Обоснование принятия оптимальных решений для хлебозавода

Установить целевую ячейку G10, равной минимальному значению.

В поле ввода Изменяя ячейки установить C12:F15

В поле ввода Ограничения установить C12:F15 >= 0

C16:E16 = C7:E7

G12:G15 = G3:G6

Рисунок 22 - Поиск оптимального решения



Вычисления производятся при нажатии кнопки Найти решение. Получим решение задачи:

Рисунок 23 - Поиск оптимального решения

4. Решение игры

Рассмотрим игру, представленную платежной матрицей:

.

Так как игра не имеет седловой точки, то она не решается в чистых стратегиях.

Все элементы четвертого столбца не превышают элементов первого столбца. Следовательно, стратегия, соответствующая первому столбцу платежной матрицы заведомо невыгодна для второго игрока, и первый столбец можно исключить. Все элементы второго столбца не превышают элементов пятого столбца. Следовательно, стратегия, соответствующая пятому столбцу платежной матрицы заведомо невыгодна для второго игрока, и пятый столбец можно исключить. Получаем матрицу из трех столбцов:

Решим упрощенную игру с помощью графического доминирования.

Рисунок 24 - Геометрическая интерпретация исходной игры

хлебопекарный игра отрасль

С помощью геометрического доминирования исходная игра сведена к игре размерности [2х2]

Решим полученную игру аналитическим методом:



Проверка:

V(H)=x*HY*^T=

ЗЛП для игрока 1:

min [ f₀ (х)=х1+х2]

ЗЛП для игрока 2:

max [ g₀(y)=y1+y2+y3+y4+y5]



Найдем решение задачи линейного программирования для первого игрока с помощью программы Microsoft Excel.

Введем целевую функцию в ячейку А1, ограничения в ячейки В1 - В5, а искомые значения x в ячейки С1 - С2. Далее с помощью поиска решений найдем оптимальное решения. Получим следующее:

Рисунок 25 - Поиск оптимального решения

Найдем решение задачи линейного программирования для второго игрока с помощью программы Microsoft Excel.

Введем целевую функцию в ячейку А1, ограничения в ячейки В1 - В2, а искомые значения y в ячейки С1 - С5. Далее с помощью поиска решений найдем оптимальное решения. Получим следующее:



Рисунок 26 - Поиск оптимального решения

X=(1/7; 1/7); Y=(0; 1/7; 0; 1/7; 0); ,

g₀(y*)=f₀(x*)=2/7.

Тогда

V(H)=1/(2/7)=7/2;

X*₁=(1/7)/(2/7)=1/2;

X*₂=(1/7)/(2/7)=1/2;

Y*₁=0/(2/7)=0;

Y*₂=(1/7)/(2/7)=1/2;

Y*₃=0/(2/7)=0;

Y*₄=(1/7)/(2/7)=1/2;

Y*₅=0/(2/7)=0;

Следовательно:

Х= (1/2; 1/2),

Y= (0; 1/2; 0; 1/2; 0).

V(H) = 7/2



5. Задача динамического программирования

На развитие трех предприятий выделено В млн. руб. Известна эффективность капитальных вложений x_i в каждое j-е предприятие, заданная таблично значением нелинейной функции f_j(x_i), где ,, n - количество предприятий, m - количество возможных сумм капитальных вложений.

Необходимо распределить выделенные средства между предприятиями таким образом, чтобы получить максимальный суммарный доход.

Таблица 30- Данные для решения задачи динамического программирования

Объем капиталовложений Xi (тыс. руб.)	Прирост выпуска продукции ѓі (Xi) в зависимости от объема капиталовложений (тыс. руб.)
	предприятие 1	предприятие 2	предприятие 3
0 100 200 300 400 500 600 700	0 30 50 90 100 160 170 210	0 50 80 90 150 190 210 220	0 40 50 110 120 180 220 240

Математическая модель задачи.

Определить х^* = (,, …, , …, ), обеспечивающий максимум целевой функции



и удовлетворяющий условиям

,

Математическая модель задачи :

при ограничениях:

,

.

Условная оптимизация.

Максимально возможный доход, который может быть получен с предприятий (с k-го по n-е), определяется с помощью функции Беллмана:

,

где С_k - количество средств, инвестируемых вk-е предприятие, 0? С_k? В.

На первом шаге условной оптимизации при k = n функция Беллмана представляет собой прибыль только с n-го предприятия. При этом на его инвестирование может остаться количество средств С_n, 0? С_n? В. Чтобы получить максимум прибыли с этого предприятия, можно вложить в него все эти средства, т.е.



F_n(С_n) = f_n(С_n) и х_n = С_n.

Для упрощения расчетов предполагаем, что распределение средств осуществляется в целых числах x_i = {0,100,200,300,400,500, 600, 700} тыс. руб.

На первом шаге все капиталовложения идут на 1-е предприятие (Таблица 31).

Таблица 31 - Первый шаг задачи динамического программирования

В шапке таблицы отражены варианты значений капиталовложений х₁, которые могут быть предоставлены первому предприятию. В столбце C₁ отражены варианты значений капиталовложений, которые могут быть выделены всем трем предприятиям в совокупности.

Предположим, что все средства в количестве x₁ = 700тыс. руб. отданы первому предприятию. В этом случае максимальный доход составит f₁(x₁) = 700 тыс. руб., следовательно: F₁(C₁) = f₁(x₁) и x₁= C₁.

На втором шаге определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между вторым и первым предприятиями. При этом рекуррентное соотношение Беллмана имеет вид:

.



Таблица 32 - Второй шаг задачи динамического программирования

В шапке таблицы отражены варианты значений капиталовложений х₂, которые могут быть предоставлены второму предприятию при условии, что часть средств выделяется первому предприятию. В клетках таблицы первое слагаемое - это возможный прирост выпуска продукции второго предприятия f₂(х₂) в результате освоения капиталовложений х₂; второе слагаемое - значение функции Беллмана, полученной на предыдущем шаге F₁(C₂ - х₂), т.е. возможный прирост выпуска продукции первого предприятия, если ему будет выделена оставшаяся часть капиталовложений, определяемая как C₂ - х₂.

На третьем шаге определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между третьим и двумя другими предприятиями, используя следующую формулу для расчета суммарного дохода:

,

В шапке таблицы отражены варианты значений капиталовложений х₁, которые могут быть предоставлены третьему предприятию при условии, что часть средств выделяется второму и первому предприятию. В клетках таблицы первое слагаемое - это возможный прирост выпуска продукции первого предприятия f₁(х₁) в результате освоения капиталовложений х₁; второе слагаемое - значение функции Беллмана, полученной на предыдущем шаге F₂(C₁-х₁), т.е. возможный прирост выпуска продукции второго и первого предприятий, если им будет выделена оставшаяся часть капиталовложений, определяемая как C₁ - х₁.

Таблица 33 - Третий шаг задачи динамического программирования

Значение функции Беллмана F₁(С₁) представляет собой максимально возможный доход со всех предприятий, а значение , на котором достигается максимум дохода, является оптимальным количеством средств, вложенных в третье предприятие.

Значение целевой функции равно максимальному значению функции Беллмана F₁(С₁)

Следовательно, значение целевой функции равно F_max(x^*) = 270 тыс. руб. Безусловная оптимизация.

Далее на этапе безусловной оптимизации для всех последующих шагов вычисляется величина С_k = (С_k-1 - х_k-1) оптимальным управлением на k-м шаге является то значение х_k, которое обеспечивает максимум дохода при соответствующем состоянии системы S_k. Определяем компоненты оптимальной стратегии. Для этого значения функций Беллмана и соответствующие им оптимальные значения х вносим в итоговую таблицу 34.



Таблица 34 - Обратный ход

По данным из таблицы 34 максимальный доход при распределении 700 тыс. руб. между тремя предприятиями составляет: C₁ = 700, F₃(700) = 270 тыс. руб.

Таким образом, возможный вариант оптимального плана инвестирования предприятий:

х^* = (0, 100, 600), который обеспечит максимальный доход, равный

F(700) = f₁ (0) + f₂(100) + f₃(600) = 0 + 50 + 220 = 270 тыс. руб.;



Заключение

В первом разделе курсовой работы требовалось найти оптимальный план выпуска изделий, который обеспечивал бы организации максимальный доход. Оптимальный план выпуска = 4 единицы. Были найдены решения В ДЗЛП И ПЗЛП: X^* = (0, 1, 0, 0, 6, 3) и Y^* = (4/3;0;0;1;0;5/3). Следовало произвести расчет границ изменения дефицитных ресурсов, в пределах которых не изменится структура оптимального плана. В рассмотренном случае лишь один ресурс используется полностью, следовательно, является дефицитным. Это ресурс Р₁: 0 b₁ b₁ 15/ 2. Также был произведен расчет границ изменения цены изделия, попавших в оптимальный план производства, в пределах которых оптимальный план не изменится.

В план производства вошел второй вид продукции П₂ и цена на него устанавливается в размере 4 ден. ед. В курсовой работе произведена оценка целесообразности приобретения дополнительного количества ресурса и была доказано, что данная процедура не целесообразна. Произведена оценка целесообразности выпуска нового изделия. Учитывая, что затраты на ресурсы для производства продукции третьего вида меньше цены реализации с₄ = 15 ден. ед., то включение ее в план производства целесообразно. В курсовой работе был найден оптимальный план для хлебозавода, оптимальный план перевозки, который равен 1007 денежным единицам, при котором общая стоимость перевозок минимальна, была обоснована ценовая стратегия, цена игры равна 7/2 денежных единиц, было произведено распределение ресурсов между проектами для того, чтобы получить максимальный суммарный доход, который равен 270 тыс. руб.. Ко всем расчетам мною были приложены решения в среде Microsoft Excel. Таким образом, все поставленные задачи курсовой работы были выполнены, все методы и методики решения были проанализированы на конкретном виде предприятия.



Список литературы

1. «Математические методы в программировании: Учебник» / Агальцов В.П. - М.:ИД «ФОРУМ», 2013

2. «Динамическое программирование» / Окулов С.М., Пестов О.А. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012

3. «Компьютерное моделирование математических задач: учебное пособие» / Сулейманов Р.Р. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012

4. «Введение в математическое моделирование: учебное пособие» / Под ред. Трусова П.В. - М.: Университетская книга, Логос, 2007

5. «Математические методы и модели в управлении» / Шикин Е. В., Чхартишвили А. Г. - М: Дело, 2002

6. «Математические методы и модели исследования операций»: Учебное пособие / Кутузов А. Л. - издательство СПб ГПУ, 2005

7. «Математические методы: Учебник» / Партика Т. Л., Попов И. И. - М: ФОРУМ: ИНФРА, 2005

8. «Математическое программирование» / Костевич Л., издательство «Новое знание», 2003

9. «Экономико-математическое моделирование: практическое пособие по решению задач» / Мадера А. Г. - М: ИЭУП, 2004

Размещено на Allbest.ru