Обобщения полиномов Бернштейна в задачах устойчивости нелинейных динамических систем

Соединив вершины исходной фигуры с ее геометрическим центром, получим n треугольников.

Для каждого из которых, коэффициенты выпуклой комбинации определены однозначно.

Второй способ основан на решении оптимизационной задачи:



при ограничениях:

.

В данной работе было рассмотрено решение систем нелинейных уравнений с применением формул для обобщенных полиномов Бернштейна, что помогло избежать локализации корней.

1.8 Алгоритм оценки параметров системы (корней нелинейной системы уравнений) с помощью обобщенных полиномов Бернштейна

1. Строим область: выпуклый многогранник, в которой предположительно находится корень данной системы нелинейных уравнений.

2. Записываем формулы для выпуклой комбинации вершин данного многогранника и условие нормировки: . Затем выражаем все вершины многогранника через коэффициенты л₁, л₂, …, л_n.

3. В исходную систему нелинейных уравнений подставляем выражения для вершин, т. о. получаем преобразование систем:

4. Полученную (преобразованную) систему нелинейных уравнений решаем любым итерационным методом.

В данной работе рассмотрен итерационный метод Ньютона. При решении заранее необходимо задать точность решения е (е=0.001).

5. После того как получено приближенное решение нелинейной системы уравнений, л₁, л₂, …, л_n. необходимо подставить в выражения для вершин многогранника и т. о. найти приближенной решение исходной нелинейной системы уравнений.

Для компьютерной реализации итерационного метода Ньютона, на Maple 11 была построена процедура, высчитывающая корни системы нелинейных уравнений с заданной точностью и затраченное на вычисление решения количество итераций (Приложение Б).

Для проверки вышеприведенного алгоритма оценки параметров системы с помощью обобщенных полиномов Бернштейна, рассмотрены числовые примеры, первый из которых, является достаточно простым и имеет точное решение.

Второй пример показывает, что алгоритм работает и в более сложных случаях.

Рассмотрим тестовый пример.

1. Решим нелинейную систему уравнений (1.51):

(1.51)

Данную систему уравнений можно решить аналитически или графически и получить точное решение (найти точный корень).

1) Для решения системы уравнений (1.51) воспользуемся методом подстановки, получим:



Получаем два решения этой системы уравнений (1, 3) и (-3, 5).

Решим систему нелинейных уравнений (1.51) на области треугольника с вершинами I - (0, 4); II - (8, 0); III - (0, - 4).

Построим этот треугольник в декартовой системе координат и отметим на ней корень (1, 3), т. к. он лежит в области треугольника.

Рисунок 7 - Решение системы уравнений в области треугольника

Т.к. любая точка выпуклого многогранника является выпуклой комбинацией его вершин, для данного треугольника получим систему уравнений, добавляя к вышесказанному условие нормировки:

(1.52)

Подставляя вершины треугольника в систему уравнений (1.52), получим:

(1.53)

Подставим выраженные через л₁, л₂, л₃ переменные x и y в систему уравнений (1.51), добавляя к ней условие нормировки, получим систему нелинейных уравнений относительно трех неизвестных л₁, л₂, л₃:

(1.54)

Решим систему нелинейных уравнений (1.54) итерационным методом Ньютона (Приложение Б).

В Таблице 4 приведены последовательные приближения корней.

Решение системы нелинейных уравнений (1.54) найдено с точностью е =0.001 и имеет вид (0.813, 0.125, 0.062).

Подставим найденные л₁, л₂, л₃ в систему уравнений (1.52) получим:

Итак, приближенный корень для нелинейной системы уравнений (1.51) имеет вид (, ) и практически совпадает с ее точным корнем (1, 3).

Таблица 4 - Приближения корней методом Ньютона

i	л1	л2	л3
0	0	0	0
1	1.125	0.333	?0.458
2	0.884	0.172	?0.056
3	0.818	0.129	0.053
4	0.813	0.125	0.062

2. Решим систему нелинейных уравнений:

(1.55)

Данную систему уравнений можно решить графически (рисунок 8).

Приблизительно корень равен (2.25, -0.1).

Решим систему нелинейных уравнений (1.51) на области треугольника с вершинами I - (0, 4); II - (8, 0); III - (0, - 4).

Построим этот треугольник в декартовой системе координат и отметим на ней корень (1, 3), т. к. он лежит в области треугольника.

Рисунок 8 - Графическое решение системы



Рисунок 9 - Решение системы уравнений в области треугольника

Используя выражения для переменных x и y и условие нормировки из системы уравнений (1.52), получим систему нелинейных уравнений относительно трех неизвестных л₁, л₂, л₃:

(1.56)

Решим систему нелинейных уравнений (1.56) итерационным методом Ньютона.

Таблица 5 - Приближения корней методом Ньютона

i	л1	л2	л3
0	0	0	0
1	0.438	0.376	0.410
2	0.346	0.285	0.368
3	0.352	0.273	0.375

Итак, решение системы (1.56) итерационным методом Ньютона с заданной точностью е =0.001 имеет вид (0.352, 0.273, 0.375).

Подставим найденные значения л₁, л₂, л₃ в выражения для x и y и получим приближенный корень (2.187, ?0.09) для нелинейной системы уравнений (1.54).

1.9 Решение систем нелинейных уравнений на основе аппроксимации обобщениями полиномов Бернштейна

Рассмотрим обобщения полиномов Бернштейна для полигональных областей на плоскости, которые представляются следующим образом:

где

выпуклые комбинации вершин m-угольника.

Рассмотрим тестовый пример:

Пусть задана система нелинейных уравнений следующего вида:

Исходная система уравнений в выпуклой области локализации корня приближается обобщениями полиномов Бернштейна.

Решение полученной системы нелинейных алгебраических уравнений специального вида может быть записано в виде цепной дроби.

Замена в исходной системе уравнений функций их аппроксимантами, позволяет упростить задачу.

Уточнение значения корня осуществляется за счет увеличения количества узлов или степени аппроксимационного полинома.

Данную систему можно решить несколькими способами. Ниже, на рисунке представлено графическое решение.

Нелинейная система уравнений:

(1.57)

В данной главе была рассмотрена задача оценки параметров системы (оценка корня нелинейной системы уравнений с помощью задания точности вычислений) и алгоритм оценки параметров.

Использование обобщенных полиномов Бернштейна помогло избежать локализации корней, благодаря заданию области и, таким образом, к быстрому переходу к итерационному методу. Таким образом, алгоритм оценки параметров системы упрощается, благодаря обобщенным полиномам Бернштейна.

Уменьшение погрешности, с которой вычислялся корень системы, привело к нахождению более точного решения [25].

2. Анализ устойчивости нелинейных динамических систем

2.1 Основные понятия и обозначения

Рассмотрим решение ,… системы n уравнений, определенной в пространстве R^N с координатами ,

(2.1)

где причем переменные и можно считать соответственно пространственными и временными координатами. Решения описывают состояния некоторой системы, поэтому будем называть их переменными состояния. Предполагается, что уравнения зависят от параметров (числа Рейнольдса, структурной константы, напряженности магнитного поля и т.д.), т.е. последние могут качественно влиять на свойства решения , и естественно назвать их управляющими параметрами.

Проблема исследования решений системы уравнений (2.1), даже если речь идет о том, как зависят эти решения от управляющих параметров , является исключительно сложной.

Однако, ее можно упростить, сделав ряд последовательных предположений.

1. Предположим, что выражение (2.1), которое в самом общем виде будет интегро-дифференциальным уравнением (или значительно хуже), в действительности не содержит интегралов. Фактически это означает, что система уравнений (2.1) есть не что иное, как множество (нелинейных) уравнений в частных производных.

2. В целях дальнейшего упрощения предположим, что система уравнений (2.1) не содержит пространственных производных любого порядка, т.е.

(2.2)

3. Поскольку решение данной системы уравнений вызывает существенные затруднения, предположим, что она полностью не зависит от пространственных координат :

(2.3)

4. Следующее предположение сводится к тому, сто система уравнений (2.3) содержит производные по времени не выше первого порядка и, кроме того, эти производные входят в упрощенную функцию специальным («каноническим») образом:

(2.4)

Систему уравнений данного типа называют динамической системой.

И опять же она слишком трудна для исследования.

5. Для упрощения динамической системы предположим, что функции [выражение (2.4)] полностью не зависит от времени.

Тогда получим динамическую систему уравнений:

 (2.5)

Относительно автономных динамических систем, зависящих от малого числа управляющих параметров , уже может быть высказано несколько полезных и сильных утверждений.

6. Наконец, заметим, что функции во многом аналогичны компонентам силы в классической механике. В последней существенное упрощение возможно тогда, когда сила является консервативной. Если все функции могут быть заданы антиградиентом (по отношению к ) некоторой потенциальной функции, то получаем систему уравнений

(2.6)

которую называют градиентной системой . О свойствах таких систем может быть доказано довольно много глубоких теорем.

Особый интерес представляет изучение состояния равновесия градиентных динамических систем, которое может быть описано с помощью следующей системы уравнений:

(2.7)

(Эти уравнения могут не иметь решений , иметь одно или более чем одно решение , одно решение, если , и три решения, если .) В этом случае может быть доказано большое число полезных и сильных утверждений, как о состоянии равновесия градиентных систем, так и о том, как эти состояния зависят от управляющих параметров . Таким образом, можно сделать вывод, согласно которому элементарная теория катастроф - это наука о том, каким образом состояния равновесия потенциальной функции изменяются при изменении управляющих параметров . Устойчивость равновесия системы исследуется с помощью вспомогательной системы [13].

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:

(2.8)

решение которой удовлетворяет начальным условиям:

(2.9)

Обозначим

(2.10)

(2.11)

Согласно этим обозначениям, задачу (2.8), (2.9) можно записать в виде:

(2.12)

(2.13)

Пусть начальные данные х₀ подвержены воздействию некоторых возмущений и вместо них имеем в (2.13) начальные данные (значения) z_0.

Тогда и решение задачи (2.12), (2.13), вообще говоря, будут другими, отличными от х(t), которые обозначим через z(t).

Определение 1 (устойчивость по Ляпунову)

Решение х=х(t) системы дифференциальных уравнений (2.12), определенное при всех и удовлетворяющее начальным условиям (2.13), называется устойчивым (по Ляпунову, в смысле Ляпунова), если для любого действительного числа существует такое действительное число , что для всякого решения z(t₀)=z_0, которое удовлетворяет неравенству

(2.14)

при всех выполняется неравенство

(2.15)

Таким образом, устойчивость по Ляпунову решения x(t) системы (2.12), удовлетворяющей начальным данным (2.13), означает, что малым изменениям в начальных данных x(t₀)=x₀ соответствуют малые изменения в самом решении x(t).

Определение 2 (неустойчивости по Ляпунову).

Решение x=x(t) системы дифференциальных уравнений (2.12), определенное при всех и удовлетворяющее начальным условиям (2.13), называется неустойчивым по Ляпунову, если для некоторого действительного числа и любого действительного найдется решение z(t) этой системы (2.12), отвечающее начальным данным z(t₀)=z₀ и момент времени t₁>t₀, , такие, что

, (2.16)

хотя

(2.17)

Следовательно, неустойчивость по Ляпунову решения x(t) системы (2.12), удовлетворяющее начальным данным (2.13), означает, что малым изменениям в начальных данных x(t₀)=x₀ соответствуют большие изменения решения x(t).

Определение 3 (асимптотической устойчивости).

Решение x=x(t) системы дифференциальных уравнений (2.12), определенное при всех и удовлетворяющее начальным условиям (2.13), называется асимптотически устойчивым, если:

1. оно устойчиво по Ляпунову;

2. для всякого t₁>t₀ существует действительное число такое, что

(2.18)

(2.19)

Асимптотическая устойчивость решения x(t) системы (2.12) означает, что x(t) получает не только малые изменения при малых изменениях начальных данных x(t₀), но, кроме того, эти изменения решения x(t) затухают с ростом t, начиная с момента времени t₁>t₀.

Пусть найдено решение x(t)=(t) системы (2.12), удовлетворяющее начальным данным (2.13):

Тогда с помощью замены

(2.20)

система (2.13) преобразуется в эквивалентную систему

(2.21)

а начальные условия примут вид

y(t₀)=0 (2.22)

Если задача (2.21), (2.22) удовлетворяет условиям теоремы о единственности решения, то единственным решением (2.21), (2.22) будет , .

Нулевое решение y(t)=0, , принято называть тривиальным решением уравнения (2.22).

Из сказанного следует, что исследование на устойчивость решения задачи (2.12), (2.13) эквивалентно исследованию на устойчивость тривиального решения y(t)=0 задачи (2.21), (2.22).

Второй метод Ляпунова.

Определение 5. Шаром (радиуса , , и с центром в начале координат ) в - мерном пространстве называется множество точек , удовлетворяющих условию: .

Обозначим - мерный шар радиуса с центром в точке через т.е. .

Определение 6. Скалярная функция n переменных непрерывная в шаре , называется:

1. положительно - определенной в шаре , если для всех исключая точку (0,0,…, 0), имеет место неравенство

2. отрицательно - определенной в шаре , если для всех исключая точку (0,0,…, 0), имеет место неравенство

3. знакоопределенной в , если она является в либо только положительно - определенной, либо только отрицательно - определенной;

4. положительно - постоянной в , если для всех исключая точку (0,0,…, 0), имеет место неравенство

5. отрицательно в , если для всех исключая точку (0,0,…, 0), выполняется неравенство

6. знакопостоянной в , если она является в либо только положительно - постоянной, либо только отрицательно - постоянной;

7. знакопеременной в , если она является в как положительные, так и отрицательные значения.

Пусть система дифференциальных уравнений (2.12) (т.е. (2.8)) является автономной, т.е. функции , не зависят явно от времени t:

(2.23)



Будем предполагать, что функции в (2.23) при некотором h>0 удовлетворяют в шаре условиям:

1. они непрерывны в ;

2. удовлетворяют условиям Липшица:

3. (2.24)

Выполнение условий 1) - 3) гарантирует, что при нулевом начальном условии система (2.23) имеет единственное тривиальное решение в шаре .

Теорема 4 (теорема Ляпунова об устойчивости). Пусть существует (задана) функция , которая в шаре удовлетворяет условиям:

1. является знакоопределенной функцией,

2. непрерывно дифференцируема по переменным ,

3. при производная

является знакопостоянной и имеет знак, противоположный знаку или тождественно равна нулю.

Тогда тривиальное решение системы дифференциальных уравнений (2.23) устойчиво.

Теорема 5 (теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости).

Пусть существует (задана) функция , которая в шаре удовлетворяет условиям:

1. является знакоопределенной функцией.

2. непрерывно дифференцируема по переменным ,

3. При производная является знакоопределенной и имеет знак, противоположный знаку .

Тогда тривиальное решение системы дифференциальных уравнений (2.23) асимптотически устойчиво.

Теорема 6 (теорема Ляпунова о неустойчивости).

Пусть существует (задана) функция , которая в шаре удовлетворяет условиям:

1. непрерывно дифференцируема по переменным ,

2. При производная

(2.25)

является знакоопределенной. Пусть в любой окрестности точки (0,0,…, 0) найдется точка , для которой знак функции U(t) совпадает со знаком производной (2.25), т.е. либо

(2.26)

либо

(2.27)

Тогда тривиальное решение системы дифференциальных уравнений (2.23) неустойчиво.

Замечание 1. Обратим внимания, что условия (2.26), (2.27) можно записать следующим образом:

(2.28)

Замечание 2. В теореме 6 отсутствует требование о знакопостоянстве функции в данном случае может как быть знакоопределенной функцией так и не быть ею.

Замечание 3. Производную вида (2.27) принято называть производной по функции в силу системы дифференциальных уравнений (2.23).

Замечание 4. функцию принято называть функцией Ляпунова.

Замечание 5. Исследование на устойчивость решения системы дифференциальных уравнений с помощью теорем 1-3 требует определенных знаний о свойствах решения этой системы. Совокупность теорем типа 1-3 называют первым методом Ляпунова (исследования на устойчивость системы (2.23)). Совокупность теорем 4-6 позволяет обходиться при исследовании на устойчивость решения без такого рода знаний: исследования производятся путем построения и изучения свойств функции Ляпунова . Поэтому совокупность теорем типа 4-6 принято называть вторым методом Ляпунова [19].

2.2 Анализ поведения динамических систем на фазовой плоскости

Одним из основных методов качественной теории дифференциальных уравнений является метод фазовой плоскости.

Алгоритм построения фазового портрета.

1. Выписать характеристическое уравнение и найти его решения - собственные значения , .

2. По таблице определить тип точки покоя и сделать вывод об устойчивости тривиального решения.

3. Начертить фазовый портрет:

а) если точка покоя является узлом или седлом, то следует найти собственные векторы и матрицы (в случае найти только вектор ) и начертить определяемые этими векторами прямые на фазовой плоскости. Далее вычерчивается фазовый портрет. При этом учитывается, что в случае узла фазовые траектории касаются той прямой, которая отвечает меньшему по модулю собственному значению;

б) если точек покоя является центром или фокусом, то семейство фазовых траекторий можно получить, применив метод изоклин или, если это удобнее, решив уравнение аналитически;

в) если множество точек покоя - прямая, то необходимо выписать уравнение этой прямой, которое является решением одного из уравнений: или .

Уравнение семейства фазовых траекторий, которые являются прямыми, в данном случае легко решаются аналитически. По полученным уравнения множество точек покоя и фазовые траектории вычерчиваются на фазовой плоскости;

г) в оставшихся случаях (дикритический узел и фазовая плоскость) фазовый портрет вычерчивается непосредственно.

4. Определить направление движения по фазовым траекториям и изобразить его стрелками на фазовом портрете.

Построим фазовый портрет динамической системы

Решение. Можно сразу выписать уравнение фазовых траекторий, разделив второе уравнение системы на первое. Однако, для того чтобы получить аналитическое выражение для семейства фазовых траекторий, удобнее сначала перейти к полярным координатам:

Отсюда . Продифференцируем последние два равенства по :

(2.29)

Теперь вернемся к решаемой системе: умножим первое уравнение этой системы на , а второе на и сложим полученные уравнения:



С учетом первого уравнения системы (2.29) получаем

или (2.30)

Далее умножим второе уравнение исходной системы на , а первое на вычтем из второго уравнения первое:

С учетом второго уравнения системы (2.29) получаем

или . (2.31)

Интегрируем уравнение (2.30):



В результате получаем

(2.32)

Решая уравнение (2.31), находим . Таким образом, получаем общее решение поставленной задачи:

Полагая в (2.31) , получаем

Эти равенства определяют замкнутую траекторию - окружность . Если , то и при . Это означает, что существует единственная замкнутая траектория , к которой с течением времени приближаются все остальные траектории (рисунок 13).

Таким образом, окружность является устойчивым предельным циклом системы.

Заметим, что в данном примере уравнение предельного цикла удалось найти явно [21].

В общем случае этого сделать нельзя, поэтому обычно для построения фазового портрета используются приближенные методы, например, метод изоклин.

2.3 Оценка локальной устойчивости нелинейных динамических систем

В работе рассматривается оценка устойчивости равновесия системы с помощью метода функции Ляпунова, в котором исследуется равномерное приближение функции Ляпунова, основанное на обобщенных полиномах Бернштейна.

Исследуются автономные системы дифференциальных уравнений. Задается система обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, имеющая следующий вид:

(2.33)

Рассмотрим алгоритм оценки параметров нелинейной динамической системы с помощью обобщений полиномов Бернштейна:

1. Область, в которой исследуется решение выбранной системы, имеет вид выпуклого многогранника.

2. Функция Ляпунова нелинейной системы (2.33) строится как сумма произведений коэффициентов на базисные полиномы Бернштейна:

. (2.34)

3. Записываются формулы для выпуклой комбинации вершин данного многогранника:



,

где ,

- номер вершины треугольника.

Добавляется условие нормировки: и формулы для расчета узлов:

(2.35)

(2.36)

В формулу для обобщений полиномов Бернштейна подставив выражения (2.35), (2.36), получим:

(2.37)

В формулу (2.34) подставим выражение (2.37). Зададим условие для вспомогательной функции :

. (2.38)

Решение системы (2.38) методом наименьших квадратов (МНК) приводит к системе линейных алгебраических уравнений, из которой находятся коэффициенты .

4. Подставив определенные коэффициенты в формулу (2.34), анализируется поведение функции вблизи неподвижной точки на основе теоремы Ляпунова об устойчивости.

Иллюстрация метода на примере исследования на устойчивость нелинейных динамических систем 2-го порядка.

1. Задается автономная система нелинейных дифференциальных уравнений 2-го порядка:

(2.39)

2. Строиться область: квадрат, в которой предположительно находится неподвижная точка системы (2.39).

Рисунок 14 - Область нахождения неподвижной точки

3. Записываются формулы для выпуклой комбинации вершин квадрата и условие нормировки:

Выразим переменные через x и y:

. (2.40)

Выразив функцию , подставив в (2.34) выражение (2.37). Приравнивая частные производные к правым частям системы (2.39) (необходимо, чтобы степени левой и правой части уравнения были равны), получается система линейных алгебраических уравнений, из которой МНК находятся коэффициенты: . Возвращаясь к переменным x и y в выражении (2.34) получается функция, исследуя которую с помощью теоремы Ляпунова (об устойчивости) можно сделать вывод, что система нелинейных дифференциальных уравнений (2.37) устойчива.

Заключение

В работе построены итерационные алгоритмы решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений, обеспечивающие высокую скорость сходимости и устойчивые к погрешностям в исходных данных.

В ходе компьютерных экспериментов было установлено, что итерационная формула на основе аппроксимационного полинома Бернштейна, не зависит от изменения количества узлов, степени полинома и точности задания функции в сравнении с классическими итерационными методами (метод Ньютона, метод секущих).

В данной работе предлагается способ исследования локальной устойчивости нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, основанный на аппроксимации функции Ляпунова обобщениями полиномов Бернштейна.

На основе произведенного в работе анализа получены следующие результаты:

1. Итерационная формула аппроксимационного типа для решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений.

2. Алгоритм анализа устойчивости нелинейных динамических систем на основе теории Ляпунова.

Список источников

1. Сухно И.В. Численные методы и программирование / И.В. Сухно, В.А. Волынкин, В.Ю. Бузько Краснодар: Парабеллум, 2002, 225 с.

2. Самарский А.А. Численные методы / А.В. Гулин, А.А. Самарский М.: Мир, 1989. 215 с.

3. Ракитин В.И. Практическое руководство по методам вычисления / В.И. Ракитин, В.Е. Первушин, М. 1998. 269 с.

4. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов М.: Высш. шк., 1975. 357 с.

5. Губарь Ю.В. Введение в математическое моделирование, курс лекций / Ю.В. Губарь, М.: Высш. шк., 2007. 316 с.

6. Джонсон К. Численные методы в химии / К. Джонсон, М.: Мир, 1983. 362 c.

7. Демидович Б.П. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения / Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова, М.: Наука, 1967. 386 с.

8. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс / Б. Банди, М.: Радио и связь, 1988. 267 с.

9. Данилина Н.И. Вычислительная математика. / Н.И. Данилина, Н.С. Дубровская, О.П. Кваша, Г.Л. Смирнов, М.: Высшая школа, 1985. 435 с.

10. Турчак Л.И. Основы численных методов / Л.И. Турчак, М.: Наука, 1987. 335 с.

11. Тарасевич Ю.Ю. Информационные технологии в математике / Ю.Ю. Тарасевич, М.: Солон-Пресс, 2003. 412 с.

12. Дьяконов В.А. Maple 7: учебный курс / В.А. Дьяконов, СПб.: Питер, 2002. 632 с.

13. Дьяконов В.А. Mathcad 2000: учебный курс / В.А. Дьяконов СПб.: Питер, 2000. 513 с.

14. Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений / Дж. Трауб, М.: Мир, 1985. 264 с.

15. Амосов А.А. Вычислительные методы для инженеров / А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Колченова, М.: Высшая школа, 1994. 554 с.

16. Пантелеев А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах / А.В. Пантелеев, А.С. Якимова, А.В. Босов, М.: Высшая школа, 2001. 376 с.

17. Барбанин Е.А Введение в теорию устойчивости / Е.А. Барбанин, М.: Наука, 1967. 345 с.

18. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Арнольд, М.: Наука, 2000. 367 с.

19. Крылов В.И. Вычислительные методы / В.И. Крылов, В.В. Бабков, П.Н. Манастырный, М.: Наука, 1998. 264 с.

20. Хейгман Л.Я. Прикладные итерационные методы / Пер. с англ. А.Ю. Еремена и Е.И. Капорина; Под ред. Ю.А. Кузнецова, М.: Мир, 1986. 446 с.

21. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, М.: Наука, 1975. 347 с.

22. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование / Ю.П. Боглаев, М.: Высшая школа, 1990. 208 с.

23. Воробьева С.Н. Практикум по вычислительной математике / С.Н. Воробьева, А.Н, Данилова, М.: Высшая школа, 1990. 208 с.

24. И.В. Алферова Итерационные формулы аппроксимационного типа для решения скалярного уравнения / И.В. Алферова, А.М. Кравцов, Материалы VIII региональной научно-технической конференции «Вузовская наука-Северо-Кавказскому региону». Том первый. Естественные и точные науки. СевКавГТУ, 2009.

Размещено на Allbest.ru