Создание модели возникновения Солнечной системы из межзвездного газа на базе численного моделирования с учетом гравитационного взаимодействия частиц

б. Как было найдено в п. «а», полная энергия отрицательна. Какой смысл имеет знак полной энергии? Повторите моделирование с теми же начальными условиями (rscа1е = 1), но с Lх =Ly = 30. Чему равна полная энергия в этом случае? Тому же, что и в п. «а»? Если нет, то почему? Опишите характер полученных снимков. Заполняют ли частицы ящик равномерно за время порядка 200 шагов или у них наблюдается тенденция к образованию «капелек»?

в. Увеличьте начальное расстояние между частицами. Используйте Lx = Lу = 30 и rsсаlе = 2. Чему равна приведенная плотность системы? Оцените начальную плотность капельки. Какая получилась полная энергия -отрицательная или положительная? Если величину rsсаlе сделать достаточно большой, капелька должна в конце концов «испариться», даже если полная энергия отрицательна. В реальной системе капелька находилась бы в равновесии со своим паром и обе фазы существовали бы совместно. По мере уменьшения плотности начальной капельки все больше частиц внутри капельки будет испаряться и размер капельки будет сокращаться. Разумеется, нужно с осторожностью относиться к любым заключениям о структуре системы, основанным на моделировании только с 16 частицами.

г. Положите Lх = Lу = 30 и rsса1е = 0.8. Чему равна приведенная плотность системы? Оцените начальную плотность капельки. Поскольку вначале частицы ближе друг к другу, необходимо выбрать меньшее значение ?t, например ?t = 0.01. Почему полная энергия положительна? Пройдите по крайней мере 200 шагов по времени и вычислите средние температуру и давление по последним 100 шагам. Запомните конечную конфигурацию, с тем чтобы использовать ее в задаче 6.5. Каков характер ваших снимков? Объясните, почему данное равновесное состояние можно трактовать как газ.

ЗАДАЧА 2. Распределение по скоростям

а. В качестве начальной конфигурации используйте для этой задачи конечную конфигурацию из задачи 6.4г. Наша цель-вычислить для равновесного состояния вероятность Р(v) ?v того, что скорость частицы заключена между v и v + ?v. Исходя из начальной конфигурации, оцените максимальную скорость частиц. Выберите интервалы шириной ?v, при этом номер интервала k равен v/?v, где v - скорость частицы. Целесообразно выбрать ?v равным 0.1 * sqr(Т), где Т -температура. Для регистрации количества попаданий скоростей частиц в соответствующий интервал с номером k используйте массив prob(k):

IIредположим, что ?v = 0.1, и рассмотрим скорости v = 0.3, 0.49, 0.5, 0.51 и 0.9. Каким значениям k они соответствуют? Напишите короткую программу для получения массива рrоb(k). Определите рrоb(k) после каждого временного шага и вычислите средние значения рrоb(k) по крайней мере по 100 шагам по времени. Нормируйте рrоb(k), поделив на число частиц и количество шагов по времени. Заметим, что наблюдать траектории частиц нет необходимости. Напечатайте таблицу, содержащую значения k, v и рrоb(k).

б. Постройте график плотности вероятности Р(v) как функции от v. Каков качественный вид Р(v)? Чему равно наиболее вероятное значение v? Какова приблизительно «ширина» Р(v)? Данное распределение вероятности называется распределением Максвелла - Больцмана.

в. Определите распределение вероятности для каждой компоненты скорости. Удостоверьтесь, что вы различаете положительные и отрицательные скорости. Каковы наиболее вероятные значения для x- и у-компонент? Чему равны средние значения?

ЗАДАЧА 3. Температурная зависимость внутренней энергии

а. Одной из характерных черт метода молекулярной динамики является то, что полная энергия определяется начальными условиями, а температура есть величина производная, определяемая только после, достижения системой теплового равновесия. В результате трудно изучать систему, находящуюся при конкретной температуре. Обычно для достижения требуемой температуры Т_f в качестве начального условия берут равновесную конфигурацию при температуре Т_i, по возможности наименее отличающуюся от Т_f. Определяют «масштабный» множитель f из соотношения Т_f = fТ_i и пересчитывают скорости по формуле v> f^1/dv. Для достижения Т_f может требоваться и не одно перемасштабирование скоростей. В качестве начальной конфигурации системы возьмите равновесную конфигурацию из задачи 6.5а с параметрами Lх = Lу = 6, N = 16, rsсаlе = 1 и ?t = 0.01. Задайте f= 1.2 и найдите полную энергию и новую равновесную температуру. Предусмотрите для выхода на равновесие по крайней мере 100 шагов по времени. После того как равновесие установилось, усредните кинетическую энергию на частицу по 200 временным шагам, чтобы получить приемлемую оценку средней температуры системы. Вычислите также временную зависимость равновесной температуры путем усреднения кинетической энергии на частицу по пяти шагам по времени. Повторите это перемасштабирование еще четыре раза и вычислите для каждого случая полную энергию, среднюю температуру и равновесные флуктуации температуры.

б. Сравните начальную и конечную температуры в п. «а». Связаны ли они приближенным соотношением Т_f = fТ_i?

в. По своим данным Т(Е), найденным в п. «а», начертите график зависимости полной энергии Е от Т. Оцените вклад в с_v-удельную теплоемкость -от потенциальной энергии и от кинетической. Какая часть удельной теплоемкости обусловлена потенциальной энергией? Почему трудно добиться точных вычислений с_v?

г. Изобразите равновесную температуру, усредненную по пяти временным шагам, как функцию времени для каждой энергии, рассмотренной в п. «а». Почему равновесная температура флуктуирует? Для температур, рассмотренных в п. «а», оцените визуально величину флуктуаций температуры. Как качественно ведут себя флуктуации температуры в зависимости от Т?

В задаче 4 мы вычислим давление и, следовательно, уравнение состояния (соотношение между давлением, температурой и объемом) газа.

ЗАДАЧА 4. Уравнение состояния неидеального газа

а. Выберите в качестве начальной конфигурации равновесную конфигурацию из задачи 6.6а (Lх = Lу = 6, N = 16, rsсаlе = 1, ?t = 0.01). С помощью программы md и подпрограммы оutрut вычислите среднее давление, используя метод суммарного потока импульса и теорему вириала. Предусмотрите по крайней мере 100 шагов по времени для установления равновесия и 200 шагов для расчета средних. Получается ли давление постоянным или оно флуктуирует? Как согласуется это давление с результатом для идеального газа? Какой метод вычисления давления точнее? Свой ответ обоснуйте.

б. Плотные газы и жидкости описываются приближенно уравнением состояния Ван-дер-Ваальса

(5.8)

Феноменологические параметры b и а связаны с отталкивающей и притягивающей частями взаимодействия соответственно и приближенно не зависят от температуры. Используйте те же конфигурации, что в задаче 6.6а, и найдите зависимость Р от Т. Представьте график Р от Т и, используя формулу (6.8), получите оценку для параметров а и b.

в. Измените плотность, как это делалось в задаче 6.4.а, используя rsсаlе = 1.2. Вычислите давление для различных значений T и оцените а и b. Сильно ли меняются значения а и b? Оцените грубо погрешности своих вычислений.

Несмотря на то, что использование периодических краевых условий минимизирует поверхностные эффекты, важно еще так выбрать симметрию центральной «элементарной ячейки», чтобы она соответствовала симметрии твердой фазы системы. Этот выбор ячейки существен, если мы желаем максимально реалистично промоделировать свойства системы высокой плотности, низкой температуры. Если ячейка не соответствует истинной кристаллической структуре, частицы не смогут образовать идеальный кристалл и некоторые из частиц будут блуждать в нескончаемых попытках найти свои «правильные» позиции. Следовательно, численное моделирование небольшого числа частиц при высокой плотности и низкой температуре привело бы к ложным результатам.

Мы знаем, что равновесная структура кристаллического твердого тела при Т = О представляет собой конфигурацию с наименьшей энергией. В задаче 6.8 мы подтверждаем, что состоянию с наименьшей энергией для двумерного твердого тела Леннарда-Джонса отвечает треугольная решетка, а не квадратная (рис. 5.5).

Рис. 5.5 В двумерной системе Леннарда-Джонса состоянию с наименьшей энергией отвечает треугольная, а не квадратная решетка

Заключение

Основные результаты работы сводятся к следующим:

1. Получено аналитическое решение в приближении Роша для осесимметричной структуры стационарного протопланетного диска Солнца. Газопылевая среда диска описывается уравнением состояния идеального газа, что соответствует начальной стадии эволюции протопланетного диска. Излучение не учитывается. Показано, что в этой модели конфигурация диска существенным образом зависит от распределения угловой скорости вращения среды диска по цилиндрическому радиусу. При угловой скорости вращения, близкой к кеплеровскому закону, могут быть получены плоские протопланетные диски. Построена модель протопланетных (тороидальных) колец, из которых может состоять протопланетный диск Солнца на одном из начальных этапов своей эволюции. В этом случае кольца соответствуют зонам планет солнечной системы. Исследованы свойства полученных аналитических решений: конфигурации протопланетных дисков, распределения плотности, удельной внутренней энергии и линейной скорости вращения.

2. Разработана численная модель протопланетного диска, в основе которой лежит метод численного решения двумерных газодинамических течений в областях сложной формы с подвижными границами, разработанный Годуновым С.К. и Забродиным А.В. с соавторами. Для сравнения численного моделирования с аналитическим решением были выполнены численные расчеты стационарных состояний протопланетных колец. В качестве начальных данных в этих расчетах были использованы аналитические решения в приближении Роша. Проведен расчет эволюции нестационарного кольца с выходом его в состояние, близкое к стационарному.

3. Предложена модель образования планетной солнечной системы.

Литература

1. Гринберг М. Межзвездная пыль. М.: Мир, 1979.

2. Происхождение солнечной системы. //Сборник статей под редакцией Г. Ривса. М.: Мир, 1976.

3. Макалкин А.Б., Дорофеева В.А. Строение протопланетного аккреционного диска вокруг Солнца на стадии Т Тельца.//Астрономический вестник. Исследования Солнечной системы. 1995. Т. 29, №2. С. 99.

4. Галимов Э.М. Проблема происхождения Луны. //Cб. «Основные направления геохимии», отв. ред. Э.М.Галимов, М.: Наука, 1995.

5. Larson R.B. The evolution of spherical protostars with masses 0,25 M_c to M_c. //Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 157, 121, (1972).

6. Larson R.B. The collaps of rotating cloud. //Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 156, 437, (1972).

7. Макалкин А.Б., Дорофеева В.А. Строение протопланетного аккреционного диска вокруг Солнца на стадии Т Тельца. //Астрономический вестник. Исследования Солнечной системы. 1996. Т. 30, №6. C. 496.

8. Энеев Т.М., Козлов Н.Н.. Модель аккумуляционного процесса формирования планетных систем. //Астроном. вест. 1981. Т. XV, №3. С. 131-140.

9. Сафронов В.С. Эволюция допланетного облака и образование Земли и планет. М.: Наука, 1969.

10. Энеев Т.М., Козлов Н.Н.. Модель аккумуляционного процесса формирования планетных систем.//Астроном. вест. 1981. Т. XV, №2. С. 80-94.

11. Энеев Т.М. Кольцевое сжатие вещества в капельной модели протопланетного облака. //Астрономический вестник. 1993. Т. XXVII, №5. С. 3-25.

12. Имшенник В.С., Мануковский К.В. Двумерная гидростатически равновесная атмосфера нейтронной звезды с заданным дифференциальным вращением //Письма в Астрон. Журн. 2000. 26, 917.

13. Имшенник В.С., Мануковский К.В. Гидродинамическая модель асимметричного взрыва коллапсирующих сверхновых с быстрым вращением и в присутствии тороидальной атмосферы.//Письма в Астрон. Журн. 2004. 30, 803.

14. Метод 2D численного расчета газодинамических потоков в подвижных сетках. ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, М. 1989.

15. Механизм аккумуляции планетарных тел. Итог. отчет по программе фундамент. исследований №25, подпрограмма №1, п. 1.1.2, М., 2004.

16. Мануковский К.В. Гидродинамические процессы в тороидальной атмосфере вращающегося коллапсара.: дис. к. ф.-м. н.//М. 2005.

17. Витязев А.В., Печерникова Г.В., Сафронов В.С. Планеты земной группы: Происхождение и ранняя эволюция. М.: Наука, 1990.

18. Имшенник В.С., Надежин Д.К. Сверхновая 1987А и образование вращающихся нейтронных звезд.// Письма в Астрон. Журн. 1992. 18, 95.

19. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.М., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976.

20. Тассуль Ж.-Л. (Tassoul J.-L.) Теория вращающихся звезд. М.: Мир, 1982.

21. Снытников В.Н., Пармон В.Н., Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Никитин С.А., Снытников А.В. Численное моделирование гравитационных систем многих тел с газом. //Вычислительные технологии. 2002. Т. 7, №3. С. 72.

22. Snytnikov V.N., Dudnikova G.I., Gleaves J.T., Nikitin S.A., Parmon V.N., Stoyanovsky V.O., Vshivkov V.A., Yablonsky G.S., Zakharenko V.S. Space chemical reactor of protoplanetary disk. //Adv. Space Res. Vol. 30, No. 6, pp. 1461-1467, 2002.

Размещено на Allbest.ru