Пусть Ф₁ - множество точек, удовлетворяющих условию ₁, а Ф₂ - удовлетворяющих ₂. Тогда точка будет являться пересечением двух множеств точек Ф₁ и Ф₂. Чтобы построить точку необходимо, опустив условие ₂, построить множество точек Ф₁, удовлетворяющих условию ₁, затем, опустив условие ₁, построить множество точек Ф₂, удовлетворяющих ₂. Пересечение этих двух множеств точек и будет искомый элемент .

Рассмотрим пример:

Задача 1 (решается вместе с преподавателем)

Построить окружность данного радиуса r, проходящую через данную точку А и касающуюся данной прямой d.

Анализ. Предположим, что задача решена и окружность (О, r) построена.

Так как радиус этой окружности дан, то мы сможем её построить, если будет построен её центр О. Точка О удовлетворяет двум условиям:

а) (О, r) = r;

б) (O, d) = r.

Условие а) определяет фигуру S (A, r), а условие б) d₁ и d₂ - такие прямые, что (d₁, d) = (d, d₂) = r

Построение:

S (A, r);

прямые d₁ и d₂:(d₁, d) = (d, d₂) = r;

ОS (A, r) {d₁, d₂};

S (O, r).

Доказательство:

а) ОS (A, r) => A S (O, r);

б) О{d₁, d₂} => (O, d) = r => S (O, r) касается прямой d.

Исследование:

Построения 1 и 2 всегда выполнимы. Рассмотрим построение 3.

Здесь возможны три случая:

а) (А, d) < 2r => Фигура S (A, r) {d₁, d₂} состоит из двух точек;

Задача имеет два решения.

б) (А, d) = 2r => Фигура S (A, r) {d₁, d₂} - точка, задача имеет одно решение.

в) (А, d) > 2r => S (A, r) {d₁, d₂} = ; задача не имеет решений.

Задача 2

Построить треугольник АВС, зная АС и радиусы окружностей, описанных около треугольников АВD и ADC, где AD высота.

Анализ: Известно, что радиус описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров. Так как АС известно, радиусы окружностей известны, точка М - середина АD. Следовательно, можно построить и AD.

Построение:

АС, О₂ - середина;

₁(О₂, r₂);

₂(A, r);

₃(O₁, r);

CD₃ = B;

ABC - искомый;

Доказательство:

r₁ - радиус описанной окружности треугольника АВD (по построению).

Исследование:

Радиусы описанных окружностей должны быть равны половине гипотенузы. Решение единственное.

Домашнее задание

Оставшиеся задачи и предложенная теория.

Занятие 4

Тема: Решение задач на построение алгебраическим методом

Цель: Сформировать умение строить отрезки по данным формулам.

Оборудование: Циркуль, линейка.

План-коспект занятия:

1. Организационный момент.

2. Объяснение нового материала

Преподаватель: При решении задач алгебраическим методом приходится решать следующую задачу:

Даны отрезки a, b,…, l, где a, b,…, l - их длины. Выбрана единица измерения. Требуется построить отрезок х, длина которого х в этой же системе измерения выражается через длины a, b,…, l заданной формулой:

x = f (a, b,…, l)

Рассмотрим построение отрезков, заданных следующими простейшими формулами:

1) ;

2)

, где p и q - натуральные числа;

(построение отрезка - четвёртого пропорционального к данным трём).

;

;

С помощью построений 1-7 можно строить отрезки, заданные более сложными формулами.

Рассмотрим пример: (решить вместе с преподавателем).

Пример 1. Пусть а, b, c и d - данные отрезки. Построить отрезок х, заданный формулой:

Решение: Построение отрезка выполняем в следующей последовательности:

Строим отрезок у, заданный формулой (для этого дважды выполняем построение отрезка, заданного формулой 5);

Строим отрезок z, заданный формулой

(построение отрезка, заданного формулой 6);

Строим отрезки u и v по формулам и

(построение отрезка по формуле 4);

Строим отрезок х, по формуле

(построение отрезков, заданных формулой 4).

Построение:

Алгебраический метод решения задач состоит в следующем: Задачу формулируют так, чтобы в качестве данных фигур и искомой фигуры были отрезки. Используя подходящие теоремы, выражают длину искомого отрезка через длины данных отрезков и по найденной формуле строят искомый отрезок.

Рассмотрим пример:

Задача 1

Дан треугольник АВС. Построить три окружности с центром, соответственно в точках А, В и С так, чтобы они касались друг друга внешним образом.

Решение:

Анализ. Пусть АВС - данный треугольник, a, b, c - его стороны (AB = c, BC = a, AC = b). Задача будет решена, если мы сможем построить отрезок х по известным отрезкам a, b и c.

Видно, что

Отсюда получаем (1)

Построив отрезок х по этой формуле, проводим окружность (А, х), а затем две другие окружности (В, с - х) и (С, b - x).

Построение:

Строим отрезок по формуле

Строим окружность (А, х);

Строим окружность (В, с - х);

Строим окружность (С, b - х).

Доказательство: непосредственно следует из построения.

Исследование: Из формулы (1) находим:

(2)

Из этих формул всегда видно, что задача всегда разрешима, так как в треугольнике АВС c + b - a > 0, a + c - b > 0, a + b - c > 0 и отрезки x, y, z могут быть построены по формулам (2).

Формулы (2) дают единственные значения радиусов искомых окружностей, поэтому задача имеет единственное решение.

Домашнее задание: Построить отрезок, длина которого в выбранной системе измерения равна

Занятие 5

Тема: Метод параллельного переноса.

Цель: Выделить метод параллельного переноса.

Оборудование: Чертёжные инструменты.

План-конспект урока

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Объяснение нового материала.

Преподаватель: Сущность метода параллельного переноса состоит в следующем: какую-либо часть искомой фигуры переносят или параллельно самой себе, или другим образом, но на такое расстояние, чтобы вновь полученная фигура могла быть построена или непосредственно, или легче, чем искомая фигура. Направление такого переноса зависит от условия задачи и должно быть выбрано так, чтобы во вновь полученную фигуру вошло, по возможности, большее количество данных. Давайте рассмотрим пример.

Задача 1

Постройте трапецию по заданным сторонам.

Анализ. Пусть трапеция АВСD построена, ВС= а, АD= b, AB= c, CD= d Выполним параллельный перенос, определяемый вектором СВ. Тогда сторона СD перейдёт в BD. Треугольник АВD можно построить по трём сторонам c, d, b-a (b>a).

Затем продолжим отрезок АD на DD = a. Через точку В проведем прямую, параллельную АD и на ней отложим отрезок ВС= а. Соединим точки С и D. Полученная трапеция АВСD - искомая.

План построения очевиден.

Доказательство. В четырехугольнике АВСD BC параллельна AD, значит ABCD - трапеция в которой AB = c, AD =b, так как AD= b - a + a. BD= CD = d.

Исследование. Треугольник ABD можно построить по трём сторонам, если c - d < b - a < c + d. При этом условии однозначно выполнимы и все остальные шаги построения. Если неравенство c - d < b - a < c + d не выполняется, то задача при выбранных данных не имеет решения.

Задача 2

Построить параллелограмм по двум сторонам и углу между диагоналями.

Анализ. Пусть ABCD - искомый параллелограмм и АВ = а, ВС = b, угол между диагоналями равен ?. Если выполнить параллельный перенос на вектор ВС, то Т_ВС(D) = D₁. Тогда AD₁ = 2b, ACD₁ = , D - середина отрезка AD₁ и DC = а. Значит, точка С принадлежит геометрическому месту точек из которых отрезок AD₁ виден под углом , и окружности S (D; a).

Построение.

1) AD₁ = 2b;

2) F₁ - геометрическое место точек из которых отрезок AD₁ виден под углом ;

3) D - середина отрезка AD₁;

4) S = S (D; a);

5) CF₁ S (D; a);

6) B = T_DA(C).

ABCD - искомый параллелограмм.

4. Домашнее задание: Постройте трапецию по основаниям и диагоналям.

Занятие 6

Тема: Метод подобия.

Цель: Выделить метод подобия.

Оборудование: Чертёжные инструменты.

План-конспект урока

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Объяснение нового материала

Преподаватель: Основная идея метода подобия состоит в следующем:

Сначала строят фигуру, подобную искомой так, чтобы она удовлетворяла всем условиям задачи, кроме одного. Затем строят уже искомую фигуру, подобную искомой и удовлетворяющую опущенному требованию.

Метод подобия находит применение обычно в случаях, когда среди данных лишь одно является отрезком, а все остальные данные-либо углы, либо отношения отрезков.

Обычно целесообразно вспомогательную фигуру строить так, чтобы она была подобна не только искомой, но и подобно расположена с ней. Успех решения зависит в этих случаях от выбора центра подобия.

При решении задач на построение методом подобия часто воспользоваться следующим замечанием. Если две фигуры подобны, то коэффициент подобия равен отношению любых двух соответствующих отрезков. Если отрезкам a, b, c,… фигуры Ф соответствуют отрезки a₁, b₁, c₁,… подобной фигуры Ф₁, то коэффициент подобия равен также отношениям:

Задача 1

Дан АВС и внутри его точка М. Найти на стороне ВС точку Х, расположенную на одинаковом расстоянии от прямой АВ и от точки М.

Анализ. Пусть точка Х найдена так, что перпендикуляр ХY = МХ. Задача сводится к построению фигуры YХМ. Представим целый ряд фигур, подобных искомой фигуре. Достаточно построить одну из этих фигур, например РКN, так как останется провести из точки М прямую параллельную КР и задача будет решена.

Для построения фигуры РКN замечаем, что В есть центр подобия искомых фигур, и поэтому точки М, H, К и В лежат на одной прямой ВМ и PN АВ, PN = BN, положение же точки Р произвольно. Поэтому для построения фигуры PKN надо в произвольной точке Р восстановить PN АВ, из центра N описать радиусом PN дугу, которая пересечёт ВМ в точке К. Проводя МХ ¦КN, можно определить искомую точку Х.

Построение.

5. ЕG AB;

6. H = ? (G, EG)BM;

7. MX ¦ HG;

8. X = BCMX.

Доказательство. Опустив перпендикуляр ХY, из подобия треугольников находим МХ: GH = BX: BN = XY: GE, откуда МХ: GH = =XY: GE, но так как по построению HG = GE, то МХ = YX.

Исследование. Задача всегда возможна и имеет два решения, так как дуга из центра G встречает ВМ всегда в двух точках.

4. Домашнее задание. Постройте треугольник с заданным периметром, подобный данному.

Результаты эксперимента

По проблеме исследования был проведён естественно - педагогический эксперимент.

Эксперимент проходил в три этапа:

Первый этап - констатирующий эксперимент.

При его проведении были выявлены знания учащихся по теме «Решение задач на построение». Использовались различные формы и методы выявления знаний: анкетирование, беседы с учащимися, наблюдение за деятельностью учащихся. В частности, был проведён срез №1: «Основные задачи на построение».

Срез №1

Постройте треугольник по двум сторонам и углу между ними;

Разделите данный отрезок пополам;

Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету;

Какие этапы включает в себя решение задачи на построение?

Какие методы решения задач на построение вы знаете?

Работы учащихся представлены в приложении.

В результате, было выявлено, что у учащихся сформировано представление об основных задачах на построение; знания об этапах решения задач не полны (реализуется только два из четырёх этапов). Умения осуществлять анализ сформированы слабо.

Второй этап - поисковый

На этом этапе осуществлялся отбор содержания заданий, наиболее целесообразных форм работы с учащимися, в процессе выполнения которых происходит формирование методов решения (предлагаемые выше практические занятия).

Третий этап - обучающий(формирующий)

На нём была проведена экспериментальная проверка разработанной методики в виде второго среза (заключительного).

Срез №2

Задача 1. Построить треугольник АВС по сторонам ВС и АС и углу АВС при основании.

Задача 2. Построить треугольник по двум углам ? и ? и медиане m, проведённой из вершины третьего угла.

Для проведения эксперимента были выбраны две группы учащихся примерно с одинаковым уровнем сформированности знаний и умений. Методы, рассматриваемые на занятиях в экспериментальной группе не выходят за рамки школьной программы.

Результаты эксперимента приведены в таблице:

	Эксперимент	альная группа	Контрольная	группа
	срез №1	срез №2	срез №1	срез №2
Количество учащихся	10	10	10	10
Знания об эта Пах решения задачи	20%	68%	22%	27%
Метод пере- ечения фигур	25%	80%	23%	25%
Алгеброичес- кий метод	28%	71%	24%	24%
Метод парал- лельного пе- реноса	30%	65%	26%	25%
Метод подо- бия	28%	70%	29%	31%

Как показывают данные эксперимента, качество знаний в экспериментальной группе значительно выше, чем качество знаний в контрольной группе. В экспериментальной группе у учащихся сформированы знания о всех этапах решения задачи, основных методах их решения, они правильно определяют каким методом стоит решать ту или иную задачу на построение.

Таким образом эксперимент подтвердил выдвинутую нами гипотезу. В результате разработанной методики показатели стали намного выше.

Заключение

Систематическое изучение геометрических построений необходимо в школьном курсе, так как в процессе изучения задач они концентрируют в себе знания из других областей математики, развивают навыки практической графики, формируют поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к посильным самостоятельным исследованиям, способствуют выработке конкретных геометрических представлений, а также к более тщательной обработке умений и навыков.

В работе рассмотрены общие положения теории формирования умения решать геометрические задачи на построение различными методами.

На основе анализа учебно-методической литературы сделан отбор материала для практических занятий по данной теме. Этот материал содержит теорию, включающую в себя основы конструктивной геометрии:

аксиомы конструктивной геометрии;

элементарные построения;

основные построения.

Далее на практических занятиях были предложены основные методы решения задач на построение:

метод геометрических мест точек;

алгебраический метод;

метод параллельного переноса;

метод подобия.

В конце занятий проведён итоговый урок (контроль), который позволяет проверить теоретические знания, практические умения и навыки всех учащихся.