4.1 Об результатах изменения сопровождающего курса

Первичная апробация подтвердила нашу гипотезу о бедности учебного опыта школьников. Ученики не смогли обнаружить в прошлом своем опыте личные «открытия», «исследования», хотя на уроках математики решение учебно-исследовательских задач неоднократно происходило. Учитель СКМ начал действовать по дополнительно разработанной схеме.

Таким образом, работа с учебно-исследовательской задачей происходила в четыре этапа.

0. Построение понятия «задача.

1. Решение двух учебно-исследовательских задач.

2. Построение понятия «учебное исследование», «учебно-исследовательская задача».

3. Оформление учебного исследования.

4.2 Замечание о необходимости математического клуба

Как показала практика, в рамках СКМ возможно задавать нормы оформления учебного исследования, но без математического клуба значимости этого оформления не возникает, так как оно оказывается невостребованным вне курса.

4.3 Организационные трудности введения СКМ

Большой трудностью внедрения СКМ является обоснование руководству школы, родителям и детям введения нового предмета.

Для учеников мы проводили урок - беседу, на котором отличали программу РО от традиционной, что нравится и не нравится им на уроках математики, что хотелось бы добавить, а потом рассказывали, чем мы будем заниматься на СКМ, что они смогут узнать, чему научиться.

Для родителей на собрании классным руководителем или учителем СКМ проводилась презентация нового предмета: небольшое выступление где объяснялась необходимость создания УОП в подростковой школе

Некоторым обоснованием сопровождающего курса для руководства школы и родителей могут послужить выступления учеников на конференциях КУГ №1 и лицея №1 с «личными исследованиями».

Кроме того, нами замечено, что классный наставник для учеников V-VI класса играет большую роль - он задает значимость содержания, то есть отношение учеников к предмету выстраивается через отношение к этому предмету классного наставника. Таким образом, для введения дополнительных предметов в школах КИКРО очень важна, поддержка классным наставником УОП.

Заключение

Удалось выделить проблемное место авторского сопровождающего курса, то есть линию «Понятие задача» - «Оформление исследования», которая нуждалась в содержательном изменении при разработке адаптированного СКМ и обосновать характер вносимых в курс изменений (введение дополнительных тем связанных с решением учебно-исследовательских задач).

Нами была создана общая методика работы с детскими представлениями об объекте. Она в какой-то мере решает методическую проблему, зафиксированную О.И. Белоконь, позволяющую учителю при проведении уроков СКМ действовать не по ситуации, а по заданной схеме и создавать методическое обеспечение линии «Понятие задача» - «Оформление исследования». Данная методика может быть использована не только СКМ, но и на уроках математики как для постановки учебных задач.

Разработанная нами линия курса была дважды опробована в лицее №1 г. Красноярска, типичной, на наш взгляд, школе КИКРО. результатом апробации является методическая находка, которая позволяет вводить нормы оформления исследования не учителем (взрослым), а выводить самими детьми на уроке СКМ.

При анализе результатов апробации адаптированного варианта курса у автора дипломной работы возник ряд новых гипотез, относительно особенностей складывания у детей РО учебно-исследовательского опыта и методической организации занятий.

Таким образом, направление дальнейшей работы - это разработка адаптированного варианта темы «Изобретение», методики введения темы «Способы решения текстовых математических задач», проведение апробации других тем сопровождающего курса в школах КИКРО.

Список литературы

Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. Франция. 1959. пер. с франц. «Издательство советское радио», Москва, 1970.

Алексеев Н.Г. Формирование осознанного решения учебных задач./ Педагогика и логика. - М.: Касталь, 1993.

Анишина Н.Н. Оформление математического исследования младшими подростками // Педагогика развития. Материалы IV науч.-практ. конф. Красноярск, 2000. Ч. 2.

Аронов А.М., Ермаков С.В., Знаменская О.В. Учебно-образовательное пространство в педагогике развития: математическое образование: Монография/ Краснояр. гос. ун-т. Красноярск, 2001.

Аронов А.М., Знаменская О.В. Роль исследовательской программы университета в организации образовательного пространства школы. // Школа и открытое образование: Сб. науч. Трудов по материалам III Всероссийской научно тьюторской конференции (12-13 февраля 1998 г.) и региональных семинаров/ Отв. ред. И.Д. Проскуровская. А.О. Зоткин. Москва Томск: Томский гос. педагог. ун-т, 1999.

Балл Г.А. Теория учебных задач: Психолого-педагогический аспект. М.: Педагогика, 1994.

Белоконь О.И. К проектированию «Сопровождающего курса математики» // Педагогич. ежегодник. Красноярск, 1996.

Вагутен В.Н. Близкие дроби // Квант, №8, 1975

Васильев В.Г. развивающее обучение и процесс интериоризации./ Педагогика развития: Проблемы современного детства и задачи школы. Материалы 3-й научно-практической конференции. Часть 2. Доклады на заседаниях, секциях и круглых столах. - Красноярск: КГУ, ИЭП СОРАО, 1996.

Давадов В.В. Теория развивающего обучения. - М.: ИНТОР, 1996.

Кларин М В. Инновации в мировой педагогике: обучение на основе исследования, игры и дискуссии. (Анализ заруб. опыта) - Рига, НПЦ «Эксперимент», 1995.

Лакатос И. Доказательства и опровержения (Как доказывается теорема) пер. с англ. И.Н. Веселовского. М.: Наука, 1967.

Носов Н.Н Витя Малеев в школе и дома

Остер Г.А. задачник «Ненаглядное пособие по математике»/ Совм. про-во изд. группы MASS MEDIA и редакции «Московских новостей», 1992.

Пойа Д. математическое открытие: Решение задачи: Основные понятия. - М., 1976.

Психологический словарь/ Под ред. В.В. Давыдова, А.В. Запорожина, Б.Ф. Ломова и др.; Научно-исследовательской общей педагогической психологии Академия пед. наук СССР. - М.: Педагогика, 1983.

Репкина Н.В., Что такое развивающее обучение? - Томск: Пеленг, 1993.

Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. - М.: Педагогика, 1977.

Эльконин Д.Б. О структуре учебной деятельности./ Избранные психологические труды. - М.: Международн. пед. академия, 1995.

Яковлева О.В. Построение учебно-образовательного пространства как освоение математического образования в VI класса // Педагогика развития: Возрастная динамика и ступени образования:

Яковлева О.В. Торопова Ю.Г. Педагогические условия выполнения учащимися VI класса творческих работ по математике // Педагогич. ежегодник, 1996.

Размещено на Allbest.ru

Приложение 1

Тематическое планирование адаптированного варианта СКМ

I. Вводный урок. Математика и математические термины.

II. Понятие «задача».

1. Задача и не задача (оформление существующих у детей представлений о задаче).

2. Определение задачи, структура математической задачи

Отработка.

3. Типы математических задач (корректная, некорректная, переопределенная).

Решение текстовых математических задач разных типов

4. Способы решения задач:

решение по образцу;

использование известного способа;

изобретение нового способа;

решение некорректных задач.

3. Подготовка к контрольной работе.

4. Контрольная работа. Работа над ошибками.

III. Понятие исследовательской задачи (ИЗ).

1. Постановка ИЗ №1

1. Решение ИЗ №1.

2. ИЗ №1, анализ решения.

3. Постановка ИЗ №2

4. Решение ИЗ №2.

5. ИЗ №2, анализ решения.

6. Понятия «исследование» и «исследовательская задача».

7. Определение исследовательской задачи, как одного из типа текстовых задач.

IV. Нормы оформления решения ИЗ.

Нормы оформления.

Самостоятельное исследование.

Оформление самостоятельного исследования.

Приложение 2

Учебный материал для введения темы

«Понятие «задача»»

Карточка 1 1. Между тремя учениками 6-го класса возник спор, по поводу следующего вопроса: «Решал ли Петя задачу, когда ему надо было найти кинотеатр в одном из районов города?» 1-ый ученик утверждал, что Петя решал задачу, так как возникла трудность и надо искать решение. 2-ой ученик говорит, что задачей это считать нельзя, так как здесь совсем нет математических данных. 3-ий ученик сказал: «Для Пети было задачей, если район для него незнаком, и не задачей, если он знал, где находится кинотеатр в этом районе города.

Карточка 2 2. Какие x и y удовлетворяют этим условиям? х+у=3 х-2у=4

Карточка 3 Узнает ли себя делимое после деления, если перед делением умножить делимое на делитель?

Карточка 4 Рабочему надо за восьмичасовой рабочий день изготовить 3260 деталей. Сколько деталей он должен изготовить за один час, чтобы выполнить план?

Карточка 5 Кате надо до 18:00 купить хлеба. Кроме этого с 9:00 до 14:00 Катя учится в школе, с 15:15 до 16:45 идут занятия в музыкальной школе, с 17:00 до 18:00 кружок рисования. Путь от школы до дома отнимает у Кати 5 минут, от дома до магазина 7 минут, а обед 12 -15 минут. Как Кате успеть все сделать?

Приложение 3

Тема. Понятие задачи.

Урок 1. Задача и задание.

Цель. Различить предметные (математические) и не предметные задачи. Выделение структуры математической задачи, отличие задачи от задания.

Ход урока.

У.: Часто ли в жизни вы встречались с задачами?

Д.: Да, каждый день.

Задание 1. Приведите примеры задач, которые можно встретить в жизни (делается акцент на последних трех словах).

Дети приводят примеры лишь математических задач, слова «можно встретить в жизни» придают задачам «жизненный» смысл.

Например задача: Во дворе было 10 бездомных собак и 3 домашних. Сколько собак было во дворе?

У. подсказывает: Значит задачи бывают только математические?

Д.: Нет, ещё физические, химические, биологические и др.

У.: Приведите примеры нематематических задач.

Дети затрудняются.

У.: Если не можете привести примера, значит таких задач не существует.

Д.: Существуют, только мы ещё не изучали химию и физику, потому не можем придумать задачу.

У.: А чем математическая задача отличается от нематематической.

Д.: В математической задаче должны быть даны какие-нибудь величины.

У.: А в других типах задач нет величин?

Д.: Мы еще не знаем.

У.: Хорошо давайте построим схему, таблицу или модель «Какие бывают задачи».

Появилась следующая схема:

Знак «?» означает, что неизвестно существуют ли такие задачи?

У.: Вы много в жизни решили задач? Сколько?

Д.: Приблизительно по 2 в день - 60 штук в месяц, тогда 720 в год, за пять лет учебы более 3-х тысяч.

У.: Если так много задач прорешали, наверное, хорошо знаете что такое задача?

Дать определение задачи ученики затрудняются.

Задание 2. Выделите компоненты следующей задачи:

«Во дворе было 10 бездомных собак и 3 домашних. Сколько собак было во дворе?»

Д.: Здесь есть: 1. величины (математические данные)

2. условие (текст задачи).

3. вопрос

У.: Задача и задание - это одно и то же?

Д.: Нет.

У.: В чём различия?

Затруднение. Учитель дает задачу и задание:

У Пети было 15 руб. Он пошёл в магазин и купил 1,5 кг конфет по 8 руб. за 1 кг. Хватит ли Пете денег на «Марс», стоимость которого 7-50?

Даны числа: 58,5; 135; 6,79; 1237; 138. Выбрать четные.

Задание 3. Определить задачи ли это?

Д.: 1 - задача, а 2 - задание.

У.: Как вы определили, что это задание.

Д.: В нем нет вопроса.

У.: В задаче всегда есть вопрос?

Здесь мнения разделились: одни утверждали, что всегда; другие говорили, что может быть и без вопроса и приводили следующий пример:

«У Пети было 19 руб. 50 коп. Он пошёл в магазин и купил 1,5 кг конфет по 8 рублей за 1 кг, на оставшиеся деньги он купил «Марс». Найти стоимость «Марса»».

Здесь вместо вопроса задание.

Замешательство. Искали отличие задачи от задания, а оказалось, что иногда задание - это одна из составляющих частей задачи.

Д.: Задание более простое, чем задача, там сразу говорится, что надо сделать. Даже если задача с вопросом мы сначала выполним задание: «Найти сколько денег останется у Пети», а потом «Сравнить оставшиеся деньги с ценой «Марса»».

Фиксируем отличия задачи от задания.

Задание более конкретно и требует выполнения определенного действия.

Задание может заменять в задаче вопрос.

У.: Если вопрос не всегда присутствует в задаче, то его надо вычеркнуть из списка составных частей задачи.

Д.: Его просто надо заменить чем-нибудь.

Идет обсуждение: заданием заменить нельзя, т. к. не всегда будет задание. Решили написать: «Вопрос (задание)».

Получилось: задача состоит из условия, математических данных и вопроса (задания).

Задание 4. Дайте определение задачи.

Уч1.: Задача - это ситуация из жизни с математическими данными, условием и конкретным вопросом, содержащим задание к этим данным.

Уч2: Что означает: «Конкретный вопрос, содержащий задание к этим данным».

Уч1: Вопрос или задание должен быть связан с условием задачи, иначе мы не сможем её решить.

У.: При выделении компонента задачи разве мы говорили про связь условия и вопроса?

Д.: Надо добавить, что условие, математические данные и вопрос должны быть связаны между собой.

Результат:

Рабочее определение: «Задача - это ситуация из жизни с математическими данными, условием и конкретным вопросом, содержащем задание к этим данным».

Компоненты задачи: - условие

математические данные

вопрос

связь всех компонентов

Отличие задания от задачи: - задание более конкретно и требует выполнения определенного действия

Задачи бывают математические и нематематические

Тема. Решение исследовательской задачи.

Урок 1. Запуск.

Ученикам 6-го класса РО на уроке СКМ предлагается решить задачу: Чтобы найти пиратский клад, надо пройти от старого дуба 12 шагов на север, потом 5 раз прыгнуть в сторону и сделать ещё 11 шагов на юг. Где зарыт клад?

Задание: решить задачу, причем можно обсуждать с соседом по парте, получать консультации учителя.

Общее обсуждение.

Один из детей представил своё решение классу:

Данная задача некорректная, т. к. 1) неизвестны шаг и прыжок (длина);

2) неточно сформулирован вопрос.

Доопределим задачу: 1) 1 прыжок = 1 шагу;

2) Найти расстояние до клада, и получить следующее условие:

Задача 1. Чтобы найти пиратский клад, надо пройти от старого дуба 12 шагов на север, потом 5 раз прыгнуть в сторону и сделать ещё 11 шагов на юг. Найти расстояние до клада, если 1 прыжок равен одному шагу.

Решение задачи 1

Вариант 1.

12 + 5 + 11 = 28 (шагов)

Были ученики, предложившие другой вариант решения

Вариант 2

5 + 1 = 6 (шагов)

Оба варианта решения вынесены на доску.

Возник вопрос: «Какой вариант решения задачи с её условием и пришли к выводу, что оба ответа правильны, а чтобы получить однозначный ответ данной задачи добавим к её условию ещё одно словосочетание, получаем:

Задача 2. Чтобы найти пиратский клад, надо пройти от старого дуба 12 шагов на север, потом 5 раз прыгнуть в сторону и сделать ещё 11 шагов на юг. Найти наименьшее расстояние до клада, если 1 прыжок равен одному шагу.

Решение задачи 2.

5 + 1 = 6 (шагов)

Ответ: наименьшее расстояние до клада - 5 шагов в сторону и один шаг на север, - равно 6 шагам.

Ответ задачи 2 так и остался бы однозначным, если бы Савин Вова и Рыбков Миша не обратились к всеобщему эмпирическому опыту, Миша вышел к доске и описал следующую картинку:

Если мы находимся в точке А, а магазин в точке В, то мы пойдем в магазин по стрелочке I?

Нет, - ответил класс - если будет свободен путь, то пойдем напрямик (т.е. выбираем путь II, см. рис.)

И тут осенило ещё нескольких мальчиков, что II короче I, значит задача 2 решена не верно - нашли более короткий путь. Но как посчитать этот короткий путь? Арифметических способов не нашли (т. Пифагора изучается в 8 классе), решили измерить линейкой - ?5,1 шага. Измерение линейкой доказало, что путь II действительно короче I, но оно не гарантирует точного ответа (у класса были ответы: 5; 5,1; 5,2)

Оставив решение задачи 2 как проблему для детей, я задала им вопрос: «Можно ли подобрать такое количество шагов и прыжков, чтобы «короткий путь» являлся I?»

Урок 2.

Чтобы формулировка Пифагора не стала для детей простым формальным знанием я решила продемонстрировать им доказательство т. Пифагора.

По традиции урок начался с проверки домашнего задания. Я выяснила что, шаги и прыжки подобрать никто не смог (линейкой получается не точно), но 30% присутствующих на уроке с помощью родителей, бабушек и дедушек узнали формулу Пифагора: а² + в² = с² и ещё про какие-то катеты с гипотенузой, но что это все означает и как применить формулу не поняли. Тогда я предложила им вернуться к условию задачи 2, начертить схему возможного движения (получился треугольник) и выписать дано.

На прошлом уроке ребятишки обозначили «самый короткий путь» за АВ (см. рис.), чтобы в дано записать, что одна сторона 5 шагов, другая 1 надо поставить ещё одну точку и договорились назвать её точкой С, теперь получился треугольник АВС. Но здесь запротестовала некоторая часть класса, в том числе и я: «В условии говорится про 12, 11 шагов, 5 прыжков, а мы рисуем какой-то треугольник, у которого стороны равны 5 и 1 шаг соответственно».

Выступающий у доски нам объяснил: «Зачем я буду рисовать все эти шаги, если мне нужна только нижняя часть схемы. Мы уже выяснили на том уроке, что путь I (см. задачу!) самый длинный, а теперь нам надо выяснить что меньше: расстояние АС плюс расстояние ВС или расстояние АВ, и найти это наименьшее расстояние», - и записал дано: треугольник АВС; сторона АС=5, ВС=1 (здесь математики вместо слова треугольник ставят значок «^», а длина стороны обозначается | |).

Получилось следующее:

Дано: ^АВС; | | АС | =5; | ВС | = 1; Найти: |АВ|? |ВС| + |АС| |АВ|	Но группа «упрямых» не сдавалась с подобной схемой и дано не соответствует задаче 2, хотя найти надо действительно это.

Компромисс был найден - записать задачу 3:

Чтобы найти пиратский клад надо прыгнуть пять раз в сторону от старого дуба и пройти 1 шаг на север. Найти наименьшее расстояние до клада, если один шаг равен одному прыжку». Теперь согласны были все. Мы имеем: треугольник АВС. С известными |АС| и |ВС|. Дано записано, приступим к решению, что |АВ| <|ВС| + |АС|, т. к. 1) это видно по рисунку;

2) линейкой измеряли, получилось меньше

Я подвела итог: мы знаем, что |АВ| < |ВС| + |АС|, но как это доказать не знаем, а тем более уж не можем найти |АВ|.

У.: Давайте, отвлечёмся немного от задачи 3. Чем треугольник АВС отличается от данных треугольников.

Варианты:

а) стороны разной длины;

б) треугольник АВС можно «продолжить до квадрата» (Алёша)

Я попросила объяснить, что значит «продолжить до квадрата», на что получила ответ:

«Если начертить вот так (чертит сторону параллельную ВС) и вот так (чертит сторону параллельную АС), то получится … прямоугольник. Сказал неправильно, получается прямоугольник».

Я корректирую фразу: «Треугольник АВС можно достроить (выделяю интонацией) до прямоугольника».

У.: А треугольники 1,2,3,4 не возможно достроить до прямоугольника?

Д.: Нет

У.: Почему?

Д.: Потому что у треугольника АВС угол прямой или равен 90⁰ (Миша)

Существенное отличие: у треугольника АВС угол С - прямой.

У.: А сможете ли вы найти площадь треугольника АВС?

Миша и Алеша: Да она равна площади прямоугольника или (ав)/2

У.: А что такое ав?

Д.: Площадь прямоугольника.

У.: Какого прямоугольника?

Алеша: Если треугольник АВС достроить до прямоугольника АВСД (точку обозначим буквой Д) и взять |ВС| = а, а |АС| =в, то S _пр.= ав. Так как в этом прямоугольнике 2 треугольник, то S _пр.:2 и тогда S _тр. = ав/2.

Подвожу итог:

У.: Что мы выяснили про треугольник АВС:

угол С = 90⁰ (ввожу объяснение прямого угла на рисунке и называю треугольник АВС - прямоугольным, стороны при угле С - катетами, напротив угла С - гипотенузой)

если |ВС| = а, |АС| = в, то S _тр. = ав/2

Потренировались определять катеты и гипотенузу на треугольниках:

У.: А теперь из треугольников, равных треугольнику АВС построим квадрат, у которого сторона будет равна…

Д.: (а + в)

У.: Площадь квадрата со стороной (а + в) равна…

Д.: обозначим её через S₁

S₁ = (а + в) (а + в)

А ведь можем сложить её из треугольников и квадрата (версия Алеши и Вовы), получится:

4S _тр. + S _пр.= 4 ав/2 + сс = 2 ав + с² = S₂ (обозначим эту площадь за S₂)

У.: А S₁ и S₂ равны?

Д.: Это же одно и то же, только по-разному записанное.

Вышли на запись:

S₁ = S₂

(а + в) (а + в) = 2 ав + с² придумали способ как расписать (а + в) (а + в) =(а + в) а + (а + в) в = а² + ва + ав + в², т.е.

а² + 2 ав + в² = 2 ав + с²

а² + в² = 2 ав - 2 ав + с²

а² + в² = с²

Это же формула Пифагора!

У.: Да, это формула Пифагора, которую вы должны были по программе вывести в 8 классе.

Что означает в этой формуле а, в и с?

Д.: а и в-длина катетов, с - длина гипотенузы.

с² - ? с² - квадрат гипотенузы.

а² +в² - ? а² + в² - сумма квадратов катетов.

Теорема Пифагора

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Домашнее задание: Существуют ли N Э а, в, с, чтобы а² + в² = с²?

Урок 3

Проверка Домашнего задания показала, что дети начали перебирать числа.

Пусть а = 1, тогда 1² + 1² =2

1² + 2² = 5

………….

Не многие добрались для а = 2. 2² + 1² =5

2² + 2² = 8

Миша Рыбков, выписывая таблицу квадратов натуральных чисел, заметил, что разности рядом стоящих квадратов образуют ряд нечетных чисел. Он записал таблицу квадратов до ста.

Но, на вопрос: «Существуют ли числа а, в, с Є N, что а² + в² = с²?» - ответ пока был отрицательным.

Я предложила записать предложение, что нет таких а, в, с ЄN, чтобы а² + в² = с²

Гипотеза 1.

Записали. Миша объяснил классу как он «быстро» выписал таблицу квадратов и попытался доказать, что при а=1 и а=2 не получится найти в, с Є, чтобы а² + в² = с².

Если а=1, то 1 + в² = с² или с² - в² = 1, а наименьшая разность между двумя квадратами равна 3 (см. табл.). Если а=2, то 2² + в² = с², с² - в² = 4; 4 - четное число, значит с и в-либо оба четные, либо оба нечетные (2n - 2m = 2 (n-m) - четные числа; (2n+1) - (2n+1) = 2 (n-m) - четное число).

3² - 1² = 9 - 1 =8.

4² - 2² = 16 - 4 = 8 наименьшие возможные разности

Принялись искать тройку чисел вида (3, в, с).

Нашли (3,4,5): 3² + 4² = 5²

25 = 25 следовательно предположение не верно

«Гипотеза 1 не верна, т. к. существует хотя бы одна тройка чисел, для которых верно равенство а² + в² = с²».

У.: Единственная ли тройка чисел (3,4,5)?

Взяли а = 5,7,9, …Сначала считали всем классом «наперегонки», но потом догадались, что такой способ не эффективен, стали распределять задание по-парам, тройкам (одна пара считает для а=7, другая для а=9).

Найденные тройки выписывали на доску. За урок отыскали (5; 12; 13); (12; 16; 20); (9; 12; 15); (7; 24; 25); (11; 60; 61).

Домашнее задание: Найти как можно больше троек.

Урок 4.

Выписали на доску все найденные тройки чисел:

(3; 4; 5); (5; 12; 13); (7; 24; 25); (9; 12; 15); (9; 40; 41); (11; 60; 61); (15; 112; 113); (17; 144; 145); (6; 8; 10); (12; 16; 20); (15; 20; 25)

Есть ли что-то общее между этими тройками? Числа в них как-то связаны?

Выделили группы похожих троек: (3; 4; 5); (5; 12; 13); (9; 40; 41); (11; 60; 61); (15; 112; 113); (17; 144; 145) у всех этих троек в и с отличаются на единицу.

А вот оставшиеся: (6; 8; 10); (9; 12; 15); (12; 16; 20); (15; 20; 25) какие-то особенные. У всех этих троек с:5; в:2 (или в:4) и а:3. Эта же тройка (3; 4; 5), все цифры которой домножены на 2,3,4,5 соответственно. Можно домножить все числа этой тройки на 6,7 и т.д. и получится а² + в² =с².

Например:

(18; 24; 30) 324 +576 = 900 = 30²

(21; 28; 35) 441 + 784 = 1225 = 35²

Гипотеза 2.

Если числа тройки (3; 4; 5) домножить на одно и то же натуральное число, то получится верное равенство, т.е. а² + в² = с².

Доказательство:

Домножим каждое число суммы 3² +4² =5² на 2 получим 6² + 8² =10²;

Домножим на 3 - получим 9² + 12² =15².

Обозначим число, на которое домножаем буквой n Є N получим:

(3n)² + (4n)² = (5n)²

Заметим, что (2•3)² = 2² • 3² = 4 • 9 = 36 = 6²

(2•4)² = 2² • 4² = 4 •16 = 64 = 8²

а были варианты, что (3n)² = 3 • n²

(3n)² = 3² + n²

(3n)² + (4n)² = (5n)²

3² • n² + 4² • n² = 5²n²

n²(3²+4²) = 5² • n²

(3² + 4²) = 5²•n²/n²

3² + 4² = 5²

Гипотеза доказана.

Замечание.

Гипотеза 2 верна для любой теории (а, в, с)ЄN, удовлетворяющей равенству а²+в² =с²

Гипотеза 3.

Если а² = в + с и с- в =1, где а, в, с Є N, то равенство а² + в² = с² верно.

Доказательство:

а² + в² = с²

а² = с² - в²

а² = (с - в) (в + с)

Если с - в = 1, то а² = в + с

Проверим гипотезу 3:

(3; 4; 5) (5; 12; 13) (7; 24; 25) (9; 40; 41)

3²= 4+5=9 25=12+13 49=24+25 40+41=81

5 - 4 =1 13 -12 =1 25 -24 =1 41 - 41 =1

Теорема

а = 2n + 1, где nЄN, то в и с можно найти по формулам в=(2n + 1)² - 1/ 2, с = в + 1, где (а; в; с)ЄN и а² + в² = с²

Тройку (а; в; с)ЄN удовлетворяющую равенству а² + в² = с² можно найти, домножив каждое из чисел на одно и то же NЄm.

У.: Скажите, пожалуйста, для чего мы доказывали эту теорему?

Что полезного для себя мы можем взять из неё.

Размещено на Allbest.ru