Применение математических моделей в логистике

Вычисления:

1)

2) Вероятность поступления наивероятнейшего числа заявок определяется по формуле Бернулли:

3) Вероятность поступления заявок от 5 магазинов:

Теперь построим график распределения вероятностей, для этого нужно рассчитать остальные вероятности поступления заявок от магазинов:

Занесём данные в таблицу(11), и на основании вычисленных значений построим график:

Таблица 11

m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P(10,m)	0,006	0,04	0,121	0,215	0,251	0,201	0,112	0,052	0,011	0,002	0,0001



Выполнив вычисления, было определено наивероятнейшее число заявок . Это говорит о том, что на базу придёт 4 заявки. Вероятность поступления наивероятнейшего числа наступления заявок . Из вычисленных вероятностей поступления заявок на базу, вероятность является большей из всех остальных, так же это можно увидеть на графике распределения вероятностей. До вероятность поступления заявок на базу возрастает, после чего убывает. Вероятность поступления заявок от 5 магазинов и .

Задача 5: (Использование модели межотраслевого баланса)

Даны коэффициенты прямых затрат и значение величины конечного потребителя (таблица 12). Требуется:

1) Найти матрицу коэффициентов прямых затрат

2) Составить баланс производства и распределения продукции;

3) Найти конечный продукт каждой отрасли для новых значений валовых продуктов отраслей

4) Найти валовой продукт каждой отрасли для новых значений конечных продуктов отраслей

Таблица 12

Отрасли производства	Потребляющие отрасли	Конечный продукт	Валовой продукт
	1	2	3
А	6	36	20	40	102
B	12	12	20	50	94
C	22	12	12	10	56

Решение:

1. Найдем матрицу коэффициентов прямых затрат. Используя значения из таблицы 12, вычислим

.

Получим следующую матрицу прямых затрат:

Таблица 13

	1	2	3
A	0,059	0,383	0,357
B	0,118	0,128	0,357
C	0,216	0,128	0,214

Составим баланс производства и распределения продукции. Модель баланса производства и распределения продукции отрасли можно представить следующей системой уравнений:

Найдем матрицу полных затрат

.

Вычисления проводятся в программе MathCad.

Элементы матрицы B рассчитываются по формуле

; ,

где алгебраические дополнения элементов матрицы ;

определитель матрицы .

Определитель матрицы :

Расчет алгебраических дополнений матрицы дает следующие результаты:

Составим матрицу :

Вычисление нового конечного продукта при измененном валовом выпуске:

конечный продукт ,

конечный продукт B,

конечный продукт C.

Вычисление нового валового продукта при измененном конечном потреблении



валовая продукция A,

валовая продукция B,

валовая продукция C.

Задача 6: (использование модели, определяющей оптимальный размер партии поставки)

Дано: Потребность предприятия в продукции- 600(тонн/год), издержки содержания запаса- 15(руб./ тонн в год), условно- постоянные расходы- 45(руб).

Необходимо определить:

1) Оптимальный размер партии поставки

2) Общие затраты содержания запаса и выполнения поставок

3) Составить таблицу, которая показывает влияние величины партий поставок на общие издержки , при размерах партий в тоннах: 20, 40, 60, 80, 100, 120.

4) Составить таблицу показывающую влияние стоимости запаса на оптимальный размер партии поставки при таких издержках хранения, руб/тонн в год: 5, 10, 15, 20, 25, 30.

Решение: 1)Запишем условие задачи с помощью обозначений:

Найдём оптимальный размер партии поставки по формуле (9):

2) Общие затраты содержания запаса и выполнения поставок найдём по формулам (6), (7), (5), (4) соответственно:

3) Чтобы выявить влияние величины партий поставок на общие издержки, воспользуемся формулой (4):

Таблица 14

V	20	40	60	80	100	120
C	3000	1950	1800	1875	2040	2250

Из расчёта видим, что общие издержки уменьшаются до , после издержки начинают возрастать. Это означает то, что если брать величину партий более 60 единиц, то придётся больше расходов на хранений партий. Оптимальным решением будет являться величина партий равная , при этом будут самые минимальные расходы на её хранение.

4) Для выявления влияния стоимости запаса на оптимальный размер партии поставки, воспользуемся формулой (5):

Стоимость запаса хранения (С) прямо пропорциональна размеру партии поставки, т.е. , следовательно, при увеличении C, будет увеличиваться V. Так же это можно увидеть из таблицы (15):

Таблица 15

С	5	10	15	20	25	30
V	0,667	1,334	2	2,667	3,334	4

Заключение

На данном этапе работы удалось достаточно подробно рассмотреть применение математических методов в логистике.

В ходе наших исследований были решены все поставленные задачи, а именно:

1. Изучен материал по логистике, методам решения логистических задач;

2. Проанализирована литература по данной теме;

3. Отобран и систематизирован необходимый теоретический материал;

4. Изучены методы решения логистических задач;

5. Рассмотрены следующие модели: модель, определяющая оптимальный размер партии поставки, модель определения места дислокации, модель межотраслевого баланса, а так же такие логистические задачи как: определение периодичности потребления электроэнергии, построение распределения вероятностей величины спроса на определённый товар, определение уровня издержек от величины товарооборота;

6. Приведено решение логистических задач, с использованием математических моделей.

Список использованных источников

1. Лукинский В.С. Модели и методы теории логистики: учебное пособие. СПб.: Питер, 2007. - 448 с.

2. Щербакова В.В. Основы логистики. - СПб.: Питер, 2009. - 432 с.

3. Н.Г. Филонов. Логистика: учебное пособие. Томск: Издательство

томского педагогического университета, 2008.- 250 с.

4. Плоткин Б.К. Экономико-математические методы и модели в управлении материальными ресурсами. - СПб.: Издательство СПбУЭФ, 1992. - 64 с.

5. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности. - М.: Финансы и статистика, 2005. - 616 с.

6. Экланд И. Элементы математической экономики / Перевод с англ. - М.:

Мир, 1983. - 248 с.

7. Экономико-математические методы в снабжении. Под общей редакцией профессора В.М. Лагуткина. - М.: Экономика, 1971. -367 с.

8. Кантрович Л.В. Математические методы организации и планирования производства. - Л.: Издательство ЛГУ, 1939.

9. Леонтьев В.В. Экономические эссе. Теории, исследования, факты и политика: Перевод с англ. М.: Политиздат, 1990. - 415 с.

10. Плоткин Б.К., Делюкин Л.А., Экономико-математические методы и модели в логистике: Учебное пособие. СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2010. - 96 с.

11. Хазанова Л.Э. Логистика: Методы и модели управления материальными потоками: Учебник. М.: Изд-во БЕК, 2003. - 120 с.

12. Елисеева И.И., Курышева С.В., Гордеенко Н.М. и др. Практикум по эконометрике: Учебное пособие. Под редакцией И.И. Елисеевой. М.:Финансы и статистика, 2002.-192 с.

13. Лубенцова В.С. Математические модели и методы в логистике. Учебное пособие. Под редакцией В.П. Радченко. - Самара. Самар. гос. техн. ун-т. 2008. - 157 с.

14. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебник для вузов. 9-е издание, стер. - М.: Высшая школа, 2003.- 479 с.

15. Аникин Б.А. Логистика: тренинг и практикум: учебное пособие. М.:Проспект, 2007. - 439с.

16. http://www.gks.ru/ - Федеральная служба государственной статистики

Приложение 1. Математические методы и модели в логистиках

№ п/п	Методы	Модели	Логистические дисциплины
1	Классический математический анализ	Оптимальный размер партий поставок (формулы Уилсона)	Коммерческая логистика
		Расположение баз снабжения (оптимизационная модель)	Складская логистика
		Межотраслевой баланс	Коммерческая логистика
2	Гармонический анализ	Модели периодических колебаний логистических величин (спроса, продаж, расходования материалов)	Логистики: коммерческая, производственная
3	Теория вероятностей	Законы распределения стохастических логистических величин	Логистики: коммерческая, производственная, складская, транспортная
		Модели приёмки продукции	Коммерческая логистика
4	Математическая статистика	Корреляционно-регрессионные модели	Коммерческая логистика

Приложение 2. Определение места дислокации базы снабжения

Расчётная схема представлена на рисунке 9:

Рисунок 9

Решение:

Обозначим расстояние через . Тогда

,

отсюда получаем длину пути:

по суше:

по морю:

.

Стоимость перевозки одной тонны груза из B в A выразится следующим образом:

Определим минимум полученной функции, для чего найдем первую производную и приравняем ее к нулю:

из чего следует:

Таким образом перевалочную базу следует расположить так, чтобы выполнялось равенство:

Приложение 3. Определение периодичности потребления электроэнергии

Решение: Рассчитаем периодическую функцию с четырьмя гармониками.

Определим коэффициент:

Получаем, что есть средняя величина из исходных данных, т.е. в нашем случае средний удельный расход электроэнергии.

Расчёт коэффициентов произведём с помощью таблицы 16:

Таблица 16.

1	30	0,5	15,5	7,75
2	60	0,866	14,3	12,38
3	90	1	15,2	15.2
4	120	0,866	14,6	12,64
5	150	0,5	11,2	5,6
6	180	0	8,4	0
7	210	-0,5	8,0	-4
8	240	-0,866	8,2	-7,1
9	270	-1	8,7	-8,7
10	300	-0,866	14,0	-12,12
11	330	-0,5	14,5	-7,25
12	360	0	15,0	0
Итого:	14,4



Таким же образом можно рассчитать остальные коэффициенты, тогда получим теоретическую периодичность удельного расхода электроэнергии, которая выражается следующей функцией:

В таблице 17 приведено сравнение фактических данных с расчётными.

Таблица 17

Месяца	Фактические данные	Расчётные данные	Отклонения
1	15,5	15,41	0,09
2	14,3	14,57	0,27
3	15,2	14,8	0,4
4	14,6	14,86	0,26
5	11,2	11,11	0,09
6	8,4	8,32	0,08
7	8,0	8,36	0,36
8	8,2	7,66	0,54
9	8,7	9,24	1,04
10	14,0	13,47	0,53
11	14,5	14,88	0,38
12	15,0	14,92	0,08

Приложение 4. Распределение вероятностей величины спроса на данный товар

Для построения нормального и экспоненциального законов распределения вероятностей вычислим среднее значение реализации товара в день , среднеквадратическое отклонение у, а так же параметр экспоненциального закона л. Для расчёта указанных величин ряд фактических данных упорядочивается от до .

Вычисления:

1) среднее значение реализации:

2) среднеквадратическое отклонение:

3) параметр экспоненциального распределения:

4) вид нормального закона:

5) вид экспоненциального закона:

Таблица 18. Расчёт средней реализации и среднеквадратического отклонения

№
1	3,5	20,64333333	426,1472111
2	3,8	20,34333333	413,8512111
3	2,7	21,44333333	459,8165444
4	14,5	9,643333333	92,99387778
5	18,3	5,843333333	34,14454444
6	13,4	10,74333333	115,4192111
7	7,5	16,64333333	277,0005444
8	24,8	-0,656666667	0,431211111
9	16,5	7,643333333	58,42054444
10	12,4	11,74333333	137,9058778
11	34,5	-10,35666667	107,2605444
12	41,2	-17,05666667	290,9298778
13	27,4	-3,256666667	10,60587778
14	24,5	-0,356666667	0,127211111
15	25,5	-1,356666667	1,840544444
16	27	-2,856666667	8,160544444
17	29,5	-5,356666667	28,69387778
18	22,1	2,043333333	4,175211111
19	48,3	-24,15666667	583,5445444
20	64,5	-40,35666667	1628,660544
21	18,5	5,643333333	31,84721111
22	19,5	4,643333333	21,56054444
23	27,4	-3,256666667	10,60587778
24	35	-10,85666667	117,8672111
25	42	-17,85666667	318,8605444
26	54	-29,85666667	891,4205444
27	32,1	-7,956666667	63,30854444
28	14,5	9,643333333	92,99387778
29	9,4	14,74333333	217,3658778
30	10	14,14333333	200,0338778
Итого:30	724,3	0	6645,994

Установим интервалы значений и вычислим фактические частоты двумя способами:

a) через нормальное распределение

Таблица 19

№ п/п	Интервал	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	Свыше 60	Итого
1	Кол-во случаев	6	8	8	3	3	1	1	30
2	Частоты	0,2	0,27	0,27	0,1	0,1	0,03	0,03	1

Рисунок 10 - Нормальный закон распределения

b) через экспоненциальное распределение:

Таблица 20

№ п/п	Интервал	0-20	20-40	40-60	Свыше 60	Итого
1	Кол-во случаев	14	11	4	1	30
2	Частоты	0,47	0,37	0,13	0,03	1

На основании полученного выражения для экспоненциального закона определяются его теоретические значения:

Таблица 21. Построение теоретического распределения реализации продукции по экспоненциальному распределению

№	Показатели	0	20	40	60
1		0	-0,82	-1,64	-2,46
2		1	0,44	0,194	0,0085
3		0,041	0,018	0,008	0,003
4		0,023	0,01	0,005	0,038
5	Частота теоретическая	0,61	0,26	0,13	1

Вероятности по гипотезе нормального закона для каждого интервала определяются с помощью функции Лапласа:

Вероятность в интервале [a; b]:

Введём обозначения:

Тогда:

Функция Лапласа табулирована и при вычислении вероятностей конкретных значений интервалов используются её конкретные значения.

Чтобы проверить, насколько соответствует теоретическое распределение фактическому, необходимо использовать критерий согласия. Рассчитаем значение для экспоненциального и нормального распределений. Чем меньше будет значение , тем больше будет уровень соответствия данного теоретического распределения фактическому.

Таблица 22. Расчёты для экспоненциального распределения

№ п/п	Величины	0-20	20-40	40-60	Свыше 60	Итого
1		47	37	13	3	100
2		61	26	13	-	100
3		-14	11	0	3	0
4		196	121	0	9	3
5		3,21	4,65	0	-	7,86

Расчёты для нормального распределения:

a) рассчитываются вероятности для каждого из интервалов (с помощью табличных значений функции Лапласа):

b) Рассчитываем для каждого интервала:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

c) Рассчитываем значения

для каждого интервала:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Отсюда запишем значение :

При вычислении значения в качестве фактических частот принято количество случаев.

Сравним полученные результаты:

1) при экспоненциальном распределении

2) при нормальном распределении

следовательно, теоретическое нормальное распределение в большей степени соответствует фактическому, чем экспоненциальное.

Приложение 5. Уровень издержек от величины товарооборота

Решение: Введём данные в таблицу 23, чтобы далее составить систему нормальных уравнений.

Таблица 23

№ п/п
1	1	10	1	10
2	3	5	9	15
3	5	7	25	35
4	8	3	64	24
5	12	1	144	12
Всего	29	26	243	96

Теперь по итогам таблицы составим систему нормальных уравнений:

Решив эту систему, получили результат:

Отсюда получили уровень издержек от величины товарооборота :

Приложение 6. Вывод итогов

Приложение 7. Расчёт данных

Приложение 7. Расчёт данных (продолжение)

Размещено на Allbest.ru