N-максимальной подгруппой в V, то G3.не является N-инъектором в группе G. Проверим силовскую 2-подгруппу G2: G2?S4=G2, G2?A4=V, G2?V=V, G2?=, G2?=, G2?=, то есть при пересечении субнормальных подгрупп из S4 с G2 мы получаем N-максимальные подгруппы в соответствующих субнормальных подгруппах. Следовательно, G2 является

N-инъектором в группе S4.

Пример 4. Для группы G = A5 найти N-радикал и N-инъектор.

A5 - знакопеременная группа подстановок пятой степени.

Порядок |A5|=60. Построим для группы A5 композиционный ряд: EA5.

Выпишем нормальные нильпотентные подгруппы в A5. Такой подгруппой будет являться только E (A5 не нильпотентна), и, значит, N-радикалом группы A5 будет являться единичная группа E.

Выпишем все неединичные нильпотентные подгруппы в A5. Это будут подгруппы порядков 3, 4 и 5. Можно показать, что каждая из этих подгрупп является N-максимальной в A5. Следовательно, пересечения этих подгрупп с A5 будут давать N-максимальные подгруппы в этих группах. Следовательно,

N-инъекторами в A5 будут являться силовские 2-подгруппы порядка 4, силовские

3-подгруппы порядка 3 и силовские 5-подгруппы порядка 5.

Пример 5. Для группы G = S5 найти N-радикал и N-инъектор.

S5 - симметрическая группа подстановок пятой степени.

Порядок |S5|=120. Построим для группы S5 композиционный ряд: EA5 S5.

Выпишем нормальные нильпотентные подгруппы в S5. Такой подгруппой является только E (S5 и A5 не являются нильпотентными), и, значит,

N-радикалом группы S5 является единичная группа E.

Выпишем все неединичные нильпотентные подгруппы в S5. Это будут подгруппы порядков 3, 5, 8. Можно показать, что каждая из этих подгрупп является N-максимальной в S5. Следовательно, пересечения этих групп с S5 будут давать N-максимальные подгруппы в этих группах. Подгруппы порядков 3 и 5 при пересечении с A5 будут так же давать N-максимальные подгруппы в соответствующих группах. Проверим группу порядка 8 - силовскую 2-подгруппу G2 в S5: G2?A5=H, где H - силовская 2-подгруппа порядка 4 в A5, и H является N-максимальной подгруппой в A5. Следовательно, N-инъекторами в группе S5 будут являться силовские 2-подгруппы порядка 8, силовские 3-подгруппы порядка 3 и силовские 5-подгруппы порядка 5.

Заключение

В первой главе данной работы мы вспомнили основные понятия из теории групп, необходимые для понимания работы читателем. При этом мы старались излагать факты последовательно, так, чтобы читателю пришлось как можно реже обращаться к дополнительным источникам.

Во второй главе мы рассмотрели основные позиции теории классов Фиттинга.

В первом параграфе мы дали определение классов Фиттинга и рассмотрели их основные свойства, помогающие исследовать группы на принадлежность различным классам Фиттинга.

Во втором параграфе мы рассмотрели F-радикалы и F-инъекторы (с обзорным рассмотрением нормальных классов Фиттинга) как приложение классов Фиттинга к теории групп и привели их некоторые свойства.

В третьем параграфе мы рассмотрели произведение классов Фиттинга, как средство для построения новых классов Фиттинга с помощью операции радикального произведения классов и некоторые свойства таких произведений.

Так же, нами были рассмотрены некоторые практические примеры на нахождение F-радикалов и F-инъекторов конкретных групп и конкретных F, подкрепляющие теорию по классам Фиттинга, что должно способствовать пониманию данной теории другими читателями.

Таким образом, мы выполнили поставленные в начале работы задачи, и можем утверждать, что цель данной работы нами достигнута.

Библиография

Белоногов, В.А. Задачник по теории групп [Текст] / В.А. Белоногов.- М.: Наука, 2000.- 239 с.

Богопольский, О.В. Введение в теорию групп [Текст] / О.В. Богопольский.- М.; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002.- 148 с.

Ведерников, В.А. Элементы теории классов групп [Текст] : Учебное пособие по спецкурсу / В.А. Ведерников.- Смоленск: Смоленский гос. пед. ин-т, 1988.- 95 с.

Винберг, Э.Б. Курс алгебры [Текст] / Э.Б. Винберг.- М.: Факториал, 1999.-

Горенстейн, Д. Конечные простые группы [Текст]: Введение в их классификацию / Д. Горенстейн.- М.: Мир, 1985.- 352 с.

Каморников, С.Ф. Подгрупповые функторы в теории классов конечных групп [Текст] / С.Ф. Каморников, М.В. Селькин.- Гомель: Гомельский гос. ун-т, 2001.- 238 с.

Каргаполов, М.И. Основы теории групп [Текст] / М.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков.- М.: Наука, 1982.- 288 с.

Кострикин, А.И. Конечные группы [Текст] / А.И. Кострикин // В сб.: Алгебра. Топология. Геометрия / АН СССР. ВИНИТИ.- М., 1964.- (Итоги науки. Математика).- М., 1966.- С. 7-46.

Курош, А.Г. Теория групп [Текст] / А.Г. Курош.- 3-е изд.- М., Наука, 1967.- 648 с.

Монахов, В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов [Текст] / В.С. Монахов.- Минск: Вышэйшая шк., 2006.- 207 с.

Фадеев, Д.К. Лекции по алгебре [Текст] / Д.К. Фадеев.- М.: Наука, 1984.- 415 с.

Guo, W. The Theory of Classes of Groups [Текст] / W. Guo.- Beijing; New York; Dordrecht; Boston; London: Science Press-Kluwer Academic Publishers, 2000.- 258 p.

Размещено на Allbest.ru