*для купонных облигаций с потоком платежей вида C1=qF, t=l, 2, ...,Т-1; CТ=qF+F получаем выражение вида:

где с целью сохранения общности формально положено

*для бескупонных облигаций, полагая в предыдущем выражении q=0, получаем:

3) Интерпретация кривой доходности.

Форвардные ставки существенно используются в рамках различных теорий временной структуры процентных ставок. Например, в соответствии с теорией чистых ожиданий при отсутствии на рынке арбитражных возможностей устанавливаемые в текущий момент форвардные ставки для будущих периодов должны быть равны ожидаемым в соответствующих будущих периодах спот-ставкам с аналогичными сроками инвестирования. Другими словами (используя терминологию вероятностного подхода ), форвардные ставки должны равняться математическому ожиданию соответствующих спот-ставок.

На данном предположении основана интерпретация формы кривой доходности в рамках теории чистых ожиданий. В качестве примера рассмотрим две стратегии инвестирования на два периода. Первая заключается в покупке двухпериодной бескупонной облигации, доходность к погашению которой определяется спот-ставкой . Вторая стратегия представляет собой так называемую стратегию возобновления (rollover strategy) и состоит в последовательной покупке однопериодных бескупонных облигаций. Доходность к погашению первой однопериодной облигации определяется однопериодной спот-ставкой , а доходность второй облигации - форвардной однопериодной ставкой .

Предположение об отсутствии арбитражных возможностей приводит по аналогии с (22) к тождеству

в котором, в соответствии с теорией чистых ожиданий учтено, что форвардная ставка равна ожидаемой в будущем периоде спот-ставке - Представим данное соотношение в более удобном для интерпретации виде:

(26)

На основании (26) можно сделать следующие выводы о форме кривой доходности (см. рис. 1):

1) если кривая доходности имеет наклон вверх, т.е. , то .. Это означает, что инвесторы ожидают в будущем периоде роста краткосрочных (однопериодных) ставок;

2) если кривая доходности имеет наклон вниз, т.е. , то , а значит, инвесторы ожидают в будущем периоде падения краткосрочных ставок;

3) если кривая доходности параллельна оси абсцисс, т.е. , то, и, следовательно, в будущем инвесторы ожидают, что краткосрочные ставки не изменятся.

Очевидно, аналогичные рассуждения могут быть проведены и для произвольного срока инвестирования.

2.2 Оценка рисков

Как отмечалось ранее, инвестиции в ценные бумаги в условиях неопределенности сопряжены с риском того, что фактическая доходность вложений может отличаться от ожидаемой доходности. Это дает основание рассматривать доходность R ценной бумаги, соответствующую некоторому периоду владения, как случайную величину, а выбор инвестиционной стратегии осуществлять на основе анализа ее числовых характеристик: математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения и т.д. При этом математическое ожидание доходности актива соответствует ожидаемой доходности, а дисперсия 2=D() или сред-неквадратическое отклонение доходности могут использоваться как меры риска вложений в данный актив.

Идеальной для инвестора стратегией инвестирования в рамках данного подхода была бы стратегия, обеспечивающая достижение максимальной ожидаемой доходности при минимальном риске вложений. Однако одновременное достижение этих целей невозможно. Практика работы на финансовых рынках свидетельствует о том, что большему значению ожидаемой доходности обычно сопутствует и большее значение риска вложений.

Риск и доходность связаны тесной однонаправленной зависимостью, что вполне логично, так как любой инвестор требует от более опасных проектов адекватной добавочной прибыли. Величина этой надбавки слабо меняется со временем, что позволяет использовать ее определения стоимости стандартных пакетов бизнесов, например на фондовом рынке. Однако очень часто требуется проанализировать совершенно конкретный проект, имеющий нестандартные риски, в этом случае вопрос измерения этих рисков выходит на передний план. Для того чтобы их определить, мы должны знать Бердникова Т.Б. Рынок ценных бумаг. Вопрос-ответ. -М: ИНФРА-М, 2005:

· как измерить риск

· какова связь между возникновением риска и требуемыми премиями за риск.

Один из способов охарактеризовать неопределенность -- сказать, что событий происходит меньше, чем можно ожидать. Риск, присущий активам, можно точно выразить описанием всех возможных результатов и вероятности, их возникновения. Однако для реальных активов это сделать трудно, а часто и невозможно. Поэтому стандартными статистическими показателями разброса результатов (а следовательно, порождаемой им неопределенности) служат дисперсия и стандартное отклонение. Дисперсия рыночной доходности представляет собой ожидаемое отклонение от ожидаемой доходности в квадрате. Это можно выразить иначе:

Дисперсия у2 = , где ri - фактическая доходность, rср - ожидаемая доходность. Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии: стандартное отклонение у =

Эти показатели и являются естественными измерителями риска. Если бы исход с события был предопределен, стандартное отклонение равнялось бы нулю. Как мы определим позже, дисперсия и стандартное отклонение служат верными критериями риска только при нормальном распределении доходностей. При этом следует иметь ввиду, что только стандартное отклонение имеет размерность исследуемого фактора, дисперсия же, теоретически более адекватно отражает степень разброса значений.

Инвестируя в активы с более высоким риском, инвесторы, как правило, рассчитывают на достижение "более высокой доходности в виде премии за риск (risk premium). Иллюстрацией этой закономерности могут служить данные, приведенные в табл. 1. Таблица содержит статистические оценки в виде выборочного среднего для ожидаемой годовой доходности ,-и в виде выборочного среднеквадратического отклонения для риска , а также соответствующие значения коэффициента вариации для трех видов ценных бумаг фондового рынка США: казначейских векселей (T-bills), долгосрочных корпоративных облигаций (Long Term Corporate Bonds - LTCB's) и обыкновенных акций (Common Stocks - CS's).

Из приведенных данных следует, что большему значению ожидаемой доходности соответствует большее значение риска. Кроме того, анализ значений коэффициента вариации доходности ценных бумаг {Vi} показывает, что с ростом доходности растет и доля риска, приходящаяся на единицу доходности. Существование двух противоположных целей инвестирования позволяет сделать два важных вывода.

1. При осуществлении финансовых инвестиций в условиях неопределенности необходимо учитывать не только ожидаемую доходность, но и риск финансовых активов. При этом притязания инвесторов относительно доходности и риска должны быть сбалансированы.

2. Не следует вкладывать весь капитал в один актив. Действительно, вкладывая весь свой капитал лишь в один актив, инвестор обрекает себя либо на заведомо низкую доходность, либо на заведомо высокий риск. Следствием второго вывода является необходимость распределения (диверсификации) капитала между разными активами Малюгин В.И. Рынок ценных бумаг: Количественные методы анализа: Учебное пособие. -М: Дело, 2006.

Распределение инвестируемого капитала среди различных ценных бумаг приводит к формированию портфеля ценных бумаг инвестора. За счет использования "эффектов портфеля" инвестор может достичь приемлемых для себя значений ожидаемой доходности и риска вложений. В этом состоит главное преимущество портфельного инвестирования по сравнению с инвестициями в отдельные ценные бумаги.

Выбор портфеля ценных бумаг на основе учета его ожидаемой доходности (mean) и риска (variance) известен как подход "доходность - риск" (mean-variance), который был впервые сформулирован Г. Марковицем. Дальнейшее развитие этот подход получил благодаря ранее упоминавшимся работам Дж. Тобина, У. Шарпа, С. Росса и др.

В рамках данного подхода предполагается, что инвестор стремится максимизировать ожидаемую доходность портфеля при заданном уровне риска либо минимизировать риск при заданном уровне ожидаемой доходности посредством диверсификации вложений. Для иллюстрации проблемы выбора портфеля ценных бумаг с помощью подхода "доходность -- риск" удобно использовать кривые безразличия.

Кривые безразличия (indifference curves) - это линии, описывающие различные комбинации значений ожидаемой доходности и риска портфелей ценных бумаг, которые являются равноценными в смысле определенных предпочтений инвестора (рис. 2).

Рис. 2. Кривые безразличия инвестора при подходе "доходность -- риск"

В рамках подхода "доходность - риск" используются следующие предположения относительно предпочтений инвестора Шарп У.Ф., Александер Г.Дж., Бейли Дж.В. Инвестиции. - М.: ИНФРА-М, 2005:

1) предположение о "ненасыщаемости" (nonsaturation) инвестора, которое может быть сформулировано следующим образом: при выборе из двух идентичных во всем, кроме ожидаемой доходности, портфелей инвестор отдает предпочтение портфелю с большей ожидаемой доходностью;

2) предположение о том, что инвестор избегает риска (risk aversion), т.е. при выборе из двух идентичных во всем, кроме риска, портфелей он отдает предпочтение портфелю с меньшим риском.

Избегать риска - значит идти на риск только при соответствующей компенсации за риск, т.е. "премии за риск": большему риску должен соответствовать больший доход. Например, инвестор, избегающий риска, не станет участвовать в "честной" азартной игре (fair game) типа подбрасывания монеты, ожидаемый доход от которой равен нулю.

Пусть - ожидаемая доходность, -- риск портфеля. В силу сделанных предположений относительно предпочтений инвестора в рамках рассматриваемого подхода соответствующие кривые безразличия в системе координат "доходность -- риск" должны быть вогнутыми и иметь положительный наклон, как это имеет место на рис. 2.

Кривые безразличия инвестора обладают рядом свойств.

1. Каждая кривая линия описывает множество равноценных портфелей с характеристиками соответствующими заданному уровню притязаний инвестора, и, следовательно, кривые безразличия одного инвестора не могут пересекаться.

2. Портфели, лежащие выше и левее, являются более привлекательными, чем портфели, располагающиеся ниже и правее. Так, изображенные на рис.2 портфели А и В являются равноценными, портфель С является более привлекательным, чем портфели А я В, а те, в свою очередь, привлекательнее портфеля D.

3. Каждый инвестор имеет бесконечно много кривых безразличия, т.е. ему соответствуют так называемые карты кривых безразличия.

4. Кривые безразличия для инвесторов, избегающих риска в различной степени, т.е. различающихся склонностью к риску, имеют различный угол наклона (рис. 3).

Рассмотрим задачу вычисления характеристик портфеля ценных бумаг, а также исследуем эффекты портфельного инвестирования.

Рис. 3. Кривые безразличия инвесторов, различающихся склонностью к риску: а - невысокая склонность; b - средняя склонность; с - высокая склонность

Основываясь на вышеизложенном, можно сделать следующие выводы. В настоящее время существует достаточный теоретический аналитический аппарат, основанный на различных математических методах, позволяющих оценивать доходности и риски ценных бумаг.

В рамках рассмотренных классических постановок задач Марковица -- Тобина предполагается, что инвесторы формируют оптимальные в смысле подхода "доходность -риск" портфели ценных бумаг сроком на один период владения, исходя из прогнозных значений ожидаемых доходностей и ковариационной матрицы доходностей на рассматриваемый период инвестирования. Прогнозные значения данных характеристик строятся на основе имеющихся "исторических" значений доходностей активов {} () за предшествующие периоды времени. При этом предполагается, что параметры , остаются постоянными в течение всего анализируемого периода.

Государственные облигации используются инвесторами преимущественно для сохранения денежных средств, так как они имеют невысокую доходность, но и риск по ним тоже низок.

3. Методы управления портфелем долговых ценных бумаг

3.1 Сущность портфельного инвестирования

Портфель представляет собой определенный набор из корпоративных акций, облигаций с различной степенью обеспечения и риска, а также бумаг с фиксированным доходом, гарантированным государством, т. е. с минимальным риском потерь по основной сумме и текущим поступлениям Ценные бумаги: Учебник /под ред. В.И. Колесникова, В.С. Торкановского. -М: Финансы и статистика, 2004.

Теоретически портфель может состоять из бумаг одного вида, а также менять свою структуру путем замещения одних бумаг другими. Однако каждая ценная бумага в отдельности не может достигать подобного результата.

Инвестор, работая на рынке ценных бумаг, должен придерживаться принципа диверсификации вкладов: стремиться к разнообразию приобретаемых инвестором финансовых активов. Это необходимо для того, чтобы уменьшить риск потери вкладов. Например, инвестор вложил все свои деньги в акции одной компании. В этом случае он становится полностью зависимым от рыночного колебания курса акций. Если же средства будут вложены в акции нескольких компаний, то доходы инвестора будут зависеть от колебаний некоторого усредненного курса акций компаний, а усредненный курс, как известно, колеблется значительно меньше. Если инвестор придерживается принципа диверсификации, то он обязательно связан с совокупностью принадлежащих ему ценных бумаг различных видов, которая называется инвестиционным (фондовым) портфелем.

Объектами портфельного инвестирования выступают различные ценные бумаги: акции, облигации, производные виды ценных бумаг, часть портфеля может быть представлена в денежном виде. Объемы бумаг в портфеле тоже бывают различными. В зависимости от состава портфеля он может приносить доход или убытки и обладает той или иной степенью риска. Перечень и объемы входящих в портфель ценных бумаг называют структурой портфеля. Последняя представляет собой совокупность характеристик, которыми может управлять инвестор: изменять состав входящих в портфель ценных бумаг и их объемы.

Доходность портфеля и степень риска вложений в него являются целевыми характеристиками портфеля. При портфельном инвестировании инвестор может изменять структуру портфеля, чтобы получить наиболее благоприятные значения целевых характеристик. Таким образом, можно развить представление о фондовом портфеле как совокупности ценных бумаг, собранных инвестором воедино, управляемых как единое целое для достижения определенной цели.

Формируя свой портфель, инвестор должен иметь некоторый механизм отбора для включения в портфель тех или иных видов ценных бумаг, т.е. уметь оценивать их инвестиционные качества посредством методов фундаментального и технического анализа.

Основная задача портфельного инвестирования - улучшить условия инвестирования, придав совокупности ценных бумаг такие инвестиционные характеристики, которые недостижимы с позиции отдельно взятой ценной бумаги, и возможны только при их комбинации.

Только в процессе формирования портфеля достигается новое инвестиционное качество с заданными характеристиками. Таким образом, портфель ценных бумаг является тем инструментом, с помощью которого инвестору обеспечивается требуемая устойчивость дохода при минимальном риске.

Балансовая стоимость характеризует издержки на приобретение данного портфеля и рассчитывается нарастающим итогом путем прибавления к балансовой стоимости имеющегося портфеля основной суммы сделки при покупке ценных бумаг и при продаже путем списания средневзвешенной цены на количество проданных ценных бумаг.

Доходы по портфельным инвестициям представляют собой валовую прибыль по всей совокупности бумаг, включенных в тот или иной портфель с учетом риска. Возникает проблема количественного соответствия между прибылью и риском, которая должна решаться оперативно в целях постоянного совершенствования структуры уже сформированных портфелей и формирования новых в соответствии с пожеланиями инвесторов. Надо сказать, что указанная проблема относится к числу тех, для решения которых достаточно быстро удастся найти общую схему решения, но которые практически не решаются до конца.

Другим преимуществом портфельного инвестирования является возможность выбора портфеля для решения специфических инвестиционных задач.

Для этого используются различные портфели ценных бумаг, в каждом из которых будет собственный баланс между существующим риском, приемлемым для владельца портфеля, и ожидаемой им отдачей (доходом) в определенный период времени. Соотношение этих факторов и позволяет определить тип портфеля ценных бумаг. Тип портфеля - это его инвестиционная характеристика, основанная на соотношении дохода и риска. При этом важным признаком при классификации типа портфеля является то, каким способом и за счет какого источника данный доход получен: за счет роста курсовой стоимости или за счет текущих выплат - дивидендов, процентов.

Было бы упрощенным понимание портфеля как некой однородной совокупности, несмотря на то, что портфель роста, например, ориентирован на акции, инвестиционной характеристикой которых является рост курсовой стоимости. В его состав могут входить и ценные бумаги с иными инвестиционными свойствами.

Основной задачей методов служит выявление среди множества ценных бумаг той их совокупности, в которую можно инвестировать средства, не подвергая свои вложения высокому риску. На практике существует стойкая зависимость между риском и доходностью вложений: чем выше доходность, тем выше риск.

По степени риска наименее рискованными (безрисковыми) являются вложения средств в денежную форму. Вместе с тем эти вложения и наименее доходны. Следующими по степени риска выступают государственные ценные бумаги, далее банковские и корпоративные облигации, а за ними - акции.

Среди множества банковских и корпоративных акций можно выделить много градаций ценных бумаг по степени риска: от слаборискованных с низким доходом до высокорискованных с высоким доходом. Акции банков и корпораций привлекательны для инвестора тем. что могут обеспечить рост дохода от вложенных средств как за счет выплаты дивидендов так и за счет роста их курсовой стоимости.

В зависимости от соотношения рискованности и доходности выделяют агрессивные и оборони тельные акции. К агрессивный относятся акции развивающихся предприятий, проводящих рискованную политику. Их курсовая стоимость может возрасти в несколько раз. Вложение средств в эти бумаги оправданно, когда инвестор желает получить высокий доход за короткое время и сознательно ради этого рискует. Оборонительные акции включают банковские и корпоративные акции эмитентов, которые хорошо зарекомендовали себя на фондовом рынке, отличаются стабильностью, способностью выстоять при неблагоприятной экономической конъюнктуре, деятельность которых имеет достаточно долгую историю. Такие акции имеют устойчивый курс и регулярную выплату дивидендов, поэтому привлекательны для инвесторов, стремящихся к небольшим, но надежным доходам.

Выбор ценных бумаг для портфельного инвестирования зависти от целей инвестора и его отношения к риску. Для всех инвесторов (частных и институциональных) принято выделять три типа цепей инвестирования и связанного с ними отношения к риску Лялин В.А, Воробьев П.В. Ценные бумаги и фондовая биржа. -М: Информационно-издательский дом «Филинъ», 2004.

Инвестор стремится защитить свои средства от инфляции; для достижения цели он предпочитает вложения с невысокой доходностью, но и с низким риском. Этот тин инвестора называют консервативным. К такому типу относится подавляющее число частных инвесторов.

Инвестор пытается произвести длительное вложение капитала, обеспечивающее его рост. Для достижения этой цели он готов пойти на рискованные вложения, но в ограниченном объеме, подстраховывая себя вложениями в слабодоходные, но и малорискованные ценные бумаги. Такой тип инвестора называют умеренно-агрессивным.

Инвестор стремится к быстрому росту вложенных средств, готов для этого делать вложения в рискованные ценные бумаги, быстро менян. структуру своего портфеля, проводя спекулятивную игру па курсах ценных бумаг. Этот тип инвестора принято называть агрессивным.

При составлении портфеля инвестор должен учитывать следующие факторы: степень риска-доходности, срок вложения, тип ценной бумаги. В зависимости от инвестиционной цели инвестор формирует Портфель определенного типа. Сейчас принято выделять следующие типы портфелей.

Портфель ценных бумаг - это продукт, который продается и покупается на фондовом рынке, а следовательно, весьма важным представляется вопрос об издержках на его формирование и управление. Поэтому особую важность приобретает вопрос о количественном составе портфеля. Вопрос о количественном составе портфеля можно решать как с позиции теории инвестиционного анализа, так и с точки зрения современной практики. Согласно теории инвестиционного анализа простая диверсификация, т. е. распределение средств портфеля по принципу - «не клади все яйца в одну корзину» - ничуть не хуже, чем диверсификация по отраслям, предприятиям и т. д. Кроме того, увеличение различных активов, т. е. видов ценных бумаг, находящихся в портфеле, до восьми и более не дает значительного уменьшения портфельного риска.

Портфель роста

Портфель роста формируется из акций компаний, курсовая стоимость которых растет.

Целью типа портфеля роста является рост капитала преимущественно не за счет получения дивидендов и процентов, а за счет роста курса ценных бумаг. По-другому такой портфель называют курсовым портфелем. Основные вложения делаются преимущественно в акции. В зависимости oт соотношения ожидаемого роста капитала и риска можно выделить среди портфелей роста еще и виды портфелей: агрессивного, консервативного и среднего роста.

Портфели агрессивного роста ориентируются на максимальный прирост капитала. Этот портфель составляется из акций молодых быстрорастущих компаний. Он связан с большим риском, но при благоприятном развитии предприятий-эмитентов может принести высокий доход.

Портфель консервативного роста является наименее рискованным среди портфелей данной группы. Состоит, в основном, из акций крупных, хорошо известных компаний, характеризующихся хотя и невысокими, но устойчивыми темпами роста курсовой стоимости. Состав портфеля остается стабильным в течение длительного периода времени. Нацелен на сохранение капитала.

Портфель среднего роста представляет собой сочетание инвестиционных свойств портфелей агрессивного и консервативного роста. В данный тип портфеля включаются наряду с надежными ценными бумагами, приобретаемыми на длительный срок, рискованные фондовые инструменты, состав которых периодически обновляется. При этом обеспечивается средний прирост капитала и умеренная степень риска вложений. Надежность обеспечивается ценными бумагами консервативного роста, а доходность - ценными бумагами агрессивного роста. Данный тип портфеля является наиболее распространенной моделью портфеля и пользуется большой популярностью у инвесторов, не склонных к высокому риску.

Портфель дохода

Данный тип портфеля ориентирован на получение высокого текущего дохода - процентных и дивидендных выплат. Портфель дохода составляется в основном из акций дохода, характеризующихся умеренным ростом курсовой стоимости и высокими дивидендами, облигаций и других ценных бумаг, инвестиционным свойством которых являются высокие текущие выплаты. Особенностью этого типа портфеля является то, что цель его создания - получение соответствующего уровня дохода, величина которого соответствовала бы минимальной степени риска, приемлемого для консервативного инвестора. Поэтому объектами портфельного инвестирования являются высоконадежные инструменты фондового рынка с высоким соотношением стабильно выплачиваемого процента и курсовой стоимости.

Портфель регулярного дохода формируется из высоконадежных ценных бумаг и приносит средний доход при минимальном уровне риска.

Портфель доходных бумаг состоят из высокодоходных облигаций корпораций, ценных бумаг, приносящих высокий доход при среднем уровне риска.

Целью этого типа портфелей является получение дохода за счет дивидендов и процентов. Этот тип портфеля обеспечивает заранее спланированный уровень дохода при почти нулевом риске. Объектами инвестирования данного типа портфелей выступают высоконадежные ценные бумаги. По-другому портфель называют дивидендным. В зависимости от входящих в него фондовых инструментов можно выделить виды портфелей: конвертируемые, денежного рынка, облигаций.

Конвертируемые портфели состоят из конвертируемых привилегированных акций и облигаций. Такой портфель может принести дополнительный доход за счет обмена ценных бумаг, составляющих портфель, на обыкновенные акции, если этому благоприятствует рыночная конъюнктура. В противном случае портфель обеспечивает доход при минимальном риске.

Портфели денежного рынка имеют целью полное сохранение капитала. В их состав включаются денежная наличность и быстрореализуемые активы. Если курс национальной валюты имеет тенденцию к снижению, то она может быть конвертирована в иностранную валюту. Таким образом, вложенный капитал растет при нулевом риске.

Портфели облигаций формируются за счет облигаций и приносят средний доход при почти нулевом риске.

Для портфелей роста свойственно быстрое изменение их структуры в зависимости от изменения курсов входящих в портфель ценных бумаг. Портфели дохода имеют почти постоянные состав и структуру.

Перечисленные типы и виды портфелей представляют спектр возможных портфелей, но на практике инвесторы часто формируют портфели смешанного типа, например портфели роста и дохода.

В связи со спецификой развития российского рынка ценных бумаг, выражающейся в том, что наиболее доходными и наименее рискованными являются государственные ценные бумаги, принято выделять портфели государственных ценных бумаг, например «портфель ГКО». Очевидно, что эти виды портфелей относятся к портфелю облигаций. Могут быть сформированы корпоративные портфели из ценных бумаг эмитентов в конкретных отраслях промышленности, например транспортные, включающие акции предприятий, осуществляющих авиа-, железнодорожные, морские перевозки.

Все вложения конкретного крупного инвестора теоретически представляются в виде одного фондового портфеля, характеризующегося определенным доходом и уровнем риска. Однако на практике управление таким огромным портфелем затруднено, поэтому каждый инвестор может разделить свои инвестиции на несколько портфелей различного типа, каждый из которых будет отличаться своими доходностью и уровнем риска, каждый из них будет подвергаться ревизии и мониторингу в соответствии с выбранным типом портфеля. Разбивка инвестиций на несколько портфелей производится по принципу включения в портфель относительно однородных ценных бумаг.

Портфель ценных бумаг и его характеристики

Портфелем ценных бумаг (portfolio of securities) инвестора будем называть совокупность ценных бумаг, принадлежащих данному инвестору Малюгин В.И. Рынок ценных бумаг: Количественные методы анализа: Учебное пособие. -М: Дело, 2006.

Пусть инвестор формирует свой портфель на множестве из N(N>1) различных ценных бумаг. Капитал инвестора распределяется между различными активами в некоторых пропорциях х1, x2, ..., xN, удовлетворяющих условию:

Х1 + Х2 + ... + XN = 1. (26)

Совокупность величин {хi} (i=1, 2, ..., N) определяет структуру портфеля ценных бумаг. Имеет место следующая интерпретация значений {хi}:

а) хi >0 означает, что доля хi- капитала инвестора вложена в ценную бумагу i;

б) хi =0 означает, что ценная бумага i отсутствует в портфеле инвестора;

в) хi <0 означает, что относительно ценной бумаги i совершена операция короткая продажа (short sale); средства, полученные за счет данной операции, составляют долю |хi| от первоначального капитала инвестора и использованы им для покупки других ценных бумаг.

Определим векторы: Х=(хi) (i=1, 2, ..., N) - вектор, определяющий структуру портфеля; 1=(1, 1, ..., 1)т - единичный N-вектор. Тогда условие (5.1) может быть представлено в виде:

(27)

Для характеристик ценных бумаг, соответствующих одному и тому же периоду владения, введем следующие обозначения:

R=(Ri) - вектор доходностей ценных бумаг, образующих портфель, причем компонента Ri (i=1, 2, ...,N) данного вектора представляет собой "простую" ставку доходности ценной бумаги за один период владения.

E(R) - вектор ожидаемых доходностей ценных бумаг, т.е. =Е(Ri)>0 (i=1, 2, ..., N) - ожидаемая доходность ценной бумаги i за один период владения;

=E((R-)(R--)T) (i, j=1, 2, ..., N) - ковариационная матрица доходностей ценных бумаг размерности (NxN). Матрица является симметричной, т.е. . Будем также предполагать, что она является невырожденной: . Диагональные элементы матрицы представляют собой дисперсии доходностей активов:

=D(Ri)=

Для удобства будем также использовать обозначение

Среднеквадратическое отклонение > О доходности ценной бумаги i будем интерпретировать как риск ценной бумаги.

Недиагональные элементы матрицы являются коварициями доходностей ценных бумаг и определяются по формуле

и связаны с коэффициентами корреляции доходностей соотношением:

. (28)

С учетом принятых обозначений и соглашений характеристики портфеля ценных бумаг для одного периода владения будут определяться следующими выражениями:

* доходность портфеля:

; (29)

* ожидаемая доходность портфеля:

(30)

* дисперсия доходности портфеля:

.

Откуда получаем:

(31)

* риск портфеля:

(32)

В аналитических исследованиях более удобной является векторно-матричная форма представления характеристик портфеля:

(33)

Пусть инвестор распределяет свой капитал среди N (N>1) рисковых активов в некоторых пропорциях Как известно, в рамках подхода "доходность -- риск", предполагается, что цены {}, а следовательно, и доходности активов {Rit} () являются случайными величинами. Из доходностей N активов за один и тот же период t образуем вектор доходностей Rt = а из величин {} - вектор, определяющий структуру портфеля X=(xh x2, ...,xN)T.

Решение задачи формирования оптимального в смысле подхода "доходность -- риск" портфеля основано на определенных модельных предположениях относительно:

* вероятностной модели доходностей (курсов) активов

* рынка и поведения его участников.

1) Предположения относительно вероятностной модели доходностей.

Уже обсуждались традиционные предположения относительно вероятностной модели доходностей в задаче оптимального портфельного инвестирования. Так же отмечались недостатки этих предположений с точки зрения адекватности соответствующей им модели.

В соответствии с этими предположениями, значения векторов доходностей {Rt}, полученные за анализируемый исторический период, можно рассматривать как случайную выборку из многомерного нормального распределения, параметрами которого являются математическое ожидание вектора доходностей активов (т.е. вектор ожидаемых доходностей) , и ковариационная матрица вектора доходностей активов . Это позволяет не учитывать автокорреляцию значений доходностей и считать ожидаемые доходности активов, дисперсии и ковариации (ковариационную матрицу) доходностей активов постоянными во времени, т.е. полагать, что

В качестве статистических оценок параметров и при этом теоретически могут использоваться выборочное среднее значение и выборочная ковариационная матрица . На практике, однако, как это будет показано, для оценивания неизвестных параметров приходится использовать различные «факторные» модели.

Найденные оценки , рассматриваются как прогнозные значения соответствующих характеристик в будущем периоде владения и используются вместо неизвестных истинных значений параметров в алгоритмах оптимизации структуры портфеля ценных бумаг для одного будущего периода владения, т.е. решаются однопериодные задачи оптимизации структуры портфеля активов для каждого периода владения независимо от других периодов.

2) Предположения относительно рынка и поведения его участников.

Данные предположения состоят в следующем:

М.1. Инвесторы осуществляют оценку портфелей, основываясь на ожидаемой доходности и риске активов.

М.2. При выборе их двух идентичных во всем, кроме ожидаемой доходности, портфелей инвестор отдает предпочтение портфелю с большей ожидаемой доходностью.

М.3. При выборе из двух идентичных во всем, кроме риска, портфелей инвестор отдает предпочтение портфелю с меньшим риском.

М.4. Характеристики активов и портфелей относятся к одному заданному периоду владения.

М.5. Активы являются бесконечно делимыми, т.е. в каждый актив может быть вложена любая доля капитала инвестора.

М.6. Отсутствуют какие - либо технические препятствия в реализации оптимальных инвестиционных стратегий; относительно любого актива возможна операция «короткая продажа»; налоги и издержки, связанные с покупкой и продажей активов, не принимаются во внимание.

При выполнении свойства М.6 рынок часто называется полным рынком (complete market) Баринов Э.А, Хмыз О.В. Рынки: валютные и ценные бумаги. -М: «Экзамен», 2005.

Предположения М.1 - М.3 выражают предпочтения инвесторов в рамках подхода «доходность - риск». Предположение М.4 говорит о том, что рассматривается однопериодная задача оптимизации. Предположения М.5 - М.6 носят технический характер и вводятся для упрощения аналитического решения задачи.

3) Постановка задачи оптимизации структуры портфеля.

Пусть инвестор формирует свой портфель сроком на один период владения из N (N>1) различных рисковых ценных бумаг. Прогнозные значения вектора ожидаемых доходностей активов и ковариационной матрицы доходностей активов для рассматриваемого периода равны и . Будем полагать, что т.е. ковариационная матрица является невырожденной (положительно определенной как ковариационная матрица). Приемлемая для инвестора доходность портфеля ценных бумаг равна .

Задача заключается в определении такой структуры портфеля которая обеспечила бы достижение заданной доходности портфеля с минимальным риском. Математическая формулировка данной задачи имеет вид:

, (34)

, (35)

(36)

Соотношения (35)--(36) представляют собой формализованное описание задачи определения оптимального в смысле подхода "доходность -- риск" портфеля рисковых ценных бумаг, которая известна как задача Марковица Приведенная математическая формализация задачи принадлежит Дж.Тобину.

Вектор X*, являющийся решением задачи Марковица, определяет структуру оптимального в смысле подхода "доходность -- риск" портфеля среди всех возможных портфелей с ожидаемой доходностью . Заметим, что в рассматриваемом случае компоненты вектора =() могут принимать отрицательные значения, что означает рекомендацию инвестору совершить относительно соответствующих активов операцию "короткая продажа".

Множество возможных или достижимых портфелей (feasible set) в данном случае - это множество всех портфелей, которые можно образовать из N рассматриваемых ценных бумаг при возможности использования операции "короткая продажа ".

Решение задачи оптимизации структуры портфеля

В математическом плане задача (34)--(36) - это задача минимизации непрерывной функции с двумя ограничениями в виде равенств и поэтому может быть решена аналитически с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа.

Опишем кратко схему решения задачи. Функционал Лагранжа с учетом (34)--(36) имеет вид:

(37)

где - неопределенные множители Лагранжа.

Дифференцируя по X и приравнивая к нулю вектор производных, получаем:

откуда с учетом невырожденности матрицы следует:

Х= (38)

Подставляя (38) в (35), (36), получаем представления для . Используя эти представления в (38), находим решение задачи в виде:

, (39)

где Ь, с - векторы размерности N, имеющие вид:

(40)

(41)

и использованы обозначения:

При невозможности операции "короткая продажа" необходимо наложить дополнительное ограничение на структуру портфеля вида:

. (42)

Получаемая при этом задача оптимизации структуры портфеля (34)--(36), (42) относится к задачам квадратичного программирования, для решения которой используются приближенные численные методы Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. - М.: Наука, 2000.

Портфель ценных бумаг со структурой, определяемой по формуле (39), будем называть оптимальным по Марковицу.

Оптимальному по Марковицу портфелю ценных бумаг соответствует минимальная дисперсия доходности портфеля, определяемая по формуле

(43)

Свойства эффективных портфелей

Портфели, оптимальные в смысле задачи Марковица, называются эффективными портфелями (efficient portfolios) рисковых ценных бумаг или оптимальными по Марковицу портфелями.

Осуществим качественный анализ решения задачи Марковица и сформулируем некоторые свойства оптимальных портфелей.

1. Согласно (39) с увеличением ожидаемой доходности портфеля вклады {} в ценные бумаги при возможности операции "короткая продажа" изменяются линейно: увеличиваются для более доходных и уменьшаются для менее доходных активов. Известно, что при невозможности операции "короткая продажа" имеет место кусочно-линейное изменение {} Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. - М.: ИНФРА-М, 2004.

2. Из (43) следует, что риск оптимального портфеля возрастает вместе с ростом ожидаемой доходности. При возможности операции "короткая продажа" достижима сколь угодно высокая доходность при соответственно растущем риске. При невозможности данной операции максимальной доходностью обладает портфель, образованный из актива (активов) с максимальной ожидаемой доходностью (на рис. 4 такому портфелю соответствует точка А и доходность ).

Таким образом, из (43) следует, что функция описывающая зависимость между риском и доходностью оптимальных портфелей, является вогнутой и имеет положительный наклон (см. рис. 4). Причем если -функции, соответствующие предположениям о возможности и невозможности операции "короткая продажа", то имеет место соотношение Это означает, что при использовании операции "короткая продажа" всегда можно построить более эффективный портфель за счет решения задачи оптимизации на более широком множестве портфелей. Иллюстрацией данному свойству служит рис. 4.

Рис. 4. Графики зависимости риска эффективного портфеля от его ожидаемой доходности при возможности (2) и невозможности (1) операции "короткая продажа"

В теории портфельного инвестирования зависимость между риском и доходностью оптимальных портфелей обычно анализируется в системе координат "доходность -- риск", причем по оси абсцисс откладываются значения риска, а по оси ординат - значения ожидаемой доходности портфеля. Поэтому далее будем использовать именно такое расположение координат.

3. Эффективный портфель рисковых ценных бумаг с характеристиками:

(44)

 (45)

(46)

будем называть "глобальным" эффективным портфелем (global mean-variance portfolio [37] ), на рис. 5 ему соответствует точка G.

Рис. 5. Фронт эффективных портфелей:

А, С- эффективные портфели; G- "глобальный" эффективный портфель; В - неэффективный портфель

4. Эффективные портфели обладают двумя свойствами оптимальности

1) имеют максимальную доходность среди всех достижимых портфелей с одинаковым риском (например, если А -эффективный портфель с характеристиками то для любого достижимого портфеля с характеристиками при ) ;

2) имеют минимальный риск среди всех достижимых портфелей с одинаковой доходностью (если С - эффективный портфель с характеристиками , то для любого достижимого портфеля с характеристиками при ).

Справедливы также следующие два свойства ковариаций доходностей портфелей активов Малюгин В.И. Рынок ценных бумаг: Количественные методы анализа: Учебное пособие. -М: Дело, 2006:

Ковариация доходностей Ra, Rc двух эффективных портфелей А и С с ожидаемыми доходностями и равна:

(47)

6. Ковариация доходности глобального эффективного портфеля Rg с доходностью любого другого портфеля или актива Ra равна:

Cov(Ra,Rg)=

Множество всех эффективных портфелей с характеристиками в системе координат "доходность -- риск" описывается кривой, известной как фронт эффективных портфелей (efficient frontier), ограничивающей множество всех портфелей, достижимых на множестве из N ценных бумаг с характеристиками (feasible set).

На рис 5 фронту эффективных портфелей соответствует отрезок кривой от точки G (включая "глобальный" портфель G) до точки А и выше. Портфели, лежащие на отрезке кривой от точки G до точки В и ниже, не являются эффективными. Портфели, лежащие в заштрихованной области, ограниченной кривой (включая саму кривую), образуют множество достижимых портфелей (feasible set).

Таким образом, в результате решения задачи Марковица инвестор получает не один, а бесконечное множество эффективных портфелей. Индивидуальные предпочтения инвестора при выборе единственного оптимального в смысле подхода "доходность -- риск" портфеля могут быть учтены с использованием кривых безразличия данного инвестора. Проиллюстрируем этот выбор на примере.

Пусть приемлемые для инвестора портфели, соответствующие различным уровням его притязаний, описываются кривыми безразличия (рис. 6).

Рис. 6. Выбор оптимального портфеля с учетом предпочтений инвестора, задаваемых кривыми безразличия

Фронту эффективных портфелей соответствует кривая G-A. Очевидно, портфели, принадлежащие кривой безразличия, недостижимы. Среди достижимых и приемлемых для инвестора портфелей эффективными являются портфели А, С и D. Но более эффективным среди них является портфель С, поскольку он лежит на кривой безразличия что выше и левее кривой.

Таким образом, оптимальным для конкретного инвестора является портфель С, соответствующий точке касания фронта эффективных портфелей и кривой безразличия данного инвестора.

Подход Г. Марковица, ядром которого является идея диверсификации вложений, можно рассматривать как теорию портфельного инвестирования в ее микроэкономическом аспекте, поскольку основным объектом исследования в рамках данной теории является портфель инвестора, формируемый им на основе индивидуальных представлений относительно ожидаемой доходности и риска ценных бумаг.

3.2 Формирование портфеля государственных облигаций

Рассмотрим формирование портфеля государственных облигаций различного выпуска. Анализ будет проводиться на основании данных по торгам, приведенным в приложении 1.

Для формирования портфеля будут рассматриваться облигации следующих кодов:

25058

46001

27026

25060

25057

25061

46003

25059

26199

46017

46021

Для проведения анализа облигаций необходимо рассчитать их доходность и риск. Доходность определяется по средней арифметической, риск определяется как среднеквадратическое отклонение.

Подробный расчет представлен приложении 2.

Результаты приведены в таблице 3.

Таблица 3

Основные характеристики государственных облигаций

Код выпуска	Доходность	Риск
25058	5,5003	0,3757
46001	5,5828	0,2011
27026	5,9652	0,3864
25060	6,0268	0,0507
25057	6,1296	0,0670
25061	6,1585	0,0691
46003	6,0361	0,1883
25059	6,2690	0,1046
26199	6,4276	0,0647
46017	6,5373	0,1012
46021	6,6015	0,1249

Также для формирования портфеля нам необходимо ковариационная матрица доходностей. Она приведена в таблице 4.

Таблица 4

Ковариационная матрица доходностей

	25058	46001	27026	25060	25057	25061	46003	25059	26199	46017	46021
25058	0,1520	0,0058	0,0149	-0,0024	-0,0048	0,0051	-0,0040	-0,0054	0,0088	0,0062	0,0115
46001	0,0058	0,0351	-0,0093	0,0053	0,0056	0,0036	0,0080	-0,0097	0,0053	0,0059	-0,0049
27026	0,0149	-0,0093	0,1726	0,0061	0,0083	0,0058	-0,0009	0,0005	0,0047	0,0092	-0,0052
25060	-0,0024	0,0053	0,0061	0,0065	0,0020	0,0018	0,0025	-0,0031	0,0015	0,0018	-0,0004
25057	-0,0048	0,0056	0,0083	0,0020	0,0047	0,0016	0,0003	-0,0019	0,0015	0,0013	-0,0024
25061	0,0051	0,0036	0,0058	0,0018	0,0016	0,0047	-0,0008	-0,0027	0,0024	0,0017	0,0001
46003	-0,0040	0,0080	-0,0009	0,0025	0,0003	-0,0008	0,0297	-0,0077	-0,0016	-0,0004	-0,0052
25059	-0,0054	-0,0097	0,0005	-0,0031	-0,0019	-0,0027	-0,0077	0,0152	-0,0028	-0,0024	0,0027
26199	0,0088	0,0053	0,0047	0,0015	0,0015	0,0024	-0,0016	-0,0028	0,0055	0,0035	0,0021
46017	0,0062	0,0059	0,0092	0,0018	0,0013	0,0017	-0,0004	-0,0024	0,0035	0,0088	0,0029
46021	0,0115	-0,0049	-0,0052	-0,0004	-0,0024	0,0001	-0,0052	0,0027	0,0021	0,0029	0,0138

Теперь, используя вышеприведенные формулы, проведем расчет оптимального портфеля ценных бумаг.

Значения исходных показателей:

Далее проводим расчет показателей

Далее, для определения структуры портфеля, необходимо задаться общей доходностью портфеля.

В нашем портфеле доходность бумаг колеблется от 5,5 до 6,6. Возьмете это диапазон с шагом 0,1 и рассчитаем структуру портфеля для каждого варианта. Результаты расчет представлены в таблице 5.

В таблице показаны доли каждой бумаги в портфеле при заданной доходности. Там, где показатель меньше нуля, рекомендуется «короткая продажа».

Так как портфель характеризуется не только доходностью, но и риском, то также необходимо рассчитать риск для каждого представленного портфеля.

Расчет дисперсии портфеля при доходности 5,5% представлен ниже. Он равен 0,9%.

По остальным портфелям расчет аналогичен.

Результаты представлены в таблице 6.

Таблица 5

Структура портфеля в зависимости от доходности

Доходность Код выпуска	5,5	5,6	5,7	5,8	5,9	6	6,1	6,2	6,3	6,4	6,5	6,6
25058	0,118	0,103	0,089	0,075	0,061	0,046	0,032	0,018	0,003	-0,011	-0,025	-0,039
46001	0,327	0,278	0,228	0,178	0,129	0,079	0,029	-0,021	-0,070	-0,120	-0,170	-0,220
27026	0,029	0,022	0,015	0,007	0,000	-0,007	-0,014	-0,021	-0,028	-0,035	-0,042	-0,049
25060	0,496	0,442	0,388	0,334	0,280	0,226	0,172	0,118	0,064	0,010	-0,044	-0,097
25057	0,293	0,288	0,284	0,279	0,274	0,269	0,265	0,260	0,255	0,251	0,246	0,241
25061	0,428	0,394	0,360	0,326	0,292	0,258	0,224	0,190	0,157	0,123	0,089	0,055
46003	0,060	0,066	0,073	0,079	0,085	0,091	0,097	0,103	0,109	0,115	0,121	0,127
25059	0,344	0,325	0,305	0,286	0,266	0,247	0,227	0,208	0,188	0,169	0,149	0,130
26199	-0,635	-0,534	-0,433	-0,332	-0,231	-0,130	-0,029	0,072	0,173	0,274	0,375	0,476
46017	-0,484	-0,411	-0,338	-0,265	-0,193	-0,120	-0,047	0,026	0,098	0,171	0,244	0,316
46021	0,023	0,027	0,030	0,033	0,037	0,040	0,044	0,047	0,050	0,054	0,057	0,061

Дисперсия портфеля при доходности 5,5%

Таблица 6

Характеристики портфелей

Доходность, %	Риск, %
5,5	0,9
5,6	0,73
5,7	0,55
5,8	0,40
5,9	0,28
6	0,19
6,1	0,13
6,2	0,10
6,3	0,13
6,4	0,19
6,5	0,28
6,6	0,73

Постоим график зависимости риска и доходности портфелей.

Рис. 4. Кривая «риск-доходность»

На основании данной кривой инвестор может выбрать себе оптимальный портфель в зависимости от своих предпочтений.

На основании вышеизложенного в третьей главе, можно сделать следующие выводы. Формирование портфеля ценных бумаг инвестором происходит в зависимости от его предпочтений в соотношении «доходность-риск» и цели инвестирования. Более рисковые ценные бумаги, как правило, имеют и более высокую доходность. Портфельное инвестирование позволяет дифференцировать риски и получать более стабильный доход.

Прогнозные значения характеристик «риск» и «доходность» строятся на данных ретроспективного анализа курса определенной ценной бумаги. В данной работе были отобраны одиннадцать государственных облигаций (ОФЗ и ГКО) разного выпуска и рассмотрена динамика их курса за период. На основании этих данных были определены средние доходности выбранных облигаций и определена степень риска, как среднеквадратическое отклонение. На основании полученных данных был проведен расчет по 11 государственным долговым ценным бумагам различного выпуска, в результате которого получили различные структуры портфеля. Выбор конкретного портфеля осуществляется инвестором на основании его предпочтений «доходность-риск».

Так риск дефолта по рассмотренным ценным бумагам очень низок, то и доходность их в целом невысока. Государственные ценные бумаги являются надежным инструментов в сохранении инвестированных средств.

Заключение

Преимущества государственных долговых ценных бумаг:

- государственные облигации относятся к ценным бумагам с минимальным риском;

- минимальный риск делает государственные облигации более предпочтительными по сравнению с другими долговыми обязательствами;

Недостатки государственных долговых ценных бумаг:

- уровень дохода ниже, чем по другим видам долговых обязательств.

При разработке методики управления государственными ценными бумагами получены следующие результаты:

1. Проанализирована сущность и особенности долговых ценных бумаг. Показан, что они в основном используются в качестве бездискового вложения

2. Проанализировано состояние Российского рынка государственных ценных бумаг. Показано, что текущая доходность колеблется в диапазоне от 6,5% до 6,56%

3. Рассмотрены методики оценки доходности различных видов облигаций (купонные, бескупонные, бессрочные и т.д.). Показано, что в зависимости от вида облигации, доходность по ним определяется по разному.

4. Рассмотрены методики оценки рисков ценных бумаг, показана зависимость между риском и доходностью - чем выше риск ценной бумаги, тем выше доход по ней.

5. Рассмотрено понятие «кривой безразличия» инвестора. Показано, что она изменяется в зависимости от настроения инвестора, что она определяет выбор той или иной ценной бумаги, той или иной структуры портфеля.

6. Предложено для формирования портфеля ценных бумаг использовать модель Марковица. Показано, что для любого набора ценных бумаг можно сформировать портфель желаемой доходности и приемлемого риска.

7. Проведен расчет по определению основных характеристик государственных долговых ценных бумаг, включаемых в портфель, которые далее используются как основа формирования структуры портфеля государственных долговых ценных бумаг.

8. По предложенной методике был проведен расчет различных структур портфеля в зависимости от величины доходности, которая колебалась в диапазоне от 5,5% до 6,6%. Дальнейший выбор осуществляет инвестор в зависимости от приемлемого для него уровня риска.

Таким образом, в работе решены вопросы и задачи, связанные с управлением портфелем долговых ценных бумаг.

Список литературы

1. Баринов Э.А, Хмыз О.В. Рынки: валютные и ценные бумаги. -М: «Экзамен», 2005.

2. Бердникова Т.Б. Рынок ценных бумаг. Вопрос-ответ. -М: ИНФРА-М, 2005.

3. Булдык Г.М., Теория вероятностей и математическая статистика: "Вышэйшая школа", 2005.

4. Ван Хорн Дж. К. Основы управления финансами: Пер. с англ. /Гл. ред. серии Я.В. Соколов. - М.: Финансы и статистика, 2005.

5. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. - М.: Наука, 2000

6. Глинский В.В., Ионин В.Г., Статистический анализ: Филинъ, 2005.

7. Гранатуров В.М. Экономический риск: сущность, методы измерения, пути снижения: Учебное пособие. -- М.: Дело и Сервис, 2004

8. Капитоненко В.В. Инвестиции: Учебно-практическое пособие для вузов. - М.: «Издательство ПРИОР», 2006

9. Колтынюк Б.А. Ценные бумаги: Учебник. Второе издание. -СПб: Издательство Михайлова В.А, 2006.

10. Ливингстон Г. Дуглас Анализ рисков операций с облигациями на рынке ценных бумаг/ Перевод с англ. - М.: Информационно-издательский дом «Филинъ», 2004

11. Лялин В.А, Воробьев П.В. Ценные бумаги и фондовая биржа. -М: Информационно-издательский дом «Филинъ», 2004.