Нестандартный анализ

Пример 4. Пусть А - пустое множество. Докажем, что *A - пустое множество.

В самом деле, система

хА

не имеет действительных решений, поэтому и система х*А не имеет (гипердействительных) решений. Рас-смотрев систему хА, получаем аналогичным образом, что если А содержит все действительные числа, то *А содержит все гипердействительные числа. Таким обра-зом, гипердействительным аналогом множества R будет множество *R, так что наши обозначения согласованы.

Вдальнейшем, вместо того чтобы говорить о системе S и ее действительных решениях, а также о системе *S и ее гипердействительных решениях, будем говорить о дейст-вительных и гипердействительных решениях системы S (говоря о гипердойствительных решениях системы S, мы на самом деле будем иметь в виду гипердействительные решения системы *S).

Пример 5. Если A=BC, то *A=*B*C. В самом деле, каждая из систем

хB, хС, хА;

хA, хB;

хA, хС.

не имеет действительных, и, следовательно, гипердейст-вительных решений. (Точнее, следовало бы говорить об аналогах этих систем) Отсюда получаем, что *В *С *A (первая система), *А*С (вторая) и *A*C (третья), откуда вытекает, что *A*B*C.

Наши требования к системе гипердействительных чисел состояли из двух частей. Во-первых, *R должно быть упорядоченным неархимедовым полем, расширяющим R. Во-вторых, должны существовать ана-логи для всех действительных функций, удовлетворяю-щие требованию одновременной разрешимости систем уравнений. Эти требования оказываются избыточными:

тот факт, что гипердействительные аналоги сложения, умножения и т. п. превращают *R в поле, можно выве-сти из требования одновременной разрешимости систем уравнений.

8. ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМЫ ГИПЕРДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Рассмотрим вопрос о существовании гипердействительных чисел. Точнее этот вопрос следует сфор-мулировать так: можно ли построить расширение множества действительных чисел, для которого выполнялась бы Основная гипотеза. Основная гипотеза требует, чтобы:

(1) имелось некоторое множество R, для которого R*R;

(2) для каждой функции f: RⁿR имелась некото-рая функция *f: *Rⁿ*R являющаяся продол-жением исходной;

(3) любая система уравнений и неравенств, гипердействительный аналог который имеет (гипердействительные) решения, имела действительные решения;

(4) *R содержало бесконечно малые элементы, отлич-ные от нуля.

Покажем, каким образом этим требованиям можно удовлетворить. Рассмотрим один из возможных вариантов перехода от Q (множества рациональных чисел) к R (множеству действительных чисел). Рассматриваются всевозможные фундаментальные последовательности рациональных чисел, т. е. такие последовательности, что для любого > 0 существует отре-зок длины , содержащий все члены последовательности, кроме конечного числа. Две такие последовательности x_n и y_n называют эквивалентными, если x_n-y_n стремится к 0 при п. Это отношение эквивалентности разбивает фундаментальные последовательности на классы, которые и называются действительными числами.

Мы достигнем цели, если от последовательностей перейдем к классам последо-вательностей, считая, что две последовательности x₀,x₁,x₂,…. и y₀,y₁,y₂,… задают одно и то же гипердействительное чис-ло, если x_n=y_n “для большинства натуральных чисел n”.

Для наглядности будем представлять себе, что прово-дится голосование по вопросу “считать ли последователь-ности x_n и y_n совпадающими”. В нем голосующими явля-ются натуральные числа, причем число п голосует “за”, если

x_n =y_n , и “против”, если x_ny_n . Будем считать по-следовательности x_nи y_n совпадающими, если большин-ство натуральных чисел голосуют за это. Нужно объяс-нить лишь, какова система подсчета голосов, т. е. какие множества натуральных чисел мы считаем “большими” (содержащими “большинство” натуральных чисел), а ка-кие “малыми” (содержащими “меньшинство” натураль-ных чисел). Перечислим те свойства, которым должна удовлетворять система подсчета голосов, т. с. деление множеств натуральных чисел на большие и малые.

1. Любое множество натуральных чисел является либо большим, либо малым. Ни одно множество не является большим и малым одновременно. (Голосование должно всегда давать ответ.)

2. Множество всех натуральных чисел большое, пустое множество малое. (Предложение, за которое голосуют все, принимается.)

3. Дополнение (до N) любого малого множества явля-ется большим, дополнение любого большого множества - малым. (Из двух противоположных законопроектов полу-чает большинство голосов ровно одни.)

4. Любое подмножество малого множества является малым, любое надмножество большого множества - боль-шим. (Утратив часть голосов, отвергнутый законопроект не может стать принятым.)

5. Объединение двух малых множеств является малым, пересечение двух больших множеств является большим. (Если каждая из двух групп голосующих не образует большинства, то они и вместе не образуют большинства (“невозможность коалиции”); если каждая из групп со-ставляет большинство, то голосующие, входящие одновре-менно в обе группы, уже составляют большинство.)

Эти требования весьма сильны. Чтобы понять это, рас-смотрим случай конечного множества голосующих (получающийся заменой N на некоторое конечное множест-во М). Можно ли тогда удовлетворить этим требованиям? Один способ почти очевиден. Выберем одного из “голосую-щих” т М и назовем большими все множества, содер-жащие m, а малыми - все множества, не содержащие т (“диктатура” m). При таком определении легко проверить все свойства 1-5. Оказывается, что этим исчерпываются все возможности удовлетворить требованиям 1-5 для случая конечного множества M. В самом деле, , пусть име-ется разбиение всех множеств на большие и малые, удов-летворяющее требованиям 1-5. Рассмотрим тогда все большие множества и выберем из них множество M0, со-держащее наименьшее возможное число элементов (среди больших множеств). Множество M0 непусто. Если оно содержит ровно один элемент m, то в силу свойства 4 все множества, содержащие т, будут большими, а в силу свойства 3 все множества, не содержащие m, будут малы-ми. Осталось показать, что M0 не может содержать более одного элемента. В самом деле, в этом случае его можно было бы разбить на две непустые непересекающиеся части M1 и M2. Эти части должны быть малыми (так как содержат меньше элементов, чем M0), а их объединение M0 является большим, что противоречит требо-ванию 5.

Оказывается, однако, что при счетном числе голосующих возможны системы голосования, удовлетворяющие требованиям 1-5 и не сводящиеся к упомянутому три-виальному случаю. Другими словами, можно так разбить все подмножества натурального ряда на большие и малые, чтобы выполнялись свойства 1-5 и любое одноэлементное множество было малым. Тогда (в силу свойства 5) и любое конечное множество будет малым, а (в силу свой-ства 3) всякое множество с конечным дополнением (до N) - большим. Таким образом, к требованиям 1-5 можно без противоречия добавить и такое:

6. Всякое конечное множество является малым, всякое множество с конечным

дополнением -- большим. (При го-лосовании мнение конечного числа голосующих несущест-венно.)

Разбиение всех подмножеств натурального ряда на большие и малые, удовлетворяющее требованиям 1-6, называется нетривиальным ультрафильтром на множестве натуральных чисел.

Покажем теперь, что такое разбиение позволяет по-строить систему гипердействительных чисел, удовлетво-ряющую требованиям Основной гипотезы. Итак, пусть фиксировано разбиение, удовлетворяющее требованиям 1-6. Назовем две последовательности x_n и y_n эквивалентными, если множество тех n, при кото-рых x_n =y_n является большим. В силу требования 2 вся-кая последовательность эквивалентна самой себе.

Мы видим, что введенное отношение рефлексивно, сим-метрично (это очевидно из определения) и транзитивно и, следовательно, разбивает все последовательности действи-тельных чисел на классы эквивалентности, т. е. такие классы, что любые две последовательности одного класса эквивалентны, а любые две последовательности из разных классов - нет. Эти классы мы и назовем гипердействительными числами. Что еще нам нужно? Нужно, чтобы множество действительных чисел было подмножеством множества гипердействительных. Нужно уметь для каж-дой функции с действительными аргументами и значения-ми строить ее гипердействительный аналог. Нужно про-верить, что любая система уравнений и неравенств, гипердействительный аналог которой имеет гипердействительные решения, имеет действительные решения. И, на-конец, нужно убедиться, что среди гипердействительных чисел (рассматриваемых как упорядоченное поле) существуют бесконечно малые, отличные от нуля.

Чтобы сделать R подмножеством *R, отождествим каждое действительное число х с последовательностью х, х, х, ..., точнее, с содержащим ее классом. При этом разным действительным числам соответствуют разные классы: х,x,х … не эквивалентно у,у,y ... (множество тех n, при которых n-е члены совпадают, пусто и, следо-вательно, является малым).

Пусть f: RR - функция с действительными аргу-ментами и значениями. Определим ее гипердействительный аналог *f: *R *R. Пусть x - произвольное гипердействительное число, т.е. класс эквивалентных после-довательностей действительных чисел. Рассмотрим про-извольную последовательность x₀, x₁, x₂,… из этого класса и применим f ко всем ее членам. Класс, содержащий по-лученную последоваетльность f(x0), f(x1), f(x2), … и будем считать значением f на х. Полученный класс не зависит от выбора последовательности x₀, x₁, x₂,… в классе x (определение корректно).

Аналогично определяются и гипердействительные ана-логи для функций нескольких аргументов. Пусть, напри-мер, f - функция двух действительных аргументов с дей-ствительными значениями. Определим ее гипердействительный аналог *f. Чтобы применить *f к двум гипердействительным числам х и y, возьмем по-следовательности x₀, x₁, x₂,… и y₀, y₁, y₂,… , им принадлежа-щие, и в качестве *f(х, у) рассмотрим класс последова-тельности f(x0,y0), f(x1,y1), f(x2,y2),… Определение корректно.

Нужно проверить, что построенное гипердействительные аналоги будут продолжениями исходных функций с действительными аргументами и значениями. Это очевидно следует из определений. Проверим теперь, что вся-кая система уравнений и неравенств, имеющая гипердействительные решения, имеет и действительные решения. Пусть, на-пример, система

f(g(x,y),z)=z, h(x)h(y)

имеет гипердействительные решения x, y, z. Рассмотрим последовательности x0,x1,x2,…; y0,y1,y2,…; z0,z1,z2,…, при-надлежащие соответствующим классам эквивалентности. Тогда g(x0,y0), g(x1,y1),… принадлежит классу g(x,y), а f(g(x0,y0),z0), f(g(x1,y1),z1),… - классу f(g(x,y),z). Поскольку x,y,z по предположению являются решения-ми системы, то f(g(x_n,y_n),z_n)=z_n для большинства п. Поскольку h(x)h(y), последовательности h(x0),h(x1),… и h(y0),h(y1),… не эквивалентны и множе-ство тех п, при котором h(x_n)=h(y_n) малое. Тогда мно-жество тех п, при котором h(x_n)h(y_n) является боль-шим. Так как пересечение двух больших множеств является большим, то множество тех n, при котором

f(g(x_n,y_n),z_n)=z_n , h(x_n)h(y_n)

является большим. Значит, оно непусто. Таким образом, система имеет и действительные решения.

Осталось проверить, что среди гипердействительных чисел существуют бесконечно малые, отличные от нуля. Положительным бесконечно малым гипердействительным числом будет, например, класс последовательности 1, 1/2, 1/3, .,. (или любой другой последовательности положи-тельных действительных чисел, сходящейся к 0). Нам нужно проверить, что это гипердействительное число (обозначим его через ) положительно, но меньше любого стандартного положительного числа. Чтобы доказать это, мы должны вспомнить, как определяется порядок на мно-жестве гипердействительных чисел. Он определяется в со-ответствии с общей схемой построения гипердействительного аналога для любого отношения на множестве дей-ствительных чисел. Нужно взять функцию f двух дей-ствительных аргументов, для которой свойства f(x,y)=0 и х<у равносильны, и рассмотреть ее гипердействительный аналог *f. Гипердействительное число х называется меньшим гипердействительного числа у, если *f(x,y)=0. Посмотрим, что дает нам эта конструкция для построен-ной описанным способом системы гипердействительных чисел. Если х - класс последовательности x0,x1,x2,…, а y - класс последовательности y0,y1,y2,…, то *f(x,y) есть класс последовательности f(x0,y0), f(x1,y1), f(x2,y2), … Равенство этого класса нулю (т. е. классу последовательности 0, 0, 0, ...) означает, что f(xn,yn)=0 для большинства n, т. е. что xn<yn для большинства п. Таким образом, чтобы выяс-нить, верно ли х<у для гипердействительных чисел х и y, нужно взять последовательности x0,x1,x2,…, и y0,y1,y2,… в классах х и у и выяснить, является ли множество тех п, при которых xn<yn большим.

Нам нужно было проверить, что 0< и что <р для любого стандартного положительного р ( --класс последовательности 1, 1/2, 1/3, ...). Это просто:

0<, так как 0<1/п при всех п (а множество N большое), <р, так как 1/n<р для всех натураль-ных n, кроме конечного числа, а всякое множество с ко-нечным дополнением малое (свойство 6 “системы подсче-та голосов”). Отметим, что здесь мы впервые воспользо-вались свойством 6, до сих пор все наши рассуждения были справедливы и в случае “диктатуры” (когда боль-шими считаются те и только те множества, которые со-держат некоторое натуральное число N). В этом случае две последовательности эквивалентны, если совпадают их N-е члены, и все гипердействительные числа стандартны (класс последовательности x0,x1,x2,… совпадает со стан-дартным числом x_N).

ЛИТЕРАТУРА

1. Успенский В.А. Что такое нестандартный анализ? - М., Наука, 1987. - 128с.

2. Девис М. Прикладной нестандартный анализ. - М., Мир, 1980.

3. Успенский В.А. Нестандартный, или неархимедов, анализ. - М., Знание, 1983. 61 с. (Новое в жизни, науке, технике. Сер. “Математика, кибернетика” № 8 ).

4. Успенский В.А. Нестандартный анализ // Наука и жизнь, 1984. - №1. - с. 45-50.

5. Робинсон А. Введение в теорию моделей и математику алгебры. пер. с англ. - М., Наука, 1967.