Сложность реализуемых математических моделей, а также необходимость хранения многочисленных вариантных модулей приводят к тому, что характерные размеры программного фонда вычислительного эксперимента оказываются довольно внушительными. Число участвующих в расчетах модулей здесь нередко достигает нескольких тысяч, а суммарная длина текстов программ - сотен тысяч строк. Организовать эффективное функционирование и развитие столь обширного, сложного и специфичного программного хозяйства очень нелегко. Тем не менее жизнь показала, что все возникающие здесь трудности вполне преодолимы - методом вычислительного эксперимента были успешно решены многие важные практические задачи. История программирования задач вычислительного эксперимента насчитывает свыше трех десятилетий, и за это время накоплен весьма значительный опыт, позволяющий говорить о существовании определенной технологии работы с многовариантными программами. Эта технология оказалась достаточно надежной и эффективной; именно добротностью применявшейся технологии объясняется жизнестойкость известных программных реализаций вычислительного эксперимента.

В задачах вычислительного эксперимента в полной мере проявляются практически все специфические особенности многовариантных программ. В то же время вычислительный эксперимент является наиболее крупным потребителем технологии много вариантности. Поэтому выражения "программирование задач вычислительного эксперимента" и "создание многовариантных программ" иногда будут использоваться как синонимы.

4. Математические основы методов элементов конечных разностей и метода контрольных объемов

Метод конечных разностей - численный метод решения дифференциальных уравнений, основанный на замене производных разностными схемами. Является сеточным методом.

Метод конечных разностей для решения эллиптических задач. Для решения эллиптической задачи методом конечных разностей на расчётной области строится сетка, затем выбирается разностная схема и для каждого узла сетки записывается разностное уравнение (аналог исходного уравнения, но с использование разностной схемы), затем производится учёт краевых условий (для краевых условий второго и третьего рода так же строится некоторая разностная схема). Получается система линейных алгебраических уравнений, решая которую в ответе получают приближенные значения решения в узлах. Главной проблемой метода является построение правильной разностной схемы, которая будет сходиться к решению. Построение схемы выполняется исходя из свойств исходного дифференциального оператора.

Метод конечных разностей для решения нестационарных задач. Решение задач методом конечных разностей, когда процесс изменяется во времени представляет собой итерационный процесс - на каждой итерации мы находим решение на новом временном слое.

Для решения таких задач используются явные, неявные схемы и предиктор-корректор (пара из специально подобранных явной и неявной схемы). Явные схемы и схемы предиктор-корректор просто пересчитывают значение, используя информацию с предыдущих временных слоёв, использование неявной схемы приводит к решению уравнения (или системы уравнений).

Для параболических и гиперболических уравнений часто прибегают к смешиванию методов - производные по времени аппроксимируют с помощью разностной схемы, а оператор по пространству аппроксимируется с помощью конечно элементной постановки.

Метод контрольного объема основан на макроскопических физических законах, а не на использовании математического аппарата непрерывных функций. Особенно важно это оказывается в тех случаях, когда дифференциальные уравнения не имеют всюду непрерывные решения, которые можно было бы в каждой точке представить рядами Тейлора. Однако в рассматриваемой задаче не существует решений с разрывами, поэтому использование метода контрольного объема не даст сколько-нибудь заметных преимуществ по сравнению, например, с конечно-разностным методом. Метод контрольного объема используется в профессиональном пакете STAR-CD, позволяющем решать многочисленные инженерные задачи механики жидкости и газа. Метод контрольного объема основан на применении макроскопического подхода к описанию физических явлений. Это особенно важно, когда дифференциальные уравнения не всюду имеют непрерывные решения, которые можно было бы в каждой точке представить рядами Тейлора. Однако в рассмотренных задачах не существует решений с разрывами. Метод контрольного объема, в частности, хорошо работает для определения потерь давления в местном гидравлическом сопротивлении при задании различных эпюр скоростей во входном и выходном сечениях. Применяя метод контрольного объема вместо наблюдения за перемещением частицы, мы рассматриваем фиксированный контрольный объем в жидкости, который может быть взят в виде элементарного объема с размерами Ах, Ау, Аг около точки х, у, г, что позволяет получить в пределе характеристики течения в этой точке. При этом подходе законы переноса можно вывести, сопоставляя соответствующие потоки через поверхность контрольного объема и скорости накопления количества движения, тепла или массы внутри контрольного объема. Тем не менее, метод контрольных объемов в настоящее время достаточно хорошо апробирован и является основным при анализе тепло гидравлических процессов в АЭУ. Для численного решения задачи проведена пространственная дискретизация дифференциальных уравнений методом контрольного объема. Такая численная оценка была выполнена в результате решения системы уравнений (5.46), (5.81) методом контрольных объемов. Метод контрольного объема наиболее ярко освещает процесс численного моделирования. Метод контрольного объема достаточно продуктивен для учебных целей. Основная идея этого метода заключается в разбиении расчетной области на непересекающиеся, но граничащие друг с другом контрольные объемы, чтобы каждый узел расчетной сетки содержался в одном контрольном объеме. Дифференциальное уравнение интегрируется по каждому контрольному объему.

При вычислении интегралов используются кусочные профили, которые описывают изменение переменной между узлами. В результате такого интегрирования получается дискретный аналог дифференциального уравнения, в который входят значения переменной в нескольких соседних узлах. Несмотря на универсальность, этот метод достаточно прост для понимания и реализации. Эти преимущества обусловлены в основном использованием метода контрольного объема, при котором решаемые алгебраические уравнения представляют собой законы сохранения физических величин, таких как энергия, масса или импульс, для каждого контрольного объема в отдельности. Поэтому эти алгебраические уравнения имеют ясный физический смысл, и, получая окончательное решение, мы знаем, что в точности выполняется закон сохранения энергии (массы и т.п.) для всех маленьких контрольных объемов, на которые была разбита расчетная область. Этот метод основан преимущественно на понимании физических особенностей рассматриваемых процессов. Кроме того, разве не замечательно, что мы можем решать очень сложные задачи, не обращаясь к рядам Фурье, функциям Бесселя, полиномам Лежандра и другому подобному математическому аппарату. Этот метод для вывода конечно-разностных уравнений очень похож на интегральный метод, но более физичен по существу. Метод контрольного объема наиболее ярко освещает процесс численного моделирования. Метод контрольного объема достаточно продуктивен для учебных целей. Основная идея этого метода заключается в разбиении расчетной области на непересекающиеся, но граничащие друг с другом контрольные объемы, чтобы каждый узел расчетной сетки содержался в одном контрольном объеме. Дифференциальное уравнение интегрируется по каждому контрольному объему. При вычислении интегралов используются кусочные профили, которые описывают изменение переменной между узлами. В результате такого интегрирования получается дискретный аналог дифференциального уравнения, в который входят значения переменной в нескольких соседних узлах. Метод контрольного объема основан на макроскопических физических законах, а не на использовании математического аппарата непрерывных функций. Особенно важно это оказывается в тех случаях, когда дифференциальные уравнения не имеют всюду непрерывные решения, которые можно было бы в каждой точке представить рядами Тейлора. Однако в рассматриваемой задаче не существует решений с разрывами, поэтому использование метода контрольного объема не даст сколько-нибудь заметных преимуществ по сравнению, например, с конечно-разностным методом. При выводе уравнений движения или покоя среды возможны два подхода. Первый - метод материальной частицы - заключается в составлении на основе второго закона Ньютона дифференциального уравнения движения (покоя) с последующим его интегрированием; такой подход применяется главным образом в гидроаэромеханике. Второй - метод контрольных объемов - использует общие законы механики и физики (законы сохранения) для составления суммарных (интегральных) характеристик движения; он характерен для гидравлики. Три из них следующие: явный, Кранка - Николсона и полностью неявный. Они приведены во многих книгах по численным методам.

5. Методы решения задач вычислительной гидрогазодинамики

С момента появления на свет электронных вычислительных машин в 40-х годах XX века на них прочно заняли свою нишу задачи вычислительной гидрогазодинамики. На протяжении более 70 лет непрерывно совершенствуется аппаратура ЭВМ. В зависимости от возможностей вычислительных систем изменяются и основные расчетные алгоритмы, увеличивается степень детализации расчетных областей. Растут запросы исследователей и в плане применения новых математических моделей, более достоверно описывающих физику изучаемых явлений, и этим требованиям на сегодняшний день не могут удовлетворить даже самые современные ЭВМ. Одной из наиболее актуальных и практически важных задач в гидрогазодинамике до сих пор остается проблема расчета турбулентных течений. Сложность при моделировании турбулентности заключается в наличии существенно различных масштабов течения, которые должны быть учтены для адекватного предсказания основных характеристик течения. Для численного моделирования турбулентных течений существует несколько подходов: можно решать исходную систему дифференциальных уравнений гидрогазодинамики либо использовать осредненные уравнения для интегральных характеристик течения. Первый из них - прямое численное моделирование (DNS) - считается наиболее достоверным и интересным в долгосрочной перспективе. Основные интегральные характеристики течения, которые и представляют практический интерес, в этом случае получаются в результате осреднения по времени мгновенных полей скоростей и давления, полученных в ходе расчета. Однако такой подход крайне ресурсоемок. Для адекватного описания всех масштабов течения необходима чрезвычайно подробная расчетная сетка, разрешающая все значимые масштабы течения (или большое количество гармоник при использовании спектральных методов). Размер шага по сетке накладывает ограничения и на шаг интегрирования по времени, что приводит к необходимости расчета большого количества временных шагов для корректного осреднения результатов. Несмотря на значительный прогресс современной вычислительной техники, ее возможностей оказывается достаточно для решения очень ограниченного числа задач в простых расчетных областях, что лимитирует область применимости этого подхода по большей части научными приложениями. Альтернативой прямому численному моделированию является использование различных моделей турбулентности для расчета осредненных характеристик течения. Наиболее распространены: RANS-модели турбулентности, где вместо исходной системы уравнений используется осредненная система уравнений Рейнольдса и метод крупных вихрей (LES), представляющий собой сочетание RANS - и DNS-подходов. Пожалуй, главный недостаток RANS-моделей - их "неоднозначность". При осреднении исходных уравнений новая система уравнений получается незамкнутой, и для ее замыкания необходимо ввести некоторые дополнительные соотношения. В литературе известно множество способов замыкания осредненной системы уравнений с помощью различных эмпирических соотношений. Как правило, они формулируются исходя из ряда допущений и предположений, применимых для определенного класса задач.

Это приводит к тому, что построенная модель турбулентности обычно хорошо работает для достаточно узкого класса задач. Но использование этой же модели для других задач, где предположения могут быть некорректными, приводят к значительным погрешностям в расчетах. Одной из важнейших задач при проведении расчетов турбулентных течений в этом случае становится вопрос выбора подходящей модели турбулентности.

К одним из немногих достоинств RANS-моделей турбулентности можно отнести их вычислительную экономичность. Для расчета сложных конфигураций расчетных областей требуются относительно небольшие расчетные сетки и скромные (по сегодняшним меркам) вычислительные ресурсы в пределах нескольких десятков вычислительных узлов. RANS-модели реализованы практически во всех инженерных CFD-пакетах и широко применяются в прикладных расчетах, однако далеко не всегда обеспечивают приемлемую точность расчетов.

Промежуточное место в плане точности расчетов и объема требуемых вычислительных ресурсов занимают LES-модели турбулентности. Если RANS-модели уже давно и активно применяются в промышленных расчетах, а массовые DNS-расчеты практически значимых задач все еще представляются делом достаточно далекой перспективы, то активное внедрение LES-моделей турбулентности можно обозначить вопросом ближайшего времени. LES-модели существенно более требовательны к размерам расчетных сеток по сравнению с RANS-моделями турбулентности. Кроме того, они нуждаются в проведении длительных нестационарных расчетов. Для расчета прикладных задач с удовлетворительной точностью могут потребоваться тысячи вычислительных узлов, и при этом круг потенциальных задач останется ограниченным.

Отдельным и немаловажным вопросом для массового внедрения DNS/LES-моделирования становится создание соответствующего программного обеспечения. Хотя формально в большинстве инженерных CFD-пакетов и реализованы LES-модели, используемые в этих пакетах разностные схемы и схемы интегрирования по времени все также ориентированы на RANS-модели турбулентности, и такие схемы не оптимальны для DNS/LES-моделирования. Например, важное свойство разностной схемы для DNS - или LES-расчетов - сохранение дискретной кинетической энергии. Использование же противопоточных схем для аппроксимации конвективных членов, широко распространенное для RANS-моделей, приводит к заметной численной диссипации и нефизическому подавлению пульсаций скорости в расчетах. Помимо специфического набора разностных схем и численных методов соответствующее программное обеспечение должно обладать хорошими характеристиками масштабируемости. Расчеты задач в рамках LES-моделей турбулентности могут потребовать десятки тысяч вычислительных ядер, а таких параметров масштабируемости, как показывает практика, сейчас сложно ожидать и от коммерческих пакетов, и от свободно распространяемых кодов.

Остановимся подробнее на вопросах, связанных с разработкой таких приложений для задач гидрогазодинамики. Наиболее распространенные методы вычислительной гидрогазодинамики можно разделить на два типа: спектральные методы и сеточные методы.

Использование спектральных методов накладывает жесткие ограничения на формы расчетных областей, и применимость таких методов ограничивается по большей части чисто научными задачами. Сеточные же методы обладают большей гибкостью, возможностью задания сложных конфигураций расчетных областей, и широко применяются как в научных, так и в прикладных исследованиях. Кроме того, сеточный подход более прост при реализации на многопроцессорных вычислительных системах и обладает хорошим потенциалом масштабируемости. Практически неограниченными возможностями с точки зрения масштабируемости обладают явные схемы для сжимаемых течений.

Используя современные алгоритмы теории графов, можно построить сбалансированное разбиение расчетной области задачи между вычислительными процессами, а благодаря малому размеру шаблона аппроксимации уравнений время на асинхронную пересылку необходимых данных между вычислительными процессами может быть легко скомпенсировано и "замаскировано" вычислениями с локальным фрагментом расчетной сетки.

Несколько сложнее обстоит ситуация с несжимаемыми и слабо сжимаемыми течениями или неявными схемами интегрирования по времени. В этом случае на каждом шаге по времени возникает необходимость решать большую сильноразреженную систему линейных алгебраических уравнений (одну или несколько). Масштабируемость приложений, реализующих такие математические модели, определяется в первую очередь масштабируемостью численных методов, используемых для решения систем уравнений. Ввиду большого размера систем уравнений в общем случае единственной альтернативой для их решения является использование итерационных методов. Наиболее широко распространенный в настоящее время подход предполагает использование одного из итерационных методов подпространства Крылова (CG, BiCGStab, GMRES и пр.) в сочетании с предобусловливателем. К популярным предобусловливателям можно отнести итерационные методы типа Якоби (метод Зейделя, SSOR и пр.), методы неполной факторизации (метод неполного разложения Холецкого, частичное LU-разложение и их модификации) и многосеточные методы. Выбор определенного метода не в последнюю очередь зависит и от исходного дифференциального уравнения, по которому была построена система уравнений. Применительно к несжимаемым и слабосжимаемым течениям основные вычислительные сложности возникают при решении эллиптических уравнений для давления. В этом случае в качестве предобусловливателей долгое время применялись методы неполной факторизации. Однако перенос этих методов на современные многопроцессорные вычислительные системы оказывается сложной задачей. Являясь достаточно простым методом с точки зрения реализации в последовательном варианте, эффективная параллельная реализация этих методов чрезвычайно трудоемка и порождает ряд принципиальных сложностей.

Так, например, эффективность предобусловливания ухудшается по мере увеличения размера системы уравнений, а также существенным образом зависит от порядка перенумерации элементов матрицы. Наиболее перспективными для решения больших задач на масштабах десятков тысяч ядер представляются многосеточные методы. Качество предобусловливания при использовании этих методов слабо зависит от размера задачи, позволяя добиться практически линейной зависимости времени решения от размера задачи. Аналогичная ситуация наблюдается и при увеличении количества вычислительных процессов: количество итераций до выполнения условия сходимости итерационного процесса при увеличении количества вычислительных процессов остается практически постоянным. Это позволяет достигать не только хороших результатов масштабируемости матричных решателей, когда обычно речь идет о масштабируемости времени расчета фиксированного количества итераций, но и реального ускорения времени решения системы уравнений.

Безусловно, при разработке больших вычислительных приложений, в том числе и для задач гидрогазодинамики, должны стать данностью гибридные модели программирования. В качестве простейшего примера рассмотрим задачу решения системы линейных алгебраических уравнений для эллиптического уравнения Пуассона на равномерной сетке в кубической расчетной области (размер задачи - 8 млн неизвестных; в качестве решателя использован итерационный метод BiCGStab с алгебраическим многосеточным предобусловливателем). Бесперспективность традиционного MPI-подхода для таких задач на современных вычислительных системах наглядно продемонстрирована на рис.1. На графике приведены две кривых - для MPI и гибридной (MPI+ShM) реализаций указанных численных методов. Даже для такой небольшой тестовой задачи разница оказывается более чем 4-кратной.

Чуть лучшие результаты для MPI-подхода можно получить, используя меньшее количество вычислительных процессов на каждом узле, однако в этом случае возникает вопрос заведомо низкой эффективности использования занимаемых вычислительных ресурсов.

Заключение

В вычислительной гидрогазодинамике до сих пор остается актуальной проблема аккуратного расчета турбулентных течений. Широко используемые в настоящее время подходы, основанные на RANS-моделях турбулентности, далеко не всегда обеспечивают приемлемую точность результатов, порождая дополнительную проблему выбора конкретной модели турбулентности для проведения расчетов. Более "точные" DNS/LES-подходы требуют использования очень детальных сеток и проведения длительных нестационарных расчетов. Возможностей большинства широко доступных (как коммерческих, так и open-source) пакетов CFD-анализа недостаточно для проведения DNS/LES-расчетов в сложных областях и на подробных расчетных сетках, а специализированные пакеты (например, пакет CDP, разрабатываемый в Center of Turbulence Research, Stanford University) доступны очень узкому кругу пользователей. Отсутствие качественного и доступного инструментария является существенным сдерживающим фактором для проведения высокоточного моделирования турбулентных течений в областях сложной формы.

6. Результаты расчета

Заключение

Курсовая работа была выполнена на основе теоретических и практических знаний, накопленных в процессе обучения по дисциплинам: "Компьютерное проектирование", "Математическое моделирование", "Детали машин", "Информатика", "Сопротивление материалов". При выполнении курсового проекта, с помощью программы LVMFlow, были проведены расчёты таких параметров, как: усадка, время заполнения, время затвердевания, температура, жидкая фаза, усадка, критерий Нияма, давление, скорости, время затвердевания, конвективные скорости, dT/dt, время заполнения, контакт со стенкой, контакт с воздухом.

Литература

1. Сталеплавильное производство. Справочник, т.1. - М.: Металлургия, 1964.

2. Прокатное производство. Справочник, т.1 и 2. - М.: Металлургиздат, 1962.

3. Колосов, М.И. Сменное оборудование для разливки стали. / М.И. Колосов, Ю.Д. Смирнов. - Челябинск, 1961.

4. Андресон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен.

5.Н.И. Глебов, Ю.А. Кочетов, А.В. Плясунов. Методы оптимизации учебное пособие. Новосибирск: Новосибирский государственный университет, 2000.

6. Гиршович Н.Г. О взаимосвязи между процессами затвердевания и кристаллизации. / Н.Г. Гиршович // Литейное производство. № 7 - 1959. С.31-34.

Размещено на Allbest.ru