Разработка математической модели и оптимизации процесса производства аммиака

(3.17)

Указанный процесс продолжается до тех пор, пока не будут исчерпаны все числа Фибоначчи в убывающей последовательности

На рисунке 3.3 процедура такого поиска при N = 21 (s = 7), что отвечает точности поиска порядка 5%. На рисунке цифрами отмечена последовательность вычисления значений функции R(х). Видно, что в процессе поиска третий и пятый шаги оказываются неудачными, что вызывает изменение направления последующих шагов.

Можно показать, что алгоритм поиска с использованием чисел Фибоначчи в пределе с высокой точностью, совпадает с методом «золотого сечения».

Рисунок 3.3- Одномерный поиск с использованием чисел Фибоначчи

3) Метод поочередного изменения переменных

Метод поочередного изменения переменных, называемый также методом Гаусса--Зейделя, по существу аналогичен рассмотренному выше методу релаксации. Отличие заключается лишь в том, что в этом методе не определяется осевое направление, вдоль которого значение целевой функции изменяется наиболее сильно, а поочередно изменяются все независимые переменные так, чтобы по каждой из них достигалось наименьшее (наибольшее) значение целевой функции. Очередность варьирования независимых переменных при этом устанавливается произвольно и обычно не меняется в процессе поиска. Заметим, что для двух независимых переменных оба метода поиска, т. е. метод релаксации и метод поочередного изменения переменных, совпадают.

Как и в методе релаксации, каждая уточняемая переменная варьируется до тех пор, пока в данном осевом направлении не будет найден минимум, после чего начинается процесс шагового поиска по следующему осевому направлению. Стратегия поиска минимума по каждой переменной при этом может быть также

любая. В частности, можно использовать один из описанных выше методов поиска экстремума функции одной переменной.

Очевидно, что поскольку варьирование независимых переменных происходит в установленном порядке, метод их поочередного изменения приводит к оптимуму более длинным путем. Однако общий объем вычислений по сравнению с методом релаксации в данном случае может оказаться меньше, так как при переходе, к уточнению следующей переменной производные целевой функции не вычисляются. Естественно, что недостатки метода релаксации, к которому относятся трудности поиска при наличии ограничений или особенностей целевой функции (овраги), целиком присущи и методу поочередного изменения переменных. Вместе с тем, простота метода и сравнительно небольшой объем вычислений, необходимых для его реализации, обусловили его распространение в системах автоматического отыскания экстремума.

4) Метод сканирования.

Метод сканирования заключается в последовательном просмотре значений критерия оптимальности в ряде точек, принадлежащих области изменения независимых переменных, и нахождении среди этих точек такой, в которой критерий оптимальности имеет минимальное (максимальное) значение. Точность метода, естественно, определяется тем, насколько «густо» располагаются выбранные точки в допустимой области изменения независимых переменных.

Основным достоинством метода сканирования является то, что при его использовании с достаточно «густым» расположением исследуемых точек всегда гарантируется отыскание глобального оптимума, так как анализируется вся область изменения независимых переменных. Другое достоинство -- независимость поиска от вида оптимизируемой функции.

К недостаткам метода относится, в первую очередь, необходимость вычисления значений целевой функции для большего числа точек. Это должно гарантировать, что оптимум не будет пропущен при применении данного метода поиска.

Общий недостаток градиентных методов в оптимизации, за исключением, может быть, метода «тяжелого шарика», состоит в том, что все они «застревают» в ближайшем локальном оптимуме, 1 в область «притяжения» которого попадает выбранная начальная точка спуска. В отличие от этих методов метод сканирования ни-1 как не связан с наличием локальных оптимумов целевой функции. Поэтому его можно использовать иногда для предварительного грубого установления границ областей «притяжения» указанных оптимумов, после чего могут уже применяться градиентные методы спуска для измерения точной «глубины» каждого локального оптимума.

Наиболее простой алгоритм поиска оптимума методом сканирования, называемый еще иногда поиском на сетке переменных, заключается в том, что по каждой независимой переменной даются приращения в соответствующем порядке, обеспечивающем заполнение всей области изменения этих переменных равномерной и достаточно густой сеткой. В простейшем случае двух переменных x1 и x2 сканирование сводится к просмотру значений критерия оптимальности при заданном значении одной переменной х2 для ряда значений другой х1, которые определяются как отстоящие друг от друга на величину шага по переменной x1 После того как весь диапазон изменения переменной хх при заданном значении x2 исследован и для него найдено минимальное значение критерия оптимальности, изменяется значение переменной x2 также на величину некоторого шага по этой переменной и т. д.

Для произвольного числа независимых переменных шаг по каждой следующей переменной производится после того, как полностью завершен цикл по предыдущей.

Дополнительные ограничения на независимые переменные по существу не усложняют процедуры использования метода сканирования, так как в этом случае точки, которые не удовлетворяют заданным условиям, просто исключаются из рассмотрения и значения критерия оптимальности в них не вычисляются. Наличие дополнительных ограничений на независимые переменные даже ускоряет решение задачи, если, конечно, эти ограничения не заданы в виде трудновычислимых соотношений, поскольку возможный диапазон изменения при этом сужается и значения критерия оптимальности рассчитываются с меньшим числом точек.

Особенно просто обстоит дело, если ограничения заданы в виде неравенств, когда приемлемость точки решается простой проверкой этих условий. Однако метод сканирования можно применить также и в случае, если ограничения имеют вид равенств. Наиболее простой путь при этом состоит в замене ограничений типа

(3.18)

Ограничением

определяющим некоторую е-окрестность гиперповерхности, описываемой уравнением (3.18), где и используется метод сканирования.

Другой прием, который может быть применен когда ограничение (3.19) представляется в виде

(3.20)

При этом сканирование ведется по п -- 1 переменным, а соответствующее значение переменной x рассчитывается из выражения (3.20). Разумеется, что находимое значение х} также проверяется допустимый диапазон изменения, который для нормализованных переменных, например, равен [0, 1].

Нетрудно получить оценку вычислительных затрат при применении метода сканирования. Так, в случае поиска оптимума целевой функции при условии, что точность определения положения этого оптимума равна , т. е. искомые значения нормализованных переменных не должны отличаться от истинного положения оптимума на величину, большую, чем , число рассчитываемых значений целевой функции составит:

(3.21)

где п -- число независимых переменных решаемой задачи (размерность задачи).

Таким образом, число вычислений критерия оптимальности при определении положения оптимума методом сканирования возрастает в показательной зависимости от размерности решаемой задачи. Поэтому эффективное применение данного метода в основном ограничивается задачами невысокой размерности п = 2 -- 3, если используется простейший алгоритм поиска, рассмотренный выше, для отыскания оптимума с невысокой точностью.

Существуют различные модификации метода сканирования, применяемые в основном для сокращения объема вычислений. Одна из таких модификаций заключается в том, что используется алгоритм с переменным шагом сканирования. Вначале величина шага выбирается достаточно большой, по возможности значительно превышающей требуемую точность определения положения оптимума, и выполняется грубый поиск, который локализует область нахождения глобального оптимума. После того как область определена, производится поиск с меньшим шагом только в пределах указанной области. Практически можно организовать целый ряд таких процедур последовательного уточнения оптимума. Необходимый объем вычислений значений целевой функции при этом существенно сокращается и может быть подсчитан по формуле

(3.22)

в которой п -- размерность задачи; -- точность определения оптимума; r -- число этапов уточнения поиска, на которых шаг поиска уменьшается в к раз. Начальный шаг сетки переменных в данном случае определяется формулой:

(3.23)

Например, при поиске оптимума функции двух переменных (n = 2) с точностью = 0,001, используя два этапа уточнения величины шага (r = 2) в к = 10 раз, т. е. с начальным шагом 0 = 0,1, необходимый объем вычислений составит,

S= 104(103)2 + 2-(20)2 = 900(3.24)

что более чем в 1000 раз сокращает объем вычислений при сканировании с постоянным шагом

На рисунке 3.4 показан поиск с переменным шагом для функции двух переменных. Кружком обозначено истинное положение оптимума, а крестом -- приближение, найденное в результате грубого поиска.

Важнейшим моментом при использовании метода сканирования с переменным шагом является выбор начального грубого шага поиска. Если начальная величина шага выбрана слишком большой, может возникнуть опасность пропуска глобального оптимума. Если же начальный шаг выбран слишком малым, может быть велик необходимый для поиска объем вычислений. При выборе величины начального шага существенную помощь может оказать информация о поведении целевой функции, наличии локальных экстремумов.

Рисунок 3.4 - Поиск методом сканирования с переменным шагом

5) Метод равномерного поиска

Для поиска экстремума функции на отрезке в данном методе реализуется следующий алгоритм. Переменной присваивается значение , где - шаг поиска, - число разбиений. На каждом шаге вычисляется значение и проверяется условие , где l - номер шага. Если данное условие выполняется, переменной даётся новое приращение и процесс повторяется. Если на выполняется, то величина - экстремальное значение, а принимаем равным , при этом счёт заканчивается. Точность вычисления экстремума зависит от величины шага.

Рисунок 3.5-Метод равномерного поиска

6) Метод поразрядного приближения

Данный метод является разновидностью метода равномерного поиска. Он реализуется следующим алгоритмом:

1) задают , и принимают , находят ;

2) задают начальный шаг поиска , ;

3) полагаем что и ;

4) задаём и вычисляем ;

5) если , то возвращаемся к пункту 1, если условие не выполняется, то переходим к пункту 6;

6) и проверяем условие , где - заданная погрешность вычисления, если это выполняется, то возвращаемся к пункту 3, если нет, то заканчиваем счёт и принимаем за . Точность метода зависит от величины шага поиска и погрешности вычисления.

Рисунок 3.6- Применение метода поразрядного приближения

7) Метод дихотомии

Данный метод заключается в делении отрезка на котором ведётся поиск экстремума на две равные части. Он реализуется следующим алгоритмом:

1) проверяем условие , если условие выполняется, то переходим к пункту 5, если нет, то к пункту 2;

2) делим отрезок пополам и вычисляем , , ;

3) находим и ;

4) проверяем условие >, если оно выполняется, то и возвращаемся к пункту 1, если нет, то и возвращаемся к пункту 1;

5) вычисляем и .

Точность расчётов зависит от величины заданной погрешности вычисления.

7) Метод золотого сечения

Рисунок 3.7 - Одномерный поиск методом «золотого сечения»

Данный метод основан на делении отрезка на котором находят экстремум напополам. Он позволяет сузить данный отрезок и количество вычислений в два раза по сравнению с методом дихотомии. Алгоритм расчёта следующий:

1) находим коэффициент деления ;

2) находим и ;

3) находим и ;

4) проверяем условие , если оно выполняется, то находим и , счёт прекращаем, если нет, то переходим к пункту 5;

5) проверяем условие , если оно выполняется, то полагаем и переходим к пунктам 3 и 4, если нет, то и переходим к пункту 2 и 4

Рисунок 3.8 Поиск и условия применения метода «золотое сечение»

9) Метод квадратичной интерполяции.

Данный метод заключается в замене исходной функции на интервале от до (где - первоначальное значение, - полуинтервал поиска) вблизи к экстремуму на квадратичную параболу:

(3.25)

После нахождения приближённого значения экстремума замененной функции, сужают рассматриваемый интервал и вновь производят замену исходной функции. Процесс осуществляют до тех пор, пока экстремум на будет найден с определённой заданной погрешностью. Если поиск экстремума проводят в пределах интервала, то это интерполяция, если вне, то - экстраполяция.

Алгоритм метода следующий:

1) задаём начальное приближение на интервале от до ;

2) вычисляем и , где - полуинтервал поиска;

3) вычисляем ;

4) находим коэффициенты и для параболы :

(3.26)

(3.27)

5) находим ;

6) проверяем условие , если оно выполняется, то и возвращаемся к пункту 1, если нет, то и заканчиваем счёт.

Рисунок 3.9 - Применение метода квадратичная интерполяция

Преимуществами данного метода является то, что он без всякой замены исходной функции позволяет найти как максимум, так и минимум, причём даже за пределами заданного интервала. Данный метод сравнительно легко реализуется на ЭВМ. Для большинства гладких функций данный метод даёт значительный выигрыш во времени.

Для оптимизации математической модели процесса получения серной кислоты будем использовать метод дихотомии.

Существует довольно очевидная теорема: "Если непрерывная функция на концах некоторого интервала имеет значения разных знаков, то внутри этого интервала у нее есть корень (как минимум, один, но может быть и несколько)". Вот на базе этой теоремы и построено численное нахождение приближенного значения корня функции. Обобщенно этот метод называется "дихотомией", т.е. "делением отрезка на две части". Метод дихотомии заключается в следующем: выяснив, сколько всего элементов в отсортированном массиве, мы сравниваем число "X" со средним элементом массива. Если средний элемент массива больше, чем "X" - значит все элементы массива стоящие после среднего элемента массива тоже больше чем число "X", ведь мы работаем с отсортированным массивом. Следовательно, нам следует продолжить поиск в оставшейся части массива, расположенной до среднего элемента. Выяснив, сколько элементов в оставшейся части массива, мы опять выбираем средний элемент и сравниваем с ним число "X". Итак, для поиска нужного элемента остаётся только четверть массива. Затем границы поиска сужаются ещё больше - до восьмой части массива и так далее, до тех пор, пока не найдётся элемент массива равный числу "X" или пока не останутся два элемента массива, один больше числа "X", а другой меньше.



Рисунок 3.10-Условия и поиск экстремумов с помощью метода дихотомии

3.3 Описание численного метода оптимизации

Один из методов нахождения минимума функции f(x) состоит в многократном вычислении функции и поиске локального минимума. Для уменьшения количества вычислений функции важно иметь хорошую стратегию, чтобы определить, где вычислять функцию f(x). Одним из наиболее эффективных методов является поиск методом золотого сечения, который так назван из-за отношения, используемого при выборе точек.

Пусть [0; 1] -- начальный интервал. Если 0,5 < r < 1, то 0 < 1 -- r < 0,5 и интервал делится на три подынтервала: [0,1 - r], [1 - r; r] и [r; 1] В процессе решения используется либо сжатие вправо и получение нового интервала [0;r], либо сжатие влево и получение интервала [1 - r, 1] Затем эти новые подинтервалы делятся на три подинтервала в таком же соотношении, как и интервал [0; 1].



Рисунок 3.11- Интервалы, которые используются при поиске методом золотого сечения

Требуется так выбрать r, чтобы одна из старых точек была в правильном положении относительно нового интервала, как показано на рис 4.1. Из этого следует, что отношение (1 -r):r такое же, как и r: 1 Следовательно, r удовлетворяет уравнению 1 - r = r2, которое можно записать в виде квадратного уравнения r2 + r - 1 = 0 Решение r, удовлетворяющее неравенству 0,5 < r < 1, равно г = ( - 1) /2.

Функция f(x) должна удовлетворять особым условиям, которые гарантируют существование истинного минимума на интервале, чтобы можно было использовать поиск минимума функции f(х) методом золотого сечения

Функция f(x) является унимодальной на интервале I = [a, b], если существует такое единственное число pI, что

f(х) убывает на [а,р]

f(x) возрастает на [р,b].

Если известно, что функция f(x) унимодальна на интервале [а,b], то можно заменить интервал подинтервалом, на котором функция f(x) принимает минимальное значение Для поиска методом золотого сечения требуется, чтобы использовались две внутренние точки, с = а + (1 -- r)(b -- а) и d = а + r(b -- а), где r является золотым сечением, о котором упоминалось выше Эти точки удовлетворяют неравенству а < с < d < b. Условие, что функция f(x) унимодальна, гарантирует, что значения функции f(с) и f(d) меньше, чем mах{f(а),f(b)} Рассмотрим два случая.

Если f(с) < f(d), то минимум должен находиться на подинтервале [a; d] Заменяем b на d и продолжаем поиск на новом подинтервале. Если f(d) < f(с), то минимум должен находиться на подинтервале [с; b]. Заменяем а на с и продолжаем поиск. В следующем примере метод нахождения корня сравнивается с поиском методом золотого сечения. Сравниваем на каждом шаге значения функции f(с) и f(d) и принимаем решение продолжать поиск на интервале [a;d] или [с;b].

Рис. 3.12 - Процесс решения для поиска методом золотого сечения

4. Решение задачи оптимизации на основе моделирования на ЭВМ

4.1 Разработка алгоритма и блок-схемы задачи

В качестве метода оптимизации используем метод золотого сечения. Данный метод основан на делении отрезка на котором находят экстремум пополам. Он позволяет сузить данный отрезок и количество вычислений в два раза по сравнению с методом дихотомии. Алгоритм расчета следующий:

1) определяется коэффициент деления отрезка

(4.1)

2) вычисляются величины аргумента

(4.2)

(4.3)

3) вычисляются соответствующие значения функций F(x1), F(x2);

4) проверяется условие: x2-x1<?, если выполняется, то вычисляется xm=(x1+x2)/2 и F(xm), если не выполняется, то переходим к пункту 5;

5) проверяется условие: F(x1)<F(x2), если выполняется, то принимается a=x1 и переходим к пункту 2, если не выполняется, принимаем b=x2 и переходим к пункту 2.

Блок-схема метода золотого сечения представлена на рисунке 4.1.

4.2 Разработка программы и анализ результатов моделирования

4.2.1 Оптимизация выхода аммиака от температуры

В качестве критерия оптимизации выбираем оптимизацию выхода аммиака от температуры.

clc, clear

r=(sqrt(5)-1)/2 % вычисление коэффициента деления отрезка

a=723;

b=1020;

s=0.1;

A1 =1.0e+003;

A2= -2.6165;

A3= 0.0136;

x1=a+(1-r)*(b-a)

F1=A1+A2*x1+A3*x1.^2

x2=a+r*(b-a)

F2=A1+A2*x2+A3*x2.^2

if x1-x2<s

xm=(x1+x2)/2

Fm=A1+A2*xm+A3*xm.^2

else if F1<F2

a=x1

else

b=x2

end

x2=a+r*(b-a);

F2=A1+A2*x2+A3*x2.^2

end

%Результаты расчетов:

r =0.6180

x1 = 836.4439

F1 = 8.3265e+003

x2 = 906.5561

F2 =9.8051e+003

xm = 871.5000 % оптимальное значение температуры

Fm =9.0491e+003 % оптимальное значение выхода аммиака

Оптимальное значение температуры 871оС

4.2.2 Оптимизация выхода аммиака от давления

В качестве критерия оптимизации выбираем оптимизацию выхода аммиака от давления.

clc, clear

r=(sqrt(5)-1)/2 % вычисление коэффициента деления отрезка

a=25;

b=30.8;

s=0.01;

A1 =31.9385;

A2 = -1.2462;

A3 = 0.0211;

x1=a+(1-r)*(b-a)

F1=A1+A2*x1+A3*x1.^2

x2=a+r*(b-a)

F2=A1+A2*x2+A3*x2.^2

if x1-x2<s

xm=(x1+x2)/2

Fm=A1+A2*xm+A3*xm.^2

else if F1<F2

a=x1

else

b=x2

end

x1=a+(1-r)*(b-a);

F1=A1+A2*x1+A3*x1.^2

x2=a+r*(b-a);

F2=A1+A2*x2+A3*x2.^2

end

%Результаты расчетов:

r =0.6180

x1 = 27.2154

F1 =13.6510

x2 =28.5846

F2 =13.5567

xm = 27.9000 % оптимальное значение давления;

Fm = 13.5940 % оптимальное значение выхода аммиака .

Отимальное значение давления 27.9 МПа

4.2.3 Оптимизация выхода аммиака от соотношения реагирующих компонентов

В качестве критерия оптимизации выбираем оптимизацию выхода аммиака от соотношения реагирующих компонентов.

clc, clear

r=(sqrt(5)-1)/2 % вычисление коэффициента деления отрезка

a=2.7;

b=3.3;

s=0.01;

A1 =48.8362;

A2 =-25.8143;

A3 = 4.6667;

x1=a+(1-r)*(b-a)

F1=A1+A2*x1+A3*x1.^2

x2=a+r*(b-a)

F2=A1+A2*x2+A3*x2.^2

if x1-x2<s

xm=(x1+x2)/2

Fm=A1+A2*xm+A3*xm.^2

else if F1<F2

a=x1

else

b=x2

end

x1=a+(1-r)*(b-a);

F1=A1+A2*x1+A3*x1.^2

x2=a+r*(b-a);

F2=A1+A2*x2+A3*x2.^2

end

%Результаты расчетов:

r =0.6180

x1 =2.9292

F1 =13.2622

x2 =3.0708

F2 = 13.5718

xm =3 % оптимальное значение соотношения реагирующих веществ;

Fm =13.3936 % оптимальное значение выхода аммиака.

Оптимальное значение соотношения реагирующих веществ 3

4.2.4 Оптимизация выхода аммиака от времени контактирования

В качестве критерия оптимизации выбираем оптимизацию выхода аммиака от времени контактирования.

clc, clear

r=(sqrt(5)-1)/2 % вычисление коэффициента деления отрезка

a=1.8;

b=10;

s=0.01;

A1 =-1.4006;

A2 =2.2739;

A3 = -0.1068;

x1=a+(1-r)*(b-a)

F1=A1+A2*x1+A3*x1.^2

x2=a+r*(b-a)

F2=A1+A2*x2+A3*x2.^2

if x1-x2<s

xm=(x1+x2)/2

Fm=A1+A2*xm+A3*xm.^2

else if F1<F2

a=x1

else

b=x2

end

x1=a+(1-r)*(b-a);

F1=A1+A2*x1+A3*x1.^2

x2=a+r*(b-a);

F2=A1+A2*x2+A3*x2.^2

end

%Результаты расчетов:

r =0.6180

x1 = 4.9321

F1 =7.2166

x2 =6.8679

F2 =9.1788

xm =5.9000 % оптимальное значение времени контактирования;

Fm = 8.2977 % оптимальное значение выхода аммиака.

Оптимальное значение времени контактирования 6секунд

Заключение

В данной курсовой работе рассмотрен технологический процесс промышленного синтеза аммиака на установке 600 т/сутки. Были построены и проанализированы зависимости выхода аммиака от температуры, давления, соотношения реагирующих веществ и времени контактирования газовой смеси.

На основе данных зависимостей была проведена оптимизация химико-технологического процесса синтеза аммиака. Были получены следующие оптимальные значения технологических параметров:

оптимальное значение температуры 850 град., при выходе аммиака 9,05%

оптимальное значение давления 27,9 МПа, при выходе аммиака 13,6%

оптимальное значение соотношения реагирующих веществ 3, при выходе аммиака 13,9%

оптимальное значение времени контактирования 5,9 секунд, при выходе аммиака 8,3%

Список использованных источников

1. Салтанова В.П. Технология связанного азота. - М.: Высшая школа,1981. - 205с.

2. Атрощенко В.И. и др. Методы расчётов по технологии связанного азота. 2-е изд. - К.: Вища школа, 1978. - 312 с.

3. Олевский В.М. Производство азотной кислоты в агрегатах большой единичной мощности. - М.: Химия, 1985. - 400 с.

4. Атрощенко В.И., Каргин С.И. Технология азотной кислоты. - М.: Химия, 1970. - 496 с.

5. Атрощенко В.И. и др. Технология связанного азота. - К.: Вища школа, 1985. - 327 с.

6. Вэйлас С. Химическая кинетика и расчёты промышленных реакторов. - М.: Химия, 1967. - 416 с.

7. Бояринов А.И., Кафаров В.В. Методы оптимизации в химической технологии. - М.: Химия, 1975. - 576 с.

8. Закгейм А.Ю. Введение в моделирование химико-технологических процесс -сов. - М.: Химия, 1973. - 224 с.

9. Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. - М.: Химия, 1976. - 464 с.

Размещено на Allbest.ru