10. Флуктуации. Распределение Гаусса

Статистическое и чисто термодинамическое описание тепловых процессов различаются тем, что из законов статистической физики с неизбежностью вытекает существование флуктуаций. В то же время вероятность сколько-нибудь заметных флуктуаций в системе, содержащей большое число частиц, чрезвычайно мала.

Открытие многочисленных примеров флуктуационных процессов явилось блестящим подтверждением законов статистической физики и послужило одним из важнейших моментов в окончательном утверждении молекулярной теории.

В работах Эйнштейна и Смолуховского было показано, что целый ряд давно известных физических процессов обусловлен явлениями флуктуаций, и была развита комплексная теория этих вопросов, оказавшихся в прекрасном согласии с экспериментами.

Рассмотрим флуктуации в замкнутой системе.

Пусть система находится в состоянии статистического равновесия и имеет энтропию S0. Предположим теперь, что состояние системы изменяется так, что она переходит в неравновесное состояние с энтропией S.

Будем считать, что изменение состояния системы можно характеризовать изменением некоторого внутреннего параметра x, значение которого зависит от состояния всей системы.

В равновесии x = x0. Пример x - плотность с газа, находящегося в замкнутом теплоизолированном сосуде. В состоянии равновесия плотность постоянна по всему объему сосуда x0=с0=const.

В результате флуктуации система может самопроизвольно перейти в неравновесное состояние с переменной плотностью x= с(r).

Энтропия системы будет некоторой функцией параметра x: S=S(x). При этом в состоянии равновесия S0=S(x0) .

Вероятность застать систему в интервале значений x; x+dx должна быть пропорциональна статистическому весу (числу микросостояний) и величине интервала dx:



.

Для изолированной системы верна формула Больцмана

Константа определяется из условия нормировки:

Или для функции распределения:

(*)

Прежде, чем приступить к интегрированию этой функции, надо ответить на вопрос о пределах ее применимости. Все распределения, приведенные выше, неявно подразумевают классичность поведения x. Поэтому надо найти условие, допускающее пренебрежение квантовыми эффектами.

Как известно из квантовой механики, между квантовыми неопределенностями энергии и какой-либо величины x имеет место соотношение

где dx/dt - классическая скорость изменения величины x.

Пусть ф - время, характеризующее скорость изменения нашей величины x, которая имеет неравновесное значение. Тогда

Ясно, что говорить об определенном значении величины x можно лишь при условии малости ее квантовой неопределенности

Таким образом, квантовая неопределенность энергии должно быть велика по сравнению с . Энтропия системы будет при этом иметь неопределенность

Для того, чтобы формула (*) имела реальный смысл, необходимо, очевидно, чтобы кавнтовая неточность энтропии была мала по сравнению с k:

;



Это и есть искомое условие. При слишком низких температурах или при слишком быстром изменении x (слишком малом ф) флуктуации нельзя рассматривать термодинамически, т.к. на первый план выступают чисто квантовые флуктуации.

Выберем x так, что энтропия имеет максимум при x = x0 = 0. Поэтому

,

Величина x при флуктуациях очень мала. Разлагая S(x) в ряд по степеням x и ограничиваясь членом второго порядка, получим

где в>0. Тогда получим распределение вероятностей в виде:

Нормирование константы A определяется условием

Хотя выражение для f(x) относится к малым x, но ввиду быстрого убывания подынтегральной функции с увеличением |x| область интегрирования можно распространить на все значения от -? до +?. Произведя интегрирование, получим

(интеграл Пуассона).

Таким образом, имеем для величины x распределение:

.

Эта формула называется распределение Гаусса. Если обозначить

,

то, беря интеграл, распределение можно записать в виде:

.

Функция f(x) имеет тем более острый максимум, чем меньше x2.

Отметим, что по известному x2 можно найти аналогичную величину для любой функции (x). Ввиду малости x имеем:

()2 =

(подразумевается, что функция (x) мало меняется при значениях x x2 и что производная d/dx отлична от нуля при x = 0).

Если , то распределение Гаусса запишется в виде:

.

11.Флуктуации термодинамических величин

Рассчитаем теперь флуктуации конкретных термодинамических величин.

Пусть ѓ -- любая физическая величина, испытывающая флуктуации. Флуктуацией величины ѓ называется отклонение мгновенного значения этой величины от ее среднего значения. Очевидно, что <Дѓ> = 0. Поэтому обычно пользуются средним квадратом флуктуации, т.е. величиной <Дѓ2>. Квадратный корень из этой величины называется -- среднеквадратичной флуктуацией.

Усредняя выражение , получим

Следовательно,

(1)

Усредним теперь произведение двух флуктуирующих величин:

Учитывая, что <Дѓ>= <Дg >= 0, получим

(2)

Формула (1) содержится здесь как частный случай, который получается при g =f.

Величины f и g называются статистически независимыми, если <ДfДg> = 0.

Для таких величин

<fg>=<f><g>. (3)

Рассмотрим теперь любую физическую систему, состоящую из N независимых одинаковых частей. Примером такой системы может служить идеальный газ, а составных частей -- отдельные молекулы. Пусть ft -- произвольная аддитивная величина, характеризующая i-ю подсистему, например, в приведенном примере - кинетическая энергия i-й молекулы. Тогда в силу предполагаемой аддитивности соответствующая величина для всей системы будет F = Уѓi,. Выразим средний квадрат флуктуации величины F через аналогичный квадрат для величины ѓi .Очевидно, <F> = У<ѓ>i = N<f>, где индекс i опущен, так как предполагается, что все составные части системы тождественны. Далее,

А так как эти части независимы, то, <ѓi ѓj >= <ѓi >< ѓj >=(<ѓ>)2. Следовательно,



Подставляя эти значения в формулу (1), получим

(4)

Отсюда на основании (1)

(5)

Таким образом, с увеличением N относительная флуктуация величины F убывает обратно пропорционально . При больших величинах N относительные флуктуации ничтожны. Этот вывод качественно верен и для неаддитивных величин. С ним связана достоверность термодинамических результатов для больших макроскопических систем.

В соответствии со сказанным видим, что в объемах с большим средним числом частиц N относительные флуктуации малы и труднодоступны наблюдению. Наоборот, при малых N относительные флуктуации велики. Более общий метод вычисления флуктуации плотности, применимый также к жидкостям и твердым телам, основан на теореме о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы. Рассмотрим малую часть жидкости или газа, окруженную такой же жидкой или газообразной средой, температура Т которой поддерживается постоянной (термостатом). С целью упрощения и наглядности вычислений предположим, что малая часть жидкости или газа заключена в цилиндр с поршнем. Стенки цилиндра идеально проводят тепло, а поршень может ходить в нем без трения. Тогда наличие стенок цилиндра и поршня не будет препятствовать обмену энергией и выравниванию давлений между веществом в цилиндре и термостатом. Тепловое движение молекул вещества вызовет броуновское движение поршня. К этому движению поршня мы и применим теорему о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы. Поршень можно рассматривать как гармонический осциллятор, совершающий беспорядочные тепловые колебания. Среднее значение его потенциальной энергии при смещении на х из положения равновесия х = 0 равно (1/2) кх2 = (1/2)кТ, где к -- жесткость, соответствующая такому смещению. Если S -- площадь поршня, a V -- изменение объема системы, то V = Sx. Таким образом, <(ДV)2 > = <S2x2>= S2kT/K. Сила, возвращающая поршень в положение равновесия, будет , где Р -- давление газа или жидкости. Поэтому к = -- SdP/dх =S2dP/dV. В результате получим

(6)

Знак Т указывает, что в выводе предполагалось постоянство температуры окружающей среды (термостата). Если бы вещество внутри объема V было адиабатически изолировано, то индекс Т следовало бы заменить на S (постоянство энтропии), т.е.

. (7)

Формулы (6) и (7) выражают флуктуации объема одной и той же массы вещества, находящейся в термодинамическом равновесии с окружающей средой.

Для идеального газа при постоянной температуре PV = const, так что (dV/dP) т = -V/P. А так как PV = NкТ, где N - число молекул в объеме V, то из формулы (6) получаем <Д V 2>=V2/N.

Перейдем теперь к вычислению флуктуации энергии. С целью лучшего уяснения метода начнем с вычисления флуктуации кинетической энергии молекулы одноатомного идеального газа в отсутствие силовых полей. Согласно максвелловскому закону распределения скоростей

(8)

где б = 1/кT, dГ - элементы объема пространства скоростей, а Z определяется условием нормировки

(9)

Дифференцируя это соотношение по параметру б, получим

и формула (8) перейдет в

(10)

Отсюда,

Аналогично

(11)

Сравнение этой формулы с предыдущей дает

Или после подстановки параметра б = 1/кТ

(12)

Так как для идеального одноатомного газа = (3/2)кТ, то в этом случае

(13)

Приведенный метод вычисления <Де2> может быть распространен практически без изменений на случай величин внешнего силового поля. Надо только максвелловское распределение заменить распределением Больцмана и производить интегрирование не только по скоростям, но и по координатам обычного пространства. В результате снова получится формула (12), в которой, однако, под е следует понимать уже полную энергию молекулы, состоящей из кинетической и потенциальной.

Важно отметить расширение области применимости формулы (12) для флуктуации полной энергии е. Выделим малую часть (подсистему) изотропной среды (жидкости или газа), находящуюся в статистическом равновесии со всей средой, температура Т которой поддерживается постоянной. Подсистемой может быть и отдельная молекула. По отношению к выделенной подсистеме окружающая среда играет роль термостата. Из-за обмена энергией между термостатом и подсистемой энергия последней будет непрерывно флуктуировать. Флуктуации полной энергии е подсистемы определяются уравнением (12). Не имеет значения, меняется ли энергия е непрерывно (классическая система), или принимает дискретный ряд значений (квантовая система). Доказательство этого утверждения дается в статистической физике. Оно основано на каноническом распределении Гиббса, частными случаями которого являются распределения Максвелла и Больцмана.

В случае макроскопической подсистемы, объем которой поддерживается постоянным, имеет смысл внутренней - энергии подсистемы, a dе/dT -ее теплоемкости Сн при постоянном объеме. Тогда из формулы (12) получается

<(Де2)>V = kT 2Cv. (14)

Знак V снова указывает на то, что (Де2)V есть средний квадрат флуктуации энергии подсистемы при сохранении ее объема V постоянным.

Рассмотрим теперь флуктуации энтальпии H подсистемы. Для этого воспользуемся следующим искусственным приемом. Предположим, что подсистема заключена в оболочку с идеально проводящими подвижными стенками, так что объем подсистемы не сохраняется постоянным. Пусть оболочка снаружи подвергается действию постоянных внешних сил, поддерживающих внешнее давление Р постоянным. Эти силы увеличивают
потенциальную энергию подсистемы на величину PV. Если под понимать ту же энергию, что и в предыдущем выводе, то с учетом дополнительной потенциальной энергии PV среднее значение полной энергии подсистемы будет . Но это есть энтальпия подсистемы H. Все предыдущие рассуждения можно повторить без изменений, заменив на + PV. В результате вместо (12) получится

. (15)

Но при Р = const производная dH/dT есть теплоемкость Ср подсистемы при постоянном давлении, а потому

(16)

Изложенный метод вычисления флуктуаций можно распространить на любые величины, характеризующие макроскопические свойства подсистем.

Флуктуации в квазизамкнутой системе

Очень часто приходится рассматривать флуктуации, происходящие не в замкнутой, а в квазизамкнутой системе, составляющей малую часть замкнутой системы. То есть, это подсистема, погруженная в термостат с температурой T0. При этом флуктуации происходят только в подсистеме, а термостат при этом может совершать квазистатический процесс, не нарушающий его равновесия. Пусть, как и раньше x - параметр, характеризующий состояние подсистемы, а x0 - значение этого параметра в равновесии. Будем предполагать, что изменения x происходят достаточно медленно, так, что в каждый момент времени в подсистеме будет существовать равновесное статистическое распределение. Процесс перехода из равновесного состояния в неравновесное состояние у подсистемы в термостате можно рассматривать как переход, совершающийся под действием некоторого внешнего источника работы. При изменении x на величину источник совершает над системой работу A(x).

Напишем теперь выражение для вероятности того, что подсистема перейдет в состояние со значением x в интервале x+dx, в то время как термостат останется в равновесном состоянии.

Поскольку термостат и подсистема вместе составляют замкнутую систему, к ней применима формула

.

В ней, однако, изменение энтропии нужно записать в виде:

,

где второе слагаемое в правой части представляет собой изменение энтропии подсистемы. Тогда вероятность может быть записана в виде:

.

Но в силу нашего предположения о медленности изменения макропараметров для ДS'можно записать:

,

где T0, p0 - равновесные температуры и давление системы (термостата), E', V' - энергия и объем подсистемы, А - работа внешнего источника (не термостата, работа термостата описывается вторым слагаемым в правой части) над системой. Для термостата можно записать:

.

Но в силу замкнутости системы (термостат + подсистема) полный ее объем остается постоянным:

.

Так же сохраняется и полная энергия:

.

Таким образом, имеем

.

Тогда вероятность может быть записана в виде:

.

Следовательно, мерой вероятности малых термодинамических флуктуаций в макросистеме является та работа, которую нужно над нею совершить для изменения параметра x. Работа может быть найдена из первого начала термодинамики.

13. Флуктуации идеальных полимерных цепей

Рассмотрим свободно-сочлененную полимерную цепь, состоящую из N сегментов. Будем предполагать, что отдельные сегменты цепи не взаимодействуют друг с другом посредством других сил, кроме тех, которые образуют саму цепь.

Вектор RN, соединяющий концы этой цепи, описывается простым выражением:

.

Здесь i - порядковый номер сегмента цепи, - вектор, соединяющий начало и конец сегмента с номером i. Модули всех векторов одинаковы и равны длине одного сегмента l. Направления всех векторов случайны и независимы друг от друга. То есть полимерная цепь представляет собой клубок, характеризующийся величиной величиной , равной сумме большого числа случайных слагаемых. Для вывода формулы для характерного размера полимерного клубка введем величину , т.е. вектор, соединяющий начало первого сегмента цепи с концом сегмента с номером N-1:

, .

Найдем теперь среднее расстояние между концами цепи. Учтем, что

,

поскольку все направления в пространстве равновероятны. Вычислим средний квадрат расстояния:

.

В результате получим:

,

где гN - угол между векторами и . В случае свободно-сочлененной полимерной цепи ориентация сегмента с номером N не зависит от ориентации остальных сегментов цепи. Следовательно, угол гN с одинаковой вероятностью принимает любое значение, а среднее значение его косинуса равно нулю. Таким образом, получим:

.

По индукции можно заключить, что

,

где L - контурная длина цепи.

Окончательно получим:

.

Верна ли эта формула при других модельных представлениях о полимерной цепи?

Рассмотрим, например, червеобразную молекулу. Если рассмотреть короткий участок такой молекулы, то на таком участке ее гибкость не проявляется, а молекула является жесткой. Введем понятие leff - это такая длина, участок меньше которой является жестким, а его длина равна контурной длине. В то же время участки с контурной длиной, больше чем leff ведут себя как последовательные сегменты свободно-сочлененной цепи. Величина leff еще называется сегмент Куна (по имени швейцарского ученого, впервые применившего статистическую механику к полимерам). Если контурная длина молекулы равна L, то очевидно, что эта молекула состоит из Neff = L/leff сегментов Куна. Тогда для определения размера цепи можно записать:

.

Это равенство можно рассматривать и как определение сегмента Куна. Длина сегмента Куна может варьировать от 1 нм до 100 нм для двойной спирали ДНК.

Распределение Гаусса для идеальной полимерной цепи

Из-за флуктуаций длина полимерной цепи постоянно меняется. Для доли конформаций (т.е. разных пространственных конфигураций) с данным R среди всех возможных конформаций можно записать выражение

.

Плотность вероятности для одной компоненты равна

.

Оба эти выражения представляют собой распределения Гаусса для R.

14. Флуктуации изгиба длинных молекул

В обычных молекулах сильное взаимодействие атомов сводит внутримолекулярное тепловое движение лишь к малым колебаниям атомов около положений равновесия, практически не меняющих форму молекулы. Совсем иной характер имеет поведение молекул, представляющих собой очень длинные цепи атомов (например, длинные полимерные углеводородные цепи). Большая длина молекулы, а так же сравнительная слабость сил, стремящихся удержать равновесную прямолинейную форму молекулы, приводит к тому, что флуктуационные изгибы молекулы могут стать весьма значительными, вплоть до скручивания молекулы. Большая длина молекулы позволяет рассматривать ее как своеобразную макроскопическую линейную систему, и для вычисления средних значений величин, характеризующих ее изгиб, можно применить статистические методы.

Будем рассматривать молекулы, имеющие вдоль своей длины однородное строение. Интересуясь лишь их формой, мы можем рассматривать такую молекулу как однородную сплошную нить. Форма этой нити определяется заданием в каждой ее точке вектора кривизны , направленного вдоль главной нормали к кривой и по величине равного ее обратному радиусу кривизны.

Испытываемые молекулой изгибы являются, вообще говоря, слабыми в том смысле, что ее кривизна в каждой точке мала (ввиду большой длины молекулы это, разумеется, отнюдь не исключает того, что относительные смещения ее удаленных точек могут оказаться весьма значительными). Для малых значений вектора свободная энергия изогнутой молекулы (отнесенная к единице ее длины) может быть разложена по степеням компонент вектора. Поскольку свободная энергия минимальна в положении равновесия (прямолинейная форма, = 0 во всех точках), то линейные члены в разложении отсутствуют, и мы получим

, (*)

где значения коэффициентов представляют собой характеристику свойств прямолинейной молекулы (к линии молекулы в данной ее точке) и ввиду предполагаемой однородности молекулы постоянны вдоль ее длины.

Вектор расположен в нормальной (к линии молекулы в данной ее точке) плоскости и имеет в этой плоскости две независимые компоненты. Соответственно этому совокупность постоянных составляет двумерный симметричный тензор второго ранга в этой плоскости. Приведем его к главным осям и обозначим через и главные значения этого тензора (нить, в виде которой мы представляем себе молекулу, отнюдь не должна быть аксиально-симметричной по своим свойствам; поэтому и не должны быть равными). Выражение (*) примет в результате вид

,

где и - компоненты в направлении соответствующих главных осей.

Наконец, интегрируя вдоль всей длины молекулы, найдем полное изменение ее свободной энергии в результате слабого изгиба:

(127.2)

(s - координата вдоль длины нити). Величины и , очевидно, непременно положительны.

Пусть и - единичные векторы вдоль направления касательных к нити в двух ее точках (точки a и b), разделенных участком длины s. Обозначим через угол между этими касательными, т.е.

.

Рассмотрим сначала случай такого слабого изгиба, при котором угол мал даже для удаленных точек. Проведем две плоскости, проходящие через и две главные оси тензора в нормальной (в точке a) плоскости. При малых значениях квадрат угла может быть представлен в виде



, (127.3)

где и - углы поворота вектора относительно вектора в указанных двух плоскостях. Компоненты вектора кривизны связаны с функциями и соотношениями

, ,

и изменение свободной энергии при изгибе молекулы принимает вид

. (127.4)

При вычислении вероятности флуктуации с заданным значением = и = при некотором определенном l надо рассмотреть наиболее полное равновесие, возможное при этих значениях и . Другими словами, надо определить наименьшее значение свободной энергии, возможное при заданных и . Но интеграл вида

при заданных значениях функции на обоих пределах имеет минимальное значение, если меняется по линейному закону. Покажем это. Задача минимизации интеграла относится к классу задач вариационного счисления. Если проводить аналогию с механикой, то выражение под интегралом есть функция Лагранжа, а s играет роль времени. Тогда запишем уравнение:

.

Откуда получим:

.

Решением этого уравнения является линейная функция, которая при учете граничных условий принимает вид:

.

В результате интегрирования получим

.

При изотермическом процессе способность совершать работу характеризуется свободной энергией, следовательно, вероятность флуктуации в данном случае можно записать в виде

.

В таком случае для средних квадратов обоих углов получаем

,

Средний же квадрат интересующего нас угла равен

. («)

Как и следовало ожидать, в этом приближении он оказывается пропорциональным длине отрезка молекулы между двумя рассматриваемыми точками. В выражении («) можно выделить величину с размерностью длины:

,

где

, .

Из выражения для свободной энергии легко видеть, что l имеет размерность длины.

Очевидно, как и ранее, что гибкость цепи определяется величиной . При малых величинах s получим:

.

Можно показать, что при достаточно больших величинах s среднее значение быстро убывает с ростом s и равно

.

Проанализируем это выражение. Рассмотрим короткий по сравнению с l участок цепи. При s << l , т.е. угол флуктуирует около нуля, а концы короткого по сравнению с l участка почти параллельны. В противоположном случае угол принимает почти любое значение, а память о направлении цепи на длине, намного большей l отсутствует.

Величина l называется персистентной длиной (от слова «стойкий»), или такой минимальной длиной участка, который способен сопротивляться изгибу. Поскольку память о направлении распространяется по обе стороны по цепи, то легко понять, что длина сегмента Куна должны примерно в два раза превышать персистентную длину l.

15. Высокоэластичность полимеров с точки зрения статистической физики

Как известно, некоторые полимеры (резина, каучук) обладают свойством высокой эластичности, т.е. способностью к большим обратимым относительным деформациям (для резины - до 8 раз). Оказалось, что необходимым условием высоко эластичности является наличие сшивок между полимерными цепями (вулканизация, вкрапления атомов серы), которые приводят к формированию полимерной сетки в веществе. Эта сетка не может течь, но может деформироваться.

Рассмотрим, как высокоэластичность проявляется на уровне отдельных полимерных молекул. Опишем поведение отдельной полимерной цепи, растягиваемой силой f. Первый такой эксперимент с молекулами ДНК проведен в 1992 году. Зададимся вопросом: как зависит координата конца вектора R от f? Если рассмотреть идеальную полимерную цепь, состоящую из свободно-сочлененных участков длины l, в которой отсутствуют объемные взаимодействия, то неясно, откуда берется сила противодействия (по третьему закону Ньютона)? Например, в случае кристалла упругость связана с наличием сил взаимодействия (притяжения и отталкивания) между атомами (молекулами). В идеальной же макромолекуле таких сил нет, а изменение ее длины происходит за счет выпрямления и распутывания. Такая модель во многом сходна с идеальным газом.

При деформации вектора R на величину ДR совершается работа, равная

.

На что идет такая работа, если растяжение происходит при постоянной температуре T? Очевидно, что в данном случае, работа идет на изменение энтропии цепочки (здесь проявляется аналогия со сжатием идеального газа).

Рассчитаем энтропию полимерной цепи, исходя из распределения Гаусса. Воспользовавшись формулой для энтропии

,

и считая, что величина Щ (в данном случае - число различных реализаций полимерной цепи при данной ее длине) пропорциональна величине PN, получим:

.

Тогда можно записать формулу для работы:

(знак минус в данном случае возникает из-за уменьшения энтропии) и силы

.

Фактически мы получили закон Гука для данного случая. Отметим, что модуль упругости в данном случае пропорционален 1/N, то есть очень мал для длинных полимеров.

Перейдем теперь к рассмотрению энтропийной упругости полимерной сетки, состоящей из идеальных субцепей (субцепь - элементарный кирпичик структуры полимерной сетки между двумя соседними сшивками). Пусть каждая субцепь состоит из N сегментов длины l. При растяжении сетки ее субцепи так же растягиваются, вследствие чего их энтропия уменьшается.

Допустим, что полимерная сетка представляет собой прямоугольный параллелепипед, который растягивается по осям в лx, лy и лz, соответственно. В результате получим для изменения энтропии в результате деформации сетки:

,



где н - число субцепей в единице объема, V - объем сетки, R0x, R0y, R0z - координаты какой-либо субцепи. Учтем теперь, что

.

Учтем так же, что при недеформированном образце все три координатные направления были равноправны. Отсюда следует, что

.

Окончательно получим для энтропии:

.

В это выражение не входят параметры отдельной субцепи N и l. Это указывает на универсальность выражения и является следствием идеальности субцепей.

Рассмотрим одноосное растяжение сетки вдоль оси x. При этом размеры сетки вдоль осей y и z изменяются свободно. Оказывается, что объем полимера при этом практически не меняется (он ведет себя как жидкость - при давлении 100 атм объем полимера изменяется лишь на 1%). Тогда имеем

.

Тогда получим для энтропии:

.

Растягивающая сила получается аналогично:

.

Определим напряжение:

.

Окончательно получим:

. (*)

Формула является одной из основных в теории высокоэластичности полимерных пленок. Учтем, что если деформации невелики (л близко к единице), то

.

Величина же



представляет собой относительную деформацию. Тогда получим для модуля Юнга полимерной сетки:

.

Эта величина равна давлению идеального газа, концентрация молекул которого в три раза больше, чем концентрация сшивок в сетке. Чем меньше степень сшивки полимерного вещества, тем меньше его модуль Юнга. Замечательно, что выражение (*) описывает нелинейную упругость.



Литература

1. Иродов, И. Е. Задачи по общей физике. -- СПб. : Лань, 2009. -- 416 с.

2. Иродов, И. Е. Сборник задач по атомной и ядерной физике. -- М. Атомиздат, 1976.

3. Киттель, Ч. Берклеевский курс физики : в 5 т. / пер. с англ. ; Ч. Кит" тель, У. Найт, М. Рудерман [и др.] ; под ред. А. И. Шальникова, А. С. Ахматова, А. О. Вайсенберга. -- М. : Мир, 1971-1972.

4. Коган, Б. Ю. Сто задач по физике. -- М. : Наука, Физматлит, 1986.

5. Сивухин, Д. В. Общий курс физики : в 5 т. -- М. : Наука, Физматлит, МФТИ, 1989-2006.

6. Савельев, И. В. Курс общей физики : в 3 т. -- СПб. : Лань, 2011.

7. Савельев, И. В. Сборник вопросов и задач по общей физике. -- СПб. : Лань, 2007. -- 288 с.

8. Телеснин, Р. В. Молекулярная физика : учеб. пособие. -- СПб : Лань, 2009.

9. Фейнман, Р. Фейнмановские лекции по физике : в 9 т. / пер. с англ. ; Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс ; под ред. Я. А. Смородинского. --М. : Мир, 1977.

10. Фейнман, Р. Фейнмановские лекции по физике. Задачи и упражнения с ответами и решениями / пер. с. англ. Р. Фейнман, Р. Лейтон,

М. Сэндс ; под общей ред. А. П. Леванюка. -- М. : Мир, 1969

Размещено на Allbest.ru