Рассмотрим задачу № 1199 из [20].

Задача: Бригада должна была выполнить заказ за 10 дней. Ежедневно перевыполняя норму на 27 деталей, бригада за 7 дней работы не только выполнила задание, но и еще изготовила 54 детали сверх нормы. Сколько деталей в день изготовляла бригада?

Чтобы решить эту задачу требуется составить уравнение. Но при составлении могут возникнуть вопросы: например, как выразить три слагаемых в уравнении, если дано только одно.

Для того чтобы решить задачу воспользуемся опять образом - прямоугольником. По вертикали и горизонтали будем откладывать время и мощность (производительность в день), а в центре прямоугольника писать значение для работы. По алгоритму предшествующей задачи, мы получим такое изображение:

В результате получим:

То есть, имеем уравнение . Таким образом, используя прямоугольники, мы смогли выразить три слагаемых через одно.

Если выписать формулы соответствующей зависимости величины работы от мощности и времени, то можно заметить, что

,

где - работа, - мощность, - время.

Сопоставляя формулы для работы и площади из предыдущей задачи, приходим к выводу: во-первых, в них связываются три величины; во-вторых, если обозначать эти величины (параметры) буквами , то их зависимость задается формулой . Итак, осознанное решение задачи можно достичь, не меняя условия задачи, как это делается в большинстве случаях в школе. А, используя образ, в данном случае - прямоугольник, можно решить задачу быстрее и достичь осознанного решения.

2.Образ в исследовании

Применение образа для вывода теоремы (формулы):

(Пример учебного исследования)

Учебный образ позволяет создать (восстановить) связь субъективного и объективного содержания. Образ должен способствовать возникновению теоретического понятия. Рассмотрим, как, применяя образ можно вывести теоретическое понятие, на примере формул сокращенного умножения.

Рассмотрим четыре формулы сокращенного умножения, которые в школе не выводятся, а даются как уже готовый материал.

В начале рассмотрим формулу:

.

Если отбросить правую часть, то получим , т.е. разность квадратов и . Известно, что площадь квадрата выражается формулой , где - сторона квадрата. Таким образом, можно заметить, что - это разность площадей двух квадратов, со сторонами и . Возьмем в качестве образа - квадрат.

Возьмем два квадрата со сторонами и , причем квадрат со стороной находится внутри квадрата со стороной

Если мы из одного квадрата «вырежем» другой, то у нас останется фигура площади , которую можно разбить на два прямоугольника.

Один со сторонами и ; его площадь . Другой прямоугольник со сторонами и площадь, которого равна

Так как, два прямоугольника составляют полную фигуру, то, приравнивая, получаем:

,

В итоге, получаем:

Теперь рассмотрим формулу:

.

В данном случае следует рассматривать квадрат со стороной в виде образа.

Опять же используя, формулу для нахождения площади квадрата мы получим следующий результат.

Отметим внутри «большего» квадрата два квадрата со сторонами и . Площади, которых равны, соответственно, и

Заметим, что внутри квадрата останется два прямоугольника со сторонами и . Площадь одного из них равна, а площадь второго равна - .

Итак, для того чтобы получить «больший» квадрата со стороной требуется сложить все его «составляющие». Для того чтобы получить площадь «большего» квадрата также следует сложить площади его «составляющих». В результате получим:

В итоге получаем:

.

Рассмотрим формулу:

Для вывода этой формулы рассмотрим квадрат со стороной . В отличие от вывода формулы для разности квадратов поместим этот квадрат в больший квадрат со стороной .

После этого преобразования внутри «большего» квадрата останется два прямоугольника со сторонами и , и , соответственно.

Площадь одного прямоугольника равна , второго -

.

Получаем S - площадь «большего» квадрата равна

или

После преобразований получим:

В заключении рассмотрим формулу:

Вывод этой формулы отличается от предыдущих, тем, что в данном случае мы будем рассматривать пространство. Следовательно, в качестве учебного образа мы возьмем не квадрат и прямоугольники, а куб и параллелепипеды.

Рассмотрим куб со стороной . Внутри него «вырежем» куб с меньшей стороной . Останется фигура объем, которого равен

Разрежем эту фигуру на три параллелепипеда.

Один со сторонами , и , объем, которого равен . Второй параллелепипед со сторонами , и , его объем соответственно равен . Третий параллелепипед будет со сторонами , и , тогда объем равен .

Так как, три параллелепипеда составляют фигуру, то получаем

В итоге получим:

.

Итак, в данной части показано, как учебный образ может «помочь» при выводе каких-либо формул, в данном случае формул сокращенного умножения. Подобные учебные образы можно использовать при выводе других формул, например, нахождение объема правильной усеченной пирамиды и т.д.

3. Образ в описании понятия

образное теоретическое мышление

Применение образа при введении (для работы с ним) теоретического понятия (на примере понятия функции):

Переменная величина.

При исследовании явлений природы и в своей практической деятельности человек сталкивается с множеством различных физических величин: сюда относятся время, длина, объем, скорость, масса, сила и т.п. Каждая из них, в зависимости от условий вопроса, в котором она рассматривается, принимает либо различные значения, либо лишь одно. В первом случае мы имеем дело с переменной величиной, а во втором - с постоянной. Математика обычно отвлекается от физического смысла рассматриваемых величин, интересуясь лишь именно их численными значениями.

Область изменения переменной величины:

Под переменной величиной разумеется отвлеченная или числовая переменная. Ее обозначают каким-либо символом ( буквой, например, ). Переменная считается заданной, если указанно множество значений. Это множество и называется областью изменения переменной . Постоянную величину удобно рассматривать как частный случай переменной: он отвечает предположению, что множество состоит из одного элемента.

Однако обычно изучаются переменные изменяющиеся, как говорят, непрерывным или сплошным образом. Областью изменения подобной переменной служит числовой промежуток. Чаще всего это будет конечный промежуток, ограниченный двумя вещественными числами a и b (a < b) - его концами. В зависимости от этого мы будем различать:

1. замкнутый промежуток [a, b]:

2. полуоткрытые промежутки:

3. открытый промежуток (a, b):

Размещено на http://www.allbest.ru/

Длинной промежутка во всех случаях называется число b-a. Приходится рассматривать и бесконечные промежутки. Обозначения их аналогичны приведенным выше ( ).

Функциональная зависимость между переменными. Примеры:

Предметом изучения зачастую является, однако, не изменение одной переменной самой по себе, а зависимость между двумя или несколькими переменными при их совместном изменении. Здесь мы ограничимся простейшим случаем двух переменных. Они не могут одновременно принимать любые значения (из своих областей изменения): если одной из них (независимой переменной) придано конкретное значение, то этим уже определяется и значение для другой (зависимой переменной, или функции). Приведем несколько примеров:

А) Площадь Q круга есть функция от его радиуса R; ее значение может быть вычислено по заданному значению радиуса с помощью известной формулы

Б) В случае свободного падения тяжелой материальной точки - при отсутствии сопротивления - время, отсчитываемое от начала движения, и пройденный за это время путь связанны уравнением где, есть ускорение силы тяжести. Отсюда и определяется значение S, соответствующее взятому моменту t: путь S является функцией от протекающего времени t.

В) Рассмотрим некоторую массу (идеального) газа, содержащуюся под поршнем цилиндра. В предположении, что температура сохраняется неизменной, объем V(л) и давление p(атм.) этой массы газа подчиняются закону Бойля-Мариотта: . Если произвольно изменять V, то p как функция от V будет всякий раз однозначно определятся по формуле . Заметим тут же, что самый выбор независимой переменной из числа двух рассматриваемых иногда бывает безразличен или связан с соображениями простого удобства. Функциональная зависимость в иных случаях характеризует процесс, реально протекающий во времени. Однако было бы ошибкой думать, что всегда изменение переменных связанно с течением времени.

Определение понятия функции:

Отвлечемся теперь от физического смысла рассматриваемых величин и дадим точное общее определение понятия функции. Пусть даны две переменные x и y с областями изменения X и Y. Предположим, что переменной x может быть приписано произвольное значение из области X без каких-либо ограничений. Тогда переменная y называется функцией от переменной x в области ее изменения X, если по некоторому правилу или закону каждому значению x из X ставится в соответствие одно определенное значение y (из Y). Независимая переменная x называется также аргументом функции. Для указания того факта, что y есть функция от x, пишут: , , .

Если одновременно рассматриваются различные функции от одного и того же аргумента х, связанные с различными законами соответствия, их не следует обозначать одной и той же буквой. Если, рассматривая функцию, скажем, , мы хотим отметить ее частное значение, то для обозначения его употребляют символ: .

График функции:

Функции графически не задают, но к графической иллюстрации прибегают всегда. Графическая иллюстрация функции и есть некоторый абстрагированный образ.

Пусть в некотором промежутке X задана функция y=f(x). Представим себе на плоскости две взаимно перпендикулярные оси координат - ось х и ось у. Рассмотрим пару соответствующих значений х и у, где х взято из промежутка Х, а y=f(x); образом этой пары на плоскости служит точка М(х,у). Совокупность всех таких точек, получающихся при изменении х в пределах всего промежутка, составляет график функции, который и является ее геометрическим образом. Обычно график представляет собой кривую вроде кривой АВ на рис.1. Строится график обычно по точкам. Берут в промежутке Х ряд близких между собой значений х, вычисляют по формуле y=f(x) соответствующее значение у:

и наносят на чертеж точки (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn). Через эти точки проводят кривую. Чем плавне ход графика и чем гуще взяты точки на нем, тем точнее начерченная кривая воспроизводит этот график.

Следует заметить, что хотя геометрический образ функции всегда можно себе «представить», но не всегда этот образ будет кривой в обычном, интуитивном смысле.

Заключение

Результаты:

Анализ литературы посвященной учебным образам и образному мышлению показал:

*что образы используются в процессе обучения, как средство обучения или познания, однако не существует методик построения такого средства. Т.е используются уже имеющиеся образы (прямоугольник, куб и т.д.), но не существует методик создания новых образов как средства познания или обучения.

*Образ является необходимой компонентой теоретического мышления.

*Известные приемы создания и преобразования учебных образов: интерпретация, обобщение, перенос.

*Введение понятия предтеоретического мышления, основываясь на определении теоретического и эмпирического мышления, данными Давыдовым В.В.

*Возможность применения образного мышления для решения задач, научного исследования и изложения теоретического материала.

*Образ необходим, как основание, для перехода к модели или понятию.

*Образ необходим для целостного восприятия объекта и структуры связей в самом объекте или структуры связей между объектами.

*Образ может являться как продуктом Эмпирического мышления, так и продуктом Теоретического мышления.

*Теоретическое мышление можно «разделить» на два «типа»:

1) Понятийное Теоретическое мышление - использование готовых понятий и моделей для получения нового знания (основанием, как правило, выступают уже известные понятия).

2) Развитие теоретического мышления учащихся - создание «как бы заново» понятий и моделей, используемых учебной программой, как основание используется Эмпирическое мышление. Образ выступает, как «мост» от эмпирического к теоретическому. Т.е. с помощью образов можно перейти от предтеоретического мышления к теоретическому.

Возможные перспективы развития:

*Исследование возможности создания новых общедоступных учебных образов, на основании известных способов их создания.

*Исследование эффективности учебных образов, разработка метода оценки эффективности.

*Создание проекта по подготовке абитуриентов (по математике) для специальностей требующих наличия способностей к теоретическому мышлению и исследовательской деятельности.

*Создание образца учебного исследования школьника с использованием образов (учебных).

Литература

1. Алексеев Н.Г. Учебно-познавательная задача. Формирование осознанного решения учебной задачи. Методическая разработка для студентов психолого-педагогического факультета, Красноярск, 1988.

2. Аронов А.М. Лекции по курсу «Педагогические теории и системы», рукопись.

3. Библер В.С. Мышление как творчество. Введение в логику мысленного диалога - М.: 1975г.

4. Библер В.С. Творческое мышление как предмет логики - М.: 1969г.

5. Бондаренко Л.И. У истоков логического мышления. - М.: Знание, 1985. - 64 стр.

6. Вертгеймер М. Продуктивное Мышление. - М.: Прогресс, 1987г.

7. Визуальное мышление в структуре научного познания / Под ред. И.С. Якиманской; Науч.-исслед. Ин-т общей и педагогической психологии Академии пед. наук СССР.- М.: Педагогика, 1989. - 195 стр.

8. Возрастные и индивидуальные особенности образного мышления учащихся / Под ред. И.С. Якиманской; Науч.-исслед. Ин-т общей и педагогической психологии Академии пед. наук СССР.- М.: Педагогика, 1989. - 224 стр.

9. Выготский Л.С. Орудие и знак в развитии ребенка, - http://www.pedlib.ru

10. Выготский Л.С. Общая психология. - http://www.pedlib.ru

11. Выготский Л.С. Умственное развитие детей в процессе обучения. Статьи. Развитие житейских и научных понятий в школьном возрасте. - http://www.pedlib.ru

12. Граник.- М.: 1988, 128-129

13. Давыдов В.В.. В чём различие педагогики и психологии развития. // Материалы III научно-практической конференции «Педагогика развития», - Красноярск, 1997 г.

14. Давыдов В. В. Проблемы Развивающего Обучения. - М.: 1986 г

15. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. - М,: 1996г

16. Давыдова Н.А. О подходах к построению понятия учебного образа; дипломная работа.- Красноярск, 2001.

17. Зайнутдинова Л.Х. Создание и применение электронных учебников. - http://www.pedlib.ru

18. Кларин М.В. (Инновации в мировой педагогике: обучение на основе исследования, игры и дискуссии (Анализ зарубежного опыта)) - Рига, НПЦ «Эксперимент», 1995 - 176 стр.

19. Кларин М.В. Инновации в мировой педагогике. http://www.pedlib.ru

20. Ларичев П.С. Сборник задач по алгебре.- М.: Учпедгиз, 1961.

21. Ленин В.И. Полное собрание сочинений. Т. 29, стр. 227

22. Милер Дж. Образы и модели, уподобления и метафоры. // Теория метафоры. - М., 1990.

23. Пойа Д. Математическое открытие. - М: Изд-во. «Наука», 1970.

24. Простакишина Мария Александровна, Новые подходы к анализу практики Развивающего образования, дипломная работа. - Красноярск 2003.

25. Рузавин Г.И. Методы научного исследования. - М, 1974.

26. Салмина «Знак и символ», - http://www.pedlib.ru

27. Слободчиков В. И., Цукерман Г. А. Генезис рефлексивного сознания в младшем школьном возрасте. Вопросы психологии, № 3-4, 1992 г.

28. Спиркин А.Г. Философия: учебник.- М.:Гардарики,1999

29. Швырев В.С. Научное познание как деятельность. - М., 1984.

30. Щедровицкий Г. П. Избранные труды. - М.: 1995 г.

31. Щедровицкий Г.П. Система педагогических исследований (Методологический анализ). - Касталь, 1992г.

32. Щедровицкий Г.П. Философия. Наука. Методология / Редакторы-составители А.А.Пископпель, В.Р.Рокитянский, Л.П.Щедровицкий - М.: Шк. Культ. Политики - 1997.

33. Эльконин Б. Д. Идеальная форма в психологии развития. // Материалы III научно-практической конференции «Педагогика развития», 1996 г.

34. Якиманская И.С. Образное мышление и его место в обучении // Советская педагогика. 1968. №2.

Размещено на Allbest.ru