Моделирование грузопотока на сортировочном узле
Логистика на железнодорожном транспорте. Материальные потоки и их параметры. Технология переработки вагонов на станциях. Подходы к построению математических моделей систем. Описание основных конструкций языка С++. Динамическое выделение массивов.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 10.03.2013 |
| Размер файла | 1,1 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
К первой группе относят семейство языков Ассемблера. Эти средства разработки программного обеспечения позволяют получить наиболее короткий и быстродействующий код. Однако процесс программирования на языке низкого уровня ? занятие весьма кропотливое, утомительное и занимает гораздо больше времени, чем при использовании языка высокого уровня. Кроме того, программы, написанные на Ассемблере, достаточно тяжелы для восприятия, вследствие чего вероятность возникновения ошибок в них значительно выше.
В свою очередь, этих недочетов лишены языки программирования высокого уровня, к которым относится и С++. Вместе с тем, данной группе языков присущи недостатки другого рода, например такие, как значительное увеличение размера и времени выполнения исполняемого модуля.
Программное обеспечение, разработанное с использованием С++ и представленное ниже, включает идентификаторы, ключевые слова, функции, переменные, константы, операторы, выражения, массивы и ряд других элементов.
Первая часть программы позволяет смоделировать грузопоток, т.е. получить случайным образом распределенные значения этого потока в результате 300 экспериментов, определить вариационный размах, величину шага, число и вероятность попадания в тот или иной временной интервал, а также математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Именно эти основные статистические характеристики случайных величин представляют собой наибольшую ценность и именно они будут использоваться в качестве исходных данных во второй части нашей программы, основным назначением которой является проведения статистики. Горизонтальная статистика позволяет обнаружить длительность пребывания исследуемого объекта в зоне обслуживания, а вертикальная - количество совпадений, т.е. одновременно обслуживаемых объектов.
Директивы препроцессора представляют собой команды компилятору, которые позволяют управлять компиляцией программы и сделать ее код более понятным. Все директивы начинаются с символа . Перед начальным символом и вслед за ним могут располагаться пробелы. Директивы обрабатываются во время первой фазы компиляции специальной программой препроцессором.
Первая строка программы (#include<iostream.h>) подключает заголовочный файл iostream.h, содержащий объявления функций и переменных для потокового вода\вывода. В С++ стандартный поток ввода связан с константой cin, а поток вывода ? с константой cout (для использования этих констант подключается заголовочный файл iostream.h).
Любая программа на С++ обязательно включает в себя функцию main, с которой и начинает свое выполнение.
3.1 Типы данных С++
Суть фактически любой программы сводится к вводу, хранению, модификации и выводу некоторой информации. Для того, чтобы программа могла на протяжении своего выполнения сохранять определенные данные, используются переменные и константы.
Переменная ? объект программы, занимающий в общем случае несколько ячеек памяти, призванный хранить данные. Переменная обладает именем, размером и рядом других атрибутов.
Объявление переменной начинается с ключевого слова, определяющего его тип, за которым следует собственно имя переменной и (необязательно) инициализация ? присвоение начального значения. Хотя начальная инициализация и не является обязательной при объявлении переменной, все же рекомендуется инициализировать переменные начальным значением. Если этого не сделать, переменная изначально может принять непредсказуемое значение.
Переменные могут быть объявлены как внутри тела какой-нибудь функции, так и за пределами любой из них.
Переменные, объявленные внутри тела функции, называются локальными. Такие переменные размещаются в стеке программы и действуют только внутри той функции, в которой объявлены. Как только управление возвращается вызывающей функции, память, отводимая под локальные переменные, освобождается.
Каждая переменная характеризуется областью действия, областью видимости и временем жизни.
Под областью действия переменной понимают область программы, в которой переменная доступна для использования.
С этим понятием тесно связано понятие области видимости переменной. Если переменная выходит из области действия, она становится невидимой. С другой стороны, переменная может находиться в области действия, но быть невидимой. Переменная находится в области видимости, если к ней можно получить доступ (с помощью операции разрешения видимости, в том случае, если она непосредственно не видима).
Временем жизни переменной называется интервал выполнения программы, в течение которого она существует.
Локальные переменные имеют своей областью видимости функцию или блок, в которых они объявлены. В то же время область действия локальной переменной может исключать внутренний блок, если в нем объявлена переменная с тем же именем. Время жизни локальной переменной определяется временем выполнения блока или функции, в которой она объявлена.
Это означает, например, что в разных функциях могут использоваться переменные с одинаковыми именами совершенно независимо друг от друга.
Глобальные переменные же объявляются вне тела какой-либо из функций и действуют на протяжении выполнения всей программы. Такие переменные доступны в любой из функций программы, которая описана после объявления глобальной переменной. Отсюда следует вывод, что имена локальных и глобальных переменных не должны совпадать. Если глобальная переменная не проинициализирована явным образом, она инициализируется значением 0.
Область действия глобальной переменной совпадает с областью видимости и простирается от точки ее описания до конца файла, в котором она объявлена. Время жизни глобальной переменной ? постоянное, то есть совпадает с временем выполнения программы.
Вообще говоря, использование глобальных переменных при написании программы не желательно. Применение их оправдано только в случае крайней необходимости, так как содержимое таких переменных может быть изменено внутри тела любой функции, что чревато серьезными ошибками при работе программы.
Рассмотрим типы данных, которые задействованы в программе.
Целочисленные переменные (типа int), как следует из названия, призваны хранить целые значения, и могут быть знаковыми и беззнаковыми. Символьный тип данных char используется для построения более сложных конструкций, таких, как строки, символьные массивы. Данные типа char также могут быть знаковыми и беззнаковыми. Для представления чисел с плавающей запятой применяем тип данных float. Этот тип используется для хранения не очень больших дробных чисел. Переменная типа void не имеет значения и служит для согласования синтаксиса.
Константы, так же как и переменные, представляют собой область памяти для хранения данных с тем лишь отличием, что значение, присвоенное константе первоначально, не может быть изменено на протяжении всей программы.
3.2 Выражения и операторы
Для осуществления манипуляций с данными С++ располагает широким набором операций. Операции представляют собой некоторое действие, выполняемое над операндом (операндами). К базовым арифметическим операциям можно отнести операции сложения(+), вычитания(-), умножения(*), деления(/). Для эффективного использования возвращаемого операциями значения предназначен оператор присваивания(=) и его модификации: сложение с присваиванием(+=), вычитание с присваиванием(-=), умножение с присваиванием(*=) и соответственно деление с присваиванием(/=).
Как и в Ассемблере, в С++ имеется эффективное средство увеличения и уменьшения значения операнда на единицу ? унарные операторы инкремента(++) и декремента(-).
3.3 Управление выполнением программы
Некоторые задачи требуют от программы принятия решения в зависимости от различных ситуаций. Язык программирования С++ обладает исчерпывающим набором конструкций, позволяющим управлять порядком выполнения отдельно взятых ветвей программы. Например, мы можем передать управление в ту или иную часть программы в зависимости от результатов проверки некоторого условия.
Для осуществления ветвления в программе используются условный оператор if и оператор if с ключевым словом else.
Оператор if производит ветвление программы в зависимости от результата проверки некоторого условия на истинность.
Оператор if_else имеет следующий вид:
if (проверяемое условие)
предложение 1;
else
предложение 2;
предложение 3;
Если проверяемое условие выполняется, осуществляется переход к предложению 1 с последующим переходом к предложению 3. В случае, когда проверяемое условие принимает ложное значение, программа выполнит ветвь, содержащую предложение 2, а затем перейдет к предложению 3.
Следует отметить, что комбинация if_else позволяет значительно упростить код программы.
Еще одно замечание: часто проверяемое условие представляет собой проверку значения некоторой целочисленной переменной. Тогда если эта переменная принимает ненулевое значение, то результатом вычисления условного выражения будет true, и произойдет переход на выполнение предложения, указанного за оператором if. Поэтому в программе можно встретить записи вида:
if (! х)
{
// если х == 0
…
}
Например:
if (! D = b*b - a)
{
…
}
Эта запись означает: присвоить переменной D вычисленное значение (b*b-a), и если переменная D приняла ненулевое значение, выполнить блочный оператор {…}. Обычно в подобных случаях компилятор выдает предупреждение о вероятно ошибочном использовании оператора присвоения вместо сравнения.
Следующим мощным механизмом управления ходом последовательности выполнения программы является использование циклов.
Цикл задает многократное прохождение по одному и тому же коду программы (итерации). Он имеет точку вхождения, проверочное условие и (необязательно) точку выхода. Цикл, не имеющий точки выхода, называется бесконечным. Для бесконечного цикла проверочное условие всегда принимает истинное значение.
Проверка условия может осуществляться перед выполнением (циклы for, while) или после окончания (do - while) тела цикла.
Циклы могут быть вложенными друг в друга произвольным образом.
Синтаксис цикла for имеет вид:
for (выражение 1; выражение 2; выражение 3)
оператор или блок операторов;
Этот оператор работает следующим образом. Сначала выполняется выражение 1, если оно присутствует в конструкции. Затем вычисляется величина выражения 2 (если оно присутствует) и, если полученный результат принял истинное значение, выполняется тело цикла (оператор или блок операторов). В противном случае выполнение цикла прекращается и осуществляется переход к оператору, следующему непосредственно за телом цикла.
После выполнения тела цикла вычисляется выражение 3, если оно имеется в конструкции, и осуществляется переход к пункту вычисления величины выражения 2.
Выражение 1 чаще всего служит в качестве инициализации какой-нибудь переменной, выполняющей роль счетчика итераций.
Выражение 2 используется как проверочное условие и на практике часто содержит выражения с операторами сравнения. По умолчанию величина выражения 2 принимает истинное значение.
Выражение 3 служит для приращения значения счетчика циклов либо содержит выражение, влияющее, каким бы то ни было образом, на проверочное условие.
Если выражение представляет собой константу с истинным значением, тело цикла будет выполняться всегда и, следовательно, мы имеем дело с бесконечным оператором. Цикл также окажется бесконечным, когда условие, определенное в выражении изначально, истинно и нигде далее в теле цикла не изменяется. Такой вариант возможен как таковой, но в представленной программе не используется.
Как и для оператора for, если в цикле должны синхронно изменяться несколько переменных, которые зависят от переменной цикла, вычисление их значений можно поместить в проверочное выражение оператора while, воспользовавшись оператором «запятая».
Как и многие другие языки высокого уровня, С++ предоставляет возможность работы с наборами однотипных данных ? массивами. Отдельная единица таких данных, входящих в массив, называется элементом массива. В качестве элементов массива могут выступать данные любого типа (один тип данных для каждого массива), а также указатели на однотипные данные. Массивы бывают одно- и многомерными.
Поскольку все элементы массива имеют один тип, они также обладают одинаковым размером. Использованию массива в программе предшествует его объявление, резервирующее под массив определенное количество памяти. При этом указывается тип элементов массива, имя массива и его размер.
3.4 Динамическое выделение массивов
В программе каждая переменная может размещаться в одном из трех мест: в области данных программы, в стеке или в свободной памяти.
Каждой переменной в программе память может отводиться либо статически, то есть в момент загрузки программы, либо динамически ? в процессе выполнения программы. Если массив объявлен статически, значения всех его элементов хранятся в стековой памяти или области данных программы. Если количество элементов массива невелико, такое размещение оправдано. Однако довольно часто возникают случаи, когда в стековой памяти, содержащей локальные переменные и вспомогательную информацию, недостаточно места для размещения всех элементов большого массива, как, например, в нашем случае. Тогда для хранения данных приходится использовать динамическую память. Чтобы разместить в памяти некоторый динамический объект, для него необходимо предварительно выделить в памяти соответствующее место. По окончании работы с объектом выделенную для его хранения память требуется освободить.
Выделение динамической памяти под объект в программе осуществляется при помощи выражения new, а освобождение выделенных ресурсов памяти производится выражением delete.
Операторы new и delete имеют две формы:
- управление динамическим размещением в памяти единичного объекта;
- динамическое размещение массива объектов.
Форма оператора delete должна обязательно соответствовать форме оператора new для данного объекта: если выделение памяти проводилось для единичного объекта (new), освобождение памяти также должно осуществляться для единичного объекта (delete). Для массива объектов используются соответственно операторы new[] и delete[].
Таким образом с помощью языка программирования ВС++ были реализованы две программы, листинги и результаты работы которых представлены в приложении.
4. Теория вероятностей и математическая статистика
4.1 Случайные величины
В науке, практической деятельности людей и в быту каждодневно создаются такие положения, когда возникает массовый спрос на обслуживание какого-либо специального вида, причем обслуживающая организация, располагая лишь ограниченным числом обслуживающих единиц, не всегда способна немедленно удовлетворять все поступающие заявки. Примеры такой ситуации хорошо известны каждому. Очереди у магазинных и билетных касс, в буфетах, парикмахерских и т.д.; невозможность получить билет на нужный поезд из-за его переполнения; задержка в посадке самолетов, вызываемая отсутствием свободных посадочных площадок; задержка в ремонте потерпевших аварию станков из-за нехватки ремонтных бригад - все эти и многие другие аналогичные, хорошо известные примеры, несмотря на существенные различия их реального содержания, с формальной стороны очень близки друг другу. Во всех подобных случаях перед теорией встает, в сущности, одна основная задача: установить с возможной точностью взаимную зависимость между числом обслуживающих единиц и качеством обслуживания. При этом качество обслуживания в различных случаях, естественно, измеряется различными показателями. Большей частью таким показателем служит либо процент заявок, получающих отказ (процент пассажиров, не получивших билетов на данный поезд), либо среднее время ожидания начала обслуживания (очереди различного рода). Разумеется, качество обслуживания во всех случаях тем выше, чем больше число обслуживающих единиц; однако столь же очевидно, что чрезмерный рост этого числа сопряжен с излишним расходом сил и материальных средств; практически поэтому вопрос обычно ставится так, что сначала устанавливается необходимый уровень качества обслуживания, а затем находится минимальное число обслуживающих единиц, при котором этот уровень может быть достигнут.
В задачах подобного рода почти всегда приходится учитывать влияние случайного элемента на течение изучаемого явления. Количество поступающих заявок не является, как правило, постоянным, а испытывает случайные колебания. Время обслуживания заявок в большинстве задач не является стандартным, а подвержено случайным колебаниям от одной заявки к другой. Все эти элементы случайности отнюдь не имеют характера небольших «возмущений», нарушающих собой плавный и закономерный ход явления; напротив, они составляют собой основную черту в картине изучаемых процессов. Естественно поэтому математическим инструментом теории массового обслуживания должны стать понятия и методы теории вероятностей - математической дисциплины, посвященной изучению закономерностей случая.
4.1.1 Определение и задание случайной величины
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Будем далее обозначать случайные величины прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения - соответствующими строчными буквами х, у, z. Например, если случайная величина X имеет три возможных значения, то они будут обозначены так: x1, х2, х3.
Целесообразно различать случайные величины, принимающие лишь отдельные, изолированные значения, и случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток.
Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.
На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной величины достаточно перечислить все ее возможные значения. В действительности это не так: случайные величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а вероятности их - различные. Поэтому для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.
При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности:
X х1 х2… хn
р р1 p2… рn
Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что события X = x1, X = х2,…, Х= хn образуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий равна единице:
p1+ p2 +… +pn = 1
Если множество возможных значений X бесконечно (счетно), то ряд р1 + р2+… сходится и его сумма равна единице.
4.1.2 Математическое ожидание дискретной случайной величины
Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Но при решении ряда практических задач нет необходимости знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, а удобнее пользоваться некоторыми количественными показателями, которые давали бы в сжатой форме достаточную информацию о случайной величине. Такие показатели называются числовыми характеристиками случайной величины. Основными из них являются математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
Математическое ожидание характеризует положение случайной величины на числовой оси, определяя собой некоторое среднее значение, около которого сосредоточены все возможные значения случайной величины. Поэтому математическое ожидание иногда называют просто средним значением случайной величины.
Хотя математическое ожидание дает о случайной величине значительно меньше сведений, чем закон ее распределения, но для решения некоторых задач знание математического ожидания оказывается достаточным.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. При этом должно удовлетворяться требование абсолютной сходимости ряда: .
Пусть случайная величина X может принимать только значения xl, х2,…, xn, вероятности которых соответственно равны pl, p2,…, рn. Тогда математическое ожидание М (X) случайной величины X определяется равенством
М (X) = х1р1 + х2р2 + … + хnрn. (4.1)
Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.
Доказано, что средняя арифметическая наблюдаемых во время испытаний значений случайной величины приближается к ее математическому ожиданию при большом числе испытаний. При проведении серий испытаний средние арифметические наблюдаемых значений случайной величины, вычисленные для каждой серии, колеблются около математического ожидания этой случайной величины. При этом колебание становится меньше с увеличением числа испытаний в серии, и все вычисленные средние приближаются к постоянной величине ? математическому ожиданию. Это свойство называется свойством устойчивости средних.
4.1.3 Дисперсия дискретной случайной величины
Легко указать такие случайные величины, которые имеют одинаковые математические ожидания, но различные возможные значения.
Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания. Другими словами, математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует.
По этой причине наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики. Так, например, для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг её математического ожидания, пользуются, в частности, числовой характеристикой, которую называют дисперсией.
Прежде чем перейти к определению дисперсии, введём понятие отклонения случайной величины от её математического ожидания.
Пусть X - случайная величина и М (X) - её математическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность X?М(Х).
Отклонением, называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданиям.
Пусть закон распределения X известен:
X x1 x2… хn
p p1 p2… pn
Напишем закон распределения отклонения. Для того чтобы отклонение приняло значение х1?М(Х), достаточно, чтобы случайная величина приняла значение x1. Вероятность же этого события равна р1; следовательно, и вероятность того, что отклонение примет значение х1?М (X), также равна р1. Аналогично обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения.
Таким образом, отклонение имеет следующий закон распределения:
X ? М(Х) x1 ?M(X) х2 ?М(Х)… хn?М(Х)
P p1 p2… pn
На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения.
На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т.е. М [X - М (X)], для любой случайной величины равно нулю. Это свойство объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие - отрицательны; в результате их взаимного погашения среднее значение отклонения равно нулю. Эти соображения говорят о целесообразности заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами. Так и поступают на деле. Правда, в случае, когда возможные отклонения заменяют их абсолютными значениями, приходится оперировать с абсолютными величинами, что приводит иногда к серьезным затруднениям. Поэтому чаще всего идут по другому пути, т.е. вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называют дисперсией.
Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D(X) = M [X?М(Х)]2 (4.2)
Пусть случайная величина задана законом распределения
X x1 x2… хn
p p1 p2… pn
Тогда квадрат отклонения имеет следующий закон распределения:
[X?М (Х)]2 [х1?М (Х)]2 [х2?М (Х)]2… [хn?М (Х)]2
p p1 p2… pn
По определению дисперсии,
D (X) = М [X?М (Х)]2 = [х1?М (Х)]2p1+ [х2?М (Х)] p2+ … +[хn?М (Х)]2pn
Таким образом, для того чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.
Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой: дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания:
D (X) = M (X2) ? [M(X)]2 (4.3)
Недостатком дисперсии является то, что она имеет размерность квадрата случайной величины и ее нельзя геометрически интерпретировать.
Этих недостатков лишено среднее квадратическое отклонение случайной величины, которое представляет собой положительный квадратный корень из дисперсии:
у(X) = v D(X) (4.4)
4.2 Определение вероятности события
Для количественного сравнения между собой событий по степени возможности их появления вводится определенная мера, которая называется вероятностью события.
Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности появления этого события.
Если опыт сводится к схеме случаев, то вероятность появления некоторого события вычисляется как отношение числа случаев, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу случаев. Это и есть классическое определение вероятности события.
На практике же часто классическое определение вероятности неприменимо по двум причинам:
во-первых, классическое определение вероятности предполагает, что общее число случаев должно быть конечно. На самом же деле, оно зачастую неограниченно;
во-вторых, часто невозможно представить исходы опыта в виде равновозможных и несовместных событий.
Было замечено, что частота появления событий, не сводящихся к схеме случаев, при многократно повторяющихся опытах имеет тенденцию стабилизироваться около какой-то постоянной величины. Это свидетельствует о том, что данные события также обладают определенной степенью объективной возможности появления в опыте, меру которой можно представить в виде относительной частоты или частости.
При большом числе испытаний частость стремится воспроизвести вероятности в пределе при большом числе опытов должна практически совпадать с ней. Это положение носит название закона больших чисел.
На основе этого возникло понятие статической вероятности события, под которой понимается относительная частота появления события в произведенных опытах.
4.5 Построение вариационных рядов
Установление закономерностей, которым подчиняются массовые случайные явления, основано на изучении статистических данных ? сведений о том, какие значения принял в результате наблюдений интересующий исследователя признак.
4.5.1 Вариационные ряды
Для изучения результатов наблюдений прежде всего необходимо их сгруппировать по некоторому признаку. В дальнейшем различные наблюдавшиеся значения признака условимся называть вариантами, а под варьированием понимать изменение значений признака у наблюдаемых элементов.
Число, показывающее, сколько раз встречается вариант в ряде наблюдений, называется частотой варианта (mx).
Для изучения результатов наблюдений можно использовать не частоту варианта, а долю ее в сумме всех частот (wx), которая равна отношению частоты (mx) к общему числу наблюдений (n), т.е. wx= mx/n. Такая величина называется частостью.
Таблица, позволяющая судить о распределении частот (или частостей) между вариантами, называется дискретным вариационным рядом.
Если просмотр первичных данных не позволил составить представление о варьировании значений признака, то, рассматривая вариационный ряд, можно сделать выводы, например, о том, что значение исследуемого признака колеблется между двумя определенными величинами, что наиболее часто встречается некоторое конкретное значение этого признака и т.д.
Наряду с понятием частоты используется понятие накопленной частоты (). Накопленная частота показывает, сколько наблюдалось элементов со значением признака, меньшим или равным х. Отношение накопленной частоты к общему числу наблюдений называется накопленной частостью (w). Очевидно, что w=/n.
Значения, принимаемые признаком, могут отличаться одно от другого на сколь угодно малую величину, т.е. признак может принять любое значение в некотором числовом интервале. Такие признаки называются непрерывными. В этом случае трудно выявить характерные черты варьирования значений признака. А если к тому же велико число вариантов, построение дискретного вариационного ряда также не даст желаемых результатов. Тогда используют интервальную частоту. Эта частота показывает, сколько наблюдалось элементов со значением признака, принадлежащим тому или иному интервалу.
Таблица, позволяющая судить о распределении частот (или частостей) между интервалами варьирования значений признака, называется интервальным вариационным рядом.
Интервальный вариационный ряд строят по данным наблюдений за непрерывным признаком, а также за дискретным, если велико число наблюдавшихся вариантов. Дискретный вариационный ряд строят только для дискретного признака.
Иногда интервальный вариационный ряд условно заменяют дискретным. Тогда серединное значение интервала принимают за вариант х, а соответствующую интервальную частоту ? за mx.
4.5.2 Построение интервального вариационного ряда
Для построения интервального вариационного ряда необходимо определить величину интервала, установить полную шкалу интервалов, в соответствии с ней сгруппировать результаты наблюдений.
Для определения оптимальной величины интервала (h), т.е. такой, при которой построенный интервальный ряд не был бы слишком громоздким и, в то же время, позволял выявить характерные черты рассматриваемого явления, будем использовать формулу Стэрджеса:
h = ()/(1+3,322 lq n), (4.5)
где ? соответственно максимальная и минимальная варианты. Если h оказывается дробным числом, то за величину интервала следует взять либо ближайшее целое число, либо ближайшую несложную дробь.
За начало первого интервала будем принимать величину, равную (хmin - h/2). Тогда, если аi - начало i - го интервала, то ai = xmin - h/2; a2 = a1+h; a3 = a2+h и т.д. Построение интервалов продолжают до тех пор, пока начало следующего по порядку интервала не будет равным или большим xmax.
После установления шкалы интервалов будем приступать к группировке результатов наблюдений. В интервал включаются варианты большие, чем нижняя граница интервала и меньшие или равные верхней границе интервала.
4.5.3 Графическое изображение вариационных рядов
Графическое изображение вариационного ряда позволяет представить в наглядной форме закономерности варьирования значений признака. Наиболее широко используются такие виды графического изображения вариационных рядов, как полигон и гистограмма.
Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х1; n1), (x2; n2),…, (xk\ nk). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат соответствующие им частоты ni. Точки (хi; ni), соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.
Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x1; w1), (x2; w2),…, (xk; wk). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат соответствующие им относительные частоты wi. Точки (xi; wi) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.
На рис. 4.1 изображен полигон относительных частот следующего распределения:
X 1,5 3,5 5,5 7,5
W 0.1 0.2 0.4 0.3
Гистограмма служит для изображения только интервального вариационного ряда. Для ее построения в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают отрезки, изображающие интервалы варьирования, и на этих отрезках, как на основании, строят прямоугольники с высотами, равными частотам (или частостям) соответствующего интервала.
Рис. 4.1
В результате получается ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, которая и называется гистограммой (рис. 4.2).
Гистограмма частот
Рис. 4.2
Средние величины, характеризуя вариационный ряд одним числом, не отражают изменчивости наблюдавшихся значений признака, т.е. вариацию. Простейшим показателем вариации является вариационный размах (Rв), равный разности между наибольшим и наименьшим вариантами, т.е.
Rв = xmax xmin (4.6)
Однако вариационный размах весьма приближенный показатель вариации, так как он почти не зависит от изменения вариантов, а крайние варианты, которые используются для его вычисления, как правило, ненадежны.
4.3 Простейший поток событий. Распределение Пуассона
Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Примерами потоков служат поступление вызовов на АТС, последовательность отказов элементов, приход грузовых поездов на станцию и многие другие.
Среди свойств, которыми могут обладать потоки, выделим свойства стационарности, отсутствия последействия и ординарности.
Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка и не зависит от начала его отсчета; при этом различные промежутки времени предполагаются непересекающимися.
Итак, если поток обладает свойством стационарности, то вероятность появления k событий за промежуток времени длительности t есть функция, зависящая только от k и t.
Свойство отсутствия последействия характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Другими словами, условная вероятность появления k событий на любом промежутке времени, вычисленная при любых предположениях о том, что происходило до начала рассматриваемого промежутка (сколько событий появилось, в какой последовательности), равна безусловной вероятности. Таким образом, предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий в ближайшем будущем.
Итак, если поток обладает свойством отсутствия последействия, то имеет место взаимная независимость появлений того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени.
Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Другими словами, вероятность появления более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления только одного события.
Итак, если поток обладает свойством ординарности, то за бесконечно малый промежуток времени можем появиться не более одного события.
Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.
Часто на практике трудно установить, обладает ли поток перечисленными выше свойствами. Поэтому были найдены и другие условия, при соблюдении которых поток можно считать простейшим или близким к простейшему. В частности, установлено, что если поток представляет собой сумму очень большого числа независимых стационарных потоков, влияние каждого из которых на всю сумму (суммарный поток) ничтожно мало, то суммарный поток (при условии его ординарности) близок к простейшему.
Интенсивностью потока называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.
Если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время длительностью t определяется формулой Пуассона:
Pt(k) = (t)ke-t/k (4.7)
Закон Пуассона описывает число событий k, происходящих за одинаковые промежутки времени при условии, что события происходят независимо друг от друга с постоянной средней интенсивностью. При этом число испытаний велико, а вероятность появления события в каждом испытании мала. Поэтому закон Пуассона называется еще законом распределения редких явлений.
Параметром распределения Пуассона является величина , характеризующая интенсивность появления событий в n испытаниях. На рис. 4.3 приведены многоугольники распределения Пуассона, соответствующие различным значениям интенсивности.
Распределение Пуассона
Рис. 4.3
Формула Пуассона отражает свойства стационарности, отсутствия последействия и ординарности, поэтому ее можно считать математической моделью простейшего потока.
4.4 Статистическая проверка статистических гипотез
Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных - результатов наблюдений.
Первая задача математической статистики - указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.
Вторая задача математической статистики - разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования. Сюда относятся:
- оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и др.;
- проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.
Итак, задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.
Часто необходимо знать закон распределения генеральной совокупности. Если закон распределения неизвестен, но имеются основания предположить, что он имеет определенный вид (назовем его А), выдвигают гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону А. Таким образом, в этой гипотезе речь идет о виде предполагаемого распределения.
Возможен случай, когда закон распределения известен, а его параметры неизвестны. Если есть основания предположить, что неизвестный параметр в равен определенному значению 0, выдвигают гипотезу: = 0. Таким образом, в этой гипотезе речь идет о предполагаемой величине параметра одного известного распределения.
Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.
Например, статистическими являются гипотезы:
- генеральная совокупность распределена по закону Пуассона;
- дисперсии двух нормальных совокупностей равны между собой.
В первой гипотезе сделано предположение о виде неизвестного распределения, во второй о параметрах двух известных распределений.
Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречащую ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая гипотеза. По этой причине эти гипотезы целесообразно различать. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н0.
Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н1, которая противоречит нулевой.
Различают гипотезы, которые содержат только одно и более одного предположений.
Проверка гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения производится так же, как и проверка гипотезы о параметрах распределения, т.е. при помощи специально подобранной случайной величины - критерия согласия.
Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.
Имеется несколько критериев согласия: 2 («хи квадрат»), Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др. Ограничимся описанием применения критерия Пирсона к проверке гипотезы о распределении Пуассона генеральной совокупности (критерий аналогично применяется и для других распределений, в этом состоит его достоинство). С этой целью будем сравнивать эмпирические (наблюдаемые) и теоретические (вычисленные в предположении) частоты.
Обычно эмпирические и теоретические частоты различаются. Возможно, что расхождение случайно (незначимо) и объясняется либо малым числом наблюдений, либо способом их группировки, либо другими причинами. Возможно, что расхождение частот неслучайно (значимо) и объясняется тем, что теоретические частоты вычислены исходя из неверной гипотезы о распределении генеральной совокупности.
Критерий Пирсона отвечает на вопрос: случайно ли расхождение частот? Правда, как и любой критерий, он не доказывает справедливость гипотезы, а лишь устанавливает на принятом уровне значимости ее согласие или несогласие с данными наблюдений.
Итак, пусть по выборке объема n получено эмпирическое распределение:
варианты х1 х2 х3… хi
эмпирические частоты n1 n2 n3… ni
Допустим, что в предположении распределения Пуассона генеральной совокупности вычислены теоретические частоты ni. При уровне значимости требуется проверить нулевую гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону Пуассона.
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину
2= (4.8)
Эта величина случайная, так как в различных опытах она принимает различные, заранее не известные значения. Ясно, что чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты, тем меньше величина критерия, и, следовательно, он в известной степени характеризует близость эмпирического и теоретического распределений.
Заметим, что возведением в квадрат разностей частот устраняют возможность взаимного погашения положительных и отрицательных разностей. Делением на достигают уменьшения каждого из слагаемых; в противном случае сумма была бы настолько велика, что приводила бы к отклонению нулевой гипотезы даже и тогда, когда она справедлива. Разумеется, приведенные соображения не являются обоснованием выбранного критерия, а лишь пояснением.
Доказано, что при закон распределения случайной величины независимо от того, какому закону распределения подчинена генеральная совокупность, стремится к закону распределения 2 с k степенями свободы. Поэтому случайная величина обозначена через 2, а сам критерий называют критерием согласия «хи квадрат».
Число степеней свободы находят по равенству k = s1r, где s число групп (частичных интервалов) выборки; r число параметров предполагаемого распределения, которые оценены по данным выборки.
В частности, если генеральная совокупность распределена по закону Пуассона, то оценивают один параметр , поэтому r =1 и k = s 2.
Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через 2 набл и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы: для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу Н0 (генеральная совокупность распределена по закону Пуассона), надо сначала вычислить теоретические частоты, затем наблюдаемое значение и по таблице критических точек распределения 2, по заданному уровню значимости и числу степеней свободы k = s 2 найти критическую точку 2кр (; k).
Если 2 набл 2кр нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если 2 набл 2кр нулевую гипотезу отвергают.
Таким образом, на третьем, заключительном этапе моделирования - этапе проведения экспериментов и интерпретации результатов была выдвинута гипотеза о том, что моделируемый поток распределен по закону Пуассона.
Проверку гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения проведем при помощи специально подобранной случайной величины - критерия согласия.
Для проверки гипотезы необходимо сравнение теоретических и эмпирических вероятностей. Эмпирические - получены в результате наблюдений. Теоретические же рассчитываются по формуле Пуассона.
Вычислим 2набл., для чего составим расчетную таблицу.
Таблица 4.1. Результаты расчета
|
i |
()2 |
()2/ |
||||
|
1 |
0,53 |
0,55 |
-0,02 |
0,0004 |
0,0007 |
|
|
2 |
0,36 |
0,33 |
0,03 |
0,0006 |
0,0018 |
|
|
3 |
0,08 |
0,01 |
0,07 |
0,0049 |
0,49 |
|
|
4 |
0,03 |
0,02 |
0,01 |
0,0001 |
0,005 |
|
|
5 |
0,003 |
0,004 |
-0,001 |
0,000001 |
0,0003 |
|
|
6 |
0,002 |
0,001 |
0,001 |
0,000001 |
0,001 |
|
|
0,499 |
По таблице критических точек распределения 2 (прил. 5), по уровню значимости =0,95 и по числу степеней свободы k=4 находим 2кр (0,95; 4)=0,711.
Так как 2набл2кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, расхождение эмпирических и теоретических вероятностей незначимое. Следовательно, данные наблюдений согласуются с гипотезой о распределении Пуассона исследуемого потока.
Список источников
железнодорожный вагон математический массив
1. Семенов В.М., Маликов И.А. Транспортная логистика: Краткий терминологический словарь. - СПб., 1998. - 217 с.
2. Гаджинский А.М. Основы логистики: - Учебное пособие, М.: ИВЦ «Маркетинг», 1995. - 253 с.
3. Информационные технологии на железнодорожном транспорте: Учебник для вузов ж.-д. транспорта / Э.К. Лецкий, В.И. Панкратов, В.В. Яковлев и др.; Под ред. Э.К. Лецкого, Э.С. Поддавашкина, В.В. Яковлева. - М., 2000. - 680 с.
4. Железные дороги. Общий курс: Учебник для вузов / М.М. Филипов, М.М. Уздин, Ю.И. Ефименко и др.; Под ред. М.М. Уздина. - М., 1991. - 259 с.
5. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. - М.: Высшая школа, 1985. - 178 с.
6. Денисов А.А., Колесников Д.Н. Теория больших систем управления. - Л.: Энергоиздат, 1987. - 234 с.
7. Бусленко Н.П. Метод статистического моделирования. - М.: Наука, 1989. - 240 с.
8. Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания. - М.: Мир, 1990. - 236 с.
9. Хинчин А.Я. Основные законы теории вероятностей. - М.: Высшая школа, 1989. - 234 с.
10. Холл М. Комбинаторика. - М.: Мир, 1989. - 185 с.
11. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1998. - 479 с.
12. Правила перевозок опасных грузов по железной дороге. / Под ред. Т.И. Якушкина. - М.: Транспорт, 1995. - 252.
13. Определение цены проектируемых технических средств. - Методические указания к выполнению экономической части дипломного проекта и курсовой работы студентами электротехнического факультета и факультета автоматики и телемеханики. Грязнова Л.П., Акользина Г.И. Омский институт инженеров железнодорожного транспорта - 26 с.
14. СТП ОмИИТ - 10 - 91. Курсовой и дипломный проекты. Основные положения. ОмИИТ, -1993. - 9 с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Особенности и сущность моделей системной динамики. Характеристика контуров с положительной и отрицательной обратной связью. Моделирование S-образного роста. Разработка модели запаздывания и ее построение. Основные разновидности моделей мировой динамики.
реферат [134,7 K], добавлен 22.02.2013Характеристика основных принципов создания математических моделей гидрологических процессов. Описание процессов дивергенции, трансформации и конвергенции. Ознакомление с базовыми компонентами гидрологической модели. Сущность имитационного моделирования.
презентация [60,6 K], добавлен 16.10.2014Методика и основные этапы построения математических моделей, их сущность и особенности, порядок разработки. Составление математических моделей для системы "ЭМУ-Д". Алгоритм расчета переходных процессов в системе и оформление результатов программы.
реферат [198,6 K], добавлен 22.04.2009Описание компьютерного моделирования. Достоинства, этапы и подходы к построению имитационного моделирования. Содержание базовой концепции структуризации языка моделирования GPSS. Метод оценки и пересмотра планов (PERT). Моделирование в системе GPSS.
курсовая работа [594,0 K], добавлен 03.03.2011Анализ основных способов построения математической модели. Математическое моделирование социально-экономических процессов как неотъемлемая часть методов экономики, особенности. Общая характеристика примеров построения линейных математических моделей.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 23.06.2013Оптимизация производственной программы предприятия по деповскому ремонту грузовых вагонов. Оптимизация загрузки мощностей по производству запасных частей для предприятий железнодорожного транспорта. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса.
методичка [657,0 K], добавлен 01.12.2010Схема управления запасами для определения оптимального количества запасов. Потоки заказов, время отгрузки как случайные потоки с заданными интенсивностями. Определение качества предложенной системы управления. Построение модели потока управления запасами.
контрольная работа [361,3 K], добавлен 09.07.2014Оптимизация плана перевозок с использованием метода потенциалов. Расчет параметров регрессионных моделей. Проверка надежности найденных статистических показателей и вариаций изменений. Общая задача линейного программирования и решение ее симплекс-методом.
курсовая работа [367,3 K], добавлен 16.05.2015Основной тезис формализации. Моделирование динамических процессов и имитационное моделирование сложных биологических, технических, социальных систем. Анализ моделирования объекта и выделение всех его известных свойств. Выбор формы представления модели.
реферат [493,5 K], добавлен 09.09.2010Основные понятия и типы моделей, их классификация и цели создания. Особенности применяемых экономико-математических методов. Общая характеристика основных этапов экономико-математического моделирования. Применение стохастических моделей в экономике.
реферат [91,1 K], добавлен 16.05.2012
