Виды многогранников

Понятие многогранника и его элементы с точки зрения топологии. Определение площади и боковой поверхности призмы, параллелепипеда, пирамиды. Понятие правильных, полуправильных, звездчатых многогранников. Многогранники в разных областях культуры и науки.

Рубрика Математика
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 02.04.2012
Размер файла 4,6 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Полноценная по строению и инфекционная, т.е. способная вызвать заражение, вирусная частица вне клетки называется вирионом. Вирионы с икосаэдрическим типом симметрии (от греч. eikosi - двадцать, hedra - поверхность), как у полиовируса, имеют сферическую, а точнее, многогранную форму; их капсиды построены из 20 правильных треугольных фасеток (поверхностей) и похожи на геодезический купол.

Математики говорили, что пчёлы строили свои шестиугольные соты задолго до появления человека. Если разрезать пчелиные соты плоскостью, то станет видна сеть равных друг другу правильных шестиугольников. Из правильных многоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр именно у правильных шестиугольников. Значит, мудрые пчёлы экономят воск и время для постройки сот. Площадь поверхности многогранника-ячейки меньше площади поверхности правильной шестиугольной призмы. При такой «математической» работе пчёлы экономят 2% воска. Количество воска, сэкономленного при постройке 54 ячеек, может быть использовано для постройки одной такой же ячейки. Пчелиные соты представляют собой пространственный паркет и заполняют пространство так, что не остаётся просветов.

Итак, благодаря правильным многогранникам, открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.

3.2.1 В мире кристаллов

Воздействие на облик земной поверхности таких природных факторов, как ветер, вода, солнечный свет, весьма стихийно и часто носит беспорядочный характер. Однако песчаные дюны, галька на морском берегу, кратер потухшего вулкана имеют, как правило, геометрически правильные формы. В земле иногда находят камни такой формы, как будто их кто-то тщательно выпиливал, шлифовал, полировал. Это - многогранники с плоскими гранями, с прямыми ребрами. Правильные и совершенные формы этих камней, безукоризненная гладкость их граней поражает нас. Трудно поверить, что такие идеальные многогранники образовались сами, без помощи человека. Вот эти - то камни с природой, т.е. не сделанной руками человека, правильной, симметричной, многогранной формой и называется кристаллами.

Удивительно разнообразен мир кристаллов, являющихся природными многогранниками. Кристаллы встречаются повсюду. Мы ходим по кристаллам, строим из кристаллов, обрабатываем кристаллы на заводах, выращиваем кристаллы в лабораториях и в заводских условиях, создаем приборы и изделия из кристаллов, широко применяем кристаллы в науке и технике, едим кристаллы, лечимся кристаллами, находим кристаллы в живых организмах, проникаем в тайны строения кристаллов, выходим на просторы космических дорог с помощью приборов из кристаллов и растим кристаллы в домашних условиях.

Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов.

G Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она хорошо растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба.

G При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми квасцами (K[Al(SO4)2]·12H2O), монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.

G Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.

G А икосаэдр передает форму кристаллов бора (B). В свое время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

Но кроме формы правильных многогранников, многие кристаллы имеют форму просто многогранника.

ь Кристаллом (от греч. krystallos - «прозрачный лед») вначале называли прозрачный кварц (горный хрусталь), встречавшийся в Альпах. Горный хрусталь принимали за лед, затвердевший от холода до такой степени, что он уже не плавится. Кристалл горного хрусталя напоминает оточенный с двух сторон карандаш, т.е. имеет форму шестигранной призмы, на основания которой поставлены шестигранные пирамиды.

ь Пирит чаще всего встречается в виде октаэдра, иногда куба или даже усеченного октаэдра. Пирит, или железный колчедан (камень инков «кошачье золото»), минерал, дисульфид железа, FeS2, самый распространенный в земной коре сульфид. Название происходит от греческого «пир» - огонь (при ударе искрит). Кристаллы в форме куба, пентагон-додекаэдра, реже - октаэдра, встречается также в виде массивных и зернистых агрегатов.

ь Кристалл граната имеет форму ромбододекаэдра (двенадцатигранник, у которого все грани ромбы).

ь Алмаз кристаллизуется в кубической системе (сингонии). Атомы углерода находятся в нем по узлам двух кубических решеток с центрированными гранями, очень плотно вставленных одна в другую ). Кристаллы алмаза представляют собой гигантские полимерные молекулы и обычно имеют форму октаэдров, ромбододекаэдров, реже - кубов или тетраэдров. Часты двойники и сростки нескольких кристаллов, характерны выпуклые грани и криволинейные ребра. Грани кристаллов обычно покрыты фигурами роста или растворения в виде выступов или углублений различной формы.

Алмаз - самое твердое из всех природных веществ. Максимальная твердость на гранях октаэдра, минимальная на гранях куба; на этом основаны огранка, распиловка и шлифовка алмазов. Спайность, совершенная по октаэдру, что обусловливает хрупкость и несколько ограничивает использование алмаза.

Кристаллы, залегающие в земле, бесконечно разнообразны. Размеры природных многогранников достигают подчас человеческого роста и более. Встречаются кристаллы - лепестки тоньше бумаги и кристаллы-пласты, в несколько метров толщиной. Бывают кристаллы маленькие, узкие, острые, как иголки, и бывают громадные, колонны. В некоторых местностях Испании такие кристаллические колонны ставят как столбы для ворот. В музее Горного института в Ленинграде хранится кристалл горного хрусталя (кварца) высотой около метра и весом больше тонны, который много лет служил тумбой у ворот одного из домов в Екатеринбурге. Есть кристаллы огромные, как колоннада храма, нежные, как плесень, острые, как шипы: чистые, лазурные, зеленые, как ничто другое в мире, огненные, черные; математически точные, совершенные, похожие на конструкции сумасбродных, капризных ученых, или напоминающие печень, сердце… Есть кристаллические пещеры, чудовищные пузыри минеральной массы, есть брожение, плавка рост минералов, архитектура и инженерное искусство… Как таинственные математические молнии, пронзают материю бесчисленные законы построения. Чтобы быть равным природе, надо быть точным математически и геометрически. Число и фантазия, закон и изобилие - вот живые, творческие силы природы; не сидеть под зеленым деревом, а создавать кристаллы и идеи, вот что значит быть воедино с природой!».

Многие кристаллы идеально чисты и прозрачны, как вода. Недаром говорят: «прозрачный, как кристалл», «кристально чистый»…

Формы кристаллов

Рассмотрим внимательно кристаллы разных веществ. Как отличить их друг от друга? По цвету? По блеску? Нет, это признаки ненадежные. К примеру, кристаллы кварца могут быть бесцветными (горный хрусталь), золотистыми. Коричневыми, черными (дымчатый горный хрусталь, морион), сиреневыми, лиловыми (аметист). Разные названия, но минерал один и тот же, кварц, один из самых широко применяющихся в промышленности. В музее Горного института в Ленинграде хранится коллекция кристаллов природного корунда сорока различных цветов и оттенков: кроваво-красный рубин, лазорево-синий или голубой сапфир, бесцветный лейкосапфир, черный наждак - все это один и тот же минерал корунд, или окись алюминия. В то же время, например, прозрачно - золотистыми могут быть и кварц, и топаз, и турмалин, и циркон, и многие другие минералы. К тому же, у разных образцов одного и того же минерала цвета и оттенки могут быть разными.

Приглядевшись к кристаллам внимательнее, не трудно увидеть их особенность гораздо более характерную: кристаллы разных веществ отличаются друг от друга своими формами.

Кубики кристаллов каменной соли не спутаешь со столбиками берилла или с табличками медного купороса; от шестигранных призм кварца с первого взгляда можно отличить восьмигранные кристаллы алмаза; такая форма восьмигранника называется октаэдром.

Так что же, у каждого вещества есть своя характерная форма, по которой можно его узнавать? И да, и нет. Да, у каждого вещества формы кристаллов характерны. Однако формы кристаллов разных веществ могут очень похожим. А главное не в этом. Не всегда кристалл попадет к нам в руки в его естественной многогранной форме. Отнюдь не всегда кристалл многогранником - это удается ему лишь при благоприятных условиях, когда ничего не мешает ему при росте.

Давно прошли те времена, когда считали, что кристаллы - это только естественные многогранники, и считали их «игрой природы». Да. Правда, кристаллы - великаны, например такие, как горный хрусталь на рисунке, попадаются не так уж часто. Однако кристаллы окружают нас повсюду. Только их не всегда можно увидеть простым глазом.

Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Многие свойства кристаллов, которые изучаются на уроках физики и химии, объясняются их геометрическим строением. Поэтому свойства многогранников и используются в кристаллографии.

Кристаллы разных веществ: 1- каменная соль, 2 - гранат, 3 - алмаз, 4 - квасцы, 5 - берилл, 6 - турмалин, 7а и 7б - кварц, 8 - медный купорос.

От внешней формы к внутренней структуре

А все-таки: почему же кристаллы вырастают в форме многогранников? Какова связь между внешней формой кристаллов и их внутренним строением? Вопрос этот, естественно, возникает у каждого внимательного наблюдателя. И еще в очень давние времена, задолго до создания атомной теории вещества, появились первые смутные догадки о том, что кристаллы, по-видимому, сложены закономерно из мельчайших частиц.

Выдающийся английский физик Роберт Гук (1635-1703), размышляя о «правильных фигурах» кристаллов, заявляет в 1665 году: «Думаю, что, обладая достаточным временем и возможностью, я мог бы доказать положение, согласно которому все эти правильные фигуры, поразительно разнообразные и причудливо украшающие великое множество тел, образуются в результате лишь трех или четырех расположений или комбинаций сферических частиц». Что за частицы? Об этом в ту пору нет никакого представления. Эти высказывания - лишь смутные умозрительные догадки.

С середины XVII века появляется кристаллографический эксперимент. Мы уже говорили, что в 1669 году Стенон открыл закон постоянства углов кристаллов, лежащий в основе всей геометрической кристаллографии. В этом же году соотечественник и старший современник Стенона, профессор математики и медицины в Копенгагенском университете Эразм Бартолин сделал еще два существенных открытия, которые легли в основу физической кристаллографии.

В руки Бартолина попали большие кристаллы совершенно прозрачного кальцита, так называемого исландского шпата, впервые привезенного тогда в Европу из Исландии. На этих кристаллах Бартолин обнаружил изумительное явление двойного лучепреломления света. Другое замечательное явление заметил Бартолин, когда один из кристаллов в его руках случайно разбился. Оказалось, что хотя формы кристаллов исландского шпата разнообразны, но при ударе кристалл всегда раскалывается по ровным плоскостям на совершенно правильные ромбоэдры, и так снова и снова. У всех осколков исландского шпата всегда разбивается по одинаковым плоскостям, так называемым плоскостям спайности. Теперь мы знаем, что спайность, т. е. способность кристалла раскалываться по определенным плоскостям, присуща не только исландскому шпату, но и многим другим кристаллам.

Осколки стекла не имеют правильной формы, стекло изотропно. Осколки исландского шпата огранены гладкими гранями, исландский шпат отличается совершенной спайностью, т. е. его прочность анизотропна.

Кристаллы каменной соли, хлористого калия, фтористого лития при ударе всегда раскалывается по ровным граням куба, алмаз, флюорит разбивается на мелкие октаэдры, слюда, графит, гипс расщепляются на тонкие пластинки, и т. д.

Спайность - одно из самых ярких проявлений анизотропии кристаллов. Почти все физические свойства кристаллов зависят от того, в каком направлении их измерять. Но это узнали позже, а Бартолин только обнаружил спайность, увидев, что все осколки исландского шпата имеют форму маленьких ромбоэдров. Бартолин разбивал осколки все дальше и дальше, все мельче и мельче, - осколки были уже еле видны, а их форма оставалась все той же. А если бы удалось раскалывать их еще и еще мельче? Об этом задумался знаменитый голландский физик, один из основоположников оптики Христиан Гюйгенс.

Прочтя трактат Бартолина и повторив его опыты в 1677 году, он тоже пришел к мысли, что кристалл кальцита, должно быть, построено из одинаковых мелких частичек, вплотную примыкающих к друг другу. В этом ему помогла спайность кальцита: как мелко он ни разбивал кристаллы, всегда получались сходные многогранники. Поэтому Гюйгенс и решил, что кристаллы сложены из одинаковых плотно уложенных частиц.

Французский аббат Гаюи, кристаллограф и минералог, тонкий наблюдатель, всю жизнь посвятил изучению кристаллов. Гаюи одним из первых заметил симметрию и закономерную повторяемость кристаллических многогранников. Можно сказать. Что он утвердил в науке о кристаллах идею симметрии.

«С какой бы точки зрения ни рассматривать природу, - писал Гаюи, - всегда поражает обилие и разнообразие ее творений… Она в своих подземных расселинах тайно подвергает обработке неорганические вещества и, как бы играя, порождает бесконечное разнообразие геометрических форм».

Разнообразие геометрических форм кристаллов больше всего привлекало Гаюи. Внимательно изучая геометрические формы минералов, он на основе кристаллографических данных объединил в один вид все вещества, которые до него рассматривались как различные так, он первый показал, что синий сапфир, алый рубин и невзрачный серый наждак - это все один и тот же минерал, корунд; что изумруд - это разновидность берилла. Это Гаюи первый показал, что каждому химическому веществу соответствует группа кристаллических форм, характерная именно для данного вещества. Этот закон ныне лежит в основе кристаллохимии.

Естественным был следующий шаг, и его сделал Гаюи: от формы кристалла, к утверждению, что кристаллическое строение вещества зависти от химического состава влечет за собой изменение строения кристалла.

Как и его предшественник, Гаюи основывался на том. Что, кристаллы, в первую очередь исландский шпат, раскалываются по плоскостям спайности. Рассказывают даже, что, нечаянно уронив на пол кристалл исландского шпата и увидев, что он разбился на мелкие ромбоэдры, Гаюи воскликнул: «Все найдено!», т. е. теория структуры кристаллов, о которой он столь много размышлял, сложилось окончательно. Гаюи решил, что, разбивая кристалл на все более и более мелкие осколки, можно, в конце концов, прийти к предельно малым многогранникам, которые уже нельзя расколоть дальше без нарушения природы их веществ. Называя эти частицы интегрирующими (составляющими) молекулами, Гаюи думал, что их «удалось бы выделить, если бы наши органы чувств и наши инструменты были достаточно тонкими». Может быть, предполагает Гаюи, эти самые молекулы находились во взвешенном состоянии в растворе и «когда им представлено… время, пространство и покой, они обнаруживают тенденцию к взаимному сближению. Сближаясь и соединяясь друг с другом, они образуют в совокупности многогранники, ограниченные обычно плоскими гранями. Этим телам и дали название кристаллов».

Начав с того, что разбивается кристалл на мелкие осколки, Гаюи пришел к решению обратной задачи: как растет кристалл. Гаюи представлял себе образование различных форм кристаллов: всякий кристалл, по его мнению, должен рассматриваться как соединение мельчайших кубиков, равных между собой и соприкасающихся друг с другом целыми гранями. Такие построения дали Гаюи возможность установить математический закон, которому подчиняется расположение граней в кристаллических многогранниках. Самое же главное - то, что учение Гаюи послужило основой для теории структуры кристаллов.

Многогранники и вирусы

Послушайте Джона Кендрью: «Вы можете спросить: а почему обязательно правильный многогранник? И почему именно икосаэдр? По-видимому, тут все дело в экономии - экономии генетической информации. Вирусная частица должна весь обмен клетки-хозяина перевернуть вверх дном; она должна заставить зараженную клетку синтезировать многочисленные ферменты и другие молекулы, необходимые для синтеза новых вирусных частиц. Все эти ферменты должны быть закодированы в вирусной нуклеиновой кислоте. Но количество ее ограничено. Поэтому для кодирования белков собственной оболочки в нуклеиновой кислоте вируса оставлено совсем мало места. Что же делает вирус? Он просто использует много раз один и тот же участок нуклеиновой кислоты для синтеза большого числа стандартных молекул - строительных белков, объединяющихся в процессе автосборки вирусной частицы. В результате достигается максимальная экономия генетической информации. Остается добавить, что по законам математики для построения наиболее экономичным способом замкнутой оболочки из одинаковых элементов нужно сложить из них икосаэдр, который мы наблюдаем у вирусов».

Так «решают» вирусы сложнейшую задачу (ее называют «изопиранной»): найти тело наименьшей поверхности при заданном объеме и притом состоящее из одинаковых и тоже простейших фигур. Вирусы, мельчайшие из организмов, настолько простые, что до сих пор неясно - относить их к живой или неживой природе, эти самые вирусы справились с геометрической проблемой, потребовавшей у людей более двух тысячелетий! Все так называемые «сферические вирусы», в том числе такой страшный, как вирус полиомиелита, представляют собой крохотные икосаэдры, а отнюдь не сферы, как думали раньше.

Заключение

Миром красоты и гармонии мы называем правильные многогранники. Ведь на протяжении всей истории человечества эти многогранники восхищали симметрией и совершенством форм. Изображения пяти правильных многогранников - «Тела Платона», 13 полуправильных выпуклых многогранников - «Тела Архимеда» и 4-х невыпуклых многогранников - «Тела Пуансо - Кеплера» приводят пытливые умы к размышлению о красоте истин.

Подводя итоги своей работы, я могу сделать вывод: существует 5 правильных выпуклых многогранников: тетраэдр (четырёхгранник), гексаэдр (шестигранник), октаэдр (восьмигранник), додекаэдр (двенадцатигранник), икосаэдр (двадцатигранник) - Платоновы тела, 4 звездчатых правильных многогранника - тела Кеплера - Пуансо, 13 полуправильных многогранников - тела Архимеда. В работе описаны их свойства, показано, где они встречаются в природе.

Выполняя работу, я научилась изучать литературу по названной теме, делать анализ прочитанного, выбирать нужный материал, искать ответы на возникающие вопросы, делать выводы.

При работе по теме я прикоснулась к удивительному миру красоты, совершенства, гармонии, узнала имена учёных, художников, которые посвятили этому миру свои труды, являющиеся шедеврами науки и искусства. Ещё раз убедилась, что истоки математики - в природе, окружающей нас.

В ходе данного исследования был проведён анализ определений правильных многогранников, установлены условия существования правильных многогранников, выявлены свойства правильных многогранников.

Литература

1. Китайгородский А.И. Порядок и беспорядок в мире атомов. - М., издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1977 г., 176 с.

2. Левитин К. Геометрическая рапсодия. - М., издательство «Знание», 1976 г., 144 с.

3. Математика. Учебно-методическая газета. - 2006 г. - №22. - с.38-46.

4. Смирнов И., Смирнова В. В мире многогранников. - М., 1998.

5. Шаскольская М.П. Кристаллы. - М., 1978.

6. Геометрия: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. - 11 издание. - М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 2002 г. - 206с.

7. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. Учебник для 10 - 11 классов средней школы. - М.: Просвещение, 2001.

8. Веннинджер М. Модели многогранников. - М.: Мир, 1974.

9. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - М.: Наука,1972.

10. Математика. Еженедельная учебно-методическая газета. №24, 2004.с. 15-32.

Размещено на Allbest


Подобные документы

  • Различные виды правильных и полуправильных многогранников, их основные свойства. Многогранные поверхности, многогранники, топологические, простейшие и правильные многогранники. Грани, ребра и вершины поверхности многогранника. Пирамиды и призмы.

    курсовая работа [1,7 M], добавлен 21.08.2013

  • Выпуклые многогранники, теорема Эйлера. Свойства выпуклых многогранников. Определение правильного многогранника. Понятие полуправильных многогранников. Свойства ромбокубооктаэдра, кубооктаэдра, тетраэдра, октаэдра, икосаэдра, додекаэдра и куба.

    методичка [638,2 K], добавлен 30.04.2012

  • Понятие многогранной поверхности, виды многоугольников. Грани, стороны и вершины многогранников. Свойства пирамиды, призмы и параллелепипеда. Объем многогранника, его измерение с помощью выбранной единицы измерения объемов. Основные свойства объемов.

    реферат [73,5 K], добавлен 08.05.2011

  • Первые упоминания о правильных многогранниках. Классификация многогранников, их виды, свойства, теоремы о развертках выпуклых многогранников (Коши и Александрова). Создание моделей правильных многогранников с помощью разверток и методами оригами.

    курсовая работа [2,8 M], добавлен 18.01.2011

  • Определение многогранника, его сторон и вершин, отрезков, соединяющих вершины. Описание основания, боковых граней и высоты призмы. Правильная и усеченная пирамида. Теорема Эйлера. Анализ особенностей и геометрических свойств правильных многогранников.

    презентация [6,5 M], добавлен 27.10.2013

  • Изучение однородных выпуклых и однородных невыпуклых многогранников. Определение правильных многогранников. Двойственность куба и октаэдра. Теорема Эйлера. Тела Архимеда. Получение тел Кеплера-Пуансо. Многогранники в геологии, ювелирном деле, архитектуре.

    презентация [4,9 M], добавлен 27.10.2013

  • Определение правильного многогранника, его сторон, вершин, отрезков, соединяющих вершины. Анализ особенностей, геометрических свойств и видов правильных многогранников. Правильные многогранники, которые встречаются в живой природе и архитектуре.

    презентация [1,2 M], добавлен 13.11.2015

  • Фигуры вращения правильных многогранников, использование их теории. Виды поверхностей в фигурах вращения. Теорема о пересечении гиперболической и цилиндрической поверхностей вращения. Классификация задач на вращение многогранников и вычисление объемов.

    реферат [1,1 M], добавлен 25.09.2009

  • Понятие и определение пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания. Площадь боковой поверхности, основания и полной поверхности пирамиды. Свойства произвольных, усеченных и правильных пирамид. Определение высоты боковой грани.

    презентация [726,8 K], добавлен 05.04.2012

  • Понятие правильного многогранника. Полное математическое описание правильных многогранников Евклида. Открытие двух законов орбитальной динамики. Основные характеристики икосаэдра. Отношение количества вершин правильного многогранника к количеству рёбер.

    презентация [3,5 M], добавлен 19.02.2017

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.