Разработка и исследование методов компенсации динамической температурной погрешности интегральных тензопреобразователей

Если ГХ задается таблицей, то при ее составлении лишь выполняют обработку результатов наблюдений в каждой точке - для входной величины и соответствующей выходной величины порознь (по обычным правилам обработки результатов наблюдений при прямых или косвенных измерениях, причем нет дополнительной обработки набора экспериментальных данных в целом).

Если ГХ задается в аналитическом виде (формулой), то кроме обработки наблюдений в каждой точке, необходима дополнительная обработка всего набора экспериментальных данных. При этом предполагается, что ГХ имеет не очень сложный функциональный вид и зависит от небольшого числа параметров.

Для ГХ, заданной графически, возможны два варианта. В первом случае может выполняться лишь обработка наблюдений для каждой из реперных точек; далее в промежуточных точках зависимость может определяться путем интерполяции или каким-либо другим способом. Во втором случае график строится со сглаживанием. Если при этом ориентируются на определенный функциональный вид зависимости, то задача близка к построению ГХ в аналитической форме (и оценивание погрешностей выполняется также). Отметим, что иногда сглаживание выполняется эмпирически, «на глаз», тогда может быть получена удовлетворительная ГХ, но оценить ее погрешности затруднительно.

Таким образом, по способу построения ГХ (методам обработки наблюдений) можно выделить две группы задач градуировки:

- градуировка в отдельных точках (построение ГХ в виде таблицы, или графика без сглаживания; определение поправок к показаниям измерительного прибора в заданных точках шкалы или к значениям отдельных мер);

- построение градуировочных характеристик в аналитическом виде (построение ГХ в виде формулы или графика со сглаживанием).

К задачам градуировки во многом близки задачи калибровки средств измерений. При калибровке набора мер или шкалы измерительного прибора определяют ряд значений набора мер или поправок для точек шкалы прибора путем совокупных измерений, т. е. путем измерений или сравнений друг с другом в различных сочетаниях отдельных мер или отдельных участков шкалы. Отметим, что методы калибровки и градуировки весьма сходны между собой; до недавнего времени совокупные измерения (к которым сводится калибровка) объединялись в одну категорию с совместными измерениями (к которым сводится построение ГХ). Поэтому целесообразно рассматривать задачи калибровки наряду с выделенными выше двумя группами задач градуировки, причем по сложности они занимают промежуточное положение. Следовательно, можно рассматривать три группы задач (в порядке возрастания сложности):

- градуировка в отдельных точках;

- калибровка;

- построение ГХ в аналитическом виде.

Наиболее просты (с точки зрения обработки результатов наблюдений) задачи первой группы, которые сводятся к прямым или косвенным измерениям; задачи второй группы сводятся к совокупным измерениям, а третьей -- к совместным.

Далее будем рассматривать преимущественно последнюю группу задач - построение ГХ в аналитическом виде, так как она наиболее важна для практики.

На практике обычно рассматривают ГХ, представленные формулами достаточно простого вида. Наиболее распространёнными являются линейные ГХ, которые наиболее просты и удобны на практике; в большинстве случаев бывает желательна именно линейная ГХ. Лишь если истинная зависимость существенно отличается от линейной, ищут более сложную зависимость.

Встречаются также и нелинейные ГХ, например, функциональные измерительные преобразователи могут иметь квадратичную ГХ, или логарифмическую ГХ. Нелинейные ГХ, встречающиеся в измерительной практике, можно разбить на две группы:

- нелинейная функция сводится к линейной с помощью замены переменных;

- нелинейная функция является комбинацией известных функций.

Кроме того, следует выделить тот практически важный случай, когда функциональная зависимость задается разными аналитическими выражениями (возможно, разного функционального вида) на нескольких поддиапазонах изменения входной величины. Такие зависимости обычно называют сплайнами. Чаще всего рассматривают полиномиальные сплайны, которые на каждом поддиапазоне можно представить полиномами, а в граничных точках они непрерывны.

Задача нахождения градуировочной характеристики по экспериментальным данным часто встречается в различных областях науки и техники; и в прикладной математике разработаны многочисленные и разнообразные методы решения таких задач. Среди них, в первую очередь, следует выделить статистические методы, в которых погрешности измерений предполагаются случайными величинами (с определенными вероятностными свойствами).

Статистические методы построения зависимостей можно разделить на несколько групп. Прежде всего, выделяются методы, которые основаны на оптимизации оценок по отношению к некоторому статистическому критерию. Таковы, например, оценки максимального правдоподобия. Для их нахождения необходима значительная статистическая информация такая, как вид функций распределения погрешностей измерений во всех точках и некоторые соотношения между параметрами. Эта информация часто бывает недоступна, а полученные оценки иногда оказываются довольно сложными, неудобными на практике.

Другую группу образуют методы, основанные на определенной вычислительной схеме. Часто они получаются из методов первой группы либо путем распространения их на более широкий класс случаев (отбрасывая ограничения, при которых они являются оптимальными), либо путем вычислительных упрощений. Обычно для методов второй группы требуется сравнительно небольшая информация о распределениях погрешностей; чаще всего - лишь первые и вторые моменты. Однако общие вероятностные предположения относительно погрешностей измерений позволяют оценивать точность построенных зависимостей, используя статистические методы.

Наиболее известный метод второй группы -- МНК. Он является оптимальным (вытекает из метода максимального правдоподобия) лишь при весьма ограниченных условиях. Однако на практике метод широко применяется и при нарушении этих условий, как удобный для вычислений. Следует учитывать, что в последнем случае погрешности построения зависимостей значительно увеличиваются. Поэтому часто целесообразнее использовать либо методы конфлюентного анализа, либо робастные (устойчивые) методы построения зависимостей. Многие из них близки к МНК, но учитывают отклонения реальных условий применения от тех строгих теоретических предположений, при которых он оптимален.

Кроме статистических методов, в прикладной математике имеются различные числовые и графические методы аппроксимации экспериментальных данных. Они обычно дают результаты, близкие к получаемым статистическими методами; однако последние позволяют решать более широкий круг задач и более обоснованно оценивать погрешности полученных ГХ и их параметров.

При выборе метода построения ГХ необходимо также учитывать то, что для применения более точных и сложных методов аппроксимации обычно требуется достаточно хорошее начальное приближение. Поэтому часто бывает целесообразно последовательно использовать несколько методов: сначала найти первое приближение, используя один из простых методов, а затем, применяя более точный (и более сложный) метод, уточнить ГХ [13].

3.2 Метод наименьших квадратов

3.2.1 Условия применения метода регрессионного анализа

Наиболее распространенным способом обработки экспериментальных данных является так называемый метод регрессионного анализа, в частности такой его вариант, который включает:

- использование метода наименьших квадратов;

- отражение неизвестной функции истинного отклика ц(х) «спрятанной» в таблице экспериментальных данных, алгебраическим степенным полиномом з(х,b).

Метод регрессионного анализа применим при соблюдении следующих условий:

а) массив значений откликов объекта исследования для каждой строки экспериментальных данных имеет нормальное распределение с математическим ожиданием M{yg}= ц(х) и дисперсией у2вос;

б) дисперсии у2вос для всех строк равны. Поскольку дисперсия наблюдения характеризует точность, с которой мы получаем наблюдения, постольку опыты при разных строках равноточные, т.е. эксперимент воспроизводится при разных наблюдениях с одинаковой точностью;

в) результаты наблюдения отклика уg и их ошибки дg в различных опытах независимы;

г) независимые от отклика факторы воздействия на объект х и производные от них базисные функции f(х) определяются в эксперименте без ошибок в силу двух факторов:

- в случае наличия таких ошибок они «стекают» на отклик объекта, увеличивая рассеивание облака экспериментальных точек;

- влияние этих ошибок на рассеивание облака точек пренебрежительно мало по сравнению с влиянием шума;

д) векторы факторов воздействия на объект х и векторы производных от них базисных функций f(х) линейнозависимы, т.е. ни один вектор нельзя получить как линейную комбинацию других. В противном случае определители производных от них матриц будут равны нулю и матричные расчеты станут невозможны;

е) математическая модель отклика объекта исследования з(х,в) адекватна функции ц(х) и, таким образом, з(х,в) = ц(х) [14].

Сформированная таким образом задача носит название задачи регрессии, эксперимент называется регрессионным, уравнения (полиномы) - уравнениями (полиномами) регрессии, а сам метод решения называется регрессионным анализом. Этот термин отражает тот факт, что с увеличением степени полинома, т.е. с увеличением количества его членов, в общем случае ошибка уравнения уменьшается - «регрессирует».

3.2.2 Полином регрессии и система условных уравнений

Метод регрессионного анализа использует описание объекта исследования в виде некоторого полинома - отрезка ряда Тейлора, в который разлагается неизвестное уравнение связи отклика объекта у и входных факторов х. При этом рекомендуется такая форма полинома, которая содержит все возможные сочетания факторов в первой степени (единичные, парные, тройные и т.д.), а при степени больше единицы - только их индивидуальные комбинации [15]. Тогда полином имеет вид:

(3.1)

где в - коэффициенты, являющиеся производными вида ?ц / ?xi.

Поскольку по числу факторов математическая модель объекта не может быть исчерпывающей и обычно является неполной, влияние неучтенных факторов делает отклик объекта уg случайной величиной. Поэтому зависимость ц(х) не дает точной связи между уg и факторами, включенными в математическую модель, и по результатам эксперимента находится не уравнение (3.1), а уравнение:

(3.2)

где bij - выборочные эмпирические коэффициенты регрессии.

Последние являются лишь оценками для теоретических коэффициентов в, а отклик объекта yg - оценкой для математического ожидания M{yg}.

Практика обработки экспериментальных данных показала, что результаты эксперимента в виде табличной функции в большинстве случаев с достаточным приближением отражаются полным кубическим полиномом по форме уравнения (3.2). Часто третья степень полинома не только достаточна, но и избыточна, т.е. количество членов полинома можно и уменьшить без существенной потери точности. Поэтому при построении и выборе аппроксимирующего уравнения строят систему альтернативных уравнений из полного кубического полинома и его отдельных степенных кусков. Сравнивая характеристики этих уравнений, выбирают наиболее приемлемое.

Конкретный вид полинома регрессии для данной таблицы данных обычно неизвестен, как и объективная функция, которая "закодирована" данной таблицей. Поэтому процедура регрессионного анализа начинается с выдвижения гипотезы о конкретном виде уравнения, которым мы намереваемся отразить экспериментальную табличную зависимость. Вид уравнения регрессии задается либо на основе каких-то математических, физических или профессиональных соображений, либо, при отсутствии последних,- в порядке альтернативы -нахождения для данной таблицы нескольких вариантов уравнений и сравнения их по точности воспроизведения табличного значения отклика yg.

Таблица экспериментальных данных и принятая в виде гипотезы форма уравнения регрессии являются основными отправными условиями задачи и определяют последующий ход ее решения.

Процедура обработки экспериментальных данных начинается с совмещения принятой формы уравнения с таблицей, для чего в уравнение подставляют значения факторов хgk в соответствии со строками таблицы данных, где g - номер строки таблицы, а k - номер вектора х. Это дает систему уравнений соответственно количеству строк в таблице экспериментальных данных.

Однако, как отмечалось ранее, при воздействии на объект исследования факторами х, наличие и значение которых определяется самим экспериментатором, значение отклика уg формируется как за счет факторов х, так и за счет неучтенных факторов (шума).

Представим себе, что мы многократно повторяем наблюдение, задавая значение факторов x1g , x2g , . . . xкg для одной и той же g-ой строки таблицы экспериментальных данных. Значения откликов при этом в силу наличия шума в целом будет разными, т.е. значение случайной ошибки наблюдения при повторных опытах будет меняться. Распределение таких ошибок обладает важной особенностью - ошибки, противоположные по знаку и близкие по абсолютной величине, в среднем встречаются одинаково часто, т.е. распределение случайных ошибок симметрично относительно нуля.

Отсюда следует, что если все допустимые значения yg по данной строке есть генеральная совокупность, то истинный результат наблюдения есть математическое ожидание случайной величины yg по этой строке. Третья предпосылка регрессионного анализа гласит, что наблюдаемое значение отклика yg есть нормально распределенная случайная величина с центром:

M{yg} = ц (xg),(3.3)

где M{yg} - математическое ожидание случайной величины yg.

Таким образом, уравнение регрессии, которое получено в результате обработки экспериментальных данных, есть зависимость оценки математического ожидания отклика от факторов х.

В связи со случайным характером отклика уg левая и правая часть системы уравнений неравны, система является несовместной и не имеет единственного решения, т.е. не существует такой комбинации неизвестных коэффициентов bj , которая отвечала бы всем уравнениям системы. Поэтому такие системы носят название системы условных уравнений.

Невязку баланса левой и правой частей уравнений можно трактовать как отклонения расчетного значения отклика от экспериментального его значения. Суммарной характеристикой этих отклонений будет являться остаточная сумма SUMost:

(3.4)

где ygr - расчётное значение отклика по уравнению.

Эта величина позволяет сформулировать понятие наилучшего решения системы уравнений, которая не имеет единственного решения. Наилучшим будет решение, которое минимизирует остаточную сумму. Такое решение называется методом наименьших квадратов. В точке минимума функции (3.4) ее производные ?(SUMost)/?bj равны нулю. Дифференцируя уравнение (3.4) по всем коэффициентам регрессии и приравнивая нулю производные, получим систему нормальных уравнений [16], которая совместна, имеет единственное решение и минимизирует остаточную сумму. Но для многофакторных полиномов высоких степеней способ создания системы нормальных уравнений через частные производные сложен и трудоемок. Существует более простой способ построения системы нормальных уравнений путем пошагового преобразования системы условных уравнений.

3.2.3 Преобразование системы условных уравнений по методу наименьших квадратов. Система нормальных уравнений

Пошаговая процедура преобразования системы условных уравнений в систему нормальных уравнений была разработана Гауссом. На первом шаге процедуры каждое условное уравнение системы умножается на свой множитель при первом коэффициенте регрессии b0, после чего все преобразованные таким образом условные уравнения складываются сверху вниз; суммарное уравнение и будет первым нормальным уравнением. На втором шаге каждое исходное условное уравнений умножается на свой множитель при втором коэффициенте b с последующим сложением полученных уравнений и образованием второго нормального уравнения и т.д., до исчерпания всех множителей при коэффициентах b. В итоге формируется система нормальных уравнений, число которых равно числу коэффициентов регрессии в уравнении.

Система нормальных уравнений совместна, имеет единственное решение и минимизирует остаточную сумму, т.е. обеспечивает наилучшее решение системы уравнений из всех возможных решений.

3.3 Методы конфлюентного анализа

3.3.1 Условия применения методов конфлюентного анализа

При построении градуировочных характеристик нередко встречается случай, когда и входная, и выходная величины измеряются с погрешностями, которыми нельзя пренебречь. Как отмечают многие авторы, применение МНК в этом случае необоснованно: он дает неточные результаты, а главное -- не позволяет правильно оценить их погрешности. Для решения таких задач в математической статистике разработаны разнообразные методы известные под общим названием «методы конфлюентного анализа». Для них характерно то, что при их использовании необходима специальная дополнительная информация. Методы конфлюентного анализа менее изучены, чем классический метод наименьших квадратов; но некоторые из них успешно применяются в практических, в том числе, измерительных задачах.

Предполагается, что результаты измерений имеют погрешности примерно одного порядка, т. е. нельзя пренебречь погрешностью одного результата измерения по сравнению с другим и наоборот. В математической статистике предполагается, что погрешности являются случайными, причем средние значения погрешностей равны нулю. Однако методы конфлюентного анализа применимы и в тех случаях, когда погрешности содержат также систематические составляющие; в последнем случае результаты также содержат систематические погрешности, которые следует оценивать на основе общих соотношений.

При построении линейной ГХ основной интерес представляет коэффициент преобразования b. Если получена оценка b, то свободный коэффициент (сдвиг нуля) а оценивается по формуле:

(3.5)

причем эта оценка обладает такими же свойствами, как и оценка b.

При наличии только погрешностей измерений выходной величины оценки наименьших квадратов оптимальны: они не смещены и имеют наименьшие дисперсии. При наличии погрешностей измерений входных и выходных величин X и Y вообще неизвестны простые несмещенные оценки коэффициентов. Можно лишь строить состоятельные оценки, для которых при увеличении числа измерений имеется сходимость по вероятности:

(3.6)

При этом кроме дисперсии оценки D(b)=E(b--E(b))2 необходимо также указывать ее смещение B(b)=E(b-E(b)); часто используют также второй момент относительно истинного значения параметра:

(3.7)

Для применения методов конфлюентного анализа кроме результатов измерений необходима специальная дополнительная информация. В соответствии с видом информации методы конфлюентного анализа весьма разнообразны. Наиболее важными и распространенными в измерительной практике являются следующие случаи:

- известна одна из дисперсий погрешностей, у2х или у2у, либо отношение дисперсий = у2у / у2х;

- известна оценка одного из параметров у2х, у2у или , полученная независимо от данного набора результатов измерений;

- измерения значений входных и выходных величин выполняются с многократными наблюдениями;

- имеется критерий, позволяющий сгруппировать или упорядочить результаты измерений входной величины xi независимо от их погрешностей.

Перечисленные случаи нередко встречаются на практике. Необходимые в первом случае параметры иногда бывают известны из предыдущего опыта. Особый интерес представляет последний случай, так как часто такое правило следует из физических условий постановки эксперимента.

В первом, втором и третьем случаях состоятельные оценки являются естественными модификациями оценок наименьших квадратов. В последнем случае используются дробно-линейные оценки.

3.3.2 Случай контролируемой переменной

Метод наименьших квадратов широко применяется для оценки ГХ даже в тех случаях, когда формально его использование некорректно (в частности, когда имеются погрешности измерений как входной, так и выходной величин). К счастью, во многих практических случаях измерительный эксперимент бывает поставлен (или может быть поставлен) так, что применение МНК действительно оказывается возможным. Это так называемый случай контролируемой переменной. Предположим, что экспериментатор имеет возможность заранее выбрать значение входной величины, скажем, хизм и изменять (регулировать) входную величину так, чтобы установить прибор на отметку хизм. При фиксированной входной величине измеряется соответствующее значение выходной величины у. В этом случае переменную х называют контролируемой переменной либо говорят, что имеется активный эксперимент.

В случае контролируемой переменной, при построении линейной зависимости задача конфлюентного анализа сводится к регрессионной задаче. В частности, можно, применять МНК.

Если прибор установлен на отметку хизм, то истинное значение входной величины равно:

х = хизм +х,(3.8)

где х - погрешность установки прибора на отметку хизм.

Заметим, что эта погрешность может отличаться от погрешности измерения величины X. При повторной установке прибора на ту же отметку х будет другое истинное значение входной величины; следовательно, при повторных наблюдениях результат х фиксирован, а истинные значения различны:

хi = хизм +хi,

i = 1 … n.(3.9)

Выходная величина, соответствующая истинному значению хi равна:

(3.10)

а результат ее измерения:



(3.11)

Таким образом, в полученном выражении величина х неслучайна, а связанная с yi погрешность приведена к правой части. Следовательно, для построения линейной зависимости в данном случае можно использовать МНК. Следует подчеркнуть, что это приведение корректно лишь в случае контролируемой переменной.

Таким образом, при построении линейной ГХ в случае контролируемой переменной возможно использование МНК. Это обстоятельство весьма важно, и поэтому многие практические задачи целесообразно приводить к схеме контролируемой переменной. К сожалению, метод контролируемой переменной нельзя прямо обобщить на случай полиноминальной зависимости y=f(x); даже при контролируемой входной переменной x полиноминальный случай не сводится к регрессионной задаче, в связи с чем применение МНК остается некорректным.

3.4 Робастные методы построения зависимостей

Как известно, метод наименьших квадратов является оптимальным лишь при точно известных входных величинах и гауссовских распределениях погрешностей измерений выходных величин. Однако при распределениях погрешностей, значительно отличающихся от гауссовских, а также при наличии выбросов и грубых ошибок -- оценки наименьших квадратов могут иметь большие погрешности [17]. В таких случаях целесообразно применять робастные (или устойчивые) методы построения зависимостей. Эти методы разработаны специально для использования в тех случаях, когда возможны отклонения от классической модели или присутствуют выбросы и промахи [18]. Методы отличает то, что отклонения реальных распределений погрешностей от гауссовских и наличие выбросов мало влияют на получаемые результаты. Простейшие робастные методы построения зависимостей заключаются в том, что сначала строят зависимость каким-либо простым методом (например, МНК), затем отбрасывают далеко отстоящие от нее экспериментальные точки и по оставшимся точкам вновь строят зависимость (возможно, другим методом). В более сложных методах далеко отстоящие точки не отбрасывают, но приписывают им малые веса.

Робастные методы пока еще недостаточно широко применяются в метрологии. Однако их все более широко используют в различных научных исследованиях при обработке экспериментальных данных, и в настоящее время они считаются наиболее перспективными статистическими методами.

Понятия и идеи робастных методов поясним на примере - прямых измерениях с многократными наблюдениями. Применяя для обработки результатов наблюдений х1, … , xn метод наименьших квадратов, получим классическую оценку - среднее арифметическое результатов наблюдений:

(3.12)

Эта оценка является наилучшей при гауссовском распределении погрешностей; однако при отклонениях от гауссовского распределения или выбросах она оказывается неэффективной.

Гауссовское распределение выделяется тем, что имеет «легкие» хвосты, т. е. основная вероятностная масса сосредоточена в сравнительно небольшом интервале (a-3у, a+3у), а вне этот интервала -- весьма мала. Таким образом, вероятности больших отклонений от среднего а крайне малы. Отметим, что это условие для многих практических случаев оказывается слишком жестким; реальные выборки часто имеют «утяжеленные» хвосты, т. е. вероятности больших отклонений существенно больше, чем при гауссовском распределении.

Простейшими устойчивыми оценками математического ожидания являются усеченные средние , где . В упорядоченной выборке отбрасывают по m=[na] крайних членов слева и справа, а затем берут среднее арифметическое оставшихся членов:

(3.13)

Предельным случаем усеченных средних при является выборочная медиана:

(3.14)

При получается обычное среднее .

В качестве количественной характеристики устойчивости оценки чаще всего используется значение точки срыва. Точка срыва д* это максимальная доля засорений (искажений) исходных данных, которые не приводят к неконтролируемо большим погрешностям оценки; она может принимать значения от 0 до 0,5. Среднее арифметическое является неустойчивой оценкой; для него точка срыва д* = 0. Для усеченного среднего точка срыва равна параметру усечения: д* = a. Поэтому чем больше усечение, тем устойчивей оценка. Медиана, для которой точка срыва д* = 0,5, является очень устойчивой, надежной оценкой; однако она имеет низкую эффективность. Медиану часто используют как первое приближение в более сложных и точных алгоритмах.

При исследовании робастных оценок, как правило, предполагается, что возможные распределения погрешностей не очень сильно отличаются от гауссовского распределения. Часто используется так называемая модель засорения: распределение представляют в виде смеси гауссовского распределения Ф(x) с некоторым другим (засоряющим) распределением H(х):

(3.15)

Засоряющее распределение Н(х) может быть либо гауссовским распределением со значительно большей дисперсией, чем Ф (х), либо H(х) отличается от гауссовского распределения.

Робастные оценки должны удовлетворять двум основным требованиям:

- мало уступать в эффективности оптимальным оценкам, т. е. оценкам наименьших квадратов, когда основное распределение является гауссовским;

- оставаться достаточно хорошими при отклонениях от гауссовского распределения, когда МНК неприменим.

Как известно, оценка наименьших квадратов определяется из условия минимума суммы квадратов отклонений значений xi от оценки:

(3.16)

Неустойчивость этой оценки связана с тем, что главную роль в сумме играют большие отклонения; поэтому для получения робастных оценок целесообразно заменить квадратичную функцию на другую, растущую медленнее квадратичной.

Оценки, получаемые из условия:

(3.17)

называются М-оценками. Весовая функция обычно выбирается из условий:

- при больших |x| функция возрастает медленнее, чем квадратичная;

- при малых |x| функция близка к квадратичной.

Первое условие означает, что оценка будет слабо зависеть от выбросов и отклонений от гауссовского распределения. Однако второе условие обеспечивает то, что при гауссовском распределении оценка будет близка к эффективной. Таким образом, будет получена оценка, робастная вблизи гауссовского распределения.

Оценки наименьших квадратов легко выражаются в явном виде и имеют довольно простой вид. К сожалению, М-оценки обычно не выражаются в явном виде. Они являются решениями уравнений:

(3.18)

где .

Обычно для решения таких уравнений используют итерационные методы.

Наиболее распространенными на практике являются М-оценки Хубера, Хампела, Андрюса и Тьюки.

Кроме того, имеются и некоторые другие группы робастных оценок, например, основанные на отбрасывании точек по специальным правилам (вместо усечения заранее фиксированной доли а выборки, как в усеченном среднем ). Используются также оценки, основанные на рангах (т. е. номерах членов в упорядоченной выборке) или возрастающих функциях рангов. К тому же можно использовать различные адаптивные оценки, основанные на перечисленных выше робастных оценках, и линейные комбинации оценок. Из адаптивных оценок наиболее известны оценки Хогга, основанные на усеченных средних.

3.5 Быстрые и графические методы построения прямых

Приведем несколько простых методов построения линейных ГХ, которые весьма просты и являются непараметрическими, т. е. не используют предположений о виде распределений погрешностей измерений. Их применяют для быстрого получения результата, когда нет сведений о виде распределения, или для нахождения первого приближения, необходимого для использования более точных методов [19]. Многие из приведенных ниже методов являются робастными, т. е. устойчивыми по отношению к отклонениям от нормального распределения и к грубым ошибкам.

Эти методы выделены ввиду их простоты; однако их эффективность, к сожалению, невысока (что отличает их от робастных оценок, которые довольно эффективны).

Предположим, что значения входной величины занумерованы в порядке возрастания: . Через yi обозначены, как обычно, результаты измерений выходных величин , а отклонения - через .

Простой «метод средних» для построения линейной ГХ состоит в том, что все точки разбивают на две группы (с номерами 1 … k в первой группе и k+1, … , m во второй) и суммы отклонений в каждой группе приравнивают к нулю:

(3.19)

Из этих условий получают оценки коэффициентов:



(3.20)

где

Если группы равного объема, т.е. m=2k, то оценки имеют вид:

(3.21)

При m=2k+1 среднюю точку (с номером k+1) обычно отбрасывают.

Аналогично, можно разбить все результаты на три группы и среднюю группу отбросить. Оценки вычисляются по двум крайним группам, как и в предыдущем случае; отброшенные точки средней группы затем используются для анализа точности аппроксимации.

В простейшем графическом методе (так называемом, «методе натянутой нити») проводят прямую так, чтобы выше и ниже прямой лежало равное число экспериментальных точек (xi, yi). Эту прямую можно назвать «медианой», она является естественным двумерным аналогом медианы выборки (которая использовалась при прямых измерениях с многократными наблюдениями). Метод является устойчивым и обычно дает хорошее приближение, но, к сожалению, с его помощью трудно дать обоснованную оценку точности построенной прямой.

4. Компенсация динамической температурной погрешности интегральных тензорезисторных преобразователей давления

Статическая температурная погрешность в серийно выпускаемых интеллектуальных датчиках давления устраняется эффективно, и позволяет выпускать датчики давления с классом точности 0,1. Алгоритмические методы коррекции позволяют минимизировать как эффекты нелинейности, так и температурное влияние [20]. При динамическом изменении температуры, из-за неравномерности нагрева тензопреобразователя возникает градиент температуры в чувствительном элементе и происходит его температурная деформация, вследствие чего возникает дополнительная динамическая температурная погрешность, которая проявляется всплеском давления, и в ряде случаев может достигать 30 % от предела измерения [21]. На рисунке 4.1 приведен вид выходной характеристики датчика давления при воздействии на него тепловых ударов.

Рисунок 4.1 - Вид выходной характеристики датчика при тепловых ударах



Отсюда становится ясным, что статическая алгоритмическая коррекция, при воздействии тепловых ударов на чувствительный элемент, невозможна, поэтому возникает необходимость введения дополнительного сигнала, который характеризовал бы динамику изменения температуры чувствительного элемента, и нахождения градуировочной характеристики измерительного тензопреобразователя. В качестве такого сигнала может служить скорость изменения температуры тензорезисторного моста, функционально связанная с градиентом температуры в чувствительном элементе. На рисунке 4.2 показана структура измерительных каналов при коррекции динамического влияния температуры.

Рисунок 4.2 - Структура измерительных каналов при коррекции динамического влияния температуры

Таким образом, получается функция зависимости расчетного давления Р от трех параметров: кода, пропорционального напряжению на измерительной диагонали тензомоста; кода, пропорционального температуре чувствительного элемента (полному сопротивлению тензомоста); кода, пропорционального скорости изменения температуры чувствительного элемента.

(4.1)

Найти математическую модель функции преобразования можно путем градуировки измерительного преобразователя. Градуировочные характеристики строятся любыми известными методами, например методом наименьших квадратов, методами конфлюентного анализа, робастными методами или быстрыми и графическими методами. Поскольку искомая зависимость является нелинейной трехфакторной функцией, оптимальным в плане точности и сложности является использование метода наименьших квадратов.

В качестве полинома регрессии выберем полином второй степени, который содержит все возможные сочетания факторов в первой степени (единичные, парные и тройные), а при второй степени - только их индивидуальные комбинации. В таком случаем полином имеет вид:

(4.2)

где y - значение давление в градуировочном эксперименте;

x1 - код давления NP;

x2 - код температуры тензомоста NT;

x3 - код приращения температуры

bi - коэффициенты регрессии.

Составим систему условных уравнений. Обозначим индексами при коэффициентах b комбинацию базисных функций, а индексами при факторах x - номер строки таблицы экспериментальных данных (всего n строк). Тогда в алгебраическом виде система уравнений будет следующей:



(4.3)

Данная система уравнений является несовместной, и не имеет единственного решения. Преобразуем систему условных уравнений в систему нормальных уравнений. Воспользуемся пошаговой процедурой преобразования разработанной Гауссом. На первом шаге процедуры каждое условное уравнение системы (4.3) умножается на свой множитель при первом коэффициенте регрессии b0, после чего все преобразованные таким образом условные уравнения складываются сверху вниз; суммарное уравнение и будет первым нормальным уравнением. На втором шаге каждое исходное условное уравнений умножается на свой множитель при втором коэффициенте b с последующим сложением полученных уравнений и образованием второго нормального уравнения и т.д., до исчерпания всех множителей при коэффициентах b. В итоге формируется следующая система нормальных уравнений, число которых равно числу коэффициентов регрессии в уравнении:



Система нормальных уравнений (4.4) совместна, состоит из 11 уравнений и 11 неизвестных, имеет единственное решение и минимизирует остаточную сумму, т.е. обеспечивает наилучшее решение системы условных уравнений (4.3) из всех возможных решений.

Решив систему нормальных уравнений получены следующие коэффициенты полинома регрессии:

b0 =	-2,5516
b1 =	1,75?10-3
b2 =	-1,97?10-4
b3 =	-4,61?10-3
b12 =	6,16?10-8
b13 =	1,18?10-6
b23 =	3,2?10-7
b12 =	-9,7?10-11
b11 =	-7,3?10-14
b22 =	-4,7?10-9
b33 =	1,6?10-6

В результате отклонение значений давления найденные по математической модели от задаваемого давления в градуировочном эксперименте составило не более 0,04%.

В некоторых случаях коэффициенты регрессии являются зависимыми друг от друга случайными величинами. При этом значение коэффициентов регрессии зависит от количества членов уравнения, т.е. уменьшение или увеличение их числа влияет на значения всех коэффициентов, включенных в полином. Поэтому, если какой-то из коэффициентов близок к нулю, нельзя его просто исключить из уравнения, расчеты для новой формы полинома нужно проводить вновь и полностью. Эта неопределенность значений коэффициентов делает невозможной их физическую интерпретацию и является принципиальным недостатком метода. Чтобы избавиться от зависимости коэффициентов регрессии друг от друга необходимо организовать полный факторный эксперимент. Проведение такого рода эксперимента может занять длительный период времени. Образцовые значения давления в ходе эксперимента задавались грузопоршневым манометром МП-600 класса точности 0,05. Скорость опускания поршня у манометров класса точности 0,05 соответствует 0,5 мм/мин, рабочий ход поршня должен быть не менее 15 мм [22]. Значит, минимальное время, при котором будет удерживаться образцовое значение давления данным грузопоршневым манометром, равно 30 минутам. Это делает невозможным проведение непрерывного многочасового эксперимента. Для сокращения времени проведения эксперимента без ущерба точности аппроксимации в расчет было предложено взять точки от минуты до начала времени изменения температуры до экстремума значения давления (см. рисунок 4.1). При этом дожидаться установившегося режима давления нет необходимости, что сокращает время эксперимента в несколько раз. В таком случае получены следующие коэффициенты уравнения математической модели:

b0 =	-3,67
b1 =	2,5?10-3
b2 =	-1,56?10-4
b3 =	1,16?10-4
b12 =	1,78?10-10
b13 =	-1,24?10-7
b23 =	-3,80?10-8
b12 =	1,06?10-11
b11 =	-1,28?10-14
b22 =	-5,47?10-10
b33 =	-7,93?10-7

Максимальная приведенная погрешность аппроксимации в данном случае составила 0,007%.

Для дальнейшего сокращения объема эксперимента и времени его проведения было предложено получить математическую модель только для участка графика, соответствующего наибольшей скорости изменения температуры (последние два всплеска давления на рисунке 4.1), а затем с полученными коэффициентами регрессии необходимо просчитать весь массив экспериментальных данных. По завершению расчетов максимальная приведенная погрешность аппроксимации не превысила 0,005%, а коэффициенты регрессии имеют следующий вид:

b0 =	-3,7
b1 =	2,5?10-3
b2 =	-1,53?10-4
b3 =	3,2?10-3
b12 =	1,58?10-10
b13 =	-9,04?10-7
b23 =	-2,75?10-7
b12 =	7,47?10-11
b11 =	-7,03?10-15
b22 =	-6,4?10-10
b33 =	-1,83?10-6

Предложенный метод проведения многофакторного градуировочного эксперимента позволяет существенно сократить время и объем полного факторного эксперимента.

По найденным коэффициентам построена зависимость давления от трех параметров: кода, пропорционального напряжению на измерительной диагонали тензомоста; кода, пропорционального температуре чувствительного элемента (полному сопротивлению тензомоста); кода, пропорционального скорости изменения температуры чувствительного элемента. Полученный график с дополнительной коррекцией динамического воздействия температуры с учетом скорости изменения температуры датчика совмещен с графиком давления полученном при градуировочном эксперименте. Для наглядности на рисунке 4.3 представлен фрагмент эксперимента, где температура резко изменялась от 30 0С до 80 0С и обратно.

На рисунке видно, что динамическая составляющая температурной погрешности благодаря учету скорости изменения температуры практически устранена, что подтверждает эффективность использования трех влияющих факторов при составлении математической модели измерительного преобразователя.

Рисунок 4.3 - Коррекция результатов измерения давления при воздействии тепловых ударов

На основании теоретических и экспериментальных исследований получены следующие результаты:

1 установлены причины возникновения дополнительной динамической температурной погрешности интегральных преобразователей давления;

2 предложен алгоритм устранения дополнительной динамической температурной погрешности;

3 найден способ градуировки интеллектуального датчика давления с минимальными временными затратами;

4 методами регрессионного анализа получена математическая модель преобразователя давления, позволяющая устранить динамическое влияние температуры.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе решалась задача устранения динамической температурной погрешности при воздействии на чувствительный элемент датчика тепловых ударов. Инструментами регрессионного анализа с помощью метода наименьших квадратов найдена математическая модель интегрального тензопреобразователя давления, учитывающая скорость изменения температуры чувствительного элемента, с помощью которой появилась возможность устранить динамическое влияние температуры. Предложена методика проведения полного факторного градуировочного эксперимента.

Кроме того более подробно изучен метод обработки результатов наблюдений - регрессионный анализ, причем с упором на практическое применение для аппроксимации табличнозаданных экспериментальных функций многофакторными полиномами регрессии.

Предложенный алгоритм коррекции динамической температурной погрешности может использоваться в цифровых преобразователях давления, подверженных тепловым ударам.

Сделан очередной шаг на пути к повышению точности измерений интеллектуальных датчиков давления. Достоинством нововведения является то, что оно не требует внесения конструктивных изменений в выпускаемые датчики давления, а позволяет обойтись лишь обновлением управляющей программы вычислительного микроконтроллера.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Исакович, Р.Я. Технологические измерения и приборы. Изд. 2-е, переработанное / Р.Я. Исакович. - М.: Недра, 1979. - 344 с.

2 Ваганов, В.И. Интегральные тензопреобразователи / В.И. Ваганов. - М.: Энергоатомиздат, 1983. - 137 с.

3 Папков, В.С. Эпитаксиальные кремниевые слои на диэлектрических подложках и приборы на их основе / В.С. Папков, М.В. Цыбульников. - М.: Энергия, 1979. - 88 с.

4 Стучебников, В.М. Тензорезисторные преобразователи на основе гетероэпитаксиальных структур «кремний на сапфире» / В.М. Стучебников // Измерения, контроль, автоматизация: Науч.-техн. сборник. - 1982. № 4 (44). - С. 15-26.

5 Ваганов, В.И. Интегральный кремниевый преобразователь давления с подстроечными резисторами на кристалле / В.И. Ваганов, В.В. Беклемишев, Н.И. Гочарова, А.Б. Носкин // Измерительная техника. - 1980. №5. - С. 28-30.

6 Черняев, В.Н. Технология производства интегральных микросхем / В.Н. Черняев. - М.: Энергия, 1977. - 375 с.

7 Мейер, Дж. Ионное легирование полупроводников / Дж. Мейер, Л. Эриксон, Дж. Дэвис / Пер. с англ. под ред. В.Н. Гусева. - М.: Мир, 1973. - 296 с.

8 Степаненко, И.П. Основы теории транзисторов и транзисторных схем / И.П. Степаненко. - М.: Энергия, 1977. - 672 с.

9 Ваганов, В.И. Влияние конструктивно-топологических особенностей интегральных тензопреобразователей на перегрев тензорезистров протекающим током / В.И. Ваганов, А.Б. Носкин, М.В. Фролова / В кн.: Электронная измерительная техника / Под ред. А.Г. Филиппова. - М.: Атомиздат, 1980. - С. 17-22.

10 Шестаков, А.Л. Алгоритмы выбора и обоснования моделей функций преобразования измерительных преобразователей давления / А.Л. Шестаков, А.П. Лапин, Е.А. Лапина // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. - 2009. №26. - С. 10-12.

11 Шестаков, А.Л. Задача оптимизации функций преобразования измерительных преобразователей / А.Л. Шестаков, А.П. Лапин, Е.А. Лапина // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. - 2010. №2. - С. 4-6.

12 Емец, С.В. Способ градуировки измерительных преобразователей с интегрированным чувствительным элементом / С.В. Емец, И.Н. Полищук // Патент РФ № 2223465. - 2004.

13 Семенов, Л.А. Методы построения градуировочных характеристик средств измерений / Л.А. Семенов, Т.Н. Сирая. - М.: Изд-во стандартов, 1986. - 128 с.

14 Шашков, В.Б. Прикладной регрессионный анализ. Многофакторная регрессия: Учебное пособие / В.Б. Шашков. - Оренбург: ГОУ ВПО ОГУ, 2003. - 363 с.

15 Бородюк, В.П. Статические методы в инженерных исследованиях / В.П. Бородюк, А.П. Вощинин, А.З. Иванов и др. - М.: Высшая школа, 1983. - 216 с.

16 Гутер, Р.С. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта / Р.С. Гутер, Б.В. Овчинский. - М.: Наука, 1970. - 432 с.

17 Демиденко, Е.З. Линейная и нелинейная регрессия / Е.З. Демиденко. - М.: Финансы и статистика, 1981. - 304 с.

18 Смоляк, С.А. Устойчивые методы оценивания / С.А. Смоляк, Б.П. Титаренко. - М.: Статистика, 1981. - 208 с.

19 Кенуй, М.Г. Быстрые статические вычисления / М.Г. Кенуй. - М.: Статистика, 1979. - 70 с.

20 Емец, С.В. Способ коррекции статических характеристик измерительных преобразователей / С.В. Емец // Патент РФ № 2130194. - 1999.

21 Рогонов, А.А. Экспериментальное исследование температурных полей датчика давления ВТ 212 с помощью программного комплекса «Термоудар» / А.А. Рогонов, Д.В. Тихомиров // Международная научно-техническая конференция «Методы и средства измерения в системах контроля и управления» - Пенза, 2002. - С. 106-108.

22 ГОСТ 8291-83. Манометры избыточного давления грузопоршневые. Общие технические условия. - Введ. 01.01.1984. - М.: Госстандарт, 1998. - 14 с. - (Гос. Стандарты РФ).



ПРИЛОЖЕНИЕ А

(обязательное)

Перечень демонстрационных листов

1 Титульный слайд.

2 Тензодатчик давления, выполненный по технологии КНС.

3 Методы компенсации температурных погрешностей.

4 Поведение канала давления при тепловых ударах.

5 Цели и задачи ВКР.

6 Структура измерительных каналов интегральных тензопреобразователей при коррекции динамического влияния температуры.

7 Функция преобразования канала давления в условиях термоудара.

8 Коэффициенты регрессии, рассчитанные методом наименьших квадратов.

9 Расчет математической модели для точек, обработка которых методами статической коррекции неэффективна.

10 Коэффициенты математической модели чувствительного элемента.

11 Расчет участков графика, соответствующих наибольшей скорости изменения температуры.

12 Коэффициенты полинома регрессии.

13 Графики давления до и после динамической температурной коррекции.

14 Выводы по ВКР.

Размещено на Allbest.ru