| (s+?s) - (s)| = 2sin , = ,

Перейдем в этом равенстве к пределу при ?s 0

|(s)| = · = 1·||,

т.к. при s0 также и 0. Итак, ||= | (s)|.

Т.к. | (s)| = 1, то (s)· (s) 1. Продифференцировав это тождество, получим

2· = 0 .

Потом, tn. Продифференцируем это равенство:

 = n + t .

Теорема 7. Если кручение кривой тождественно равно нулю всюду, то эта кривая - плоская линия (без доказательства).

При этом, плоскость в которой она лежит, очевидно, является её соприкасающейся плоскостью. Для того, чтобы составить её уравнение, достаточно составить уравнение соприкасающейся плоскости в любой фиксированной точке на кривой,

где эта кривая регулярна и k 0. При этом равенство кручения нулю предполагает его существование, а значит предполагает, что k 0. Если в точке A выполнено k = 0, то в этой точке кривая может переходить из одной плоскости в другую.

Из этих формул и теорем о существовании и единственности решений систем дифференциальный уравнений вытекает основная теорема теории кривых.

Теорема 8. Если на некотором интервале IR заданы непрерывная функция ?s?? и гладкая функция k(s)0, то существует кривая ? класса С², для которой s будет естественным параметром, k - кривизной, а - кручением. Такая кривая определяется однозначно с точностью до положения в пространстве, т.е. любые две такие кривые совмещаются движением.

Таким образом, кривизна и кручение полностью определяют форму кривой, но только при условии, что k(s)0 на всей кривой. Для того, чтобы определить положение кривой в пространстве надо задать к системе (12) начальные данные, а именно, начальные векторы (0), (0), (0) и начальную точку кривой O=c(0), т.е. надо задать ортонормированный репер. Если кривая задается с помощью другого ортонормированного репера {O, , , }, то его можно совместить с первым репером с помощью движения, и тогда совместятся и задаваемые этими реперами кривые.

2.7 Вид кривой в подвижном репере

Пусть g - кривая класса с³, Pg - точка в которой k0, 0, и {P, t, n, b} ? - подвижной репер. Этот репер определяет декартову систему координат с началом Р. Обозначим координаты х, у, z.

Пусть = c(s) - уравнение кривой с естественным параметром и P=c(0). Разложим c(s) в ряд Тейлора в окрестности s=0:

c(s) = c(0) + s (0) + (s) + (s) + s³ (s),

где (s) - бесконечно малый вектор при s- 0. Поскольку c(0) - начало координат, то c(0) = . Мы также знаем, что = ?, = k?. Тогда с помощью формул Френе находим

= n???k = n???k(- kt ? b) = n? - k²t???kb.

c(s) = st + n + (n? - k²t???kb) + s³ (s).

Значит, если отбросить бесконечно малые величины порядка более 3, то

c(s) = t + n?? b,

Поэтому параметрические уравнения кривой в окрестности точки P в наших координатах будут иметь вид:



если для каждой координаты оставить только величину, имеющую наибольшее значение при малых s.

Соприкасающаяся плоскость параллельна ? и ?, т.е. в нашей системе координат это будет плоскость Оxy. Поэтому проекция кривой на эту плоскость будет иметь уравнение

Вид этой проекции в ближайшей окрестности точки P изображен на рисунке 1 (парабола).

Спрямляющая плоскость параллельна ? и ?, т.е. в нашей системе координат это будет плоскость Оxz. Поэтому проекция кривой на эту плоскость будет иметь уравнение

Вид этой проекции в ближайшей окрестности точки P при >0 изображен на рисунке 2 (кубическая парабола).

Нормальная плоскость парал-лельна n и b, т.е. в нашей системе координат это будет плоскость Оyz. Поэтому проекция кривой на эту плоскость будет иметь уравнение



Вид этой проекции в ближайшей окрестности точки P изображен на рисунке 3 (полукубическая парабола).

2.8 Огибающая семейства плоских кривых. Эволюта и эвольвента кривой

Определение. Пусть на плоскости задано семейство кри-вых {_t}. Пусть кривая в каждой своей точке касается одной из кривых семейства (т.е. имеет с ней общую касательную). Тогда называется огибающей семейства кривых _t.

Пусть семейство кривых {_t} задано с помощью уравнения в неявном виде

F (x, y, t) = 0, (17)

где t - параметр семейства, а кривая

- параметрическим уравнением = c(t) так, чтобы в точке c(t) она касалась кривой _t (т.е. в качестве параметра у кривой выступает «номер» линии с которой она касается в данной точке). При таком определении параметра точка c(t) = (x(t), y(t)) принадлежит кривой _t, а значит, выполняется тождество

F (x(t), y(t), t) 0. (*)

Продифференцируем это тождество по t:

x(t) + y(t) + = 0. (**)

В уравнении (17) для каждой отдельной кривой _t параметр t выступает в качестве постоянной. Поэтому вектор grad F будет вектором нормали для кривой _t. Но кривая имеет вместе с _t общую касательную, поэтому grad F будет вектором нормали и для кривой . Следовательно,

x(t) + y(t) = 0.

Поэтому (**) принимает вид: F/t = 0. Объединяя (*) и (**) получаем, что функции (x(t), y(t)) удовлетворяют системе уравнений

F (x, y, t) = 0,

F_t(x, y, t) = 0.

Множество точек, которые удовлетворяют этой системе называется дискриминантной линий. Оно не всегда является кривой.

Примеры 1. Для семейства прямых y - tx = 0 система (18) имеет вид

y = tx

x = 0.

Дискриминантная линия состоит только из одной точки (0, 0).

2. Для семейства окружностей, изображённого на рисунке (центры окружностей находятся на единичной окружности с центором O, а радиусы равны 1) система (12) имеет вид

(x - cos t)² + (y - sin t)² = 1,

(x - cos t)·sin t - (y - sin t)·cos t = 0.

Она имеет два решения (проверьте подстановкой)

x = 2cos t, x = 0

y = 2sin t; y = 0.

Только первое решение задаёт кривую.

Примем без доказательства, что если в каждой точке дискриминантной линии /x и /y одновременно в ноль не обращаются, то дискриминантная линия является огибающей кривой.

Определение. Проведём в каждой точке плоской кривой нормаль к этой кривой. Получим семейство прямых n_t. Огибающая семейства этих прямых называется эволютой кривой .

Оказывается, геометрическое место всех центров кривизны кривой совпадает с её эволютой (без доказательства). Именно это свойство позволяет легко составить уравнение эволюты. Для того, чтобы получить точку

на эволюте, следует от точки на кривой отложить отрезок равный R (радиусу кривизны) в направлении вектора нормали . Отсюда получаем уравнение эволюты в векторном виде:

= c(t) + R = c(t) + ,

где = c(t) - уравнение кривой . Для плоской кривой вектор (-y, x) перпендикулярен направляющему вектору касательной c= (x, y), а значит, он направлен по нормали. Тогда

 = (, ).

Согласно формуле (11)

R = .

Тогда уравнения эволюты кривой :

x = x(t) - , y = y (t) + . (19)

Определение. Пусть кривая задана уравнением с естественным параметром = c(s). Из каждой точки c(s) кривой отложим вектор - s?. Геометрическое место концов этих векторов называется эвольвентой кривой .

Представим, что на часть кривой, соответствующей значениям s>0, намотана нить, конец которой находится в точке c(0). Будем разматывать эту нить, сохраняя её в постоянном натяжении. Тогда размотанная часть нити будет находиться на касательной к кривой, и длина этой части будет равна s. Таким образом, конец нити будет находиться

на касательной на расстоянии s от точки касания в направлении противоположном к направлению возрастания параметра. Значит, конец нити будет находиться на эвольвенте к данной кривой. Поэтому эвольвенту ещё называют развёрткой кривой.

На данном рисунке изображена развёртка окружности. Она широко применяется в технике: форму развёртки окружности имеют зубья цилиндрических шестерён.

Если кривая задана уравнением с естественным параметром = c(s), то уравнение её развёртки кривой в векторном виде:

= c(s) -st = c(s) - s(s)^.

Если кривая задана уравнением с произвольным параметром, то уравнение развёртки этой кривой:

= c(t) -s .

Если - эвольвента кривой , то является эволютой для . Точно также, кривая является эвольвентой для своей эволюты.

Пример. Для окружности, заданной уравнениями

x=acos t, y=asin t,

c(t) = (- asin t, acos t), | c(t)| = a, а естественный параметр s = at (убедитесь самостоятельно). Отсюда получаем уравнения развёртки:

x=a(cos t + tsin t),

y=a(sin t tcos t).

2.9 Примеры решения задач

Задача 1. Точка вращается вокруг оси Oz с угловой скоростью , находясь от неё на постоянном расстоянии a > 0 и одновременно поднимается вверх вдоль Oz с постоянной скоростью b > 0. Составьте уравнение траектории данной точки, если в момент времени t = 0 она находилась на оси Ox (винтовая линия). Проверить регулярность получившегося пути.

Решение. Из условия задачи вытекает, что проекция данной точки на плоскость Oxy описывает окружность радиуса a в этой плоскости. При этом угол, который определяет положение проекции точки на

окружности (отсчитываемый от оси Ox) изменяется по закону = t. Поэтому координаты x и y изменяются по закону

x = a cos t, y = a sin t.

Координата z задаёт «высоту» точки над «горизонтальной» плоскостью Oxy. Она изменяется с постоянной скоростью b: z = bt. Отсюда окончательно получаем уравнение траектории:

x = a cos t,

y = a sin t, (20)

z = bt.

Находим координаты вектора с, а затем квадрат его длины:

с(- a sin t, a cos t, b),

|с|² = (a)²sin²t + (a)²cos²t + b² = (a)² + b² > 0.

Следовательно, путь является регулярным при любом значении параметра.

Задача 2. Окружность радиуса a на плоскости катится без скольжения по оси Ox. На окружности отмечена точка M.

1. Составить уравнение траектории данной точки (циклоида).

2. Проверить регулярность получившегося пути.

3. Найти длину одной арки циклоиды.

4. Найти естественный параметр и записать уравнение циклоиды в естественной параметризации на каком-либо одном её участке.

5. Вычислить кривизну циклоиды и определить в каких точках кривизна достигает экстремальных значений.

Решение. 1. Предположим, что окружность повернулась на угол и касается оси Ox в точке K. Пусть O - её центр. Введём вспомогательную декартову СК Oxy, которая получается из Oxy переносом начала координат в точку O. Окружность катится по оси Ox без скольжения. Поэтому длина отрезка OK равна длине дуги KM, т.е.

равна a, если угол исчисляется в радианах. Отсюда O(a, a) и формулы замены координат:

x = x+ a,

y = y+ a.

В новой СК по чертежу легко найти координаты точки M:

x= - a·cos( - ) = - a·sin , y= a·sin( - ) = - a·cos .

Отсюда получаем уравнение циклоиды:

x = a( - sin ),

y = a(1 - cos ).

Заметим, что вид уравнения (знаки и расположение синуса и косинуса) зависит от того, какой именно угол выбран в качестве параметра.

2. Находим координаты вектора с, а затем квадрат его длины:

с(a(1 - cos ), a sin ),

|с|² = a²(1 - 2cos + cos² + sin²) = 2a²(1 - cos ).

Решаем уравнение

|с|² = 0 cos = 1 = 2k.

Следовательно, путь является регулярным при любых значениях параметра, кроме =2k. Очевидно, этим значениям соответствуют точки на оси Ox; отмеченная точка принимает их положение когда окружность завершает полный оборот.

3. Длина кривой вычисляется по формуле (9) § 5. Одна арка циклоиды соответствует изменению параметра 02. Поэтому её длина

L =|c(t)| dt = dt = a dt = 2a|sin |dt =

= 2asin dt = 2a(- 2cos )= 4a(- cos + cos 0) = 8a.

При вычислениях мы учитывали, что на промежутке [0, 2] выполнено sin 0.

4. Естественный параметр находится по формуле (10) § 5, где знак «+» или «-», а так же t_o (в нашем случае _o) мы можем выбрать по желанию. Выберем _o= 0 и знак «+». Тогда

s = 2a sin dt = - 4a cos = 4a , если [0, 2];

s = 4a(- cos + cos ) = 4a , если [2, 4].

Также и на всех последующих промежутках [2n, 2(n +1)] получается своя отдельная формула. Поэтому запишем уравнение с естественным параметром только для участка кривой, соответствующего [0, 2]. Имеем s = 4a . Выражаем из этого уравнения и подставляем в уравнение циклоиды.

cos = 1- = 2arccos , s[0, 8a];

sin = = ,

sin = 2sin ·cos = ,

1 - cos = 2sin² = (8as - s²) = .

x = 2a arccos - ,

y = s - .

5. Кривизна плоской кривой вычисляется по формуле (11) § 6. Находим координаты вектора с, а затем вычисляем отдельно числитель и знаменатель из формулы (11):

с(a sin , a cos ),

= a²(sin² - cos (1 - cos )) =

= a²(1 - cos ) = 2a²sin² .

|с|³ = (2a²(1 - cos ))^3/2 = (4a²sin² )^3/2 = 8a³|sin³ |

Подставляем найденное в формулу (11) и получаем

k =

Можно сделать вывод, что кривизна стремится к + при приближении точки к оси Ox ( - 2n, nZ) и достигает минимального значения при sin = 1, т.е. в самых верхних точках арок циклоиды ( = m, mZ).

Задача 3. Для винтовой линии

x = a cos t,

y = a sin t,

z = bt:

1. Найти длину одного витка (t[0, 2]), найти естественный параметр и записать уравнение в естественной параметризации.

2. Вычислить кривизну и кручение.

3. Записать натуральные уравнения.

Решение. 1. с(- a sin t, a cos t, b),

|c(t)| = = ()

L = |c(t)| dt = dt = 2.

s = |c(t)| dt = dt = t t = .

Подставляем это значение в уравнение кривой и получаем уравнение в естественной параметризации:

x = a cos ,

y = a sin ,

z = .

2. Кривизна и кручение вычисляются по формулам (11) и (15) из § 6 соответственно. Нам понадобятся вторые и третьи производные:

с(- a cos t, - a sin t, 0), с(a sin t, - a cos t, 0).

Находим вектор с с, а затем его квадрат:

с с = - a sin t a cos t b = (ab sin t) i - (ab cos t) j + a²k.

- a cos t - a sin t 0

| с с|² = (ab sin t)² + (ab cos t) ² + a⁴ = a²(a² + b²).

При подстановке в формулу для кривизны не забываем извлечь корень:

k = = = .

Обращаем внимание, что |c| уже вычислен выше (см. ()).

В числителе формулы (15) стоит смешанное произведение. Его можно вычислить непосредственно:

- a sin t a cos t b

ссс = - a cos t - a sin t 0 = ba²,

а можно воспользоваться определением: ссс = (с с)· с. В различных задачах наиболее удобным может оказаться тот или иной способ. Знаменатель для кручения уже найден. Итак,

= = = .

3. Для того, чтобы записать натуральные уравнения k = k(s), ?(s) кривой, необходимо в формулах для кривизны и кручения сделать замену параметра t на параметр s. В нашем случае кривизна и кручение постоянны, поэтому и заменять нечего. Натуральные уравнения нашей винтовой линии имеют вид:

k = , = .

Задача 4. Кривая на плоскости задана уравнением в неявном виде:

ln(x² + y²) - x²y = 0.

Составить уравнение касательной и нормали к данной кривой в точке A (1, 0).

Решение. Сначала подставим координаты точки A в уравнение и убедимся, что она действительно принадлежит кривой. Обозначим левую часть уравнения (x, y). Находим вектор градиента для функции (x, y) и значение градиента в точке A:

grad = = ;

grad_A = (2, - 0,5).

Тогда уравнение касательной и нормали в точке A (см. формулы (3), (6) из § 3):

2 (x - 1) - 0,5 (y - 0) = 0 4x - y - 4 = 0 (касательная);

= x - 4y - 1 = 0 (нормаль).

Задача 5. В какой точке касательная к кривой

x = e^t,

: y = - e-^t,

z = t

параллельна плоскости : x + y - 2z - 5 = 0? В этой точке составить уравнение касательной прямой, нормальной плоскости, соприкасающейся плоскости, бинормали. Найти векторы, составляющие репер Френе в найденной выше точке.

Решение. Направляющим вектором касательной служит вектор c(t) = (e^t, e-^t, 1). Вектор (1, 1,2) - это вектор нормали к плоскости. Касательная будет параллельна плоскости (или будет лежать в ней), если c(t) c(t)· = 0. Последнее уравнение в координатах имеет вид e^t + e-^t - 2 = 0.

Решая это уравнение находим, что t = 0. Подставим найденное значение параметра в уравнение кривой и находим точку A (1, -1, 0). Именно в этой точке требуется составить все указанные в условии задачи уравнения. Поэтому находим c(0) = (1, 1, 1). Касательная прямая и нормальная плоскость (см. (1) и (5) из § 3):

= = x - 1 = y + 1 = z.

1 (x - 1) + 1 (y + 1) + 1 (z - 0) = 0 x + y + z = 0.

Поскольку точка A не лежит в плоскости , то и найденная касательная к кривой в этой плоскости не лежит.

Находим вектор второй производной в точке A:

c(t) = (e^t, - e-^t, 0), c(0) = (1, - 1, 0)

и составляем уравнение соприкасающейся плоскости (см. (7) § 4):

x - 1 y + 1 z

1 1 1 = 0 x + y - 2z = 0.

1 - 1 0

Попутно мы нашли координаты вектора c(0)c(0) = (1, 1, - 2), который является направляющим для бинормали. Отсюда уравнение бинормали:

= = .

Далее находим (c(0)c(0))c(0) = (3, - 3, 0) (тот факт, что он оказался коллинеарным c(0) - это случайное совпадение, связанное с тем, что у нас получилось c(0)c(0)). Находим длины

| с(0)| = , | c(0)c(0)| = | с(0)| | c(0)c(0)|= 3

, , = .

Задача 6. Найти линию, по которой касательные к кривой

x = cos t,

: y = sin t,

z = e^t,

пересекают плоскость Oxy.

Решение. Нам необходимо составить уравнение касательной к кривой в произвольной точке, т.е. при произвольном значении параметра t = t_o. Находим направляющий вектор касательной при t = t_o:

c(t_o) = (- sin t_o, cos t_o, e^to).

Координаты точки, которая используется в

уравнении касательной, получатся если в уравнение кривой подставить t = t_o. Отсюда получаем уравнение касательной:

= = . ()

Плоскость Oxy задаётся уравнением z = 0. Подставляем это равенство в () и получаем:

= = -1.

Выражаем отсюда x и y, и заменяем t_o на t (т. к. значение t_o является произвольным). Окончательно получаем уравнение искомой кривой:

x = cos t + sin t,

y = sin t - cos t.

На самом деле, эта кривая является окружностью. Используя тригонометрические формулы, мы можем преобразовать уравнение:

x = cos (t - ), y = sin( - t).

Сделаем здесь замену параметра: u = /4 - t. Она является допустимой, т.к. du/dt = -1 0. Получим уравнение окружности радиуса с центром в начале координат:

x = cos u,

y = sin u.

Можно иначе проверить, что наша кривая - это окружность:

x² + y² = (cos t + sin t)² +(sin t - cos t)² = 2cos²t + 2sin²t = 2.

Задача 7. Докажите, что следующая кривая является плоской и составьте уравнение плоскости в которой она лежит.

x = (t1)³, y = (t+1)³, z = t².

Решение. Согласно теореме 7 из § 6 нам требуется доказать, что кручение данной кривой тождественно равно нулю. При этом, достаточно доказать, что числитель в формуле для кручения равен нулю: ссс=0. Находим:

(t1)² (t+1)² 2t (t1)² (t+1)² 2t

ссс= 2 (t1) 2 (t+1) 2 = 4 (t1) (t+1) 1 =

2 2 0 1 1 0

= 4 ((t+1)² 2t (t+1) + 2t (t1) (t1)²) 0.

Плоскость в которой лежит кривая - это её соприкасающаяся плоскость. Мы уже доказали, что кривая плоская. Поэтому мы можем составить уравнение соприкасающейся плоскости в любой её фиксированной точке, например, при t_o=0. Находим точку на кривой, соответствующую данному значению параметра и векторы производных в этой точке:

M_o( , , 0), с(0)=(1, 1, 0), с(0)=(2, 2, 2).

Составляем уравнение соприкасающейся плоскости, заменяя при этом вектор с(0) на коллинеарный ему вектор (1, 1, 1):

= 0 x y + 2z + = 0.

Задача вроде бы решена. Но мы не учли один «тонкий» момент: во всех ли точках существует у данной кривой кручение? При t=1 мы получаем с(1)=(0, 4, 2), с(1)=(0, 4, 2). Значит, в этой точке с с= и кривизна кривой тоже равна нулю. В такой точке кривая может переходить из одной плоскости в другую. Поэтому следует сделать проверку: подставить x, y, z из уравнения кривой в уравнение плоскости. Должно получиться тождество.

Задача 8. Вычислить угол между кривыми

а) ₁: y = sin x и ₂: y = cos x;

б) ₃: и ₄:

в точке из пересечения.

Решение. а) Находим ординату точки пересечения кривых:

sin x = cos x x = + n, nZ.

Возьмём в начале одно значение x = и найдём производные y₁ (для ₁) и y₂ (для ₂) при данном значении x:

y₁() = cos = , y₂() = sin = .

Эти значения задают угловые коэффициенты k₁ и k₂ касательных к кривым в точке их пересечения. Угол между касательными в точке пересечения кривых и есть угол между кривыми (по определению). Угол между прямыми находится о формуле

tg = = = = 2.

Нетрудно проверить, что и в других точках пересечения тоже получается tg = 2.

Ответ: = arctg 2.

б) Находим значения параметров в точке пересечения:

Умножаем последнее уравнение на e⁵ и получаем e^6,5 = 1 = 0, t =1.

Обозначим c(t) = (t², t³), d() = (e, e⁵). Тогда касательные векторы к данным кривым - это c(t) = (2t, 3t²), d() = (e, 5e⁵). Касательные векторы в точке пересечения - c(1) = (2, 3), d(0) = (1, 5). Эти векторы являются направляющими векторами для касательных прямых в точке пересечения кривых ₃ и ₄. Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами:

множество гомеоморфизм скалярный дифференциальный

cos = = = = .

Ответ: = 45?.

Литература

1. Klingenberg W. A course of differential geometry / W. Klingenberg.-N.Y. - Heidelberg - Berlin: Springer-Verlag, 1976.

2. Погорелов А.В. Геометрия / А.В. Погорелов. - М.: Наука, 1984.

3. Александров А.Д. Геометрия / А.Д. Александров, Н.Ю. Нецветаев. М.:Наука, 1990.

4. Феденко А.С. Дифференциальная геометрия / И.В. Белько, В.И. Ведерников, А.С. Феденко. - Мн.: Изд-во БГУ, 1982.

5. Дубровин Б.А. Современная геометрия: Методы и приложения / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. - М.: Наука, 1979.

6. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию / П.С. Александров. - М.: Наука, 1977.

7. Воднев В.Т. Сборник задач и упражнений по дифференциальной геометрии / В.Т. Воднев и др. - Мн.: Вышэйшая школа, 1970.

8. Атанасян Л.С. Сборник задач по геометрии / Л.С. Атанасян и др. - М.: Просвещение, 1975.

9. Мищенко А.С. Курс дифференциальной геометрии и топологии / А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко. - М.: Изд-во МГУ, 1980.

10. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия / М.М. Постников. - М. Наука, 1987.

Размещено на Allbest.ru