Математика в средние века

Встречаются «задачи о курьерах», которые в некоторых более сложных вариантах (например, движение с переменной скоростью, растущей в арифметической прогрессии), приводят к квадратному уравнению. Встречаются у Магавиры и Бхаскары также задачи, приводящие к системам линейных уравнений с несколькими неизвестными.

Задача Магавиры: «Стоимость 9 лимонов и 7 лесных яблок равна 107; стоимость 7 лимонов и 9 лесных яблок равна 101. Назовите цену лимона и лесного яблока.

Получаем систему 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными.

где - цена лимона, - цена лесного яблока.

В общем виде система имеет вид

Магавира дает такое решение:

, .

2.7 Квадратные уравнения

Задача Шридхара.

« стада обезьян вместе с от него пошла к водоему, квадратный корень (стада) желает пить, остались 2 обезьяны сидящими под манговым деревом. Сколько обезьян в стаде?»

Задача приводит к квадратному уравнению.

, где - число обезьян в стаде.

Ответ: = 9.

Задачи на квадратные уравнения встречаются у Ариабхаты. Так решение уравнения записывается в виде .

В решение квадратных уравнений большой вклад внес Брахмагупта, который сформулировал общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к канонической форме , где коэффициент в и свободный член с могут принимать и отрицательные значения. Решение у Брахмагупты такое же, как у Ариабхаты. Шридхара словесно формулирует решение в несколько другом виде:

.

Задача. Магавиры: «Найти число павлинов в стае, которой, умноженная на себя, сидит на манговом дереве, а квадрат остатка вместе с 14 другими павлинами - на дереве тамала». Магавира приводит эту задачу к уравнению:

и формулирует решение квадратного уравнения вида с помощью правила .

Условиям задачи удовлетворяет только корень 48, т.к. корень дробный.

Бхаскара уже формулирует условие существования двух положительных корней. Он решал задачу об определении катетов и и гипотенузы прямоугольного треугольника по его периметру и площади, сводящуюся к системе:

.

Он решает также уравнение вида:

Бхаскара решает так: прибавляя к обеим частям , он получает.

Извлечение корня из обеих частей дает , откуда .

Задача Бхаскары.

«Пятая часть обезьян без трех, возведенная в квадрат, залезла в пещеру, и одна обезьяна, вскарабкавшаяся на ветку, была видна. Скажи сколько их?»

Приводится следующее решение.

, , ,

х2 - 30х + 250 - 25х = 0.

х2 - 55х = -250 . Умножим обе части на 4.

4х2 - 220х = -1000. Прибавим к обеим частям 3025.

4х2 - 220х + 3025 = 2025, (2х - 55)2 = 452, 2х - 55 = 45.

. Получаем еще и второе значение 5, но оно не пригодно, так как число («пятая часть стаи обезьян без трех») оказывается отрицательным. Бхаскара отбрасывал отрицательные решения.

Уравнение 8-ой степени. Задача: «Определенное количество кабанов- учетверенный квадратный корень из числа кабанов в стаде - находится в лесу; часть - удвоенный квадратный корень из 1/10 остатка, умноженный на 4, движется к холму, другая часть - 9, умноженное на квадратный корень из половины остатка, идет по берегу реки и еще 56 кабанов осталось. Сколько всего кабанов?»

Обозначим через общее число кабанов, получим

.

Магавира сводит решение уравнения к последовательному решению трех квадратных уравнений. Обозначив , получим

.

Приняв , получим . Итак, .

Целочисленные корни уравнений 3-ей и 4-ой степени Бхаскара II находил путем несложных преобразований.

2.8 Неопределенные уравнения

Крупных успехов достигли они в решении неопределенных уравнений, возникших в связи с календарно-астрономическими задачами, в которых надо было определять периоды повторения одинаковых относительных положений небесных светил с различными временами обращения.

Рассмотрим решение в целых числах линейного уравнения с 2-я неизвестными (1) (встречающегося в сочинениях Ариабхаты, Брахмагупты и Бхаскары). Способ решения называется способом «рассеивания» или «размельчения» и в современных обозначениях состоит в следующем. Если числа и взаимно просты и , то частное / можно разложить в непрерывную дробь ().

Обозначим подходящую дробь () через . Предпоследняя подходящая дробь есть (), а последняя совпадает с /. Тогда всевозможные решения уравнения (1) выражаются равенствами , , где может принимать любое целые значения.

Вершиной достижений индийских математиков в теории чисел является решение в целых положительных числах общего неопределенного уравнения второй степени с двумя неизвестными: (3) и его важного частного случая , (4) где -целое неквадратное число. Уравнения (3) и (4) рассматриваясь Брахмагуптой и Бхаскарой.

Последний на примерах изложенил метод, называемый в настоящее время циклическим. Метод состоит в том, что сначала подбираются числа, связанные равенством , причем добиваются того, чтобы было возможно меньшим. Числа и предполагаются взаимно простыми. Далее составляет линейное уравнение , которое можно решить способом «рассеивания», и берутся такие и , чтобы было возможно меньшим. Нетрудно проверить, что число целое, а выражение оказывается целым квадратным числом , т.е. получается новое равенство . Продолжая этот процесс, можно последовательно получить решения цепочки уравнений того же вида, в конце которой находится требуемое равенство со свободным членом 1. Уравнение (4) при неквадратном а имеет бесчисленное множество решений, но индийцы обычно ограничивались одним из них. Преложенный Бхаскарой метод - замечательное открытие. Уравнением (4) позже занимались Ферма, Эйлер и Лагранж. Метод нахождения полного решения, найденного Лагранжем в 1769 г., близком к индийскому.

В анонимных комментариях к сочинению Шридхары дано общее рациональное решение уравнения (4) в виде

, ,

где числа , , , , удовлетворяют условиям , . Из этого решения следуют рациональные решения, данные Брахмагуптой, Шрипати, Бхаскарой.

Брахмагупта и Бхаскара рассматривали неопределенное уравнение типа:

. Если выражение можно представить в виде произведения двух сомножителей , то решения имеют вид , .

2.9 Теорема Пифагора

Специальных сочинений по геометрии в Индии не было. Геометрические предложения приводились без доказательств. В геометрических задачах вопрос сводился к вычислению и никогда - к построению, хотя многими видами построений индийцы владели и пользовались в строительном деле. Отправной точкой многих построений служила теорема Пифагора. Доказательство теоремы Пифагора приводятся у Бхаскары в «Венце знания» в виде чертежа с надписью «смотри». Если обозначим катеты прямоугольного треугольника, построенного на каждой из сторон квадрата чертежа Бхаскары, через и , а гипотенузу этого треугольника, равную стороне квадрата, через , то площадь квадрата равна четырем площадям прямоугольного треугольника, т.е. , и площади квадрата, построенного на разности катетов треугольника, т.е. -, откуда, упрощая, получаем . Это доказательство несколько проще аналогичного китайского доказательства.

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

2.10 Площади и объемы

Применяют формулу для вычисления произвольного четырехугольника как произведения полусумм противоположных сторон (как и у египтян и вавилонян). Шридхара дает точное правило вычисления трапеции.

Брахмагупта - формулу площади четырехугольника, аналогичную правилу Архимеда-Герона для треугольника:

,

где - стороны четырехугольника, а - полупериметр. Это правило верно для четырехугольников, вписанных в круг. Брахмагупта рассматривает два типа четырехугольников - равнобедренные трапеции и четырехугольники с пересекающимися под прямым углом диагоналями, для которых правило верно.

Для обоснования предложения «Площадь круга равна площади прямоугольника, стороны которого соответственно равны полуокружности и радиусу» Ганеша (XVI в) делит круг на 12 равных секторов, а затем разворачивает каждый полукруг, состоящий из 6 секторов, в пилообразную фигуру, основание которой равно полуокружности, а высота - радиусу. Прямоугольник получается, если вставить зубья одной из «пил» в зазоры между зубьями другой.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для основания правила вычисления площади треугольника приводит рисунок, где высота прямоугольника равна половине высоты треугольника.

Интересно проводимое Арибхатой соотношение между диаметром и хордой, пересекающимися в круге: «В круге произведение двух отрезков диаметра равно квадрату полухорды двух дуг».

Если и - отрезки диаметра, -полухорда, то соотношение между этими отрезками, согласно Ариабхате, будет . Как эти, так и другие утверждения он приводит без доказательства.



Из этого следует, что ему были известны свойства диаметра, перпендикулярного хорде. Без доказательства он приводит словесно два соотношения, определяющие метод нахождения частей диаметров двух пересекающихся окружностей:

, ,

и- соответственно диаметры меньшей и большей окружностей.

Дадим возможную интерпретацию вывода. По рассмотренному ранее правилу для каждого круга составим соотношения.

(1) или

(2)

(3), (4).

Вычтем из (3)-(4):

,

.



Переставив частного средние члены пропорции, получим

из (2).

.

Используя свойство производных пропорций; получим:

.

.

Аналогично, выводится и другая формула.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Например.

или.

Шридхара приводит правила вычисления объема призмы , объема усеченного кругового конуса

,



где объема кругового конуса

.

Бхаскара дает правило вычисления объема шара

,

где .

2.11 Тригонометрия

Если греки называли хорда «прямыми в круге», то индийцы стали называть их словом «джива», буквально - «тетива», а перпендикуляр, опущенный из середины дуги на середину стягивающей ее хорды - «стрелой». Варахамихира заменил хорду полухордой, т.е. линей синуса.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Первоначально она называлась «ардха - джива» - полутетива, затем слово «ардха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Отсюда и происходит наше слово «синус»: арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.

Для вычислений замена хорд синусами несущественна, т.к. хорда дуги равна удвоенному синусу дуги 2 . Но эта замена позволяет вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника.

Кроме линии синуса, индийцы пользовались линией косинуса, линией синуса-версуса, т.е. разностью между радиусом и линией косинуса.

На рисунке изображена хорда АВ дуги АВ и линии синуса АС, косинуса ОС и синуса-версуса СД дуги АД. Индийцы рассматривали тригонометрические величины только для дуг первой четверти. Если рассматриваются простейшие соотношения между синусом и синусом - версусом, выражаемые нашими формулами:

, ,

которые позволяли ему находить синус половиной дуги. Индийцы пользовались также соотношениями, выражаемыми нашими формулами:

.

,

,

.

Линии синуса, косинуса, синуса-версуса применялись для решения астрономических задач. Бхаскара приводит правило для вычисления хорды по длине окружности С, дуге и диамету



.

Это правило, по утверждению самого автора, недостаточно для более точных вычислений.

2.12 Бесконечные ряды

Суммирование числовых рядов интересовало многих индийских математиков. В работах индийских математиков приводятся правила суммирования натуральных квадратов и кубов, геометрической прогрессии, квадратов и кубов членов арифметической прогрессии.

В отдельных трактатах приводятся замечательные правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды:

,

,

Южноиндийские ученое предвосхитили многие результаты, которые были вновь получены в Европе в XVII-XVIII вв.

Индийцы предвосхитили не только конечные результаты, но отчасти и методы, приводящие к ним. Так, в современных учебниках по математическому анализу ряд арктангенса выводят часто по способу, сходному с индийским: в равенстве подинтегральную функцию раскладывают в степенной ряд и затем почленно интегрируют.



2.13 Комбинаторика

Комбинаторика была областью знания, к которой индийцы проявляли большой теоретический и практический интерес. Одним из первоначальных толчков к занятию комбинаторикой послужило ведийское стихосложение, имевшие различные размеры с 6, 8, 9, 11, 12 слогами. При создании стихов различных размеров надо было учитывать не только число слогов, но и долготу гласных звуков в каждой слоговой группе. Что и привело к разработке математической теории.

Среди ведийских сочинений по этому вопросу наибольший интерес представляет трактат «Чхандахсутра» Пингалы (200г. до н.э.), в котором дается описание метода, называемого меру-прастара, для нахождения числа сочетаний из слогов, взятых по 1, 2, 3, …, слогов одновременно. Этот метод заключается в следующем:

Размещено на http://www.allbest.ru/

После построения квадрата на вершине ниже строятся еще два квадрат так, чтобы половина каждого располагалась под каждой из двух сторон. Затем построим три квадрата, еще ниже - четыре квадрата; процесс повторяется до тех пор, пока требуемая пирамида не будет получена. В первом квадрате запишем 1; в каждом из 2-х квадратов второй линии снова поместим по единице. В последующих линиях единицу поместим в каждом из 2-х крайних квадратов, а в средних квадратах помещаем сумму цифр ближайших двух квадратов, расположенных выше. Т.о. заполняют все квадраты. Тогда вторая линия даст число комбинаций из короткого и длинного звуков, образующих один слог; третья даст то же самое для 2-х слогов, четвертая для 3-х слогов и т.д.

Т.о., метод меру-прастара дает способ построения треугольника биномиальных коэффициентов, который использовался для комбинаторных задач, и нет оснований говорить о знакомстве индийцев в это время с разложением степени двучлена не знакомы.

Индийские математики во II в. до н.э. вычисляли значения , знали сотношение . Магавира приводит словесно формулу нахождения числа сочетвний:

.

Пример, иллюстраций это правило: «О друг, назови число различных ожерелий, которые можно получить из бриллиантов, сапфиров, изумрудов, кораллов и жемчугов».

В. Патиганите имеется раздел, посвященый сочетаниям, состоящий из 2-х правил и одной задачи. Правило нахождения числа сочетаний: «Число от 1 до данного числа в обратном порядке следует разделить на эти же числа, в прямом порядке, полученные частные следует по порядку перемножить».

Формулу числа сочетаний из взятых по 1, 2, 3, ..., т.о., элементов, Шридхара приводит в виде правила

.

Второе правило: «Для получения блюда из 2-х вкусовых оттенков следует по порядку к последующим прибавить первый вкусовой оттенок, для получения трех и более вкусовых оттенков следует предшествующий прибавить к остальным вкусовым оттенкам».

Пример, иллюстрирующий 1-ое правило. «Повар готовит различные блюда с шестью вкусовыми оттенками: острый, горький, вяжущий, кислый, соленый, сладкий. Друг, скажи, каково число всех разновидностей?».

Комментатор решает пример так: «Запишем по порядку числа от 6 до 1, т.е. 6|5|4|3|2|1, а затем перепишем их от 1 до 6, т.е. 1|2|3|4|5|6».

Разделим числа первого ряда на соответствующие числа второго ряда, получим

6|5|4|3|2|1

1|2|3|4|5|6

Вначале имеем 6/1=6 - это число блюд с одним вкусовым оттенком: острый, горький, вяжущий, кислый, соленый, сладкий. Затем имеем - число блюд с 2-я вкусовыми оттенками: острый-горкий, остро-вяжущий и т.д. Затем имеем - число блюд с 3-я вкусовыми оттенками: остро-горько-вяжущий, остро-горький-кислый и т.д. Затем имеем - число блюд с 4-мя вкусовыми оттенками: остро-горько-вяжуще-кислый и т.д.. Затем -число блюд с 5-тью вкусовыми оттенками: остро-горько-вяжуще-кисло-сладкий. Затем -число блюд с 6-тью вкусовыми оттенками: остро-горько-вяжуще-кисло-солено-сладкий.

Всего:

, т.е.

.

Индийская математика оказала огромное влияние на развитие математики как на Востоке, так и на Западе. Именно в Индии была разработана наша арифметика, основанная на десятичной позиционной нумерации, а также такие арифметические правила, как тройное правило и его обобщения. Наши термины «синус» и «корень» постоянно напоминают нам о роли индийских ученых в разработке алгебры и тригонометрии. Оказали влияние на Европу и их теоретико-числовые исследования. В значительной степени индийцам обязаны мы и введением отрицательных и иррациональных чисел. К сожалению, математические и астрономические труды индийцев, написанные в XV-XVII вв., и в частности такое замечательное открытие, как бесконечные ряды для арктангенса, синуса и косинуса, остались в свое время неизвестными за пределами Индии и были получены вновь европейцами.

Несомненно, что вклад индийцев в развитие мировой математики был бы во много раз больше, если бы Индия не попала на несколько столетий под колониальное иго.



Основная литература

1. Математическая энциклопедия. Книги 1-5. - М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.

2. Рыбников К.А. История математики. Уч.пособие для судентов математических специальностей университетов и пед.институтов. 2-е изд. -М.: Изд-во МГУ, 1974.

3. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. - Москва: Наука, 1969.

4. Юшкевич А.П. История математики в средние века. - М.: Наука, 1961.

5. История математики с древнейших времен до начала ХІХ столетия. В 3-х томах. Под.ред А.П.Юшкевича.-М.: Наука, 1970-1972.

6. Нейгебауэр О. Точные науки в древности - М: Наука, 1968.

7. Хрестоматия по истории математики. Под.ред. А.П.Юшкевича. - М.: Просвещение, 1976, 1977.

8. Глейзер Г.И. История математики в средней школе в 3-х кн. .-М.: Просвещение, 1981-1983.

9. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. «За страницами учебника». - М.: Просвещение, 2002.

10. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. - Москва: Наука, 1969.

Размещено на Allbest.ru