Проектирование творческих задач для учащихся средней ступени на материале знаменитых задач древности
Общая характеристика знаменитых задач древности. Анализ средств решения задач о трисекции угла, об удвоении куба и о квадратуре круга. Творческая задача как форма освоения подростками математической деятельности. Описание логики решения творческих задач.
| Рубрика | Педагогика |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.08.2011 |
| Размер файла | 2,9 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Четвертый этап - практическая проверка гипотезы, реализация изобретения, объективизация результатов.
В схеме структуры творчества А. М. Матюшкина [14] также выделяются как особые этапы нахождение принципа решения, его разработка и реализация. Это важно отметить, поскольку немалое число исследователей творчества не выделяют их.
Ж. Адамар [1] различает следующие четыре этапа математического творчества: подготовка, инкубация, озарение и изложение результатов. На первом этапе происходит сознательная работа - формулирование проблемы, ее обдумывание, поиски путей решения, осознание трудности проблемы. На втором этапе - этапе инкубации - проблема оставлена на некоторое время, происходит бессознательная работа, в результате которой возможно озарение, совершение открытия. А. Пуанкаре [1] показывает необходимость и важность четвертого и последнего этапа, который вновь является сознательным процессом. Это необходимо не только ради очевидной цели изложить устно или письменно полученные результаты, но и для проверки результатов, их завершения, уточнения, оценки собственной работы.
Выделим следующие важные характеристики творчества [3].
q Творчество тесно связано с познавательной деятельностью. Акт творчества - это акт познания мира. Математическое творчество - это форма овладения математическими знаниями.
q Необходимым условием начала творческого поиска (исследования) является осознание проблемы, ее постановка; процесс творчества - это процесс решения проблемы. В процессе творчества формулировка проблемы претерпевает изменения, уточняется, ее решение распадается на ряд задач. Разными авторами отмечается этапность, цикличность в решении проблемы, то есть наличие истории творческого поиска.
Средством исследования проблемной ситуации, проблемы, задачи и орудием их разрешения является гипотеза [23]. Гипотеза, или проба решения, даже если она неверна, подготавливает представление о верном пути решения. Гипотеза - основная форма творческого мышления.
Отметим, что творчество в математике связано с получением новых утверждений о свойствах математических объектов (этапом выдвижения и проверки гипотез), формулированием новых теорем и поиском способов доказательства и (лишь на последнем этапе) проведением строгих доказательств. творческий задача древность решение
q Творческая деятельность оригинальна. В процессе творчества всегда создается новая вещь (получается новый математический результат), совершается открытие, применяются либо новые средства, способы, либо новые программы деятельности.
Однако все «новое» здесь не означает «никогда ранее не существовавшее» - результат может быть объективно уже известным, но индивидуально, «психологически новым», то есть достигнутым собственными силами (математик может «передоказать» важную теорему, не зная, что она уже кем-то доказана), и в этом случае тоже говорят о творчестве. О. И. Табидзе [18] отмечает, что новизна творчества может быть различной: видимостной (когда субъекту кажется, что он является первооткрывателем, а на самом деле он повторяет уже известное), психологической (когда результат не нов объективно, но достигнут собственными силами субъекта), «региональной» (новой для определенного круга, но не новой для истории человечества) и действительно объективной, общечеловеческой. Творчеством следует считать не всякое открытие, а лишь такое, которое имеет объективно ценностный характер. Творчество - это открытие объективных ценностей. Этим объясняются всеобщее (интерсубъективное) значение результатов творчества и постигающий характер творческой деятельности. Именно объективная ценность движет творческой личностью, определяет особенности творческого процесса. В математическом творчестве объективной ценностью является истина.
Применительно к математическому творчеству учащихся речь идет в большей степени о психологической новизне творчества и лишь в редких случаях можно говорить об объективной новизне.
q Обсуждая творчество учащегося, специально отмечают наличие активной личностной позиции по отношению к познанию, личную заинтересованность в творческой деятельности, эмоционально окрашенное отношение к исследуемому материалу [11].
Нецелесообразно развивать творчество в отрыве от личной заинтересованности учащихся в творческой деятельности. Однако особенности взаимосвязи творчества и личности до сих пор являются слабоизученными. М. М. Кашапов и Ю. А. Табакова выделяют следующие психические компоненты - стимуляторы творческой активности: сензитивность к стимулам определенного рода, внутренний интерес, способность предвосхищения результата, степень владения материалом, активизация эмоциональных переживаний в процессе встречи с творческим материалом. Чтобы добиться вовлеченности школьника в процесс творчества, необходимо поощрение инициативы, активности, оригинальности, вовлечение эмоций и внутренней мотивации. Cамоопределение ребенка как исследователя математика связано с таким неявным, но реальным и существенным фактором образовательного процесса [20], как дух творчества, эмоциональная атмосфера.
Для развития исследовательской, творческой, познавательной деятельности нужно искать способы особой, побуждающей к творчеству обстановки на занятиях. Можно предложить следующие рекомендации по созданию творческой атмосферы, сформулированные С. Парнсом [12].
q Устранять внутренние препятствия творческим проявлениям. Чтобы ученики были готовы к творческому поиску, надо помочь им обрести уверенность в своих отношениях с окружающими - соучениками, учителем. Их не должно тревожить, будут ли приняты, или не будут ли осмеяны их соображения. Они не должны бояться сделать ошибку.
q Уделять внимание работе подсознания. Даже когда проблема не находится непосредственно в центре внимания, наше подсознание может незаметно для нас самих работать над ней. Некоторые идеи могут на мгновение «показаться на поверхности»; важно вовремя пометить и зафиксировать их, чтобы впоследствии прояснить, упорядочить и использовать.
q Воздерживаться от оценок. Благодаря этому учащиеся смогут расширить русло для потока идей, больше времени и внимания уделить свободному размышлению над проблемой.
q Показывать учащимся возможности использования метафор и аналогий для творческого поиска, отыскания новых ассоциаций и связей. Возможности творческого поиска расширяются за счет неочевидных сопоставлений, сравнений. Образное мышление на основе метафорических сравнений нуждается в поддержке и развитии. Работа с метафорами предполагает не просто побуждение к образному мышлению, но сочетание спонтанности в создании образов и целенаправленности в их осмыслении, включении в решение творческой задачи.
q Давать возможность умственной разминке. Поначалу сама обстановка совместного группового поиска решений может показаться непривычной, вызвать растерянность. Надо дать возможность учащимся освоиться в новой для них ситуации.
q Поддерживать живость воображения. Необходимо поддерживать проявления фантазии, свободного воображения, т.к. они являются фундаментом творческого мышления.
q Расширение фонда знаний. Объем имеющихся сведений - это база, на основе которой создаются новые идеи. Однако зависимость творческих возможностей от осведомленности, информированности неоднозначна. Усвоение информации не заменяет и само по себе не развивает умения думать.
q Помогать учащимся видеть смысл, общую направленность их творческой деятельности, видеть в этом развитие собственных возможностей решать творческие задачи.
Все перечисленные рекомендации осуществимы лишь в условиях свободного обмена мнениями, идеями, в обстановке живого обсуждения, творческой дискуссии. Еще одна их черта - личностная включенность учащихся, создать которую можно лишь при соответствующей включенности самого учителя.
Самоопределение учащегося как выполняющего творческую работу есть только первый его шаг к реальному математическому исследованию.
Таким образом, можно считать, что учащийся решает творческую задачу, если:
q он сам сформулировал задачу, которую решает, причем формулирование учащимся задачи выступило как средство решения стоящей перед ним проблемы;
q учащийся выдвигает и проверяет гипотезы о возможных решениях;
q учащийся находит оригинальные способы решения задачи;
q сам по себе полученный результат ценен и значим для учащегося;
q учащийся «вовлечен» в работу с проблемой, эмоционально переживает процесс исследования.
Глава 3. Новая форма изучения знаменитых задач древности в школе средней ступени
Эта форма состоит в решении творческой задачи, в некотором смысле воспроизводящем исторический ход решения задач древности. Самостоятельное решение знаменитых задач древности соответствует исторической линии развития этих задач: восхождение от методов древности к современным математическим теориям.
§1. Описание логики решения творческих задач
Логика постановки творческих задач не соответствует той логике, в которой они возникали в истории. Сначала детям предлагаются простые задачи, с которыми учащиеся легко справляются, их решение позволяет учащимся включиться в исследовательскую работу, поставить проблему существования общего решения задачи. Самостоятельный поиск решений на данном этапе является критерием того, что учащиеся приняли задачу как творческую. Все предложенные способы должны быть проверены. После этого формулируется гипотеза о необходимости привлечения дополнительных средств, так как средствами циркуля и линейки задачу решить не удается.
Дополнительные средства вводятся как исторический материал, задача учащихся их проанализировать, развить или обобщить и применить для решения своих задач.
Учащиеся, пишущие творческую работу по теме «Знаменитые задачи древности» проводят самостоятельное исследование задач в режиме консультаций с руководителем.
Рассмотрим логику решения каждой задачи.
Задача о трисекции угла
Требуется произвольный угол разделить на три равные части.
|
1. Решение простых задач. |
Задача о трисекции угла не предлагается детям в общем виде. Перед учащимися ставится задача разделить прямой угол на три равные части при помощи циркуля и линейки. Такое построение выполняли еще древние греки. Затем задание усложняется - нужно разделить на три равные части угол 45о. Эти два задания не должны вызвать трудности у учащихся, так как основные построения циркулем и линейкой им известны. |
|
|
2. Создание ситуации затруднения. |
После этого ставится задача, неразрешимая средствами циркуля и линейки - разделить на три равные части угол 60о. На этом этапе возникнет затруднение, проблема, можно ли разделить угол 60о на три равные части. Можно ли вообще произвольный угол разделить на три равные части при помощи циркуля и линейки? Таким образом, сформулирована задача о трисекции угла. |
|
|
3. Осознание недостаточности средств для решения задачи. |
Так как для двух углов задачу решить удалось, то можно попробовать обобщить эти задачи, найти еще углы, для которых можно выполнима трисекция при помощи циркуля и линейки. Учащимися, пишущими творческую работу, будет выделен класс углов, которые можно разделить на 3 равные части при помощи циркуля и линейки, способом, основанным на делении прямого угла. Затем школьниками будет предложено несколько способов трисекции угла, все они должны быть проверены, и доказано, что они дают неверный результат, или используют не только циркуль и линейку. На основании этого можно выдвинуть гипотезу, что задача о трисекции угла неразрешима в общем виде, только при помощи циркуля и линейки. Если же использовать какое-либо дополнительное условие, накладываемое на средства, то задача может стать разрешимой. |
|
|
4. Введение дополнительного средства (исторический материал). |
В качестве первого решения, использующего дополнительное условие, учащиеся рассматривают способ Архимеда. Текст решения им предлагается для самостоятельного изучения.Далее школьниками изучается построение квадратрисы |
|
|
5. Анализ и применение средств. |
Учащиеся должны выделить, какое дополнительное условие использовал Архимед и доказать его способ. Исследуя способ Архимеда, нужно определить границы его использования, попытаться обобщить его.Учащимися выделяется основное свойство квадратрисы. После этого выполняется трисекция острого угла при помощи квадратрисы, основанная на ее свойстве. Одним из направлений дальнейшего исследования может быть изучение квадратрисы, деление с ее помощью произвольного угла на произвольное количество частей. |
Комментарий:
В качестве задач, создающих ситуацию успеха для учащихся и позволяющих им включиться в исследование, служат частные случаи задачи о трисекции угла.
Задача об удвоении куба
Требуется построить ребро куба, который по объему был бы в два раза больше данного куба.
|
1. Решение простых задач. |
Аналогично задаче о трисекции угла, учащимся не предлагается сразу решить задачу об удвоении куба. Сначала ставится легко решаемая задача об удвоении квадрата, т. е. построении квадрата, который превосходил бы данный по площади в два раза. |
|
|
2. Создание ситуации затруднения. |
Следующим шагом учащимся предлагается обобщить задачу об удвоении квадрата, таким образом, будет сформулирована задача об удвоении куба. Нужно попытаться решить ее аналогично предыдущей задаче. |
|
|
3. Осознание недостаточности средств для решения задачи. |
Решение задачи об удвоении куба сводится к построению циркулем и линейкой корня кубического из двух. Но провести это построение невозможно. Нужно рассмотреть построения, осуществимые при помощи циркуля и линейки, и убедиться, что корень третьей степени к ним не относится. Можно ли решить задачу об удвоении куба, используя дополнительные средства? |
|
|
4. Введение дополнительного средства (исторический материал). |
Учащимся предлагается рассмотреть предложенное Гиппократом Хиосским сведение задачи об удвоении куба к отысканию «вставок». Школьникам выдаются тексты, в которых описаны приборы для их нахождения: прибор Платона и мезолябий Эратосфена.Остается открытым вопрос, можно ли получить ребро куба без помощи «вставок». Для этого учащимся предлагается рассмотреть функции, к которым свел задачу Менехм. |
|
|
5. Анализ и применение средств. |
Нужно изучить принцип построения «вставок» и выделить, что будет являться ребром удвоенного куба. Как же найти эти «вставки»? Учащиеся должны разобраться с устройством приборов для их нахождения, восстановить построение «вставок» и выделить ребро удвоенного куба.Нужно разобраться, как получены функции Менехма, и как с их помощью построить ребро удвоенного куба. Для этого необходимо построить графики функций и найти ребро удвоенного куба по графику. |
Комментарий:
В качестве задач, создающих ситуацию успеха для учащихся и позволяющих им включиться в исследование, служат аналогичные задачи, так как выделить класс задач, имеющих решение, невозможно.
Задача о квадратуре круга
Построить квадрат, площадь которого была бы равновелика площади данного круга.
|
1. Решение простых задач. |
Сначала учащимся предлагается построить квадрат, равный по площади данному прямоугольнику, затем треугольнику. Эти задачи достаточно легко решаются. |
|
|
2. Создание ситуации затруднения. |
Тогда школьникам предлагается построить квадрат, равный по площади данному кругу. Эта задача вызывает затруднение, так как сводится к построению . |
|
|
3. Осознание недостаточности средств для решения задачи. |
Так как построить не удается, учащиеся формулируют гипотезу о неразрешимости задачи и приступают к поискам приближенного решения. Такие решения должны быть обоснованы, и указана степень точности. |
|
|
4. Введение дополнительного средства (исторический материал). |
После этого учащимся предлагается рассмотреть треугольник Бинга. В качестве еще одного средства решения задачи о квадратуре круга выступает квадратриса. Учащимся предлагается воспользоваться соотношением и теоремой, при помощи которых задачу решал Динострат. |
|
|
5. Анализ и применение средств. |
Нужно разобраться в построении треугольника Бинга, исследовать способ нахождения стороны искомого квадрата, выделить, является решение приближенным или точным.Нужно изучить построение квадратрисы и выделить ее основное свойство. Применить предложенные формулы для решения задачи. |
Комментарий:
В качестве задач, создающих ситуацию успеха для учащихся и позволяющих им включиться в исследование, служат аналогичные задачи, так как выделить класс задач, имеющих решение, невозможно.
§2. Методика постановки творческих задач
В [3] описываются особенности организации обучения математике, делающей возможным математическое творчество школьников, оставляющие за учащимися возможность выбора и свободного планирования собственной деятельности. Наличие особого способа изучения материала - постановки задачи в общем виде, ее решение лишь для некоторого подкласса объектов и проблематизация существования общего решения задачи, т.е. возникновение на самом уроке проблемы, интересной и доступной детям, - можно рассматривать как необходимое условие начала творческого поиска.
Таким образом, выделено условие, связанное с обучением в классе, проблемы вытекают из урока. Перед нами стоит другая задача - вместо урочной формы найти адекватную форму, чтобы поставить задачу, представить проблематику. Необходимо место, в котором возможна встреча учащихся с творческими проблемами, задачами. Таким местом может являться одна из форм дополнительного образования в Красноярской университетской гимназии №1 - Школе молодого ученого (ШМУ). Занятия ШМУ отвечают требованию открытости.
Планирование занятия в Школе молодого ученого требует особенного подхода. Необходимо учитывать следующие факторы:
q Заранее неизвестно количество детей. Их может быть несколько человек, а может быть несколько десятков.
q Заранее неизвестен возраст детей, из каких они классов.
q Может быть различный уровень знаний, подготовки. Проект должен быть составлен таким образом, чтобы компенсировать это различие.
q На занятии могут присутствовать учителя, должны быть специальные тексты, с которыми они могли бы работать.
q Занятие должно быть замкнуто - содержать в себе все элементы от постановки проблемы до получения результата.
На занятиях ШМУ учащиеся знакомятся с задачами, пытаются их решать, формулируют проблемы.
Кроме того, в рамках ШМУ организуются выездные интенсивные семинары, на которых происходит представление различных творческих задач, школьники осуществляют выбор темы творческой работы. Два ученика восьмого класса выбрали тему «Знаменитые задачи древности» для написания творческой работы, еще пять проявило интерес и готовность заниматься этими проблемами.
Были выделены следующие условия представления темы «Знаменитые задачи древности», за счет которых она вызвала наибольший интерес среди участников ШМУ:
1. Необходима пропедевтика темы, дети должны быть знакомы с этими задачами.
2. Тема предлагается в виде системы задач, дети должны иметь успешный опыт решения этих задач, приводящий к затруднению, кажущемуся вполне преодолимым.
3. Подчеркивается историческая значимость темы, важно, что ею занимались ученые нескольких эпох, среди них такой известный школьникам математик древности, как Архимед.
4. Немаловажную роль играет фигура руководителя. Дети должны испытывать к руководителю доверие, как предметное (осведомленность в данном вопросе), так и психологическое, что имеет особенно большое значение, когда руководителем работы является студент, новый человек для школьников.
§3. Методика введения средств решения знаменитых задач древности
Средства решения задач вводятся как исторический материал. Учащимся сообщается, какой ученый и в каком веке достиг результата, в чем заключается способ решения. Описание способов решения задач выдается в виде текстов с поставленными к ним вопросами и заданиями. Задачами детей являются:
- изучение введенного средства,
- его самостоятельное обоснование,
- исследование возможностей его применения для решения задач.
Приведем образцы учебных текстов по каждой задаче.
Задача о трисекции угла
Решение Архимеда
Оригинальное и вместе с тем очень простое решение задачи о трисекции угла дал Архимед. Пусть требуется произвольно взятый острый угол AВС разделить на три равные части. Для этого из вершины данного угла В, как из центра, произвольным радиусом R опишем окружность.
Точки пересечения сторон данного угла с окружностью обозначим через D и Е. Теперь берем линейку с двумя точечными отметками F и G, причем длина отрезка FG = R, и прикладываем ее к точке Е так, чтобы F и G оказались на одной прямой с точкой Е и чтобы F находилась на окружности, а G -- на продолжении стороны ВА. Тогда угол: ЕGD и будет составлять одну треть заданного угла АВС.
Вопросы и задания.
Каким образом Архимед делил угол на три равные части?
Доказать, что угол, построенный способом Архимеда, составляет одну треть заданного угла.
3. Какое дополнительное условие используется в способе Архимеда?
Далее учащимися могут быть решены задачи, которые неразрешимы циркулем и линейкой, например, разделить способом Архимеда углы:
А) 60о,
Б) 70о,
В) 80о.
Построение квадратрисы
В середине примерно пятого века до нашей эры Гиппий Элидский открыл новую кривую, которая была построена для деления данного угла на любое количество частей.
Пусть дан острый угол б и требуется разделить его на три равные части.
Сначала построим для некоторого квадрата АВСД квадратрису. Для этого дугу окружности ДВ и сторону АВ данного квадрата делим на 2n равных частей, где n - любое натуральное число. Для простоты положим n=4, тогда 2n=8. Делим дугу ДВ и радиус АВ на 8 равных частей. Концы полученных равных частей дуги ДВ обозначим цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Точки деления неподвижного радиуса АВ обозначим через 1', 2', 3', 4', 5', 6', 7'. Теперь точки 1 - 7 соединим прямыми с точкой А, а через точки 1' - 7' проведем прямые, перпендикулярные АВ.
Точки пересечения полученных радиусов с соответствующими прямыми, перпендикулярными АВ, и будут точками квадратрисы. Соединяя эти точки плавной кривой, мы и получаем квадратрису КВ, как непрерывную линию.
Вопросы и задания.
Каким образом строится квадратриса при n = 4?
У каждого ли квадрата есть квадратриса? Как она выглядит примерно?
Построить квадратрису при n:
А) 2, В) 5,
Б) 3, Г) 8.
В каком случае построение квадратрисы точнее?
Указать основное свойство квадратрисы.
Применяя квадратрису к решению задачи, учащиеся выделяют способ деления произвольного угла на три равные части при помощи квадратрисы. Выполняют следующие построения, деление при помощи квадратрисы на три равные части углов:
А) 60о,
Б) 70о,
В) 80о.
Далее возможны два направления обобщения задачи. Выделение общего способа деления произвольного угла на заданное количество частей при помощи квадратрисы и продолжение квадратрисы на всю окружность для деления тупых углов.
Кроме того, квадратриса была представлена на занятии ШМУ.
Проект занятия «Квадратриса как средство для решения задачи о трисекции угла»
Тема: Квадратриса.
Цели: - Знакомство с новым материалом для творческих работ;
- Привлечение новых учащихся к творческим работам.
Задачи: - Дать образец представления результатов творческой работы;
- Вести новый для учащихся объект - квадратрису, научить учащихся построению квадратрисы;
- Выделить возможные направления творческих работ, связанных с решением задач с помощью квадратрисы.
На занятии присутствуют учащиеся 7 - 9 классов. Дети должны знать, что такое угол, квадрат, окружность, уметь выполнять следующие построения при помощи циркуля и линейки:
q деление отрезка на заданное количество частей;
q деление дуги на четное число равных частей;
q построение перпендикуляра.
План занятия:
1. Организационный момент, 2 мин.
2. Первый этап, представление творческой работы, 20 мин.
3. Второй этап, построение квадратрисы, 20 мин.
4. Третий этап, решение задачи «Трисекция угла» при помощи квадратрисы, 30 - 45 мин.
5. Четвертый этап, решение задачи «Квадратура круга» при помощи квадратрисы, 15 мин. (Четвертый этап начинается в том случае, если третий этап проходит за минимальное запланированное время.)
6. Подведение итогов, 3 мин.
Ход урока:
Организационный момент.
Ведущий: Ребята, сегодняшнее занятие будет состоять из нескольких частей. Сначала Саша Турбанов и Сережа Никитин представят перед вами имеющиеся результаты их творческой работы на сегодняшний день. Затем мы познакомимся с квадратрисой. Я не скажу вам, что это такое, а подсказкой может служить то, что вас просили принести с собой циркуль и линейку. В заключительной части мы посмотрим, как нам поможет квадратриса в решении некоторых задач.
1. Первый этап, представление творческой работы.
Школьники выходят к доске, объявляют тему творческой работы «Знаменитые задачи древности. Исследование способов решения», рассказывают о проделанной работе, полученных результатах, поставленной проблеме.
Примерный план
А) Квадратура круга, приближенное решение.
Б) Трисекция угла.
q деление прямого угла;
q деление угла 45О;
q деление углов вида /2n;
q деление угла при помощи теоремы Фалеса (проверка неверной гипотезы).
Параллельно участники занятия решают задачи, выполняют построения в тетрадях.
2. Второй этап, построение квадратрисы.
В.: Как вы думаете, что такое квадратриса?
Дети высказывают свои предположения, после этого учитель переходит непосредственно к построению. Этап проходит в форме фронтального объяснения.
Построение квадратрисы
Сначала построим для некоторого квадрата АВСД квадратрису. Для этого дугу окружности ДВ и сторону АВ данного квадрата делим на 2n равных частей, где n - любое натуральное число. Для простоты положим n=4, тогда 2n=8. Делим дугу ДВ и радиус АВ на 8 равных частей. Концы полученных равных частей дуги ДВ обозначим цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Точки деления неподвижного радиуса АВ обозначим через 1', 2', 3', 4', 5', 6', 7'. Теперь точки 1 - 7 соединим прямыми с точкой А, а через точки 1' - 7' проведем прямые, перпендикулярные АВ.
Точки пересечения полученных радиусов с соответствующими прямыми, перпендикулярными АВ, и будут точками квадратрисы. Соединяя эти точки плавной кривой, мы и получаем квадратрису КВ, как непрерывную линию.
Ведущий строит квадратрису на доске, озвучивая каждое построение. Дети строят у себя в тетрадях, учитель проверяет, ходя между рядами.
После того, как дети выполняют построение, обсуждаются следующие вопросы:
У каждого ли квадрата есть квадратриса? Как она будет выглядеть примерно?
Зависит ли точность приближения от n меньше?
Возникающие вопросы и затруднения фиксируются, как возможные темы творческих работ.
3. Третий этап, решение задачи «Трисекция угла» при помощи квадратрисы.
В.: Квадратриса имеет очень интересные свойства. Давайте посмотрим, как с ее помощью можно разделить угол на три части. Мы видели, что эту задачу без квадратрисы нам решить не удалось. Но сначала мы рассмотрим деление заданного угла на две равные части.
Формулировка задачи записывается на доску. Ученикам раздаются шаблоны квадратрисы для облегчения построений. Ведущий подробно описывает каждый шаг, следит за тем, что ученики выполняют у себя в тетрадях.
Деление угла на две части при помощи квадратрисы.
Теперь при помощи квадратрисы разделим заданный острый угол б на две равные части. Для этой цели построим угол FAB, равный углу б.
Обозначим точки пересечения прямой AF с квадратрисой KB и окружностью DB соответственно через L1 и L1. Далее из точки L1 на прямую AB опустим перпендикуляр L1P. Затем отрезок PB обычным приемом разделим на 2 равные части точкой Q. В точке Q к прямой AB восстановим перпендикуляр до пересечения его с квадратрисой KB в точке L2. Соединяя точку L2 с точкой A и продолжая прямую AL2 до пересечения с окружностью DB , получим точку L2.
Поскольку дуги L1L2 и L2В равны между собой, то соответственные им центральные углы L1AL2, L2AB также равны между собой и каждый из них равен б/2. (равным отрезкам неподвижного радиуса АВ при помощи квадратрисы соответствуют и равные дуги окружности ДВ).
Ведущий производит построение на доске, дети у себя в тетрадях. Затем детям раздаются описания построения на листочках, для облегчения следующего построения.
В.: Теперь давайте попробуем, опираясь на это построение, разделить тот же самый угол на три равные части. Подумайте, как это можно сделать.
Новая задача записывается на доску. Школьники работают самостоятельно.
Через некоторое время один из учеников показывает построение на доске. Если никто не смог разделить, то дается подсказка.
В.: Давайте обратим внимание на то, за счет чего удалось разделить угол на две равные части. Выделим необходимое для этого построение (деление отрезка на две равные части).
После того, как деление угла на три равные части произведено, дается и выносится на доску следующее задание:
Выделить общий способ деления произвольного угла на заданное количество частей при помощи квадратрисы.
Далее обсуждается вопрос, какие углы можно делить при помощи квадратрисы. Как разделить угол больше угла 45?, но меньше острого угла, как разделить тупой угол.
Когда общий способ удается выделить, он озвучивается у доски и этот этап завершается.
4. Четвертый этап, решение задачи «Квадратура круга» при помощи квадратрисы.
Задача о квадратуре круга
Построить квадрат, площадь которого была бы равновелика площади данного круга.
Решение Динострата при помощи квадратрисы
Пусть ANB - четверть окружности, расположенной в квадранте АОВ, а АМС - квадратриса этого квадранта. Далее Динострат воспользовался соотношением, которое позднее было доказано Паппом Александрийским: АNВ : ОВ = ОВ : ОС, где С - конечная точка квадратрисы.
Поскольку ОА = ОВ = R, то ANB : R = R : OC, или
ANB = R2/OC. Откуда длина окружности радиуса R равняется 4R2/OC. Т.о. длина окружности определена. Чтобы построить квадрат равновеликий кругу, Динострат воспользовался теоремой: площадь круга равна площади треугольника, основание которого равно длине окружности, а высота - радиусу круга.
6. Подведение итогов.
В конце урока подвести итоги, обсуждая вопросы: что делали? Каких результатов добились?
Задача об удвоении куба
Вклад в решение Гиппократа Хиосского
Одним из первых древнегреческих геометров, сделавших значительный шаг в решении задачи об удвоении куба путем привлечения к циркулю и линейке дополнительных средств, был Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.).
Решение стереометрической задачи, какой является делосская задача об удвоении куба, Гиппократ Хиосский свел к рассмотрению планиметрической задачи, заключающейся в отыскании двух средних, пропорциональных между двумя данными отрезками, из которых второй в два раза больше первого. Т. е. к нахождению таких двух отрезков х и у, которые, будучи «вставлены» между двумя данными а и 2а, составили бы вместе с ними геометрическую прогрессию: а, х, у, 2а.
Поскольку а, х, у, 2а -- геометрическая прогрессия, то
,
откуда х2 = ау и у2 = 2ах. Следовательно, х4 = а 2y2 = 2 а 3x или х3 = 2 а 3.
Вопросы и задания.
Каким образом строятся «вставки»?
Чему равно ребро удвоенного куба, если ребро данного куба равно а?
Вычислить, чему равны «вставки» х и у при а:
А) 1, В) 4,
Б) 2, Г) 6.
Решение Платона
Прибор Платона состоит из двух обыкновенных прямоугольных плотничьих наугольников, а само построение основано на лемме:
Лемма: Во всякой прямоугольной трапеции с перпендикулярными диагоналями, отрезки диагоналей образуют геометрическую прогрессию:
Построение «вставок» х и у, нужных для решения задачи об удвоении куба, проводится следующим образом. Берутся две взаимно перпендикулярные прямые m и n, пересекающиеся в точке О (см. рис.).
На прямой т вправо от точки О отложим отрезок ОС = а (а -- сторона куба, подлежащего удвоению). На прямой n вниз от точки О отложим отрезок OD = 2а. Теперь возьмем два прямоугольных плотничьих наугольника (на чертеже заштрихованы) и расположим их так (см. рисунок), чтобы сторона первого наугольника проходила через точку С, которая считается данной, а вершина его находилась на прямой n; чтобы сторона второго наугольника проходила через точку D, которая также считается данной, а вершина находилась бы на прямой m; остальные две стороны наугольников должны соприкасаться.
При таком расположении двух наугольников по данным точкам С и D найдем на прямых m и n точки А и В. х = ОВ и есть построенное ребро удвоенного куба.
Вопросы и задания.
Доказать лемму Платона.
Каким образом с помощью прибора Платона находятся «вставки»?
Доказать, что куб с ребром х в два раза больше по объему, чем куб с ребром а , т.е. х 3 = 2 а 3 (воспользоваться леммой).
Затем решается исходная задача, с помощью прибора Платона строится куб, в два раза больший по объему, чем куб с ребром:
А) 1, В) 4,
Б) 2, Г) 6.
Решение Эратосфена
Прибор Эратосфена носит название «мезолябий», что в переводе означает «уловитель», т. е. уловитель двух средних величин («вставок»), из которых одна составляет искомую сторону удвоенного куба.
Мезолябий Эратосфена состоит из двух параллельно расположенных реек m и n, расстояние между которыми равняется удвоенной стороне куба, т. е. 2а.
К этим рейкам прикреплены три равных прямоугольных треугольника, из которых один, самый левый, смонтирован неподвижно, а другие два могут перемещаться вдоль пазов, устроенных в рейках, причем на верхнюю рейку опираются равные катеты, а на нижнюю -- их противоположные вершины (см. рис.).
Решение
На катете HD самого правого подвижного треугольника откладываем отрезок DQ = а. Теперь двигаем подвижные треугольники с таким расчетом, чтобы точки пересечения катета одного треугольника с гипотенузой следующего за ним (М и N) расположились бы на одной прямой с Е и Q. х = NC и будет найденной величиной искомого ребра удвоенного куба.
Вопросы и задания.
Как устроен прибор Эратосфена?
Каким образом с помощью мезолябия находятся «вставки»?
Доказать, что куб с ребром х в два раза больше по объему, чем куб с ребром а , т.е. х 3 = 2 а 3.
С помощью прибора Эратосфена строится куб, в два раза больший по объему, чем куб с ребром:
А) 1, В) 3,
Б) 2, Г) 5.
Решение Менехма
1) Решение задачи об удвоении куба с ребром а сводится к рассмотрению двух парабол:
2) Задача об удвоении куба сводится к решению двух уравнений, из которых одно - уравнение гиперболы, а другое - уравнение параболы
Вопросы и задания.
Каким образом задача сведена к рассмотрению функций?
Построить графики функций.
Найти с помощью графиков ребро удвоенного куба.
Задача о квадратуре круга
Решение Бинга
Приведем одно из решений задачи о квадратуре круга, основанное на использовании треугольника Бинга. Этот способ был предложен в 1836 г. русским инженером Бингом и очень удобен для практических целей.
Рассмотрим треугольник АВС (см. рис.), вписанный в круг, квадратура которого находится с таким расчетом, чтобы наибольшая сторона треугольника была диаметром. Обозначим угол CAB через а, а хорду АС через х. Подберем угол а так, чтобы отрезок х был стороной квадрата, равновеликого данному кругу. Для этой цели воспользуемся соотношением
,
где R -- радиус круга.
Так, как площадь квадрата со стороной х должна быть равновелика площади круга, то будем иметь или 4R2 cos2 a = рR2, откуда cos2 a =р/4, cos a =1/2 = 0, 886. По таблицам находим a=27°36'.
Итак, проводя в данном круге хорду под углом 27°36' к диаметру, мы сразу получим искомую сторону квадрата, равновеликого данному кругу. Рассмотренный треугольник АВС и есть треугольник Бинга.
Вопросы и задания.
По какому принципу строится треугольник Бинга?
Каким способом строится сторона искомого квадрата?
Определите, является ли решение Бинга точным или приближенным.
После изучения треугольника Бинга, с его помощью строится квадрат, равный по площади кругу с радиусом:
А) 0.5, В) 3,
Б) 1, Г) 5.
Решение Динострата при помощи квадратрисы
Пусть ANB - четверть окружности, расположенной в квадранте АОВ, а АМС - квадратриса этого квадранта. Далее Динострат воспользовался соотношением, которое позднее было доказано Паппом Александрийским: АNВ : ОВ = ОВ : ОС, где С - конечная точка квадратрисы.
Поскольку ОА = ОВ = R, то ANB : R = R : OC, или
ANB = R2/OC. Откуда длина окружности радиуса R равняется 4R2/OC. Т.о. длина окружности определена. Чтобы построить квадрат равновеликий кругу, Динострат воспользовался теоремой: площадь круга равна площади треугольника, основание которого равно длине окружности, а высота - радиусу круга.
Вопросы и задания.
Каким образом Динострат решил задачу?
За счет чего удалось найти длину окружности?
Доказать теорему о площади круга.
Затем необходимо выполнить квадратуру круга при помощи квадратрисы, используя полученные результаты.
§4. Предзащита и защита творческих работ
Защита творческих работ учащимися выступает для руководителя показателем успешности и эффективности проделанной им работы.
Целями предварительного представления результатов творческой работы для школьников являются систематизация проделанной работы, понимание того, что получено самостоятельно, что основано на введенном способе, а также выдвижение гипотез о дальнейшем исследовании задач. Представление предварительных результатов творческой работы проходило на занятии ШМУ.
Результатом предварительного выступления явились сформулированные задачи дальнейших исследований по данной теме, а также то, что еще один учащийся выразил желание писать творческую работу по данной теме, что он и осуществляет в настоящее время.
Авторы защищали свои работы на школьной конференции перед комиссией, которая оценивала доклад и проделанную работу (она состояла из учителей-математиков, студентов пятого курса психолого-педагогического факультета и ученого-математика). Защита была открыта для всех желающих, как учащихся КУГ №1, так и для учителей. Форма защиты: рассказ автора, уточняющие вопросы и поясняющие замечания комиссии, вопросы и замечания слушателей к авторам работы.
Учащиеся сами готовили текст выступления, плакаты с необходимыми чертежами, решали, как будут выступать. Обязательным условием было наличие текста работы. Защита показала, что восьмиклассники, проделавшие творческую работу, способны изложить ее содержание, продемонстрировать свободное владение материалом, умение отстоять свои результаты, добиваться их понимания, а также видят возможность дальнейшего исследования своей темы.
На защите были заданы вопросы о том, когда авторы работ предположили, что задача неразрешима в общем виде. Ответы - когда нашли решение для одного класса, ведь можно найти решение еще для какого-то класса, а для всех нельзя (трисекция угла); когда вышли на необходимость построить , а мы не можем указать точное значение (квадратура круга). Но на вопрос, почему этими задачами занимались столько разных ученых, они ответить не смогли. Это говорит о том, что социо-культурная историческая ситуация не была восстановлена.
§5. Функции руководителя
Опишем работу, которую должен проделать руководитель, чтобы стало возможным самостоятельное движение школьников, включающее выбор темы, формулирование и решение задачи, оформление и защиту работы. В деятельности руководителя творческой работы можно выделить следующие три этапа: постановка творческой задачи, проведение учебного исследования (работа по плану в режиме консультаций с руководителем) и защита работы (представление промежуточных и окончательных результатов).
Деятельность руководителя на этапе постановки творческой задачи заключается в представлении учащимся проблематики, знакомства их с творческой задачей.
Руководитель предлагает задания, которые легко выполняются учащимися, ими выдвигаются конкретные варианты решения и доказательства. Затем предлагается задание, вызывающее затруднение, так как оно не имеет решения, или для его решения требуется привлечение неизвестного детям математического аппарата. В попытках решить эту задачу, учащиеся сталкиваются с проблемой, что позволяет поставить задачу в общем виде, сформулировать проблему. После этого руководителем формулируется соответствующая тема творческой работы.
Такие темы обязательно должны быть включены в общий список тем творческих работ, предлагаемых учащимся.
Для самих учащихся подготовительный этап не выделен как этап их собственной творческой работы, он существует лишь в действительности руководителя. Для руководителя этот этап заканчивается формулированием и предложением тем творческих работ. В связи с тем, что для накопления опыта, формулирования интересных проблем и создания творческой атмосферы требуется некоторое время, на занятиях ШМУ этот этап занимает почти всю первую четверть.
Второй этап, проведение исследования, состоит из следующих частей:
q самостоятельный поиск возможных способов решения, разбор конкретных случаев, выделение закономерностей;
q формулирование проблемы, выдвижение гипотез, осознание необходимости введения дополнительных средств;
q исследование введенного средства, применение его к решению задачи, определение границ его использования.
Задача всей дальнейшей деятельности руководителя - поддержать и помочь «окультурить» работу учащегося, сохранив при этом авторский подход учащегося к теме, помочь ему осознать, что он пытается узнать нового о теме и о себе.
Учащимся осуществляется исследовательская деятельность, руководитель привлекается, в основном, как помощник в оформлении поисков. На этом этапе руководитель может содержательно включаться в следующие виды работы:
q подбор материала для исследования по данной теме;
q введение новых средств для решения задач;
q предложение приемов, способов доказательств для их обсуждения, осмысления и самостоятельного обобщения учащимися;
q оценку соответствия написанного проделанному и запланированному, направленную на максимально полное отражение содержания проделанной работы в ее тексте;
q выдерживание норм оформления текста - последовательности частей, списка литературы, норм изложения математического результата.
Второй этап творческой работы заканчивается сдачей готового текста.
Во время защиты работы руководитель делает поясняющие замечания, задает докладчику вопросы, необходимые для более полного раскрытия темы.
Заключение
Моя работа была направлена на представление школьникам математической деятельности, проведения исследования. Мною была разработана методика руководства творческой работой по теме «Знаменитые задачи древности», методика постановки задач и введения новых средств. Удалось так поставить задачу, что дети были включены в исследование, осваивали новые средства и применяли их для решения своих задач.
Апробация проходила в Красноярской университетской гимназии №1, тремя учащимися под моим руководством были написаны и успешно защищены на конференции творческие работы. Такой способ введения исторического материала - воспроизведение исторического хода решения задач древности - оказался продуктивным, поскольку он обеспечил включенность детей в математическое творчество и повышение интереса к истории математики, сформировал представление о развитии способов и средств математики. Задача по построению новых средств адекватна выбранному возрасту.
Таким образом, выдвинутая гипотеза получила подтверждение, а цель дипломной работы была достигнута.
Но при решении учащимися творческих задач нами не реконструировалась историческая ситуация. Исследование возможности внесения исторического контекста также является одним из дальнейших направлений работы.
Следующим этапом работы является изучение того, в каком возрасте вводить творческие работы, связанные с доказательством неразрешимости задач древности средствами циркуля и линейки, а затем проектирование творческих задач. Можно поставить исследовательскую задачу, связанную с историей науки, выйти на более широкий уровень.
Литература
1. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М., 1970.
2. Аргунов Б. И., Балка М. Б. Геометрические построения на плоскости. М., 1955.
3. Аронов А. М., Ермаков С. В., Знаменская О. В. Учебно-образовательное пространство в педагогике развития: математическое образование: Монография / КГУ, 2001.
4. Балл Г. А. Теория учебных задач: Психолого-педагогический аспект. М.: Педагогика, 1994.
5. Белозеров С. Е., Пять знаменитых задач древности (история и современная теория). Ростов, 1975.
6. Бобров С. П. Архимедово лето. М., 1962.
7. Ван дер Верден Б. Л. Пробуждающаяся наука. М., Физматгиз, 1959.
8. Выготский Л. С. Педология подростка. Собр. соч. в 6 т. Т. 4. М.: Педагогика, 1984.
9. Глейзер Г. И. История математики в школе. М., 1983.
10. Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении. М., 1972.
11. Кашапов М. М., Табакова Ю. А. Обучение творческому решению проблемных ситуаций в процессе преподавания психологии как средство формирования интеллектуальных способностей старшеклассников // Педагогика развития: Проблемы современного детства и задачи школы: Материалы III науч.-практ. конф. Красноярск, 1996. Ч. 1.
12. Кларин М. В. Инновационные модели обучения. М., 1994.
13. Колмогоров А. И. Математика в ее историческом развитии. М., 1991.
14. Матюшкин А. М. Концепция творческой одаренности // Вопросы психологии. 1989, № 6.
15. Мочалов И. И. Мнимые проблемы науки // Вопросы философии. 1996. № 1.
16. Поливанова К. Н. Психологическое содержание подросткового возраста // Вопросы психологии. 1996, № 1.
17. Попов Н. С. Трисекция угла // Юный техник. 1994. № 12.
18. Табидзе О. И. Ценностный аспект творчества // Вопросы философии. 1981, № 6.
19. Унт И. Э. Индивидуализация и дифференциация обучения. М.: Педагогика, 1990.
20. Фрумин И. Д. Категория педагогического действия в педагогике развития // Педагогика развития: Проблемы современного детства и задачи школы: Материалы III науч.-практ. конф. Красноярск, 1996. Ч. 1.
21. Чистяков В. Д. Старинные задачи по элементарной математике. Минск, 1978.
22. Чистяков В. Д. Три знаменитые задачи древности. М., 1963.
23. Шумилин А. Т. Проблемы теории творчества: монография. М.: Высшая школа, 1989.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Классификация и функции задач в обучении. Методические особенности решения нестандартных задач. Особенности решения текстовых задач и задач с параметрами. Методика решения уравнений и неравенств. Педагогический эксперимент и анализ результатов.
дипломная работа [387,1 K], добавлен 24.02.2010Понятие, задачи, виды и этапы решения задач. Сущность эвристического подхода в решении задач по физике. Понятие эвристики и эвристического обучения. Выявление различных эвристических методов в решении задач и подбор задач к этим методам.
курсовая работа [29,6 K], добавлен 08.02.2011Интуитивные и рациональные методы подхода к решению творческих задач. Этапы творческого процесса. Основные виды творчества. Метод обратной мозговой атаки. Эвристические методы, основанные на ассоциации. Выбор объекта и цели его усовершенствования.
презентация [434,4 K], добавлен 03.04.2014Развитие творческих способностей школьников в процессе обучения компьютерному моделированию с использованием учебно-творческих задач. Цели и задачи обучения моделированию и формализации. Методические разработки для обучения графическому моделированию.
дипломная работа [3,5 M], добавлен 31.03.2011Понятие текстовой задачи и ее роли в курсе математики. Способы решения текстовых задач. Методика обучения решению составных задач на пропорциональное деление. Обучение решению задач на движение. Выявление уровня умений учащихся решению составных задач.
курсовая работа [231,8 K], добавлен 20.08.2010Психолого-педагогические аспекты организации обучения с использованием творческих задач, условия для его реализации. Использование творческих заданий на уроках информатики в школе при изучении графического и текстового редакторов и программировании.
дипломная работа [1,3 M], добавлен 23.04.2011О возможности применения векторных многоугольников для решения физических задач. Роль решения задач в процессе обучения физике. Традиционный способ решения задач кинематики и динамики в школьном курсе физики. О векторных способах решения задач механики.
курсовая работа [107,3 K], добавлен 23.07.2010Сущность, распространенность на современном этапе Теории Решения Изобретательских Задач, ее назначение и оценка возможностей. Суть экспериментов и концептов ТРИЗ. Методика и порядок решения "открытых задач". Исследование на разрешимость и число решений.
курсовая работа [248,1 K], добавлен 04.02.2011Порядок и правила решения задач с помощью составления пропорции, на нахождение процентного содержания. Методика составления и некоторые примеры устных и письменных задач на пропорции и проценты для шестого класса средней общеобразовательной школы.
презентация [563,3 K], добавлен 27.11.2009Формирование деятельности учащихся при обучении методу моделирования. Функции метода моделирования. Развивающие функции задач в обучении. Анализ содержания школьного курса алгебры с точки зрения подготовки учащихся к решению задач с параметрами.
дипломная работа [585,5 K], добавлен 23.07.2014
