Homo mathematicus. Число как культурологический феномен

Клаудия Заславски объясняет, как строятся традиционные дома народа джагга, живущего на склонах горы Килиманджаро. Сначала на помощь зовут самого высокого человека среди всех знакомых. Он ложится на землю и вытягивает руки в стороны. Радиус будущего дома будет составлять 2-3 размаха его рук. Это расстояние откладывается на веревке, которую привязывают к колышку. Затем, держа конец веревки в руках, совершают полный оборот вокруг колышка и чертят на земле окружность. Высота дверей будет равна размаху рук человека, ширина - длине окружности его головы, измеренной при помощи веревки.

Хотя принято считать, что типи североамериканских индейцев имеют коническую форму, они, по сути, представляют собой многогранники и в действительности имеют форму пирамиды. Несколько длинных кольев, воткнутых в землю в форме круга (они определяют вершины многоугольника достаточно правильной формы), сходятся в вершине хижины. Эти колья - ребра пирамиды - накрываются шкурами. Типи можно легко разобрать и перенести на новое место.



Глава III. Семиотика чисел в различных культурах

«Числа были не слепо выброшены в мир; они подчиняются гармоничному порядку подобно тому, как кристаллическая решетка и консонансы (созвучия) гаммы подчинены всеохватывающим законам гармонии» -- А. Кёстлер.

Невозможно охватить всю сложность пифагорейского и средневекового христианского символизма чисел, применяемых в теологии, в космогонии и в науке. Во многих культурах, особенно в вавилонской, индуистской и пифагорейской, число есть фундаментальный принцип, лежащий в основе мира вещей. В герметической философии мир чисел отождествляется с миром причин.

Математика представляет собой, пожалуй, единственную науку, которая имеет дело исключительно с абстрактными сущностями, прежде всего, с числами.

одна из важнейших категорий в мифопоэтическом образе мира, представленная во всех культурах; средство упорядочения и моделирования Вселенной; В мифопоэтических системах, один из наиболее известных классов знаков, ориентированный на качественно-количественную оценку; элементы особого числового кода, с помощью которого описываются мир, человек и сама система метаописания. Мифо-поэтические основы чисел, счёта и числовых моделей, более полно обнаруживаются в тех архаичных культурах, в которых:

1) число выступает уже самостоятельно, вне непременной связи с объектами;

2) сама система не является дефектной;

3) числа же ещё не полностью десемантизированы (как в культурах современного типа, утративших понимание неоднородности членов числового ряда).

В архаичных традициях числа могли использоваться в ситуациях, которым придавалось сакральное, «космизирующее» значение. Тем самым числа становились образом мира и отсюда -- средством для его периодического восстановления в циклической схеме развития для преодоления деструктивных хаотических тенденций. Мифопоэтическая роль чисел в явном или неявном виде показательнее всего выступает в тех культурах, которые знают тексты с сильным развитием классификационного принципа. Согласно ему, все объекты (особенно сакрально значимые) связаны друг с другом определённой системой иерархических отношений, которая обычно легко переформулируется и в плане творения («как это возникло») [ср. «Великую девятку богов» в древнеегипетском гелиопольском варианте]. Особенно чётко классификационная функция чисел выступает в древнекитайской мифопоэтической традиции, … числа и вещи неотделимы друг от друга и образуют континуум без начала и конца («числа управляют миром»). Сходная роль приписывалась числам и в пифагорейской традиции, и в её продолжениях (между прочим, в мусульманских космологических учениях, обнаруживающих влияние исторического пифагореизма). Известны традиции, где числа приписывались божественным персонажам; личностная компонента индивидуальность. Вторая особенность, связанная с учением об элементах, заключается в установлении символической корреляции между основными 5 элементами и членами других ведущих семантических сфер [ср. также ряды: дерево -- весна -- восток -- кислый -- козлиный (запах) -- тигр -- заяц -- и т. п.]. Такие классификационные ряды являются, по сути дела, подобием сети отношений, своеобразным кодом описания мира и основой т. н. «координирующего» или «ассоциативного» мышления, характерного для ряда культур. Каждое число имеет свою форму (3 -- треугольника, 4 -- квадрата, 5 -- пятиугольника, 6 -- шестиугольника и т. д.) Неоплатоническая философия поздней античности и еврейские тайные учения средневековья широко использовали числовую символику, применяя числовые обозначения букв как греческого, так и еврейского алфавита…

Последовательность первых трех цифр почти повсеместно представляется как единство (1), двойственность (2) и синтез (1+2=3). «Священные числа» при такой предпосылке имеют действительно сакральный смысл, это прежде всего -- Бог-творец как «первоединое», которое, отчуждая и проявляя себя, порождает двуединое. Из тезиса и антитезиса получается синтез тройственности

Специфична семантика числа 1. В наиболее древних текстах 1 встречается крайне редко или вовсе не встречается. Оправдано предположение, что 1 означает, как правило, не столько первый элемент ряда в современном смысле, сколько целостность, единство. Совершенная целостность, понимаемая как единица, объясняет приписывание числа 1 таким образам этой совершенной целостности, как бог или космос. Число 2 лежит в основе бинарных противопоставлений, с помощью которых мифопоэтические и ранненаучные традиции описывают мир. Оно отсылает к идее взаимодополняющих частей монады (мужской и женской как два значения категории пола; небо и земля, день и ночь как значения, принимаемые пространственно-временной структурой космоса), к теме парности, в частности в таких её аспектах, как чётность, дуальность, двойничество, близнечество. Характерно соотношение 1 и 2, реконструируемое по данным ведийской традиции. Число 2 в ней выступает как символ противопоставления, разделения и связи, с одной стороны, и как символ соответствия или гомологичности противопоставляемых членов -- с другой. В силу этих качеств 2 есть первичная монада, защищающая человека от небытия и соответствующая творению -- небу и Земле, рождённым в одном гнезде. Как таковое два противостоит трансцендентному одному, единому (вед. eka-), размышление над которым дало начало особой стадии в развитии спекулятивно-космологического умозрения. Сказанное о семантике 1 и 2 объясняет, почему в ряде культурных традиций 1 и 2 (или иногда только 1) не рассматриваются как числа (соответствующие слова нередко оформляются иначе, нежели другие числительные). Первым числом в целом ряде традиций (в том числе и в древнекитайской) считается 3; оно открывает числовой ряд и квалифицируется как совершенное число. 3 -- не только образ абсолютного совершенства, превосходства (ср. роль числа 3 как суперлатива: трисвятый, треклятый и т. п.), но и основная константа мифопоэтического макрокосма и социальной организации (включая и нормы стандартного поведения). Ср. многочисленные космологические, сакральные, социальные и т. п. триады… В отличие от динамической целостности, символизируемой числом 3, число 4 является образом статической целостности, связанной с пространственно-временной и стихийной организацией сотворенной вселенной. Из суммы этих двух основных числовых параметров возникает число 7, определяющую многие мифопоэтические и классификационные константы, имеющие вероятно, психофизиологические основания В некоторых культурно-языковых традициях существует семиричная система счисления и/или число 7 выступает вообще как наиболее употребительное число, характеризующее почти универсально всё, что исчисляется в мифопоэтическом космосе (ср. число 7 у кетов на Енисее). Иа произведения 3 и 4 возникает число 12, которое также принадлежит к наиболее употребительным в мифопоэтических культурах числовым. В ряде традиций с числом 7 соперничает число 9, получаемое троекратным повторением триады. Сакрально отмеченными и соответственно этому употребительными в ритуале и в мифопоэтических текстах являются и другие числа, производные от 2, 3, 7, 9, 12 (33, 37, 99; 24, 36 и т. п., Показательно почти полное отсутствие в этом ряду числа 10 (ср., впрочем, овидиевы «Фасты» III 121 след.), играющего основополагающую роль как в современной системе счисления, так и в мистической философии нумерологического характера. Числа от 1 до 10 (от 1 до 12 в двенадцатеричных системах счисления) считались числами с архетипическим значением. Числа более высокого порядка, в которых снова появляется смысловое значение, часто усиливают символику цифр, из которых они состоят. Но для мифопоэтической традиции существенна не только парадигматика членов числового ряда (то есть состав его и свойства его членов), но и их синтагматика (то есть участие чисел в текстах). Существует целый ряд архаичных текстов, в которых числа не только раскрывают свою природу, но и описываются операции над ними, причём эти операции также считались сакрализованными, поскольку с их помощью актуализировался акт «космизации» вселенной. В более автоматизированном виде с частичным или полным забвением исходных принципов схема порождения элементов числового ряда используется в многочисленных сказочных сюжетах, особенно в формульных и кумулятивных сказках, где описываются цепочки чисел или объектов (ср. No 2000--2013 по Аарне-Томпсону). Особый круг текстов связан с обыгрыванием числового принципа при полной дегенерации первоначальной содержательной схемы (введение подчёркнуто «низких», заведомо несакральных объектов) или с доведением числового принципа до крайности (ср. т. н. «бесконечные» сказки с регулярным зацикливанием, ср. No 2300 или числовые шутки абсурдистского типа). Ряд заговорных, заклинательных, молитвенных текстов также построены по числовому принципу, ср., например, образцы «обратного счёта» в русских заговорах на уничтожение змей, червей и т. п., когда выстраивается нисходящий ряд (из «девяти восемь, из восьми -- семь…, из одного -- ни одного»), в такт которому должно сокращаться число изгоняемых объектов. Более показательны, однако, такие жанры народной словесности, в которых Ч. выступает в соотнесении с основными объектами космологической модели мира -- Вселенной, мировым деревом, космическими зонами, годом и т. п. Характерный пример -- загадки, описывающие одновременно и год, и, по сути дела, мировое дерево. Ср.: «Стоит столб до небес, на нём 12 гнёзд, в каждом гнезде по 4 яйца, в каждом яйце по 7 зародышей» или «Выросло дерево от земли до неба, на этом на дереве 12 сучков, на каждом сучке 4 кошеля, в каждом кошеле по 6 яиц, а седьмое красное». Все такие «числовые» тексты также дают основания для утверждения, что в архаичных культурах число и счёт были сакрализованными средствами ориентации и «космизации» вселенной. С их помощью всякий раз, когда это было нужно, репродуцировалась структура космоса и правила ориентации в нём человека. Появление счётно-хозяйственных текстов относится к типологически более поздней стадии, когда члены числового ряда утратили свои прежние функции, а сам числовой ряд стал гомогенным. Дискуссии о соотношении Ч. и слова, математики и поэзии -- также удел более позднего времени. Тем не менее они несут в себе следы мифопоэтической концепции Ч. Во всяком случае, уместно указать две основные тенденции в области этих отношений. С одной стороны, речь идёт о стремлении увидеть за словом Ч., представить поэзию и искусство в виде своего рода математики (или описать их через неё). Родословная этого направления берёт начало в основном принципе математической эстетики пифагорийцев -- сущность красоты кроется во внутренних числовых отношениях. Другая ведущая фигура этого направления -- Августин, синтезировавший в своём неопифагорействе идеи, связанные с числом и гармонией и восходящие к Платону («Тимей» и др.) и Плотину. Многие идеи этого рода развивались и в новое время (Малларме, П. Валери, ср. нумерологические опыты В. Хлебникова и т. п.). С другой стороны, не менее постоянно стремление вновь семантизировать число, то есть вернуть ему ту роль, которую оно играло в мифопоэтическую эпоху. Это стремление реализуется в той области человеческой деятельности, в которой, как в заповедном месте, сохраняются достижения архаической эпохи -- в поэзии и искусстве.

На традиционной символике чисел часто основаны суеверия - священная семерка, «несчастливое» число 13.

В современном мире число/цифра ассоциируется с информацией (представленной в виде последовательности двоичных чисел), развитием человеческого знания, управлением.

Сверхъестественная сила чисел и цифр тесно связана, в том числе исторически, с магией букв. Особые знаки для обозначения цифр появились у большинства народов далеко не сразу (исключение составляют языки с иероглифической письменностью). И арабские, и еврейские, и греческие, и латинские буквы имеют второе, числовое значение. Не избежали этой участи и славянские алфавиты (как кириллица, так и глаголица).

Основные значения:

Космическая гармония

Утилитарность, кодирование.

Природа чисел в культуре Древнего Востока

Для древних вавилонян характерны представления о сверхъестественной природе чисел:

Первые шестьдесят натуральных чисел у вавилонян используются как обозначения богов, практически отождествляясь с ними.

Особое место занимает число 12 960 000 -- «число Платона», рассматриваемое как основа жизни во Вселенной.

Все числа, на которые число Платона делится без остатка, полагаются счастливыми.

К несчастливым ученые древнего Вавилона относят число 7, 11 и 13.

Значение чисел в культуре Древнего Египта

Число один выступает символическим указанием на изначальные (первобытные) времена -- «прежде чем возникли в этой стране еще две вещи».

Два -- воплощение понятия двоичности / дуализма (противоположностей)- верх и низ, день и ночь, мужчина и женщина.

Три:

отец, мать и ребенок (как зеркальный образ божественного мира);

фиванская триада -- Амон, Мут и Хонс;

Озирис, Изида и Гор;

деление дня на три части -- утро, полдень и вечер;

троекратное исполнение молитвы и жертвоприношения в течении дня.

Четыре: пространство; четырехсторонние алтари солнца в Гелиополе ориентированы по сторонам света.

Семь (вероятно самое значительное число в магии и мифах) - совершенство:

Ра, Хатор и Маат имеют по семь ба (по каждому от отдельных богов, чтобы оно было семикратным);

42 судьи мертвых -- 7Ч6.

Восемь -- удвоение четвёрки; гермопольская огдоада, объединяющая четыре пары древних богов.

Девять:

сообщество богов -- великая гелиопольская девятка богов;

совокупность людей -- девять луков служат символом подчиненных царю народы.

В качестве графического обозначения чисел служат такие идеограммы, как:

1.000 -- цветок лотоса -- служит также символическим выражением большого количества и в этом качестве встречается в списках жертвоприношений;

100.000 -- головастик (водится в Ниле в неимоверном количестве);

1.000.000 -- изображение стоящего на коленях бога Хах -- часто приводится на сосудах и украшениях как символ бесконечного множества лет (вечности) и в этом случае несет в вытянутых руках пальмовую ветвь.

Числовая система в Античной культуре

В трагедии Эсхила говорится, что числа для смертных изобрёл Прометей. Будучи связаны с измерениями периодичности космических циклов, числа воспринимаются (древним) человеком не только в качестве единицы измерения -- вспомогательного упорядочивающего средства, введенного человеком; но также, и преимущественно, как «архе»[2] всех вещей, «абсолютные» (неуничтожимые) следы сверхчеловеческих сил, священные символы божеств(а). Нечетные числа при этом рассматриваются как активные и мужские, связанные с небом, а четные -- пассивные, земные и женские.

«Жертвы богам небесным -- числом нечетным, а земным -- четным» -- Плутарх.

Согласно античным философам:

числа являются «началом и сущностью вещей, их взаимодействием и состоянием» -- Аристотель;

гармонией вселенной -- Платон;

они существуют «как господствующая и несотворимая связь и основа вечной устойчивости внутримирового порядка вещей» -- Филолай (V в. до н. э.);

«Всё располагается согласно числам» / «Всё есть число» / «Всё в мире есть числа» -- Пифагор.

Для Пифагора числа имеют как количественные, так и качественные черты; они божественны по своей сути и их посредством может быть представлена каждая форма. Исследования Пифагором колебания струн -- первый опыт математического познания мира, привели к постулированию понятия «гармония».

Согласно воззрениям Пифагора, числа -- это:

символ божественного мироздания, ключ к гармонии законов космоса;

сила, поддерживающая вечное постоянство космоса;

скрытые в мире божественные первообразы и прообразы (архетипы), становящиеся очевидными и зримыми при проницательном его созерцании;

правило, порядок, музыка -- все в мире организовано по правилам, упорядоченно и музыкально.

Во взаимодействии четных и нечетных чисел Пифагор видел действие универсального принципа единства противоположностей (конечного и бесконечного, прямого и изогнутого, квадратного и круглого).

В терминах пифагорейской философии последовательность чисел 1, 2, 3, 4 символизирует путь от единства к множественности (от точки к прямой линии, от единицы к множеству).

Практика обозначения чисел точками позволила пифагорейцам наглядно показать, что сумма последовательных нечетных чисел представляет собой последовательность квадратов:

1 + 3 = 22;

1 + 3 + 5 = З2;

1 + 3 + 5 + 7 = 42;

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52.

Семантика чисел в культуре древних славян

В народной традиции числа -- объект семантизации, символизации и оценки, связаный с понятием множественности. Счет, перечисление часто трактуется как опасное действие, с помощью которого можно овладеть предметом счета, подчинить его своей воле. Например, запрещается пересчитывать овец в стаде (это может нанести им вред), летящих птиц в стае (их можно сбить с пути), измерять длину вытканного полотна и т. п. В заговорах всех славянских традиций в магических целях используется формула убывающего счета (9-8-7-6-5-4-3-2-1-0) как способ «сведения на нет» опасности, ср. в русском заговоре от червей:

«У нашего (имя рек) 9 жен; после 9 жен 8 жен, после 8 жен 7 жен, (…) после двух жен одна жена; после одной жены ни одной…»

Элементы числового ряда в своих культурных функциях неравноценны. Наиболее значимы числа 2, 3, 4, 7, 9, 12, 20, 30, 40, каждое из которых получает истолкование в зависимости от тех реалий или событий окружающего мира, с которыми оно соотносится.

В духовных стихах преобладают христианские ассоциации чисел:

«Поведайте, что есть десять?

-- Десять Божьих заповедей;

-- Девять в году радостей;

-- Восемь кругов солнечных;

-- Семь чинов ангельских;

-- Шесть крыл херувимских;

-- Пять ран без вины Господь терпел;

-- Четыре листа Евангельских;

-- Три патриарха на земле;

-- Два тавля Исеевы;

-- Един Сын на Сионской горе…».

Функциональное значение чисел в древнекитайской культуре

Для древнекитайской мифопоэтической традиции особенно характерна классификационная функция чисел[5]. Возникла особая философия чисел, нашедшая своё крайнее выражение у Чжай-Шеня (1167--1230), утверждавшего, что следование числа (шу) даёт знание вещей и их начал, что числа и вещи неотделимы друг от друга и образуют континуум без начала и конца («числа управляют миром»).

Независимо от нумерологического мистицизма и символизации чисел[6] уже издревле отмечено наличие принципа, позволяющего объединить описание мира и его происхождение с понятием пары признаков, лежащей в основе любой классификации, и, следовательно, с абстрактным образом дуализма (ср. Инь и ян).

К числам имеет отношение и другая (вторичная) классификация по пяти элементам. Из учения об элементах следуют две особенности. Одна из них состоит в канонизации числа пять, ставшего эталоном описания наиболее важных характеристик макро- и микрокосма (ср. кратность деления мира, число элементов, классов животных, органов чувств, внутренних органов, страстей, музыкальных нот, «основных» чисел и т. п.; ср. пентады в буддизме и упанишадах 5 элементов, аспектов бытия, огней, ликов Шивы и т. п., в манихействе и в некоторых других традициях). Отмеченность пятого места в пространстве связана с особым положением центра, в котором находится Срединное царство («Чжун-го»). Вторая особенность, связанная с учением об элементах, заключается в установлении символической корреляции между основными 5 элементами и членами других ведущих семантических сфер [ср. также ряды: дерево -- весна -- восток -- кислый -- козлиный (запах) -- тигр -- заяц -- и т. п.]. Такие классификационные ряды являются, по сути дела, подобием сети отношений, своеобразным кодом описания мира и основой т. н. «координирующего» или «ассоциативного» мышления, характерного для ряда культур.

В Китае -- нечетные числа отождествлялись с принципом «ян» -- небесным, неизменным (непреложным)и благоприятным: четные -- с принципом «инь» -- земным, изменчивым и зачастую неблагоприятным. В основе занятий оккультными науками лежала нумерология, опирающаяся на учение о Ян и Инь -- двух антагонистических и взаимодополняющих силах -- о тройственном единстве неба, земли и человека, о квадрате, пяти стихиях и восьми триграммах.

К числовым искусствам относятся астрология и составление календаря. Китайская астрология, с учетом предсказаний которой правили китайские императоры, строится на системе, включающей в себя:

10 небесных столбов (стволов);

12 земных ветвей;

28 созвездий, разделённых на 4 группы по семь созвездий;

5 планет, Солнце и Луну;

72 неблагоприятные земные и 36 благоприятных небесных звезды -- общее их количество составляет священное число 108, которое часто встречается в культуре Азии; 108 лампад в 12 рядах с фитилями, окрашенными в цвета пяти стихий.

И-цзин (Книга перемен) содержит главу о числах, под названием Хи-Цзеу, в которой символическими числами Неба называются нечетные числа: 1, 3, 5, 7, 9, сумма которых составляет 25, а числами Земли -- четные числа: 2, 4, 6, 8, 10, составляющие в сумме 30. В ней говорится также, что сила гадательных чисел охватывает всю Вселенную, все существующие в ней предметы, число которых превышает десять тысяч. На основании изучения 64 гексаграмм постулируется:

в 64 гексаграммах, по шести линий в каждой, содержится 384 линии, из которых 192 -- четные и 192 -- нечетные;

значение четных чисел, или Инъ, составляет две трети от значения нечетных;

24 гексаграммы из 192 четных линий, представляют собой в сумме 4608 женских сущностей;

192 нечетные линии умножаются не на 40 оставшихся гексаграмм, а на 36, и в итоге получается 6912 мужских сущностей;

в сумме с женскими это составляет 11 520, число 10 000 существ, то есть всех сущих в природе вещей.

По закону соответствия, символика чисел распространяется на все сферы жизни китайцев.

Она составляет основу китайской музыки, которая считается средством сообщения с духовными иерархиями и неотделима от обрядов, связывающих человека с миром незримого.

Пять основных нот (до, ре, соль, ля и ми) привязаны к определенным числам и символизируют пять планет, пять цветов, четыре времени года и центр и могут быть представлены в виде квадрата, символизирующего представления китайцев о строении космоса. Эти ноты составляли основу метода Розы Ветров, которым пользовались прорицатели. Позже количество нот было увеличено до 12 (семь полнозвучных и пять полутонов), что соответствует 12 месяцам года и знакам зодиака.

Эта символика определяла весь дворцовый церемониал: каждая династия имела собственное число, и при ее смене соответственно менялись цвета одежды придворных и музыкальные произведения, исполнявшиеся при дворе.

Благоприятными числами считались:

шесть - связанное с долголетием,

два -- символ легкости,

три -- родов, или рождения,

восемь -- процветания и

девять -- вечности.

Числовая семиотика в культуре Мезоамерики

У ацтеков каждое число (цифра) отождествляется с определённым богом, качеством, стороной света и цветом.

Символически значимое число, связанные с календарными периодами:

260 дней -- продолжительность культового года ацтеков и майя;

соответственно календарное исчисление основано на 18980-дневном цикле, объединяющем 73 культовых и 52 солнечных (365-дневных) периода.

.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В какой-то момент истории, наши предки обзавелись новым инструментом - абстрактным мышлением. С этого момента мир вокруг них преобразился, представ в новом свете. Этот свет ничто иное как осмысление, осмысление того, что вокруг есть закономерности, на которых построен мир. В самом начале они сбивали с толку и даже пугали, но обновленный человек неустанно двигался вперед, осваивая грани мира - числа. Познание их протекало с элементом игры и творчества. Люди наделяли число различными свойствами, качествами. Использовали в быту и ритуалах. И только со временем интуитивное заигрыванием с числом перешло в настоящее озарение: «всё сущее есть число» - так говорил Пифагор. Примечательно то, что человек издревле неуклюже, но старательно: выводил линии, считал, обучался применению числа. Все эти труды перерастали в новые идеи, которые всегда сопровождались культурными революциями, зачастую незаметными, но безусловно важными. Человечество постепенно осваивало игру с числами, последние в свою очередь спокойно покрыли всю деятельность первого.

В 20 веке было выведено множество Мандельброта. Фракталы, как их ещё называют «математические монстры, совершили очередную культурную революцию породив множество исследований и открытий. Фрактальная геометрия с первого взгляда была пугающей и безмерно притягательной для человека. Связано это напрямую с нашей психикой и ощущением прекрасного. Их особенность заключается в том, что они являются структурой окружающего нас мира. Ф. г. широко применяется в цифровых технологиях, особенно в моделировании живой природы при создании компьютерной графики.

Архитектоника всей культуры человека в начале своём есть числа. Строим мы дом, играем в шахматы, сочиняем сонет или же вскапываем землю под саженцы на своём участке. Мы используем его интуитивно, либо осознано владеем знанием о нём. В любом случае его влияния не избежать. В итоге работы есть необходимость процитировать Эрика Т. Белла:

«…вопрос, кто придумал числа, возможно, неправильно сформулирован. Представляется, что числа никогда не были сознательно изобретены одним человеком или группой людей, они скорее эволюционировали в течение нескольких непримечательных этапов, наподобие того, как (полагают некоторые) возник язык, который появился из нечленораздельных криков. Где-то, как-то люди могли приобрести привычку использования чисел, не придавая этому особого значения. Тем не менее числа 1, 2, 3… демонстрируют некоторые признаки внезапного озарения и осознанного изобретения. И наиболее существенные из них снова связаны с универсальностью и неизменностью чисел. Пусть никто не знает, было ли так на самом деле, но заманчиво предположить, что некий безвестный гений абсолютно неожиданно для себя осознал, что мужчина и женщина, камень и рогатка, сон и закат и практически любая пара любых предметов, живых существ или явлений одинаковы в одном, и только в одном. В своей «парности». От этого откровения до постижения непосредственно числа «два» гигантский шаг, но какой-то человек сделал этот шаг за много веков до фараона, пересчитавшего трофеи.

Как бы ни казалось это слишком легко, примем число «два» как общеизвестный факт, каковым он, по-видимому, и является, и зададим вопрос, чем число два, рассматриваемое в качестве числа вне зависимости от его употребления, «действительно является». Короче, нам предстоит дать числу два определение, приемлемое по меньшей мере для некоторых (но не всех) математиков ХХ века. Такое же определение следует дать любому натуральному числу.

Это не так просто. Между подсчетом 1 422 000 коз и разумным и достаточным определением числа два имеет место разрыв примерно в 5500 лет, в течение которых ни математики, ни логики не в состоянии убедить, что по существу есть число два. Руководствуясь принципом, что конечность - последнее, чего жаждут математики получить от математики, просто ограничимся дефиницией. Число два является классом тех вещей, которые отличаются парностью, то есть которые можно составить в пару (один и один) с другими составляющими пару. Понятие «класс» следует воспринимать интуитивно как аксиому, не требующую доказательств. Видимое зацикливание понятий «два» и «пара» чисто случайное и может не рассматриваться. Следовательно, натуральное число «два» есть класс, и подобным образом любое натуральное число является классом.

Не предпринимая попыток провести анализ этой достаточно сложной для понимания дефиниции, заметим, что (когда она изучена и понята) в ней нашло отражение то, что ускользнуло от первого человека, установившего, что все эти множества - муж и жена, исток и смерть, птица и гроза - имеют в общем только собственную двойственность. Это наблюдение, кто бы ни оказался его автором, заложило основы арифметики. Оно же стало секретным источником всех видов магии чисел, проникшей в античную философию, средневековый мистицизм чисел и современную науку.

Мы рассмотрели один из возможных источников происхождения чисел. Предположив, что числа были изобретены, мы совершили большое, но не преднамеренное насилие в отношении более чем одной уважаемой теории чисел, включая теорию Платона, и подорвали верования многих выдающихся математиков XIX и XX веков. Исторически наиболее широкое распространение получила другая альтернатива. Если числа не были изобретены человеком, они могли быть (не обязательно «должны быть») открыты. Здесь проходит граница, где заканчиваются знания и начинаются предположения.

Отдельные математики уверены, что числа были изобретены людьми. Иные, не менее компетентные, уверены, что числа независимы и существуют сами по себе, а отдельные смертные, достаточно образованные, просто следуют этим представлениям.

Различие между двумя теориями далеко не тривиально. Обе, возможно, не имеют смысла. Однако вполне вероятно, что неправильно сформулирован сам вопрос: «Были ли числа изобретены или открыты?» И нашим потомкам он покажется столь же лишенным смысла, как вопрос: «Честность голубого цвета или треугольная?» Но в настоящее время (пока еще не вмешались психологи) вопрос о числах кажется нам вполне логичным, как и ряд других вопросов, ответ на которые может быть однозначен. Например: «Америка была открыта в 1492 году или тогда ее изобрели?» Или: «Уатт изобрел паровой двигатель или открыл его?»

Даже поверхностно эти четыре выбранных для примера вопроса абсолютно разноплановые. Хотя тот, что о честности, с точки зрения грамматики производит впечатление разумного, а на практике является просто набором лишенных смысла слов. На вопрос об Америке можно ответить быстро, если только он не обсуждается в метафизическом обществе с применением признанных методов оценки исторической очевидности. Вопрос об Уатте и паровом двигателе мог бы быть урегулирован тем же способом. Но какой-нибудь глубокомысленный философ заметил бы, что неизменная структура физического мира и строение человеческого разума лишь требовали создания парового двигателя раньше или позже согласно исторической предопределенности постепенного открытия.

Не утруждая себя формированием позиции, признаем, что в этом случае Уатт может выступить в роли отчасти изобретателя и отчасти открывателя. Вполне допустимо даже найти какой-то смысл в утверждении, что сам паровой двигатель ожидал своего открытия за много лет до того, как возникла Солнечная система. Уатт в этом случае оказался бы только наблюдателем уже существующего.

Вопрос о числах - были ли они открыты или придуманы - нельзя представить способом, приемлемым в случае с вопросом об Америке. Какой ответ мы предпочтем, по большей части определяется на уровне наших эмоций. Ясно, что на вопрос нельзя дать ответ никаким объективным или документарным исследованием, но все-таки он явно не лишен смысла. В этом плане он напоминает несколько других коренных вопросов, касающихся отношения человека к вселенной, над которыми бьются многие века философы, теологи и ученые. Те, кто заявит, что числа были открыты, может согласиться, что человек - лучшее творение Бога. А те, кто склоняется к мнению о человеческом участии в происхождении чисел, скорее склонен категорично утверждать, что человек, без всякого сомнения, сам создал своих богов в собственном воображении.»



СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Эрик Т. Белл «Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней», Москва, 2014 г.

Чарльз Сейфе «Ноль. Биография опасной идеи», Москва, 2014 г.

Микель Альберти «Путешествие вокруг света. Математическая планета. Т. 40: Этноматематика», 2014 г.

Jan Gullberg «Mathematics from the birth of number»

George Ifrah «The Universal history of numbers», 2000 г.

К. Леви-Стросс «Первобытное мышление», Москва, 1994 г.

Найдыш В. М. «Концепции современного естествознания». М., 2008

Топоров В. Н. Одноимёная статья в MNME С пункта № 8 по № 21 материал взят из базы интернет-портала «Энциклопедия геральдики и символики» http://www.symbolarium.ru/

Толстая С. М. Одноимёная статья в SMES

Эккартсгаузен К., Наука чисел, ч. 2, СПБ, 1815 < MNME

Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции, пер. с голл., М., 1959 < MNME

Миллер Дж. А., Магическое число семь плюс или минус два. О некоторых пределах нашей способности перерабатывать информацию, в сб.: Инженерная психология, пер. с англ., М., 1964 < MNME

Иоселева М. Я., Происхождение магических чисел, в сб.: Страны и народы Востока, в. 4, М., 1965 < MNME

Нойгебауер О., Точные науки в древности, пер. с англ., М., 1968 < MNME

Пиаже Ж., Генезис числа у ребенка, в его кн.: Избранные психологические труды, пер. с франц., М., 1969 < MNME

Сыркин А. Я., Числовые комплексы в ранних Упанишадах, в кн.: Труды по знаковым системам, т. 4, Тарту, 1969 < MNME

Сыркин А. Я., Топоров В. Н., О триаде и тетраде, в кн.: Летняя школа по вторичным моделирующим системам. Тезисы [докладов], 3, Тарту, 1968 < MNME

Фролов Б. А., Представление о числе 7 у народов Сибири и Дальнего Востока, в кн.: Бронзовый и железный век Сибири, Новосиб., 1974 < MNME

его же, Числа в графике палеолита, Новосиб., 1974 < MNME

Иванов В. В., Чет и нечет. Асимметрия мозга и знаковых систем, М., 1978 < MNME

Топоров В. Н., О числовых моделях в архаичных текстах, в кн.: Структура текста, М., 1980 < MNME, SMES



ПРИЛОЖЕНИЕ I

«…Некоторые животные создают настоящие архитектурные шедевры. Пчелы, пауки, птицы и навозные жуки способны создавать шестиугольные соты, правильные геометрические узоры или шары практически идеальной формы. Если понаблюдать за ними, то можно посчитать, что эти соты, паутина, гнезда и навозные шарики тоже представляют собой воплощение математических идей. Однако между животными и человеком существует принципиальное различие: животных нельзя расспросить, следовательно, мы можем лишь выдвигать гипотезы, описывающие их поведение.»[ М. Альберти «Путешествие вокруг света. Математическая планета. Т. 40: Этноматематика», 2014 г., С. 151]

«…Для оценки способностей муравьев-разведчиков использовалось так называемое бинарное дерево, разработанное в свое время Жанной Резниковой и специалистом по теории информации Борисом Рябко. Это такой лабиринт, в котором муравью нужно идти по ветвящимся дорожкам-веточкам, чтобы добраться до ватки, смоченной сиропом. После этого он должен вернуться и сообщить муравьям-фуражирам, где находится пища. Допустим, для нахождения цели надо повернуть налево, направо, направо, налево и еще раз направо. Эту последовательность поворотов муравей-разведчик должен запомнить и передать муравьям-фуражирам (а чтобы они не использовали пахучий след, лабиринт каждый раз заменяется новым).

Эксперименты с муравьями-разведчиками Резникова и Рябко проводили много лет, их итоговая статья опубликована в 2011 году в журнале Behaviour. Некоторые выводы можно считать сенсационными.

Во-первых, муравьи умеют считать как минимум в пределах трех десятков. Во-вторых, они используют некую систему исчисления, напоминающую наши римские цифры. В-третьих, они умеют складывать и вычитать. В-четвертых, они архивируют информацию. И это всё с мозгом в треть миллиграмма!

Ученые фиксировали время, которое уходит на передачу информации о нужной веточке. В базовом варианте всё было примерно так, как в примитивных человеческих языках («палец, палец, палец...ракушка, ракушка, ракушка..») -- чем дальше нужная веточка от входа, тем больше времени уходит на сообщение о ней.

Но при изменении схемы опыта, когда на «специальную» ветку (скажем, десятую) кормушку помещали намного чаще, чем на любую другую, то оказалось, что на передачу числа «одиннадцать» времени уходит столько же, сколько на обозначение «десять» плюс еще небольшой отрезок времени. И примерно столько же на число «девять». Это примерно тоже самое, как запись чисел X, XI и IX.

-- Мы можем относительно уверенно говорить, что муравьи умеют складывать и вычитать, правда, в довольно скромных пределах, -- считает Резникова…»[ Опубликовано в журнале «Кот Шрёдингера» №3 (05) за март 2015 г.]



ПРИЛОЖЕНИЕ II

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? Существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них -- еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Похожим образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них -- мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты -- фракталами (от латинского fractus -- изломанный).

С береговой линией, а точнее, с попыткой измерить ее длину, связана одна интересная история, которая легла в основу научной статьи Мандельброта, а также описана в его книге «Фрактальная геометрия природы». Речь идет об эксперименте, который поставил Льюис Ричардсон (Lewis Fry Richardson) -- весьма талантливый и эксцентричный математик, физик и метеоролог. Одним из направлений его исследований была попытка найти математическое описание причин и вероятности возникновения вооруженного конфликта между двумя странами. В числе параметров, которые он учитывал, была протяженность общей границы двух враждующих стран. Когда он собирал данные для численных экспериментов, то обнаружил, что в разных источниках данные об общей границе Испании и Португалии сильно отличаются. Это натолкнуло его на следующее открытие: длина границ страны зависит от линейки, которой мы их измеряем. Чем меньше масштаб, тем длиннее получается граница. Это происходит из-за того, что при большем увеличении становится возможным учитывать всё новые и новые изгибы берега, которые раньше игнорировались из-за грубости измерений. И если при каждом увеличении масштаба будут открываться ранее не учтенные изгибы линий, то получится, что длина границ бесконечна! Правда, на самом деле этого не происходит -- у точности наших измерений есть конечный предел. Этот парадокс называется эффектом Ричардсона (Richardson effect).

В наши дни теория фракталов находит широкое применение в различных областях человеческой деятельности. Помимо фрактальной живописи фракталы используются в теории информации для сжатия графических данных (здесь в основном применяется свойство самоподобия фракталов -- ведь чтобы запомнить небольшой фрагмент рисунка и преобразования, с помощью которых можно получить остальные части, требуется гораздо меньше памяти, чем для хранения всего файла). Добавляя в формулы, задающие фрактал, случайные возмущения, можно получить стохастические фракталы, которые весьма правдоподобно передают некоторые реальные объекты -- элементы рельефа, поверхность водоемов, некоторые растения, что с успехом применяется в физике, географии и компьютерной графике для достижения большего сходства моделируемых предметов с настоящими. В радиоэлектронике в последнее десятилетие начали выпускать антенны, имеющие фрактальную форму. Занимая мало места, они обеспечивают вполне качественный прием сигнала. А экономисты используют фракталы для описания кривых колебания курсов валют (это свойство было открыто Мандельбротом более 30 лет назад). Статья взята с интернет-портала elementary.ru

http://elementy.ru/posters/fractals

Плакат входит в серию образовательных плакатов, выпускаемых Фондом Дмитрия Зимина «Династия» и проектом «Элементы» для школ России.

Это некоммерческий проект -- к сожалению, приобрести плакаты нельзя. Однако желающие могут распечатать PDF плаката для использования в образовательных и других некоммерческих целях.

Автор плаката -- Евгений Епифанов.

Дизайн и иллюстрации -- Константин Еременко.

Flash-версия, программирование -- Александр Кук.

Работа над плакатом велась в 2010-2011 годах.

Размещено на Allbest.ru