Статистическое исследование и оценка резервов убытков в добровольном медицинском страховании

2.3 Применение метода Борнхуеттера-Фергюсона для оценки величины резервов убытков в ДМС

Данный метод был опубликован в 1972 г. американскими актуариями Р.Л. Борнхуеттером и Р.И. Фергюсоном [33]. В нем основой для оценки резерва убытков является не величина оплаченных на отчетную дату страховых случаев, а оценка конечного убытка за период с номером i, выполненная на основе данных о заработанной в соответствующем периоде страховой премии и среднем значении коэффициента убыточности за наблюдаемый отрезок времени.

Согласно Приказу Министерства финансов Российской Федерации от 11 июня 2002 г. №51н метод Борнхуеттера-Фергюсона должен в обязательном порядке использоваться российскими страховыми организациями при определении страховых резервов по страхованию иному, чем страхование жизни [22].

Расчет РПНУ методом Борнхуеттера-Фергюсона реализуется согласно следующему алгоритму:

Этап 1. На основе информации, содержащейся в треугольнике развития, по каждому периоду оплаты (развития) убытков рассчитывается совокупная величина убытков, произошедших во все периоды зарождения и оплаченных на конец j-го периода:

, .

Этап 2. Затем, по аналогии с методом цепной лестницы, оцениваются коэффициенты развития убытков, характеризующие относительное увеличение совокупной величины оплаченных убытков от текущего периода оплаты к последующему:

, если , ;

, если ; .

Этап 3. После чего производится расчет значений факторов развития убытков, эквивалентных коэффициентам из метода пошагового восхождения, по следующей формуле:

, .

Фактор развития убытков соответствует коэффициенту роста суммы платежей по произошедшим в периоде с номером i страховым случаям к концу n-го периода оплаты убытков по сравнению с ее размером на конец j-го отчетного периода.

Этап 4. Определяются факторы запаздывания, показывающие, какая часть суммарных убытков i-го периода урегулируется на конец j-го периода развития:

, .

Таким образом, факторы развития убытков (или факторы запаздывания) позволяют рассчитать накопленную величину будущих выплат по страховым случаям i-го периода:

Этап 5. Для каждого периода наступления убытков вычисляются коэффициенты оплаченных убытков, равные отношению совокупной стоимости страховых случаев, произошедших в периоде с номером i, к величине заработанной страховой премии за соответствующий период:

, ,

где - заработанная страховая премия за i-ый период наступления убытков.

Этап 6. Затем оценивается ожидаемый коэффициент произошедших убытков по формуле средней арифметической коэффициентов оплаченных убытков, найденных на предыдущем шаге:

рассматривается как показатель ожидаемой (прогнозной) убыточности на отчетную дату по всем страховым случаям, произошедшим за n периодов зарождения.

Этап 7. С помощью для каждого из n периодов наступления страховых случаев определяется ожидаемая величина произошедших (оплаченных и неоплаченных) убытков:

, .

Этап 8. Далее по каждому i-ому периоду инцидента рассчитывается суммарная величина произошедших, но неоплаченных на отчетную дату убытков:

, .

Этап 9. Поскольку в состав произошедших, но неоплаченных убытков помимо произошедших, но незаявленных убытков включаются также заявленные, но неурегулированные убытки , то для корректной оценки размера произошедших, но незаявленных на отчетную дату убытков по страховым случаям, наступившим в i-ом периоде, величину необходимо вычесть из общей суммы произошедших, но неоплаченных убытков :

, .

В том случае, если указанная разность в i-ом периоде наступления убытков отрицательна, то величина для соответствующего периода считается равной нулю.

Этап 10. Суммарная величина произошедших, но незаявленных убытков по всем рассматриваемым периодам наступления страховых случаев к концу страхового периода с номером n вычисляется по формуле:

Этап 11. На заключительном этапе алгоритма расчета РПНУ методом Борнхуеттера-Фергюсона полученная на предыдущем шаге величина ПНУ корректируется на коэффициент 1,03, отражающий расходы страховой организации по урегулированию убытков:

.

Согласно Правилам формирования страховых резервов по страхованию иному, чем страхование жизни для расчета РПНУ по договорам учетных групп 1-11 необходимы данные об оплаченных убытках не менее чем за 12 периодов наступления страховых случаев (периодов оплаты), предшествующих отчетной дате, по договорам учетных групп 12-19 - не менее чем за 20 соответствующих периодов. Если страховщик не обладает требуемым объемом исторических данных об убытках, то, в случае, если ожидаемый коэффициент произошедших убытков оказывается меньше единицы, то в целях расчета он принимается равным 1 и формула для оценки РПНУ трансформируется следующим образом [22]:

,

где - суммарная величина страховой премии, заработанной страховщиком за последние 4 квартала, предшествующие отчетной дате.

Преимущество метода Борнхуеттера-Фергюсона состоит в том, что колебания размеров платежей в треугольнике выбывания не приводят к значительным искажениям прогнозных значений страховых резервов, что достигается за счет того, что при расчете данным методом игнорируется информация о произведенных на отчетную дату выплатах по страховым случаям i-го периода в пользу предположений о будущей величине суммарных выплат. Однако полное недоверие к наблюдаемым данным кажется крайностью. При практическом применении метода Борнхуеттера-Фергюсона может возникнуть ситуация, когда фактически оплаченная в первом периоде сумма убытков превысит ожидаемую (прогнозную) величину совокупного убытка по страховым случаям i-го периода после их окончательного урегулирования.

Актуарии часто используют метод Борнхуеттера-Фергюсона для расчета резервов по видам страхования «с длинным хвостом» (например, страхование гражданской ответственности), особенно для наиболее близких по времени периодов зарождения. Применение же метода цепной лестницы в данном случае может привести к неустойчивым и ненадежным оценкам окончательного размера претензий для недавних периодов инцидента. Будучи очень чувствительными к величинам в нижнем левом углу треугольника развития, они соразмерно увеличиваются в том случае, если в последнем периоде зарождения заявлен или оплачен крупный убыток, нехарактерный для обычной структуры развития платежей [36].

Для демонстрации расчета РПНУ методом Борнхуеттера-Фергюсона обратимся к имеющемуся треугольнику развития.

Таблица 11 Факторы запаздывания по методу Борнхуеттера-Фергюсона

Значения факторов запаздывания, представленные в табл. 11, свидетельствуют о том, что 68,91% совокупной стоимости страховых случаев за квартал с номером i оплачивается непосредственно в том же квартале, к концу следующего за ним квартала урегулируется еще 29,07% конечного убытка, а концу третьего квартала оплаты - еще 1,40%.

Таким образом, лишь 0,62% претензий остаются неоплаченными по итогам трех первых кварталов развития убытков.

Как видно из рис. 12, величина страховой премии, заработанной компанией в i-ом квартале наступления убытков, неизменно превышает совокупную стоимость страховых случаев за i-ый квартал. Однако в некоторых кварталах это расхождение невелико, что находит отражение в высоких значениях коэффициента оплаченных убытков (табл. 12), в других же - довольно существенно. Так, например, в четвертом квартале 2009 г. указанные показатели максимально сближаются - суммарные выплаты составляют 99,73% от величины заработанной премии, тогда как в третьем квартале 2012 г. оцененная величина будущих выплат на 22,93% ниже размера заработанной страховой премии.

Рис. 12. Суммарные выплаты и заработанная страховая премия по всем кварталам наступления страховых случаев (4 кв. 2007 г. - 3 кв. 2012 г.)

Таблица 12 Коэффициенты оплаченных убытков согласно методу Борнхуеттера-Фергюсона

Ожидаемый коэффициент произошедших убытков, необходимый для оценки ожидаемой величины произошедших убытков по каждому кварталу инцидента, для данной страховой компании составляет 91,30%. Корректировка прогнозной величины конечного убытка по страховым случаям i-го квартала на сумму осуществленных на отчетную дату платежей позволяет получить суммарную величину произошедших, но неоплаченных к текущему моменту времени убытков. Однако у рассматриваемой страховой организации на дату формирования страховых резервов осталась непогашенной задолженность по заявленным, но неурегулированным убыткам за три предшествующих квартала, которая также должна быть элиминирована в процессе вычисления размера произошедших, но незаявленных убытков (табл. 13).

Таблица 13 Величины произошедших, но незаявленных на отчетную дату убытков для каждого i-го квартала инцидента по методу Борнхуеттера-Фергюсона

Посредством суммирования рассчитанных показателей и корректировки полученной суммы на величину расходов по урегулированию убытков в размере 3% находим величину резерва произошедших, но незаявленных убытков по методу Борнхуеттера-Фергюсона, равную 424990326,90 руб.

2.4 Определение величины резерва произошедших, но незаявленных убытков посредством мультипликативного метода

В основе мультипликативного метода расчета страховых резервов лежит предположение о независимости случайных величин - суммарных выплат в j-ом периоде развития по убыткам, произошедшим i-ом периоде. Величина может быть представлена в виде:

,

где - общая стоимость страховых случаев, наступивших в периоде с номером i;

- доля суммы , выплаченная в течение финансового периода с номером j, причем распределение платежей по n периодам развития убытков предполагается неизменным для всех периодов наступления страховых случаев.

Оценивание неизвестных параметров модели и производится с помощью метода наименьших квадратов, состоящего в минимизации функционала:

, , ,

где - произвольные веса; по умолчанию они все равны единице, но их значения могут и различаться в зависимости от оцененной актуарием степени важности, «свежести», надежности и т.д. имеющихся данных [17].

Ниже представлена процедура расчета РПНУ мультипликативным методом:

Этап 1. Приравнивание к нулю частных производных первого порядка по и позволяет получить следующую систему:

, ,

которая решается методом последовательного приближения после выбора начальных значений вектора .

Этап 2. Недостающие элементы треугольника убытков, расположенные под главной диагональю, оцениваются исходя из итеративно найденных на предыдущем шаге векторов параметров модели и :

.

Этап 3. Резерв для неурегулированных страховых случаев по каждому i-ому периоду зарождения определяется по формуле:

Этап 4. Как и прежде, общий размер РПНУ к концу страхового периода с номером n вычисляется путем суммирования резервов неурегулированных убытков по всем периодам происшествий:

.

Достоинством мультипликативного метода является то, что для корректной оценки величины страховых резервов не обязательно располагать всей информацией, содержащейся в треугольнике развития. Так, если в одном из участвующих в расчете календарных периодов политика урегулирования убытков, проводимая страховой компанией, претерпела существенные изменения, то можно исключить из рассмотрения предыдущие диагонали треугольника без нанесения ущерба точности оценивания РПНУ.

Модель метода цепной лестницы записывается в виде:

, ,

откуда ,

где величина - фактор запаздывания из метода Борнхуеттера-Фергюсона - доля конечного убытка i-го периода зарождения, выплаченная по истечении первых j периодов развития.

Мультипликативная модель с постоянной инфляцией записывается в виде:

,

где - общая стоимость страховых случаев, наступивших в периоде с номером i; - ее доля, выплаченная за j периодов развития. Пусть , тогда мы можем записать:

,

что свидетельствует о сходстве указанных методов расчета РПНУ.

Проиллюстрируем алгоритм мультипликативного метода с помощью анализируемого массива данных об оплаченных на отчетную дату убытках страховой компании.

Трансформируем исходный треугольник развития из кумулятивной формы в обычную, где в ячейках матрицы расположены не аккумулированные уровни убытков, а приращения (причем , представляющие собой суммарные выплаты в j-ом квартале развития по страховым случаям, произошедшим в i-ом квартале инцидента. Кроме того, будем исходить из предположения, что все возможные убытки по страховым случаям первого периода (четвертого квартала 2007 г.) уже урегулированы на дату формирования РПНУ, т.е. . Выберем в качестве начальных значений доли конечного убытка четвертого квартала 2007 г., выплаченные в течение последовательности финансовых кварталов (табл. 14).

Таблица 14 Начальные значения для мультипликативного метода

На основании принятых отправных значений рассчитываются значения и , после чего цикл повторяется требуемое количество раз. В нашем случае после всего лишь восьми итераций первые шесть цифр после запятой в выражении оказываются известными (табл. 15).

Таблица 15 Искомые значения после процедуры последовательного приближения

Следует отметить, что =1,177153, но это не имеет принципиального значения, поскольку нас интересуют только оценки неизвестных величин , находящихся под главной диагональю треугольника развития. Суммирование этих величин по строкам треугольника убытков позволяет нам оценить размер резерва для неурегулированных страховых случаев по каждому периоду зарождения (табл. 16).

По-прежнему, наибольшие денежные суммы должны быть зарезервированы для незаявленных убытков двух последних кварталов зарождения (6,99% от общей величины РПНУ на отчетную дату - для второго квартала 2012 г. и 88,83% - для третьего квартала 2012 г.).

Таблица 16 Оцененные резервы убытков для каждого i-го квартала инцидента согласно мультипликативному методу

Общий размер РПНУ к концу третьего квартала 2012 г. согласно оценке мультипликативным методом должен составлять 428682391,26 руб.

Вывод по Главе 2

Каждый из рассмотренных в главе методов резервирования имеет свои достоинства и недостатки. Метод цепной лестницы характеризуется высокой чувствительностью к изменениям наблюдений, не может применяться, если на рассматриваемом временном промежутке структура урегулирования претензий не отличалась стабильностью. Метод Борнхуеттера-Фергюсона может быть использован как в случае недостаточного объема исторических данных об урегулировании убытков, имеющихся в распоряжении страховщика, так и в случае их высокой волатильности. Однако характерное для этого метода расчета РПНУ полное игнорирование наблюдаемых данных не способствует доверию к нему. Существенным недостатков мультипликативного метода является большое число параметров, которое требуется оценить в ходе его реализации.

Наиболее консервативная оценка общего размера РПНУ к концу третьего квартала 2012 г. была получена с помощью метода пошагового восхождения. Она на 15,10% выше аналогичной оценки, полученной методом Борнхуеттера-Фергюсона, что может быть следствием невыполнения исходной предпосылки данной модели резервирования о постоянстве распределения конечного убытка по периодам развития.

Поскольку ДМС относится к видам страхования «с коротким хвостом», для двух последних кварталов наступления страховых случаев формируются резервы убытков, в сумме составляющие свыше 95% от общей величины РПНУ на отчетную дату.

Глава 3. Расчет страховых резервов в ДМС модифицированными методами

3.1 Моделирование динамики цен на медицинские услуги в России

В качестве показателя «медицинской инфляции» возьмем индекс цен на медицинские услуги в Российской Федерации за 9-летний период - с апреля 2004 г. по март 2013 г., измеряемый ежемесячно в процентах по отношению предыдущему месяцу.

Рис. 13. Динамика индекса цен на медицинские услуги в 2004-2013 гг.

График полученных наблюдений (рис. 13) содержит неярко выраженную трендовую составляющую. Заметна также определенная периодичность (сезонность) индекса цен на медицинские услуги.

Максимальные значения индекса в первом квартале регулярно сопровождаются падением его значений до минимума в июле, августе и декабре, а также незначительными колебаниями около среднемесячного уровня в течение остального года (рис .14).

Рис. 14. Индексы сезонности на основе линейного тренда

Воспользуемся методологией Бокса-Дженкинса для построения ARIMA-модели исследуемого временного ряда. Как видно из рис. 15, значения выборочной автокорреляционной функции убывают достаточно быстро с ростом k, что является свидетельством стационарного временного ряда. Аналогичное поведение демонстрирует и частная автокорреляционная функция, описывающая «чистую корреляцию» между и при исключении влияния промежуточных значений . Однако на обоих графиках просматривается сезонная компонента - выделяются коэффициенты корреляции на лагах k=12, 24 [8].

Проверим исходные данные на стационарность с помощью теста Дики-Фуллера. Рассмотрим модифицированную модель авторегрессии 1-го порядка AR(1) со свободным членом. Используя процедуру дифференцирования (взятие первой разности) осуществим переход от указанного уравнения к следующему соотношению: , где , Протестируем нулевую гипотезу против альтернативной . Наблюдаемое значение критерия =-5,769 меньше критического значения =-3,493, рассчитанного по выборке в 108 наблюдений на 1%-ом уровне значимости. Следовательно, нулевая гипотеза отвергается и исследуемый временной ряд признается стационарным [18].

ЧАКФ имеет положительный выброс на первом лаге, значения частных коэффициентов корреляции для дальних лагов за редким исключением статистически незначимы. АКФ начиная с знакопеременно экспоненциально «затухает». Предположим, что исследуемому процессу соответствует авторегрессионная модель со скользящими средними в остатках ARMA(1;1) (порядок авторегрессии p=1 и порядок скользящего среднего q=1) в сочетании с SAR(12) и SMA(12), вследствие того, что и на графике АКФ, и на графике ЧАКФ видны существенные положительные пики на лаге 12, свидетельствующие о наличии годовых сезонных колебаний в исходном временном ряду.

Представленные в табл. 17 коэффициенты модели значимы на 1%-ом уровне значимости (все P-значения t-статистик не превышают 0,01). Модели ARMA(1;1) ЧSAR(12)ЧSMA(12) соответствуют минимальные значения информационных критериев Акаике (=0,153) и Шварца (=0,287), которые отражают требования повышения точности (качества подгонки данных моделью) и уменьшения числа параметров модели. По своей идеологии эти критерии близки к скорректированному .

Таблица 17 Спецификация модели ARMA(1;1)ЧSAR(12)ЧSMA(12)

Осуществим проверку адекватности построенной модели временного ряда. На уровне значимости б=0,01 отвергается гипотеза о наличии единичного корня в характеристическом уравнении остатков модели , поскольку =-2,590, взятое из таблиц Дики-Фуллера, выше =-9,602; ряд ошибок модели является стационарным.

Для проверки наличия автокорреляции остатков воспользуемся тестом Бреуша-Годфри (методом множителей Лагранжа). Гипотеза об отсутствии автокорреляции ошибок до двенадцатого лага включительно не отвергается на 1%-ном уровне значимости: критическая вероятность статистики (где N - число наблюдений, а R² - множественный коэффициент детерминации), равная 0,9946, превышает значение 0,01.

Проверка гипотезы о нормальном законе распределения остатков модели может быть реализована с использованием критерия согласия Пирсона: =11,025; =9,210, где r - число параметров предполагаемого теоретического закона, использованных для вычисления теоретических частот и оцениваемых по выборке (для нормального закона распределения r=2: математическое ожидание и СКО), l - число интервалов значений признака; , следовательно, нулевая гипотеза отвергается на уровне значимости б=0,01. Однако критерий Колмогорова-Смирнова свидетельствует об обратном: p-значение=0,318>0,01. Поэтому можно считать, что распределение ошибок модели близко к нормальному закону распределения.

Таким образом, остатки модели ARMA(1;1)ЧSAR(12)ЧSMA(12) представляют собой реализацию белого шума, который должен удовлетворять условиям теоремы Гаусса-Маркова: )=0, , .

Рис. 15. Исходные и предсказанные по модели значения показателя

Исходный временной ряд и ряд значений, предсказанных по модели ARMA(1;1)ЧSAR(12)ЧSMA(12), в значительной степени схожи (рис. 15), что свидетельствует о приемлемом качестве построенной модели временного ряда. Соответственно, она может быть использована для прогнозирования помесячного индекса цен на медицинские услуги на пятилетний период - с апреля 2013 г. по декабрь 2017 г. (рис. 16).

Рис. 16. Прогноз индекса цен на медицинские услуги на 5-летний период

3.2 Формирование резервов убытков с помощью скорректированного с учетом инфляции метода цепной лестницы

Рассмотрим модификацию метода цепной лестницы с включением фактора инфляции, для которой остается в силе ключевое предположение метода цепной лестницы о стабильности структуры развития претензий для всех периодов наступления страховых случаев.

С помощью базисных индексов роста цен все произведенные на отчетную дату платежи выражаются в постоянных ценах (единых денежных единицах в соответствии с некоторым базисным периодом):

,

Далее по стандартному алгоритму рассчитываются коэффициенты развития убытков и общая стоимость страховых случаев, произошедших за период с номером i; прогнозируются неизвестные на дату формирования резервов значения суммарных выплат под главной диагональю треугольника развития. Посредством моделирования динамики временного ряда или иным доступным актуарию методом осуществляется экстраполяция индекса роста цен на n уровней временного ряда вперед [17]. После чего полученные суммы в постоянных ценах преобразуются «обратно», к текущим значениям:

,

На финальном шаге скорректированного с учетом инфляции метода цепной лестницы вычисляется общий размер РПНУ к концу страхового периода с номером n:

.

Продемонстрируем реализацию метода цепной лестницы с учетом инфляции на исследуемом массиве данных. Для начала перейдем от помесячных индексов цен на медицинские услуги к квартальным: последовательно перемножим индексы для месяцев, составляющих один квартал, т.е., например, . Далее от цепных коэффициентов роста цен перейдем к базисным, приняв за базу сравнения четвертый квартал 2007 г., для которого коэффициент роста цен примем равным единице.

Таблица 18 Коэффициенты развития убытков по данным в постоянных ценах

Как видно из табл. 18, коэффициенты развития убытков, рассчитанные по скорректированным на величину «медицинской инфляции» данным, ниже тех, которые были получены в ходе реализации базового метода пошагового восхождения. В отсутствии влияния инфляции накопленная сумма выплат по страховым случаям i-го квартала увеличивается во втором квартале развития убытков по сравнению с первым на 42,11% (ранее - на 42,19%), в третьем квартале темп прироста составляет 1,41% (предыдущее значение - 1,42%), в четвертом - 0,171% (0,172%). В промежутке между первым кварталом оплаты убытков и моментом их окончательного урегулирования совокупная стоимость претензий в постоянных ценах по инцидентам i-го квартала возрастает на 44,95% (при расчете в текущих ценах этот показатель равнялся 45,11%), для второго квартала развития это изменение составляет 2,00% (против 2,06%), для третьего - лишь 0,58% (ранее - 0,63%).

Таблица 19 Совокупная стоимость страховых случаев и резервы убытков для каждого i-го квартала инцидента по методу цепной лестницы с учетом инфляции

По большинству кварталов зарождения прогнозные значения будущих выплат и, как следствие, оценки резервов для неурегулированных страховых случаев сократились (табл. 19), видимо, вследствие того, что рост из квартала в квартал цен на медицинские услуги был скомпенсирован снизившимися в отсутствии инфляции коэффициентами развития убытков. Снижение коэффициентов развития убытков эквивалентно росту факторов запаздывания, т.е. перераспределению выплат по страховым случаям i-го квартала в сторону более ранних кварталов развития.

Однако для третьего и четвертого кварталов 2012 г. оценки резервов для незаявленных убытков существенно возросли. Поскольку ощутимая часть конечного убытка по страховым случаям этих двух кварталов осталась неурегулированной на отчетную дату, воздействие ожидаемой «медицинской инфляции» на совокупную стоимость будущих выплат нельзя не учитывать.

Общий размер РПНУ на отчетную дату согласно оценке скорректированным с учетом инфляции методом цепной лестницы должен составлять 493855839,52 руб., что на 4677825,25 руб. в абсолютном выражении и на 0,956% - в относительном выше соответствующей оценки базовым методом пошагового восхождения.

3.3 Корректировка мультипликативного метода на фактор инфляции

Возвратимся к треугольнику развития убытков, в ячейках которого фигурируют приращения - размеры платежей в финансовом периоде с номером j по страховым случаям, произошедшим в периоде с номером i, и выразим их в постоянных ценах:

,

где - мера инфляции в календарном периоде с номером i+j-1.

Далее по вышеописанной схеме методом последовательных приближений находим неизвестные параметры мультипликативной модели. Как и прежде, после восьми итераций процесс сходится до шести цифр после запятой в выражении (табл. 20).

В отсутствии инфляционного фактора сумма выросла до 1,18441, распределение сместилось влево, в сторону более ранних периодов оплаты убытков. Так, после нивелирования воздействия инфляции доля конечного убытка i-го периода, которая урегулируется в течение первого финансового квартала, увеличилась на 0,545 п.п. (с 84,48% до 85,03%), соответствующий показатель для второго квартала возрос на 0,136 п.п. (с 30,96% до 31,09%), а для пятого и шестого кварталов развития, наоборот, снизился на 0,0210 п.п. и 0,0211 п.п. соответственно.

Таблица 20 Искомые значения после процедуры последовательного приближения согласно мультипликативному методу с учетом инфляции

Размеры резерва для неурегулированных страховых случаев по каждому периоду зарождения представлены в табл. 21. Что неудивительно, для незаявленных убытков трех предшествовавших отчетной дате кварталов следует ассигновать бульшие, чем прежде, суммы денег, чтобы учесть вероятный рост в недалеком будущем стоимости оказываемых ЛПУ медицинских услуг. Для остальных кварталов зарождения величины резервов, наоборот, сократились вследствие отмеченного выше перераспределения платежей в сторону первых четырех кварталов развития. Таким образом, бульшая доля совокупного убытка более отдаленных во времени кварталов оказалась оплаченной на дату формирования страховых резервов.

Таблица 21 Оцененные резервы убытков для каждого i-го квартала инцидента согласно мультипликативному методу с учетом инфляции

Теперь на долю второго квартала 2012 г. приходится 7,24% от общей величины РПНУ, а на долю третьего квартала 2012 г. - 88,66%, что в целом соответствует полученной методом без инфляции структуре суммарного РПНУ. Общий размер РПНУ к концу третьего квартала 2012 г. согласно оценке скорректированным на величину инфляции мультипликативным методом должен составлять 435343788,16 руб., что на 6661397,91 руб., или на 1,55%, выше аналогичного показателя, рассчитанного мультипликативным методом без учета инфляции.

3.4 Решение задачи резервирования в ДМС методом на основе финансовых потоков по календарным периодам

В течение одного и того же календарного периода (месяца, квартала, года) осуществляются платежи по страховым случаям, произошедшим как непосредственно за этот период, так и за ряд предшествовавших ему финансовых периодов.

Рассмотрим величину страховых выплат в календарном периоде с номером i по страховым случаям, наступившим j периодов назад, которая может быть записана в виде:

,

где - общая стоимость убытков, урегулированных страховой организацией в i-ом периоде;

- доля суммы , выплаченная по страховым случаям, имевшим место j периодов назад; распределение предполагается устойчивым, т.е. независящим от календарного года, в котором производятся страховые выплаты.

Оценивание неизвестных параметров модели и по аналогии с мультипликативным методом расчета РПНУ реализуется с помощью метода наименьших квадратов, состоящего в минимизации выражения:

, , .

Выберем в качестве начальных значений доли суммарных выплат страховой организации в третьем квартале 2012 г. по страховым случаям, произошедшим как в этом квартале, так и в течение последовательности предшествующих ему кварталов (табл. 22). В отсутствии инсайдерской информации о произведенных исследуемой страховой компанией выплатах в этом периоде, воспользуемся данными о выплатах (в размере 1525181000 руб.), опубликованными на официальном сайте Федеральной службы по финансовым рынкам. Суммируя платежи на главной диагонали треугольника развития, находим величину 1525056808 руб. Предположим, что разница в 124192 руб. между рассматриваемыми показателями соответствует выплатам страховщика по убыткам, наступившим до четвертого квартала 2007 г., т.е. =0,000081.

Таблица 22 Начальные значения для метода на основе финансовых потоков

После шести проведенных итераций первые шесть цифр после запятой в выражении оказываются известными (табл. 23). 0,9703 близка по значению к единице. Таким образом, 67,33% суммарных выплат i-го календарного квартала производится по страховым случаям, произошедшим непосредственно в течение этого квартала, 27,94% - по убыткам предшествующего ему квартала и приблизительно 1,77% - по страховым случаям более отдаленных во времени периодов.

Таблица 23 Искомые значения после процедуры последовательного приближения согласно методу на основе финансовых потоков

Далее необходимо спрогнозировать выплаты страховой организации в кварталах, следующих за отчетной датой.

На рис. 17 представлена динамика выплат рассматриваемой страховой компании по договорам ДМС в 2007-2012 гг. Графический анализ исходного временного ряда свидетельствует о наличии устойчивой восходящей тенденции на всем периоде наблюдения, характер которой близок к линейному развитию. Также отчетливо видны ежеквартальные сезонные колебания. Наблюдается регулярно повторяющееся увеличение суммарных выплат по ДМС во втором и третьем кварталах по сравнению со значениями в первом и четвертом кварталах.

Рис. 17. Динамика выплат страховой компании по договорам ДМС в 2007-2012 гг.

Смоделируем развитие страховых выплат (y) с помощью трендовой и сезонной составляющих. Поскольку амплитуда колебаний с течением времени меняется несущественно, то для описания и прогнозирования динамики временного ряда можно предположить аддитивную тренд-сезонную модель , показатели точности которой будем сопоставлять с аналогичными характеристиками для мультипликативной модели .

По нижеприведенной схеме оценим сезонную составляющую аддитивной модели временного ряда:

Этап 1. Воспользуемся процедурой скользящей средней при четной длине интервала сглаживания, равной 4, для того, чтобы провести выравнивание временного ряда квартальной динамики. Поскольку не выполняется условие нечетности длины интервала сглаживания, первое и последнее наблюдение на активном участке, содержащем 5 уровней временного ряда, возьмем с половинными весовыми коэффициентами:

.

Этап 2. После применения процедуры 4-звенной скользящей средней рассчитаем отклонения фактических значений показателя от уровней сглаженного ряда . Уровни построенного ряда отражают влияние сезонной компоненты и случайных факторов.

Этап 3. С целью устранения эффекта случайных факторов, усреднением значений для одноименных кварталов получим предварительную оценку сезонной составляющей , , где m - число фаз в полном сезонном цикле, для квартальных данных m=4.

Этап 4. Корректировка первоначальных значений сезонной компоненты, вызванная тем, что суммарное воздействие сезонности на динамику ряда предполагается нейтральным (взаимнопогашаемым), осуществляется следующим образом [8]:

, , .

Сумма скорректированных оценок сезонной составляющей для полного сезонного цикла должна равняться нулю (табл. 24).

Таблица 24 Оценивание сезонной компоненты аддитивной модели

Таким образом, в ходе последующей десезонализации страховых выплат уровни ряда, относящиеся ко второму и третьему кварталам, должны быть скорректированы в сторону уменьшения, а к первому и четвертому кварталам - в сторону увеличения.

Для мультипликативной модели меняется содержание второго и четвертого этапов алгоритма. На втором шаге для получения предварительной оценки сезонной и случайной составляющих временного ряда определяется отношение фактических значений показателя к уровням сглаженного ряда . На четвертом шаге окончательные оценки коэффициентов сезонности, среднее значение которых для полного сезонного цикла должно быть равно единице, рассчитываются по формуле:

, , .

Для описания тенденции воспользуемся линейной моделью роста, что согласуется с результатами визуального анализа исходных данных:

.

На заключительном этапе суммированием полученных оценок трендовой и сезонной составляющих определим предсказанные по аддитивной модели уровни временного ряда (рис. 18).

Рис. 18. Исходные и предсказанные по модели значения показателя

Проанализируем качество построенной модели. Об ее точности можно судить по среднему значению ошибки (погрешности) прогноза, характеризующей величину расхождения между фактическим и прогнозным значением показателя.

Для аддитивной модели исследуемого временного ряда средняя абсолютная ошибка прогноза =31144,4 тыс. руб.; средняя квадратическая ошибка =38347,8 тыс. руб.; средняя относительная ошибка прогноза =2,26%<10%, что свидетельствует о высокой точности построенной модели. Для сравнения: аналогичные показатели мультипликативной тренд-сезонной модели составляют соответственно: 35401,8 руб., 42864,7 руб. и 2,57% [8].

Разделив дисперсию ошибок модели на вариацию (разброс) значений y вокруг среднего значения, получаем, что 92,22% вариации страховых выплат анализируемой компании обусловлено детерминированными факторами, воздействие которых в модели отражено в виде суммы тренда и сезонной компоненты, 7,78% вариации результирующей переменной y нельзя объяснить в рамках модели.

Далее необходимо осуществить проверку выбранной модели на адекватность (т.е. на соответствие данной модели исследуемому процессу), которая строится на анализе остатков модели.

Проверим гипотезу об отсутствии тренда в динамике остатков модели с помощью критерия «восходящих и нисходящих» серий, в ходе которого для ряда ошибок определяется последовательность знаков «+» и «-» :

, , .

Проверка нулевой гипотезы основывается на том, что при условии случайности ряда (отсутствии зависящей от времени систематической составляющей), протяженность самой длинной серии из плюсов или минусов не должна быть слишком большой, а число серий - слишком маленьким.

Нулевая гипотеза о случайности ряда остатков модели не отвергается на уровне значимости . Число серий в совокупности 9, а =7; неравенство выполняется. Второе неравенство также выполняется: протяженность самой длинной серии =3, табличное значение , зависящее от длины временного ряда, равняется 5.

Статистика Дарбина-Уотсона =2,422, пороговые значения для числа наблюдений в выборке n=16 и числа объясняющих переменных m=1 0,844 и 1,086. Поскольку , гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка, т.е. автокорреляции между соседними членами ряда остатков, не отвергается.

Рисунок 19. Прогнозирование суммарных выплат страховой компании с помощью аддитивной модели

Критерий Колмогорова-Смирнова не отвергает гипотезу о нормальном законе распределения ряда остатков модели: p-значение=0,903>0,01. С помощью критерия Жарка-Бера мы приходим к аналогичному выводу: p-значение =0,566>0,01, значения коэффициентов асимметрии и эксцесса распределения близки к нулю.

Таким образом, мы получили модель, адекватно описывающую динамику исследуемого показателя, поскольку последовательность ошибок модели удовлетворяет свойствам случайности и независимости соседних значений уровней ряда. Кроме того, распределение остатков близко к нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием.

Соответственно, данная модель может быть использована для прогнозирования будущих значений временного ряда (рис. 19).

На основе найденных долей и ожидаемых значений суммарных выплат в 2013-2017 гг. определяем недостающие элементы треугольника развития . Суммирование этих величин по строкам позволяет нам оценить размер резерва для неурегулированных страховых случаев по каждому периоду зарождения (табл. 25). Следует отметить, что, в отличие от предыдущих методов, в данном случае оценки резервов убытков для первых трех кварталов наступления страховых случаев отличны от нуля. Это является прямым следствием принятого нами предположения о том, что в том или ином календарном периоде страховой компанией могут урегулироваться убытки весьма отдаленных во времени периодов происшествий, выходящих за рамки треугольника развития.

Таблица 25 Оцененные резервы убытков для каждого i-го квартала инцидента согласно методу на основании финансовых потоков