Теория нумераций

Ясно, что . Проверим, что . Действительно, . То, что и , следует из определения .

Общий случай. Пусть и - произвольные морфизмы. Построим следующую диаграмму (используя канонические представления морфизмов и ):

так, чтобы она была коммутативной, а каждый из квадратов , , , был универсальным. Возможность последовательного построения таких квадратов в порядке номеров вытекает из рассмотрения случаев 1, 2 и 3 соответственно.

Рутинная проверка того, что если - универсальные квадраты, то и внешний квадрат является универсальным, оставляется недоверчивому читателю.

Доказанное предложение означает, что для любой пары объектов над существует их расслоенная сумма.

Существуют двойственные понятия расслоенного произведения и коуниверсального квадрата. К сожалению, не замкнута относительно расслоенного производителя.

Укажем еще один положительный результат о замкнутости . Пусть - произвольное направленное предупорядоченное множество, а - прямой спектр факторизаций в , т.е. для - нумерованное множество, для - факторизация; для для .

Предложение 6. Существует предел прямого спектра факторизаций, т.е. такой объект и система морфизмов, , , что для любых ; для любого и системы морфизмов , , такой, что для всех , существует и притом единственный морфизм такой, что для всех .

Укажем только построение нумерованного множества и морфизмов , . Зафиксируем некоторое и пусть ; для любого такого, что , через обозначим отношение эквивалентности на множестве . Семейство отношений эквивалентности {} направленно. Пусть ; - отношение эквивалентности на . Полагаем для определяется единственным образом как морфизм из в такой, что . Если , то находим такое, что и ; полагаем .

Инъективным объектом категории называется объект такой, что для любых двух морфизмов , , где - произвольные объекты, а - мономорфизм, существует морфизм такой, что .

Инъективные объекты играют важную роль в построениях гомологической алгебры. В естественных алгебраических категориях инъективными объектами оказываются алгебры, важность которых была обнаружена до введения самого понятия категории и инъективного объекта. Например, полные абелевы группы, алгебраически замкнутые поля, вещественно замкнутые поля являются в точности инъективными объектами в подходящих естественных категориях.

Предложение 7. В категории не существует нетривиальных инъективных объектов.

Нумерованное множество , где - одноэлементное множество, очевидно, является инъективным объектом. Нетривиальность означает, что нумерованное множество содержит, по крайней мере, два элемента. Предположим противное. Пусть - инъективный объект в и . Пусть таково, что не m - сводится к , , где и определены так:

Тождественное отображение будет морфизмом из в . Действительно, пусть , тогда функция

такова, что и .

Итак, - морфизм. Кроме того, - мономорфизм (а также и эпиморфизм). Определим отображение так: . Как и выше, легко показать, что - морфизм из в . Так как - инъективный объект, то существует морфизм такой, что , но так как , то . Следовательно, отображение является морфизмом в , т.е. существует функция такая, что

Для этой функции имеем: если , то и , следовательно, и ; если , то и и , . Следовательно,

Функция - сводит к , что противоречит выбору . Получаем противоречие.

Не намного лучше дело обстоит и с двойственным понятием проективного объекта. Объект категории называется проективным, если для любых двух объектов и и любого эпиморфизма и любого морфизма существует морфизм такой, что .

Предложение 8. Нумерованное множество является проективным в категории тогда и только тогда, когда конечно, - разрешимая нумерация .

Действительно, пусть , а - разрешимая нумерация ; ); тогда , - рекурсивные множества. Пусть и - произвольные нумерованные множества, - эпиморфизм, а - произвольный морфизм. Из того, что , и существования морфизма следует, что . Тогда и . Пусть ; пусть . Существование элементов следует из тог, что - отображение на . Пусть - отображение из в , определенное так: . Покажем, что - морфизм. Пусть таковы, что . Определим функцию так:

Ясно, что , и из определений и сразу следует, что . Итак, - морфизм, и, очевидно, .

Пусть - произвольный проективный объект. Морфизм является эпиморфизмом, поэтому (ввиду проективности для и ) должен существовать морфизм такой, что . Ясно, что - мономорфизм. Пусть такова, что . Тогда для . Следовательно, рекурсивно, - разрешимая нумерация. Докажем одно вспомогательное утверждение.

Лемма 2. Если - счетное множество, - разрешимая нумерация , , то объект эквивалентен , т.е. .

Определим рекурсией функцию так: . Из условий леммы вытекает, что . Пусть определено так: . Для существует и обратный морфизм, для его определения введем функцию так: . Из того, что , следует, что . Поэтому существует отображение такое, что . Тогда - морфизм из в и , .

Итак, остается доказать, что не является проективным. Пусть , - разрешимая нумерация (такие нумерации существуют). Полагаем ; тогда для и не может существовать морфизма такого, что . Действительно, если бы такой морфизм существовал, то для такой, что , имели бы , т.е. , что невозможно.

Отметим еще, что О также является проективным. Очевидно, что два конечных нумерованных множества с разрешимыми нумерациями эквивалентны тогда, когда они имеют одинаковое число элементов. Поэтому существует счетное множество проективных, попарно не эквивалентных нумерованных множеств такое, что любое другое проективное нумерованное множество эквивалентно одному из этого множества. В качестве такого множества можно взять, например, последовательность 0, 1, 2, …

Нумерованное множество назовем отделимым, если - отделимая нумерация .

Наиболее удобно свойство отделимости может быть описано в следующих понятиях. Пусть - полная подкатегория категории , объектами которой являются все отделимые нумерованные множества.

Предложение 9. Существует (ковариантный) функтор (функтор отделения) и естественное преобразование тождественного функтора в такие, что

1. для любого преобразование есть факторизация;

2. для любых и отделимого нумерованного множества отображение

взаимно однозначно.

Пусть - произвольное нумерованное множество. Определим на отношение эквивалентности так:

для любого - вполне перечислимого подмножества имеет место .

Полагаем - факторизация по отношению . Из определения легко видеть, что отделимо. Через обозначим морфизм факторизации . Докажем теперь, что - «наибольший» отделимый фактор - объект , т.е. докажем, что для любого отделимого нумерованного множества и любого морфизма существует (и притом единственный) морфизм такой, что диаграмма

коммутативна.

Рассмотрим каноническое представление морфизма :

где - факторизация, а - мономорфизм. Так как ( - подобъект , а отделимо, то и отделимо. Тогда из определения отношения легко следует, что , но тогда существует отображение такое, что . Так как и - факторизации, то и - морфизмы. Этот (очевидно, единственный) морфизм и удовлетворяет соотношению . Итак, доказано свойство: отображение взаимно однозначно для отделимого . Доопределим теперь функтор . Он уже определен на объектах. Пусть - морфизм. Рассмотрим диаграмму

Так как есть морфизм из в отделимое нумерованное множество , то по доказанному выше свойству существует и притом единственный морфизм , который делает диаграмму коммутативной. Полагаем . Из определения сразу видно, что - функтор, а - естественное преобразование в .

В другой терминологии предложение 9 означает, что функтор вложения имеет левый сопряженный, а именно - функтор ).

Список литературы

1. Ершов Ю.Л. «Теория нумераций», Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, Москва, 1997 г., 416 с.