; ,(3.35)

Где

.(3.36)

Вводя нормированные амплитуды и автоколебаний на частоте внешнего воздействия получаем взамен (3.35)

, ,(3.37)

где .

На рис. 3.9 и 3.10 построены графики нормированных амплитуд в зависимости от нормированной расстройки при различных значениях .

Частотные характеристики и захваченного автогенератора делятся на две части. Когда воздействие велико, отклик на внешний сигнал очень похож на резонансную кривую линейного контура. Однако амплитуда собственных колебаний испытывает очень интересное изменение. Когда расстройка далека от резонанса, влияние внешнего сигнала на мало, однако при приближении к амплитуда падает до нуля и остается такой до тех пор, пока не удалится от с противоположной стороны. Таким образом, существует конечный интервал (полоса синхронизма) частот вблизи резонанса, где автогенератор захвачен так что он осциллирует в точности на частоте внешнего сигнала. В этой области биения полностью исчезают, как показано на рис. 3.8 - б который следует сравнить с рис. 3.8 - а, который относится к линейному случаю.

Другими словами, если частоты различных колебаний достаточно близки, они будут подтягиваться друг к другу, что приведет к фазовому синхронизму колебаний. Важный момент здесь состоит во взаимной связи частот, присутствующих во внешнем сигнале, с частотой генератора, который синхронизируется. Действительно, в энергетических системах, где ряд синхронных генераторов питает нагрузку через пару шин, отмечается то же самое явление: стягивание индивидуальных частот всей совокупности в единое, хорошо отрегулированное колебание.

Иначе ведут себя характеристики автогенератора, представленные на рис. 3.9 и 3.10, когда воздействие меньше и расстройка меньше . В этом случае характеристики становятся многозначными и существует более одного устойчивого состояния, часть из которых соответствует синхронному режиму, другие - нет.

Рис. 3.9 Амплитудно-частотные характеристики синхронизированного автогенератора

Нелинейные системы с колебаниями релаксационного типа были изучены методами, связанными с именем Хилла [10]. Отыскание решения для переходного процесса в синхронизируемой системе зависит от нашего умения решать дифференциальное уравнение, называемое уравнением Хилла [10]. Обсуждение общей теории уравнения Хилла, затрагивающей вопросы существования, единственности и ограниченности решений, выходит за рамки настоящей курсовой работы. Тем не менее, будет полезным ознакомление с видом этого уравнения.

Простая электрическая цепь, приводящая к уравнению Хилла, состоит из параллельного контура, включающего постоянную индуктивность и конденсатор, емкость которого, по предположению, периодически меняется со временем. Для заряда конденсатора имеем дифференциальное уравнение

.(3.38)

Легко привести многие другие примеры физических задач, связанных с уравнением Хилла; однако если некоторая функцияпериодична по , линейное уравнение

(3.39)

называется уравнением Хилла, только если и - константы. Если, например, в (3.39) , причем , и , то в результате получим специальный случай уравнения Хилла - уравнение МатьеУравнение Хилла имеет вид, где - произвольная периодическая функция. Уравнение Матье записывают в форме .. В общем же случае для выявления функционального характера решений уравнения Хилла можно использовать теорию Флоке, относящуюся к линейным дифференциальным уравнениям с периодическими коэффициентами. Эта теория, к сожалению, не решает вопроса об устойчивости, что обычно можно выполнить только с помощью детального изучения решений данного дифференциального уравнения.

Заключение

Нет такого раздела физики, в котором мы не встречались бы в той или иной степени с явлениями, в которых имеют место колебания. В оптике, акустике, механике, электричестве, в теории атома - всюду мы встречаемся с колебаниями. Колебательные процессы широко распространены в природе и находят применение во многих практических приложениях.

Как известно, существует много разных типов колебаний. Однако все колебательные процессы можно разделить на колебания, совершающиеся в линейных и в нелинейных системах. Названия их определяются видом дифференциальных уравнений, которые описывают колебательное движение материальной системы. Линейными системами называют такие системы, в которых основной закон колебаний выражается линейным дифференциальным уравнением. Очевидно, что нелинейные системы - такие, для которых основной закон выражается нелинейным дифференциальным уравнением.

На сегодняшний день наиболее изученными являются линейные системы. Это и не удивительно. Ведь если оглянуться назад, то можно заметить, что основные усилия исследователей были сосредоточены лишь на изучении линейных систем. В то же время большой интерес представляют нелинейные системы. Ведь практически все процессы и явления, которые встречаются на практике, являются нелинейными по своей природе.

Исследование нелинейных колебаний значительно усложняется, т.к. нет общих методов решения нелинейных дифференциальных уравнений. Разница между процессами в линейных и нелинейных колебательных системах сводится к тому, что при анализе колебаний в линейных системах по частным процессам можно сделать вполне определенное заключение о всех возможных в данной системе процессах, а для процессов в нелинейных системах вообще этого сделать нельзя.

Но, если рассматривать малые колебания, такие, при которых координата и скорость изменяются на малую величину, то многие нелинейные уравнения станут линейными и исследование движения значительно упростится.

В данной дипломной работе мы рассмотрели более подробно приемы решения некоторых типов задач теории нелинейных колебаний. Рассмотрели методы изучения свободных колебаний нелинейных систем при помощи аппарата фазовой плоскости. Познакомились с природой различных особых точек (особенностей), применяемых при решении нелинейных задач. Затронули вопросы, связанные с теорией Ван дер Поля о синхронизации колебаний, рассмотрели уравнение Хилла.

Таким образом, мы рассмотрели классические, наиболее часто встречающиеся методы исследования нелинейных систем. В последнее время благодаря развитию вычислительной техники стало возможным решить, вообще говоря, любое уравнение с помощью численных методов. Однако простой перебор численных решений ведет лишь к чуть большему пониманию нелинейных процессов, но не дает четкого представления о самой сути нелинейной системы.

Список литературы

1. В. Линдсей. Системы синхронизации в связи и управлении. Пер. с англ. - В.Н. Кулешова, Г.Д. Лобова, Д.П. Царапкина под ред. Ю.Н. Бакаева, М. В. Капранова.- Москва, «Советское радио», 1978.

2. Г. Пейн. Физика колебаний и волн. Пер. с англ. - А.А. Колоколова под ред. Г.В. Скроцкого. - Москва, «Мир», 1979.

3. Н. Винер. Кибернетика. Пер. с англ. Москва, «Советское радио», 1968.

4. А. Пуанкаре. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Пер. с франц. М. - Л., ОГИЗ, 1947.

5. Б. Ван дер Поль. Нелинейная теория электрических колебаний. Пер. с англ. Связьтехиздат, 1935.

6. Стретт Дж. В. (лорд Релей). Теория звука. Т. 1,2. Пер. с англ. М., ГИТТЛ, 1955.

7. Р. Адлер. Исследование явлений синхронизации генераторов. - «ТИИЭР», 1973, т. 61, № 10, 5 - 11.

8. А.А. Андронов, А.А. Витт. К математической теории автоколебаний. - В кн.: Собрание трудов А. А. Андронова. М. - Л., Изд. АН СССР, 1956.

9. А.А. Андронов, А.А. Витт. К теории захватывания Ван дер Поля. - В кн.: Собрание трудов А.А. Андронова. М. - Л., Изд. АН СССР, 1956.

10. Magnus, W., and S. Winkler, Hill's, Equations. J. Wiley, N. Y., 1966.

Размещено на Allbest.ru