Расчет колебаний кристаллической решетки вольфрамата бария

 (44)

Энергия кулоновского взаимодействия обращается в нуль при взаимодействии нейтральных атомов одного сорта, для атомов разного сорта эта энергия не равна нулю. Сумма по модулю практически равна половине кинетической энергии электронов, образующих связь . В отличие от положительной кинетической энергии обменная энергия ua и энергия us имеют отрицательный знак.

Обменная энергия ua и кинетическая энергия uk электронного газа выражаются через электронную плотность в объеме связи. Как было показано в, градиентные поправки неоднородного электронного облака связи малы, и ими можно пренебречь.

В приближении Томаса-Ферми-Дирака-Гамбоша парная связь атомов A-B, обусловленная кинетической uk, обменной ua и корреляционной энергиями электронного газа в объеме связи, равна

(45)

где кк = 2.871 а т.ед., ка = 0.7381 ат.ед. (без учета ), и ка = 0.8349 ат.ед. (с учетом ).

На половине длины парной связи атомов A, B в точках, равноудаленных от центров этих атомов, .

Объемная плотность суммарной энергии в данной точке на половине длины связи:

 (46)

Результирующие электронные плотности орбиталей, образующих связь, описываются либо в форме выражений Слейтера, либо в форме функции Гаусса, пользующейся широким распространением. В этом случае электронная плотность в зависимости от расстояния r от центра атома может быть представлена выражением (коэффициент пропорционален обратной величине квадрата радиуса связывающей орбитали). При N - числе электронов атома, участвующих в связи, предэкспоненциальный множитель А определяется из условия нормировки

(47)

На половине длины связи расстояние r до любой точки электронного облака связи, расположенной на нормали к связи на расстоянии у от нее, определяется из условия .

Тогда линейная плотность энергии связи на половине ее длины равна:

(48)

Распределение линейной плотности энергии связи вдоль линии связи l аппроксимируется функцией вида , в которой . При этом энергия парной связи определяется интегрированием линейной плотности вдоль линии связи

(49)

после введения коэффициента часто учитывающего роль полная энергия парной связи в данной координатной сфере i кристалла элемента j будет

(50)

и при полном учете корреляционной энергии

(51)

Здесь -- длина связи между данным атомом с атомами первой координационной сферы, Ki - отношение радиуса iкоординационной сферы к радиусу первой сферы r1, элемента j. По существу, численные коэффициенты в выражении являются вариационными параметрами ,

 (52)

Каждый атом элемента jвзаимодействует с атомами i координационной сферы. При этом меньше соответственно коэффициенту экранирования

(53)

- относительное эффективное сечение атома ().

Полная энергия связи кристалла, приходящаяся на один атом элемента j, равна

(54)

3. РАСЧЁТ СПЕКТРА КОЛЕБАНИЙ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЁТКИ ВОЛЬФРАМАТА БАРИЯ

3.1 Кристаллическая структура вольфрамата бария

При помощи численных методов найдена одна из ветвей фононного спектра монокристаллов BaWO4. В качестве потенциала межионного взаимодействия, адекватно описывающего ионно-ковалентный характер связей, был выбран потенциал Морзе. Получены дисперсионные кривые для характерных сечений зоны Бриллюэна.

Вольфраматы и молибдаты щелочноземельных металлов являются перспективными материалами квантовой электроники используемыми в качестве преобразователей частоты лазерного излучения на основе эффекта вынужденного комбинационного рассеяния (ВКР), т.е. соединения, имеющие формулу BaWO4, Эти кристаллы относятся к классу соединений с гетеродесмической (смешанной ионно-ковалентной) структурой, что определяет особенности их фононного спектра и, как следствие, использование их в качестве материалов для ВКР- преобразователей.

Монокристаллы вольфрамата бария относятся к тетрагональной сингонии. Их симметрия описывается пространственной группой I 41/a. Параметры элементарной ячейки BaWO4: а=5.614 A, b=5.614 A, с=12.719 A, б=в=г=90 град, объем элементарной ячейки 400.86 A3 [Быличкина Т.И., Солева Л.И., Победимская Е.А. и др. Кристаллическая структура Ва молибдата и Ва - вольфрамата // Кристаллография. 1970. Т. 15. № 1.С. 165-167.].

Координаты базисных атомов элементарной ячейки представлены в таблице 3. Зона Бриллюэна для кристалла BaWO4 имеет симметрию той же группы что и сам кристалл, и характеризуется следующими базисными векторами: , , .

Для расчета фононных спектров вольфрамата бария использовался метод, описанный в работе [4]. Потенциал межатомного взаимодействия выбирался в виде:

(55)

суммирование распространяется на все пары ионов, принадлежащих элементарной ячейке. Потенциальная энергия взаимодействия ионов б и в, находящихся на расстоянии

друг от друга, выбиралась в виде:

(56)

где , - векторы смещений атомов б и в из положений равновесия, определяемых векторами , ; ; - равновесное значение расстояния между атомами б и в, - обрезающий множитель, учитывающий короткодействие потенциала. При расчете фононного спектра обрезание потенциала удобнее проводить в k-пространстве волновых векторов.

Поскольку кристаллы вольфраматов имеют смешанный тип связи, то потенциал взаимодействия выбирался в виде потенциала Морзе

(57)

Потенциал Морзе и все его производные регулярны при любых расстояниях между ионами, что выгодно отличает его от сингулярного дальнодействующего кулоновского потенциала и его модификаций, учитывающих экранирование. Характерное для потенциала Морзе быстрое убывание энергии взаимодействия с возрастанием расстояния между ионами позволяет достаточно адекватно описывать гетеродесмические кристаллы, у которых имеет место чередование сильных ионных и слабых ковалентных связей. Обоснование потенциала Морзе можно получить в рамках теории Томаса-Ферми-Гамбоша. Параметр ?, входящий в (57), является подгоночным параметром, и его величина определяется по краю инфракрасной полосы поглощения.

Таблица №3. Координаты базисных атомов элементарной ячейки BaWO4

Атом	Координаты базисных атомов
	x/a	y/b	z/c
Ba	0.5	0.75	0.125
W	0.5	0.25	0.375
O(1)	0.646	0.146	0.291
O(2)	0.397	0.104	0.459
O(3)	0.604	0.396	0.459
O(4)	0.354	0.354	0.291

Матрица силовых постоянных , вычисленная в декартовых координатах x, y, z вектора смещения равна:

. (58)

Фононный спектр определялся путем решения секулярного уравнения для Фурье-компонента вектора смещения:

(59)

где динамическая матрица D связана с матрицей силовых постоянных равенством

.

При расчете фононного спектра BaWO4 величина параметра ?, определенная по ИК-границе полосы пропускания, взята равной 21.6. Параметр для каждой пары ионов выбран как равновесное расстояние между ними. Такой выбор соответствует минимуму потенциальной энергии () и приводит к значительному упрощению расчетов. Параметры межатомного взаимодействия выбраны пропорциональными суммарным значениям соответствующих потенциалов ионизации для соответствующих пар ионов, их численные значения приведены в таблице 3.

Таблица 4. Параметры межатомного взаимодействия для пар ионов BaWO4.

Пара ионов	Параметрмежатомн. взаимодействия (эВ)	Пара ионов	Параметрмежатомн. взаимодействия (эВ)
Ba-W	3.5	W-O	5.1
Ba-O	4.7	O-O	4.7

Для определения законов дисперсии секулярное уравнение (59) записывалось в k-пространстве при помощи косинус - преобразования Фурье. Короткодействующий характер взаимодействия учитывался следующим образом: при нахождении Фурье-образа, матрицы силовых постоянных, для которых , полагались равными нулю. Тем самым предполагалось, что потенциал взаимодействия простирается на расстояние меньшее половины размера элементарной ячейки. По этой же причине, при вычислении Фурье-образа матрицы силовых постоянных, Фурье-преобразование проводилось только в пределах элементарной ячейки.

Диагонализация силовой матрицы в k-пространстве производилась численно с помощью программы Maple 4.0 для сечения , в котором было выбрано 6 точек с шагом . Сходимость численного расчета обеспечивалась путем добавления атомов в элементарную ячейку, (последовательным увеличением размера силовой матрицы), и сравнением влияния добавления на вычисленные ранее собственные значения. Расчет считался оконченным, когда относительное изменение собственных значений составляло величину порядка 10-6. Реальная точность расчета спектра колебаний определяется, во-первых, аппроксимацией потенциала межатомного взаимодействия, и, во-вторых, обрезанием матричных элементов в k-пространстве. Влияние описанных факторов снижения точности наиболее сильно в низкочастотной области спектра, где погрешность в энергии фонона составляет величину порядка самой энергии.

Диэлектрические кристаллы, активированные ионами лантаноидов и переходных металлов представляют большой интерес в квантовой электронике. К таким материалам относятся, среди прочих, кристаллы вольфраматов, активированные ионами Cr3+. Представляет интерес расчет фононного спектра кристаллов BaWO4:Cr3+, который предполагается выполнить в дальнейшем.

3.2 Описание программы для расчёта частоты колебаний кристаллической решётки

Для расчёта частоты колебаний кристаллической решётки взяли за центр атом скандия и с помощью программы Topos, определили ближайшее окружение кислорода и вольфрама, в котором выделили эквивалентные позиции, отличающиеся на трансляционный период и из остальных позиций взяли количество соответствующих химической формуле 1-Ba,2-W, 3,4,5,6-O, и для этих атомов определили их координаты в ячейке. Взяли потенциал Морзе, который предлагается в статье Дубровского и на его основе рассчитали силовые константы, составили из них силовую матрицу, для которой составили секулярное уравнение для определения частоты колебаний от центра зоны Бриллюэна от 0 через 0,1 до 0,5.

Рисунок 7- Элементарная ячейка кристалла вольфрамата бария.

Рисунок 8 - Фрагмент кристаллической структуры BaWO4, использованный для расчета фононного спектра

Для расчета фононного спектра BaWO4 в качестве потенциала межатомного взаимодействия нами выбран потенциал Морзе, характерной особенностью которого является экспоненциальное падение потенциала с возрастанием расстояния, отражающее экспоненциальное падение волновых функций валентных электронов. В связи с этим потенциал межатомного взаимодействия выбирается в виде

(62)

где суммирование распространяется на пары атомов, занимающих неэквивалентные позиции, потенциальная энергия равна

(63)

- расстояние между атомами и , которое вычисляется по данным таблицы 1,

- параметр межатомного взаимодействия между атомами и , пропорциональный энергии взаимодействия атомов, приведенный в таблице 2(общий множитель пропорциональности включается в определение ),

, - равновесное значение расстояния,

- подгоночный параметр, величина которого определяется по длинноволновому краю полосы прозрачности кристалла BaWO4.

Вариация потенциала межатомного взаимодействия позволила получить матричные элементы динамической матрицы

(здесь - массы атомов , , - декартовы компоненты вектора смещения -го атома из положения равновесия ), являющиеся основой для составления секулярного уравнения для Фурье-компонентов вектора

 (64)

для численного решения которого была составлена программа на языке программирования Марle.

Рисунок 9 - Кривые дисперсии, содержащие одну троекратно вырожденную акустическую ветвь и пять троекратно вырожденных оптических ветвей. Энергия колебаний (вертикальная ось) рассчитана в ридбергах Ry: 1 Ry=13.6 эВ. По горизонтальной оси отложена величина волнового числа вдоль направления в долях

3.3 Расчет плотности фононных состояний для вольфрамата бария

Приведенный на рис.9 фононный спектр BaWO4 использовался для расчета плотности фононных состояний численным методом по формуле

,

где - объем элементарной ячейки. Диапазон энергий 0...0,45 эВ был разбит на 550 интервалов, и для каждого интервала была найдена длина соответствующего интервала на отрезке . Эта длина пропорциональна искомой плотности состояний g(). Результаты расчета плотности состояний представлены на рисунке 10.

Рисунок 10 - Гистограмма, результаты расчета плотности фононных состояний.

В представленных на рис.10 результатах расчета плотности фононных состояний обращает на себя внимание, что плотность числа колебательных состояний значительно возрастает для первой(акустической) и пятой(оптической) ветвей. Нумерация ветвей производится снизу вверх.

Заключение

Расчеты в рамках предложенной модели показывают что спектр делокализованных колебаний кристаллической решетки вольфрамата бария состоит из отдельных изолированных пиков, т.е. ведет себя подобно спектру локализованных колебаний изолированной молекулы. Такая локализация колебаний вполне объясняет эффективность вольфрамата бария как преобразователя частоты лазерного излучения за счет эффекта комбинационного рассеяния, поскольку известен факт высокой эффективности молекулярных сред как ВКР-преобразователей.

Список использованных источников

1. Lebedev V.A., Pisarenko V.F., Selina N.V., Perfilin A.A., Brik M.G. Spectroscopic and luminescent properties of Yb, Er: LaSc3(BO3)4 crystals. //Optical Materials. 2000 14 C.121-126.

2. Selina N.V., Avanesov A.G., Lebedev V.A., Stroganova E.V., Tumayev E.N., Brik M.G., Special features of the phonon spectrum and non-radiative transitions in the Cr3+-doped ionic-covalent crystals. // Solid State Communications 2008, 146, 298.

3. ГорюновА.В., Кузьмичева Г.М.Рентгенографическое исследование кристаллов LaSc3(BО3)4, активированных ионами хрома и неодима // Журнал неорганической химии. 1996. Том 41, №10. С.1605-1611.

4. Дубовский О.А., Орлов А.В., Семенов В.А. Колебательные спектры металл-металлоидных кристаллитов Fe3P, Fe2P: фононные и бризерные возбуждения. // ФТТ. 2003. Том 45, Вып.2. С.309-316.

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика:нерелятивистская теория. М.:Наука, 1974,752 с.

6. Гамбош П.Статистическая теория атома и ее применения. М:, Иностранная литература, 1951. 398 с.

7. Рыбаков В.Б., Кузьмичева Г.М., Мухин Б.В., Жариков Е.В., Агеев А.Ю., Кутовой С.А., Кузьмин О.В. Рентгеноструктурное исследование соединений (Ce,Gd)Sc3(BO3)4 семейства хантита // Журнал неорганической химии. 1997. Том 42, №1. С.9-16.

8. Грибов.Л.А., Баранов В.И., Зеленцов Д.Ю.Электронно-колебательные спектры многоатомных молекул. М.: Наука, 1997. С.197-201.

9. Акопян И.Г., Писаренко В.Ф., Тумаев Е.Н. Фононный спектр кристаллов скандобората лантана (LSB) и кристаллов LSB, активированных ионами Cr3+ // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2005, №3, С.60-65.

10. Строганова Е.В. Спектрально-люминесцентные и кинетические исследования кристаллов двойных церий-скандиевых боратов (Ce,Gd)Sc3(BO3)4, активированных ионами Cr3+: Дис. канд. физ.-мат. наук, Краснодар, 2003. 102 с

11. Пуле А., Матье Ж.-П. Колебательные спектры и симметрия кристаллов.-М.: Мир, 1973.-437 с.

12. Рассеяние света в твердых телах / Под ред. М.Кордоны.-М.: Мир, 1979.-379 с.

13. Колебательная спектроскопия. Современные воззрения. Тенденции развития / Под ред. А. Барнса и У. Орвилл-Томаса. - М.: Мир, 1981. - 480 с.

14. Сущинский М.М. Спектры комбанационного рассеяния света молекул и кристаллов. - М.: Наука, 1969.-576 с.

15. Жижин Г.Н., Маврин Б.Н., Шабанов В.Ф. Оптические колебательные спектры кристаллов. - М.: Наука, 1984.- 232 с.

16. Боборов А.В., Мулдахметов З.М. Спектроскопия комбинационного рассеяния света. - Алма-Ата: Наука, 1981. - 152 с.

17. Горелик В.С., Умаров Б.С. Введение в спектроскопию комбинационного рассеяния света. - Душамбе: Дониш, 1982. - 287 с.

18. Китайгородский А.И. Молекулярные кристаллы. - М.: Наука, 1971.- 424 с.

19. Применение спектров комбинационного рассеяния / Под ред. А.Андерсона и К.И. Петрова. - М.: Мир, 1977. - 586 с.

20. Борн М., ХуангКунь. Динамическая теория кристаллических решеток.- М.: ИЛ, 1958. - 488 с.

21. Zhizhin G.N., Muktarov E.I. Optical spectra and lattice dynamics of molecular crystals. Vibrational spectra and structure / Eds. J.R. Durig. A series of advances, V. 21.- Amsterdam: ELSEVIER, 1995.- 490 p.

22. ЛисицаМ.П., ЯремкоА.М. РезонансФерми.- Киев: Науковадумка, 1984. - 334 с.

23. Шаскольская М.П. Кристаллография. - М.: Высшая школа. 1978.- 391с.

24. Horning D.F. // J.Chem.Phys. - 1948. - V.16, №11. - P. 1063-2076.

25. Теория неоднородного электронного газа / Под ред. С. Лундквиста и Н. Марча. Мир, М. (1987). 400 с.

26. П. Гамбош. Статистическая теория атома и ее применение / Под ред. К.П. Гурова. Изд-во иностр. лит., М. (1951). 399 с.

27. И.К. Дмитриева, Г.И. Плиндов. Свойства атомов и ионов в свете статистической теории. НиТ, Минск (1991). 189 с.

28. N.N. Sirota, I.M. Sirota. Cryst. Res. Techn. 32, 1, 143 (1997).

29. В. Кон, П. Вашишта. В сб.: Теория неоднородного электронного газа. Мир, М. (1987). С. 86.

30. Дж. Эмсли. Элементы. Мир, М. (1993). С. 256.

31. М. Борн, Х. Кунь. Динамическая теория кристаллических решеток. ИЛ. М. (1958). 488 с.

32. А.Марадудин,.Э.Монтролл,Д.Вейсс. Динамическая теория кристаллических решеток в гармоническом приближении. Мир, М. (1965). 384 с.

33. N.N. Sirota, T.D. Sokolovcky. Chemical bond in Semiconductor and Solids. Consultants Bureau, N.Y. (1967). P. 139.

34. S.C. Upadhyaya, J.C. Upadhyaya, R. Shyam. Phys. Rev. B44, 1, 122 (1991).

35. Н.Н. Сирота, И.М. Сирота, Т.М. Сошнина, Т.Д. Соколовский. ДАН 6 (2000).

36. Landolt-Bornsein. Tabellen. Gruppe III B. Bd 13. Springer,N.Y. (1981).

37. H. Zeise. Thermodynamik. Tabellen. S. Hirzel. Leipzig (1954).V. 3/1.

38. Физические величины / Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. Энергоиздат, М. (1991).

Приложение

Программа для расчетов колебаний в кристаллической решётке вольфрамата бария.

restart; a:=5.614; b:=5.614; c:=12.719;

> PP:=3.14159265358979; b1x:=2*PP/a; b1y:=0; b1z:=0; b2x:=0; b2y:=2*PP/a; b2z:=0; b3x:=0; b3y:=0; b3z:=2*PP/a;

> Nfact:=0.0; OM:=21.6; y:=1.; f1:=(2*OM+1)*exp(-2*OM*(y-1))-(OM+1)*exp(-OM*(y-1)); f2:=exp(-OM*(y-1))-exp(-2*OM*(y-1));

> qx:=Nfact*b1x; qy:=Nfact*b1y; qz:=Nfact*b1z;

> x1:=0.5*a; y1:=0.75*b; z1:=0.125*c; x2:=0.5*a; y2:=0.25*b; z2:=0.375*c; x3:=0.646*a; y3:=0.146*b; z3:=0.291*c; x4:=0.397*a; y4:=0.104*b; z4:=0.459*c; x5:=0.604*a; y5:=0.396*b; z5:=0.459*c; x6:=0.354*a; y6:=0.354*b; z6:=0.291*c;

> r12:=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2); r13:=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2+(z3-z1)^2); r14:=sqrt((x4-x1)^2+(y4-y1)^2+(z4-z1)^2); r15:=sqrt((x5-x1)^2+(y5-y1)^2+(z5-z1)^2); r16:=sqrt((x6-x1)^2+(y6-y1)^2+(z6-z1)^2);

> r23:=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2+(z3-z2)^2); r24:=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y1)^2+(z4-z2)^2); r25:=sqrt((x5-x2)^2+(y5-y2)^2+(z5-z2)^2); r26:=sqrt((x6-x2)^2+(y6-y1)^2+(z6-z2)^2);

> r34:=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2+(z4-z3)^2); r35:=sqrt((x5-x3)^2+(y5-y3)^2+(z5-z3)^2); r36:=sqrt((x6-x3)^2+(y6-y3)^2+(z6-z3)^2);

> r45:=sqrt((x5-x4)^2+(y5-y4)^2+(z5-z4)^2); r46:=sqrt((x6-x4)^2+(y6-y4)^2+(z6-z4)^2);

> r56:=sqrt((x6-x5)^2+(y6-y5)^2+(z6-z5)^2);

> gxx12:=(x1-x2)^2/r12^2; gyy12:=(y1-y2)^2/r12^2; gzz12:=(z1-z2)^2/r12^2; gxx13:=(x1-x3)^2/r13^2; gyy13:=(y1-y3)^2/r13^2; gzz13:=(z1-z3)^2/r13^2; gxx14:=(x1-x4)^2/r14^2; gyy14:=(y1-y4)^2/r14^2; gzz14:=(z1-z4)^2/r14^2; gxx15:=(x1-x5)^2/r15^2; gyy15:=(y1-y5)^2/r15^2; gzz15:=(z1-z5)^2/r15^2; gxx16:=(x1-x6)^2/r16^2; gyy16:=(y1-y6)^2/r16^2; gzz16:=(z1-z6)^2/r16^2;

> gxx23:=(x2-x3)^2/r23^2; gyy23:=(y2-y3)^2/r23^2; gzz23:=(z2-z3)^2/r23^2; gxx24:=(x2-x4)^2/r24^2; gyy24:=(y2-y4)^2/r24^2; gzz24:=(z2-z4)^2/r24^2; gxx25:=(x2-x5)^2/r25^2; gyy25:=(y2-y5)^2/r25^2; gzz25:=(z2-z5)^2/r25^2; gxx26:=(x2-x6)^2/r26^2; gyy26:=(y2-y6)^2/r26^2; gzz26:=(z2-z6)^2/r26^2;

> gxx34:=(x3-x4)^2/r34^2; gyy34:=(y3-y4)^2/r34^2; gzz34:=(z3-z4)^2/r34^2; gxx35:=(x3-x5)^2/r35^2; gyy35:=(y3-y5)^2/r35^2; gzz35:=(z3-z5)^2/r35^2; gxx36:=(x3-x6)^2/r36^2; gyy36:=(y3-y6)^2/r36^2; gzz36:=(z3-z6)^2/r36^2;

> gxx45:=(x4-x5)^2/r45^2; gyy45:=(y4-y5)^2/r45^2; gzz45:=(z4-z5)^2/r45^2; gxx46:=(x4-x6)^2/r46^2; gyy46:=(y4-y6)^2/r46^2; gzz46:=(z4-z6)^2/r46^2;

> e12:=3.5/13.6; e13:=e12; e14:=e12; e15:=3.5/13.6; e16:=e15; e23:=5.1/13.6; e24:=5.1/13.6; e25:=4.7/13.6; e26:=4.7/13.6; e34:=5.1/13.6; e35:=4.7/13.6; e36:=4.7/13.6; e45:=4.7/13.6; e46:=e45; e56:=4.7/13.6;

> M1:=137.0; M2:=183.0; M3:=16.0; M4:=16.0; M5:=16.0; M6:=16.0;> Dxx12:=2*OM*e12*(gxx12*f1+f2)/sqrt(M1*M2); Dxx13:=2*OM*e13*(gxx13*f1+f2)/sqrt(M1*M3); Dxx14:=2*OM*e14*(gxx14*f1+f2)/sqrt(M1*M4); Dxx15:=2*OM*e16*(gxx12*f1+f2)/sqrt(M1*M5); Dxx16:=2*OM*e16*(gxx12*f1+f2)/sqrt(M1*M6);

> Dxx23:=2*OM*e23*(gxx23*f1+f2)/sqrt(M2*M3); Dxx24:=2*OM*e24*(gxx24*f1+f2)/sqrt(M2*M4); Dxx25:=2*OM*e25*(gxx25*f1+f2)/sqrt(M2*M5); Dxx26:=2*OM*e26*(gxx26*f1+f2)/sqrt(M2*M6);

> Dxx34:=2*OM*e34*(gxx34*f1+f2)/sqrt(M3*M4); Dxx35:=2*OM*e35*(gxx35*f1+f2)/sqrt(M3*M5); Dxx36:=2*OM*e36*(gxx36*f1+f2)/sqrt(M3*M6);

> Dxx45:=2*OM*e45*(gxx45*f1+f2)/sqrt(M4*M5); Dxx46:=2*OM*e46*(gxx46*f1+f2)/sqrt(M4*M6);

> Dxx56:=2*OM*e56*(gxx56*f1+f2)/sqrt(M5*M6);

> gxy12:=(x1-x2)*(y1-y2)/r12^2; gyz12:=(y1-y2)*(z1-z2)/r12^2; gxy13:=(x1-x3)*(y1-y3)/r13^2; gyz13:=(y1-y3)*(z1-z3)/r13^2; gxy14:=(x1-x4)*(y1-y4)/r14^2; gyz14:=(y1-y4)*(z1-z4)/r14^2; gxy15:=(x1-x5)*(y1-y5)/r15^2; gyz15:=(y1-y5)*(z1-z5)/r15^2; gxy16:=(x1-x6)*(y1-y6)/r16^2; gyz16:=(y1-y6)*(z1-z6)/r16^2; gxz12:=(x1-x2)*(z1-z2)/r12^2; gxz13:=(x1-x3)*(z1-z3)/r13^2; gxz14:=(x1-x4)*(z1-z4)/r14^2; gxz15:=(x1-x5)*(z1-z5)/r15^2; gxz16:=(x1-x6)*(z1-z6)/r16^2;

> gxy23:=(x2-x3)*(y2-y3)/r23^2; gyz23:=(y2-y3)*(z2-z3)/r23^2; gxy24:=(x2-x4)*(y2-y4)/r24^2; gyz24:=(y2-y4)*(z2-z4)/r24^2; gxy25:=(x2-x5)*(y2-y5)/r25^2; gyz25:=(y2-y5)*(z2-z5)/r25^2; gxy26:=(x2-x6)*(y2-y6)/r26^2; gyz26:=(y2-y6)*(z2-z6)/r26^2; gxz23:=(x2-x3)*(z2-z3)/r23^2; gxz24:=(x2-x4)*(z2-z4)/r24^2; gxz25:=(x2-x5)*(z2-z5)/r25^2; gxz26:=(x2-x6)*(z2-z6)/r26^2;

> gxy34:=(x3-x4)*(y3-y4)/r34^2; gyz34:=(y3-y4)*(z3-z4)/r34^2; gxy35:=(x3-x5)*(y3-y5)/r35^2; gyz35:=(y3-y5)*(z3-z5)/r35^2; gxy36:=(x3-x6)*(y3-y6)/r36^2; gyz36:=(y3-y6)*(z3-z6)/r36^2; gxz34:=(x3-x4)*(z3-z4)/r34^2; gxz35:=(x3-x5)*(z3-z5)/r35^2; gxz36:=(x3-x6)*(z3-z6)/r36^2;

> gxy45:=(x4-x5)*(y4-y5)/r45^2; gyz45:=(y4-y5)*(z4-z5)/r45^2; gxy46:=(x4-x6)*(y4-y6)/r46^2; gyz46:=(y4-y6)*(z4-z6)/r46^2; gxz45:=(x4-x5)*(z4-z5)/r45^2; gxz46:=(x4-x6)*(z4-z6)/r46^2;

> gxy56:=(x5-x6)*(y5-y6)/r56^2; gyz56:=(y5-y6)*(z5-z6)/r56^2; gxz56:=(x5-x6)*(z5-z6)/r56^2;

> Dxy12:=2*OM*e12*(gxy12*f1)/sqrt(M1*M2); Dxy13:=2*OM*e13*(gxy13*f1)/sqrt(M1*M3); Dxy14:=2*OM*e14*(gxy14*f1)/sqrt(M1*M4); Dxy15:=2*OM*e15*(gxy15*f1)/sqrt(M1*M5); Dxy16:=2*OM*e16*(gxy16*f1)/sqrt(M1*M6);

> Dxy23:=2*OM*e23*(gxy23*f1)/sqrt(M2*M3); Dxy24:=2*OM*e24*(gxy24*f1)/sqrt(M2*M4); Dxy25:=2*OM*e25*(gxy25*f1)/sqrt(M2*M5); Dxy26:=2*OM*e26*(gxy26*f1)/sqrt(M2*M6);

> Dxy34:=2*OM*e34*(gxy34*f1)/sqrt(M3*M4); Dxy35:=2*OM*e35*(gxy35*f1)/sqrt(M3*M5); Dxy36:=2*OM*e36*(gxy36*f1)/sqrt(M3*M6);

> Dxy45:=2*OM*e45*(gxy45*f1)/sqrt(M4*M5); Dxy46:=2*OM*e46*(gxy46*f1)/sqrt(M4*M6);

> Dxy56:=2*OM*e56*(gxy56*f1)/sqrt(M5*M6);

> Dyz12:=2*OM*e12*(gyz12*f1)/sqrt(M1*M2); Dyz13:=2*OM*e13*(gyz13*f1)/sqrt(M1*M3); Dyz14:=2*OM*e14*(gyz14*f1)/sqrt(M1*M4); Dyz15:=2*OM*e15*(gyz15*f1)/sqrt(M1*M5); Dyz16:=2*OM*e16*(gyz16*f1)/sqrt(M1*M6);

> Dyz23:=2*OM*e23*(gyz23*f1)/sqrt(M2*M3); Dyz24:=2*OM*e24*(gyz24*f1)/sqrt(M2*M4); Dyz25:=2*OM*e25*(gyz25*f1)/sqrt(M2*M5); Dyz26:=2*OM*e26*(gyz26*f1)/sqrt(M2*M6);

> Dyz34:=2*OM*e34*(gyz34*f1)/sqrt(M3*M4); Dyz35:=2*OM*e35*(gyz35*f1)/sqrt(M3*M5); Dyz36:=2*OM*e36*(gyz36*f1)/sqrt(M3*M6);

> Dyz45:=2*OM*e45*(gyz45*f1)/sqrt(M4*M5); Dyz46:=2*OM*e46*(gyz46*f1)/sqrt(M4*M6);

> Dyz56:=2*OM*e56*(gyz56*f1)/sqrt(M5*M6);

> Dxz12:=2*OM*e12*(gxz12*f1)/sqrt(M1*M2); Dxz13:=2*OM*e13*(gxz13*f1)/sqrt(M1*M3); Dxz14:=2*OM*e14*(gxz14*f1)/sqrt(M1*M4); Dxz15:=2*OM*e15*(gxz15*f1)/sqrt(M1*M5); Dxz16:=2*OM*e16*(gxz16*f1)/sqrt(M1*M6);

> Dxz23:=2*OM*e23*(gxz23*f1)/sqrt(M2*M3); Dxz24:=2*OM*e24*(gxz24*f1)/sqrt(M2*M4); Dxz25:=2*OM*e25*(gxz25*f1)/sqrt(M2*M5); Dxz26:=2*OM*e26*(gxz26*f1)/sqrt(M2*M6);

> Dxz34:=2*OM*e34*(gxz34*f1)/sqrt(M3*M4); Dxz35:=2*OM*e35*(gxz35*f1)/sqrt(M3*M5); Dxz36:=2*OM*e36*(gxz36*f1)/sqrt(M3*M6);

> Dxz45:=2*OM*e45*(gxz45*f1)/sqrt(M4*M5); Dxz46:=2*OM*e46*(gxz46*f1)/sqrt(M4*M6);

> Dxz56:=2*OM*e56*(gxz56*f1)/sqrt(M5*M6);

> Dyy12:=2*OM*e12*(gyy12*f1+f2)/sqrt(M1*M2); Dyy13:=2*OM*e13*(gyy13*f1+f2)/sqrt(M1*M3); Dyy14:=2*OM*e14*(gyy14*f1+f2)/sqrt(M1*M4); Dyy15:=2*OM*e15*(gyy15*f1+f2)/sqrt(M1*M5); Dyy16:=2*OM*e16*(gyy16*f1+f2)/sqrt(M1*M6);

> Dyy23:=2*OM*e23*(gyy23*f1+f2)/sqrt(M2*M3); Dyy24:=2*OM*e24*(gyy24*f1+f2)/sqrt(M2*M4); Dyy25:=2*OM*e25*(gyy25*f1+f2)/sqrt(M2*M5); Dyy26:=2*OM*e26*(gyy26*f1+f2)/sqrt(M2*M6);

> Dyy34:=2*OM*e34*(gyy34*f1+f2)/sqrt(M3*M4); Dyy35:=2*OM*e35*(gyy35*f1+f2)/sqrt(M3*M5); Dyy36:=2*OM*e36*(gyy36*f1+f2)/sqrt(M3*M6);

> Dyy45:=2*OM*e45*(gyy45*f1+f2)/sqrt(M4*M5); Dyy46:=2*OM*e46*(gyy46*f1+f2)/sqrt(M4*M6);

> Dyy56:=2*OM*e56*(gyy56*f1+f2)/sqrt(M5*M6);

> Dzz12:=2*OM*e12*(gzz12*f1+f2)/sqrt(M1*M2); Dzz13:=2*OM*e13*(gzz13*f1+f2)/sqrt(M1*M3); Dzz14:=2*OM*e14*(gzz14*f1+f2)/sqrt(M1*M4); Dzz15:=2*OM*e15*(gzz15*f1+f2)/sqrt(M1*M5); Dzz16:=2*OM*e16*(gzz16*f1+f2)/sqrt(M1*M6);

> Dzz23:=2*OM*e23*(gzz23*f1+f2)/sqrt(M2*M3); Dzz24:=2*OM*e24*(gzz24*f1+f2)/sqrt(M2*M4); Dzz25:=2*OM*e25*(gzz25*f1+f2)/sqrt(M2*M5); Dzz26:=2*OM*e26*(gzz26*f1+f2)/sqrt(M2*M6);

> Dzz34:=2*OM*e34*(gzz34*f1+f2)/sqrt(M3*M4); Dzz35:=2*OM*e35*(gzz35*f1+f2)/sqrt(M3*M5); Dzz36:=2*OM*e36*(gzz36*f1+f2)/sqrt(M3*M6);

> Dzz45:=2*OM*e45*(gzz45*f1+f2)/sqrt(M4*M5); Dzz46:=2*OM*e46*(gzz46*f1+f2)/sqrt(M4*M6);

> Dzz56:=2*OM*e56*(gzz56*f1+f2)/sqrt(M5*M6);

> qR12:=qx*(x2-x1)+qy*(y2-y1)+qz*(z2-z1); qR13:=qx*(x3-x1)+qy*(y3-y1)+qz*(z3-z1); qR14:=qx*(x4-x1)+qy*(y4-y1)+qz*(z4-z1); qR15:=qx*(x5-x1)+qy*(y5-y1)+qz*(z5-z1); qR16:=qx*(x6-x1)+qy*(y6-y1)+qz*(z6-z1);

> qR23:=qx*(x3-x2)+qy*(y3-y2)+qz*(z3-z2); qR24:=qx*(x4-x2)+qy*(y4-y2)+qz*(z4-z2); qR25:=qx*(x5-x2)+qy*(y5-y2)+qz*(z5-z2); qR26:=qx*(x6-x2)+qy*(y6-y2)+qz*(z6-z2);

> qR34:=qx*(x4-x3)+qy*(y4-y3)+qz*(z4-z3); qR35:=qx*(x5-x3)+qy*(y5-y3)+qz*(z5-z3); qR36:=qx*(x6-x3)+qy*(y6-y3)+qz*(z6-z3);

> qR45:=qx*(x5-x4)+qy*(y5-y4)+qz*(z5-z4); qR46:=qx*(x6-x4)+qy*(y6-y4)+qz*(z6-z4);

> qR56:=qx*(x6-x5)+qy*(y6-y5)+qz*(z6-z5);

> with(linalg):

> Dxx11:=-Dxx12-Dxx13-Dxx14-Dxx15-Dxx16; Dxx22:=-Dxx12-Dxx23-Dxx24-Dxx25-Dxx26; Dxx33:=-Dxx13-Dxx23-Dxx34-Dxx35-Dxx36; Dxx44:=-Dxx14-Dxx24-Dxx34-Dxx45-Dxx46; Dxx55:=-Dxx15-Dxx25-Dxx35-Dxx45-Dxx56; Dxx66:=-Dxx16-Dxx26-Dxx36-Dxx46-Dxx56;

> DD:=matrix([ [Dxx11,Dxx12*cos(qR12),Dxx13*cos(qR13),Dxx14*cos(qR14),Dxx15*cos(qR15),Dxx16*cos(qR16)], [Dxx12*cos(qR12),Dxx22,Dxx23*cos(qR23),Dxx24*cos(qR24),Dxx25*cos(qR25),Dxx26*cos(qR26)], [Dxx13*cos(qR13),Dxx23*cos(qR23),Dxx33,Dxx34*cos(qR34),Dxx35*cos(qR35),Dxx36*cos(qR36)], [Dxx14*cos(qR14),Dxx24*cos(qR24),Dxx34*cos(qR34),Dxx44,Dxx45*cos(qR45),Dxx46*cos(qR46)], [Dxx15*cos(qR15),Dxx25*cos(qR25),Dxx35*cos(qR35),Dxx45*cos(qR45),Dxx55,Dxx56*cos(qR56)], [Dxx16*cos(qR16),Dxx26*cos(qR26),Dxx36*cos(qR36),Dxx46*cos(qR46),Dxx56*cos(qR56),Dxx66]]);

DD :=[-.2616243284, 0, .2072378030, .05438652540, 0, 0]

[0, -3.700273954, 2.016754116, .1478108269, .9430649428, .5926440676]

[.2072378030, 2.016754116, -22.26358616, 6.499193436, .1700002483, 13.37040056]

[.05438652540, .1478108269, 6.499193436, -13.62050449, 6.740994222, .1781194759]

[0, .9430649428, 170000248, 6.740994222, -13.87731084, 6.023251426]

[0, 5926440676, 13.37040056, 1781194759, 6.023251426, -20.16441554]

(Курсивом отмечены результаты работы программы: матричные элементы силовой матрицы, собственные значения силовой матрицы, и частоты колебаний решетки для шести ветвей)

> eigenvals(DD);

-36.93860394, -18.23995812, -13.88758592, -4.509817993, -.3117493339, -.2100000652*10-8

>

> o1:=sqrt(abs(-36.93860394)); o2:=sqrt(abs(-18.23995812)); o3:=sqrt(abs(-13.88758592)); o4:=sqrt(abs(-4.509817993)); o5:=sqrt(abs(-.3117493339)); o6:=sqrt(abs(-.2100000652e-810-8));

o1 := 6.077713710

o2 := 4.270826398

o3 := 3.726605147

o4 := 2.123633206

o5 := .5583451745

o6 := 2.828427125

>

Размещено на Allbest.ru