нами говорилось в первой части. Раскроем основные приёмы применения этих методов.

Основные методические приёмы:

1. Как можно более полное использование окружающей действительности, находящейся перед глазами (на полу, потолке, стенах класса и т.п.), а так же вещей и явлений, представлений о них, известных учащимся из их жизненного опыта, т.е. использование натуральной наглядности.

2. Применение специальных математических наглядных пособий, в том числе, самодельных, стационарных и подвижных (например, тригонометр), т.е. использование изобразительной наглядности и ТСО.

3. Использование простейших математических инструментов для измерений, вычислений и обработки результатов наблюдения и опыта, а также простейших математических методов обработки и оценки этих результатов. Письменные отчеты о таких работах составляются учащимися по заданной форме, проверяются и оцениваются учителем.

Использование эмпирических методов в обучении математике

традиционно происходит в форме практических и лабораторных работ.

В деле выработки у учащихся умений и навыков применения полученных математических знаний на практике большое значение имеют практические работы (измерения на местности и т.д.), проводимые в процессе изучения математики.

Однако систематическое проведение непосредственно практических работ в процессе изучения математики часто бывает затруднительно ввиду отсутствия поблизости подходящих объектов для измерений. Кроме того, при выполнении практических работ, например, по измерению объектов хозяйственных сооружений, трудно предоставить возможность полной самостоятельности каждому учащемуся в решении поставленной задачи. В результате часто получается, что при выполнении практической работы одни учащиеся действительно проявляют инициативу в поисках наилучшего пути решения поставленной задачи и с увлечением производят непосредственные измерения величин, необходимые для её решения, другие же только наблюдают за работой первых и производят необходимые вычисления по готовым данным и указанным формулам.

Под лабораторными занятиями в школе обычно понимают самостоятельные работы учащихся, проводимые под руководством учителя в специально оборудованных учебных кабинетах физики, химии, биологии или в классах, способствующих «наиболее полному и глубокому усвоению учебного предмета и образованию у учащихся конкретных представлений об изучаемых объектах и явлениях» [21]

В математике лабораторными работами называют самостоятельное решение учащимися задач, условия которых задаются конкретными техническими деталями, различными предметами или специально для этого изготовленными моделями, чертежами и т.п., для достижения определённых учебных целей, в частности для выработки у учащихся умений и навыков применения на практике полученных математических знаний.

Практические работы могут сопровождаться выходом на реальные объекты с целью получения данных для составления и решения конкретных задач производственного или жизненно-практического содержания. Это, главным образом, экскурсии и измерительные работы на местности. Во всех случаях учащихся необходимо учить приемам выполнения всех видов практических и лабораторных работ, содержащих наблюдения, опыт, измерения, а также вычисления на основе полученных результатов.

Приведем в качестве примера выполнения лабораторной работы частный прием изготовления модели многогранника из картона:

1. Вычертить на листе картона наиболее рациональную развертку

2. многогранника в натуральную величину вместе с соединительными клапанами для склеивания многогранника из этой развертки;

3. Вырезать из картона развертку вместе с клапанами;

4. Согнуть развертку по линиям, отделяющим грани друг от друга и клапаны от граней; чтобы линия сгиба была ровной, предварительно сделать по этой линии надрез;

5. Склеить многогранник из полученной развертки;

6. Грани оклеить, а ребра окантовать полосками цветной бумаги.

Охарактеризуем общие приёмы наблюдения, измерения и опыта.

Общий прием наблюдения.

· определить (или принять данную учителем) цель наблюдения;

· выделить объект наблюдения и организовать удобные условия наблюдения (расположение, освещение и т.п.);

· определить наиболее целесообразные для данного случая способы фиксирования (кодирования) получаемой в процессе наблюдения информации (описание, зарисовка, запись данных в таблицу, фотографирование, видеозапись и т.п.);

· выполнить на, сопровождая его избранным способом фиксирования результатов.

Общий приём проведения опыта:

· определить цель опыта;

· выделить объект данного эксперимента;

· выбрать подходящие условия и инструменты, требуемые для проведения опыта;

· выполнить эксперимент (опыт) и зафиксировать результат.

Общий приём измерения:

· определить (или принять данную учителем) цель измерения;

· выделить объект измерения;

· определить наиболее приемлемые для данного измерения инструменты;

· выполнить измерение объекта, сопровождая его избранным способом фиксирования результатов.

Учащихся необходимо обучать приемам свободного владения инструментами и методами эмпирического исследования, применяемыми в школьном курсе математики, на основе которых вырабатываются соответствующие умения, позволяющие самостоятельно сделать определенные выводы. Всего этого можно достичь при выполнении практических и лабораторных работ.

Это - упражнения с графиками, измерительные работы на местности, моделирование, работа с вычислительной техникой и т.д. В соответствии со сказанным выше, в зависимости от цели обучения такие работы делятся на два вида: познавательные (исследовательские), используемые на этапе изучения нового, и прикладные, используемые на этапе применения знаний. Первые ставят целью познакомить учащихся с новым для них математическим фактом, вторые - научить применять математические знания к конкретным задачам, например, с измерениями на моделях геометрических тел и вычислениями площадей их поверхностей, объемов или с измерениями на карте и вычислениями реальных расстояний.

Использование символической наглядности рисунков, чертежей, диаграмм, графиков, символов и т.п., обучение школьников приемам построений, чтения графической наглядности, записи математических предложений помогает учащимся лучше усвоить новый материал.

Для того чтобы учитель мог эффективно использовать эти методические приемы, у него должен быть оборудован кабинет математики. В соответствии с «Типовыми перечнями учебного оборудования для общеобразовательных школ» 1999 г., в состав учебного оборудования по математике для средней школы входят: а) приборы, наборы моделей, приборы с магнитным креплением, резиновые штемпели, набор геометрических тел, набор инструментов для измерений на местности, набор чертежных инструментов, набор моделей для проведения лабораторных работ; б) печатные средства обучения (рабочие и справочные) таблицы, карточки с заданиями, тетради с печатной основой; в) экранные средства обучения (диапозитивы, кодопозитивы, диафильмы, кинофильмы для использования ТСО, и т.д.).

2.3 Применение наблюдения, опыта и измерения на уроках математики. Значение эмпирических методов в эвристической деятельности учащихся

Для того чтобы ознакомить учащихся восьмилетней школы с понятиями площади, периметра и равновеликости многоугольников, можно предложить им следующую серию упражнений:

а) сравните площади и периметры данных фигур (рис. 2, а, б);

б) сравните площади и периметры данных фигур (рис. 2, в, г)

в) сколько квадратных единиц понадобится для того, чтобы

сложить из них фигуры, изображенные на рисунке 3, а, б. Сравним

площади и периметры этих фигур;

г) используя цветные резинки, постройте на генплане модели

треугольников так, как это показано на рисунке 6. Сравните площади и периметры этих фигур.

Учащиеся легко выполняют первые три задания опытным путем, подсчитав число одинаковых квадратиков (клеток), из которых состоит каждая фигура и число линейных единиц по контуру каждой фигуры.

При выполнении четвертого задания рассчитать значения площади треугольников легко, а периметров - затруднительно. Тем не менее, наблюдая, учащиеся усматривают, что периметры каждого из этих треугольников различны, тогда как площади треугольников одинаковы.

Опыт и наблюдение говорят учащимся о том, что существуют многоугольники, имеющие равные площади, но различные периметры, а также - многоугольники, имеющие равные периметры и различные площади. Учителю остается лишь добавить, что фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими.

Наблюдая за характером разложения натуральных чисел на простые множители и выполняя эти разложения для различных натуральных чисел (проводя опыт), учащиеся вникают в смысл понятий простого и составного числа.

1 = 1; 2 = 2•1; 3 = 3•1; 4 = 2• 2•1=4•1; 5=5•1;

6 = 3 • 2 • 1 = 6 • 1;….

Кстати говоря, в данном случае именно наблюдение и опыт дают возможность учащимся сознательно усвоить определение понятия простого и составного числа (простое натуральное число - это такое число, которое имеет два и только два различных делители) и не допускать ошибки соотнесения единицы к множеству простых чисел.

Итак, хотя наблюдение и опыт не являются центральными методами математического исследования, в обучении математике эти методы играют важную роль. Вместе с тем учителю и учащемуся следует помнить о том, что результаты наблюдения и опыта не могут приниматься за строгое обоснование того или иного математического факта, хотя часто помогают обнаружить его.

Наблюдение, опыт и измерения должны быть направлены на создание в процессе обучения специальных ситуаций и предоставление учащимся возможности извлечь из них очевидные закономерности, геометрические факты, идеи доказательства и т.д. Чаще всего результаты наблюдения, опыта и измерений служат посылками индуктивных выводов, с помощью которых осуществляются открытия новых истин. Поэтому наблюдение, опыт и измерения относят и к эвристическим методам обучения, т.е. к методам, способствующим открытиям.

Если показать учащимся 5-6 классов различные фигуры, в том числе окружающие нас предметы, среди которых одни обладают, а другие не обладают осевой симметрией, то наблюдение этих фигур позволяет заметить, что каждая из «симметричных» фигур делится некоторой прямой на две части так, что, если согнуть фигуру по этой прямой, одна ее часть полностью наложится на другую. Для каждой же из «несимметричных» фигур такой прямой нельзя найти.

После такого наблюдения «симметричных» фигур вокруг нас (архитектурных украшений, строительных и других деталей, некоторых листьев на деревьях и т.д.) можно перейти к дальнейшему изучению осевой симметрии с помощью специального опыта (эксперимента).

Каждому ученику предлагается согнуть лист бумаги так, чтобы одна часть листа упала на другую и образовалась линия сгиба. Затем предлагается выпрямить снова лист и отметить на нем произвольную точку А, не лежащую на линии сгиба, затем снова согнуть лист по той же линии сгиба и определить, глядя на свет через согнутый лист, с какой точкой совпала при этом точка А. Пусть это точка А₁ Учащимся сообщают, что точки А и А₁ называются симметричными относительно прямой l (линии сгиба), называемой осью симметрии этих точек. Для другой точки В, лежащей по другую сторону от линии сгиба, чем точка А, предлагается определить (опытным путем, с помощью сгибания листа) симметричную ей точку относительно той же оси l. Замечаем, что, если взять точку С на линии сгиба, она остается неподвижной при сгибании листа, т.е. не совпадает с какой-либо другой точкой листа. Мы говорим, что любая точка оси симметрии (линии сгиба) симметрична самой себе.

Естественно возникает вопрос: чем же характеризуется расположение относительно оси пары симметричных точек (А, А₁, В, В₁), как это можно описать с помощью уже известных геометрических терминов? Учащиеся замечают (возможно, с помощью учителя), что симметричные точки (если они различны) всегда лежат по разные стороны от оси симметрии. Предлагается соединить симметричные точки отрезком прямой. Учащиеся высказывают гипотезу, что симметричные точки отстоят на равных расстояниях от оси симметрии, т.е. что отрезки АА₁ и ВВ₁ делятся осью симметрии пополам. Это предположение подкрепляется с помощью измерения соответствующих отрезков.

Если учащиеся не замечают перпендикулярности отрезка АА₁ и ВВ₁ к оси симметрии (обычно равенство углов не так быстро обнаруживается, как равенство отрезков), то берут две точки, равностоящие от оси по разные стороны от нее, но не на одном перпендикуляре к ней, и задают вопрос: будут ли эти точки симметричны относительно той же оси?

Сопоставляя расположение этих точек с расположением симметричных точек, учащиеся обнаруживают, что последние лежат на одном перпендикуляре к оси симметрии. Это пока предположение, которое также подкрепляется измерением соответствующих углов.

Если соединить отрезками точки А и В и симметричные им точки А₁ и В₁, то при сгибании листа бумаги по линии l отрезок АВ наложится на отрезок А₁В₁ т.е. обнаруживается, что расстояние между двумя точками А и В равно расстоянию между симметричными им точками А₁ и В₁.

Опытным же путем обнаруживается также, что каждая из полуплоскостей с границей l «накладывается» (преобразуется, отображается) на другую.

Таким образом, с помощью наблюдения, опыта и измерений формируется представление об осевой симметрии как о преобразовании плоскости, при котором каждой точке сопоставляется симметричная ей относительно оси l точка и мы получаем возможность описать осевую симметрию на уже известном учащимся геометрическом языке с помощью следующей совокупности предложений.

(П1) Каждая точка оси симметрии симметрична сама себе. Любые две различные симметричные точки лежат:

(П2) по разные стороны от оси симметрии,

(П3) на одном перпендикуляре к оси и

(П4) на одинаковом расстоянии от оси.

(П5) Расстояние между любыми двумя точками равно расстоянию между симметричными им точками.

(П6) Каждая из полуплоскостей с границей преобразуется в другую.

Полученное описание опыта не является, однако, совершенным. Во-первых, все предложения П1 - П6 «обоснованы» лишь опытным путем. Во-вторых, еще не раскрыты логические связи между ними, не выяснено, какие из этих предложений могут служить посылками для вывода из них остальных предложений этой совокупности (с помощью, возможно, и некоторых других, уже известных геометрических истин).

Приведем пример, когда опыт способствует открытию геометрического свойства и подсказывает путь его доказательства.

Экспериментально обнаружить, что сумма углов данного треугольника равна 180°, можно сразу же, как только учащиеся научатся измерять углы с помощью транспортира.

Учащимся предлагается измерить транспортиром углы начерченного в тетради треугольника и сложить результаты измерения. У некоторых сумма углов треугольника получается меньше 180°, у других - больше, но у всех результаты близки к 180°, а у некоторых даже «точно» 180°. Ученики догадываются, что должно получиться 180°, а другие результаты объясняются погрешностями измерения. Они «совершают открытие»: «Во всяком треугольнике сумма внутренних углов равна 180°».

Это предположение подкрепляется вторым опытом, подсказывающим идею доказательства (одного из возможных доказательств). У каждого школьника заготовлен вырезанный из бумаги треугольник.

Учитель предлагает «оторвать» два угла и приложить их к третьему так, как он это делает сам на большом треугольнике. Учащиеся замечают, что получены три угла с общей вершиной А, расположенные по одну сторону от прямой. Следовательно, сумма этих углов равна 180°. С помощью этого опыта (уже без измерений) мы пришли к той же гипотезе, и всем кажется, что обнаруженное свойство достоверно. Но можно ли быть уверенным в том, что два луча, сходящиеся в точке А, образуют прямую линию? Ведь они могут образовать ломаную, так мало отличающуюся от прямой, что мы этого не заметим. Но в этом случае сумма углов уже не будет равна 180°.

Таким образом, проведенный опыт не заменяет доказательство. Он лишь подсказывает один из возможных путей доказательства открытого опытным путем свойства.

С помощью простого опыта формируется и наглядное представление о перемещении как об отображении плоскости на себя, сохраняющем расстояние между точками. На лист бумаги кладут тонкую прозрачную пластинку со многими отверстиями. С помощью карандаша отмечается на листе положение одного отверстия (одной точки). Пусть это точка А плоскости. Затем перемещают произвольно пластинку на листе и через это же отверстие отмечается новая точка А. При этом отмечается, что так можно поступить с любой точкой плоскости.

Затем отмечают острием карандаша через два отверстия пластинки точки В и С плоскости и после некоторого перемещения пластинки через те же отверстия отмечают новые точки В₁ и С₁ соответственно. Так как при перемещении пластинка не растягивается и не сжимается, то расстояния между точками сохраняются, т.е.

| ВС | == | В₁ С₁ |

Таким образом, всякая точка Х неподвижного листа отображается точно в одну точку Х₁ этого же листа. Так получается отображение плоскости на себя, при котором расстояние между любыми двумя точками равно расстоянию между их образами.

С помощью описанного опыта обнаруживаются и важнейшие свойства движения:

а) если три точки А, М, В лежат на одной прямой, то и их образы А₁, М₁, В₁ тоже лежат на одной прямой;

б) если точка М лежит между точками А и В, то и М лежит между А₁ и В₁.

Открытые опытным путем, эти свойства, разумеется, подлежат доказательству. Здесь опять опыт проявляется как эвристический метод.

Рассмотрим пример применения опыта для открытия алгебраической закономерности.

Допустим, что в одном, синем, мешочке имеется t синих палочек, а в другом, красном, мешочке - n красных палочек. Нужно освободить один мешочек. Мы можем это сделать двумя способами. Можно пересыпать все красные палочки из красного мешочка в синий, и тогда в нем окажется t + n палочек. Но можно пересыпать все синие палочки в красный мешочек, и тогда в нем окажется n + t палочек. Но и в одном, и в другом случае мы имеем в мешочке одно и то же множество палочек. Следовательно,

t + n = n + t.

Разумеется, в конкретном опыте t и n обозначают определенные числа. Поэтому полученное равенство является лишь одной из посылок, с помощью которых уже другим методом (индукцией) получают общий закон коммутативности сложения натуральных чисел: «t+n = n+t; для любых натуральных чисел t и n».

Подсчет двумя способами (по рядам и по столбцам) единичных квадратиков, заполняющих прямоугольник, измерения которого выражаются натуральными числами, является опытом, с помощью которого обнаруживается коммутативность умножения натуральных чисел.

Важно отметить, что с помощью эмпирических методов (наблюдения, опыта, измерений) выполняется лишь начальный этап работы по математическому описанию реальных ситуаций. Получаемый математический материал (интуитивные понятия, гипотезы, совокупности математических предложений) подлежит дальнейшей обработке уже другими методами.

2.4 Анализ педагогического опыта применения эмпирических методов в обучении математике

В пункте 1.4. было уже сказано, что наиболее часто эмпирические методы применяются в естественнонаучных дисциплинах (химии, биологии, астрономии, физике, географии и т.д.).

Для математики эти методы не являются характерными, поскольку математика не является экспериментальной наукой, и, следовательно, опытное подтверждение не может служить достаточным основанием истинности ее предложений. Но, именно, использование эмпирических методов обучения в математике позволяет показать связь данной дисциплины с другими науками.

Интеграция уроков математики с историей, астрономией, географией, экономикой, музыкой, биологией, физикой и другими учебными предметами позволяют многогранно рассмотреть многие важные явления, связать уроки математики с жизнью, показать богатство и сложность окружающего мира, дать детям заряд любознательности, творческой энергии. У ребят появляется возможность создать не только собственную модель мира, но и выработать свой способ взаимодействия с ним. Учителю же интеграция предметов позволяет воспитывать у ребят стремление к целенаправленному преодолению трудностей на пути познания. Новые функции педагога главным образом определяются необходимостью чётко представлять структуру учебной деятельности и свои действия на каждом этапе от возникновения замысла до полного его осуществления. В связи с этим выделяют три основные задачи педагога:

1) включение учащихся в самостоятельную познавательную деятельность (организация учебной деятельности школьников);

2) обеспечение эмоциональной поддержки, создание каждому ученику ситуации успеха на основе применения индивидуальных эталонов оценивания;

3) проведение экспертизы полученного результата как педагогом, так и учеником.

Например, хотелось бы показать связь математики с географией, а именно охарактеризовать интегрированный урок, предложенный учителями Е.С. Кононовой, (учитель математики), и Т.Е. Новокрещеновой, (учитель географии). [25]

Работая в 7-9-х классах, учителя пришли к выводу, что в силу психолого-возрастных и ряда других причин (например, увеличение числа предметов с переходом из класса в класс, а следовательно, повышение нагрузки) у детей пропадает желание учиться, активно заниматься на уроках. Как следствие - снижение уровня знаний учащихся, отдаление от школы и т.д. Поэтому повышение интереса учащихся к предмету, мотивация учения - это немаловажная задача учителя.

Данный интегрированный урок позволяет показать ученикам 5-го класса взаимосвязь математики и географии. Ребята привыкли видеть эти науки в качестве отдельных учебных дисциплин. Очень часто на уроке математики приходится отвечать на вопросы, зачем нужно изучать ту или иную тему и для чего вообще нужно учиться решать задачи? Несомненно, уже в 5-м классе ученикам необходимо показывать взаимосвязь изучаемых ими дисциплин, учить применять полученные знания не только на конкретном уроке, но и в нестандартной ситуации. Например, показать, что география, изучая законы природы, использует несколько методов изучения. Математика, в свою очередь, позволяет производить точные измерения, делать расчеты и подтверждать наблюдения.

Предлагаемый интегрированный урок - урок обобщения знаний по математике и географии, позволяющий определить уровень знаний учащихся. Он подробнее представлен в приложении 1.

Покажем некоторые примеры интегрированных уроков.

Например, учитель Селезнёва Т.М. (г. Москва) [25] предлагает рассмотреть на уроке связь математики с астрономией, используя при этом эмпирические методы познания. Ребята, повторяя тему «Координатная плоскость», с интересом будут выполнять задания на карточках, отыскивая изображение созвездий, с помощью заданных координат.

Созвездие «Большая Медведица» (-15; - 7), (-10; - 5), (-3; - 6), (6; - 6) (-3; - 6), (-1; - 10), (5; - 10), (6; - 6)	Созвездие «Цефея» (0; 5), (-1; 4), (-2; 1), (1; - 1), (6; - 1) (1; 4), (3; 2), (6; - 1) (1; - 1), (3; 2).
Созвездие «Андромеды» (-2; 9), (0; 7), (1; 4), (2; - 2) (2; - 2), (-2; - 1) (-4; 4), (-2; 5), (1; 4)	Созвездие «Кассиопеи» (-5; 0), (-3; 2), (-1; 0), (1; 0), (3; - 2)
Созвездие «Весы» (1; 5), (-2; 4), (-5; 5) (1; 5), (-5; - 1) (1; 5), (-1; - 2) (1; 5), (3; 1).	Созвездие «Льва» (2; 5), (1; 4), (0; 4), (-1; 3), (-1; 2), (-5; 1) (-5; 1), (-7; - 2), (-5; - 1), (0; 0), (-1; 2).
Созвездие «Лебедь» (-3; 4), (-2; 2), (0; 0), (2; - 2), (5; - 3) (3; 1), (0; 0), (-3; - 1), (-7; - 2)	Созвездие «Персея» (-5; - 3), (-2; - 2), (0; - 1), (1; 1), (1; 3) (0; - 1), (2; - 2), (4; - 1), (5; 0), (6; 2)

Применяя на практике один из методов изучения природы - наблюдение, ребята используя карту звёздного неба видят, что каждое созвездие имеет определённую форму, размер. Метод наблюдения позволяет сделать вывод, что каждое созвездие отличается друг от друга по форме и размерам. Это можно подтвердить математическими расчётами, созвездия строятся с помощью заданных координат.

Другие учителя показывают связь математики и музыки. Например учитель Белошова И.В (г. Москва) [25] предлагает интегрированный урок музыки и математики в 5 классе по теме «Какое значение имеют дроби в музыке?».

Этот урок является обобщением изученных тем прошлых уроков по музыке («Музыкальный ритм и размер») и математике («Обыкновенные дроби»). Поэтому основная работа ведется на повторение и закрепление пройденного материала. Нетрадиционное построение урока имеет несколько целей: во-первых, заинтересовать необычностью проведения этапов урока, во-вторых, снять напряжение через чередование различных видов деятельности, в-третьих, охватить большее количество учащихся, а также расширить образовательный потенциал урока. Отбор материала и методов обучения осуществлялся с учетом особенностей учащихся данного класса и, в основном, ориентированы на среднего ученика. Главный акцент направлен на проверку знаний учащихся на данном этапе.

Учитель - Тема нашего урока: «Какое значение имеют дроби в музыке?». Сегодня мы попробуем ответить на этот вопрос. Вспомним, что мы уже знаем о дробях.

Опрос

Записи какого вида называют обыкновенными дробями?

Что показывает знаменатель дроби?

Что показывает числитель дроби?

Какая из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше, а какая больше?

Как изображаются равные дроби на координатном луче?

Приведите пример двух равных дробей с различными числителями.

Учитель - Дроби широко используются в музыке для обозначения длительностей нот.

Давайте вспомним длительности, которые мы знаем.

Дети - Целая

Учитель - А если перевести на язык математики, что это будет?

Дети - 1

Учитель - Какие еще длительности знаем?

Дети - Половинная.

Учитель - Почему она так называется, и как она будет выглядеть, если перевести ее на язык математики?

Дети - По длительности она ровно на половину короче целой. На языке математики это будет 1/2. Еще существует четвертная, на языке математики это будет 1/4. Восьмая, на языке математики - 1/8.

На данном уроке ребята также сравнивают длительности нот, используя при этом математические методы.

Учитель Вагина Н.А. (г. Сызрань) [25] предлагает интегрированный урок математики и окружающего мира для учащихся 5 класса «Обобщение знаний учащихся по теме «Величины» на основе краеведческого материала».

Учитель вместе с учащимися повторяет историю родного края, наблюдая по атласу местоположение различных географических объектов, но без математики нельзя сделать точные вычисления, такие как площадь, длина и т.д., поэтому в начале урока учащимся задаются вопросы такие как:

· Что вы можете сказать о понятии «величина»? (ответы учащихся)

· Что можно измерить у предметов? (На доске по мере ответов учащихся появляются карточки: длина, масса, площадь, объём, стоимость).

· Что можно измерить у явлений? (На доске появляется карточка: время).

· Какие действия можно производить с величинами?

Далее ребятам даются задания по теме.

· На сколько квадратных километров площадь Самарской области больше площади Дании? (на 10910 квадратных километров)

· Ребята, назовите реки, протекающие по территории нашей области? (Индивидуальная работа учащихся с «Атласом Самарской области» страница 4, «Физическая карта»).

· Назовите самую крупную реку области? (Волга).

· Общая длина Волги 3690 километров, из них 3350 километров река протекает по территории других областей. Сколько километров приходится на Самарскую область? (340 километров).

Чтобы собрать точные сведения о площади области, длин рек и других объектов, учащиеся проводят измерения по карте атласа.

2.5 Анализ учебно-методических пособий по математике основной школы с целью выявления возможности применения эмпирических методов в обучении

Рассмотрим некоторые учебники школьного курса математики, в которых наиболее ярко прослеживается акцент на применение эмпирических методов в обучении. Ранее в пункте 1.7. нами были рассмотрены возрастные особенности математического мышления учащихся. Проанализируем как эти особенности учитываются авторами при подборе теоретического содержания, задачного материала.

Отличительной особенностью содержания курса математики для V-VI классов, представленного в учебных комплектах под редакцией Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина, является наличие геометрической составляющей, значительно отличающейся от геометрического материала пропедевтической направленности, традиционного для действующих в V-VI классах учебников. Речь идет о наглядной геометрии. Включением наглядной геометрии авторы решают ведущую целевую установку курса - развитие школьника.

Изучение геометрии начинается с того, что учащиеся учатся различать элементы геометрических фигур, устанавливать отношения между этими элементами и отношения между отдельными фигурами. Анализ геометрических объектов осуществляется ими в процессе и с помощью наблюдения, измерения, вычерчивания, моделирования.

Сначала фигуры выступают носителями свойств, найденных экспериментально, а установленные свойства используются учащимися для распознавания, описания, построения фигур. Так, например, учащиеся знают, что диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам, поэтому, построив два взаимно перпендикулярных диаметра окружности и соединив последовательно их концы, они легко узнают в получившемся четырехугольнике квадрат [16].

Основная цель темы «Площади и объемы» - расширить представления учащихся об измерении геометрических величин на примере вычисления площадей и объемов и систематизировать известные им сведения о единицах измерения. При изучении темы учащиеся встречаются с формулами. Навыки вычисления по формулам отрабатываются при решении геометрических задач.

В теме «Инструменты для вычислений и измерений» учащиеся изучают понятие «угол», «треугольник», величину угла, единицы измерения углов, осваивают процесс измерения углов, построение угла заданной величины. Здесь продолжается работа по распознаванию и изображению геометрических фигур.

В 6 классе курс продолжается изучением таких тем как «Прямые и окружности». В данной теме даются представления о длине окружности и площади круга. Соответствующие формулы к обязательному материалу не относятся. Рассмотрение геометрических фигур завершается знакомством с шаром.

В курсе алгебры 7-9 кл. рассмотрим два комплекта: Алгебра 7-9, Мордкович А.Г., Алгебра 7-9, Макарычев Ю.Н. В учебнике Мордковича А.Г. в 7 классе изучаются рациональные уравнения и показывается, то, что рациональные уравнения могут служить моделями реальных ситуаций. А вот уже в 8 классе в учебнике этого же автора об этом говорится более подробно при решении различных математических задач, где сначала рассматривается математическая модель. На этом этапе осуществляется перевод условия задачи с обыденного языка на математических язык, т.е. выполняется серьёзная творческая работа, где и применяются основные эмпирические методы. В учебнике для 9 класса автор выходит за пределы минимума содержания курса алгебры основной школы, об этом свидетельствует глава 5, где раскрываются элементы теории тригонометрических функций и здесь учащиеся могут наблюдать как изменяются графики данных функций в зависимости от аналитического задания функции.

В комплекте по алгебре для 7-9 кл. Макарычева Ю.Н. в ходе изучения темы «Действительные числа» вводятся понятия рационального и иррационального числа. Изучая тему, учащиеся убеждаютcя в том, что рациональные числа обладают свойством плотности, благодаря чему всякий отрезок можно с любой степенью точности измерить отрезком, принятым за единицу, и выразить результат измерения рациональным числом. В результате учащиеся приходят к выводу: рациональные числа долгое время вполне обеспечивали (и обеспечивают до сих пор) практические потребности людей. Задача измерения величин привела к появлению новых, иррациональных чисел.

Изучение геометрии по учебнику для 7-9 класса Л.С. Атанасяна начинается с начальных геометрических сведений, где ребята изучают такие темы как «Измерение отрезков», «Измерение углов», знакомясь с методом измерения, изучая возможности инструментов. При изучении темы «Теорема Пифагора» учащиеся могут установить опытным путём соотношение между гипотенузой и катетами на основе измерений, ещё не зная самого доказательства теоремы.

Также, ребята знакомятся с новыми фигурами и со многими важными и интересными свойствами уже известных фигур, узнают о том, как используются свойства геометрических фигур в практической деятельности.

В курсе геометрии 7-9 Погорелова А.В. очень интересно представлены темы такие как: «Преобразование симметрии в пространстве», «Симметрия в природе и на практике», где с помощью рисунков учащиеся наблюдают симметрию в природе в форме листьев и цветов растений, в расположении различных органов животных, в форме кристаллических тел, а опытным путём могут в этом убедиться.

В результате можно сказать, что метод наблюдений используется на всех ступенях обучения, в средней школе широко используется метод измерений, так как математика является точной наукой, и опыт, так как многие важные открытия и факты устанавливаются опытным путём.

Заключение

Покажем, как решены в выпускной квалификационной работе задачи, сформулированные во введении. Первая задача - изучить теорию данного вопроса в психолого-педагогической и методической литературе - решается в введении и частично в первом разделе. Анализ педагогической и методической литературы включает в себя рассмотрение следующей последовательности вопросов: 1) актуальность темы исследования; 2) различные подходы к понятию метода обучения; 3) классификация методов обучения; 4) выбор оптимального метода обучения.

Вторая задача выпускной квалификационной работы - охарактеризовать основные группы методов обучения математике, уделив специальное внимание эмпирическим методам - решается в первом её разделе. При характеристике основных групп методов обучения математике рассмотрена и историческая сторона вопроса - от возникновения необходимости упорядочения сложившейся системы методов (60-е годы XX в., Е.Я. Голант) и до обстоятельного анализа классификации методов, предложенного Ю.К. Бабанским.

Третья задача - раскрыть особенности методики применения эмпирических методов. Данная задача решена во втором разделе выпускной квалификационной работы. В нём рассмотрены методические приёмы использования эмпирических методов, этапы использования метода наблюдения, измерения и опыта. Во втором разделе так же решена и четвёртая задача - изучить педагогический опыт применения эмпирических методов в обучении математике учащихся основной школы. Здесь представлены примеры использования этих методов на уроках математики, а так же представлены примеры интегрированных уроков.

Таким образом, все задачи, сформулированные во введении, решены, цель выпускной квалификационной работы достигнута.

Список используемой литературы

1. Бабанский Ю.К. Методы и средства обучения. Применение ЭВМ в учебном процессе // Педагогика / Под ред. Ю.К. Бабанского. - М.: Просвещение, 1988.

2. Бабанский Ю.К. Методы обучения в современной общеобразовательной школе. - М.: Просвещение, 1985.

3. Голант Е.Я. Методы обучения в советской школе. - М.: Просвещение, 1957.

4. Данилов М.А. Процесс обучения в советской школе. - М.: Просвещение, 1960.

5. Дорофеев Г.В., Бунимович Е.А., Краснянская К.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Рослова Л.О., Суворова С.Б., Шарыгин И.Ф. Математика 5 класс. Учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2010.

6. Епишева О.Б. Общая методика преподавания математике в средней школе. - Тобольск.: ТГПИ им. Д.И. Менделева, 1997.

7. Лемберг Р.Г. Дидактические очерки. - Алма-Ата.: Просвещение, 1960.

8. Лернер И.Я. Дидактические основы методов обучения. - М.: Просвещение, 1981.

9. Методика преподавания математики в средней школе. Оганесян В.А., Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Саннин В.Я. - М.: Просвещение, 1980.

10. Основы дидактики / Под.ред. Б.П. Есипова. - М.: Просвещение, 1967.

11. Орехов Ф.А. Графические лабораторные работы по геометрии. - М.: Просвещение, 1967.

12. Проблемы методов обучения в современной общеобразовательной школе /Под.ред. Ю.К. Бабанского, И.Д. Зверева. - М.:Просвещение, 1980.

13. Прочухаев В.Г. Связь теории с практикой в преподавании математики. - М.: учпедгиз, 1958.

14. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. - М.: Просвещение, 1995.

15. Сластенин В.А., Исаев И.Ф., Шиянов Е.Н. Общая педагогика / Под.ред. В.А. Сластёнина: В 2 ч. - М:.Просвещение, 2002. Ч. 1. С. 274-275

16. Рослова Л.О. Геометрическая линия нового учебника для 5-6 классов. // Математика в школе. - 1999. - №5, С. 15 - 22.

17. Геометрия 7-9 класс. Учебник дя общеобразовательных учреждений. Атанасян В.Г., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. - М.: Просвещение, 2001.

18. Алгебра 8 класс. Учебник дя общеобразовательных учреждений. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. - М.: Просвещение, 2001

19. Данилюк А.Я. Теория интеграции образования.-Ростов-на-Дону.: РГПУ, 2000

20. Кононова Е.С., Новокрещенова Т.Е., Интегрированный урок математики и географии в 5 классе. школа №897, г. Москва

21. Чуканцов С.М. Лабораторные работы по математике. - М.: Просвещение, 1961.

22. Волошинов А.В. Союз математики и эстетики // Математика в школе. -2006. - №7. С. 62.

24. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. - М.: Просвещение 1997.

25. http://pedagogika.by.ru/

26. Леонардо да Винчи. Микеланджело. Рафаэль. Рембрандт. - СПб.: Лио Редактор, 1995. (Жизнь замечательных людей). - С. 86-87.).

Размещено на Allbest.ru