Исторический обзор экономико-математических методов и моделей

Значит, для нахождения надо решить систему линейных уравнений (14). Если матрица f "(xk) не вырождена, то имеем просто (при ak = 1)

Достоинством метода Ньютона является высокая скорость сходимости, которая с лихвой компенсирует усложнение вычислений на каждой итерации. Недостатком метода является то, что он сходится при весьма жестких предположениях.

Методы штрафных функций

Как видно из предыдущих рассмотрений, наличие ограничений существенно усложняет задачу поиска экстремума функции. Почти все изложенные методы решения экстремальных задач включали специальные сложные процедуры, учитывающие наличие ограничений (например, проектирование). В этом смысле в особую группу выделялись методы множителей Лагранжа, которые состоят в сведении задачи поиска экстремума с ограничениями к задаче поиска экстремума (точнее, седловой точки, что примерно то же самое) без ограничений или с ограничениями простого вида, учет которых не составляет труда (это видно на примере операции проектирования на неотрицательный ортант). Однако эти методы применимы практически только в выпуклом случае. От этого недостатка избавлены методы штрафных функций, которые позволяют в весьма общем случае сводить экстремальные задачи со сложными ограничениями к задачам без ограничений или с простыми ограничениями, а в сочетании с методами поиска безусловного экстремума служат универсальным средством решения задач математического программирования (конечно, не лишенным недостатков).

Рассмотрим общую задачу математического программирования (4). Методы штрафных функций основаны на описании множества Х с помощью функций со специальными свойствами. Одна группа методов использует функции вида F(х, с), которые обладают следующими свойствами:

В качестве такой функции можно взять, например, квадратичную функцию штрафа которая является дифференцируемой, если дифференцируемы функции ограничений gi(x). Можно показать, что если f (x) и gi(x), i = 1, 2, _, m, непрерывны на замкнутом, ограниченном множестве R и Х ? , то

При этом если х0(сn) реализует максимум в правой части (15), то любая предельная точка последовательности {x0(сn)} есть решение задачи (4).

Таким образом, с помощью метода штрафных функций общую задачу математического программирования можно свести приближенно (при достаточно большом сn) к задаче без ограничений или с простыми ограничениями (на простом множестве R).

Недостатком методов штрафных функций является ухудшение свойств вспомогательных задач (в правой части (15)) при больших значениях сn , в частности чувствительность к ошибкам вычислений. Эти недостатки преодолены в некоторых вариантах штрафных функций, в которых можно ограничиться конечными значениями штрафных констант сn , а также в близких к ним методах модифицированной функции Лагранжа [2].

Более подробно с задачами и методами нелинейного программирования можно познакомиться в [3-5].

Если говорить о практической реализации методов решения задач математического программирования, то надо иметь в виду, что ни один из них не обладает универсальностью, позволяющей применять его эффективно к разным классам задач. Поэтому методы следует выбирать в зависимости от вида максимизируемой функции и функций ограничений. Еще более эффективными являются использование комбинаций методов и применение их в определенной последовательности, если брать полученное одним методом приближенное решение в качестве начального приближения для следующего метода. Такая идея реализуется в существующих пакетах и системах оптимизации, и для практического решения задач главное - научиться грамотно пользоваться ими (по этому вопросу см., например, [6]).

В современной теории оптимизации рассматриваются и более сложные, чем (4), классы экстремальных задач, которые возникают в процессах принятия решений в условиях многокритериальности (векторная оптимизация), неопределенности (стохастическое программирование, минимаксные задачи и т.д.), конфликта (теория игр). Эти разделы оптимизации вместе с математическим программированием составляют новую научную дисциплину - теорию исследования операций (см., например, [7]). Вместе с тем математический аппарат исследования операций широко использует рассмотренные выше подходы, которые составляют основу современных методов оптимизации.

Заключение

математика равновесие богатство маркс

Характерной особенностью научно-технического прогресса в развитых странах является возрастание роли экономической науки.

Экономика выдвигается на первый план именно потому, что она в решающей степени определяет эффективность и приоритетность направлений научно-технического прогресса раскрывает широкие пути реализации экономически выгодных достижений.

Применение математики в экономической науке, дало толчок в развитии как самой экономической науке, так и прикладной математике, в части методов экономико-математической модели. Пословица говорит: «Семь раз отмерь - Один раз отрежь». Использование моделей есть время, силы, материальные средства. Кроме того, расчёты по моделям противостоят волевым решениям, поскольку позволяют заранее оценить последствия каждого решения, отбросить недопустимые варианты и рекомендовать наиболее удачные.

На всех уровнях управления, во всех отраслях используются методы экономико-математического моделирования. Выделим условно следующие направления их практического применения, по которым получен уже большой экономический эффект.

Первое направление - прогнозирование и ??рс??ктивное планирование. Прогнозируются темпы и пропорции развития экономики, на их основе определяются темпы и факторы роста национального дохода, его распределение на потребление и накопление и т.д. Важным моментом является использование экономико-математических методов не только при составлении планов, но и в деле о??ративного руководства по их реализации.

Второе направление - разработка моделей, которые используются как инструмент согласования и оптимизации плановых решений, в частности это межотраслевые и межрегиональные балансы производства и распределения продукции. По экономическому содержанию и характеру информации выделяют балансы стоимостные и натурально-продуктовые, каждый из которы? может быть отчетным и плановым.

Третье направление - использование экономико-математических моделей на отраслевом уровне (выполнение расчетов оптимальных планов отрасли, анализ с помощью производственных функций, прогнозирование основных производственных пропорций развития отрасли). Для решения задачи размещения оптимального прикрепления к поставщикам или потребителям и др. используются модели оптимизаций двух типов: в одних для заданного объёма производства продукции требуется найти вариант реализации плана с наименьшими затратами», в других требуется определить масштабы производства и структуру продукции с целью получения максимального эффекта. В продолжение расчетов осуществляется переход от статистических моделей к динамическим и от статистических моделей к динамическим и от моделирования отдельных отраслей к оптимизации многоотраслевых комплексов. Если раньше были попытки создать единую модель отрасли, то теперь наиболее использование комплексов моделей, взаимоувязанных как по вертикали, так и по горизонтали.

Четвертое направление - экономико-математическое моделирование текущего и оперативного планирования промышленных, строительных, транспортных и других объединений, предприятий и фирм. Область практического применения моделей включает также подразделения сельского хозяйства, торговли, связи, здравоохранения, охрану природы и т.д. В машиностроении используется большое количество разнообразных моделей, наиболее «отлаженными» из которы? являются оптимизационные, позволяющие определить производственные программы и наиболее рациональные варианты использования ресурсов, распределить производственную программу во времени и эффективно организовать работу внутризаводского транспорта, существенно улучшить загрузку оборудования и разумно организовать контроль продукции и др.

Пятое направление - территориальное моделирование, начало которому положила разработка отчетных межотраслевых балансов некоторы? регионов в конце 50-х годов. В качестве шестого направления можно выделить экономико-математическое моделирование материально-технического обеспечения, включающее оптимизацию транспортно-экономических связей и уровня запасов.

К седьмому направлению относятся модели функциональных блоков экономической системы: движение населения, подготовка кадров, формирование денежных доходов и спроса на потребительские блага и др.

Особенно большую роль приобретают экономико-математические методы по мере внедрения информационных технологий во всех областях практики.

Размещено на Allbest.ru