Связь уровней волатильности рынка с рыночной эффективностью

Однако, в исследовании мы воспользуемся расширенной формулой, которая выглядит следующим образом:

Расширенная форма расстояния Кульбака-Лейблера обусловлена тем, что информационная дивергенция обладает свойством несимметричности, т.е. расстояние от распределения p до распределения q не равно расстоянию от распределения q до распределения p.

К свойствам дивергенции относится кроме несимметричности неотрицательность. Расстояние Кульбака-Лейблера всегда положительно и равно нулю только в том случае, когда распределения p(x) и q(x) совпадают практически всюду. Следовательно, чем меньше будут полученные значения, тем более похожим на нормальное будет полученное распределение. Абсолютно нормальное распределение, т.е. самый эффективный рынок, будет получено при достижении показателем нуля.

Для того, чтобы найти относительную энтропию, необходимо взять кластеризованные группы приростов S&P и построить по два распределения: нормальное и «проверяемое», q. В качестве такого распределения можно взять распределение, основанное на смеси нормальных.

Пусть имеется двухпараметрическое семейство р-мерных плотностей распределения

где одномерный (целочисленный или непрерывный) параметр щв качестве нижнего индекса функции f определяет специфику общего вида каждого компонента -- распределения смеси, а в качестве аргумента при многомерном, вообще говоря, параметре и определяет зависимость значений хотя бы части компонентов этого параметра от того, в каком именно составляющем распределении он присутствует.

И пусть-- семейство смешивающих функций распределения.

Функция плотности (полигон вероятностей) распределения

называется Р-смесь (или просто смесью) распределений семейства F. Cузим данное выше определение смеси и будем рассматривать в дальнейшем лишь случай конечного числа k возможных значений параметра щ, что соответствует конечному числу скачков смешивающих функций P(щ). Величины этих скачков как раз и будут играть роль удельных весов (априорных вероятностей) компонентов смеси (j=1,2,..k) так что последнее уравнение в этом случае может быть записано в виде

Если же дополнительно постулировать однотипность компонентов-распределений , т. е. принадлежность всех к одному общему семейству то модель смеси может быть представлена в виде

Интерпретация в задачах автоматической классификации j-того компонента смеси (j-той генеральной совокупности) в качестве j-того искомого класса (сгустка, скопления) обусловливает естественность дополнительного ограничения условия, накладываемого на плотности (полигоны вероятностей) и заключающегося в их одномодальности.Айвазян С.А. Бухштабер В.М., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: классификация и снижение размерности: Справ. изд. -М.:Финансы и статистика, 1989, 607 стр.

В данном исследовании мы использовали смесь двух нормальных распределений. Далее представлены полученные результаты в графическом отображении.

Рисунок 6.Отображение функции плотности вероятности, представленной как смесь нормальных распределений (q(x))) и ее сравнение с гистограммой и нормальным распределением (p(x)). Наверху: низкая волатильность, средняя волатильность. Внизу: высокая волатильность. 1970-1990гг.

На рисунке 6 представлены отображения функций плотностей вероятностей, представленных как смесь двух нормальных распределений (на рисунках - сплошная линия). Для того, чтобы убедиться в качестве аппроксимации, смесь была сравнена с гистограммой (в каждом конкретном случае число столбцов гистограммы подбиралось в зависимости от величины выборки: для больших выборок использовалось значение большее, чем для маленьких - в кластере большой волатильности). Кроме того, дальнейшее исследование, касающееся расстояния Кульбака-Лейблера, предопределило сравнение смеси и гистограммы с нормальным распределением.

Рисунок 7.Отображение функции плотности вероятности, представленной как смесь нормальных распределений (q(x))) и ее сравнение с гистограммой и нормальным распределением (p(x)). Наверху: низкая волатильность, средняя волатильность. Внизу: высокая волатильность. 1990-2000гг.



Рисунок 8. Отображение функции плотности вероятности, представленной как смесь нормальных распределений (q(x))) и ее сравнение с гистограммой и нормальным распределением (p(x)). Наверху: низкая волатильность, средняя волатильность. Внизу: высокая волатильность. 1990-2000гг.

Как видно из рисунков 6-8, ни одно из полученных методом смесей распределений не совпадает с нормальным, хотя есть те, которые более похожи на него. В каких-то распределениях наблюдаются толстые хвосты, в каких-то - ненормальные скос или эксцесс. Именно с целью выявить, какое из распределений более похоже на нормальное, было рассчитано расстояние Кульбака-Лейблера.

Данные о полученных значениях расстояния Кульбака-Лейблера по кластерам и по группам представлены в таблице 2. Из нее видно, что при переходе из кластера в кластер, то есть при увеличении волатильности, информационная дивергенция увеличивается. Из этого можно сделать вывод, что чем ниже волатильность, тем эффективнее рынок и полная эффективность достигается тогда, когда расстояние Кульбака-Лейблера равно 0. Следует отметить, что наиболее приближенным к эффективному рынок был в режиме низкой волатильности в группе 2000-2014гг.

Таблица 2. Значения относительной энтропии.

	1 кластер	2 кластер	3 кластер
1970-1990	0.056	0.091	0.199
1990-2000	0.015	0.026	0.057
2000-2014	0.00241	0.017	0.168

Регрессионный анализ

Для определения зависимости уровня эффективности рынка от существующего режима волатильности была построена модель регрессии. В качестве независимой переменной мы взяли среднее значение индекса VIX для каждого кластера в каждой группе; в качестве зависимой переменной выступило расстояние Кульбака-Лейблера. В результате анализа была получена следующая модель:

Т.е. при увеличении волатильности на 1 относительная энтропия увеличится на 0,0034. Прямая зависимость говорит о том, что при уменьшении волатильности распределение становится все более и более приближенным к нормальному, что мы и наблюдали ранее при рассмотрении расстояния Кульбака-Лейблера по кластерам (в 3, наиболее волатильном кластере, расстояние было максимальным).

Доля объясненной дисперсии (R-квадрат) довольно велика - 0,41. Кроме того, стоит учитывать количество наблюдений - их всего 9.

После регрессионного анализа необходимо было провести тест Уайта на гетероскедастичность. Гетероскедастичность - эконометрический термин, обратный гомоскедастичности. Группа случайных переменных является гетероскедастичной тогда, когда существуют подгруппы с отличной от других дисперсией. Вероятность наличия гетероскедастичности является одной из основных проблем при проведении регрессионного анализа, т.к. наличие гетероскедастичности может повлиять на значимость проводимых тестов, коэффициенты регрессии и на значимость регрессии в целом.http://en.wikipedia.org/wiki/Heteroscedasticity Гипотеза H0 - отсутствие гетероскедастичности. В том случае, если гипотеза будет отвергнута, необходимо воспользоваться коррекцией, например, поправками в форме Уайта.

Процедура теста Уайта заключается в следующем. Регрессия оценивается с помощью метода наименьших квадратов, затем оценивается вспомогательная регрессия - регрессия квадратов остатков на все регрессоры, их квадраты и попарные произведения. Ввиду того, что в качестве переменной x был взят лишь один фактор (волатильность), попарные произведения в расчет не берутся. Рассчитывается статистика ч-квадрат. Полученное значение сравнивается со значением в таблице распределения ч-квадрат. Нулевая гипотеза принимается в том случае, когда наблюдаемое значение ч-квадрат меньше табличного на выбранном уровне значимости. http://university.prognoz.ru/biu/ru/%D0%A2%D0%B5%D1%81%D1%82_%D0%A3%D0%B0%D0%B9%D1%82%D0%B0http://en.wikipedia.org/wiki/White_test

При проведении теста Уайта было получено значение коэффициента детерминации 0,162, следовательно, получим значение хи-квадрат 1,459. Табличное значение для 1 степени свободы и уровня значимости 0,1 равно 2,71, что больше наблюдаемого значения, а значит, нулевая гипотеза принимается на 10% уровне значимости и гетероскедастичность отсутствует. Следовательно, на значимости регрессии и коэффициентов не сказывается явление гетероскедастичности, а это значит, что коэффициенты правдивы. Однако, стоит принять во внимание тот факт, что небольшой уровень значимости может быть результатом очень маленького количество использованных в регрессии наблюдений.

Отсутствие гетероскедастичности было подтверждено и проведением теста Уайта в EViews. Результаты представлены на рисунке 9.

Рисунок 9. Тест Уайта на гетероскедастичность в EViews.

Прогнозирование доходности на американском рынке акций

Прогнозирование рынка с помощью имеющихся в текущем периоде данных о границах кластеров.

Следующим этапом исследования явилось моделирование доходности на рынке. Основной идеей моделирования является двухступенчатое торговое правило. На первой ступени определяются три базовые концепции: обращение средних по знаку (mean reversion), следование тренду (trend following) и авторегрессия (AR(1)).

Обращение средних по знаку - математический принцип, используемый в основном в торговле акциями (но может быть использован и в торговле другими инструментами). Суть принципа заключается в предположении, что все экстремумы временны и ценовой процесс вернется к среднему значению. Когда текущее значение цены меньше среднего, финансовый инструмент является привлекательной инвестицией, т.к. инвесторы ожидают повышение цены. когда текущее значение цены выше среднего, финансовый инструмент становится выгодным для продажи. Другими словами, ожидается, что тренд, отклонивший цену от среднего значения, обратится и вернется обратно к среднему.

Другой инвестиционной стратегией является следование тренду. Эта стратегия - противоположность обращению средних по знаку. В данном случае, если в текущий период времени рынок растет, мы ожидаем, что и в следующий период он будет расти, и наоборот. Основой стратегии является предположение, что в цены имеют тенденцию двигаться вверх или вниз в течении определенного временного промежутка.

Третья рассматриваемая концепция - модель авторегрессии первого порядка вида . То есть мы предполагаем, что наш ценовой процесс не зависит ни от чего, кроме как от самого себя на предыдущем шаге.

Второй ступенью является собственно торговое правило. Мы предполагаем, что определенному уровню информационной эффективности соответствуют определенные стратегии. Поэтому, наблюдая волатильность, сможем отнести ее к определенному кластеру, поставить в соответствие кластеру уровень информационной эффективности и «включить» нужную модель.

Кроме того, необходимо определить временной промежуток. Первым вариантом является менять позицию каждый день в зависимости от того, какую волатильность мы наблюдали днем ранее. Вторым вариантом является менять позицию каждый день, основываясь на средней волатильности за последние 5 дней. Третьим вариантом является менять позицию раз в неделю, основываясь на средней волатильности за предыдущую неделю.

В данной стратегии будем менять позицию каждый день, основываясь на уровне VIX за предыдущий период. Помимо прочего, нужно определить, какая стратегия какому уровню эффективности подходит.

Используем при высокой волатильности trend following, при низкой - mean reversion, а при среднем уровне волатильности не будем делать ничего.

Рисунок 10. Торговая стратегия. При высокой волатильности используем Trend Following, при низкой - Mean Reversion.

На рисунке 10 представлено графическое отображение данной модели. Синяя линия (Market) - это отображение рынка, а красная (P) - сформированный портфель. Нетрудно заметить, что данная стратегия не является прибыльной.

Используем при высокой волатильности mean reversion, при низкой - trend following. При среднем уровне волатильности ничего не делаем.

Рисунок 11. Торговая стратегия. При высокой волатильности используем Trend Following, при низкой - Mean Reversion.

Графическое отображение данной модели представлено на рисунке 11. Хотя эта модель не такая убыточная, как первая, прибыль она все равно не приносит.

В данной стратегии будем менять позицию каждый день, основываясь на данных о средней волатильности за последние 5 дней.

Используем при высокой волатильности trend following, при низкой - mean reverting. При среднем уровне волатильности не будем делать ничего.

Рисунок 12. Торговая стратегия. При высокой волатильности используем Trend Following, при низкой - Mean Reversion.

Графическое отображение данной торговой стратегии представлено на рисунке 12. Несмотря на то, что на протяжении около 2000 точек портфель следовал за рынком, дальше пошло зеркальное отображение, а последняя 1000 точек вновь стала следовать рынку. Тем не менее, и эта стратегия не принесла доход, хотя она и лучше описанных в части I.

Используем при высокой волатильности mean reverting, при низкой - trend following. При среднем уровне волатильности не будем делать ничего.

На рисунке 13 представлено графическое отображение данной стратегии. Полученный результат похож на тот, который мы получили в I.1: эта стратегия также не является выигрышной.

Рисунок 13.Торговая стратегия. При высокой волатильности используемMean Reversion, при низкой - Trend Following.

В данной стратегии будем менять позицию раз в неделю, основываясь на волатильности за прошлую неделю.

Используем при высокой волатильности Trend Following, при низкой волатильности - Mean Reversion. При среднем уровне волатильности не делаем ничего.

На рисунке 14 представлено графическое отображение данной стратегии. Как видно из рисунка, эта стратегия является прибыльной.

Рисунок 14.Торговая стратегия. При высокой волатильности используемTrend Following, при низкой - Mean Reversion.

Используем при высокой волатильности Mean Reversion, при низкой волатильности - Trend Following. При среднем уровне волатильности используем авторегрессию.

Рисунок 15.Торговая стратегия. При высокой волатильности используемTrend Following, при низкой - Mean Reversion, при средней - авторегрессию.

На рисунке 15 представлена модификация стратегии III.1. Помимо прочего, здесь используется авторегрессия. Несмотря на кажущуюся привлекательность, эта стратегия не является такой же выигрышной, как III.1, хоть мы и ввели новый параметр. Напротив, значение портфеля в данной стратегии немного превышает 0,5, в III.1 - превышает 1.

Таким образом, стратегия III.1 является самой выигрышной. Однако, необходимо проверить, не работает ли чистый mean reversion или trend following лучше, чем наша двухступенчатая система. На рисунке 16 представлены mean reversion и trend following. Синяя линия - рынок, розовая и красная - mean reversion и trend following соответственно. Как видно из рисунка, trend following является обратным отображением рынка. Mean Reversion хоть и является выигрышной стратегией, не настолько успешна, как стратегия III.1. В таблице 3 представлены результаты всех стратегий как разность между значением портфеля и рынка на последнем шаге.

Рисунок 16.Mean Reverting & Trend Following

Таблица 3. Разница между портфельным и рыночным значением.

стратегия	I.1	I.2	II.1	II.2	III.1	III.2	mr	tf
значение	-2.112	-1.114	-0.902	-2.324	0,947	0.454	0.528	-0.774



Прогнозирование рынка с помощью имеющихся в предыдущем периоде данных о границах кластеров

Результат прогнозирования при использовании имеющейся в текущем периоде информации может быть полезным лишь в том случае, если мы можем спрогнозировать волатильность на несколько шагов вперед безошибочно. Тогда мы сможем получить данные о границах кластеров в том же периоде, в котором будем прогнозировать рынок.

Данная работа не предполагает прогнозирование волатильности. Поэтому при прогнозировании рынка в году t необходимо использовать данные для границ кластеров до года t-1. Работая на скользящем окно волатильности, определяющем скользящие границы кластеров, представляется возможным использовать рассмотренную раннее модель на практике, даже не зная границы кластеров волатильности в текущем периоде.

Вычислим границы кластеров за 14 периодов, каждый из которых будет включать в себя недельные данные о волатильности и индексе S&P500 за 10 лет. Таким образом, мы получим данные для прогнозирования рынка с 2000 по 2013 годы. Данные о границах представлены в таблице 4.

Таблица 4. Плавающие границы кластеров

год прогнози-рования	период для определения границ кластеров	граница перехода из 1 во 2 кластер	граница перехода из 2 в 3 кластер
2000	1990-1999	16.7	24.5
2001	1991-2000	16.7	23.8
2002	1992-2001	17.1	25.7
2003	1993-2002	17.6	26.78
2004	1994-2003	19.41	27.81
2005	1995-2004	18.07	25.35
2006	1996-2005	18.05	26.34
2007	1997-2006	17.13	25.91
2008	1998-2007	17.13	25.78
2009	1999-2008	20.22	42
2010	2000-2009	20.52	37
2011	2001-2010	20.94	37
2012	2002-2011	21.37	37.5
2013	2003-2012	20.3	37

Для начала рассмотрим торговое правило, которое показало наилучший результат в прогнозировании с фиксированными и заранее известными границами кластеров. При высокой волатильности используем trend following, при низкой - mean reversion, при средней - не делаем ничего.

Таким образом, скажем, что если волатильность предыдущего периода больше 24.5, используем trend following, а если меньше 16.7 - mean reversion для прогнозирования в 2000 году и т.д., используя данные таблицы 4.

Полученные результаты практически не отличаются от результатов, полученных при имеющихся данных о границах кластеров. Результаты представлены на рисунке 16.

Рисунок 17. Разница между прогнозированием с использованием фиксированных и плавающих границ (высокая волатильность - trend following, низкая - mean reversion).



На рисунке 17P1 - прогноз с плавающими границами (красная линия), P2 - с фиксированными (зеленая линия), Market (синяя линяя) - рынок. Как видно из рисунка, прогнозирование с фиксированными границами, пригодное для практического использования, дает лучший результат по сравнению с прогнозированием с фиксированными границами. В общем, прогнозирование с плавающими границами дает преимущество в 29.7 пунктов. В конечном итоге, на 722 шаге, разница между P1 и P2 составляет лишь 0.007 пункта.

Таким образом, использование плавающих границ, рассчитанных на периоде до t-1 позволяет прогнозировать не хуже, чем теоретически возможный вариант с использованием фиксированных границ, рассчитанных за период, являющийся периодом прогнозирования.

Тест на принадлежность выборок одной совокупности

Для того, чтобы показать, что смоделированная доходность не случайным образом отличается от рыночной, проведем эконометрический тест на равенство средних доходностей по двум выборкам. Одним из способов показать это является тест Стьюдента. Т.к. его можно использовать только в том случае, если мы имеем дело с нормальным распределением, проверим, как распределены рыночная и смоделированная доходности. Для этого сравним для каждого распределения моду, медиану и среднее. Т.к. все три показателя незначительно отличаются друг от друга, можем сделать вывод о том, что оба распределения нормальные.

Эмпирическое значение t-статистики составляет почти 54. Это больше табличного значения для любого уровня значимости с 1450 степенями свободы, а значит, нулевая гипотеза о равенстве средних и принадлежности выборок одной совокупности отвергается. Тот факт, что выборки обладают статистически различными матожиданиями, означает, что средние приросты, а значит и совокупные, разные. Т.е. смоделированная доходность отличается от рыночной не случайно.



Заключение

В научной литературе изучение связи волатильности и рыночной эффективности сводится к прогнозированию волатильности ARCH моделями и определению эффективности рынка как отклонения от нормального распределения с использованием моментов распределения. В данной работе представлен принципиально другой подход к изучению связи волатильности и эффективности рынка. В первую очередь, волатильность была кластеризована методом k-means, а затем каждому кластеру (низкой, средней и высокой волатильности) было сопоставлено расстояние Кульбака-Лейблера. В итоге был сделан вывод о том, что с увеличением волатильности расстояние Кульбака-Лейблера увеличивается, т.е. чем больше колебания цены на рынке, тем менее эффективным он является.

После этого было проведено моделирование портфеля на основании сделанного исследования. Моделирование представляет собой результат двухступенчатого торгового правила. На первой ступени определяются три базовые концепции: обращение средних по знаку (mean reversion), следование тренду (trend following) и авторегрессия (AR(1)). Второй ступенью является собственно торговое правило. Мы предполагаем, что определенному уровню информационной эффективности соответствуют определенные стратегии. Поэтому, наблюдая волатильность, сможем отнести ее к определенному кластеру, поставить в соответствие кластеру уровень информационной эффективности и «включить» нужную модель.

Цена моделировалась каждый день на основании данных предыдущего дня, каждый день на основании 5 предшествующих дней и раз в неделю на основании данных прошлой недели. В конечном итоге, самым выигрышным вариантом явилось использование trend following при высокой волатильности, mean reverting при низкой волатильности; при средней волатильности занималась нейтральная позиция. Однако, прогнозирование в периоде t проводилось на основании данных по границам кластеров периода t. Мы проверили, какой результат получится, если при прогнозировании в году t использовать границы кластеров, полученные за предыдущие 10 лет. В результате, полученный прогноз практически не отличается от прогноза, полученного с использованием заранее известных границ периода t.

В результате проделанного исследования было сделано два основных вывода:

С увеличением волатильности цен увеличивается рыночная неэффективность.

Связь волатильности с эффективностью рынка можно использовать для формирования доходного портфеля. При этом, доходность смоделированного портфеля гораздо выше рыночного значения даже несмотря на то, что в исследовании использовались довольно примитивные концепции типа обращения средних по знаку.

Различия между смоделированной и рыночной доходностями являются не случайными.

Продолжением исследования может быть прогнозирование волатильности.



Список использованной литературы

P. Duran, P.Odell. Cluster Analysis. Springer-Verlag. Berlin-Heilelberg-New York. 1974.

Айвазян С.А. Бухштабер В.М., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: классификация и снижение размерности: Справ. изд. -М.:Финансы и статистика, 1989, 607 стр.

Филлипович Ю. Н. Интеллектуальные Технологии и Системы. НОК «CLAIM», M.2006, Стр. 135-136

Arizono I. A Test for Normality Based on Kullback-Leibler Information. /I. Arizono, H. Ohta // The American Statistician.- Vol. 43.-No. 1.- 1989.- pp. 20-22.

Beechey M. Gruen D. Vickery J. The Efficient Market Hypothesis: a Survey. // Reserve Bank of Australia Research Discussion Paper №2000-2001, January 2000, p.4.

Campbell R. Harvey, Robert E. Whaley. Markket Volatility Prediction and the Efficiency of the S&P 100 index Option Market. Journal of Financial Economics, 31, 1992, pp. 43-73.

E. Dimson, M. Mussavian. A brief History of Market Efficiency. //European Financial Management, Vol. 4, No. 1, 1998, pp. 91-103.

E. Dimson, M. Mussavian. A brief History of Market Efficiency. //European Financial Management, Vol. 4, No. 1, 1998, pp. 91-103.

E. Dimson, M. Mussavian. A brief History of Market Efficiency. //European Financial Management, Vol. 4, No. 1, 1998, pp. 91-103.

Ekkehart Boehmer, Eric K. Kelly. Institutional Investors and the Informational Efficiency of Prices. // http://libgen.org/scimag6/10.1093/rfs%252Fhhp028.pdf

Fama E. F. The Behavior of Stock-Market Prices. // Yje Journal of Business, Vol. 38, No.1, 1965, pp. 34-105.

Fama Eugene F.. Efficient capital markets: a review of theory and empirical work // Journal of Finance, Vol. 25, 383-417.

Finance.yahoo.com

Fortier J., Solomon H. Clustering Procedures, Multivariate Analysis. // Academic Press New-York, 1966.

Graham Smith. Liquidity and the Informational Efficiency of African Stock Markets. // South African Journal of Economics, Vol. 76:2, 2008, pp. 161-175

http://en.wikipedia.org/wiki/Heteroscedasticity

http://en.wikipedia.org/wiki/Kullback%E2%80%93Leibler_divergence

J.A. Hartigan, M.A.Wong. A k-means Clustering Algorithm. // The Journal of the Royal Statistical Society, 1979, pp. 100-108

K.Wagstaff, C.Cardie, S.Rogers, S.Schroedl. Constrained K-means Clustering with Background Knowledge.

Kullback S., Leibler R.A. On information and sufficiency // The Annals of Mathematical Statistics. 1951. V.22. № 1. P. 79-86.

MacQueen J.B. Some Methods for Classification and analysisof multivariate observations. http://www-m9.ma.tum.de/foswiki/pub/WS2010/CombOptSem/kMeans.pdf

Mauro Mecagni, Maged Shawky Sourial. The Egyptian Stock Market: Efficiency Tests and Volatility Effects. IMF Working Paper, 1999.

Miller G. Probability density estimation using entropy maximization. // Neural Comput, 1998. pp. 1925-1938

Poon, Clive. Forecastina Volatility in Financial Markets: a Review. // Journal of Economic Literature, Vol. XLI, 2003, pp. 478-539.

Proceedings of the Eighteenth International Conference on Machine Learning, 2001, p. 577-584.

Robert J. Shiller. Causes of MarketVolatility kc.frb.org/publicat/sympos/1988/S88shill.pdf

Robert J. Shiller. Causes of Market Volatility. http://www.kc.frb.org/publicat/sympos/1988/S88shill.pdf

ROBERT J. SHILLER. The Use of Volatility Measures in Assessing Market Efficiency.// The Journal of Finance, 1981, pp. 291-314.

Ronald J. Gilson and Reinier H. Kraakman. The Mechanisms of Market Efficiency. //Virginia Law Review, 1984, pp. 549-644

Tarum Chorida, Richard Roll, Avanidhar Subrahmanyam. Liquidity and Market Efficiency. // Journal of Financial Economics, 87, 2008, pp. 249-268.

Theissen E. Market Structure, Informational Efficiency and Liquidity: an Experimental Comparison of Auction and Dealer Markets. // Journal of Financial Markets, 3, 2000, pp.333-363.

Torben G. Andersen, Tim Bollerslev. Intraday periodicity and volatility persistence in financial markets. // Journal of Empirical Finance, 1997, pp. 115-158.

Vasicek O. A Test for Normality Based on Sample Entropy. // Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), 1976. pp. 54-59.

Xinzhong Xu, Stephen J. Taylor. Conditional Volatility and the Informational Efficiency of the PHLX currency options Market. // Jounal of Banking and Finance, 1995, pp. 803-821.

Азнаурова М.В. Влияние президентских выборов на фондовые рынки. Электронный сборник по итогам конференции «Ломоносов-2012». http://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2012/index.htm

Н.В. Демич, О.В. Демич. Методы анализа волатильности финансовых рынков. // Вестник Астраханского государственного технического университета, 2010, стр. 19-21.

Субботин А.В. Моделирование волатильности: от условной гетероскедастичности к каскадам на множественных горизонтах. // Прикладная эконометрика, 2009, стр. 91-138.

Размещено на Allbest.ru