Применив формулу, выражающую расстояние между двумя точками по их координатам, выводится формула определения абсолютной величины (модуля) вектора с координатами а₁ и а₂, которая будет равна .

Теорема. Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. Обратная: если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.

Данную теорему и обратную ей можно доказать двумя способами.

Доказательство 1. Пусть А₁(х₁; у₁) и А₂(х₂; у₂) - начало и конец вектора . Так как равный ему вектор получается из вектора параллельным переносом, то его началом и концом будут соответственно , . Отсюда видно, что оба вектора и имеют одни и те же координаты: х₁-х₂, у₁-у₂.

Обратное утверждение доказывается следующим образом. Пусть соответствующие координаты векторов и равны. Докажем, что векторы равны.

Пусть и - координаты точки , а и - координаты точки . По условию теоремы: , . Отсюда , . Параллельный перенос, заданный формулами

, ,

переводит точку А₁ в точку , а точку А₂ в точку , т.е. векторы и равны, что и требовалось доказать.

Доказательство 2. Пусть векторы и равны. Это значит, что они имеют одинаковые направления и равные длины: (см. рисунок 4). прямоугольные треугольники А₁А₂А и В₁В₂В равны по гипотенузе и острому углу. Из их равенства следует равенство катетов: А₁А=В₁В и АА₂=ВВ₂ или, учитывая координаты точек А₁(х₁, у₁), А₂(х₂, у₂), В₁(х₃, у₃), В₂(х₄, у₄), получим х₂-х₁=х₄-х₃ и у₂-у₁=у₄-у₃.т.е. координаты равных векторов равны.

Пусть координаты векторов и равны. Тогда катеты прямоугольных треугольников А₁А₂А и В₁В₂В равны и А₁А₂А=В₁В₂В. Из равенства треугольников следует равенство гипотенуз А₁А₂ и В₁В₂, т.е. , и параллельность прямых А₁А₂ и В₁В₂, так как А₁А₂А=В₁В₂В. Следовательно, векторы и равны, так как они имеют одинаковые направления и равные длины. Что и требовалось доказать.

Задача 1. Доказать, что четырехугольник АВСD - параллелограмм, если заданы координаты его вершин: А (2; 3), В (4; 4), С (8; 4), D (6; 1). [1]

Решение. Точки А, В, С, D не лежат на одной прямой. Рассмотрим векторы и . Вычислим их координаты , . Координаты векторов одинаковы, поэтому . Из равенства векторов следует, что и , т.е. у четырехугольника ABCD две противолежащие стороны равны и параллельны, следовательно, он - параллелограмм.

Задача 2. Даны три точки: А (1; 1), В (-1; 0), С (0; 1). Найдите такую точку D (x; у), чтобы векторы и были равны. [9]

Решение. Вектор имеет координаты -2, -1. Вектор имеет координаты х-0, у-1. Так как =, то х-0=-2, у-1=-1. Отсюда находим координаты точки D: х=-2, у=0.

Задача 3. Даны три вершины параллелограмма ABCD: А (1; 1), В (3; 4), С (8; 5). Найти координаты четвертой вершины D и точку пересечения диагоналей. [1]

Решение. Точка пересечения диагоналей - середина каждой из диагоналей. Поэтому она является серединой отрезка АС и имеет координаты:

; .

Так как точка пересечения диагоналей является серединой отрезка BD, можно найти координаты четвертой вершины D:

; .

Отсюда х=6, у=2, т.е. D (6; 2).

Сложение и вычитание векторов

Суммой векторов и с координатами а₁, а₂ и b₁, b₂ называется вектор с координатами а₁+b₁, a₂+b₂, т.е.

.

Для любых векторов , , имеют место следующие свойства:

1) (переместительный закон);

2) (распределительный закон);

3) .

Для доказательства достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, стоящих в правой и левой частях равенств. Мы видим, что они равны. А векторы с соответственно равными координатами равны.

Теорема. Каковы бы ни были точки А, В, С имеет место векторное равенство .

Доказательство. Пусть , , - данные точки (см. рисунок 5). Вектор имеет координаты , , вектор имеет координаты , . Следовательно, вектор имеет координаты , . А это есть координаты вектора . Значит, векторы и равны. Теорема доказана.

Доказанная теорема дает возможность следующего графического построения суммы произвольных векторов и . Надо от конца вектора отложить вектор равный вектору . Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец - с концом вектора , будет суммой векторов и (см. рисунок 6). Такой способ называется «правилом треугольника» сложения векторов.

Для двух векторов с общим началом сумма может также изображаться диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах. Такой метод построения называется «правилом параллелограмма». Действительно, , а . Значит, (см. рисунок 7).

Разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор : . Отсюда находим координаты вектора : , . Очевидно, что вектор совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и . Началом его является конец вычитаемого вектора , концом - конец уменьшаемого вектора (см. рисунок 7).

Задача 1. С какой силой F надо удерживать груз весом Р на наклонной плоскости, чтобы он не сползал вниз (см. рисунок 8). [9]

Решение. Пусть О - центр тяжести груза, к которому приложена сила Р. Разложим вектор по двум взаимно перпендикулярным направлениям, как показано на рисунке. Сила перпендикулярна наклонной плоскости и не вызывает перемещения груза. Сила , удерживающая груз, должна быть равной по величине и противоположной по направлению силе . Поэтому .

Задача 2. Докажите, что точка Х лежит на прямой АВ тогда и только тогда, когда для некоторого t и любой точки O. [11]

Решение. Точка Х лежит на прямой АВ тогда и только тогда, когда , т.е. .

Задача 3. Дано несколько точек и для некоторых пар (А, В) этих точек взяты векторы , причем в каждой точке начинается столько же векторов, сколько в ней заканчивается. Докажите, что сумма всех выбранных векторов равна . [11]

Решение. Возьмем произвольную точку О и запишем все выбранные векторы в виде . В силу условия задачи каждый вектор , в сумму всех выбранных векторов войдет со знаком «плюс» столько же раз, сколько и со знаком «минус». Следовательно, сумма этих векторов будет
равна .

Умножение вектора на число

Произведением вектора на число называется вектор , т.е. .

Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами для любых векторов и любых чисел:

1) , ;

2) (ассоциативность);

3) (дистрибутивность относительно векторного множителя;

4) (дистрибутивность относительно числового множителя.

Теорема. Абсолютная величина вектора при совпадает с направлением вектора , если , и противоположно направлению вектора , если .

Доказательство. Построим векторы и , равные и соответственно (О - начало координат). Пусть и - координаты вектора . Тогда координатами точки А будут числа и , а координатами точки В будут и (см. рисунок 9). Уравнение прямой ОА имеет вид: .

Так как уравнению удовлетворяют координаты точки , то ему удовлетворяют и координаты точки . Отсюда следует, что точка В лежит на прямой ОА. Координаты и любой точки С, лежащей на полупрямой ОА, имеют те же знаки, что и координаты и полупрямой, дополнительной к ОА, имеют противоположные знаки.

Поэтому если , то точка В лежит на полупрямой ОА, а следовательно, векторы и одинаково направлены. Если , то точка В лежит на дополнительной полупрямой, векторы и противоположно направлены.

Абсолютная величина вектора равна:

.

Теорема доказана.

Задача 1. Даны векторы , . Найти координаты вектора . [1]

Решение. Координаты векторов будут равны и . Разность векторов и имеет координаты, равные разности координат векторов и , т.е. .

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Теорема. Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов и отличных от нуля является существование числа такое, что .

Доказательство. Допустим, векторы и одинаково направлены. Векторы и одинаково направлены и имеют одну и ту же абсолютную величину . Значит, они равны: , .

В случае противоположно направленных векторов и аналогично заключаем, что , , что и требовалось доказать.

Пусть и - отличные от нуля неколлинеарные векторы. Докажем, что любой вектор можно представить в виде .

Пусть А и В-начало и конец вектора (см. рисунок 10). Проведем через точки А и В прямые, параллельные векторам и . Они пересекутся в некоторой точке С. Имеем: . Так как векторы и коллинеарны, то . Так как векторы и коллинеарны, то . Таким образом, , что и требовалось доказать.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов и называется число .

Для скалярного произведения векторов используется такая же запись, как и для произведения чисел. Скалярное произведение обозначается и называется скалярным квадратом. Очевидно, .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1) (коммутативность);

2) (ассоциативность);

3) (дистрибутивность).

Углом между ненулевыми векторами и называется угол ВАС. Угол между любыми двумя ненулевыми векторами и называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.

Теорема. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Доказательство. Пусть и - данные векторы и - угол между ними. Имеем:

,

или

.

Отсюда видно, что скалярное произведение выражается через длины векторов , и , а поэтому не зависит от выбора системы координат, т.е. скалярное произведение не изменится, если систему координат выбрать специальным образом. Возьмем систему координат ху так, как показано на рисунке 11. При таком выборе системы координат координатами вектора будут и 0, а координатами вектора будут и . Скалярное произведение . Теорема доказана.

Из доказанной нами теоремы следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Задача 1. Даны векторы и . Найти длину вектора , если известно, что =4, =3, а угол между векторами и равен 60. [1]

Решение. Согласно одного из свойств скалярного произведения векторов , . Следовательно, .

Задача 2. Вычислить косинусы углов А и В треугольника АВС, вершины которого имеют следующие координаты: А (1; 6), В (1; 1), С (4; 1). [1]

Решение. Согласно определению скалярного произведения векторов и , , найдем .

Вычислим координаты векторов и : , , ; .

Затем вычислим координаты векторов и : (0; 5), (3; 0), . Следовательно, , и .

Задача 3. В точках М₁(х₁; у₁), М₂(х₂; у₂) сосредоточены массы, соответственно равные m₁ и m₂. Найти координаты центра тяжести системы этих
масс. [1]

Решение. Известно, что центр масс С лежит на отрезке М₁М₂ и удален от точек М₁ и М₂ на расстояние, обратно пропорциональные массам m₁ и m₂, т.е. точка С, являющаяся центром тяжести системы двух материальных точек, делит отрезок М₁М₂ в отношении . Используя формулы для нахождения координат середины отрезка ; и подставляя в них значение , после преобразований находим координаты точки С:

; .

Задача 4. Пусть О - центр описанной окружности треугольника АВС, а точка Н обладает тем свойством, что . Докажите, что Н - точка пересечения высот треугольника АВС. [11]

Решение. Докажем что .

и , поэтому , так как О - центр описанной окружности. Аналогично доказывается, что и .

Разложение вектора по координатным осям

Вектор называется единичным, если его абсолютная величина равна единице. Единичные векторы, имеющие направления положительных координатных полуосей, называются координатными векторами или ортами. Обычно их обозначают следующим образом на оси х и на оси у (см. рисунок 12).

Так как координатные векторы отличны от нуля и не коллинеарны, то любой вектор допускает разложение по этим векторам:

. (*)

Найдем коэффициенты и этого разложения. Умножим обе части равенства (*) на вектор . Так как

, , , то .

Аналогично, умножая обе части равенства (*) на вектор получим .

Таким образом, для любого вектора получается разложение

.

Задача 1. Найти координаты единичного вектора, одинаково направленного с вектором (3; 4).

Решение. Длина вектора равна . Длина единичного вектора , направленного одинаково с вектором , равна единице.

Чтобы вычислить координаты вектора , разделим обе части предыдущего равенства на :

.

Следовательно, координаты единичного вектора , одинаково направленного с вектором , равны .

6. Примеры задач, решаемых с помощью векторов

Задача №1.

Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон и середин диагоналей произвольного четырехугольника, имеют общую середину.



ABCD - данный четырехугольник.

K, L, M, N - середины сторон AB, BC, CD, DA.

P, Q - середины диагоналей AC, BD.

S₁, S₂, S₃ - середины отрезков KM, LN, PQ.

По правилу параллелограмма, если K - середина AB, то для любой точки O будет

. Аналогично, .

Тогда . Аналогично .

Таким образом, S₁ = S₂ = S₃ = S - общая середина отрезков KM, LN, PQ.

Задача №2.

Дан четырехугольник ABCD. Прямая, проходящая через точку A параллельно BC, пересекает BD в точке M, а прямая, проходящая через точку B параллельно AD, пересекает AC в точке N. Доказать, что MN параллельна CD.



Пусть O - точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. Тогда BOC подобен MOA с коэффициентом подобия б, следовательно, и . Далее, DOA подобен BON с коэффициентом подобия в, следовательно, и . Теперь

Таким образом, CD ¦MN.

Задача №3.

Дан пятиугольник ABCDE. Середины сторон AB и CD, а также BC и DE соединены отрезками. Середины H и P полученных отрезков снова соединены. Доказать, что HP ¦AE и .

K, L, M, N - середины сторон AB, BC, CD, DE.

H, P - середины отрезков KM и LN.

Рассуждая так же, как и в Задаче №1, получим, что для любой точки O будет и . Отсюда , и значит HP ¦AE и .

Задача №4.

Доказать, что в трапеции прямая, соединяющая точки пересечения диагоналей и продолжений боковых сторон делит основания трапеции пополам.

ABCD - трапеция AD ¦BC. M, N - середины оснований AD и BC, , .

BPC подобен APD с коэффициентом подобия б, следовательно, и . Тогда , а значит, точка P лежит на прямой MN.

Далее BQC подобен DQA с коэффициентом подобия в, следовательно, и . Тогда , а значит, и точка Q лежит на прямой MN. Таким образом, прямая PQ проходит через точки M и N.



Задача №5.

В ABC на сторонах AB и AC отмечены точки M и N так, что , . Отрезки CM и BN пересекаются в точке K.

1.) Найти и .

2.) Выразить вектор через и .

, ,

,

,

.

Аналогично, .

По условию, и , следовательно,

, откуда получаем следующую систему уравнений:



Решая эту систему уравнений, находим: , ,

.

Рассмотрим два частных случая:

I.) K = G - точка пересечения медиан ABC. Тогда и , т.е. любые две медианы треугольника точкой их пересечения делятся в отношении , считая от вершины. Отсюда следует, что все три медианы треугольника пересекаются в одной точке G. Формула дает , откуда для любой точки O будет при , получаем, что . Это равенство означает, что G - центр тяжести ABC.

II.) K = I - центр вписанной окружности (точка пересечения биссектрис в ABC). Обозначим - длины сторон BC, AC, AB. По свойству биссектрисы , откуда . Аналогично . Находим, что и .

Формула дает , откуда для любой точки O будет .

Задача №6.

Доказать, что середины диагоналей четырехугольника, а так же середина отрезка, соединяющего точки пересечения его противоположных сторон, лежат на одной прямой (прямая Гаусса четырехугольника).

ABCD - данный четырехугольник.

, .

K, L, M - середины AC, BD, EF.

Пусть , . По формуле из Задачи №5 находим:

.

Далее: , ,

откуда: . Наконец, и . Таким образом, , а следовательно точки K, L, M лежат на одной прямой.

Задача №7.

Доказать, что высоты треугольника ABC пересекаются в данной точке H и , где: O - центр окружности, описанной около ABC.

Пусть дан ABC. Проведем высоты AA₁ и BB₁. Пусть и .

Ясно, что для любых трех векторов , , имеет место равенство: .

Обозначим: , , .

Тогда равенство примет следующий вид:

.

Поскольку и , то , откуда , следовательно и СС₁ - высота ABC.

Пусть O - центр описанной окружности. Имеем: и , поэтому:

Вычитая из первого равенства второе, получим:

или , где: . Аналогично . Если , то и , следовательно , чего не может быть. Значит или .

Если a, b, c - длины сторон BC, AC, AB, а R - радиус описанной окружности, то .

Действительно,

В частности, .

7. Материалы к электронному пособию для учителя

Далее рассмотрим планы к урокам по теме векторы. Также в них будут представлены слайды по теме и приведены примерные задания к урокам.

Интегрирующие цели:

§ Знать определение вектора, определения коллинеарных, сонаправленных и противоположно направленных векторов, равных векторов, определение и свойства умножение вектора на число;

§ Уметь изображать векторы, складывать и вычитать векторы, находить произведение вектора на число.

Понятие вектора. Равенство векторов.

1.0 Цель: усвоить определения вектора в пространстве и равенства векторов. Запомнить связанные с этими понятиями обозначения. Уметь решать задачи.

1.1. Запишите дату и тему урока в тетрадь.

1.2. Прочитайте определения из учебника.

1.3. Выполните чертёж и запишите новые понятия с помощью математических символов.

1.4 Выполните задания из учебника №741, 742, 743, 744, записывая в тетрадь только результат.

1.5 Запишите домашнее задание: выучите новые понятия, №747, 748.

Сложение и вычитание векторов. Сумма нескольких векторов.

2.0 Цель: усвоить правила треугольника и параллелограмма сложения и вычитания векторов, переместительный и сочетательный законы сложения, способ построения разности двух векторов, правило сложения нескольких векторов; научиться их применять при решении задач.

2.1. Повторите теоретические вопросы, изученные на предыдущем уроке (фронтальный опрос).

2.2. Проверьте домашнее задание (осуществи взаимную проверку с соседом).

2.3. Выполните задание для самоконтроля.

2.4. Запишите новую тему. Законспектируйте в тетрадь за учителем новые понятия.

2.5 Откройте учебник, найдите новые понятия в изучаемой теме и рассмотрите внимательно соответствующие рисунки.

2.6 Научитесь применять полученные знания. Решите из учебника: №754, 756, 758, 763, 764, 765, 768.

2.7 Запишите домашнее задание: выучите новые понятия, 769, 770, 771.

Пользуйтесь:

§ переместительным и сочетательным законами сложения;

§ правилом сложения нескольких векторов.

Умножение вектора на число.

3.0 Цель: усвоить правило умножения вектора на число и основные свойства этого действия, научиться их применять при решении задач.

3.1 Обсудите вопросы самоконтроля друг с другом из предыдущей темы:

1) В чём заключается правило сложения векторов? Примените правило треугольника и правило параллелограмма.

2) В чём заключается правило многоугольника нахождения суммы нескольких векторов?

3.2 Проверьте решение домашних задач (наличие в табель).

3.3 Запишите новую тему. Законспектируйте в тетрадь за учителем новые понятия (правило умножения вектора на число; основные свойства умножения вектора на число, сопровождая иллюстрациями).

3.4 Найдите новые понятия в тексте учебника, рассмотрите к ним рисунки, запишите эти новые понятия.

3.5 Для усвоения новой темы решите задачи: №776, 777, 669.

Запишите домашнее задание: выучите новые понятия, №782, 783.

Сделайте вывод: хорошо ли ты усвоил(а) правила треугольника и параллелограмма с умением применить чертеж или надо обратиться к записям в тетради, к учебнику.

Примените правило умножения вектора на число и основные свойства этого действия.

Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.

4.0 Цель: проверить знания, умения и навыки по изученным темам.

4.1 Ответьте на вопросы самоконтроля соседу по парте, чередуя ответы, тем самым вы готовитесь к устному зачёту по главе:

§ сформулируйте определение вектора, определение нулевого вектора;

§ сформулируйте определение длины вектора, чему равна длина нулевого вектора;

§ сформулируйте определение сонаправленных векторов;

§ сформулируйте определение противоположно направленных векторов;

§ сформулируйте определение равенства векторов;

§ расскажите правило треугольника сложения двух векторов и правило параллелограмма;

§ расскажите правило умножения вектора на число.

4.2 Проверьте домашнее задание (наличие в табель).

Выходной контроль - тест.

Запишите домашнее задание: №803, 805, 806.

Обратите внимание на критерии оценок, которые были обговорены раньше на уроках.

Проиллюстрируйте вектора, используя изображение параллелепипеда, выполните всё в тетради, рассказывая друг другу правила и определения. Задания выходного контроля выполните в тетради. Осуществите самопроверку по ответам. Оценки занесите в табель контроля по главе IV.

Ответьте себе на вопросы:

· Удовлетворяет ли тебя твой уровень усвоения знаний? Может быть надо больше готовиться к уроку дома?

· Достиг(ла) ли ты цели трёх уроков? Для этого вернитесь к началу модуля и прочтите, какие перед вами стояли цели.

На каждом уроке, после объяснения учителем нового материала, учащиеся оценивают уровень усвоения того или иного понятия и отмечают это в листе в графе «В классе» («+» или «-»). На последующих уроках при построении дифференцированной работы с учащимися учитель, видя минусы в проверочном листе, строит индивидуальную программу для каждого с целью ликвидации этих пробелов.

За 2-3 урока до контрольной работы ребята при выполнении домашнего задания оценивают свои знания и заполняют вторую графу. В младших классах среднего звена такая домашняя работа может быть проведена совместно с родителями, которые проверяют и оценивают материал из раздела «Знать». Естественно, не все родители владеют математикой в такой степени, чтобы проверить знание каких-то определений и алгоритмов, но в этом случае им поможет «Понятийный словарь» их ребенка, в котором записаны все эти понятия. После этого на уроке проводится самостоятельная работа, и идет оценивание второго раздела «Уметь» проверочного листа. До контрольной работы еще остается время, когда можно построить работу на уроке таким образом, чтобы ликвидировать пробелы.

Проверочный лист

Дата контрольной работы: ______________

Ф.И. ученика: _________________ Класс: _____________

Для того, чтобы успешно написать контрольную работу по геометрии по теме «Векторы», необходимо

	В классе	Дома	Перед к/р
Знать:
Определение вектора
Понятие равных векторов
Понятие нулевого вектора
Способы обозначения векторов
Понятие длины вектора
Определение коллинеарных векторов
Понятие сонаправленных векторов
Понятие противоположно направленных векторов
Законы сложения векторов
Определение разности двух векторов
Алгоритмы сложения и вычитания векторов
Метод треугольника для сложения векторов
Метод параллелограмма для сложения векторов
Метод многоугольника для сложения векторов
Алгоритмы вычитания двух данных векторов двумя способами
Какой вектор называется произведением вектора на число
Свойства произведения вектора на число
Понятие средней линии трапеции
Правило нахождения длины средней линии трапеции
Уметь:
Изображать и обозначать векторы
Откладывать от данной точки вектор, равный данному
Определять равные векторы
Определять сонаправленные и противоположно направленные векторы
Складывать векторы: - методом треугольника - методом параллелограмма - методом многоугольника
Вычитать векторы двумя способами
Формулировать свойства умножения вектора на число
Доказывать теорему о средней линии трапеции
Решать задачи на нахождение длины средней линии трапеции
Находить длину средней линии трапеции
Умножать вектор на число

Апробация в школе

Была проведена апробация данной разработки на учащихся восьмого класса. Эксперимент проводился в двух класса с примерно одинаковым уровнем знаний. В 8 «А» классе тема давалась без использования мультимедийных средств обучения, в 8 «Б» классе урок проходил с использованием подготовленных презентаций. В конце каждого из уроков давался небольшой тест по новому материалу на пять минут. После обработки полученных результатов был проведен статистический анализ, в результате которого выяснилось, что при использовании мультимедийных средств обучения на уроке новый материал усвоился большей частью учащихся, чем без их использования. Статистическая таблица по оценкам за несколько проведенных уроков приведена ниже (на графике изображены средние значения за несколько уроков):

Таким образом, можно сделать вывод, что уже на начальном этапе работы с новой темой, при использовании мультимедийных средств обучения материал усваивается лучше и в большей степени.

Пример тестового задания

1. Выберите на Ваш взгляд наиболее верное определение вектора?

а. направленный отрезок;

б. отрезок с выбранным направлением;

в. направленный луч;

г. отрезок определенной длины.

2. Каким образом можно обозначить вектор ?

а. 0;

б. ;

в. ;

г. .

3. Каким образом обозначается длина вектора ?

а. AB;

б. ;

в. ;

г. .

4. Какие векторы называются коллинеарными?

а. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых;

б. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой;

в. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых;

г. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых;

Подведение итогов

Проведение уроков с использованием информационных технологий - это мощный стимул в обучении. Посредством таких уроков активизируются психические процессы учащихся: восприятие, внимание, память, мышление; гораздо активнее и быстрее происходит возбуждение познавательного интереса. Человек по своей природе больше доверяет глазам, и более 80% информации воспринимается и запоминается им через зрительный анализатор. Дидактические достоинства уроков с использованием информационных технологий - создание эффекта присутствия («Я это видел!»), у учащихся появляется интерес, желание узнать и увидеть больше.

Практикую в своей работе для оптимизации образовательного процесса объяснение нового материала с использованием компьютерной презентации как источника учебной информации и наглядного пособия.

Для расширения видов учебной деятельности учащихся по усвоению новых знаний и способов действий использую современные технические средства.

В своей практике применяю обучающие и контролирующие программы по отдельным темам курса математики для работы с учащимися, способными достаточно быстро усваивать учебный материал на обязательном уровне. Такие ученики поочередно работают в индивидуальном режиме за компьютером и после успешного выполнения заданий переходят к упражнениям более высокого уровня сложности. Учитель в это время с классом отрабатывает материал обязательного уровня обучения. Такая деятельность позволяет этой группе учащихся не скучать, не расслабляться, а быть занятыми собственным делом, в результате которого они заинтересованы. Применение компьютерной техники позволяет сделать занятие привлекательным и по-настоящему современным, осуществлять индивидуализацию обучения, объективно и своевременно проводить контроль и подведение итогов.

Таким образом, использование мультимедийных средств обучения на уроках - это не дань моде, не способ переложить на плечи компьютера многогранный творческий труд учителя, а лишь одно из средств, позволяющее интенсифицировать образовательный процесс, активизировать познавательную деятельность, увеличить эффективность урока.

Библиография

вектор компьютерный пособие электронный

1. Александров, А.Д. Геометрия [Текст]: Экспериментальное учебное пособие для учащихся 7 кл. средних учебных заведений / А.Д. Александров,

А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. - М.: Мирос, 1994. - 200 с.: ил.

2. Александров, А.Д. Геометрия для 8 - 9 кл. [Текст]: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / А.Д. Александров,

А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. - М.: Просвещение, 1991. - 415 с.: ил.

3. Базовая ИКТ компетенция как основа Интернет-образования учителя [Электронный документ] / Тезисы доклада А.А. Елизарова на конференции RELARN-2004 июнь 2004 г., 2004. - Ассоциация RELARN. - (http://www.relarn.ru/conf/conf2004/section3/3_11.html) 23.12.09.

4. Геометрия 7-9 [Текст]: Учеб. для общеобразоват. учреждений

/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - 16-е изд. - М.: Просвещение, 2006. - 384 с.: ил.

5. Гребенюк, О.С. Основы педагогики индивидуальности [Текст]: Учеб. пособие

/ О.С. Гребенюк, Т.Б. Гребенюк. - Калинингр. гос. ун-т. - Калининград,

2000. - 572 с.

6. Кожекина, Т.В., Никифоров Г.Г. Пути реализации связи с математикой в преподавании физики [Текст] / Т.В. Кожекина, Г.Г. Никифоров // Физика в школе. - 1982. - №3. - C. 14-17

7. Межпредметные связи в учебном процессе. / Под. ред. Дмитриев С.Д. - Киров. - Йошкар-Ола: Кировский гос. пед. ин-т, 1978. - 80 с.

8. Обухова, Л.Ф. Детская психология [Текст]: теории, факты, проблемы / Л.Ф. Обухова. - 3-е изд., стер. - М.: Тривола, 1998. - 351 с.

9. Погорелов, А.В. Геометрия [Текст]: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. / А.В. Погорелов. - М.: Просвещение, 1992. - 383 с.: ил.

10. Подласый, И.П. Педагогика [Текст]: 100 вопросов - 100 ответов: учеб. пособие для вузов / И.П. Подласый. - М.: ВЛАДОС-пресс, 2004. - 365 с.

11. Смирнова, И.М. Геометрия [Текст]: 7-9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. - 3-е изд., стереотип. - М.: Мнемозина, 2008. - 376 с.: ил.

12. Урсова, О.В. Педагогические аспекты программы Intel ? «Обучение для будущего» как важное условие формирования развивающего потенциала ИКТ в системе повышения квалификации учителей [Электронный документ]

/ Развивающий потенциал информационных технологий: Материалы учебно-методического семинара слушателей программы Intel ?«Обучение для

будущего» / О.В. Урсова. - Псков: ПОИПКРО, 2005. - 47 с.

13. Федеральный перечень учебников на 2008-2009 учебный год. - [Электронный документ] / Министерство образования и науки РФ. - (http://fsu.edu.ru/D97aal.htmlV). 15.11.2009.

14. Чернявская, А.П. Образовательные технологии [Текст]: Учебно-методическое пособие / А.П. Чернявская, Л.В. Байбородова. - Ярославль: изд-во ЯГПУ им. К.Д. Ушинского, 2005. - 78 с.

15. Шарыгин, И.Ф. Геометрия [Текст]: 7 - 9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / И.Ф. Шарыгин. - 7-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2004. - 368 с.: ил.

16. Ястребцева, Е.Н. Система обеспечения качества программы обучения учителей школ и студентов педагогических специальностей [Электронный документ] / Сайт программы Intel ? «Обучение для будущего»,

2006. - (http://www.iteach.ru/about). 23.12.09.

Размещено на Allbest.ru