Квантовая физика
Тепловое излучение, квантовая гипотеза Планка. Квантовые свойства электромагнитного излучения. Формула Эйнштейна для фотоэффекта. Корпускулярно-волновой дуализм материи. Соотношения неопределенностей Гейзенберга. Стационарное уравнение Шредингера.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | учебное пособие |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 06.05.2013 |
| Размер файла | 1,4 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Рис.17.
Одним из применений новой отрасли - электронной оптики является электронный микроскоп - устройство для получения изображения микрообъектов. В электронном микроскопе, в отличии от оптического, используются не световые лучи, а ускорённые до больших энергий пучки электронов в вакууме (рис.17).
Электронный пучок (1) попадает в область действия магнитной линзы (2), которая фокусирует пучок на исследуемом объекте (3). Пучок подбираемого нужного сечения и интенсивности. Пройдя исследуемый объект и испытав на нём рассеяние, электроны будут нести информацию об объекте (3). Далее рассеянные электроны проходят вторую магнитную линзу - объектив (4) и собираются в промежуточное изображение (5). Затем с помощью проекционной линзы (6) на флуоресцентном экране получается окончательное увеличенное изображение (7) объекта.
Разрешающаяся способность любого микроскопа пропорциональна длине волны. Так как длина волны де - Бройля для применяемых электронов (л~1пм = =10-12м) в тысячи раз меньше длины волны световых лучей, то разрешение электронных микроскопов намного больше и составляет ()мкм. Для обычных световых микроскопов - ()мкм.
3.4 Соотношение неопределённостей Гейзенберга
Как мы уже выяснили в п.3.2. дебройлевская длина волны для макроскопических объектов (например, пылинка массой m=1г, движущаяся со скоростью 1 мкм/с) столь мала (л~10-22м), что лежит за пределами доступной для наблюдения области. Поэтому макроскопические частицы проявляют одну сторону своих свойств - корпускулярную и не проявляют волновую. Вследствие этого движение пылинки происходит по определённой траектории и это движение можно полностью описать законами классической физики путём задания таких параметров как координата, импульс, энергия (Перечисленные величины называются динамическими переменными).
Микрочастица из-за наличия у неё корпускулярных и волновых свойств существенно отличается от классической частицы. Не всегда можно говорить о движении микрочастицы по определённой траектории, потому что в ряде случаев понятие координаты частицы в данной точке не может быть определено. В квантовой физике импульс частицы связан с длиной волны соотношением де-Бройля (17). Так как длина волны есть функция формы волны, а не координаты точки, то импульс не является в этом случае функцией координат. Это означает, что невозможно при таком описании микрочастицы одновременно определить её координату и импульс. Существует принципиальный предел точности, с которой эти переменные могут быть одновременно указаны или измерены. Неопределённости этих величин при их одновременном измерении удовлетворяют соотношению, которое было впервые записано В.Гейзенбергом в 1927г.** Соотношения, записанные в виде (20), являются точными соотношениями неопределённостей. В различной литературе часто используется также неточные соотношения, когда справа стоит (или h), а не . Мы будем также при рассмотрении некоторых примеров пользоваться неточными соотношениями, так как во всех принципиальных вопросах существенно знать лишь порядок величины , а не её точное значение.
(20)
где -неопределённости координат микрочастицы; - соответствующие неопределённости проекции импульса на координату; -постоянная Планка. Под неопределённостями понимают среднеквадратические отклонения координат и проекций импульса частицы от их средних значений:
и т.д.
электромагнитный квантовый шредингер дуализм
В случае одномерного движения частицы соотношения перепишутся в виде
(21)
Выражения (20) и (21) называются соотношениями неопределённостей для координаты и импульса Гейзенберга.
Остановимся более подробно на физическом смысле соотношений (20) или (21). Если положение микрочастицы по оси x известно с неопределенностью , то в тот же момент времени проекцию импульса можно определить только с неопределённостью . Если микрочастица находится в состоянии с точным значением координаты, то , в этом случае неопределённость импульса частицы ; то есть, импульс оказывается совершенно неопределённым.
Соотношение неопределённостей проявляет себя при любой попытке точного измерения положения микрочастицы или её импульса. И каждый раз мы приходим к «неутешительному» результату: всякая попытка уточнения координаты частицы приводит к увеличению неопределённости импульса и наоборот. Эту ситуацию можно проиллюстрировать с помощью следующего простого опыта. Попытаемся определить координату x свободно движущейся частицы. Поставим на её пути щель шириной (рис.18).
Пусть размер щели имеет порядок длины волны де-Бройля нашей частицы. До прохождения частицы через щель она движется вдоль оси y и её проекция импульса на ось имеет точное значение и тогда. Тогда из соотношения неопределённости следует, что координата частицы x-оказывается полностью неопределённой. В момент прохождения щели неопределённость координаты вдоль оси x станет равной . Вследствие дифракции микрочастицы на щели, имеется вероятность того, что частица после прохождения щели будет двигаться в пределах угла (-угол дифракции, соответствующий первому дифракционному минимуму, к=1; максимумами более высокого порядка, чем первый, мы пренебрегаем ввиду их малости). Следовательно, появляется неопределённость импульса вдоль оси x. Из рисунка
Из условия минимумов дифракции на одиночной щели
,
И тогда, используя полученные соотношения для и , имеем
Таким образом, попытка определить координату x микрочастицы привела к появлению неопределённости импульса. Получившееся произведение двух неопределённостей согласуется по порядку величины с выражением (21).
Соотношения, аналогичные (20) могут иметь место также и для некоторых других пар величин в физике. Такие пары величин называются канонически сопряжёнными. Для двух произвольных канонически сопряжённых величин А и В можно записать
Произведение неопределённостей значений двух сопряжённых переменных не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка . Это утверждение называется принципом неопределённости Гейзенберга. Одним из проявлений этого принципа является соотношение неопределённостей для координаты и импульса.
Другим проявлением принципа является соотношение неопределённости для энергии и времени, которое играет также важную роль в современной физике:
,
где - неопределённость энергии квантовой системы (например, возбуждённого атома водорода), или, по-другому это есть неопределенность (разброс) разности энергии Е2 и Е1 двух состояний системы при её переходе из состояния Е2 в состояние
(рис.19),
продолжительность того отрезка времени, на котором этот переход произошёл (или время жизни системы в состоянии Е2). То есть, энергия системы всегда имеет неустранимую неопределённость , которая связана с временем жизни системы .
Уширение (ещё говорят «размытие») энергетических уровней системы (например, возбуждённого атома) приводит к тому, что частота испущенного системой фотона при переходе системы из возбуждённого состояния в основное также будет иметь неопределённость . С этим связана конечная ширина линии в спектрах атомов.
3.5 Границы применимости классической физики. Оценки некоторых микросостояний с помощью соотношения неопределённостей
Итак, из рассмотренного выше видно, что описать движение микрообъекта так же, как это делалось в классической механике, то есть с помощью задания в каждый момент времени его координат и импульса в большинстве случаев невозможно. Потому что сами эти величины не могут быть одновременно определены для этого микрообъекта. Однако, в некоторых ситуациях движению микрочастицы можно приписать (задать) определённую траекторию и рассматривать движение микрочастицы по классическим законом. Соотношение неопределённости позволяет оценить, когда можно, а когда нельзя применять понятия и законы классической механики к движению микрочастицы.
Пример 1. Рассмотрим движение электрона в электронно-лучевой трубке (вспомните лабораторную работу №33). След электронного пучка, выходящего из точки О, на экране трубки имеет радиус см (рис.20). Пусть длина трубки см. Если расходимость электронного пучка в пределах телесного угла , то -неопределённость импульса электронов в направлении оси x.
Из рисунка следует, что
Импульс электрона связан с кинетической энергией К
Электрон в трубке движется к экрану в результате действия на него ускоряющего напряжения В, тогда , отсюда
следовательно, .
Неопределённость импульса очень м ала, (на три порядка меньше самого импульса). Найдём теперь из соотношения неопределённостей неопределённость координаты
Эта величина также очень мала, поэтому можно считать, что движение электрона в электронно-лучевой трубке практически неотличимо от движения по определённой траектории. Поэтому для описания движения электрона в электронно-лучевой трубке можно применять законы классической физики.
Пример 2. Рассмотрим движение электрона в атоме водорода. Можно положить неопределённость координаты равной линейному размеру атома .(т.е. электрон где-то находится в данный момент времени в атоме в пределах сферической области диаметром ). Соотношение неопределённостей запишем в виде
,
где -неопределённость скорости.
Отсюда найдём неопределённость скорости электрона
.
Полученное значение -- велико или мало? Если считать электрон классической частицей, движущейся вокруг ядра по круговой орбите радиусом , то скорость электрона будет .Таким образом, неопределённость скорости сравнима по порядку с величиной скорости, т.е. очень велика. Представление о движении электрона по классической орбите теряет всякий смысл. В этом случае для описания движения электрона в атоме необходимо учитывать его волновые свойства и пользоваться законами квантовой физики.
Основные выводы
1.Вследствие наличия волновых свойств у микрочастиц невозможно определить одновременно точное значение корпускулярной характеристики--координаты x и волновой характеристики частицы--импульса p. Неопределённости в измерении этих двух характеристик связаны соотношением неопределённостей
2. Принцип неопределённостей, сформулированный Гейзенбергом, устанавливает соотношение неопределённостей также для некоторых других канонически сопряжённых величин в физике, например, для энергии и времени-
3. При рассмотрении движения квантового объекта необходимо во многих случаях отказаться от самого понятия классической траектории частицы. Соотношение неопределённостей во многих практических задачах позволяет оценить возможность или невозможность применения понятий классической физики к движению микрочастицы.
Примеры решения задач
Задача №1
Электрон прошёл ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де-Бройля электрона для двух случаев: 1) U1=40В; 2)U2=400кВ.
Решение
Длина волны де-Бройля, связанная с движением
Дано: электрона, в соответствие с формулой де-Бройля
U2=400кВ
U1=40В
,
где p-импульс частицы, h-постоянная Планка
(). Импульс связан с кинетической энергией частицы К. Для нерелятивистского случая, когда кинетическая энергия частицы много меньше её энергии покоя, эта связь определяется
и тогда (1)
В релятивистском случае, когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы
,
где энергия покоя частицы, -скорость света.
И тогда длина волны де-Бройля
Для того, чтобы определить, по какой формуле вести расчёт, в каждом случае сравним кинетическую энергию электрона с энергией покоя электрона.
Электрон, прошедший ускоряющую разность потенциалов , приобретает кинетическую энергию
,
где заряд электрона.
В первом случае , что намного меньше энергии покоя . Следовательно, применяем формулу (1)
Во втором случае кинетическая энергия , что по порядку величины сравнимо с энергией покоя , следовательно, в этом случае необходимо применять формулу (2)
Произведём вычисления
Задача 2
На диафрагму с узкой прямоугольной щелью нормально к плоскости диафрагмы направлен поток моноэнергетических электронов, прошедших ускоряющую разность потенциалов . Определить расстояние между диафрагмой и фотопластинкой, если известно, что на фотопластинке ширина центрального дифракционного максимума. Ширина щели принять равной .
Дано: Решение
Мы рассмотрим только первый дифракционный максимум, ширина которого известна, это есть расстояние между минимумами первого и минус первого порядков (рисунок). Следовательно, мы изображаем на рисунке направление электронов, соответствующее этим минимумам. Этому направлению соответствует угол дифракции . Запишем условие минимумов дифракции электронов на одиночной щели
, (1)
где порядок дифракционных минимумов, длина дебройлевской волны для электронов.
(Выражение (1) было получено и использовалось для дифракции света, здесь мы проводим аналогию между дифракцией световых волн и дифракцией электронных волн де-Бройля). Из (1)
(2)
Из рисунка следует
Поскольку угол -мал, справедливо равенство
(3)
Подставим выражение (3) в (2)
(4)
С другой стороны длина волны по формуле де-Бройля
(5)
Из сравнения выражений (4) и (5)
Для нахождения скорости электронов воспользуемся известным нам соотношением , где ,-заряд и масса электрона, соответственно
Окончательно для величины получим выражение
Задача №3
Пользуясь соотношением неопределённости определить минимальную энергию электрона в атоме водорода
Решение
Запишем соотношение неопределенностей для координаты и импульса
,
где-неопределённость координаты электрона, неопределенность импульса.
Если линейные размеры атома , то можно считать, что электрон будет находиться где-то в пределах области с неопределённостью
Физически разумная неопределённость импульса не должна превышать значения самого импульса, то есть
Подставим эти оценки в соотношение неопределённостей; получим
(1)
Полная энергия электрона в атоме водорода может быть представлена как сумма кинетической энергии движения электрона вокруг ядра () и потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром ()
(2)
Выразим импульс из (1) и подставим в (2), тогда
(3)
Найдём значение радиуса траектории электрона, при котором . Для этого возьмём производную и приравняем её к нулю
,следовательно
(4)
Подставим теперь выражение для радиуса (4) в выражение для энергии (3) и получим выражение для минимальной энергии
Мы видим, что минимальная энергия совпадает со справочным значением энергии ионизации атома водорода - это та энергия, которую нужно сообщить атому, чтобы оторвать электрон от атома; другими словами - электрон должен выйти из потенциальной ямы глубиной ().
Задача №4
Пользуясь соотношением неопределённости определить ширину первого (основного) энергетического уровня электрона в атоме водорода.
Решение
Если электрон находится на первом энергетическом уровне, то это значит, что атом водорода находится в основном состоянии. В этом состоянии изолированный атом водорода может находиться бесконечно долго, то есть время жизни атома -
Запишем соотношение неопределённостей для энергии и времени
(1)
где - неопределенность энергии системы в данном квантовом состоянии, или по-другому, ширинаэнергетического уровня системы в этом состоянии; -время нахождения системы в этом состоянии (время жизни).
Тогда (1) перепишем в виде
Тогда ширина первого энергетического уровня электрона в атоме водорода
Это значит, что основной энергетический уровень любой квантовой системы не уширён.
Задача №5
Среднее время жизни атома в возбуждённом состоянии . Используя соотношение неопределённостей определить в МГц ширину спектральной линии излучения при переходе атома из этого состояния.
Дано:
Запишем соотношение неопределённостей для энергии и времени,(1)
(где и -см. предыдущую задачу)
Или уравнение (1) перепишем в виде
Отсюда найдём ширину энергетического уровня атома в возбуждённом состоянии (рисунок)
(2)
С конечной шириной энергетического уровня связан разброс в энергии испускаемых атомом фотонов при переходе атома из возбуждённого состояния с энергией в основное с энергией
Поскольку энергия фотона связана с частотой соотношением , то разбросу энергии будет соответствовать разброс частоты излучения (ширина спектральной линии).
(3)
Подставим выражение (2) в (3)
Произведём вычисления
Задача №6
Доказать, что измерение x-координата микрочастицы с помощью микроскопа вносит неопределённость в её импульс такую, что (Указание: разрешение микроскопа, т.е. наименьшее разрешаемое расстояние вдоль оси x, , где -длина волны)
Решение
Дифракционная теория разрешающей способности микроскопа устанавливает предел наименьших размеров объекта, которые могут быть определены с помощью микроскопа. Они определяются
где -это угол, под которым виден объектив из точки положения объекта. Величина , согласно условию, и является разрешающей способностью микроскопа.
На рисунке покажем импульс фотона, рассеянного в пределах угла на микрочастице А. Проекция импульса фотона на ось как мы видим из рисунка, равна
(1)
Импульс запишем через волновое число
(2)
На основании (1) и (2) запишем
Физически разумная неопределённость импульса фотона (вдоль оси х) не должны превышать самого импульса: ; поэтому можно положить
(3)
При рассеянии фотона на микрочастице А сама микрочастицы будет испытывать отдачу, в результате по закону сохранения импульса её импульс получит такую же неопределённость , что и фотон. Поскольку -наименьшее разрешаемое расстояние вдоль оси х, координата частицы х не может быть измерена микроскопом с большей точностью, чем . Следовательно, неопределённость координаты микрочастицы должна быть равна
(4)
На основании выражений (3) и (4) для микрочастицы А получаем
Это и нужно было доказать в задаче.
Задача №7
Электрон на фотопластинке оставляет видимый след. Определить, можно ли движение электрона в этом случае описать законами классической физики. Размер зерна фотопластинки принять равным ;скорость электрона
Решение
Если электрон оставил видимый след на фотопластинке, значит положение электрона зафиксировано с точностью, определяемой линейными размерами зерна фотоэмульсии, испытавшего воздействие электрона. То есть неопределённость координаты электрона
Запишем соотношение неопределённостей для координаты и импульса электрона.
Отсюда найдём неопределённость импульса электрона
Неопределённость скорости электрона
Эта неопределённость при скоростях электрона очень мала (, т.е. ) и позволяет считать, что электрон движется по определённой траектории с точно заданной в каждой точке скоростью. Следовательно, его движение можно описать законами классической физики и не использовать квантовые законы.
3.6 Состояние частицы в квантовой теории. Амплитуда вероятностей. Волновая функция и её статистический смысл
Рассмотренные нами выше идеи де-Бройля, их экспериментальные подтверждения, сформулированное в 1927г. Гейзенбергом соотношение неопределённостей привели к новому этапу развития квантовой физики - созданию квантовой механики, т.е. механики, описывающей движение микрочастицы. Прежде всего, возникла проблема понимания физического смысла волн де-Бройля.
Рассмотрим следующий эксперимент, аналогичный опыту Юнга по изучению интерференции света от двух щелей. Направим на диафрагму с двумя узкими щелями параллельный пучок моноэнергетичных микрочастиц, например, электронов (рис. 21).
За щелями установлена фотопластинка, регистрирующая прошедшие через щели электроны в виде большей или меньшей степени почернения. Каждый электрон может пройти либо через щель 1, либо через щель2. Электрон не может расщепиться на две части и пройти одновременно через две щели. Следовательно, при закрытой щели 2 мы получим на фотопластинке распределение почернения 1, а при закрытой щели 1 распределение 2. Если откроем обе щели, то на фотопластинке можно ожидать распределение 3(пунктиром на рисунке). Однако в действительности такое распределение не осуществляется. Вместо этого вопреки логике и здравому смыслу мы будем получать на фотопластинке распределение, показанное на рисунке б), то есть совокупность тёмных и светлых полос. Мы получаем интерференционную картину. В явлении интерференции от двух щелей проявляется сама физическая суть квантовой теории. Единственный способ объяснения столь «пародоксального» результата это создание математической теории, совместимой с этим результатом. И теория была создана.
Итак, мы имеем неодинаковое распределение почернения на фотопластинке. Максимум почернения соответствует большему числу электронов, пришедших в этом направлении. Минимум почернения соответствует меньшему числу электронов. С другой стороны с движением каждого электрона связана дебройлевская волна. С волновой точки зрения максимум интерференционной картины на фотопластинке соответствует наибольшей интенсивности волн де-Бройля в этих направлениях.
Таким образом, интенсивность волн де-Бройля в данной точке пространства определяет число электронов, попавших в эту точку за 1с.
Интенсивность любой волны всегда пропорциональна квадрату модуля амплитуды: . Следовательно, квадрат модуля амплитуды волн де-Бройля в данной точке фотопластинки пропорционален вероятности попадания частицы в эту точку.
(22)
В этом заключается вероятностный или статистический смысл волн де-Бройля. Для того, чтобы количественно описать эту вероятность (или принято говорить распределение вероятности нахождения микрочастицы в данный момент времени в некоторой области пространства) вводят комплексную функцию координат и времени . Эту функцию называют пси-функцией или волновой функцией. Пси функция является той величиной, которая позволяет находить все вероятности.
Количественно за меру вероятности нахождения частицы в некотором элементе объёма пространства принимают квадрат модуля пси-функции:
(23)
где -величина комплексно сопряжённая. (С учётом (22) и (23) пси-функцию называют ещё амплитудой вероятности).
Из равенства (23) плотность вероятности, т.е. вероятность нахождения частицы в элементе объёма , определяется,
(24)
Эта величина является экспериментально наблюдаемой, в то время как сама пси-функция, будучи комплексной, недоступна наблюдению. Из равенства (24) следует основной физический смысл функции:
Квадрат модуля пси-функции определяет плотность вероятности нахождения микрочастицы в заданном объёме пространства.
Поскольку величина представляет собой вероятность, необходимо волновую функцию нормировать так, чтобы вероятность пребывания частицы во всём объёме пространства (где ) была бы достоверным событием, то есть была бы равна 1
Это равенство называется условием нормировки пси-функции.
3.7 Основная задача квантовой механики. Временное и стационарное уравнения Шредингера
Одной из важнейших задач квантовой механики был поиск такого уравнения, которое выполняло бы такую же роль, которую выполняет уравнение движения Ньютона для классической механики. закон Ньютона позволяет для макроскопических тел по заданным начальным условиям и силам, действующим на тело определить положение тела в любой момент времени. Аналогичное уравнение в квантовой механике должно описывать все возможные изменения квантовой системы, а решение этого уравнения должно однозначно определять состояние системы (объекта), т.е. определять функцию. Такое уравнение было постулировано в 1926 году Э. Шредингером; оно называется основным уравнением нерелятивистской квантовой механики, или уравнением Шредингера. Уравнение имеет следующий вид:
(25)
где -мнимая единица, -масса частицы, -потенциальная энергия частицы в силовом поле, где частица движется, -некоторая волновая функция, - оператор Лапласа.
Уравнение (25) является постулатом, оно не может быть выведено ни из каких других уравнений. Его нужно рассматривать как исходное, основное уравнение; справедливость его доказывается тем, что все вытекающие из него следствия самым точным образом согласуются с опытными данными. Записанное нами в виде (25) уравнение Шредингера является общим или временным уравнением Шредингера.
В отсутствии переменных внешних полей функция не будет зависеть от времени . В этом случае уравнение Шредингера (25) можно записать для стационарных состояний. В этих состояниях все наблюдаемые физические величины не изменяются с течением времени. При уравнение (25) имеет решение, получающееся путём разделения переменных
Решение временной части (см.п.3.9.) уравнения (25) приводит к виду функции , где -полная энергия частицы.
Тогда
(26)
Подставим (26) в уравнение (25)
После преобразования
(27)
Полученное уравнения (27) называется стационарным уравнением Шредингера. Функции , удовлетворяющие уравнению Шредингера при заданной , называется собственными функциями. Значения энергии , при которых существуют решения уравнения Шредингера, называют собственными значениями энергии. Эти значения энергии могут быть дискретными (квантованными) или непрерывными.
3.8 Принцип причинности в квантовой механике
Принцип причинности или принцип классического детерминизма в классической механике утверждает: по известному состоянию системы в некоторый момент времени (по известным координатам и импульсам всех частиц системы) и силам, приложенным к системе, можно абсолютно точно определить (например, пользуясь вторым законом Ньютона) состояние системы в любой следующий момент времени. То есть состояние системы в начальный момент времени, есть причина, а её состояние в последующий момент следствие.
Микрообъекты не могут иметь одновременно определяемых координат и импульса, отсюда как бы следует вывод, что мы не можем полностью определить состояние системы в начальный момент времени, а, следовательно, нельзя предсказать и её последующие состояния. То есть, как бы нарушается принцип причинности. На самом деле никакого нарушения принципа причинности в применении к микрообъектам не наблюдается. В квантовой механике состояние микрообъекта полностью определяется его волновой функцией , квадрат модуля которой задает плотность вероятности нахождения частицы в точке с координатами . В свою очередь волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера, содержащему производную , то есть задание функции в начальный момент времени определяет её вид в следующие моменты.
Таким образом, принцип причинности в квантовой механике формулируется: задание функции, определяющее состояние микрочастицы в момент времени , предопределяет значение функции для любого последующего момента времени .
3.9 Движение свободной частицы--квантово-механическое описание
Нахождение собственных значений энергии и собственных функции , как правило, представляет собой трудную математическую задачу. Мы рассмотрим простые примеры, в которых решается уравнение Шредингера и находятся собственные значения энергии.
Рассмотрим в качестве первого примера одномерное движение свободной микрочастицы, например, электрона вдоль положительного направления оси , т.е. в этом случае силовое поле отсутствует , и тогда полная энергия частицы равна кинетической . Состояние электрона изменяется с течением времени, поэтому мы запишем одномерное временное уравнение Шредингера
Поскольку уравнение будет иметь вид
(28)
Решение уравнения (28) будем искать методом разделения переменных, т.е. представим функцию в виде произведения двух функций, одна из которых зависит от времени, а втораяот координат
(29)
Подставим (29) в (28) и разделим переменные
(30)
Обе части равенства (30) являются функциями независимых переменных и , поэтому такое равенство возможно лишь в том случае, если обе части равны одной и той же константе. Из сравнения левой части равенства (30) со стационарным уравнением Шредингера (27) (в котором мы полагаем ) мы видим, что этой константой может быть только энергия E. Запишем теперь равенство (30) в виде двух дифференциальных уравнений и найдем решение этих уравнений.
Обозначим , , тогда уравнения перепишем в виде
Мы получили два однородных дифференциальных уравнения, которые имеют стандартные решения.
(31)
(32)
где A, B и C - некоторые константы.
Объединяя решения (31) и (32), получим решение уравнения (28)
где , - некоторые константы.
Полученное решение представляет собой суперпозицию двух плоских монохроматических волн одинаковой частоты , одна из которых распространяется в положительном направлении оси x с амплитудой , другая - в отрицательном направлении с амплитудой . Поскольку мы рассматриваем движение частицы при x>0, следует в окончательном решении записать одну из этих волн. С учётом - волновое число, p - импульс частицы окончательное решение запишем в виде
Мы получили плоскую монохроматическую волну с частотой щ и амплитудой . Таким образом, движению свободной частицы в квантовой механике соответствует плоская монохроматическая волна де-Бройля, распространяющаяся в направлении движения частицы.
Плотность вероятности пребывания электрона в какой-либо точке оси x
.** В этом случае оказывается условие нормировки пси-функции не выполненным. Такие случаи следует рассматривать как идеализацию реальной ситуации, когда частица находится в большой, но ограниченной области пространства. Однако, данную ситуацию мы здесь подробно не рассматриваем .
Это означает равновероятность нахождения такой частицы во всех точках пространства вдоль оси х. Поскольку частица является волной де-Бройля, точного положения частицы на оси x указать невозможно. Этот вывод согласуется также с соотношением неопределённости. Действительно, если энергия частицы E - определена, то частица имеет точное значение импульса , значит, неопределённость импульса равна нулю .
Это означает, что неопределённость координаты частицы стремится к ?: . То есть частица “размазана” равномерно вдоль оси x.
3.10 Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме
Рассмотрим движение частицы внутри одномерной потенциальной ямы (или потенциального ящика). Потенциальной ямой называется область пространства, в которой потенциальная энергия меньше некоторого максимального (Umax) значения за пределами этой области.
В частности при U=U(x) и Umax=? имеется одномерная потенциальная яма бесконечной глубины. Пусть потенциальная энергия вне и внутри ямы имеет следующие значения (рис.22)
Такая яма называется бесконечно глубокой и прямоугольной.
Движение частицы в этом случае ограничено непроницаемыми стенками, частица не может из области I перейти в область II и III, потому что в этом случае на частицу должна действовать сила, работа которой должна бы быть равной ?.
Примером движения частиц внутри потенциальной ямы является движение коллективизированных электронов (электронного газа) в металле, или движение электронов в атоме.
С течением времени состояние электрона внутри ямы не изменится (т.е. электрон будет в каждый момент времени находиться где-то в пределах ямы). Поэтому запишем в этом случае для области I стационарное уравнение Шредингера; кроме того, учтём, что движение - одномерное, т.е. оператор Лапласа имеет вид
В пределах ямы потенциальная энергия равна U=0, поэтому
Введём обозначения
(33)
Поскольку 2mE=p2 (p - импульс частицы), k имеем смысл волнового числа волны де-Бройля, связанной с движением частицы внутри ямы
(34)
При решении уравнения (34) на функцию ш накладываются следующие условия. В области II и III частица попасть не может, поэтому пси-функция в этих областях равна нулю. Тогда из условия непрерывности ш функции следует, что функция должна быть также равна нулю на границах ямы, то есть
(35)
Условия (35) называются граничными (краевыми) условиями нашей задачи.
Решение однородного дифференциального уравнения второго порядка (34) может быть представлено в виде
где A и б - произвольные константы.
Используя граничные условия, получим
,
отсюда следует, что б=0 (A?0)
,
поскольку A?0, то
k?=±рn, n=1,2,3…
(n?0, потому что в этом случае ш(x)=0, то есть, частица нигде не находится)
(36)
k является волновым числом (), поэтому отрицательное решение в (36) не имеет физического смысла и мы будем рассматривать только положительное решение. Равенство (36) имеет важный физический смысл: , отсюда - длина волны де-Бройля для частицы в яме. То есть на длине волны должно укладываться целое число полуволн де-Бройля (рис.23). Здесь мы имеем дело с классическим аналогом. Вспомните, при распространении упругих волн вдоль верёвки (или струны), закреплённой на концах, на длине верёвки будет укладываться целое число полуволн.
Подставим в (36) выражение (33)
,
отсюда (37)
Мы получили выражение для собственных значений энергии частицы внутри ямы. Как мы видим, энергия принимает ряд строго определённых дискретных (или квантованных) значений, зависящих от числа n. Квантованные значения энергии называются уровнями энергии, а число n - называется главным квантовым числом. Таким образом, электрон в потенциальной яме может находиться на определённом энергетическом уровне En или, говорят ещё, в определённом квантовом состоянии n.
Из выражения (37) найдём расстояние между соседними энергетическими уровнями
Мы видим, что с ростом n величина ?E увеличивается; учитывая это, изобразим графически энергетические уровни для потенциальной ямы (рис.24).
Сделаем оценку величины ?En для различных физических ситуаций.
1)Рассмотрим движение свободных электронов в металле. В этом случае мы имеем дело с потенциальной ямой макроскопических размеров: ?~10-2 м, и тогда
Энергетические уровни расположены столь густо (расстояние между ними очень мало), что будут восприниматься как непрерывные (или говорят - квазинепрерывные). Квантованием энергии в этом случае можно пренебречь и считать, что электрон может иметь непрерывный ряд значений энергии, т.е. движение электрона в этом случае можно описывать законами классической физики.
2)Рассмотрим движение электрона в атоме водорода. В этом случае размер потенциальной ямы равен размеру атома:
?~10-10 м, и тогда собственные значения энергии образуют последовательность энергетических уровней, расстояние между которыми
.
В этом случае дискретность энергетических уровней становится весьма заметной, мы получаем квантованный набор значений энергии, которые может иметь электрон в атоме водорода.
Итак, мы нашли собственные значения энергии для частицы в потенциальной яме. Найдём теперь соответствующие им собственные функции ш. Для этого подставим в решение уравнения Шредингера выражение для k из (36)
Для определения коэффициента A воспользуемся условием нормировки пси-функции
Проинтегрировав это выражение, получаем
Тогда собственные функции будут иметь вид
, n=1,2,3… (38)
На рисунке 25(а) показаны графики собственных функций для различных квантовых состояний частицы внутри ямы.
На рисунке 25(б) показаны графически плотности вероятности обнаружения частицы в различных точках внутри ямы (). Из рисунка видно, что в низшем энергетическом состоянии (n=1) с наибольшей вероятностью частицу можно обнаружить в середине ямы, а вероятность нахождения её вблизи краёв мала.
В состоянии с n=2 частица, в основном, находится в левой или правой половинках ямы и не обнаруживается в середине ямы. С ростом энергии частицы (или квантового числа n) максимумы вероятности шn2(x) располагаются всё ближе друг к другу. При очень больших значениях n картина распределения максимумов шn2(x) практически сливается и представляется равномерной - это значит, что частица при больших n начинает вести себя как классическая частица.
3.11 Принцип соответствия
Итак, выше мы нашли выражение для разности энергии соседних энергетических уровней для частицы в потенциальной яме
Сопоставим эту величину с энергией En электрона, находящегося в потенциальной яме на уровне n -
При увеличении квантового числа n>>1, (2n+1)?2n и тогда
.
Это означает, что при увеличении числа n величина ?En становится малой по сравнению с En, то есть происходит относительное сближение энергетических уровней. И при очень больших n квантованная последовательность энергетических уровней переходит практически в сплошной спектр энергии. Частица может принимать любые значения энергии; характерная особенность квантовых систем - дискретность - утрачивается, микрочастица приобретает свойства классической частицы. Отсюда следует важный вывод:
При больших квантовых числах выводы и результаты квантовой механики должны соответствовать классическим результатам.
Это утверждение, сформулированное Н. Бором в 1923г. называется принципом соответствия в квантовой механике. Этот принцип имеет также более широкий, чем квантовомеханический, смысл и формулировку.
Всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает её полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы её применимости; причём, в определённых предельных случаях новая теория переходит в старую.
3.12 Прохождение частицы под и над потенциальным барьером. Туннельный эффект
Пусть микрочастица движется слева направо вдоль оси x и встречает на своём пути прямоугольный потенциальный барьер в виде ступеньки высотой U0 (рис.26). Для такого барьера можно записать
Полная энергия частицы равна E. Согласно классическим представлениям поведение микрочастицы должно иметь следующий характер. Если энергия частицы больше высоты барьера (E>U0), то частица свободно проходит над барьером; если же энергия частицы меньше U0 (E<U0), то частица отразится от барьера, и будет двигаться в обратном направлении. На языке квантовой физики данная ситуация имеет совершенно другой характер. На барьер слева падает дебройлевская волна, связанная с движением частицы. Даже при E>U0 имеется ненулевая вероятность того, что частица отразится от барьера, и будет двигаться обратно (дебройлевская волна частично отражается от барьера). При E<U0 имеется отличная от нуля вероятность того, что частица проникнет “сквозь” барьер и окажется в области II (дебройлевская волна частично проходит в область II). Выполним квантовомеханическое описание данных процессов. Для этого составим уравнение Шредингера для областей I и II (по аналогии как мы это делали для частицы внутри потенциальной ямы).
(39)
Введём обозначения
Здесь k1 и k2 имеют смысл волновых чисел для волн де-Бройля в областях I и II. Тогда уравнения (39) перепишутся
(40)
(41)
Рассмотрим два случая.
1)Пусть E>U0. В этом случае общее решение уравнений (40), (41) можно представить в виде
(42)
где A1 и B1 некоторые константы, имеющие смысл амплитуд волн де-Бройля.
(43)
В уравнении (42) решение вида соответствует волне, распространяющейся вдоль положительного направления оси x - прямая волны; решение вида соответствует отражённой от барьера волне, которая распространяется в области I. В области II имеется только прошедшая волна, поэтому в уравнении (43) мы должны положить B2=0.
Воспользуемся условиями, накладываемыми на функцию ш. Из условия непрерывности функции ш в точке x=0 следует, что
;
тогда из уравнений (42) и (43) следует
. (44)
Из условия непрерывности первых производных от функции ш в точке x=0
,
тогда из уравнений (42) и (43)
. (45)
Разделим уравнения (44) и (45) на A1
(46)
(47)
Отсюда выразим отношение амплитуд отражённой и падающей волн , для этого отношение подставим из уравнения (46) в уравнение (47)
.
Совершенно аналогично из уравнений (46), (47) найдём отношение амплитуд прошедшей и падающей волн
.
Как мы знаем, квадрат амплитуды волны де-Бройля в заданной точке пространства пропорционален вероятности попадания частицы в эту точку (). Следовательно, отношение квадратов амплитуд и определяет вероятность отражения частицы от барьера и вероятность прохождения частицы сквозь барьер в область II, соответственно. Математически эти вероятности выразим через коэффициенты отражения R и пропускания (или прозрачности) D. (Коэффициент R - отношение плотности потока частиц, отразившихся от барьера, к плотности потока падающих частиц. D - это отношение плотности потока частиц, прошедших в область II, к плотности потока падающих слева на барьер).
(48)
(49)
Очевидно, что R+D=1. Заметим, что в классическом случае R=0 при E>U
2) Пусть E<U0. В этом случае выражения (48) и (49) также будут справедливы. Однако, - будет мнимым (где ), поэтому выражение (48) в этом случае следует записать в виде
(50)
В выражении (50) числитель и знаменатель - величины комплексно сопряжённые, поэтому R=1, т.е. отражение частиц будет полным. Тем не менее, при x>0 функция ш не обращается в нуль - . Плотность вероятности обнаружения частицы в области II - - также не равна нулю. То есть, частица как бы проникает под потенциальный барьер, с увеличением глубины проникновения x плотность вероятности убывает экспоненциально.
Способность квантовых частиц в силу своих свойств заходить под барьер приводит к туннельному эффекту - это специфически квантовое явление, не имеющее аналога в классической физике.
Туннельный эффект заключается в следующем. Если частица с энергией E налетает на потенциальный барьер высотой U0 (E<U0) и шириной ? (рис.27а), то она с определённой вероятностью может пройти сквозь барьер (как бы по туннелю в этом барьере - заштрихованная область) и оказаться в области III.
Это совершенно невозможное с точки зрения классической физики событие. На рисунке 27 б показан вид волны де-Бройля, связанной с движением микрочастицы, в трёх областях. Слева от барьера мы имеем падающую и отражённую волну, справа - только прошедшую волну. В этом случае коэффициент пропускания (прозрачности) барьера выражается приближённой формулой
Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер получило экспериментальное доказательство в явлении холодной эмиссии (автоэлектронной эмиссии) электронов из металлов. Вспомним, что явление холодной эмиссии заключается в вырывании электронов из металла в сильных электрических полях. Это вырывание происходит при напряжённости электрического поля в сотни раз меньших, чем те напряжённости, которые необходимы для того, чтобы электрон в металле преодолел потенциальный барьер на границе металл - вакуум и покинул металл. Действие электрического поля с напряжённостью E приводит к тому, что потенциальный барьер на границе металл - вакуум будет узким и электрон, имеющий энергию E, меньшую высоты этого барьера, может выйти из металла сквозь барьер благодаря туннельному эффекту. Туннельный эффект играет основную роль также в явлениях радиоактивного б-распада, спонтанном делении атомных ядер и других.
3.13 Линейный гармонический осциллятор
Линейным гармоническим осциллятором называется частица массой m, которая колеблется вдоль некоторой оси под действием квазиупругой силы F, пропорциональной отклонению x частицы от положения равновесия
,
где k - коэффициент упругости (связанный с массой частицы и её собственной циклической частотой щ0 формулой ).
Модель гармонического осциллятора имеет большое значение в физике и широко применяется, когда амплитуда колебаний не велика. Мы уже неоднократно пользовались этой моделью, например, когда рассматривали механические и электромагнитные колебания. Физический, математический, пружинный маятники - примеры классических гармонических осцилляторов.
Потенциальная энергия гармонического осциллятора имеет вид
или (51)
Графиком функции (51) является парабола - рис.28.
Полная энергия классического осциллятора определяется как сумма потенциальной (51) и кинетической энергии: E=U+K. В точках с координатами (-xmax, xmax) полная энергия равна потенциальной энергии, кинетическая энергия в этих точках равна нулю. Таким образом, амплитуда колебаний осциллятора определяется точками с координатами (-xmax, xmax), то есть осциллятор находится в потенциальной яме с координатами (-xmax)?x?xmax. Энергия классического осциллятора E может принимать любые значения от 0 до
.
Для определения энергии квантового гармонического осциллятора обратимся к одномерному стационарному уравнению Шредингера, которое запишем, использовав выражение (51) для потенциальной энергии
Решение этого уравнения и нахождение ш-функций представляет собой громоздкую математическую задачу. Не приводя здесь самого процесса решения, запишем лишь окончательное выражение для собственных значений энергии осциллятора, которые следует из этого решения
, (52)
где n=0,1,2…
Из (52) мы видим, что энергия квантового осциллятора может иметь лишь строго определённые дискретные значения, определяемые значениями квантового числа n. Схема соответствующих энергетических уровней дана на рис.29.
Уровни энергии отстоят друг от друга на одинаковую величину. Минимальная энергия называется нулевой энергией колебаний квантового осциллятора (или энергией нулевых колебаний). Не равенство нулю этой энергии является ещё одним существенным отличием квантового осциллятора от классического. По классической теории наименьшая энергия осциллятора равна нулю. Это значит, что осциллятор не колеблется и находится в положении равновесия. Например, рассматривая атомы в узлах кристаллической решётки в первом приближении как гармонические осцилляторы, классическая физика утверждает, что при K=0 (кинетическая энергия) атомы не должны совершать колебаний. Не равенство нулю минимальной энергии квантового осциллятора связано с принципом неопределённости. Если бы энергия частицы была равна нулю, то частица покоилась бы, и её импульс и координата одновременно имели бы определённые значения, что запрещено принципом неопределённости.
Существование нулевой энергии было доказано экспериментально в явлении рассеяния света кристаллами при сверхнизких температурах. Было показано, что при уменьшении температуры кристалла рассеяние света, обусловленное колебаниями атомов, не равно нулю, а стремится к некоторому значению, не зависящему от дальнейшего охлаждения кристалла. Это указывает на то, что при K>0 колебания атомов в кристалле не прекращается.
Примеры решения задач
Задача №1
Частица находится в основном состоянии в бесконечно глубоком прямоугольном потенциальном ящике шириной ?. Вычислить вероятность нахождения частицы в малом интервале ??=0,1? в средней трети ящика. Пояснить физический смысл полученного результата.
Решение.
Вероятность нахождения частицы в интервале от x до x+dх определяется
, (1)
где Ш(x) - волновая функция, описывающая состояние микрочастицы. Волновая функция ,описывающая стационарное состояние частицы в потенциальном ящике(при n=1), имеет вид
Из (1) имеем
(2)
Интервал интегрирования ??=0,1? представим в виде (при этом мы учитываем, что частица находится где-то в пределах ящика - 0<x<?)
,
или
0,45??x?0,55?.
Тогда выражение (2) перепишем в виде
Найдём этот интеграл, для этого выполним подстановку
Изобразим графически плотность вероятности обнаружения частицы в состоянии n=1. Легко подсчитать значение максимальной плотности вероятности при x=?/2
(3)
Мы получили вероятность нахождения частицы W=0,2 в малом интервале 0,1? в середине ящика, вероятность зависит от величины интервала. Плотность вероятности (не зависящая от величины интервала) будет равна
, что совпадает с (3).
То есть, частица в состоянии с n=1 вероятнее всего будет находиться в центре ящика.
Задача №2
Частица массой m находится в одномерном потенциальном поле U(x) в стационарном состоянии , A и в - известные постоянные (в>0). Найти энергию E частицы и вид функции U(x), если U(0)=0. Проанализировать полученный результат.
Решение.
Запишем одномерное стационарное уравнение Шредингера, описывающее поведение частицы в потенциальном поле U(x)
(1)
Волновая функция ш (x) нам задана по условию; найдём первую и вторую производные от этой функции
Подставим выражения для и в уравнение (1)
(2)
При x=0, U(0)=0 по условию, тогда уравнение (2) для точки x=0 будет иметь вид
Отсюда
(3)
Для нахождения функции U(x) подставим выражение для энергии (3) в уравнение (2)
.
Отсюда после преобразований получаем
.
Поскольку в и m - константы, полученное выражение представляет собой потенциальную энергию гармонического осциллятора. Следовательно, наша частица находится внутри параболической потенциальной ямы и совершает колебания между двумя точками с координатами (-xmax;xmax)
Таким образом, не только по известному виду потенциальной функции можно отыскать волновые функции, решив уравнение Шредингера, но также можно решить и обратную задачу - по заданной волновой функции найти вид потенциального поля, в котором движется частица.
Задача №3
Волновая функция, описывающая движение электрона в основном состоянии атома водорода, имеет вид
,
где A - некоторая константа, a0 - первый боровский радиус. Найти для основного состояния атома водорода наиболее вероятное расстояние электрона от ядра.
Решение.
Функция - сферически симметричная. Наиболее вероятное расстояние rв электрона от ядра соответствует наибольшей вероятности dW обнаружения электрона в элементе объёмом (этот элемент представляет собой сферический слой радиусом r и толщиной dr).
Вероятность определяется
Плотность вероятности обнаружения частицы вдоль направления радиуса сферы r
(1)
Чтобы найти наиболее вероятное расстояние r=rв, исследуем эту функцию на максимум. Для этого возьмём первую производную от выражения (1) и приравняем её к нулю
Решим это уравнение относительно rв.
(2)
, следовательно,
или
Отсюда получаем два корня уравнения (2)
rв1=0 и rв2=a0 (3)
Чтобы найти, в каком из этих корней функция сw максимальна, возьмём вторую производную и подставим в неё rв1 и rв2. При том значении rв, где производная <0, будет наблюдаться максимум функции сw.
При r=rв1=0 - min
При r=rв2=a0 - max.
Таким образом, наиболее вероятное расстояние равно первому боровскому радиусу a0.
Задача №4
Волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками шириной ?, имеет вид . Используя граничные условия и нормировку Ш-функции, определить координаты C1 и C2.
Решение.
По условию задачи частица находится в потенциальном ящике, значит, частица не проникает за пределы ящика. Следовательно, волновая функция за пределами ящика будет равна нулю. Для того, чтобы выполнялось условие непрерывности Ш-функции на границах ямы (при x=0 и x=?) волновая функция в этих точках должна обращаться в нуль - Ш(0)=0 и Ш(?)=0.
Тогда
Отсюда следует C2=0.
Из условия
, C1?0 следует
, n - целые числа
.
Тогда Ш-функция запишется
.
Найдём коэффициент C1 из условия нормировки Ш-функции
Подобные документы
Ознакомление с основами возникновения теплового излучения. Излучение абсолютно чёрного тела и его излучения при разных температурах. Закони Кирхгофа, Стефана—Больцмана и Вина; формула и квантовая гипотеза Планка. Применение методов оптической пирометрии.
презентация [951,0 K], добавлен 04.06.2014Люминесценция и тепловое излучение. Спектральная поглощательная способность тела, законы Кирхгофа и Стефана-Больцмана. Равновесное излучение в замкнутой полости с зеркальными стенками, формула Рэлея-Джинса. Термодинамическая вероятность, теория Планка.
курс лекций [616,3 K], добавлен 30.04.2012Электромагнитное излучение тела. Теплоизолированная система тел. Лучеиспускательная способность. Законы излучения абсолютно черного тела. Формула Релея-Джинса. Квантовая теория Планка. Энергия радиационного осциллятора. Понятие об оптической пирометрии.
реферат [813,1 K], добавлен 05.11.2008- История возникновения и формирования квантовой механики и квантово-механической теории твердого тела
Экспериментальные основы и роль М. Планка в возникновении квантовой теории твердого тела. Основные закономерности фотоэффекта. Теория волновой механики, вклад в развитие квантово-механической теории и квантовой статистики А. Гейзенберга, Э. Шредингера.
доклад [473,4 K], добавлен 24.09.2019 Возникновение учения о квантах. Фотоэффект и его законы: Кирхгофа, Стефана-Больцмана и Вина. Формулы Рэлея-Джинса и Планка. Фотон, его энергия и импульс. Давление света и опыты П.Н. Лебедева. Корпускулярно-волновой дуализм. Химическое действие света.
курсовая работа [853,0 K], добавлен 22.02.2014Характеристики и законы теплового излучения. Спектральная плотность энергетической светимости. Модель абсолютно черного тела. Закон Кирхгофа, Стефана-Больцмана, смещения Вина. Тепловое излучение и люминесценция. Формула Рэлея-Джинса и теория Планка.
презентация [2,3 M], добавлен 14.03.20161 квантово-механическая гипотеза Планка о квантованности излучения (поглощения) и вывод формулы для спектральной плотности энергетической светимости черного тела - теоретическое обоснование экспериментально наблюдавшихся законов излучения черного тела.
реферат [71,4 K], добавлен 08.01.2009История зарождения квантовой теории. Открытие эффекта Комптона. Содержание концепций Резерфорда и Бора относительно строения атома. Основные положения волновой теории Бройля и принципа неопределенности Гейзенберга. Корпускулярно-волновой дуализм.
реферат [37,0 K], добавлен 25.10.2010Физический смысл волн де Бройля. Соотношение неопределенности Гейзенберга. Корпускулярно-волновая двойственность свойств частиц. Условие нормировки волновой функции. Уравнение Шредингера как основное уравнение нерелятивистской квантовой механики.
презентация [738,3 K], добавлен 14.03.2016Соотношения неопределенностей Гейзенберга. Формулировка уравнения Шредингера. Частица в потенциальной яме. Ее прохождение через потенциальный барьер. Основные свойства, излучение и поглощение атома водорода. Движение электронов по заданным орбитам.
реферат [1,8 M], добавлен 21.03.2014
