Композиции преобразований
Основные композиции движений пространства. Композиции центральных симметрий пространства. Композиция зеркальной и центральной симметрий пространства. Композиции подобий и аффинных преобразований пространства.
| Рубрика | Математика |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 08.08.2007 |
| Размер файла | 132,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Таким образом, (DO, DA)+(DO, DB)+(DO, DC)<180.
§2. Композиции подобий и аффинных преобразований пространства
Среди преобразований пространства выделяют также преобразования, не сохраняющие расстояния между точками, - это подобия, гомотетии как частный случай подобий, и аффинные преобразования.
Задача 13. Найти композицию гомотетии и переноса пространства: ?HOk.
Решение. Рассмотрим образ произвольной точки X после применения искомой композиции. Пусть X1 - образ X после применения HOk: HOk(X)=X1, а точка X2 - образ X1 после применения переноса: (X1)= X2. Через центр гомотетии O проведем прямую n параллельную прямой, содержащую вектор (рис. 13).
|
n |
S1 |
S |
O |
|||||||||||
|
X |
||||||||||||||
|
X1 |
X2 |
Рис. 13
Найдем образ точки пересечения построенной прямой n и прямой XX2 при гомотетии HOk: HOk(S)=S1. Тогда =, поэтому точка S при заданной композиции неподвижна, кроме того, не зависит от выбора точки X. С учетом того, что =k, =k(т.к. треугольники SOX и X1XX2 подобны), искомая композиция является гомотетией HSk.
Таким образом, ?HOk=HSk. (4)
Задача 14. Найти композицию двух гомотетий пространства.
Решение. Рассмотрим образ произвольной точки X после применения композиции гомотетий f=HBm?HAk. Пусть HAk (X)=X1, т.е. по определению гомотетии =k, HBm(X1)=X2, т.е. =m (рис.14). Найдем образ точки A после применения гомотетии HBm: HBm(A)=A1, т.е. =m. Таким образом, отрезок A1X2 - это образ отрезка AX после применения данной композиции, при этом прямые, содержащие эти отрезки параллельны (это следует из подобия треугольников ABX1 и A1BX2). Если прямые AA1 и XX2 пересекаются (обозначим точку их пересечения C), тогда, рассматривая подобные треугольники ACX и A1CX2 , выразим вектор :
==, при этом =m=km.
|
|
X2 |
||||||||
|
A1 |
|||||||||
|
C |
|||||||||
|
B |
|||||||||
|
A |
|||||||||
|
X |
|||||||||
|
X1 |
Рис. 14
Следовательно, = km. Точка C не зависит от выбора точки X, значит композиция f является гомотетией с центром в C:
HBm?HAk=HCkm. (5)
Если прямые AA1 и XX2 не пересекаются, т.е. =, то km=1, следовательно, композиция f есть перенос пространства:
HBm?HAk=. (6)
Все эти рассуждения верны и для совпадающих центров исходных гомотетий.
Задача 15. Найти композицию двух подобий пространства.
Решение. Так как любое подобие пространства можно представить в виде композиции поворота и гомотетии, центр которой лежит на оси поворота, то, учитывая ассоциативность этого представления, будем находить требующуюся композицию в следующем виде: f=HBm?Rh?Rl?HAk.
Рассмотрим несколько случаев.
1)Если оси поворотов h и l параллельны, и при этом сумма углов не равна 2, то композиция поворотов является поворотом Rn+ , где ось n параллельна исходным осям h, l. Тогда f=HBm?Rn+?HAk, при этом композиция Rn+?HAk является по определению подобием, а значит, эта композиция может быть представлена в виде HDk?Rp+. И равенство f=HBm?Rn+?HAk эквивалентно равенству f=HBm?HDk?Rp+ . По формуле (5) HBm?HDk=HCkm (при km1), значит f=HCkm?Rp+, а это по определению подобие. При km=1 по формуле (6) HBm?HDk=, и f=?Rp+, а это, в общем случае, винтовое движение.
2)Если же при параллельных осях данных поворотов h и l сумма углов равна 2, то композиция поворотов Rh?Rl является переносом пространства , и в этом случае f=HBm??HAk. Композиция ?HAk согласно выводу (4) есть гомотетия с центром в некоторой точке C с коэффициентом k: ?HAk=HСk. Следовательно, f=HBm?HСk, а это гомотетия пространства (согласно формуле (5)) или параллельный перенос пространства (по (6) ).
3)Если прямые h и l пересекаются, то композиция поворотов Rh?Rl является поворотом Rn. И нахождение композиции f сводится к случаю 1.
4)Если оси h и l скрещиваются, то композиция поворотов Rh?Rl является винтовым движением, следовательно, композиция Rh?Rl?HAk является подобием пространства, которое можно представить композицией поворота и гомотетии: Rh?Rl?HAk=Rn?HСn. Тогда нахождение f сводится к случаю 1.
Таким образом, композиция двух подобий пространства, произведение коэффициентов которых не равно 1, есть подобие пространства или гомотетия (в случае параллельных осей поворотов и сумме их углов 2), в тривиальном случае, когда произведение коэффициентов исходных подобий равно 1, эта композиция может вырождаться в винтовое движение пространства или перенос.
Аналогичная ситуация обстоит и с композицией аффинных преобразований пространства, т.е. в общем случае композиция двух аффинных преобразований пространства также является аффинным преобразованием.
Литература
1. Гусев В. А., Тхамафокова С. Т. Преобразования пространства. Москва: «Просвещение», 1979.
2. Понарин Я. П. Геометрия: Учебное пособие. Ростов-на-Дону: «Феникс», 1997.
3. Понарин Я. П. Преобразования пространства. Киров: 2000.
4. Скопец З. А. Геометрические миниатюры. Москва: «Просвещение», 1990.
Подобные документы
Наделение множества метрикой, основные аксиомы метрического пространства. Равномерная метрика, нормы элементов и линейное пространство. Фундаментальная последовательность элементов линейного нормированного пространства. Понятие банахова пространства.
реферат [375,9 K], добавлен 04.12.2011Понятие нормированного пространства. Пространства суммируемых функций. Интеграл Лебега-Стилтьеса. Интерполяция в пространствах суммируемых функций. Теорема Марцинкевича и ее применение. Пространства суммируемых последовательностей.
дипломная работа [354,0 K], добавлен 08.08.2007Понятие и основные характеристики пространства Соболева, их главные свойства, сущность простейшей теоремы вложения. Порядок применения пространства Соболева для доказательства существования и единственности обобщённого решения уравнения Лапласа.
курсовая работа [232,5 K], добавлен 12.10.2009Исследование геометрии поверхностей четырехмерного псевдоевклидова пространства индекса один (пространства Минковского). Определение пространства Минковского, его основные особенности, типы прямых и плоскостей. Развертывающиеся и линейчатые поверхности.
дипломная работа [1,7 M], добавлен 17.05.2010Понятие и характеристика линейного пространства, его главные свойства и особенности. Исследование аксиом векторного пространства. Анализ отличий и признаков векторного подпространства. Базис и формулы линейного пространств, определение его размерности.
реферат [249,4 K], добавлен 21.01.2011Этапы развития теории описания пространства, сущность принципа относительности, сформулированного Галилеем. Геометрия Минковского как описание пространства – времени, основные понятия ее описания. Разработка практических занятий по данным темам.
дипломная работа [354,6 K], добавлен 24.02.2010Особенности неподвижного геометрического трехмерного пространства, его отличительные признаки от подвижного пространства. Отличия физической сущности скорости от математической. Понятие производной вектора по времени, методика и этапы ее определения.
статья [174,3 K], добавлен 25.12.2010Особенности факторизации четырехмерных симплектических групп. Исследование и анализ композиции геометрических преобразований. Характеристика изометрии, закономерных пространств. Методы решения структурных теорем – центры, коммутанты, теоремы о простоте.
дипломная работа [605,8 K], добавлен 14.02.2010Группа, как совокупность преобразований, замкнутая относительно их композиции. Изучение нильпотентных групп, их простейших свойств и признаков. Особенности доказывания теорем Силова, Лагранжа, Виланда. Подгруппа Фраттини конечной группы нильпотентна.
курсовая работа [553,1 K], добавлен 10.04.2011Отношения зависимости. Произвольные пространства зависимости. Транзитивные и конечномерные пространства зависимости. Существование базиса в транзитивном пространстве зависимости. Связь транзитивных отношений зависимости с операторами замыкания. Матроиды.
дипломная работа [263,2 K], добавлен 27.05.2008
