Численные методы решения типовых математических задач

На рисунке 4.1 представлена схема алгоритма решения задачи №4.

На рисунке 4.2 представлена схема алгоритма ввода исходных данных (подпрограмма-процедура vvod).

На рисунке 4.3 представлена схема алгоритма вычисления значения функции (подпрограмма-функция func).

На рисунке 4.4 представлена схема алгоритма вычисления интеграла (подпрограмма-функция integral).



Рисунок 4.1 - Блок-схема алгоритма решения задачи №4



Рисунок 4.2 - Блок-схема алгоритма ввода данных



Рисунок 4.3 - Блок-схема алгоритма вычисления значения функции



Рисунок 4.4 - Блок-схема алгоритма вычисления интеграла

4.6 Текст программы

Далее приведен текст программы вычисления интеграла с помощью составной формулы трапеций.

program trapetsii;

uses crt,graph;

Var a,b,e:real;

n:integer;

Procedure vvod(var lev,prav,tochnostb:real;var kolvo_razbieniy:integer);

var s:string; code:integer;

begin

repeat

writeln('введите нижний предел интегрирования');

readln(s);

val(s,lev,code);

until code=0;

repeat

writeln('введите верхний предел интегрирования, больший, чем нижний');

readln(s);

val(s,prav,code);

until (code=0) and (prav>lev);

repeat

writeln('введите количество разбиений интервала интегрирования');

readln(s);

val(s,kolvo_razbieniy,code);

until (code=0) and (kolvo_razbieniy>0);

repeat

writeln('введите точность вычисления');

readln(s);

val(s,tochnostb,code);

until (code=0) and (tochnostb>0);

end;

function func(x:real):real;

{Вычисление значения функции в узле интегрирования}

begin

func:=sin(x)/(1+sqr(x));

end;

function integral(lev,prav:real;kolvo_razbieniy:integer):real;

{Вычисление интеграла для данного количества разбиений}

var h,s:real;

i:integer;

begin

h:=(lev-prav)/kolvo_razbieniy;

s:=func(lev)*h/2;

for i:=1 to kolvo_razbieniy-1 do

begin

S:=S+func(lev+i*h)*h;

end;

s:=s+func(prav)*h/2;

integral:=s;

end;

procedure grafik(l,p:real);

{Построение графика функции f(x)=sin(x)/(1+x^2)}

var driver,mode,Err,c,d,z,i:integer; s:string; x,y:real;

begin

driver:=detect;

InitGraph(driver,mode,'d:\tp7\bp\bgi');

err:=graphresult;

if err<>grok then writeln('Ошибка при инициализации графического режима')

else

begin

Setcolor(9);

line(320,0,320,500);

line(0,250,640,250);

settextstyle(smallfont,horizdir,3);

setcolor(10);

outtextxy(320,255,'0');

c:=0;

d:=500;

z:=-5;

for i:=0 to 10 do

begin

if z<>0 then

begin

str(z,s);

setcolor(10);

outtextxy(c,255,s);

outtextxy(325,d,s);

setcolor(8);

line(0,d,640,d);

line(c,0,c,500);

end;

c:=c+64;

d:=d-50;

z:=succ(z);

end;

end;

x:=-5;

y:=sin(x)/(1+sqr(x));

while x<=5 do

begin

moveto(round(320+x*64),round(250-y*50));

setcolor(5);

x:=x+0.01;

y:=sin(x)/(1+sqr(x));

lineto(round(320+x*64),round(250-y*50));

end;

setcolor(11);

line(320,250,320,250);

line(round(320+l*64),round(250-(sin(l)/(1+sqr(l)))*50),round(320+l*64),250);

line(round(320+p*64),round(250-(sin(p)/(1+sqr(p)))*50),round(320+p*64),250);

readln;

closegraph;

end; end;

{Основная часть}

begin

clrscr;

writeln('ПРОГРАММА ВЫЧИСЛЯЕТ ИНТЕГРАЛ МЕТОДОМ ТРАПЕЦИЙ');

writeln(' -------------------------------------------------------');

writeln('ДЛЯ ФУНКЦИИ F=SIN(X)/(1+X^2)');

writeln(' -------------------------------------------------------');

vvod(a,b,e,n);

writeln(' -------------------------------------------------------');

while abs(integral(a,b,n)-integral(a,b,n*2))>e do n:=2*n;

writeln(' integral raven:=',integral(a,b,n*2):5:7);

writeln('Нажмите Enter для просмотра графика функции, а потом еще раз для выхода из программы');

readln;

grafik(a,b);

end.

4.7 Тестовый пример

Вычислить I=? sin(x)/(1+x^2)dx

Решение: Воспользуемся математическим программным пакетом Mathcad13.

На рисунке 4.5 приведен пример работы программы вычисления интеграла данной функции по составной формуле трапеций, на рисунке 4.6 - график данной функции.

Рисунок 4.5 - Тестовый пример работы программы вычисления интегралов функций по составной формуле трапеций

y(x)=sin(x)/(1+x^2)

Рисунок 4.6 - График функции y(x)=sin(x)/(1+x^2)

Заключение

Составленные программы решают достаточно трудоемкие задачи, такие, как решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса-Зейделя, интерполирование функции, заданной в узлах, методом Вандермонда (решение системы уравнений, составленных по условиям интерполяции), среднеквадратичное приближение функции, заданной в узлах, вычисление интеграла функции с использованием составной формулы трапеций, для выполнения которых вручную приходится выполнять большое количество однотипных операций, что повышает вероятность ошибки. Привлечение же ЭВМ позволяет сократить эту вероятность во много раз. На примере курсовой работы видно, что использование циклов, процедур и функций позволяет сократить объем и удельный вес вычислений, упорядочить, упросить и обобщить алгоритм решения, сделать его более наглядным, еще больше повышается эффективность численных методов.

Список используемых источников

1.Пирумов У.Г. Численные методы.- М,: Издательство МАИ ,1998.

2.Амоносов А.А. и др. Вычислительные методы для инженеров.- М.,:Высшая школа, 1994.

3.Бахвалов Н.С. ,Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -

М.,:Наука, 1983.

4. Фаронов В. В. Turbo Pascal 7.0. Практика программирования. Учебное пособие. - М., «Нолидж», 1999.

5. Петров А. В. Вычислительная техника и программирование. Учебник для технических вузов. - М.: Высшая школа, 1990.