Общий курс геодезии

4.4.3 Понятие о гидростатическом нивелиривании

Гидростатическое нивелирование выполняют с помощью сообщающихся сосудов, заполненных одной жидкостью. Жидкость устанавливается в обоих сосудах на одном уровне, на одной отметке. Пусть высота столба жидкости в первом сосуде будет c1, а во втором c2 (рис.4.40); тогда превышение точки В относительно точки А будет равно:

h = c1 - c2. (4.69)



Точность гидростатического нивелирования зависит от расстояния между сосудами, типа жидкости, диапазона измерения превышения, конструкции отсчетного устроства и других условий. Она может быть очень высокой; средняя квадратическая ошибка измерения превышения лучшими гидростатическими нивелирами достигает 5 - 10 мкм; диапазон измерения превышений при этом невелик - всего около 1 см. При расстоянии между сосудами до 500 м можно измерить превышение с ошибкой около 10 мм.

4.4.4 Понятие о барометрическом нивелировании

Барометрическое нивелирование основано на зависимости атмосферного давления от высоты точки над уровнем моря. Известно, что с увеличением высоты на 10 м давление падает примерно на 1 мм ртутного столба.

Приближенное значение превышения между точками 1 и 2 можно вычислить по формуле:

h = H2 - H1 = ДH * (P1 - P2), (4.70)

где P1 и P2 - давление в первой и во второй точках;

ДH - барометрическая ступень; значения ДH выбирают из специальных таблиц.

Более точные формулы барометрического нивелирования получают, учитывая закономерности распределения плотности и температуры воздуха по высоте. Приведем полную формулу Лапласа:

h = K0*(1 + б *tm)*(1 + 0.378.em/Pm)* (1 + в*Cos2цfm)*(1 + 2/R*Hm) *lg(P1/P2).

В этой формуле:

P1, P2 - давление воздуха на высоте H1 и H2 соответственно,

Pm - среднее значение давления,

Hm - среднее значение высоты,

tm, em - среднее значение температуры и влажности воздуха,

fm - среднее значение широты,

б - температурный коэффициент объемного расширения воздуха, равный 0.003665 град.-1

в - коэффициент, равный 0.00265,

K0 - коэффициент, равный 18400 при некоторых стандартных значениях давления воздуха и силы тяжести.

Известны и так называемые сокращенные барометрические формулы, в которых значения некоторых параметров состояния атмосферы приняты фиксированными; так в формуле М.В. Певцова:

h = N*(1 + б*tm) *lg(P1/P2),

где N = 18470, принято: em = 9 мм рт.ст., fm = 55o, Hm = 250 м, Pm = 740 мм рт.ст.

Точность барометрического нивелирования невысока; средняя квадратическая ошибка измерения превышения колеблется от 0.3 м в равнинных районах до 2 м и более в горных. Основные области применения барометрического нивелирования - геология и геофизика.

5. ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ КАРТЫ И ПЛАНЫ

5.1 Масштабы топографических карт

Масштабом называется степень уменьшения горизонтальных проложений линий местности при изображении их на плане, карте или аэроснимке. Различают численный и графические масштабы; к последним относятся линейный, поперечный и переходный масштабы.

Численный масштаб. Численный масштаб выражается в виде дроби, числитель которой равен единице, а в знаменателе стоит число, показывающее степень уменьшения горизонтальных проложений. На топографических картах численный масштаб подписывается внизу листа карты в виде 1:М, например, 1:10000. Если длина линии на карте равна s, то горизонтальное проложение S линии местности будет равно:

S = s * M . (5.1)

В нашей стране приняты следующие масштабы топографических карт: 1:1 000 000, 1:500 000, 1:200 000, 1:100 000, 1:50 000, 1:25 000, 1:10 000. Этот ряд масштабов называется стандартным. Раньше этот ряд включал масштабы 1:300 000, 1:5000 и 1:2000.

Линейный масштаб. Линейный масштаб - это графический масштаб; он строится в соответствии с численным масштабом карты в следующем порядке:

проводится прямая линия и на ней несколько раз подряд откладывается отрезок a постоянной длины, называемый основанием масштаба (при длине основания a=2 см линейный масштаб называется нормальным); для масштаба 1:10 000 a соответствует 200 м,

у конца первого отрезка ставится нуль,

влево от нуля подписывают одно основание масштаба и делят его на 20 частей,

вправо от нуля подписывают несколько оснований,

параллельно основной прямой проводят еще одну прямую и между ними прочерчивают короткие штрихи (рис.5.1).

Линейный масштаб помещается внизу листа карты.

Чтобы измерить длину линии на карте, фиксируют ее раствором циркуля-измерителя, затем правую иглу ставят на целое основание так, чтобы левая игла находилась внутри первого основания. Считывают с масштаба два отсчета: N1 - по правой игле и N2 - по левой; длина линии равна сумме отсчетов

S = N1 + N2 ;

сложение отсчетов выполняют в уме. Поперечный масштаб. Проведем прямую линию CD и отложим на ней несколько раз основание масштаба - отрезок a длиной 2 см (рис.5.2). В полученных точках восстановим перпендикуляры к линии CD; на крайних перпендикулярах отложим m раз вверх от линии CD отрезок постоянной длины и проведем линии, параллельные линии CD. Крайнее левое основание разделим на n равных частей. Соединим i-тую точку основания CA с (i-1)-й точкой линии BL; эти линии называются трансверсалями. Построенный таким образом масштаб называется поперечным.



Если основание масштаба равно 2 см, то масштаб называется нормальным; если m = n = 10, то масштаб называется сотенным.

Наименьшее деление поперечного масштаба равно отрезку F1L1; на такую длину отличаются два соседних параллельно расположенных отрезка при движении вверх по трансверсали и по вертикальной линии. Теория поперечного масштаба заключается в выводе формулы цены его наименьшего деления.

Рассмотрим два подобных треугольника AF1 L1 и AFL, из подобия которых следует:

(5.2)

откуда F1L1 = FL*(AL1 / AL) .

По построению FL = a/n и (AL1 / AL) = 1/m. Подставим эти равенства в формулу (5.2) и получим:

(5.3)

При m = n = 10 имеем F1L1 = a/100, то-есть, у сотенного масштаба цена наименьшего деления равна одной сотой доле основания.

Порядок пользования поперечным масштабом:

циркулем-измерителем зафиксировать длину линии на карте,

одну ножку циркуля поставить на целое основание, а другую - на любую трансверсаль, при этом обе ножки циркуля должны располагаться на линии, параллельной линии CD,

длина линии составляется из трех отсчетов: отсчет целых оснований, умноженный на цену основания, плюс отсчет делений левого основания, умноженный на цену деления левого основания, плюс отсчет делений вверх по трансверсали, умноженный на цену наименьшего деления масштаба. Точность измерения длины линий по поперечному масштабу оценивается половиной цены его наименьшего деления.

Переходный масштаб. Иногда в практике приходится пользоваться картой или аэроснимком, масштаб которых не является стандартным, например, 1:17500, то-есть, 2 см на карте соответствуют 350 м на местности; наименьшее деление нормального поперечного сотенного масштаба будет при этом 3.5 м. Оцифровка такого масштаба неудобна для практических работ, поэтому поступают следующим образом. Основание поперечного масштаба берут не 2 см, а расчитывают так, чтобы оно соответствовало круглому числу метров, например, 400 м. Длина основания в этом случае будет a = 400 м / 175 м = 2.28 см.

Если теперь построить поперечный масштаб с длиной основания a = 2.28 см, то одно деление левого основание будет соответствовать 40 м, а цена наименьшего деления будет равна 4 м.

Поперечный масштаб с дробным основанием называется переходным.

Точность масштаба. Карта или план - это графические документы. Принято считать, что точность графических построений оценивается величиной 0.1 мм. Длина горизонтального проложения линии местности, соответствующего на карте отрезку 0.1 мм, называется точностью масштаба. Практический смысл этого понятия заключается в том, что детали местности, имеющие размеры меньше точности масштаба, на карте в масштабе изобразить невозможно, и приходится применять так называемые внемасштабные условные знаки.

Кроме понятия "точность масштаба" существует понятие "точность плана". Точность плана показывает, с какой ошибкой нанесены на план или карту точечные объекты или четкие контуры. Точность плана оценивается в большинстве случаев величиной 0.5 мм; в нее входят ошибки всех процессов создания плана или карты, в том числе и ошибки графических построений.

5.2 Разграфка и номенклатура

5.2.1 Разграфка и номенклатура топографических карт

Номенклатурой называется система нумерации отдельных листов топографических карт и планов разных масштабов. Схема взаимного расположения отдельных листов называется разграфкой.

В нашей стране принята международная система разграфки и номенклатуры топографических карт; ее основой является лист карты масштаба 1:1 000 000.

Вся поверхность Земли условно разделена меридианами и параллелями на трапеции размером 6o по долготе и 4o по широте; каждая трапеция изображается на одном листе карты масштаба 1:1 000 000. Листы карт, на которых изображаются трапеции, расположенные между двумя соседними параллелями, образуют ряды, которые обозначаются буквами латинского алфавита от A до V от экватора к северу и к югу. Листы карт, на которых изображаются трапеции, расположенные между двумя соседними меридианами, образуют колонны. Колонны имеют порядковые номера от 1 до 60, начиная с меридиана 180o; колонна листов карт, на которой изображена 1-я зона проекции Гаусса (см. раздел 1.7), имеет порядковый номер 31 (рис.5.3).

Номенклатура листа карты миллионного масштаба составляется из буквы ряда и номера колонны, например, N-37.

Листы карты масштаба 1:500 000 получают делением листа миллионного масштаба на 4 части средним меридианом и средней параллелью.

Размеры листа - 3o по долготе и 2o по широте. Номенклатуру листа карты масштаба 1:500 000 получают, добавляя к номенклатуре миллионного листа справа прописную букву русского алфавита А, Б, В, Г, например, N-37-А.

Листы карты масштаба 1:200 000 получают делением листа миллионного масштаба на 36 частей меридианами и параллелями. Размеры листа - 1o по долготе и 40' по широте. Номенклатуру листа карты масштаба 1:200 000 получают, добавляя к номенклатуре миллионного листа справа римскую цифру от I до XXXYI, например, N-37-XXIY.

Листы карты масштаба 1:100 000 получают делением листа миллионного масштаба на 144 части меридианами и параллелями. Размеры листа - 30' по долготе и 20' по широте. Номенклатуру листа карты масштаба 1:100 000 получают, добавляя к номенклатуре миллионного листа слева числа от 1 до 144, например, N-37-144.

Листы карты масштаба 1:50 000 получают делением листа масштаба 1:100 000 на 4 части средним меридианом и средней параллелью. Размеры листа - 15' по долготе и 10' по широте. Номенклатуру листа карты масштаба 1:50 000 получают, добавляя к номенклатуре листа 1:100 000 справа прописную букву русского алфавита А, Б, В, Г, например, N-37-144-А.

Листы карты масштаба 1:25 000 получают делением листа масштаба 1:50 000 на 4 части средним меридианом и средней параллелью. Размеры листа - 7'30" по долготе и 5' по широте. Номенклатуру листа карты масштаба 1:25 000 получают, добавляя к номенклатуре листа 1:50 000 справа строчную букву русского алфавита а, б, в, г, например, N-37-144-А-а.

Листы карты масштаба 1:10 000 получают делением листа масштаба 1:25 000 на 4 части средним меридианом и средней параллелью. Размеры листа - 3'45" по долготе и 2'30" по широте. Номенклатуру листа карты масштаба 1:10 000 получают, добавляя к номенклатуре листа 1:25 000 справа цифру от 1 до 4, например, N-37-144-А-а-1.

Сводная схема разграфки и номенклатуры топографических карт показана на рис.5.4. (см. раздел 5.2.2.)

Севернее 60-й параллели листы карт издаются сдвоенными по долготе, севернее 76-й параллели - счетверенными.

5.2.2 Разграфка и номенклатура крупномасштабных планов

Для планов масштабов 1:5000 и 1:2000, создаваемых на участке незастроенной территории площадью более 20 км2, в основу разграфки положен лист карты масштаба 1:100 000, т.е. применяется государственная система разграфки и номенклатуры. Листы планов создаются в трехградусных зонах; сетка прямоугольных координат строится в виде квадратов 10 х 10 см.

Листы планов масштаба 1:5 000 получают делением листа масштаба 1:100 000 на 256 частей меридианами и параллелями. Размеры листа - 1'52.5" по долготе и 1'15" по широте.

Номенклатуру листа плана масштаба 1:5 000 получают, добавляя к номенклатуре листа карты 1:100 000 справа в скобках число от 1 до 256, например, N-37-144-(256).

Листы планов масштаба 1:2 000 получают делением листа масштаба 1:5 000 на 9 частей меридианами и параллелями. Размеры листа - 37.5" по долготе и 25" по широте. Номенклатуру листа плана масштаба 1:2 000 получают, добавляя к номенклатуре листа плана 1:5 000 справа в скобках строчную букву русского алфавита от а до и, например, N-37-144-(256-и).

Для топографических планов, создаваемых на территории городов и на участки незастроенной территории площадью менее 20 км2, применятся прямоугольная разграфка. За ее основу принимается лист плана масштаба 1:5000; листы плана масштаба 1:5000 нумеруются на участке съемки порядковыми номерами от 1 и далее.

Лист плана масштаба 1:5000 делится на 4 части и получаются листы плана масштаба 1:2000, которые обозначаются русскими заглавными буквами, например, 5-Г. Лист плана масштаба 1:2000 делится на 4 листа масштаба 1:1000 или на 16 листов масштаба 1:500. Листы плана масштаба 1:1000 обозначаются римскими цифрами от I до IY, например, 5-Г-IY; листы плана масштаба 1:500 обозначаются арабскими числами от 1 до 16, например, 5-Г-16.

Размеры листа плана масштаба 1:5000 - 40 х 40 см; размеры листа плана масштабов 1:2000, 1:1000, 1:500 - 50 х 50 см.

На одном листе плана масштаба 1:5000 изображается участок местности площадью 4 км2 (400 га), на листе плана масштаба 1:2000 - 1 км2 (100 га), на листе плана масштаба 1:1000 - 25 га, на листе плана масштаба 1:500 - 6.25 га.

Схема разграфки и номенклатуры крупномасштабных планов показана на рис.5.5.

5.3 Координатная сетка

Одним из элементов географической карты является сетка координатных линий. Существуют два вида координатной сетки: картографическая, образуемая линиями меридианов и параллелей, и сетка прямоугольных координат, образуемая линиями, параллельными осям координат OX и OY.

На топографических картах меридианы и параллели являются границами листа карты; в углах карты подписываются их долгота и широта. Внутри листа вычерчивается сетка прямоугольных координат в виде квадратов, называемая иногда километровой сеткой, так как на картах масштаба 1:10 000 и мельче линии сетки проводятся через целое число километров.

Вертикальные линии сетки параллельны осевому меридиану зоны (оси OX) и имеют уравнение Y = Const; значение координаты Y подписывается у каждой линии. Горизонтальные линии сетки параллельны оси OY и имеют уравнение X = Const; значение координаты X подписывается у каждой линии.

Для удобства пользования листами карт, на которых изображены граничные участки зоны, на них показывается сетка прямоугольных координат соседней зоны. Ширина граничной полосы с сеткой соседней зоны составляет 2o по долготе с обоих сторон зоны. Выходы линий координатной сетки соседней зоны наносятся на внешнюю сторону рамки листа карты.

5.4 Условные знаки топографических карт

Объекты местности, ситуация и некоторые формы рельефа изображаются на топографических картах условными знаками. Различают четыре типа условных знаков: контурные или площадные, линейные, внемасштабные и пояснительные подписи. Контурные условные знаки служат для изображения объектов, занимающих определенную площадь и выражающихся в масштабе карты. Контур вычерчивают точечным пунктиром или тонкой сплошной линией и заполняют условными значками леса, луга, сада, огорода, болота и т.д. Линейные условные знаки служат для изображения линейных объектов: дорог, ЛЭП, линий связи, различных продуктопроводов и т.д. Масштаб по линии равен масштабу карты, а в поперечнике - на несколько порядков крупнее. Внемасштабные условные знаки служат для показа объектов, не выражающихся в масштабе карты: геодезических пунктов. километровых столбов, теле- и радиовышек, фабрик, заводов, различного рода опор, и т.д. Местоположение объекта соответствует характерной точке условного знака, которая может располагаться в центре , условного знака, в середине его основания и т.д. Пояснительные подписи служат для дополнительной характеристики объектов: у брода через реку подписывают глубину и характер грунта, у моста - его длину, ширину и грузоподъемность, у дороги - ширину проезжей части и характер покрытия и т.д. В традиционной картографии принято деление всех объектов местности на 8 больших классов (сегментов):

математическая основа,

рельеф,

гидрография,

населенные пункты,

предприятия,

дорожная сеть,

растительность и грунты,

границы и подписи.

Таблицы условных знаков для карт разных масштабов составляются в соответствии с этим делением объектов; они утверждаются государственными органами и издаются в форме обязательных для исполнения документов.

5.5 Изображение рельефа на картах и планах

Основные формы рельефа. Несмотря на большое разнообразие неровностей земной поверхности, можно выделить основные формы рельефа: гора, котловина, хребет, лощина, седловина.

Гора (или холм) - это возвышенность конусообразной формы. Она имеет характерную точку - вершину, боковые скаты (или склоны) и характерную линию - линию подошвы. Линия подошвы - это линия слияния боковых скатов с окружающей местностью . На скатах горы иногда бывают горизонтальные площадки, называемые уступами.

Котловина - это углубление конусообразной формы. Котловина имеет характерную точку - дно, боковые скаты (или склоны) и характерную линию - линию бровки. Линия бровки - это линия слияния боковых скатов с окружающей местностью.

Хребет - это вытянутая и постепенно понижающаяся в одном направлении возвышенность. Он имеет характерные линии: одну линию водораздела, образуемую боковыми скатами при их слиянии вверху, и две линии подошвы.

Лощина - это вытянутое и открытое с одного конца постепенно понижающееся углубление. Лощина имеет характерные линии: одну линию водослива (или линию тальвега), образуемую боковыми скатами при их слиянии внизу, и две линии бровки.

Седловина - это небольшое понижение между двумя соседними горами; как правило, седловина является началом двух лощин, понижающихся в противоположных направлениях. Седловина имеет одну характерную точку - точку седловины, располагающуюся в самом низком месте седловины.

Существуют разновидности перечисленных основных форм, например, разновидности лощины: долина, овраг, каньон, промоина, балка и т.д. Иногда разновидности основных форм характеризуют особенности рельефа конкретного участка местности, например, в горах бывают пики - остроконечные вершины гор, ущелья, теснины, щеки, плато, перевалы и т.д.

Вершина горы, дно котловины, точка седловины являются характерными точками рельефа; линия водораздела хребта , линия водослива лощины, линия подошвы горы или хребта, линия бровки котловины или лощины являются характерными линиями рельефа.

Способы изображения рельефа. Способ изображения рельефа должен обеспечивать хорошее пространственное представление о рельефе местности, надежное определение направлений и крутизны скатов и отметок отдельных точек, решение различных инженерных задач.

За время существования геодезии было разработано несколько способов изображения рельефа на топографических картах. Перечислим некоторые из них.

Перспективный способ.

Способ отмывки. Этот способ применяется на мелкомасштабных картах. Поверхность Земли показывается коричневым цветом: чем больше отметки, тем гуще цвет. Глубины моря показывают голубым или зеленым цветом: чем больше глубина, тем гуще цвет.

Способ штриховки.

Способ отметок. При этом способе на карте подписывают отметки отдельных точек местности.

Способ горизонталей.

В настоящее время на топографических картах применяют способ горизонталей в сочетании со способом отметок, причем на одном квадратном дециметре карты подписывают, как правило, не менее пяти отметок точек.

Способ горизонталей. Сущность способа горизонталей можно понять из рис.5.6.



Мысленно рассечем участок местности горизонтальной плоскостью на высоте H. Линия пересечения этой плоскости с поверхностью Земли называется горизонталью. Горизонталь на местности - это замкнутая кривая линия, все точки которой имеют одинаковые отметки. Уменьшенное изображение на карте горизонтальной проекции горизонтали местности также называют горизонталью.

Для того, чтобы изобразить горизонталями рельеф участка местности, нужно рассечь его не одной, а несколькими горизонтальными плоскостями, расположенными на одинаковом расстоянии по высоте одна от другой. Это расстояние называется высотой сечения рельефа и обозначается буквой h. На местности горизонтали не пересекаются, так как они лежат в разных параллельных плоскостях; на карте они тоже как правило не пересекаются.

Все основные формы рельефа имеют свой рисунок горизонталей; при этом и гора и котловина изображаются системами замкнутых горизонталей (рис.5.7). Чтобы различить эти формы рельефа, а также для некоторых других целей на карте принято показывать направление скатов вниз; для этого применяются бергштрихи - короткие штрихи, перпендикулярные горизонталям и направленные по скату вниз.

Основные горизонтали имеют отметки, кратные высоте сечения рельефа h, начиная от нуля счета высот. Для выражения характерных особенностей рельефа рекомендуется проводить полугоризонтали и четвертьгоризонтали; они проводятся штриховыми линиями через половину и четверть сечения рельефа на отдельных участках карты (где расстояние между основными горизонталями слишком большое).

Каждая пятая основная горизонталь при h = 1, 2, 5, 10 м и каждая четвертая при h = 0.5 и 2.5 м утолщаются. Отметки некоторых горизонталей на карте подписывают, ориентируя основания цифр вниз по склону.

Крутизна и направление скатов. На рис.5.6 видно, что расстояние a между горизонталями на горизонтальной проекции участка зависит от крутизны ската. При одинаковой высоте сечения рельефа расстояние между горизонталями тем меньше, чем круче скат. Крутизна ската характеризуется углом наклона н:

tg(н) = h/a. (5.4)

Тангенс угла наклона называется уклоном и обозначается буквой i; уклон обычно выражают в процентах или промилле (промилле - это тысячная часть целого).

Рассечем скат горы горизонтальными плоскостями при высоте сечения h (рис.5.8); на участке BC скат имеет угол наклона н 1, на участке CD - угол наклона н2. Расстояние a1 - это горизонтальное проложение линии ската BC; оно называется заложением.



Заложение, перпендикулярное к горизонталям, называется заложением ската, то-есть, заложение ската - это горизонтальная проекция линии наибольшей крутизны ската в данной точке; оно принимается за направление ската. Измерив на карте отрезок a и зная высоту сечения рельефа h, по формуле (5.4) можно вычислить тангенс угла наклона, а затем и сам угол наклона н.

График заложений. Для быстрого определения угла наклона по карте пользуются специальным графиком, который называется графиком заложений. Он строится следующим образом (рис.5.9):

вычисляют заложение ската по заданной высоте сечения рельефа для разных углов наклона 0.5o, 1o, 2o и т.д.,

проводят прямую линию и откладывают на ней равные отрезки длины, которые подписывают в градусах угла наклона,

перпендикулярно этой линии откладывают в масштабе карты заложения ската, вычисленные для каждого значения угла наклона,

соединяют полученные точки плавной кривой.

Если теперь требуется определить угол наклона для конкретного заложения ската a, раствором циркуля, равным a, находят соответствующее место на графике и считывают угол наклона (на рис.4.9 н = 4o 30').

Аналогично можно построить график заложения для уклонов i.

График заложения помещается внизу листа карты справа.

Расчет высоты сечения рельефа. При проектировании работ по созданию карты или плана высоту сечения рельефа h выбирают в зависимости от масштаба карты, характера рельефа и назначения карты или плана. При этом условились изображать горизонталями скаты до 45o; скаты большей крутизны изображают специальным условным знаком обрыва. С другой стороны, расстояние между горизонталями на карте нельзя уменьшать до бесконечности, иначе они сольются. Считается, что наименьшее расстояние между горизонталями может быть 0.2 мм. При amin = 0.2 мм и нmax = 45o высоту сечения рельефа для конкретного масштаба можно подсчитать по формуле:

h = amin * M * tg(нmax). (5.5)

Например, для масштаба 1:M = 1:5 000 получим h = 1 м.

По формуле (5.5) находят так называемую расчетную высоту сечения рельефа. В зависимости от характера рельефа Инструкция [14] рекомендует для планов масштаба 1:5000 несколько значений высоты сечения рельефа:

для плоскоравнинной местности h = 0.5 м или h = 1 м,

для равнинной и всхолмленной местности h = 1 м или h = 2 м,

для горной местности h = 5 м.

Правильный выбор высоты сечения рельефа очень важен с экономической точки зрения, так как при уменьшении высоты сечения возрастает объем работ и расходы на производство съемки.

Проведение горизонталей по отметкам точек. Чтобы провести на карте (или плане) горизонтали, необходимо иметь точки с известными отметками, которые назовем пикетами. Пусть даны пикеты 1, 2, 3, 4 (рис.5.10), и предполагается, что вдоль линий 1-2, 1-3, 1-4, 2-3 и 3-4 местность имеет равномерный уклон. Требуется провести горизонтали внутри участка, ограниченного линиями 1-2, 2-3, 3-4, 4-5; высота сечения рельефа h= 1 м.

Процесс нахождения на линии, соединяющей два пикета, точек, через которые пройдут горизонтали, называется интерполированием горизонталей. Известны три способа интерполирования: аналитический, графический и на глаз.

Рассмотрим аналитический способ, являющийся основой для двух остальных способов. На рис.5.11 проведем линию местности, например, 4-1, и ее горизонтальную проекцию и затем покажем секущие плоскости, проходящие через 1 м по высоте. Обозначим точки линии 4-1 буквами A, F, E, D, C, B. Спроектируем эти точки пересечения секущих плоскостей с линией 4-1 на ее горизонтальную проекцию, получим точки a, f, e, d, c, b. Задача заключается в вычислении расстояний af, ae, ad, ac.

Из подобия треугольников FAf' и BAb' имеем:

Af'/Ab' = Ff'/Bb' ,

Af' = Ab'*(Ff'/Bb')

af = Af' = Ab'*(HF - H1)/(H4 - H1).

Обозначим Ab' через s и запишем окончательно:

 (5.6)

Если рис.5.11 построить в масштабе карты (плана), то отрезок s можно взять прямо с карты; отметки пикетов 1 и 4 известны, отметка точки F равна отметке первой секущей плоскости выше точки A.

Аналогично можно вычислить остальные отрезки. Отложив их на линии 4-1, получим на ней искомые точки.

На отрезках 1-2, 2-3 и других таким же образом найдем точки их пересечения с горизонталями. Затем плавными линиями соединим точки с одинаковыми отметками и получим рисунок горизонталей.

Аналитический способ применяют довольно редко ввиду его большой трудоемкости. Гораздо чаще применяют графический способ, при котором используется палетка (лист прозрачной бумаги или пластика), на котором проведены параллельные или расходящиеся прямые линии. Интерполирование на глаз применяют при небольших расстояниях между пикетами и при малых разностях отметок пикетов.

5.6 Решение задач с помощью карт и планов

Топографические планы и карты содержат различную информацию об объектах местности и ее рельефе; эта информация позволяет решать многие геодезические задачи; перечислим некоторые из них:

определение прямоугольных координат X и Y точки,

определение географических координат ц и л точки,

определение отметки H точки,

нанесение точки на план или карту по ее прямоугольным (X и Y) или географическим (ц и л) координатам,

определение длины горизонтальной проекции линии c помощью линейного и поперечного масштабов,

определение дирекционного угла или географического азимута линии,

измерение горизонтального угла между двумя линиями,

определение направления и крутизны ската,

построение профиля местности по заданной линии,

построение на плане или карте границ зон невидимости с данной точки местности,

проведение на плане или карте линии с уклоном, не превыщающим заданное значение,

измерение площади участка,

определение границ водосбора реки и ее притоков,

проектирование береговой линии будущего водохранилища,

определение площади зеркала и объема водохранилища,

определение объемов земляных работ при строительстве различных инженерных сооружений.

Описание решения этих задач не входит в содержание нашего учебника, так как методика решения многих из них приведена в Практикумах по геодезии; некоторые задачи подробно рассматриваются в курсе "Инженерная геодезия".

5.7 Ориентирование карты на местности

Ориентировать карту на местности - значит расположить ее так, чтобы направления линий на карте стали параллельны направлениям соответствующих линий местности. Поскольку на местности проще всего обнаружить и зафиксировать направление магнитного меридиана, то основным методом ориентирования карты является ориентирование по буссоли.

Первый способ. Приложить ребро буссоли к линии географического меридиана и поворачивать карту вместе с буссолью до тех пор, пока отсчет по буссоли не будет равен склонению д (рис.5.12).

Второй способ. Приложить ребро буссоли к линии осевого меридиана (вертикальной линии координатной сетки) и поворачивать карту вместе с буссолью до тех пор, пока отсчет по буссоли не будет равен поправке П = д - гГ (рис.5.13). Значения д и гГ для данного листа карты приводятся внизу листа карты слева.

Приближенно ориентировать карту можно и по хорошо заметным линиям местности: по дорогам, линиям связи и т.п.

5.8 Цифровые топографические карты

Лист обычной топографической карты - это результат работы сложного научно-производственного конвейера, в котором реализованы достижения науки и техники нескольких поколений ученых и специалистов разного профиля; к этим достижениям относятся:

математическая основа, включающая больше десятка картографических проекций,

система разграфки и номенклатуры,

наборы условных знаков для всего масштабного ряда карт,

высокопроизводительные способы съемки местности,

технология создания оригиналов на жесткой недеформируемой основе,

способы тиражирования цветных оттисков карт самого разного назначения.

Всеобщая информатизация и компьютеризация проявляются кроме всего прочего в создании цифровых моделей самых разных объектов и явлений. В этом смысле топографические карты, являясь графической моделью земной поверхности, уже не удовлетворяют современным требованиям, и основным продуктом топографии становятся цифровые топографические карты.

Цифровая топографическая карта - это набор метрической (числовой), семантической (описательной) и логической информации об участке земной поверхности, хранящийся в закодированном виде на каком-либо носителе, доступном для компьютера. Компактность хранения информации, оперативность ее обновления и широкий набор возможностей применения ее для решения различных задач - обязательные атрибуты цифровых карт. Существующие технические и программные средства позволяют просматривать и редактировать цифровую карту на экране дисплея, выполнять различные расчеты, готовить и выводить на принтер или плоттер необходимые документы.

Цифровая топографическая карта, являясь цифровой моделью местности, должна не только включать в себя прежнюю - графическую - модель, но и обладать рядом новых свойств, расширяющих и упрощающих использование геодезической информации.

В геодезии появился термин ГИС - геоинформационная система. В отличие от других автоматизированных информационных систем в геоинформационных системах используется информация о земной поверхности и об объектах естественного и искусственного происхождения, расположенных на ней и вблизи нее, то-есть, информационной основой ГИС являются данные о земной поверхности, представляемые в виде цифровых карт.

Некоторые сферы применения ГИС:

инвентаризация и учет природных ресурсов,

территориальное управление,

ведение различных кадастров (земельного, водного, лесного, городского и др.),

управление крупными топливно-энергетическими комплексами,

управление транспортом,

управление службами безопасности (армия, внутренние войска, ФСБ),

городское управление,

управление недвижимостью и т.д.

Задачи, решаемые с помощью цифровых карт. К настоящему времени уже определился круг проблем, при решении которых цифровым картам принадлежит решающая роль; перечислим их:

Оперативное нанесение и визуализация обстановки. Цифровая топографическая карта служит основой, на которую накладывают слой специальной информации, например, дислокацию войск, экологическую обстановку, план работ по устранению стихийных бедствий и экологических катастроф и т.д.,

Оперативное документирование. Цифровая карта с нанесенной на ней обстановкой выводится на твердую основу (бумагу, пластик и т.п.) и в таком виде после соответствующего оформления и регистрации становится документом.

Издательская деятельность. Различные варианты цифровой карты, отличающиеся как содержанием, так и полнотой, могут тиражироваться и распространяться среди потребителей.

Решение расчетно-аналитических задач, связанных с обработкой данных о земной поверхности. К этим задачам относятся:

управление и планирование,

проектирование, в том числе моделирование природных и социальных процессов,

расчеты, связанные с капитальным строительством, прокладкой путей сообщения и линий связи,

штурманско-навигационные задачи по выбору пути, прокладке курса или отслеживанию движения тех или иных транспортных средств.

Программа цифрового картографирования России. В 1993 году в Роскартографии был разработан проект программы цифрового картографирования Российской Федерации; основными целями программы определены:

создание единого, постоянно обновляемого государственного цифрового фонда картографической информации,

создание индустрии разработок ГИС различного назначения,

создание администрации и технической службы ведения картографических баз и банков данных,

обеспечение всех заинтересованных потребителей, в первую очередь государственных органов, необходимой информациней.

Постановлением Правительства России от 3 мая 1994 года N 418 утверждены основные положения федеральной целевой программы до 2000 года "Прогрессивные технологии картографо-геодезического обеспечения Российской Федерации". В этой программе в частности предусмотрено:

создание цифровых карт масштабов 1:1 000 000 - 1:10 000 и на их основе - федерального и региональных фондов этих карт на территорию Российской Федерации,

создание геоинформационных систем различного ранга и назначения, в том числе на 1-м этапе (1994 - 1996 г.г.) ГИС органов государственного управления, ГИС государственных границ и ряда региональных ГИС, а на 2-м этапе (1996 - 2000 г.г.) - муниципальных территориальных и отраслевых ГИС.

В январе 1995 года Правительство России приняло Постановление N 40 "Об организации работ по созданию геоинформационной системы для органов государственной власти", в которой организация работ по созданию указанной ГИС поручалась Роскартографии. К разработке данной системы привлекались другие министерства и ведомства РФ, такие как Минэкономики, Миннауки с участием РАН и АТН, Минсвязи, Минприроды, Госкомимущества, Гостехкомиссия, Роскоминформ, ФАПСИ и др. совместно с органами исполнительной власти.

В настоящее время Роскартография является крупнейшим производителем цифровой картографической продукции в стране; работы по созданию цифровых карт ведутся в шести центрах геоинформации:

Сибгеоинформ (г. Новосибирск),

Росгеоинформ (г. Москва),

Севзапгеоинформ (г. Санкт-Петербург),

Уралгеоинформ (г. Екатеринбург),

Востсибгеоинформ (г. Иркутск),

Дальгеоинформ (г. Хабаровск), а также в некоторых других организациях.

Технологическая схема создания цифровой карты. В технологии создания топографических карт различают "чистое создание" и обновление. Образно говоря, топографическая карта устаревает уже в момент ее издания, так как ситуация на местности изменяется постоянно, а потому при накоплении определенного процента изменений карта подлежит обновлению и переизданию.

На начальном этапе большинство цифровых карт создавались методом дигитализации (координирования множества точек) по оригиналам обычных топографических карт; затем были внедрены более совершенные растровые технологии. По официальным сообщениям в настоящее время уже создана цифровая карта масштаба 1:1 000 000 на всю территорию России, на очереди - создание цифровых карт более крупных масштабов.

При "цифровании" существующих топографических карт возникает необходимость получения дополнительной информации о местности, которой на обычных картах просто нет, поэтому и здесь приходится выполнять некоторые процессы "цифровой топографии".

При издании цифровой карты на территории, где топографическая карта нужного масштаба отсутствует, и при обновлении цифровых карт применяется принципиально новая технология, в которой можно выделить следующие крупные процессы:

создание геодезической основы (съемочного обоснования),

получение аэроснимков местности,

дешифрирование снимков и сбор семантической информации,

создание файлов цифровой карты путем ввода информации в ПК.

В каждом из этих процессов имеется множество проблем, которые всегда возникают при отработке новых технологий. Применительно к цифровым картам это проблемы:

стандартных и произвольных рамок листов карт,

полноты объектового состава,

правил описания объектов,

точности планового и высотного положения объектов,

согласования метрического положения объектов,

форматов представления данных,

технического и программного обеспечения и т.д.

Исследования по решению перечисленных проблем выполняются как в специализированных научных организациях Роскартографии, так и в учебных заведениях геодезического профиля.

6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ УЧАСТКОВ МЕСТНОСТИ

6.1 Геометрический способ

Существует три способа определения площади участков: геометрический, аналитический и механический. На местности применяют два первых способа, на картах и планах - все три способа.

Геометрический способ - это вычисление площади геометрических фигур по длинам сторон и углам между ними, значения которых можно получить только из измерений.

Сначала рассмотрим простейшую фигуру - треугольник.

Формулы для вычисления площади треугольника известны:

P = 0.5 * a * h; (6.1)

P = 0.5 * a * b * Sin(C) (6.2)

(6.3)

в этих формулах:

a, b, c - длины сторон треугольника,

A, B, C - углы при вершинах против соответствующих сторон,

h - высота, проведенная из вершины A на сторону a,

p - полупериметр, p=0.5*(a + b + c).

Для решения любого n-угольника нужно знать (2*n - 3) его элементов, причем количество известных углов не должно быть больше (n-1), так как один угол всегда может быть вычислен, если остальные углы известны, на основании формулы:

в = 180o * (n - 2) (6.4)

При расчете ошибки определения площади следует учитывать ошибки всех (2n-3) измеряемых элементов.

В треугольнике нужно знать (измерить) три элемента. Формула (6.1) содержит всего два элемента; это значит, что прямой угол между основанием и высотой нужно отдельно обеспечить с необходимой точностью, что равнозначно одному измерению.

Примем относительную ошибку площади mp/P = 1/1000, тогда для применения формулы (6.1) на основании принципа равных влияний необходимо выполнить условия:

где ma,mb,в - ср.кв. ошибки сторон a, b и прямого угла между основанием и высотой.

Для формулы (6.2) на основании принципа равных влияний можно написать:

(6.5)

Считая по-прежнему mp/P=1/1000, получим:

и mв= 3.4' при < C = 60o,

mв= 2.0' при < C = 45o,

mв= 1.0' при < C = 26o.

Если в треугольнике измерять три стороны с относительной ошибкой mS/S и для вычисления площади применять формулу (6.3), то для равностороннего треугольника получим:

(6.6)

что при mp/P=1/1000 дает ms/S=1/1500.

Таким образом, вариант с измерением трех сторон треугольника оказывается самым эффективным, так как в нем не требуется измерять углы.

Четырехугольник, как геометрическая фигура, может быть параллелограммом, ромбом, трапецией, прямоугольником, квадратом; но как участок местности его следует считать фигурой произвольной формы, так как обеспечение геометрических свойств той или иной фигуры на местности требует дополнительных измерений.

В четырехугольнике (n=4) нужно измерить пять элементов: три угла и две стороны или два угла и три стороны или один угол и четыре стороны или четыре стороны и одну диагональ. Последний вариант является наиболее предпочтительным, так как, во-первых, в нем не нужно измерять углы, и, во-вторых, согласно формуле:

(6.7)

относительная ошибка площади примерно равна относительной ошибке измерения сторон. Во всех остальных вариантах при оценке точности площади нужно учитывать как ошибки измерения сторон, так и ошибки измерения углов. Применение геометрического способа на местности требует разбиения участка на простые геометрические фигуры, что возможно лишь при наличии видимости внутри участка (рис.6.1.)

При определении площади участков на топографических планах и картах стороны и высоты треугольников, стороны и диагонали четырехугольников нужно измерять с помощью поперечного масштаба.

Для определения площади на карте или плане геометрическим способом часто используют палетку - лист прозрачной бумаги, на котором нанесена сетка квадратов или параллельных линий. Палетку с квадратами накладывают на участок и подсчитывают, сколько квадратов содержится в данном участке; неполные квадраты считают отдельно, переводя затем их сумму в полные квадраты. Площадь участка вычисляют по формуле:

P=n*(a*M)2, (6.8)

где a - длина стороны квадрата,

M - знаменатель масштаба карты,

n - количество квадратов на участке.

Применение палеток с параллельными линиями описано в [23].

6.2 Аналитический способ

При наличии прямоугольных координат X и Y вершин n -угольника его площадь можно вычислить по формулам аналитической геометрии; выведем одну из таких формул. Пусть в треугольнике ABC координаты вершин равны X1 , Y1 (A), X2, Y2 (B) и X3, Y3 (C) - рис.6.2.



Из вершин треугольника опустим перпендикуляры на оси координат и обозначим их длину, как показано на рис.6.2.

Площадь треугольника P будет равна сумме площадей двух трапеций I(aABc) и II(bBCc) за вычетом площади трапеции III(aACc)

P=PI+PII-PIII. (6.9)

Выразим площадь каждой трапеции через ее основания и высоту:

PI=0.5(X1+X2)*(Y1-Y2);

PI=0.5(X2+X3)*(Y3-Y2); (6.10)

PI=0.5(X3+X1)*(Y1-Y3);

Чтобы избавиться от множителя 0.5, будем вычислять удвоенную площадь треугольника. Выполним умножение, приведем подобные члены, вынесем общие множители за скобки и получим:

2*P=X1*(Y2-Y3)+X2*(Y3-Y1)+X3*(Y1-Y2)

или в общем виде:

(6.11)

В этой формуле индекс "i" показывает номер вершины треугольника; индекс "i" означает, что нужно брать следующую или предыдущую вершину (при обходе фигуры по часовой стрелке).

Если при группировке членов выносить за скобки Y1, то получится формула:

(6.12)

Вычисления по обоим формулам дают одинаковый результат, поэтому на практике можно пользоваться любой из них.

Хотя формулы (6.11) и (6.12) выведены для треугольника, нетрудно показать, что они пригодны для вычисления площади любого n - угольника.

Оценка точности площади. В большинстве случаев участки на местности имеют форму неправильного n - угольника, причем количество вершин многоугольника n может быть от 30 до 20 и более. Площадь таких участков вычисляют аналитическим способом по прямоугольным координатам вершин, которые, в свою очередь, определяют в результате обработки геодезических измерений. При этом для каждой вершины многоугольника получают координаты и ошибку ее положения относительно исходных пунктов, задающих систему координат на местности.

Выведем формулу для оценки площади многоугольника по известным внутренним углам, длинам его сторон и ошибкам положения mti его вершин.

На рис.6.3 изображен фрагмент многоугольника с вершинами i-1, i, i+1, i+2 и сторонами li-1,li,li+1.

Проведем на вершинах i и i+1 окружности радиусами mti и mt(i+1) и построим биссектрисы углов вi и вi+1. Затем восстановим перпендикуляры к стороне li и найдем проекции отрезков mti и mt(i+1) на эти перпендикуляры:

 (6.13)

(6.14)

Построим трапецию, основаниями которой являются отрезки mi и mi+1, а высотой - сторона li и найдем площадь этой трапеции ДPi. Как известно, площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, а поскольку основаниями трапеции являются проекции ср.кв. ошибок, то вместо полусуммы нужно взять квадратичную полусумму оснований; таким образом,

(6.15)

Где c = Sin(в/2) .

Площадь трапеции, построенной на одной стороне многоугольника, является частью ошибки площади всего многоугольника; выполнив квадратичное суммирование площадей ДPi по всем сторонам, получим:

(6.16)

Из формулы (6.16) можно получить формулу средней квадратической ошибки площади правильного многоугольника с одинаковой ошибкой положения mt всех его вершин:

mP=an * mt * L, (6.17)

где: L - периметр многоугольника,

an - коэффициент, зависящий от n - количества вершин;

его значения:

n	3	4	5	6	7	8	9	10
an	0.204	0.250	0.256	0.250	0.243	0.231	0.222	0.212
n	11	12	15	20	24	30	60	120
an	0.205	0.197	0.179	0.156	0.143	0.128	0.091	0.065

Формула (6.17) является базовой и при оценке площади неправильных n-угольников, для которых ошибка площади mp оказывается лишь на несколько процентов больше, чем для правильного n - угольника. Так, если площадь неправильного n - угольника при том же периметре в два раза меньше площади правильного n-угольника, то ошибка его площади увеличивается лишь на 20 %.

При неодинаковых ошибках положения вершин многоугольника в формуле (6.17) достаточно вместо mt поставить mt(ср).

Примером применения формулы (6.17) является оценка площади участков, координаты вершин которых получены с топографических планов. Например, для плана масштаба 1:2000 ошибку положения точек можно принять равной mt = 0.50 мм * M = 1 м (при условии, что основа плана достаточно жесткая и ее деформацией можно пренебречь). При площади участка 0.12 га и количестве вершин n=4 (5 или 6) средняя квадратическая ошибка его площади при правильной форме (периметр L = 140 м) будет равна 35 кв.м, а при неправильной форме (периметр L>140 м) она может достигать 40 кв.м.

Другим примером применения формулы (6.17) может служить оценка площади многоугольника, координаты вершин которого получены из полярной засечки, выполненной с одного пункта-станции.

При использовании точных приборов (электронных тахеометров или систем GPS) доля ошибок измерений в ошибке положения точек значительно меньше доли ошибки их фиксации mф на местности. Приняв mti= mф, можно использовать формулу (6.17) для любых способов получения координат вершин многоугольника.

Площадь правильного n-угольника можно выразить через его периметр:

(6.18)

И из формулы (6.17) получить формулу относительной ошибки площади:

(6.19)

(6.20)

Например:

для треугольника (n=3) mp/P = 4.24* mt/L,

для четырехугольника (n=4) mp/P = 4.00* mt/L,

для пятиугольника (n=5) mp/P = 3.72 mt/L,

для шестиугольника (n=6) mp/P = 3.46 mt/L.

Таким образом, для приближенной оценки площади 3-4-5-6- угольника в аналитическом способе можно применять формулу:

mp/P=4* mt/L; (6.21)

ошибка этой формулы может достигать 15% - 20% для участков, форма которых заметно отличается от формы правильного n -угольника.

6.3 Механический способ

Механический способ определения площади - это измерение на карте или плане площади участка с произвольными границами при помощи специального прибора - планиметра. Полярный планиметр имеет два рычага: полюсный R1 и обводной R (рис.6.4).

Один конец полюсного рычага - точка 0 - является полюсом планиметра, - на нем крепится игла; другой его конец шарнирно соединяется с обводным рычагом в точке b. На одном рычаге обводного рычага имеется счетное колесо K, которое располагается перпендикулярно рычагу, на другом конце рычага находится обводная точка f. Для механического счета числа оборотов счетного колеса имеется счетный механизм. Счетный барабан разделен на сто частей,и сбоку от него имеется верньер на одну десятую деления. Обводное колесо и счетный механизм помещаются на каретке, которую можно перемещать вдоль обводного рычага , изменяя тем самым его длину R = bf.

Измерение площади сводится к обводу по контуру участка на карте обводной точкой f; при этом вследствие трения о бумагу счетное колесо вращается. Берут отсчет по счетному механизму до обвода контура n1 и после обвода - n2. Площадь участка вычисляют по формуле:

P = c * (n2 - n1), (6.21)

где c - цена деления планиметра.

Внешний вид полярного планиметра изображен на рис.6.5; на нем цифрами обозначены: 1 - основная каретка, 3 - полюсный рычаг, 4 - полюс, 6 - стеклянная пластинка с обводной точкой, 7 -обводной рычаг, 8 - шарнирное соединение, 9 - счетчик полных оборотов, 10 - счетное колесо, 11 - верньер.

Теория полярного планиметра. Предметом теории планиметра является вывод формулы площади обводимого участка в зависимости от числа оборотов счетного колеса. При выводе формулы выделим два случая: полюс планиметра располагается внутри контура и вне контура.

Рассмотрим первый случай - полюс внутри контура. Обозначим:

R - длина обводного рычага,

R1 - длина полюсного рычага,

r -расстояние от счетного колеса до шарнира (рис.6.6).

Пусть обводная точка f движется по контуру участка и в какой -то момент занимает положение f1.

Через малый промежуток времени она займет положение f2, а точка b переместится из положения b1 в положение b2. За этот промежуток времени планиметр измерит площадь pi элементарного участка; на рисунке этот участок заштрихован. Площадь pi можно представить как сумму площадей трех фигур:

параллелограмма b1b2f'1f1 - R*hi,

кругового сектора Ob1b2 радиуса R1 - 0.5 * R12 * бi;

кругового сектора b1f'1f2 радиуса R - 0.5 * R2*в i;

pi = R * hi + 0.5 * R12 * i + 0.5 * R2*<в i (6.22)

Пусть за этот промежуток времени счетное колесо повернулось на дугу si. При движении обводного рычага параллельно самому себе счетное колесо вращается полностью, а при движении обводного рычага вдоль своей оси оно не вращается, а скользит по бумаге. Разобьем движение обводного рычага на два движения: параллельно самому себе - колесо повернется на дугу hi ,

поворот вокруг точки b2 на угол в i - колесо повернется на дугу в обратном направлении, поэтому:

si = hi - ,

hi = si + .

Подставим последнее выражение в формулу (6.22) и получим:

pi = R * si + R * r * bi + 0.5 * R12 * бi+ 0.5 * R2*в i.

Сложим площади элементарных участков pi и получим площадь всего измеряемого участка:

P = pi = R * si + R * r * bi + 0.5 * R12 * бi+ 0.5 * R2* в i. (6.23)

Сумма si выражает дугу, на которую повернулось счетное колесо при обводе всего участка; она равна произведению разности конечного и начального отсчетов по счетному колесу на длину дуги l, соответствующей одному делению счетного колеса:

si = l * (n2 - n1). (6.24)

Полюсный рычаг повернется на угол 360o или р, бi = р, обводной рычаг повернется также на угол 360o или р, в i = р.