Моделирование низкочастотного цифрового фильтра с бесконечной импульсной характеристикой с помощью пакета программ Matlab

Существует множество других практических структур цифровых фильтров, но большинство из них популярны только в определенных сферах. Пример -- решетчатая структура, которая используется в сферах обработки речи и линейного предсказания. Решетчатая структура может использоваться для представления как КИХ-, так и БИХ-фильтров, и в стандартной форме она характеризуется единственным входом и парой выходов. Выведенная из нее решетчатая структура, описывающая N-точечный КИХ-фильтр, показана структура, предназначенная для БИХ-фильтра второго порядка со всеми заданными полюсами (т.е. такого, для которого указаны только коэффициенты знаменателя), представлена на рис. 6.8, в.

Подытожим. КИХ- и БИХ-фильтры обычно реализуются со следующими структурами:

1. трансверсальная (прямая структура) (КИХ);

2. частотная выборка (КИХ);

3. быстрая свертка (КИХ);

4. прямая форма (БИХ);

5. каскадная (БИХ);

6. параллельная (БИХ);

7. решетчатая (КИХ или БИХ).

Для данного фильтра выбор между структурами зависит от следующих факторов: 1) какая требуется характеристика (конечная или бесконечная); 2) простота реализации; 3) насколько структура чувствительна к эффектам конечной разрядности. Более подробно структуры реализации КИХ- и БИХ-фильтров.

Единственной целью большинства методов вычисления (или приближенного вычисления) коэффициентов КИХ-фильтров является получение значений h(n), при которых фильтр удовлетворяет спецификациям, в частности, относящимся к амплитудно частотной характеристике, и требованиям к пропускной способности. Разработано несколько методов получения h(n). Наиболее широко используемыми из них являются метод вырезания, оптимальный метод и метод частотной выборки. Все три метода позволяют получать КИХ-фильтры с линейной фазовой характеристикой.

Метод взвешивания.

В данном методе используется факт, что частотная характеристика фильтра H_D(щ) и соответствующая импульсная характеристика h_D(n) связаны обратным преобразованием Фурье:

,



Индекс D используется, чтобы различать идеальную и практическую импульсные характеристики. Необходимость такого разделения станет понятна несколько позже. Если H_D(щ) известна, h_D(n) можно получить, применив преобразование Фурье к обеим частям уравнения (2.9). Для иллюстрации предположим, что требуется разработать фильтр нижних частот. Начать можно с идеальной фазовой характеристики, представленной на рис. 2.11, а, где щ_c -- частота среза, и шкала частот нормирована (T = 1).

Рисунок - 2.10. Иллюстрация определения коэффициентов фильтра h(n) с помощью метода взвешивания

В частотной области это эквивалентно свертке H_D(щ) с W(щ), где W(щ) -- Фурье-образ w(n). Тогда как W(щ) имеет классический вид функции (sin x)/x, усечение h_D(n) приводит к появлению в частотной характеристике выбросов.

На практике идеальная частотная характеристика h_D множится на подходящую весовую функцию w(n) с конечной длительностью. Таким образом, получающаяся импульсная характеристика гладко затухает до нуля. Данный процесс иллюстрируется на рис. 2.8. На рис. 2.8, а показана идеальная частотная характеристика и соответствующая идеальная импульсная характеристика. На рис. 2.8, б показана весовая функция конечной длительности и ее спектр. На рис. 2.8, в показана функция h(n), которая получается перемножением h_D(n) и w(n). Из соответствующей частотной характеристики видно, что неравномерности и выбросы, характерные для прямого усечения, в значительной степени подавлены. В то же время, ширина полосы перехода больше, чем для прямоугольной функции. Известно, что ширина полосы перехода фильтра определяется шириной основного лепестка весовой функции. Боковые лепестки приводят к появлению неравномерности в полосах пропускания и подавления.

Оптимизационные методы

Метод вычисления оптимальных коэффициентов БИХ-фильтра является чрезвычайно мощным, и благодаря великолепным программам разработки его весьма просто применять. По этим причинам и еще потому, что данный метод дает великолепные фильтры, он широко используется во многих сферах, где требуются БИХ-фильтры. Ниже рассматриваются принципы, на основе которых построен метод, программа разработки и ее применение. Для иллюстрации метода разобрано несколько примеров.

Рисунок - 2.11. Сравнение частотных характеристик: а) фильтра, полученного методом вырезания, б) оптимального фильтра. На панели а колебания характеристики больше на границе полосы; а на панели б колебания имеют равные амплитуды (полосы равных колебаний) в полосе пропускания и подавления.

Разработчик обеспечивает данные базовые составляющие и гарантирует, что они соответствующим образом сконфигурированы под нужное приложение. Способ конфигурирования компонентов напрямую связан с тем, в каком времени будет проводиться обработка (в реальном или модельном (пакетная обработка)). При обработке в модельном времени все данные уже хранятся на каком-то запоминающем устройстве. Такая ситуация, например, характерна для приложений, где нужно получить некоторые экспериментальные данные, а затем их проанализировать. В таких случаях фильтр часто реализуется на языке высокого уровня и запускается на универсальном компьютере, где все основные составляющие уже сконфигурированы. Таким образом, обработку в модельном времени можно описать как исключительно программную реализацию (хотя разработчик может пожелать ввести в процесс дополнительные аппаратные средствадля увеличения скорости обработки).

При обработке в реальном времени от фильтра требуется либо 1) работать при наличии входной выборки x(n) и выдавать выходную выборку y(n) перед поступлением следующей входной выборки (т.е. в пределах межвыборочного интервала), либо 2) работать с входным блоком данных (используя, например, метод БПФ) для получения выходного блока в течение времени, пропорционального длине блока. Фильтрация в реальном времени может требовать быстрого и специфического аппаратного обеспечения, если частота дискретизации очень высока или если необходим фильтр высокого порядка. Для большинства приложений работы с аудиочастотами будет достаточно процессоров ЦОС, подобных DSP56000 (Motorola) или TMS320C25 (TexasInstruments), которые, кстати, допускают достаточную гибкость реализации. В данных процессорах уже вмонтированы все требуемые базовые блоки, включая аппаратные умножители. В некоторых приложениях привлекательную альтернативную реализацию можно получить на стандартных 8- или 16-битовых микропроцессорах, таких как процессоры семейств Motorola 6800 или 68000. Помимо блоков обработки сигналов разработчик может также, в зависимости от типа источника и получателя данных, вводить в фильтр подходящие интерфейсы ввода-вывода.



3. СИНТЕЗ И МОДЕЛИРОАНИЕ ЦИФРОВОГО ФИЛЬТРА В ПРОГРАММНОЙ СРЕДЕ MATLAB

3.1 Применение системы MATLAB для синтеза цифровых фильтров

Система MATLAB -- это интерактивная система предназначенная для компьютерного моделирования практически в любой области науки и техники. В настоящее время к общепризнанным универсальным мировым стандартам в области компьютерных технологий относится программная среда (система) MATLAB, предназначенная для моделирования в самых разных областях науки и техники, в первую очередь, ЦОС. Она была создана в США компанией The MathWorks, Inc. Информация о MATLAB доступна на сайтах.

Основная отличительная черта системы - это легкость ее модификации и адаптации к конкретным задачам пользователя. Пользователь может ввести в систему любую новую команду, оператор или функцию и пользоваться затем ими так же просто, как и встроенными операторами и функциями. При этом нет необходимости в их предварительном описании. Новые программы, функции и процедуры в системе MatLAB сохраняются в виде файлов, имеющих расширение. Это делает набор операторов и функций практически неограниченным.

Широкое распространение MATLAB обусловлено следующими основными достоинствами этой системы;

- алгоритмическим языком "сверхвысокого" уровня за счет матричной обработки данных

- колоссальной библиотекой стандартных функций с возможностью ее расширения функциями, создаваемыми пользователем;

- огромным разнообразием графических средств;

- удобными средствами создания и отладки программ;

- широким набором программных средств общего (ядро MATLAB) и специального (пакеты расширения Toolbox) назначения;

- наличием разнообразных средств GUI (Graphical User Interface -- графический интерфейс пользователя) без использованияь алгоритмического языка в явном виде;

- широким набором средств Simulink общего (ядро Simulink) и специального назначения для блочного моделирования динамских систем.

С системой MatLAB поставляется свыше сотни М-файлов, которые содержат демонстрационные примеры и определения операторов и функций. Эта библиотека, все файлы которой прокомментированы, настоящая сокровищница прекрасных примеров программирования на языке системы. Изучение этих примеров и возможность работы в режиме непосредственных вычислений значительно облегчают знакомство с системой пользователей, заинтересованных в использовании математических расчетов.

К базовым объектам языка MATLAB относятся:

- команды;

- операторы;

- константы;

- переменные;

- функции;

- выражения.

Команда -- это объект языка MATLAB со стандартным именем, предназначенный для взаимодействия с системой MATLAB и имеющий формат:

Наиболее распространенные команды;

Таблица-1 Команды

Команда	Назначение
clc	Очистка окна Com-mand Window
clear	Удаление объектов из Workspace (без содержательной части -- очистка Workspace)
format	Установка формата вывода данных
help	Справка по стандартному объекту MATLAB
load	Загрузка файла с диска в Workspace
save	Сохранение на диске объекта Workspace информации об установленной версии MATLAB и пакетах расширения
what	Вывод содержимого папки (без содержательной части -- текущей папки)
which	пути для нахождения встроенной или внешней функции
who	Вывод содержимого Workspace с дополнительными сведениями

Оператор -- это объект языка MATLAB со стандартным именем, предназначенный для разработки программ. Простейшим оператором является оператор присваивания с форматом:

Константа -- это объект языка MATLAB, имеющий в процессе вычислений неизменное значение. Различают следующие типы констант:

численные, среди которых выделяют:

- целые;

- вещественные;

- комплексные;

- логические;

- символьные.

Целые и вещественные константы могут вводиться в обычной форме с разделением точкой целой и дробной частей:

Переменная -- это объект языка MATLAB, который в процессе вычислений может менять свое значение.

Различают следующие типы переменных:

- простые переменные;

- массивы.

Особенностью MATLAB является то, что тип переменной не объявляется, и любая переменная по умолчанию считается матрицей1. В MATLAB нижняя граница индексов массива равна единице

Таблица-2 Команды

Функция	Назначение
dec2hex(X).	Преобразование десятичного целого в шестнадцатеричное Десятичное число указывается в качестве аргумента, а шестнадцатеричное выводится без апострофов с использованием заглавных букв
dec2bin(X)	Преобразование десятичного целого в двоичное. Десятичное число указывается в качестве аргумента, а двоичное выводится без апострофов
bin2dec(X)	Преобразование двоичного целого в десятичное Двоичное число указывается в качестве аргумента в апострофах, а десятичное выводится без апострофов
hex2dec(X)	Преобразование шестнадцатеричного целого в десятичное Шестнадцатеричное число указывается в качестве аргумента в апострофах с использованием заглавных или строчных букв, а десятичное выводится без апострофов

Выражение -- это объект языка MATLAB, представляющий собой имеющую смысл совокупность констант, переменных и функций, объединенных символами операций.

Интерфейс MATLAB

Command Window (Командное окно) -- основное окно интерактивной системы MATLAB с активизированной командной строкой.

Из активизированной командной строки пользователь может возвращаться к предыдущим строкам с помощью клавиш <^> и <v>.

Сеанс работы в окне Command Window до выхода из MATLAB называют текущей сессией.

Current Folder (Текущая папка) -- в этом окне выводится содержимое папки, имя которой отображается в раскрывающемся списке Current Folder на панели инструментов окна MATLAB.

В составе ранних версий MATLAB (до 2009 г.) содержалась автоматически создаваемая текущая папка со стандартным именем1 work, предназначенная для хранения файлов и папок, создаваемых пользователем. В последующих версиях такая папка отсутствует. Для тех же целей предусмотрена папка MATLAB, автоматически создаваемая в папке Мои документы на рабочем столе.

Создание собственной папки в окне Current Folder выполняется с помощью контекстного меню по команде New Folder (Новая папка), и новой папке присваивается имя. После вызова MatLAB из среды Windows на экране появляется командное окно среды MatLAB (рисунок 2)

Рисунок- 3.1 Командное окно системы MatLAB

Это окно является основным в MatLAB. В нем отображаются символы команд, которые набираются пользователем на клавиатуре, результаты выполнения этих команд, текст исполняемой программы, а также информация об ошибках выполнения программ, распознанных системой.

Признаком того, что программа MatLAB готова к восприятию и выполнению очередной команды, является наличие в последней строке текстового поля окна знака приглашения ( » ), после которого стоит мигающая вертикальная черта.

В верхней части окна (под заголовком) размещена строка меню, в которой находятся меню File, Edit, Windows, Help. Под главным меню размещена панель инструментов с пиктограммами, которые позволяют выполнять некоторые наиболее часто используемые операции.

Открытие меню осуществляется щелчком мыши. Чтобы выбрать какую-либо команду меню, достаточно установить курсор на имени команды и нажать левую кнопку мыши (выполнить щелчок).

1) Меню File (Файл) включает команды, которые позволяют выполнять следующие задачи:

- создание, редактирование и запуск программ;

- управление рабочим пространством MatLAB;

- изменение оформления графических и диалоговых окон;

- управление путями доступа MatLAB и оформление самого командного окна;

- управление выводом на печать;

- выход из системы MatLAB.

Команды разбиты на группы в соответствии со своим назначением. Последняя группа включает только одну команду Exit MATLAB (Выход из MatLAB). Она предназначена для завершения работы MatLAB и выхода в среду Windows.

В меню File также находится перечень последних M-файлов, который запоминается при завершении сеансов работы с MatLAB и автоматически отображается при новом запуске программы. Эта особенность удобна, так как позволяет быстро вызвать программу, с которой пользователь работал в последнее время.

2) Меню Edit (Правка) содержит команды, позволяющие выполнить различные манипуляции с текстом - копирование, удаление, перемещение. Это меню включает 7 команд;

Undo (Отменить предыдущую команду);

Cut (Вырезать);

Copy (Скопировать);

Paste (Вставить);

Clear (Очистить);

Select All (Отметить все);

Clear Session (Очистить командное окно).

3) Меню Window здесь находится перечень открытых в среде MatLAB окон. Чтобы перейти к нужному окну, достаточно выбрать его из меню Window.

4) Меню Help данное меню включает команды, которые позволяют обращаться к системе помощи MatLAB.

Команды общего назначения набираются с клавиатуры в командном окне после знака приглашения ( » | ). Выполняются они после нажатия клавиши [Enter].

Эти команды удобно разделить на такие группы:

- управляющие команды и функции;

- команды управления переменными и рабочим пространством;

- команды работы с файлами и операционной системой;

- команды управления командным окном;

- команды запуска и выхода из MatLAB;

- команды получения общей информации.

Рассмотрим некоторые из этих команд и функций:

help Вывод на экран описания указанной программы или функции;

demo Запуск программы демонстрации возможностей MatLAB;

ver Информация о поставленной версии MatLAB, SimuLink и Toolbox

info Получение информации о MatLAB и фирме MathWorks, Inc;

ltiview Запуск интерактивного обозревателя пакета Control;

sptool Запуск интерактивной оболочки SPTool;

quit Выход из MatLAB.

Первая группа команд меню File состоит из команд New, Open, Open selection, Run script, Debug.Команда New (Новый) позволяет перейти к созданию нового объекта среды MatLAB - M-файла (текстового файла на языке MatLAB), графического файла (фигуры) или файла модели (Model).

После выбора команды New открывается подменю, включающее команды M-file, Figure, Model. Вызов команды M-file приводит к появлению нового активного окна - окна текстового редактора (рисунок 3) Это окно предназначено для ввода текста нового M-файла с помощью процедур MatLAB. После завершения ввода и редактирования текста следует сохранить его на диске, для чего в меню Файл (File) окна текстового редактора следует выбрать команду сохранить (Save).

Рисунок 3.2 Окно редактора-отладчика программ

Если в подменю команды New командного окна MatLAB выбрать команду Figure, на экране появится графическое окно Figure и система будет готова к восприятию команд по оформлению этого графического окна.

Наконец, при выборе команды Model система MatLAB переходит в интерактивный режим пакета SimuLink (Имитация связей). На экране появляются два окна - окно Library: simulink, позволяющее выбрать в интерактивном режиме любую функцию из представленной библиотеки пакета SimuLink, и окно редактора блок-схемы связей, в верхнем заголовке которого указано имя файла схемы связей (сначала указано Untitled - Без имени). Файл схемы связей должен иметь расширение mdl. Более подробно о создании и использовании MDL-файлов

Вызов из меню File командного окна команды Run Script (Выполнить сценарий) приводит к появлению диалогового окна с приглашением ввести имя М-файла программы, которую нужно запустить на выполнение. После ввода имени Script-файла и нажатия кнопки OK эта программа будет запущена на выполнение.

Меню Help в командном окне позволяет обратиться к системе помощи MatLAB. Рассмотрим некоторые из этих команд.

Команда Help Window (окно помощи) вызывает окно MatLAB Help Window, которое содержит список файлов, включающих перечни названий процедур и функций. Этот список приведен в приложении. Выбор одного из файлов приводит к появлению в этом же окне перечня процедур, входящих в его состав, а выбор названия одной из процедур - к открытию окна с описанием этой процедуры.

Выбор команды Help Desk (HTML) (Стол помощи) приводит к появлению окна MatLAB Help Desk, которое позволяет привлечь для справок сеть Internet.

Команда Examples and Demos (Примеры и демонстрационные программы) открывает окно MatLAB Demo Window, в котором можно ознакомиться с примерами применения основных процедур системы MatLAB, ее вычислительными графическими возможностями, а также с текстами программ, при помощи которых достигаются демонстрируемые результаты.

Аналогичные окна помощи можно получить, набрав соответствующие команды непосредственно в командном окне после знака приглашения ( » | ).

MATCAD - система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается легкостью использования и применения для коллективной работы. Mathcad имеет простой и интуитивный для использования интерфейс пользователя. Для ввода формул и данных можно использовать как клавиатуру, так и специальные панели инструментов. Несмотря на то, что эта программа в основном ориентирована на пользователей-непрограммистов, Matchad также используется в сложных проектах, чтобы визуализировать результаты математического моделирования, путем использования распределенных вычислений и традиционных языков программирования. Также Mathcad часто используется в крупных инженерных проектах, где большое значение имеет трассируемость и соответствие стандартам.

Mathcad достаточно удобно использовать для, обучения, вычислений и инженерных расчетов. Открытая архитектура приложения в сочетании с поддержкой технологий. NET и XML позволяют легко интегрировать Mathcad практически в любые ИТ - структуры и инженерные приложения. Есть возможность создания электронных книг (e-Book).

Среди возможностей Mathcad можно выделить:

- Решение дифференциальных уравнений, в ом числе и численными методами;

- Построение двумерных и трехмерных графиков функций (в разных системах координат, контурные, векторные и т.д.);

- Использования греческого алфавита как в уравнениях, так и в тексте;

- Выполнения вычисления в символьном режиме;

- Символьное решение систем уравнений;

- Аппроксимация кривых;

- Выполнения подпрограмм;

- Поиск корней многочленов и функций;

- Проведение статистических расчетов и работа с распределением вероятностей;

- Поиск собственных чисел и векторов;

- Вычисления с единицами измерения;

- Интеграция с САПР системами, использование результатов вычислений в качестве управляющих параметров.

С помощью Mathcad инженеры могут документировать все вычисления алгебры, то есть средств автоматизации математических расчетов. В этом классе программного обеспечения существует много аналогов различной направленности и принципа построения. Наиболее часто Mathcad сравнивают с такими программными комплексами, как Maple, Matchematica, MATLAB, а также с их аналогами MuPAD, Scilab, Maxima и др. Впрочем, объективное сравнение осложняется в связи с разным назначением программ и идеологией их использования. Основное отличие Mathcad от аналогичных программ-это графический, а не текстовый режим ввода выражений. Для набора команд, функций, формул можно использовать как клавиатуру, так и кнопки на многочисленных специальных панелях инструментов. В любом случае - формулы будут иметь привычный, аналогичный книжному, вид. То есть особой подготовки для набора формул не нужно. Вычисления с введенными формулами осуществляются по желанию пользователя или мгновенно, одновременно с набором, либо по команде. Обычные формулы вычисляются слева направо и сверху вниз (подобно чтению текста). Любые переменные, формулы, параметры можно изменять, наблюдая воочию соответствующие изменения результата. Это дает возможность организации действительности интерактивных вычислительных документов.

В среде Mathcad фактически нет графиков функций в математическом понимании термина, а есть визуализация данных, находящихся в векторах и матрицах (то есть осуществляется построение как линий, так и поверхностей по точкам с интерполяцией), хотя пользователь может об этом и не знать, поскольку у него есть возможность использования непосредственно функций одной или двух переменных для построения графиков или поверхностей соответственно. Так или иначе, механизм визуализации Mathcad значительно уступает таковому у Maple, где достаточно иметь только вид функции, чтобы построить график или поверхность любого уровня сложности. По сравнению с Maple, графика Mathcad имеет ещё такие недостатки, как: невозможность построения поверхностей, заданных параметрический, с непрямоугольной областью определения двух параметров; создание и форматирование графиков только через меню, что ограничивает возможности программного управления параметрами графики. Однако следует помнить об основной области применения Mathcad - для задач инженерного характера и создание учебных интерактивных документов, возможностей визуализации вполне достаточно. цифровой фильтрация сигнал импульсный



3.2 Синтез и моделирование цифровых фильтров в среде MATLAB

Визуальное проектирование фильтров - самый простой способ получения их характеристик. Одни и те же средства визуального проектирования позволяют совместно использовать пакеты Filter Design Toolbox и Signal Processing Toolbox. Программы GUI (Graphic User Interface - графический интерфейс пользователя) - это интерактивные системы, предназначенные для моделирования сигналов, устройств и процессов с графическим выводом результатов.

GUI SPTool (Signal Processing Toolbox) представляет собой типичную GUI-программу, предназначенную для моделированиецифровой фильтрации, которая включает в себя следующие операции:

- Импортирование входного сигнала и анализ его спектра;

- синтез ЦФ и анализ его характеристик;

- моделирование процесса фильтрации;

- анализ выходного сигнала и его спектра;

- экспортирование результатов моделирования в MATLAB.

Обращение к GUI-программе осуществляется после записи её имени в командном окне MATLAB:

>>sptool

Рассмотрим последовательность действий при решении типочной задачи ЦОС - фильтрации сигнала с помощью программы SPTool.

Синтез цифрового фильтра

После обращения к программе SPTool в командном окне MATLAB открывается первое окно (SPTool: startup.spt - рис.14.17), состоящее их трех полей: Signals, Filters, Spectra.

Поле Filters содержит 4 кнопки:

-View- просмотр характеристик фильтра;

-New Design - синтез нового фильтра;

-Edit Design - изменение требований к фильтру и его синтез без изменения имени фильтра;

Apply- моделирование процедуры фильтрации сигнала, имя которого выделено в поле Filters.

В поле Filters содержатся имена синтезированных ранее и сохраненных ЦФ;

Если они отсутствуют, активизирована только кнопка New Design.

После нажатия кнопки New Design открывается второе окно (Filter Designer - рисунок 14.18), в котором могут выполняться следующие действия:

Ввод исходных данных для синтезируемого ЦФ (на левом поле Specifications):

-частота дискретизации в Гц (Sampling frequency);

-тип избирательности фильтра (Type):

lowpass - ФНЧ;

highpass - ФВЧ;

bandpass - полосовый фильтр (ПФ);

bandstop - режекторный фильтр (РФ)

- вид фильтра и метод аппроксимации (Algorithm).

Для синтеза нерекурсивных ЦФ может быть выбран один из следующих методов:

Equiripple FIR - оптимальной фильтрации Чебышева;

Least Square FIR - наименьших квадратов;

Kaiser Window FIR - окон Кайзера.

При синтеза рекурсивных ЦФ используется метод билинейного преобразования со следующими типами аппроксимации:

Butterwhorth II R - Баттерворта;

Сhebyshev Type 1 IIR - Чебышева 1-го типа;

Сhebyshev Type 2 IIR - Чебышева 2-го типа;

Elliptic II R - эллиптический (Золотарёва - Кауэра).

- Требования к характеристике ослабления (затухания):

в полосе пропускания (Passband):

граничная частота (или частоты) в Гц;

максимально допустимое ослабление (затухание) в дБ.

в полосе (или полосах) задерживания (Stopband):

граничная частота (или частоты) в Гц;

минимально допустимое ослабление (затухание) в дБ.

Синтез ЦФ по введённым требованиям производится после нажатия

Кнопки Auto Design ( внизу на левом поле Specifications).

Для вывода данных о синтезированном ЦФ используются следующие элементы:

- график АЧХ (в центре - Frequency Responce);

- порядок ЦФ (Order - на правом поле Measurements);

- действительное отклонение в полосах пропускания (Passband) и задерживания (Stopband) - на правом поле Measurements;

- веса (Weight) в полосах пропускания (Passband) и задерживания (Stopband) - на правом поле Measurements;

- имя синтезированного ЦФ (на левом поле Specifications в окне Filter Designer ). Имена задаютсяавтоматически - filt1,filt2, и т.д

Меню второго окна (Filter Designer):

File:

Close - закрыть окно;

Window:

0. MATLAB -

1. Filter Design - окно Filter Design;

2. SPTool: startup.stp - выход в окно SPTool: startup.stp.

После синтеза ЦФ окно Filter Designer закрывается, и пользователь вновь оказывается в первом окне (SPTool: startup.stp.) Если никаких других действий не предполагается, данное окно следует закрыть; при этом автоматически запрашивается необходимость сохранения результатов сессии (в общем случае синтезированных фильтров, импортированных входных м вычисленных выходных сигналов, вычисленных спектров) и пользователь нажимает соответсвующую кнопку. Информация о синтезированном ЦФ в виде массива записей хранится в файле filtN. Если после выхода из окна Filter Designer необходимо изменить требования к сохранённому фильтру ( по существу заново синтезировать ЦФ) и сохранить новый фильтр под старым именем , то следует в первом окне (SPTool: startup.stp) в поле Filters выделить имя фильтра, нажать кнопку Edit Design и внести требуемые изменения.

Рисунок 3.6 Третье окно GUI-программы SPTool(Ffilter Viewer)

Анализ характеристик синтезированного ЦФ

Для анализа характеристик синтезированного ЦФ нужно выполнить слудующие действия:

В поле Filters первого окна (SPTool: startup.stp) выделить имя ЦФ.

Нажать кнопку View.

В результате откроется третье окно (Filter Viewer - рисунок 14.19) , содержащее следующие элементы:

-имя фильтра (сверху слева - Ffilter);

-частоту дискретизации (сверху слева - Fs);

-графики (в центре окна), отмеченные галочкой на левом поле Plots:

Phase - ФЧХ;

Group Delay - групповое время запаздывания (ГВЗ);

Zeros and Poles - карта нулей и полюсов;

Impulse Responte - импульсная характеристика;

Step Responte - переходная характеристика.

В окне Ffilter Viewer предусмотрены следующие возможности масштабирования графиков:

-изменить единицы измерения или масштаб по оси у - на левом поле Plots:

для АЧХ - Magnitude;

для ФЧХ - Phase;

-изменить масштаб по оси абсцисс (одновременно для всех графиков) - на левом поле Frequency Axis:

Scale:

-изменить диапазон частот, на котором строится графики (одновременно для всех графиков) - на левом поле Frequency Axis:

Range.

В окне Ffilter Viewer имеется возможность работы со следующими инструментами Selection:

-Color - изменение цвета графиков (всех одномерно);

-Rulers - выбрать один из 6 графиков , для которого с целью проведения точных измерений используются перемещаемые маркерные линии:

- Vertical markers - сплошная и пунктирная прямые вертикальные линии; при этом автоматически фиксируются значения соответствующих аргументов х1,х2 и разности dx между ними;

- Horizantal markers - сплошная и пунктирная прямые вертикальные линии; при этом автоматически фиксируются значения соответствующих аргументов y1,y2 и разности dy между ними;

- Vertical markers with Tracking - сплошная и пунктирная прямые вертикальные линии и отметка на графике точек пересечения с маркерными линиями; при этом автоматически фиксируются значения соответствующих аргументов x1,x2, функций y1,y2 и разностей dx,dy между ними;

- Vertical markers with Tracking and Spole - по сравнению Vertical markers with Tracking появляется дополнительная линия, соединяющая отмеченные на графике точки, и автоматически фиксируется значение тангенса угла наклона этой линии к оси абсцисс;

- Reaks - отметка максимумов на графике;

- Valley - отметка минимумов на графике.

Создание входного сигнала

Источником сигнала для SPTool может быть либо рабочее пространство Workpase, если сигнал создаётся непосредственно в командном окне MATLAB, либо диск (Disk), если сигнал создаётся как m-файл.

Например, для создания дискретного входного сигнала, состоящего из двух синусоид с частотами 500 Гц и 750 Гц в смеси с шумом, в командном окне MATLAB нужно набрать следующие команды:

>>Fd=2000;

>>f1=500;

>>f2=750;

>>w1=2*pi*f1/Fd;

>>w2=2*pi*f2/Fd;

>>n=1:1000;

>>x=1*sin(w1*n) + 1.5*sin(w2*n);

>>y=rand(1,length(x))

>>sum=x+y;

Импортирование входного сигнала в SPTool

Для импортирования входного сигнала нужно в первом окне (SPTool:startup.stp) войти в меню (сверху) File - Import. После этого открывается четвёртое окно (Import to SPTool - рис 14.20), в котором следует в поле Source (слева ) отметить точкой , откуда импортируется сигнал - From Workpace или From Disk.

Для импортирования сигнала из From Workspace необходимо выполнить следующие действия:

- в поле Workspace Contents выделить имя сигнала (например sum);

- выделить имя импортируемого сигнала и нажать кнопку со стрелкой (-->) , что является указанием рассматривать сигнал (например sum) как данные (Data);

- в поле четвертого окна справа ввести следующие:

Import As - Signal;

Sampling Frequency - частоту дискретизации fд;

Name - имя сигнала в SPTool (например sig3);

- Нажать кнопку OK.

Рисунок 3.7 Четвертое окно GUI- программы SPTool(Import to SPTool)

Для импортирования сигнала из From Disk необходимо выполнить следующие действия:

- В поле Source нажать активированную кнопку Browse, в результате чего откроется пятое окно (Select File to Open - рисунок 3.8);

При выходе из программы SPTool автоматически запрашивает сохранить данные (сигналы, фильтры, спектры). В случае ошибки сохраняются в файлах со своими именами в папке work\startup.spt.

Проверить содержание папки work можно через программу. Сохраненные файлы могут использоваться для последующей работы. Для использования в MATLAB данных, сохранённых при выходе необходимо осуществить их экспорт в MATLAB.

3.3 Синтез и моделирование цифровых фильтров нижних частот в среде MATLAB

Виртуальная лаборатория - это программный комплекс, целью которой является предоставление учащимся возможности освоить теоретический материал по дисциплине «Цифровая обработка материалов».

Реализованы следующие лабораторные работы:

1. исследование цифровых фильтров с бесконечной импульсной характеристикой;

2. методы реализации и программная реализация БИХ-фильтров;

Каждая лабораторная работа состоит из нескольких разделов. В разделе «Теоретическая часть» представлены сведения о работе фильтра, о амплитудно-частотных характеристиках идеального и реального фильтра. Прежде чем приступить к выполнению лабораторной работе студент должен самостоятельно проработать лекционный материал по теме работы, изучить основные теоретические положения и расчетные соотношения, приведенные в описании работы. Перейти к выполнению виртуальной лабораторной работы студент сможет только после прохождения тестового контроля на допуск. Тесты для прохождения контроля находятся в разделе «Тесты». В тестах даны условия задач, вопросы и несколько вариантов ответа.

В разделе «Порядок выполнения работы» представлены варианты лабораторной работы и ход описание работы.

Описание хода лабораторной работы

Исследование характеристик БИХ- фильтров в программе FDATool.

1. Запустите MATLAB (ярлык на рабочем столе).

2. Запустите приложения FDATool (см. методичискиерекомендации).

3. В главном окне программы выберите:

- тип проектируемого фильтра («Lowpass» - НЧ, «Highpass» - ВЧ, «Bandpass» - полосовой, « Bandstop» - режекторный );

- метод проектирования : метод равноволновой аппроксимации (Equiripple -- «Parks-McClellan» (Паркса-- Мак-Клеллана));

- флажок расчет минимального порядка фильтра;

-единицы измерения и параметры частотной избирательности желаемой АЧХ фильтра по таблице 1.2.

4. Рассчитайте проектируемый фильтр, нажав кнопку Design Filter

5. Зафиксируйте рекомендуемый по методу Паркса--Мак-Клеллана порядок N _pm КИХ-фильтра.

6. Исследуйте характеристики КИХ-фильтра, рассчитанные по методу Паркса--Мак-Клеллана (см. методические рекомендации). Результаты экспериментальных исследований занесите в таблицу. 1.1. Сохраните АЧХ фильтра для отчета.

7.Аналогично исследуйте фильтр оконными методами. Для этого в главном окне программы выберите:

тип проектируемого фильтра («Lowpass» -- НЧ, «Highpass»-- ВЧ);

оконный метод проектирования: метод равноволновой аппроксимации (Window);

порядок фильтра, соответствующий минимальному порядку, рассчитанному по методу Паркса--Мак-Клеллана;

единицы измерения и параметры частотной избирательности желаемой АЧХ фильтра по таблице 1.2;

в разделе дополнительных опций укажите оконный метод,

по которому будет рассчитан фильтр.

Выполнить исследование следующим оканными методами:

Blackman (Блэкмана), Chebyshev (Чебышева), Hamming (Хэмминга) Kaiser (Кайзера), Triangular (треугольным) Hann (Хэннинга).

8. Рассчитайте проектируемый фильтр, нажав кнопку Design Filter.

9. Зафиксируйте в таблице значения неравномерности АЧХ, уровня затухания в зоне непрозрачности, перерегулирования, для каждого из исследуемого оконного метода.

10. Выберите наилучший оконный метод, сохраните АЧХ для отчета.

11. Для выбранного оконного метода увеличите, а затем уменьшите (N = 20-50) порядок. Сравните АЧХ, заполнив очередную строку в таблице. Рассмотрите, как изменяется ИХ и переходной процесс. Сделайте выводы.

12. Для метода Паркса- Мак-Клеллана измените исходные данные таким образом, чтобы увеличилась или уменьшилась узкополосность АЧХ фильтра(при неизменном уровне затухания, неравномерности АЧХ и её прямоугольности). Запишите новый рекомендуемый порядок, неравномерность в полосе пропускания, уровень затухание и перерегулирование в таблицу.

13. Для метода Паркса- Мак-Клеллана измените исходные данные таким образом, чтобы увеличилась или уменьшилась прямоугольность АЧХ фильтра(при неизменном уровне затухания, неравномерности АЧХ и её узкополосности).

Запишите новый рекомендуемый порядок неравномерность в полосе пропускания, уровень затухание и перерегулирование в таблицу.

14. Аналогично повторите проектирование для второго фильтра(полосового или режекторного, в зависимости от номера бригады), выполнив п.3 - п.10.

После этого открывается главное окно программы. На рисунке приведены кнопки панели инструментов главного окна программы. Слева от полей ввода отображены кнопки переключающие режимы работы программы (рисунок ). При запуске приложения по умолчанию, автоматически отображается режим проектирования фильтра. При выборе различных режимов внешний вид области ввода исходных данных изменяется.

1. в главном окне фильтра выбирете:

- тип проектируемого фильтра

Рассмотренные выше функции синтеза ЦФ требуют задания в качестве входных параметров порядка фильтра n и его частоты среза w0. При этом понятие частоты среза для фильтров разных типов определяется по-разному. Однако исходными данными при разработке фильтров, как правило, являются другие параметры: граничные частоты полос пропускания и задерживания, а также допустимая неравномерность АЧХ в полосе пропускания ) и минимально необходимое затухание в полосе задерживания ).

Рассчитать минимально необходимый порядок дискретного фильтра позволяют следующие однотипные функции пакета Signal Proccessing:

[n, Wn] = buttord ( ) ;

[n, Wn] = cheb1ord ( ) ;

[n, Wn]= cheb2ord ( ) ;

[n, Wn]= ellipord ( ) .

Данные функции позволяют выбирать порядок как для аналоговых, так и для дискретных фильтров. Отсутствие строки 's' в конце списка параметров является признаком расчёта дискретного фильтра, а наличие - признаком расчёта аналогового фильтра.

Параметры и задают в децибелах допустимую неравномерность АЧХ в полосе пропускания и минимально необходимое затухание в полосе задерживания соответственно.

Параметры и задают граничные частоты полос пропускания и задерживания, нормированные к частоте Найквиста = / 2 = 1 / (2T); способ задания этих параметров зависит от типа проектируемого фильтра:

- ФНЧ: и - числа, при этом должно выполняться неравенство < ;

- ФВЧ: и - числа, при этом должно выполняться неравенство > ;

- полосовой фильтр: и - двухэлементные векторы, при этом должны выполняться неравенство (1) < (1) < < (2);

- режекторный фильтр: и - двухэлементные векторы, при этом должны выполняться неравенство (1) < (1) < < (2).

Выходными параметрами являются минимально необходимый для выполнения заданных требований порядок фильтра n и частота среза фильтра Wn, нормированная к частоте дискретизации. Эти параметры должны затем использоваться при вызове функции расчёта фильтра.

Поскольку порядок фильтра - величина целочисленная, то обычно оказывается, что фильтр минимально необходимого порядка обеспечивает некоторый запас по исходным параметрам. Этот запас можно использовать по-разному - либо сделать неравномерность АЧХ в полосе пропускания точно равной заданной , но увеличить затухание в полосе задерживания, либо точно выдержать заданной, но увеличить затухание в полосе задерживания, уменьшив при этом неравномерность АЧХ в полосе пропускания. Для эллиптических фильтров возможен ещё один вариант - сужение переходной полосы за счёт расширения полосы задерживания.

Комплексная частотная характеристика H () цифрового (дискретного) линейного фильтра (КЧХ) определяется из передаточной функции H(z) при z =.

Функция freqz реализует расчет комплексной частотной характеристики. В простейшем виде эта функция используется следующим образом:

freqz (a,b).

Входные параметры a и b - векторы коэффициентов передаточной функции фильтра H(z) в дробно-рациональной форме.

При расчёте используются нормированные значения частоты w=щT, при этом нормированная частота дискретизации . По умолчанию выбирается 512 отсчётов нормированной частоты w, равномерно распределённых в интервале от 0 до .

При отсутствии выходных параметров функция freqz строит графики частотных характеристик ЦФ: АЧХ в децибелах и ФЧХ в градусах.

Если при вызове функции freqz указаны выходные параметры:

[h,w] = freqz (a,b)

То построение графиков не производится. В векторе h возвращаются рассчитанные значения КЧХ, а в векторе w - использованные при расчетё значения нормированных частот w= щT.

Для того чтобы задать количество частотных точек для расчета, используется третий входной параметр n (нормированные частоты по - прежнему равномерно распределены в интарвале от 0 до ):

[h,w] = freqz (a,b,n).

Можно заставить функцию freqz использовать значения нормированных частот w= щT, равномерно распределённых в интервале от 0 до , т.е. до частоты дискретизации . Это необходимо при анализе комплексных ЦФ, частотные характеристики которых не являются симметричными. Такое указание даётся функции freqz с помощью четвёртого входного параметра - строки `whole':

[h,w] = freqz (a,b,n, `whole').

Наконец, можно задать вектор нормированных частот w для расчёта КЧХ:

[h,] = freqz (a,b, w).

Использовние второго выходного параметра w в этом случае не имеет смысла, поскольку вектор частот задан на входе. При вызове графиков ФЧХ дискретных фильтров с помощью функции freqz для устранения «фиктивных» разрывов (скачков) характеристики, о которых следует применять функцию построения графиков фазочастотных характеристик unwrap: phi = unwrap (phi).

Функции преобразования способов описания дискретных систем. Для преобразования описаний дискретных линейных систем в трёх формах - дробно-рациональной, нуль-полюсной и в пространстве состояний - в пакете Signal Processing используются те же шесть функций, что и для преобразования описаний аналоговых систем.

- функция tft2zp преобразует дробно-рациональную форму представления передаточной функции в нуль-полюсную форму: [z,p,k] = tf2zp (a,b);

- функция tft2tf преобразует нуль-полюсную форму представления передаточной функции дробно-рациональную форму: [a,b] = zp2tf (z,p,k);

- функция tft2ss преобразует дробно-рациональную форму описания передаточной функции в параметры представления в пространстве состояний: [A,B,C,D] = tf2s (a,b);

- функция ss2tf пребразует параметры в параметры представления системы в пространстве состояний в дробно-рациональную форму передаточной функции: [a,b] = ss2tf (A,B,C,D);

- функция zp2ss преобразует нуль-полюсную форму передаточной функции в параметры представления дискретной линейной системы в пространстве состояний: [A,B,C,D] = zp2ss (z,p,k);

- функция ss2zp преобразует параметры представления дискретной системы в пространстве состояний в нуль-полюсную форму описания передаточной функции: [z,p,k] = ss2zp (A,B,C,D).

Единственная особенность использования этих функций в дискретном случае состоит в том, что векторы a и b, составленные из коэффициентов полиномов числителя и знаменателя дробно-рациональной передаточной функции, должны иметь одинаковый размер, т.е. порядки числителя и знаменателя функции eqtflength, дополняющая нулями в конце более короткий из переданных ей векторов: [a1,b1] = eqtflength (a,b).

Функция resiquez обеспечивает преобразование передаточной функции из дробно-рациональной формы в форму в виде простых дробей и обратно: из формы в дробно-рациональную форму. Её отличие от функции resique, рассмотренной для цифровых систем, состоит в форме представления простых дробей. Функция resique использует формулу разложения, а функция resiquez - формулу. Функция resiquez может выполнять преобразования в обе стороны. Направление преобразования зависит от числа входных параметров: [r,p,k] = residuez(a,b) или [a,b] = residuez(r,p,k). Здесь a и b - векторы коэффициентов полиномов числителя и знаменателя передаточной функции; p - вектор-столбец полюсов; r - вектор-столбец соответствующих им вычетов; k - вектор-строка коэффициентов целой части передаточной функции. Представление передаточной функции в виде суммы простых дробей соответствует параллельной форме реализации дискретного фильтра.

Согласно каскадная реализация ЦФ возможно в виде последовательного соединения блоков первого порядка. Однако часть этих блоков может оказаться с комплексными коэффициентами. По этой причине при каскадной реализации вещественных ЦФ их делят на секции второго порядка. При этом пары комплексно-сопряженных полюсов и нулей объединяются и образуют каскады второго порядка. В этом случае передаточные функции H(z) цифровых ФНЧ и ФВЧ будут иметь вид, а полосового и режекторного фильтров.

В пакете Signal Processing имеется шесть функций, осуществляющих преобразование описание дискретной системы между набором секций второго порядка и другими формами описания: tf2sos, zp2sos, ss2sos, sos2tf, sos2zp,sos2ss. Имена этих функций построены так же, как и имена других функций преобразования описаний систем; аббревиатура последовательной формы - sos (second order sections):

- функция преобразует коэффициенты полиномов числителя и знаменателя дробно-рациональной формы представления передаточной функции в секции второго порядка: [sos,g] = tf2sos (a,b, `order', `scale');

- функция преобразует нуль-полюсную форму передаточной функции в секции второго порядка: [sos,g] = zp2sos (z,p,k, `order', `scale');

- функция преобразует параметры представления дискретной линейной системы в пространстве состояний в каскадное соединение секций второго порядка: [sos,g] = ss2sos (A,B,C,D, `order', `scale');

-функция преобразует секции второго порядка в дробно-рациональную форму представления передаточной функции: [a,b] = sos2tf (sos,g);

-функция преобразует секции второго порядка в нуль-полюсную форму описания передаточной функции: [z,p,k] = sos2zp (sos,g);

- функция преобразует секции второго порядка в параметры представления системы в пространстве состояний: [A,B,C,D] = sos2ss (sos,g).

Набор секций второго порядка представляется с помощью шестистолбцовой матрицы sos, каждая строка которой соответствует одной секции и устроена следующим образом:

[ 1 ].

Такой строке соответствует передаточная функция секции второго порядка.

.

Параметр g - дополнительный множитель (gain), добавляемый к передаточной функции, составленной из секций (блоков) второго порядка. Этот параметр при вызове может опускаться, для входного параметра g это означает использование значения по умолчанию g = 1, а для выходного - учёт этого коэффициента в первой секции фильтра.

Преобразование описания из набора секций второго порядка в какую-либо другую форму sos2xx является однозначным, а обратное преобразование- xx2sos - нет. Дело в том, что группировать полюсы и нули для формирования секций второго порядка можно разными способами, можно менять порядок включения секций и по-разному распределять коэффициент усиления между ними (например, если у одной секции все коэффициенты (i=0,2) в одинаковое число раз увеличить, а у другой - во столько же раз уменьшить, результирующая передаточная функция ЦФ останется неизменной).

Группировка полюсов и нулей функциями xx2sos выполняется следующим образом. Прежде всего выделяются комплексно-сопряженные пары нулей и полюсов передаточной функции. Эти пары образуют соответственно числители и знаменатели передаточных функций блоков второго порядка, причём для каждой секции выбирается пары нулей, расположенных ближе всего к паре полюсов секции. Для вещественных полюсов и нулей применяется аналогичный подход: в пары группируются максимально близкие полюсы и нули.

Приведём примеры расчета цифровых фильтров с использованием рассмотренных выше функций.

Пример. Спроектировать цифровой ФНЧ с частотной характеристикой Баттерворта при следующих исходных данных:

- граничная частота полосы пропускания =1,0 кГц;

- максимальное затухание в полосе пропускания = 3 дБ;

- граничная частота полосы задерживания = 1,5 кГц;

- минимальное затухание в полосе задерживания =40 дБ;

- частота дискретизации =5,0 кГц;

Для синтеза фильтра при представлении передаточной функции в виде каскадного соединения секций второго порядка и расчёта его АЧХ в командном окне MATLAB нужно набрать следующие команды:

> >Fs=5000;

>> fp=1000;

>> fs=1500;

>> Rp=3;

>> Rs=40;

>> [n, Wn]=buttord(2*fp/Fd,2*fs/Fd,Rp,Rs);

>> [a,b]=butter (n, Wn);

>> [sos,g]=tf2sos (a,b,,'up','none');

>> [h,w]=freqz(a,b);

>> plot(w/(2*pi),20*log10(abs(h)));

>> grid on

Расчет фильтра осуществляется нажатием кнопки Design Method, в нижней части окна (под полями ввода). Во время расчета в строке состояния высвечивается надпись «Design Filter…», после завершения расчета фильтра надпись меняется на «Design Filter…Done».

Рассчитанные параметры синтезированного фильтра следующие: N=6; g=0,0259;

1-секция: а0=1; а1=-2; а2=1; b0=1; b1=0,904; b2=0,3763;

2-секция: а0=1; а1=-2,0043; а2=1,0043; b0=1; b1=-0,0226; b2=0,6701;

3- секция: а0=1; а1=-1,9957; а2=0,9957; b0=1; b1=-0,5662; b2=0,9021.

На рисунке 3.9 приведена амплитудно - частотная характеристика спроектированного цифрового фильтра нижних частот.

Рисунок 3.9 - Амплитуда - частотная характеристика

На рисунке 3.10 приведена фаза- частотная характеристика синтезированного фильтра нижних частот

Импульсная характеристика и карта нулей приведены на рисунке 3.11 и 3.12

Полученные амплитудно-частотные характеристики синтезированных цифровой фильтр отвечают заданным техническим требованиям.



4. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ОБОСНОВАНИЕ

4.1 Обоснование тем с элементом научно-исследовательского характера

Любое научное исследование, вне зависимости от его масштабов, должно носить программно-целевой характер, отличаться новизной, выполняться на современном оборудовании и обеспечивать высокий экономический эффект. При этом научный результат должен быть получен в заданные сроки с минимальными материальными, энергетическими, денежными и трудовыми затратами. Последнее в большей мере зависит о надлежащей организации, планирования и управления исследованиями и разработками.

В данной части дипломной работы рассматривались этапы научно-исследовательской работы Цос, определялась их трудоемкость по методу прямого счета, производился расчет сметы затрат на НИР.