при соблюдении ограничений на все п характеристик

Если выходная характеристика y_i, является случайной величиной с некоторой плотностью распределения f(y_i), целесообразно ввести в задачу оптимизации стохастические ограничения следующего вида:

где -- минимально допустимая вероятность того, что конкретные значения у, не выйдут за ограничивающие пределы.

Для нестационарных систем выходная характеристика у_i зачастую является случайной функцией с плотностью распределения, изменяющейся во времени f(y_i,t). В этом случае можно задать ограничения следующим образом:

где Т -- длительность анализируемого периода функционирования системы.

Приведенная постановка задачи оптимизации стохастических систем допускает выход за установленные границы не только отдельных значений характеристики y_i, но и ее математического ожидания M[y_i,t] в пиковые моменты даже при величинах , близких к единице. Это показано на рис. 1. для случая ограничения y_i только сверху.

Рис. 1. Ограничение на выходную характеристику, представленную нестационарным случайным процессом

При статистическом моделировании вычисление приведенного двойного интеграла, которое часто оказывается невыполнимой. задачей в случае использования других методов исследования, сводится к вероятностной оценке, которая выполняется путем подсчета числа реализации у_i, не выходящих за допустимые значения, и его деления на величину выборки за время эксперимента T_m

В случае большого количества сочетаний независимых переменных поиск оптимального варианта требует использования специальных процедур, например, методов математического программирования, в частности, метода наискорейшего спуска и др. Значительно сократить затраты машинного времени на моделирование позволяет проведение зависимых, экспериментов. Применение этих методов следует учитывать на этапе планирования экспериментов.

После создания системы целесообразна апостериорная проверка результатов моделирования и измерения характеристик функционирования. Такая проверка помогает уточнить модель и повысить эффективность системы. Наличие, модели .действующей системы дает возможность прогнозирования качества функционирования при развитии системы или изменении внешних воздействий.

Контрольные вопросы

Какие виды методов используются для иследования сложных систем?

Предмет имитационного моделирования.

Что вы понимаете под средствами моделирования и какие виды знаете?

Что вы понимаете под проверкой адекватности модели?

Что означает планирование экспериментов с моделью?

Литература

Альянах И.Н. Моделирование вычислительных систем, Л.: Машиностроение, 1988 г. -- 223 стр.

Растригин Л.А. Современные принципы управления сложными объектами, М.: Советское радио, 1980 г. -- 232 стр.

Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. - Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий, М.: Наука, 1976 г. -278 стр.

Лекция 4. ПРОБЛЕМА МОДЕЛИРОВАНИЯ (2 часа)

План

1. Объект моделирования

2. Сведения об объекте

3. Априорная информация

4. Апостериорная информация

При постановке и решении проблемы моделирования исследователь сталкивается с различными вопросами, одним из основных является вопрос - что называть объектом моделирования и какие общие свойства, черты модели объекта? Поэтому проблему моделирования начнем с изучения объекта моделирования.

1. Объект моделирования

Объект моделирования удобно представлять в виде многополюсника, изображенного на рис.1.а, где х₁, ..., х_п --наблюдаемые входы объекта, e₁, ..., е_k-- его ненаблюдаемые входы; у₁, ..., у_т--наблюдаемые выходы объекта.

Рис. 1. Изображение объекта моделирования.

Многомерный объект удобно описывать в векторной форме (рис. 1.б), где

X=(x₁, . . . x_n);

Y=(y₁, . . . y_m);

E=(e₁, . . . e_k);

Все входы объекта представляют собой воздействия внешней среды на объект и являются какими-то определенными функциями состояния среды и времени. Так как отсутствует модель среды, воздействующей на объект моделирования, то входы объекта естественно рассматривать как случайные функции времени, т. е.

X=X(t), E=E(t),

статистические свойства которых в общем случае неизвестны. Однако известны наблюдения входа и выхода объекта, т. е. реализации функций X(t) и Y(t) в непрерывной или дискретной форме. Относительно ненаблюдаемого входа Е(t) предполагается известной его структура, т. е. характер этой случайной функции. В рамках данного курса мы ограничимся случаем, когда E(t) является нормальным случайным процессом, непосредственное наблюдение которого невозможно.

Объект связывает входы Х и Е с выходом Y некоторым априори неизвестным оператором F₀

Y=F₀(X, E).

Однако идентифицируется не он, а оператор модели F, связывающий наблюдаемые входы и выходы:

Y=F(X).

Ненаблюдаемый фактор Е(t) рассматривается как случайная помеха, затрудняющая определение оператора F.

Резюмируя, можно сказать, что объект идентификации в общем случае представляется в виде многополюсника, часть входов которого ненаблюдаема (это и есть Е)

2. Сведения об объекте

Все сведения об объекте, которые необходимо иметь для того, чтобы начать процедуру идентификации, как сказано выше, подразделяются на два вида: априорные А и апостериорные B. Так, что двойка

<А, B> (1)

характеризует всю информацию об объекте. Рассмотрим оба вида сведений в отдельности.

3. Априорная информация

Априорная информация, которой необходимо располагать еще до наблюдения входов и выходов объекта, должна ответить на вопрос, что представляет собой структура идентифицируемого объекта. Структуру прежде всего мы будем характеризовать значениями четырех признаков:

A =<б, в, г, д>, (2)

которые кодируют объект по четырем признакам. Следует сразу отметить, что структура объекта полностью далёко не исчерпывается этими четырьмя признаками.

Рассмотрим указанные признаки вида объекта подробнее и уточним их смысл.

1. Признак динамичности б. Будем объект называть динамическим (б=1), если поведение его выхода зависит не только от значений входа в текущий момент времени, но и от предыдущих значений входа. Это означает, что объект обладает памятью (или инерционностью), которая и определяет зависимость выхода от предыстории входа.

В противном случае объект будем называть статическим (б=0).

2. Признак стохастичности в. Будем объект называть стохастическим (в=1), если поведение его выхода зависит от неконтролируемых входов объекта или (что то же) сам объект содержит неконтролируемый источник случайных факторов возмущений. В противном случае будем объект называть детерминированным (в=0).

Заметим, что, строго говоря, нестохастических объектов не существует в природе, так как всякое измерение неизбежно вносит свою погрешность в результат наблюдения. Поэтому правильнее говорить о “малой” и “большой” стохастичности объекта, подразумевая, что с малой стохастичностью можно не считаться и называть такой объект детерминированным.

3. Признак нелинейности г. Объект будем называть нелинейным (г=1), если его реакция на два различных возмущения входа не эквивалентна сумме реакций на каждое из этих возмущений в отдельности. Для случая без помех нелинейность определяется условием

F₀(X₁ + X₂) ? F₀(X₁) + F₀(X₂).

При невыполнении этого условия, т. е. при равенстве в этом выражении, объект будем называть линейным (г=0).

4. Признак дискретности д. Будем объект называть дискретным (д=1), если состояние его входов и выходов изменяется или измеряется лишь в дискретные моменты времени t=1, 2, ..., п. Если же вход и выход изменяются или измеряются непрерывно, то объект назовем непрерывным (д=0). Таким образом, способ измерения может изменит этот признак объекта.

Как видно, A в значительной степени проясняет вид модели, а для ее полной определенности следует сказать о характере динамики (при б=1), вероятностных свойствах стохастичности (при, г=1) и виде нелинейности (при в=1).

Естественно, что представления о виде модели, определяемые A, могут измениться после анализа апостериорной информации, т. е. после наблюдения за поведением входа и выхода объекта.

4. Апостериорная информация

Если априорная информация A имеет качественный характер, то апостериорная--количественный, т. е. результат (протокол) наблюдений входа и выхода объекта. Этот протокол имеет вид:

B=<X, Y>,

где X -- результаты всех измерений 'входов объекта; Y - результаты этих измерений его выходов за тот же период наблюдений.

Для непрерывных объектов (A=бвг0) имеем записи непрерывных данных X=X(t), Y=Y(t) в интервале 0?t?T. Таким образом, получаем:

B₀=(<X(t), Y(t)> ( 0 ? t ? T ).

Это означает, что поведение объекта зарегистрировано в виде n+m различных кривых: x₁(t), ..., x_n(t), y₁(t), ..., y_m(t) в этом интервале.

Заметим, что X и X(t) в данном случае не тождественны, так как X представляет собой всю зависимость Х(t) в заданном интервале, a X(t) может выражать только конкретное значение этой зависимости в момент t. Аналогична не тождественность Y и Y (t).

В дискретном случае (A=бвгl) имеем X=(X₁, .... X_N), Y= (Y₁, ..., Y_N) и протокол записывается в виде

B₁=(<X_i, Y_i> (i=1, ..., N)),

который представляет собой таблицу чисел из п+т столбцов и N строк:

B₁=

Очевидна преемственность этих двух форм записи. Так, .протокол B₁ может быть получен из B₀ путем фиксации дискретных моментов времени t=0, д, 2д, ..., (N--1) д, где д - интервал дискретности (д=T/N).

(Заметим, что обратный переход возможен далеко не всегда.)

Таким образом двойка (1) достаточно полно характеризует объект для целей его идентификации. Она и будет использоваться при изложении соответствующих идей, методов и подходов идентификации.

Контрольные вопросы

Общее представление объекта моделирования в виде многополюсника.

Априорная и апостериорная информация об объекте моделирования.

По каким признакам классифицируются объекты моделирования?

Литература

Растригин Л.А. Современные принципы управления сложными объектами, М.: Советское радио, 1980 г. -- 232 стр.

Растригин Л.А., Маджаров Н.Е. Введение в идентификацию объектов управления, М.: Энергия, 1977 г. - 216 стр.

Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. - Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий, М.: Наука, 1976 г. -278 стр.

Лекция 5. ЗАДАЧА ИДЕНТИФИКАЦИИ (2 часа)

План

1. Постановка задачи идентификации.

2. Трудности идентификации

1. Постановка задачи идентификации.

Задачей идентификации является определение оператора F₀ объекта, т.е. построения такого оператора модели F, которой был определенном смысле близок к оператора объекта F₀ т.е.

FF₀ (1)

(Заметим, что указанная «близость» весьма относительно, так как оператора F₀ и F могут иметь разные структуру, могут быть сформулированы на разных языках и иметь разные число входов. Именно поэтому близость операторов непосредственно оценить трудно или просто невозможно, тем более что часто об операторе объекта F₀ мало что известно.) В связи с этим естественно оценивать близость операторов по их реакциям на одно и тоже входное воздействие Х , т.е. по выходом объекта Y(t)=F₀[X, E(t)] и модели Y^M=F(X). Степень близости этих реакций в каждый момент времени можно оценить, например, значением квадрата модуля разности векторов выхода:

, (2')

где векторов выхода модели.

В общем случае близость объекта и модели оценивается так называемой функцией невязки с. Это скалярная функция двух векторных аргументов - выходов объекта и модели:

, (3)

которая обладает следующими свойствами:

не отрицательна для любых Y(t) и Y^M (t), т.е.

с(Y(t), Y^M (t)) ? 0

равно нулю при Y(t) ? Y^M (t), т.е.

с(Y(t), Y^M (t))=0;

непрерывна и выпукла вниз по обоим аргументам, т.е.

с((1-л)Y₁+лY₂, Y^M) ? (1-л)с(Y₁, Y^M)+лс(Y₂, Y^M) с(Y(1-л)Y^M₁+лY^M₂) ? (1-л)с(Y, Y^M₁)+лс(Y, Y^M₂)

где 0 ? л ? 1.

Говоря проще, эта функция всегда лежит ниже отрезка прямой , соединяющей две любые точки (Y₁, Y^M₁) и (Y₂, Y^M₂), где Y_i , Y^M _i - произвольные векторы . Удовлетворить этим требованиям не сложно. Так, соотношение (2') соответствует им. Именно оно и будет чаще всего применяться в дальнейшим.

Теперь сформулируем задачу идентификации. Она заключается в том, чтобы построит такой оператор модели F, которой бы реагировал на возмущение Х аналогично реакции объекта У . Реакция оператора модели на вход Х имеет вид:

УМ=F(X)

Следовательно модельный оператор F должен быть таким, чтобы:

У^М ~ У

где ~ знак эквивалентности, т.е. выходы модели и объекта при одинаковых входных воздействиях Х должен быть эквивалентны Этого можно добиться, если ввести единую меру близости на всем интервале наблюдения, а не только в каждой точке, как (3).

Такой мерой в непрерывном случае (объект А=бвг0) может быть интеграл

Действительно, в соответствии с определениям функции с(., .) величина Q выражает степень близости функций Y(t) и Y^M (t) в интервале 0 ? t ? T. Значение явно зависит от F:

и задача идентификации заключается в ее минимизации путем соответствующего выбора оператора модели F. Если по физическому смыслу задачи важность информации В в различные моменты времени не одинакова, то целесообразно введение переменного веса h(t)>0:

 (5)

с естественным нормированием

(6)

Выбор функции h(t) определяется ценностью информации. Например, для стохастического непрерывного объекта (А=бвг0) при неравноточных наблюдениях, т.е. когда дисперсия ошибки наблюдения выхода зависит определённым образом от времени

,

где f(t) - заданная функция, вес h(t) должен изменяться следующим образом:

где, k - нормирующий член, обеспечивающий выполнение условия (6) . Это означает, что ценность информации обратно пропорционально уровняю дисперсии случайных помех.

Величину Q(F) часто называют невязкой выходов объекта и модели. Эта невязка является функционалом, зависящим от оператора модели F. По своей конструкции эта невязка неотрицательно и равно нулю при , т. е. при совпадение выходов объекта и модели на исследуемом интервале.

Если объект является статическим и непрерывным А=0вг0 т. е. , F(·) есть функция то невязка (5) принимает вид:



Для дискретного объекта ( ) функционал невязки записывается в очевидной форме:

(7)

а статическим дискретный объект () имеет функционал невязки в виде:

где, - вес информация в i-й момент времени. Если объект стохастический и дискретный () и измерения , например, зашумлены случайной помехой с изменяющейся дисперсией у²_i(i=1, . . . , N), то вес следует определять как

h_i=k/у²_i,

где k - нормирующий член.

Таким образом степень несоответствия (степень невязки) операторов модели и объекта можно выразить в виде функционалов типов (5) и (7), зависящих явно от оператора модели F.

Естественно, процесс идентификации, т. е. процесс определения оператора модели, строит так, чтобы минимизировать указанную невязку, т. е. решать задачи минимизации функционала Q(F) по оператору F:

 (8)

Эта символическая запись выражает следующую простую мысль: нужно минимизировать функционал Q(F), варьируя оператором (или в простейшим случае функцией ) F не произвольно , а в некотором определенном классе операторов (или функцией) Щ. Это обозначается с отношение F Щ , т. е. F принадлежит классу Щ, где Щ - заданный класс операторов или функций. Результатом процедуры минимизации является некоторый оператор (или функция) F^* (не обязательно единственно), обладающий свойством:

(9)

т. е. невязка Q^* на этом операторе минимально (точнее, не превышает всех возможных невязок, которые можно получить в классе Щ).

Говоря еще проще, для идентификации в заданном классе надо найти оператор F, минимизирующий функционал невязки Q(F) на этом классе.

Утверждения, что идентификация всегда сводиться к операции отыскания минимума, естественно, преувеличено. Действительно легко представить себе статический объект , который идентифицируется путем решения системы линейных или в общем случае нелинейных уравнений. Однако утверждения о сведении задания идентификации к задаче минимизации имеют общий характер для всех случаев идентификации с любыми классами допустимых операторов и функций .

Таким образом, использование процедуры минимизация для решение задачи идентификации объектов является принципиальным и важным обстоятельством, свойственным обычно решению сложных задач идентификации.

2. Трудности идентификации

Отметим две трудности постановки и решения задачи идентификации.

Первая трудность заключается в определении класса оператора Щ, в котором ищется это решение. Преодоление этой трудности едва ли в настоящая время возможно формальным образом.

Действительно, на стадии определение класса Щ должна быт использована априорная информации об объекте как предмета идентификации для целей управления. Этот этап крайне трудно формализуем и нуждается в эвристических решениях. Пока такие решения может принимать только человек.

Для принятия решения о классе Щ необходимо учесть следующее:

структур объекта управления ;

механизм работы объекта ;

цель управления ;

алгоритм управления.

Последние два пункта связывают класс Щ с будущим управлением, для которого и идентифицируется объект.

Вторая трудность, которую нужно преодолевать при идентификации, заключается в решении поставленной задачи минимизации (8) с наименьшим ущербом для потребителя . дело в том, что процесс решения всякий задачи связан с определенными потерями ( времени, средств, оборудование, энергии и т. д. ). Это обстоятельство накладывает определенные ограничение на выбор алгоритма идентификации.

Действительно, это алгоритм должен решать поставленную задачу в определенном смысле наилучшим образом. Например, задачи идентификации должна быть решена за минимальное время или затраты средств на ее решение должны быть минимальные и т. д.

Как видно, всегда должен быть определен критерий эффективности процесса решение задачи идентификации. Чаше всего это будет ущерб, наносимый в процессе решение задачи идентификации, т. е. потери на идентификацию. Очевидно, что эти потери зависят от сложности задачи (8), необходимого объема экспериментальных данных и способа решения задачи, т. е. от алгоритма минимизации функционала Q(F).

Обозначим через А - алгоритм решения задачи идентификации (9), а I - потери на идентификацию, которые представляют собой функционал, зависящий от алгоритма А. Очевидно, что алгоритм следует выбирать таким, чтобы потери на идентификацию I были минимальны. Отсюда очевидным образом следует задача определения алгоритма как задача минимизации:

(10)

где I{B, A} - потери на идентификацию, т. е. на решение задачи B=[Q((F) min_FЩ] с помощью алгоритма А. Этот функционал должен быть задан. К примеру это может быть временно или стоимость решения задачи идентификации, сложность ее программирования, сложность применяемой при этой операторе, ее амортизация в процессе работе и т.д.

Задача (10) формулируется следующим образом: нужно в классе О найти алгоритме идентификации А*, которой минимизирует потери на идентификацию I заданного объекта. Такой алгоритм А* естественно называть оптимальном в указанном смысле. Класс О алгоритмов идентификации при этом должен быть задан. Если множество О состоит из конечного и не слишком большого числа алгоритмов т. е.

О

Заметим сразу, что, как правило, для идентификации выбирается не оптимальный алгоритм А*, а некоторый рациональный алгоритм A*, который обеспечивает решения задачи при допустимых потерях на идентификацию. Пусть I - допустимые потери. Тогда задача отыскание рационального алгоритма сводится к следующей:

(11)

Любой алгоритм из множества О, удовлетворяющий этому неравенству, следует считать рациональным.

Таким образом, вторая трудность решение задачи идентификации сводиться к отысканию алгоритма решения этой задачи. При этом искомый алгоритм не может быть любым и должен удовлетворять определенным требованиям - оптимальности (10) или рациональности (11). Не последнюю роль здесь играет задание класса алгоритмов идентификации О. процесс определение класса О является эвристическим и пока доступным лишь человеку.

Контрольные вопросы

Определение задачи идентификации.

Как ставиться задача идентификация?

Что понимается под функцией невязки выходов объекта и модели?

Сведение задачи идентификация к задаче оптимизации?

Какие трудности возникают в задачах идентификации?

Литература

1. Растригин Л.А. Современные принципы управления сложными объектами, М.: Советское радио, 1980 г. -- 232 стр.

2. Растригин Л.А., Маджаров Н.Е. Введение в идентификацию объектов управления, М.: Энергия, 1977 г. - 216 стр.

Лекция 6. ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ И КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ ИДЕНТИФИКАЦИИ (2 часа)

План

1. Идентификация структуры и параметров объекта

2. Классификация методов идентификации

1. Идентификация структуры и параметров объекта

Будем называть структурной идентификацией процесс определения структуры оператора модели F. Если же структура этого оператора F определена или априори известно, то процесс идентификации сводится к определению параметров этой структуры, т. е. задаче более простой чем предыдущая. Назовем ее параметрической идентификацией (иногда первый процесс называет идентификацией широком смысле, а второй - в узком).

Таким образом , идентификация структуры связана прежде всего с предварительном выбором структуры модели, а идентификация параметров - лишь с определением параметров этой модели при заданной структуре. Как видно, первый этап структурной идентификации предшествует второму и часто включает в себя второй как составную часть.

К сожалению, понятия «структура» не имеет четкого определения, хотя по видимому, интуитивно понимается всеми примерно одинаково. Будем под структурой модели понимать вид оператора с точностью до его коэффициентов. Заметим, что структура объекта , кодируемая А, вообще говоря, может не совпадать со структурой модели . Так, стохастический свойства объекта обычно не отражаются модели, а лишь определяют выбор метода идентификации ее параметров. Кроме того, модель может заведомо иметь меньше входов и выходов, чем их имеет объект. Это часто делает при малом объеме наблюдений (иначе не определить параметры модели).

Теперь уточным задачу идентификации. Пусть структура модели известна , т. е. задача структурной идентификации решена. Тогда оператор F(х) может быть представлен в виде

F(x)=f(x, c),

где f(., . ) - заданный оператор, а С=(с₁, . . . , с_к) -вектор неизвестных параметров модели. В этом случае задача идентификации параметров модели может быть записана, вообще говоря в виде задачи минимизации функции (а не функционала) невязки:

(12)

решением которой является вектор С*=(с*₁, . . . с*_к). Здесь

функция невязки выходов объекта и модели ; R^k - k- мерное евклидово пространства векторов С . Здесь трудности решения задачи заключается в организации эффективного процесса минимизации заданных функций многих (к) переменных. Заметим, что так, как структура модели известна, то число переменных k определено заранее.

Очень часто структуру можно закодировать, введя структурный параметры. Такими структурными параметрами является числа k и l в примере 2. В общем случае обозначим эти параметры вектором.

D=(d₁, . . . , d_q),

Это означает, что структура кодируется q величинами d₁, . . . , d_q. Оператор модели теперь представляется в виде

F(X) = f(X, C, D),

Где f--заданный оператор. Здесь оператор модели определяется двумя типами параметров структурными D и параметрами объекта С. Функция невязки выходов объекта и модели (5) здесь принимает вид:

Тогда задачи идентификации в широком смысле сведется к решению следующий задачи минимизации функции k+q переменных:

Здесь S - область определения структурных параметров.

В заключение отметим, что сведение общей задачи идентификации (8) к параметрический идентификации (12) и (13) естественно имеет условный характер. Целью такого представления является упрощения задачи и сведение ее к известно ранее с хорошо разработанными методами решения. Такой задачей является задача математической программирования: минимизация функции многих переменных, принадлежащих заданному множеству. Именно так мы сформулируем задачи параметрических идентификации.

Однако не следует думать, что такое сведение задачи идентификации к задаче математического программирование решает все проблемы идентификации. Здесь возникает ряд новых проблем, например как это сведение сделать в конкретном случае как решить полученную задачу минимизации? Эти проблемы порождают другие и т. д. Но связь идентификации с математическим программированием, отмеченную выше, следует всегда иметь виду.

2. Классификация методов идентификации

Будем различать методы идентификации по трем классификационным признакам и характеризовать метод значениями этих признаков:

(14)

которые кодируют метод. Здесь о , з, т - структурные признаки, которые могут принимать два значения. Естественно, что структура метода никак не исчерпывается этими тремя признаками. Тройка (14) служит, скорее, для обозначения метода , чем для его описания. Рассмотрим и охарактеризуем эти признаки.

Признак активности. о. Будем метод идентификации называть активным (о=1), если при его реализации возможно задавать и изменять определенным образом состояния входов объекта и т. е. как бы изменять состояние среды. Это типичное управление объектом, но для достижения целей идентификации. Если объект не позволяет управлять состоянием его входа, то метод его идентификации мы будем называть пассивным (о=0), т. е. опирающийся на данные в, полученные в режиме нормальной эксплуатации объекта. Блок-схема реализации активного метода показана на рис 1. Здесь вход объекта управляется в процессе идентификации так, чтобы повысить ее эффективность.



Рис 1. Блок-схема активного метода идентификации

Признак адаптивности з. Если информация в о поведении объекта используется в процессе идентификация не сразу, а по мере ее поступления или циклически и при этом значения идентифицируемых параметров корректируется на каждом шаге или непрерывно, то такой метод будем называть адаптивным. В противном случае метод будем называть неадаптивным (з=0).

Если адаптивный метод параметрической идентификации применяет в реальном масштабе времени использую непосредственно измерения входа и выхода объекта то в этом случае его называют методов самонастраивающейся модели. Суть этого метода состоит в следующим (рис 2).

Рис 2. Блок-схема реализации метода самонастраивающейся модели.

В каждый момент времени сопоставляются выходы объекта и модели, при этом квадрат разности выходов минимизируется путем соответствующего выбора параметров с оператора модели. Для повышения эффективности процесса минимизация используется информация о состояния среды Х. Как видно модель таким образом все время подстраивается к объекту, чтобы их реакции на один и тот же вход в каждый момент времени различались минимально.

Адаптивный метод для дискретных объектов всегда описывается рекуррентной формулой вида

С_i=I(C_i-1, X_i, Y_i), (15)

Где С_i - вектор идентифицируемых параметров на i-m шаге адаптации; I--алгоритм адаптации. Выражение (15) удобно записать в виде

C_i=C_i-1+? С_i (16)

Где ? С_i - приращение, реализуемое алгоритмом адаптации

? С_i=ц(С_i-1, X_i, Y_i).

В k-мерном пространстве идентифицируемых параметров С = (с₁, ...., с_k) процесс адаптации иллюстрируется ломаной С₀ ... С_i-1 С_i С_i+1. . . , которая стремится к С*=(с*₁, . . . . , с*_k) - точному значению параметров (рис. 3).

Рис. 3. Пример работы адаптивного метода

Для прерывного объекта (A=бвг0) процесс адаптивной идентификации реализуется дифференциальным уравнением

 (17)

Однако режим адаптивной идентификации может реализоваться не только по схеме самонастраивающейся модели, т. е. в режиме реального масштаба времени . Если объем наблюдений мал, т. е. малы N(в дискретном случае) и Т(в непрерывном), то однократное использование информации в может не решит задачи идентификации. В этом случае целесообразно образовать цикл

B'=BBB. . . ,

которые решает поставленную задачу .

Следуют отметить такую особенность адаптивного метода. Он почти никогда не решает задачу идентификации абсолютно точно, во всяком случае в пассивном варианте. Но зато он позволяет все время улучшать значения идентифицируемых параметров. По этому его целесообразно применять для идентификации “дрейфующих” объектов параметры которых медленно изменяются. В этом случае адаптивной метод позволяет отслеживать медленные изменения.

Признак шаговости о. Если идентифицируемые параметры в процессе адаптивной идентификации изменяются дискретно, то такой метод будем называть шаговым (о=1). В противном случае метод непрерывный (о=0). Так, адаптивный метод (15) имеет шаговый характер, а (17) - непрерывный.

Как видно, хотя этими тремя признаками метод идентификации описать проста невозможно, они характеризирует структурные особенности метода которые определяются спецификой объекта.

Контрольные вопросы

Что понимается под структурной идентификацией?

Как решается задача параметрической идентификации?

По каким признакам можно классифицировать методы идентификации?

Адаптивный метод идентификации.

Литература

1. Растригин Л.А. Современные принципы управления сложными объектами, М.: Советское радио, 1980 г. -- 232 стр.

2. Растригин Л.А., Маджаров Н.Е. Введение в идентификацию объектов управления, М.: Энергия, 1977 г. - 216 стр.

Лекция 7. СТРУКТУРНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ (2 часа)

План

1. Выделение объекта из среды

2. Ранжирование входов и выходов объекта (Метод экспертных оценок)

3. Метод непосредственного ранжирования

К задачам идентификации структуры объекта будем относить следующие:

выделенные объекта из среды.;

ранжирование входов и выходов объекта, по степени их влияния на выполнение целей управления в объекте;

определение рационального числа входов и выходов объекта, учитываемых в модели;

определения характера связи между входом и выходом модели объекта, т. е. определение вида оператора F (это есть собственно структура объекта .)

Рассмотрим каждую из этих задач в отдельности и укажем возможные пути их решения.

1. Выделение объекта из среды

Как указано выше, процесс выделения объекта из среды полностью определяется целями и алгоритмом управления. Это утверждение , однако, нуждается пояснении. Действительно, если процесс определения объекта зависит от целей, которые будут реализоваться в нем, то естественно спросить, а от чего зависят эти цели? Цель по отношению к управлению имеет внешний характер. Она формулируется на более высоком иерархическим уровне и выражает требования этого уровня, предъявляемые к объекту управления. Однако формулировка и определения множества целей связано с представлениями об объекте, в котором должны реализовать эту цель. Действительно, нельзя эффективно сформулировать цель, если не иметь какой-то модели объекта управления. Поэтому еще до формулировки цели некоторая модель объекта должна быть. Естественно, что эта первая модель очень приближенна, но именно она должна лечь в основу определения объекта управления, т. е. процесса выделения объекта из среды.

Пусть цель Т в виде множества состояний T={Y*}, которые должны быть достигнуты в процессе управления. Какую именно цель Y*{Y*} необходимо будет реализовать в определенный момент времени определит верхний уровень управления . это означает , что управляющее воздейтвие U в этот момент должно быть таким , чтобы состояние объекта Y совпало с заданным целевым, т. е.

Однако всякое управляющее воздействие U ограничено определенным ресурсом R. Пусть {U}_R - ресурсное множество управлений, которым располагает управлений т. е.

U{U_R}

Таким образом, для определения объекта необходимо знать множества целей {Y*} и располагаемых управляющих воздействий {U}_R.

Рассмотрим теперь процесс выделение объекта из среды как последовательный переход от простейших форм объекта к более сложным.

Простейшей формой объекта назовем такую минимальную часть среды, которая несет информацию, необходимую для проверки выполнимости поставленной цели. Эта минимальная часть F показана на рис. 1, причем



Y=F(X, U).

Рис. 1. Блок-схема процедуры оценки выполнимости целей управления

Если этот объект и среда Х таковы, что для любой цели Y*{Y*} и любого состояние среды Х{Х} всегда найдется управление U*{U}_R такое, что

Y*=F(X, U*), (1)

то этот объект удовлетворяет целям управления и процесс его определения можно считать законченным.

В противном случае, когда ресурса R не хватает для обслуживания всех целей ввиду того, что среда Х при этом слишком сильно изменяется, приходится расширять рамки объекта, включая в него ту часть среды, которой можно управлять. Так, как воздействие Х в значительной степени образуется каким-то определенным элементом среды, то естественно попытаться этот элемент присоединить к объекту и управлять им с тем, чтобы изменить в нужную сторону Х. Это расширение объекта показано на рис. 2.

Рис. 2. Структурная схема присоединения части среды к объекту

Если сделанное расширение объекта не удовлетворят целям управления, то следует воздействовать на X'' или X'' , т. е. далее расширять объект.

Легко себе представить, что для любого множества заданных целей {Y*} описанный процесс расширения объекта может либо закончится на каком - то шаге, либо никогда не закончится . В первом случае мы получаем объект управления, во втором - констатируем, что поставленная цель Т={Y*} не достижима вообще, т. е. сформулирована ошибочна , без учета возможностей объекта и среды. Такую цель надо менять или увеличить ресурс R.

Таким образом, процесс расширения объекта при его выделении должен подчиняться следующему принципу: присоединять к объекту лишь те элементы среды, которые воздействует на реализацию цели и которыми можно эффективно управлять для достижения этой цели.

Заметим, что формальные реализации описанной процедуры выделения объекта возможно лишь в том случае, если для каждого варианта выделения объекта идентификация проводиться до конце т. е. до составления полной модели объекта. Но для этого необходимо располагать измерениями В, которые производятся при выбранной структуры (иначе не известно что именно измерять .) Столь громоздкую процедуру с выходом на эксперимент едва ли в ближайшее время удастся формализовать. По этому на стадии структурной идентификации широко пользуются методом экспертного опроса, по результатам которого и принимаются решения о структура объекта, его взаимоотношения со средой, возможным состоянием среды и т.д.

2. Ранжирование входов и выходов объекта (Метод экспертных оценок)

Для определения структуры модели объекта, представленного в виде многополюсника, прежде всего необходимо выяснить, какие именно входы и выходы объекта будут включены в его модель. Для этого прежде всего выявляет всех возможных реальных «претендентов» на роль входов и выходов и из них выделяют наиболее существенные, которые и образуют многополюсник модели n m. Но здесь сразу возникает вопрос о том, какие входы называть существенными. Ответь здесь однозначный. Так как модель создается для целей управления, то существенным является тот фактор, который наибольшим образом оказывает влияние на осуществление цели управление в объекте, а значит, и в его модели. Это связано с тем, что при формировании структуры системы управления прежде всего необходимо знать, какие воздействия может и будет испытывать объект управления и как результаты этого воздействия связаны с достижением цели управление в объекте. Поэтому при выборе структуры приходится варьировать числом учитываемых входов и оценивать эффективность выбранной комбинации. Для этого следует проранжировать выбираемые факторы. В этом случае выбор наиболее существенных факторов очевиден - они должны быть расположены в начале ранжированного ряда.

Поэтому первым этапом в задаче идентификации объекта следует считать задачу ранжирования его входов . Так как модели объекта еще нет, то ранжирование его можно сделать, например, методом экспертных оценок.

Для этого прежде всего определяются все входы и выходы, состояния которых в какой-то степени можно влиять на выполнение цели в объекте

Как и выше будем различать два вида входных переменных - воздействие среды Х и управления U и выход Y. Рассмотрим их подробнее.

Входы Х=(х₁, . . . , х_n) подразумеваются прежде всего контролируемыми. В противном случае их не имеет смысла вводить в модель. Отбор «претендентов» на входы Х должен подчинятся следующим требованиям:

отбираются те и только те входы х₁, . . . , х_n, состояние которых влияет на реализацию цели в объекте;

состояния каждого входов х_i должно эффективно, т. е. легко и надежно, контролироваться (измеряться);

Исходя из этих соображений, составляется ряд «претендентов». Однако это совсем не означает , что все они войдут в модель. Действительно некоторые из них почти не влияют на цель и ими можно пренебречь. А другие хотя и влияют на цель, но трудно измеряемы и поэтому также могут быть отброшены.

Однако прежде, чем производить селекцию входов необходимо их проранжировать по степени их влияние на реализацию цели управления в объекте. Это означает что каждому входу x_i(i=1, . . . , n) следует постановить в соответствие некоторое целое число k_i - его ранг:



где единичный ранг (k=1) имеет вход, влияющие наибольшим образом на реализацию цели в объекте. Второй ранг (k_i=2) и т. д. имеют входы, влияющие не столь существенно, как единичный. Здесь как видно, индексы при рангах определяют номер ранжированного входа от первого до n-го.

Расположим теперь входы в порядке возрастания их рангов

x_i1, x_i2 , . . . , x_in, (2)

где индекс i_j равен номеру фактора с рангом j. Этот ряд будем называть ранжированным рядом. Здесь на первом месте стоит самый существенный вход, а далее следуют остальные в порядке уменьшение их влияния на цели управления. Теперь, если в модели следует по каким-то соображениям оставить лишь q входов, ими будет факторы с номерами от i₁ до i_q т. е. имеющие первые q рангов.

Составить ранжированную последовательность при отсутствии модели объекта можно например, с помощью специалистов - экспертов, хорошо осведомленных об особенностях среды объекта F₀ а также цели и способах ее достижения, т. е. имеющих представление о будущем алгоритме управления этим объектом.

Таким образом с помощью экспертов составляется последовательность:

k₁, k₂, . . . , k_n, (3)

где k_i-- ранг i-го входа х_i . Построить из нее ранжированный ряд (2) не представляет труда. Например, при n=5 последовательность рангов (3) может иметь вид:

3, 1, 5, 4, 2.

Это означает, что для данной задачи наибольшее влияния на цели управления с учетом возможности измерения имеет второй вход х₂ . Ему приписывается единичный ранг (k₂=1). Второй ранг имеет пятый вход (k₅=2)и т. д. , т. е. k₁=3, k₄=4, k₃=5.

Теперь рассмотрим входы управления U=(u₁, . . . , u_q). Эти входы также нужно проранжировать, учитывая степени их влияния на достижения целей управления и простоту организации изменения этих входов, т. е. простоту реализация управления. Этот последний фактор управляемости очень важен, так как далеко не всегда желание управлять каким-то определенным входом согласуется с возможностями. Поэтому ранжирования входов управления должно производиться экспертами, не только осведомленными об особенностях объекта управления, но знакомыми со способами организации управляющих воздействий.

Аналогично каждому входу управления u_j(j=1, . . . , q) экспертно ставиться в соответствие ранг k_j целое число в интервале [1, q]):

причем единичный ранг соответствует самому существенному и легко изменяемого входу управления, а самому не существенному и самому трудноизменяемо приписываться ранг q.

Выходы объекта также должны быть проранжированы. Здесь критерием может служит количество информации который несет данный выход о близости к реализации целей управления в объекте. Не имя модели объекта, это может сделать экспертно, получить соотношения

где k_z - ранг выхода y_z.

Как видно, все три случае, по сути дело одинаковы. Нужно путем опроса экспертов-специалистов присвоить определенным параметрам (входа и выхода будущего объекта управления ) различные ранги по степени их влияния на один или несколько различных критериев. Это процедура получила названия метода экспертных оценок. Рассмотрим только две модификации этого метода :

метод непосредственного ранжирования;

метод парных сравнений.

В первом случае эксперта сразу присваивают ранги фактором, которые представлены для ранжирования. Второй метод использует парное ранжирование факторов, что упрощает задачу эксперта, но требует дальнейшей обработки доля получения ранжированного ряда.

3. Метод непосредственного ранжирования

Пусть N экспертов ранжируют n факторов. Каждому фактору каждый эксперт присваивает ранг - целое число от 1 до n. Так, i-му фактору j-й

эксперт присваивает ранг k_ij. В результате получается матрица N Х n мнений экспертов где номера строк соответствуют номерам экспертом, а номера столбец - номером ранжируемых факторов. Это означает что j-я строка представляет собой имени j-го эксперта, а i-й столбец - мнений всех экспертов по поводу i-го фактора.

При назначении рангов экспертами нужно соблюдать следующие условия:

Сумма рангов, назначенных всем факторам, должна быть одинакова для каждого эксперта и равна:

Это означает, что сумма элементов любой строки матрицы (4)

2. Если эксперт какие-то q факторов считает одинаковыми, то он присваивает им один ранг. Этот ранг равен .среднему из q целых рангов, которые получены при условии, что эксперту удалось их проранжировать. Например, равноценность четырех факторов (q=4):

x₁,x₂,x₃,x₄, стоящих на пятом месте в ранжированном ряду, приводит к тому, что их ранги равны:

Как видно, в этом случае ранги могут быть дробными. Как легко убедиться, дробные ранги кратны 1/2.

Для определения результирующих рангов следует вычислить средние ранги каждого фактора

Эти ранги и дают возможность проранжировать факторы. На первом месте ставится фактор, имеющий минимальный средний ранг

т. е. фактор x_l , на втором -- фактор, имеющий следующий по малости средний ранг, и т. д. Полученные ранги позволяют построить ранжированный ряд факторов, который и будет осредненным мнением коллектива из N экспертов.

Очевидно, что далеко не всякий результат экспертного опроса следует считать удовлетворительным. Действительно, если эксперты сильно противоречат друг другу (например, половина экспертов фактору x_i присвоила первый ранг, а другая половина--последний), то такое ранжирование не может быть положено в основу решающих процедур. Поэтому для оценки всякого экспертного опроса вводится критерий, характеризующий согласованность экспертов. Чем выше эта согласованность, тем более можно “верить” результатам экспертного опроса, и наоборот.

Согласованность экспертов удобно определять как степень рассеяния средних рангов . Действительно, если эксперты полностью согласованы, то средние ранги представляют собой целые, не равные друг другу числа (случай одинаковых рангов пока не рассматриваем). Графически это проиллюстрировано на рис. 3. а), где точками показано расположение средних рангов на числовой оси.

Если же эксперты полностью не согласованы, то средние ранги примерно равны (n+1)/2. В промежуточном случае (при частично согласованных экспертах) ранги сгруппируются вокруг среднего значения (n+1)/2 (это проиллюстрировано на рис. 3. б).

Рис. 3. Средние ранги на числовой оси при полностью (а) и частично (б) согласованных экспертах

Вычислим дисперсию средних рангов. Она, по определению, равна:

Где

- математическое ожидание среднего ранга. Определим максимальную дисперсию (она бывает при полностью согласованных экспертах)

Критерий согласованности экспертов удобно представить в виде отношения

Легко заметить, 0?W?1. При W=0 эксперты полностью не согласны, а при W=l они высказываются как один, т. е. единогласно. Таким образом, значение W характеризует степень согласованности экспертов.

Чем ближе W к единице, тем более единодушны эксперты и тем более достоверен результат ранжирования. (Следует отметить, что эксперты должны высказывать свое мнение независимо друг от друга, т. е. до ранжирования они -не должны знать мнение других экспертов. В противном случае возможно появление корреляции мнений, что повышает критерий согласованности W, хотя в действительности эксперты не столь единодушны).

Для того чтобы знать, велико или мало конкретное значение критерия согласованности, который никогда не бывает равным ни нулю, ни единице, можно 'предложить следующий подход. Предположим, что т из N экспертов абсолютно компетентны, а остальные N--т совершенно некомпетентны, т. е. принимают свое решение чисто случайно (хотя такого, как правило, не бывает). Тогда дисперсия средних рангов

Разделив все на D_макс, получим:

W=m/N.

Это значит, что W выражает долю абсолютно компетентных экспертов. Так, при W=0,3 можно считать, что 30% экспертов были вполне компетентны, а остальные 70% принимали свое решение случайно, что, естественно, могло оказать роковое влияние на окончательную ранжировку (а могло и не оказать!).

Отсутствие согласованности мнений экспертов может иметь двоякое объяснение. Во-первых, это возможно из-за некомпетентности экспертов, связанной с новизной или слабой изученностью объекта идентификации. Во-вторых сложность объекта затрудняют эксперта в ответах о рангах факторов. Эксперту в этом случае проще сопоставить важность некоторых факторов попарно, т. е. указать, чей ранг одного из двух факторов будет больше. Именно в таких ситуациях обращаются к методу парных сравнений, который мы и рассмотрим ниже.