Способ построения ЦМР по нерегулярной сети исходных точек требует постановки задачи восстановления (интерполяции) поверхности и пересчета сети на регулярную. В настоящее время существует много методов, позволяющих решать эту задачу. Среди них - интерполяция на основе триангуляции Делоне, средневзвешенная интерполяция, кригинг и др.

Однако в любом случае при вычислении отметки точки необходимо пользоваться алгоритмами интерполяции (значения, получаемые в исходных точках, совпадают с истинными абсолютно точно) или аппроксимации (значения, получаемые в исходных точках, совпадают с истинными с некоторой степенью точности). Еще одной особенностью выбора метода расчёта является степень его локализации. Можно воспользоваться одной формулой приближения для всей изучаемой территории (глобальный алгоритм) или менять формулу приближения по мере изменения аргументов (кусочно-локальный алгоритм). Выбор этих параметров алгоритма зависит от качества исходных данных (нет необходимости решать более сложную задачу интерполяции, если качество исходных данных невысоко) и наших познаний о рельефообразующих процессах (если на территории рельефообразование связано с совокупностью нескольких слабосвязанных процессов, то естественно использовать кусочно-локальный алгоритм)

Известные цифровые модели рельефа, широко используемые на практике, подразделяются на три группы: регулярные, структурные и нерегулярные.

В регулярных моделях точки с известными пространственными координатами располагаются в вершинах сетки либо квадратов, либо прямоугольников, либо равносторонних треугольников. Существуют также цифровые модели в виде системы поперечных профилей, проведенных через определенные расстояния вдоль заданной линии (например, оси трассы). По регулярным моделям высотное положение в любой точке местности, как правило, определяется линейной интерполяцией высот внутри заданного квадрата, прямоугольника или треугольника. Основными недостатками таких моделей являются неэффективное расположение точек, так как не на всех участках требуется одинаковая плотность сетки, и повышенные трудозатраты при разбивке узловых точек на местности. Регулярные модели находят применение в тех случаях, когда требуется повышенная точность съемки. Регулярные модели весьма эффективно использовать при проектировании вертикальной планировки городских улиц, площадей, аэродромов и других инженерных объектов на участках местности с равнинным рельефом.

В структурных цифровых моделях точки с известными пространственными координатами располагаются на структурных линиях рельефа, местах изменения углов наклона склонов, на характерных линиях дороги, урезах рек. Изменение отметок вдоль структурной линии описывается полиномиальной зависимостью. По сравнению с регулярной структурная цифровая модель требует меньшую плотность исходных точек и при линейной интерполяции является весьма эффективной для описания поверхности городских дорог. Используют, главным образом, при невысокой степени автоматизации процесса сбора и регистрации исходной информации (например, при использовании материалов обычной тахеометрической съемки, при ручной либо полуавтоматической фотограмметрической обработке снимков, при дигитализации топографических планов и карт и т. д.).

В нерегулярных цифровых моделях точки могут располагаться без какой-либо системы, но с заданной плотностью. Эти модели являются самыми универсальными и получили в настоящее время наиболее широкое распространение.

Одним из наиболее распространенных методов, используемых картографами при построении карт вручную, является способ триангуляции. При этом сначала триангулируется множество исходных точек на карте, т.е. строится система неперекрывающихся треугольников, вершинами которых являются исходные точки. Поверхность представляется как многогранник с треугольными гранями, где проекция каждой грани на картографируемую плоскость есть соответствующий треугольник триангуляции, а высоты равны значениям Z(i) в i-х точках. Множество точек на плоскости может быть триангулировано многими способами, в соответствии с этим будут получаться разные поверхности. Оптимальной для моделирования рельефа является триангуляция Делоне, названная в честь российского математика Бориса Николаевича Делоне, в которой во избежание изломов изолиний на ребрах полигонов для каждой исходной точки строится локальный полином первой или второй степени, и по триангуляции эти локальные полиномы «склеиваются» в одну гладкую поверхность. При этом должно выполняться условие Делоне - внутрь окружности, описанной вокруг любого построенного треугольника, не должна попадать ни одна из заданных точек триангуляции (рис. 5.1.).

Рисунок 5.1. - Условие триангуляции Делоне.

Следует заметить, что обычно первичные данные цифрового моделирования рельефа имеются или с использованием тех или иных операций приводятся к одному из двух наиболее широко распространенных представлений поверхностей в ГИС: растровому представлению и модели TIN.

Растровая модель рельефа предусматривает разбиение пространства на далее не делимые элементы (пикселы), образуя матрицу высот - регулярную сеть высотных отметок. Подобные цифровые модели рельефа создаются национальными картографическими службами многих стран. Регулярная сеть высот представляет собой решетку с равными прямоугольниками или квадратами, где вершины этих фигур являются узлами сетки.

При создании регулярной сети высот (GRID) очень важно учитывать плотность сетки (шаг сетки), что определяет её пространственное разрешение. Чем меньше выбранный шаг, тем точнее ЦМР - выше пространственное разрешение модели, но тем больше количество узлов сетки, следовательно, больше времени требуется на расчет ЦМР и больше места на диске.

Среди нерегулярных сеток чаще всего используется треугольная сеть неправильной формы - модель TIN. Модель TIN используется для цифрового моделирования рельефа, при этом узлам и ребрам треугольной сети соответствуют исходные и производные атрибуты цифровой модели. При построении TIN-модели дискретно расположенные точки соединяются линиями, образующими треугольники.

В пределах каждого треугольника модели TIN поверхность обычно представляется плоскостью. Поскольку поверхность каждого треугольника задается высотами трех его вершин, применение треугольников обеспечивает каждому участку мозаичной поверхности точное прилегание к смежным участкам. Это обеспечивает непрерывность поверхности при нерегулярном расположении точек.

Основным методом расчёта TIN является триангуляция Делоне.

В качестве плюсов модели GRID следует отметить простоту и скорость её компьютерной обработки, что связано с самой растровой природой модели. Устройства вывода, такие как мониторы, принтеры, плоттеры и пр., для создания изображений используют наборы точек, т.е. также имеют растровый формат. Поэтому изображения GRID легко и быстро выводятся на такие устройства, так как на компьютерах легко выполнить расчёт для представления отдельных квадратов регулярной сети высот с помощью точек или видеопикселов устройств вывода.

Благодаря своей растровой структуре модель GRID позволяет «сгладить» моделируемую поверхность и избежать резких граней и выступов. Но в этом кроется и «минус» модели, т.к. при моделировании рельефа горных районов с обилием крутых склонов и остроконечных вершин возможна потеря и «размывание» структурных линий рельефа и искажение общей картины. В подобных случаях требуется увеличение пространственного разрешения модели (шага сетки высот), а это чревато резким ростом объёма компьютерной памяти, необходимой для хранения ЦМР. Вообще, как правило, модели GRID занимают больше места на диске, чем модели TIN.

Можно сделать вывод, что модель GRID идеально подходит для отображения географических объектов или явлений, характеристики которых плавно изменяются в пространстве (рельеф равнинных территорий).

Подобных недостатков лишена модель TIN. Поскольку используется нерегулярная сеть треугольников, то плоские участки моделируются небольшим числом огромных треугольников, а на участках крутых уступов, там, где необходимо детально показать все грани рельефа, поверхность отображается многочисленными маленькими треугольниками. Это позволяет более эффективно использовать ресурсы оперативной и постоянной памяти компьютера для хранения модели.

К числу «минусов» TIN следует отнести большие затраты компьютерных ресурсов на обработку модели, что существенно замедляет отображение ЦМР на экране монитора и вывод на печать, т.к. при этом требуется растеризация.

Ещё один существенный недостаток модели TIN - «эффект террас», выражающийся в появлении так называемых «псевдотреугольников» - плоских участков в заведомо невозможной геоморфологической ситуации (например, по линии днища V-образных долин).

Одна из основных причин - малость расстояний между точками цифровой записи горизонталей в сравнении с расстояниями между самими горизонталями, что характерно для большинства типов рельефа в их картографическом отображении. «Псевдотреугольники» возникают там, где все три вершины треугольника лежат на одной горизонтали. Их появление снижает точность и качество самой модели и ее производных. Решение состоит в расширении модели TIN путем ее структурирования - введения в нее сети тальвегов, водоразделов и линий перегибов и разрывов (бровок, уступов террас и т.п.).[5]

5.2 Векторизация горизонталей

Векторизация горизонталей выполнялась при помощи программного комплекса AutoCad 2013. Исходным материалом было растровое изображение (98A_4.tif) масштаба 1:2000 с файлом привязки (98A_4.tfw), рис. 5.2.



Рис 5.2 - Растровое изображение

Данный файл подгружался в программу AutoCAD при помощи утилиты ToolPac 14 и файла привязки. В программе путь выглядит следующим образом: открываем меню ToolPac, выбираем «Image» > «Image World Insert Rasters». В диалоговом окне выбираем файл растрового изображения.

После этого в программе с использованием примитивов типа точка и полилиния обрисовывались горизонтали, точки с высотами и методом линейного интерполирования вычислялись отметки углов изображения, а также отметки в местах с наименьшей густотой точек.

Отрисовка горизонталей ведется полилиниями. Точки линий расставляются с такой частотой, чтобы с одной стороны обеспечить необходимую гладкость линиям и чтобы они наиболее верно описывали горизонталь. После отрисовки горизонтали ей задается уровень - положение по высоте (координата Z), который соответствует горизонтали на плане.

Для точек с высотами используется примитив точка, которым задается положение Z, соответствующее отметке на плане.

После завершения отрисовки всех необходимых объектов на плане проверяется её правильность. В программе в меню Вид, выбираем «3D Виды» > «Спереди». Если не наблюдается “вылета” точек, то далее производим их экспорт.

В программе AutoCAD путь для экспорта выглядит следующим образом: открываем меню ToolPac, выбираем «Utility» > «Point» > «Export». В командной строке появляется команда «Objects» и выделяем все отрисованные точки и полилинии. Затем выбираем количество знаков после зяпятой (прописываем цифру в командной строке. Подтверждаем, что файл будет содержать координаты [X],[Y],[Z], далее указываем путь сохранения файла, нажимаем «Oк».

5.3 Построение модели рельефа по данным векторизации горизонталей

Модель рельефа будем строить в программе Surfer версии 10 Модель будем создавать по 4 методам:

· Kriging;

· Radial Basis Functions -- multiquadric;

· Radial Basis Functions -- natural cubic spline;

· Triangulation with line arinterpolation.

Процесс создание модели поверхности рельефа практически не отличается между собой в данной программе во всех 4 способах. Опишем алгоритм:

1. Открыть программу. В ней сразу по умолчанию создастся новый документ, который мы сразу же сохраняем на диск.

2. Открываем меню «Grid» > «Data…»(Рисунок 5.3). В открывшемся окне указываем наш TXT (также можно использовать файл экспортированный с AutoCad c разрешением csv.) файл с точками и жмем «Открыть» (Рисунок 5.4). Есть возможность подгружать и другие файлы и типы данных (Рисунок 5.5)

Рисунок 5.3. - Меню Grid-«Data»

Рисунок 5.4. -Выбор файла с точками(расширение TXT)

Рисунок 5.5. Расширения подгружаемых форматов

3. Далее появляется окно опций импорта нашего файла. В нем указываем, что является разделителем колонок в нашем файле (у нас запятые) и можем видеть, как программа сама разбивает файл на столбцы. Это значит, что она правильно нас поняла (Рисунок 5.6.).

Рисунок 5.6 - Вид меню операций импорта.

4. Далее появляется окно настройки нашей будущей сетки. В нем указываем метод интерполяции (1), опции по построению модели заданным методом (2), размер регулярной сетки (3), которая по умолчанию составляет 100Ч100. Также можно указать границы сетки (4), изменив вставленные программой максимальные и минимальные значения координат крайних точек нашего объекта. Также выставляется галочка о создании отчета при необходимости (5) и путь файла созданной поверхности (6), который по умолчанию хранится в той же папке, что и файл с точками.

Рисунок. 5.7. - Вид окна программы Surfer

5. После всех установок жмем «ОК» и поверхность создается и записывается в файл формата .grd и выдается отчет о составленной поверхности.

Методы построения сети (Gridding Methods):

Построение сеточной функции - это процесс вычисления значений интерполяционной функции в точках регулярной сети по значениям хаотически расположенных экспериментальных точек данных (наблюдений).

Процедура построения сети представляет собой интерполяцию или экстраполяцию значений исходных точек данных на равномерно распределенные узлы в исследуемой области.

Построенную сеточную функцию Surfer использует для генерации карт изолиний и графиков поверхностей.

Программа Surfer предоставляет несколько методов построения регулярных сетей. Каждый из этих методов использует свою процедуру интерполяции данных, поэтому сети, построенные по нашим данным с помощью различных методов, могут несколько отличаться друг от друга.

Возможным недостатком подходов, основанных на построении регулярной сети, является то, что карты изолиний строятся не по исходным данным, а по значениям интерполяционной функции. Поэтому нет гарантии, что экспериментальные точки будут представлены на карте точно.

Далее подберём оптимальные настройки для каждого из методов.

1. Кригинг (Kriging). Это метод интерполяции, который определяет неизвестные значения по данным наблюдений с известным положением. Этот метод использует вариограммы, чтобы предать пространственные изменения, и минимизирует ошибки определяемых значений, которые оцениваются пространственным распределением оцениваемых значений.

Метод кригинга можно представить путем регионализации переменных с учетом весовых коэффициентов, которые распределены по определенному закону (вариограммы) , в зависимости от расстояния между реальной точкой и искомым узлом сетки (грида) [7]:

(5.10)

Чаще всего метод кригинга использует две модели вариограмм:

1. сферическая

2. экспотенциальная

В некоторых случаях могут применятся следующие вариограммы [6]:

Гаусса:

Квадратичная:

Квадратичная относительная:

Степенная

Волновая (Эффект Холла)

Логарифмическая ,

где: - масштабный коэффициент, - анизотропия, относительно выбранного расстояния.

Для определения, по какому закону распределены весовые коэффициенты (тип вариограммы), необходимо построить зависимости OZX и OZY.

Построения вариограммы различными методами производил в программном комплексе MS Excel. Аппроксимировав полученный результат, определил, что все точки, полученные в ходе векторизации, подчиняются полиноминальному закону (Power).Потому что только при данной аппромаксиционной кривой сумма квадратов отклонений точек от неё минимальна. Вычисления проводились в MS Excel. Файл `Вариограммы.xlsx' прилагается. Также данные сведены в таблицу 5.1.



Таблица 5.1 Выбор оптимальной аппроксимирующей кривой

Наименование уравнения	Уравнение, описывающее кривую вариограммы
Полиномиальное		565,6011
Экспоненциальное		10176,43
Линейное		729,2797
Логарифмическое		731,50742
Степенное		733,3214

Построенная вариограмма приведена в приложении Б.

Далее определим оптимальный размер сетки. Средние погрешности высот, определённые на характерных точках рельефа, не должны превышать 1/3 принятой высоты сечения рельефа на планах масштаба 1:500 - 1:5000 .

В моем случае при высоте сечения рельефа 0.5 м, допустимым значением будет 1/3 часть, то есть 0,17 м.

Таблица 5.2 - Подбор оптимальной сетки

Kriging	Размер сетки
	100x100	200x200
Минимальное отклонение, м	-0,735	-0,264
Максимальное отклонение, м	0,542	0,325

Таблица 5.2 показывает максимальное и минимальное отклонения нашей исходной высоты от высоты той же точки, но уже построенной поверхности. В текущем случае методом kriging. Способ получения данных отклонений описан в разделе 6.

Из табл. 5.2 видно, что для построения модели методом Kriging будем использовать полиномиальный тип вариограммы и размер сетки 200х200. В данном методе, как и в последующих, анализ произвожу для сетки 200x200 для корректного сравнения точности и оптимальности методов для данного участка.

Рисунок 5.9. - Модель, построенная методом Kriging

2. RadialBasisFunctions - метод радиальных базисных функций, является точным интерполятором. Это значит, что интерполяционная функция в точках наблюдений совпадает в точности с заданными значениями.

Radial Basis Functions - multiquadric- мультиквадратичный метод. Рассматривается как наилучший по своей способности подгонять данные и получать гладкую поверхность. Этот метод точный интерполятор, поскольку он строит поверхность, точно проходящую по точкам.

В этом способе аппроксимация топографической поверхности осуществляется путем суммирования поверхностей заранее фиксированного вида, в качестве которых применяются конусы и гиперболоиды. Каждая такая поверхность, характеризуемая уравнением:



связана с некоторой точкой топографической поверхности j и имеет определенный наклон cj . Элемент называется кадрикой точки j.

Для n квадрик аппроксимирующая топографическую поверхность формула получается как сумма частных квадрик:

и называется мультиквадриковой поверхностью.

Квадрика q, представляемая гиперболоидом, имеет вид

B - сглаживающий фактор, порождающий более пологую поверхность.

(5.2)

где R² - фактор сглаживания, чем больше будет параметр, тем более сглаженные будут контура. Разумные значения показателя находятся в интервале от среднего межточечного расстояния выборки до половины этого среднего значения, h- расстояние между точками (интервал).

При В=0 гиперболоид превращается в круговой конус, радиус основания которого равен высоте, а вершина лежит в плоскости XOY. Координаты вершины совпадают с координатами и точки j.

Метод радиальных базисных функций (Radial Basis Functions) многими авторами рассматривается как наилучший метод с точки зрения построения гладкой поверхности, проходящей через экспериментальные точки.

При изменении параметра R² изменения в модели и в точности её построении не существенные (порядком до сантиметра). При большом параметре (более 50) программа долго выполняет построение модели. Точность модели, в данном случае, хорошо зависит от шага сетки, чем он больше, тем точнее модель.

Таблица 5.3 - Подбор оптимальной сетки

Radial Basis Functions- Multiquadric	Размер сетки
	100x100	200x200
Минимальное отклонение, м	-0,403	-0,115
Максимальное отклонение, м	0,488	0,126

В итоге для построения модели методом Radial Basis Functions-multiquadric будем использовать фактор сглаживания R²=25 и размер сетки 200х200.



Рисунок 5.10. - Модель построенная методом Radial Basis Functions - multiquadric

3.Radial Basis Functions-natural cubic spline. Возможность описания сложных поверхностей с помощью полиномов невысоких степеней определяется тем, что при сплайне интерполяции вся территория разбивается на небольшие непересекающиеся участки. Аппроксимация полиномами осуществляется раздельно для каждого участка. Обычно используют полином третьей степени - кубический сплайн. Затем строится общая функция «склейки» на всю область, с заданием условия непрерывности на границах участков и непрерывности первых и вторых частных производных, т.е. обеспечивается гладкость склеивания полиномов.

(5. 3)

где R² - фактор сглаживания; h - расстояние между точками (интервал).

Таблица 5.3.3. - Подбор оптимальной сетки

Radial Basis Functions - natural cubic spline	Размер сетки
	100X100	200X200
Минимальное отклонение, м	-0,377	-0,104
Максимальное отклонение, м	0.455	0.113

Необходимая точность получена, раньше при размере сетки 100x100, но будем использовать сетку размером с большим шагом, т.е. 200х200, т.к. уместно сравнивать сетки одинакового размера.

В итоге для построения модели методом Radial Basis Functions-natural cubic spline будем использовать фактор сглаживания R² =25. Везде используем стандартный коэффициент сглаживания, что бы не сильно искажал поверхность, начинали изменять с 1 и размер сетки 200х200. Весомых результатов в изменение точности не наблюдая.



Рисунок 5.11. - Модель построенная методом Radial Basis Functions-natural cubic spline.

4.Triangulation with linear interpolation

Триангуляция с линейной интерполяцией (Triangulation with Linear Interpolation) является точным интерполяционным методом. Суть этого метода заключается в следующем. Исходные точки данных соединяются таким образом, что результирующая поверхность покрывается «лоскутным одеялом» из граней треугольников. При этом ни одна из сторон треугольника не пересекается сторонами других треугольников. Каждый треугольник определяется тремя исходными экспериментальными точками. Каждый треугольник определяет плоскость, проходящую через его вершины. Вершины находятся точно в точках с исходными данными, поэтому указанный метод является точным интерполятором (Рисунок. 5.12).

Рисунок. 5.12 Рисунок 5.13

В каждой точке получается значение путем извлечения данных из треугольника ниже точки. Триангуляция с линейной интерполяцией работает лучше всего, когда ваши данные равномерно распределены над областью сетки. Наборы данных, которые содержат разреженные области, приводят к треугольным граням на карте. Пример неравномерных данных на рисунок 5.13.

Триангуляция очень эффективна, если в рассчитываемой сетке нужно сохранить линию излома, наблюдающуюся в исходных данных.

Данный метод является точным, поскольку исходные точки данных используются для построения треугольников и, следовательно, принадлежат интерполяционной функции.

Метод триангуляции работает наилучшим образом в случае, когда множество экспериментальных данных содержит от 200 до 1000 точек, равномерно распределенных в рассматриваемой области. Использование этого метода для построения интерполяционной функции по небольшому числу хаотически распределенных точек приводит к появлению явных треугольных граней на графике поверхности и больших прямолинейных сегментов на карте изолиний. При больших множествах экспериментальных данных (>1000 точек) метод триангуляции работает значительно медленнее.[13]



Таблица 5.3.4. - Подбор оптимальной сетки

Triangulation with linear interpolation	Размер сетки
	100x100	200x200
Минимальное отклонение, м	-1,987	-1,878
Максимальное отклонение, м	0,635	0,310

В итоге для построения модели методом Triangulation with linear interpolation будем использовать размер сетки 200х200 (приданном шаге сетки необходимая точность не достигнута, и теряется форма модели, она становится все более угловатой)

Рисунок 5.14. - Модель построенная методом Triangulation with linear interpolation.

В данной модели появляются отклонение значительно превышающие заданную точность. При попытках большего сгущения точек, ошибка `бегает' между этим массивом точек, а при удалении точек из этой области, ошибка перемещается на другой участок поверхности. Избавится от него не представляется возможным.

Рисунок 5.14. - Максимальные отклонения в точках на модели

Построив модели рельефа четырьмя методами можно сказать, что оптимальный вариант для данной модели рельефа Radial Basic Function cubic spline. Поскольку поверхность у нас без больших перепадов рельефа. Рельеф преимущественно равнинный, без грубых изломов и выступов.

Radial Basic Function multiquadric в предложенную точность вошел при шаге сетки 200*200, при факторе сглаживания 25, что и способ cubic spline. Поверхности cubic spline и multiquadric весомых визуальных различий не имеют. И единственная разница в том, что поверхность, полученная с помощью multiquadric менее “поднятая” по краям нежели cubic spline.

Метод Triangulation with linear interpolation значительно искажает, делает строящуюся поверхность более угловатой.

В общем, выбор способа зависит конечно же от предназначения цифровой модели рельефа.



6. Анализ полученных результатов

Для того, чтобы проанализировать полученные результаты, воспользуемся функцией «Residuals» (отклонения по высоте).

Рисунок 6.1. - Местоположение функции «Residuals»

Затем выбираем файл *.grd с поверхностью нужного нам метода, жмем «Открыть»;

Рисунок 6.2. - Выбор файла поверхности

Далее необходимо выбрать исходный файл с точками

Рисунок 6.3. - Выбор исходного файла

Далее открывается уже знакомое окно импорта данных из файла точек, жмем «ОК»;

Появляется окно параметров, в котором задается положение координат точек и самих высотных отклонений. Так как окно файла отклонений представляет собой таблицу, схожую по структуре с MS Excel, то можно задать любое положение координат и отклонений

Рисунок 6.4. - Выбор месторасположения координат и отклонений

Наконец, появляется само окно (рисунок 5), в ячейках которого указаны данные, параметры которых задавались выше.

Эти данные будем использовать для статистического анализа. Для этого выделим всю колонку «D», для чего кликнем по этой букве в заголовке таблицы. Затем перейдем в меню «Data» - «Statistics.». Откроется окно с одноименным названием, в котором программа предложит выбрать те условия, по которым будет составляться статистический отчет.

После установления условий жмем «ОК» - и открывается окно StatisticsResults, в котором отображены все выбранные нами статистические данные.

Рисунок 6.5. - Окно «Residuals»

Оптимальные характеристики для каждой построенной модели приняты в разделе 5.3. Сравнительная характеристика построенных моделей приведена в таблице. 6.1.

Таблица 6.1. - Результаты анализа для 4-х методов

Категории:	Kriging	Radial Basis Functions - multiquadric	Radial Basis Functions - natural cubic spline	Triangulation with linear interpolation
Минимальное отклонение	-0,2643	-0,1151	-0,1039	-1,8786
Максимальное отклонение	0,325	0,126	0,1131	0,3104
Медиана	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
Первый квартиль	-0,0025	-0,0007	-0,0006	-0,0050
Третий квартиль	0,0027	0,0008	0,0006	0,0046
Дисперсия	0,0011	0,0001	0,0001	0,0041
СКО	00339	0,0040	0,0034	0,0169
Коэффициент вариации	-324,9549	-75,7621	-42,174	-21,4549
Ассиметрия	0,75	0,056	-0,054	-18,471
"Эксцесс"	26,672	36,725	39,45	523,856

- Минимальные и максимальные отклонения были выбраны из значений отклонений Zres, рассчитываемых по формуле:

Z_res = Z_dat - Z_grd, (6.1)

где Z_dat- значение Z-координаты точки данных;

Z_grd- значение Z-координаты точки поверхности с теми же X,Y - координатами.

Минимальные и максимальные отклонения не должны превышать 1/3 высоты сечения рельефа (0,5 м), исходной карты, т.е. 0,17 м. Полученные значения в допуске.

- Медиана находится как среднее из суммы 2-х отклонений, которые располагаются в середине выстроенного по возрастанию ряда отклонений. Если в ряду находится нечетное количество погрешностей, то тогда берется та, которая находится в самом центре этого ряда. Для нашего случая получим:

(6.2)

- Дисперсия является мерой изменчивости, вариации признака и представляет собой средний квадрат отклонений случаев от среднего значения признака. В отличии от других показателей вариации дисперсия может быть разложена на составные части, что позволяет тем самым оценить влияние различных факторов на вариацию признака. Дисперсия - один из существеннейших показателей, характеризующих явление или процесс, один из основных критериев возможности создания достаточно точных моделей.вторая основная численная характеристика, которая показывает то, как рассеивается отклонение вокруг своего математического ожидания, и выражается через формулу:

(6.4)

где, -отклонение;

-вероятность, соответствующая отклонению;

- математическое ожидание.

Средняя квадратическая ошибка (СКО) рассчитывается по формуле:

(6.5)

где V- вероятнейшая ошибка,

n - количество измерений.

- Стандарт - величина, численно равная корню из дисперсии, так как дисперсия - величина квадратическая. Если вариация очень большая, то стандартное отклонение тоже получится большим, следовательно, и прогноз будет неточным, что выразится, к примеру, в очень широких доверительных интервалах.

(6.6)

- Коэфициент вариации - это относительная мера рассеивания, которая является результатом отношения стандарта к математическому ожиданию. По сути, коэффициент вариации представляет собой относительную меру рассеивания, выраженную в процентах, и используется для сравнения рассеивания двух и более признаков, имеющих различные единицы измерения:

(6.7)

- Асимметрия - центральный момент третьего порядка, отнесенный к третьей степени стандарта. Характеризует меру скошенности распределения:

, (6.8)

Где - центральный момент третьего порядка.

Если А < 0 то это означает, что преобладают данные с большими значениями, а если А > 0, то больше данных с меньшими значениями, чем среднеарифметическое.

- Эксцесс - центральный момент четвертого порядка, отнесенный к четвертой степени стандарта. Характеризует меру крутости (плосковершинности) То есть показывает, насколько сильно в процентном отношении могут различаться превышения (в данном случае) двух ближайших точек поверхности (карты ошибок):

(6.9)

где, - центральный момент четвёртого порядка.

Если показатель эксцесса больше нуля, то распределение островершинное и скачок считается значительным, если коэффициент эксцесса меньше нуля, то распределение считается плосковершинным и скачок считается незначительным.[14]

Далее построим по методу Kriging для всех четырех способов «карты отклонений», на которых будет показаны отклонения в той или иной части наших поверхностей.

Для этого составим текстовый файл вида [X],[Y],[Z].Где Z - это значения отклонений для каждой точки, полученные из Residuals по каждому методу.

«Карты отклонений» приведены на рисунках 6.1 - 6.4.

Рисунок 6.2. - Карта отклонений, метод Kriging



Рисунок 6.3. - Карта отклонений, метод Radial Basis Functions - multiquadric



Рисунок 6.4. - Карта отклонений, метод Radial Basis Functions - natural cubic spline



Рисунок 6.5. - Карта отклонений, метод Triangulation with linear interpolation



7. Вычисление объемов

Подсчёт объёмов земляных работ необходим для того, чтобы обоснованно выбрать методы и средства их выполнения, установить необходимость отвозки или возможность распределения вынутого из котлованов или траншей грунта на прилегающей территории и последующего его использования для устройства обратных засыпок, определить стоимость и продолжительность производства земляных работ.

Подсчёт объёмов земляных работ по устройству выемок (котлованов, траншей) и насыпей при известных размерах достаточно прост.

При сложных формах выемок и насыпей их разбивают на ряд более простых геометрических тел, которые затем суммируют.

7.1 Вычисление объемов методом по квадратам

Для вычисления объемов по квадратам, разбиваем наш участок на 16 квадратов, со стороной 125 м. Согласно заданию поперечный уклон равен 0,01‰, а продольный 0,01‰.

По журналу высот вершин для каждого квадрата вычисляют среднее значение отметки:

(7.1)

Проектная отметка площадки с учетом соблюдения баланса земляных работ вычисляется как среднее значение из средних отметок в п квадратах:

(7.2)



После приведения подобных, учитывая что в формировании Н₁ реальные отметки Нⁱ_j - вносят различный вклад, получим формулу

(7.3)

совершенно эквивалентную (7.2). Здесь H_(k) - отметки, принадлежащие сразу k - квадратам. Не сложно заметить, что при необходимости формула (7.3) может быть расширена слагаемым 3УH₍₃₎- Далее вычисляют рабочие отметки всех вершин квадратов по обычной формуле как разность проектных и фактических высот. Если в формулу (7.3) вместо реальных отметок по тому же правилу подставить рабочие, то мы получим контроль правильности вычисления рабочих отметок, так как в этом случае левая часть формулы теоретически должна равняться нулю.

Картограмма земляных работ. Графическим документом по вертикальной планировке является картограмма земляных работ. На картограмме указываются фактические, проектные и рабочие отметки, положение линии нулевых работ. При переходе от насыпи к выемке и наоборот находится точка нулевых работ. Положение точек нулевых работ на сторонах квадратов в виде расстояния, от любой вершины, определяется аналитическим способом по формуле

(7.4)

Определение точек нулевых работ, расположенных на сторонах квадратов, проводится между смежными рабочими отметками, имеющими разные знаки. Соединив точки нулевых работ, получается линия нулевых работ.[5]

Подсчет объемов земляных работ.

После построения проектной плоскости, нахождения линии нулевых работ. Составляем таблицу (Таблица 7.1) Где колонка 2 и 3 - суммы положительных и отрицательных отметок n-ого квадрата соответственно. Колонки 8 и 9 - вычисленные объемы насыпи и выемки соответственно. Вычисления объемов производились по формуле 7.5

(7.5)

Где - сумма рабочих отметок выемки(насыпи),

- сумма всех рабочих отметок в пределах одного квадрата без учета знаков.

Таблица 7.1. - Подсчет объемов земляных масс.

№ к	?h,м	(?h)2	?|h|,м	Площадь а2/4	Объем, м3
	+	-	+	-			насыпи	выемки
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	10,53	0,00	110,89	0,00	10,53	3906,25	41135,25	0,00
2	8,38	0	70,23	0,00	8,38	3906,25	32736,82	0,00
3	6,42	0	41,22	0,00	6,42	3906,25	25080,57	0,00
4	5,08	0	25,81	0,00	5,08	3906,25	19846,19	0,00
5	4,14	-0,53	17,14	0,28	4,67	3906,25	14338,81	234,81
6	2,58	-1,17	6,63	1,38	3,75	3906,25	6908,58	1437,39
7	1,55	-1,29469	2,39	1,68	2,84	3906,25	3284,54	2305,53
8	4,38	-0,64984	19,19	0,42	5,03	3906,25	14900,69	327,93
9	0,405156	-3,00	0,16	9,03	3,41	3906,25	188,06	10341,87
10	0,00	-4,75	0,00	22,56	4,75	3906,25	0,00	18552,25
11	0,00	-4,23	0,00	17,89	4,23	3906,25	0,00	16521,00
12	2,72	-2,18	7,37	4,77	4,90	3906,25	5877,35	3804,59
13	0	-5,97	0,00	35,63	5,97	3906,25	0,00	23317,87
14	0	-7,82	0,00	61,14	7,82	3906,25	0,00	30544,43
15	0,00	-7,55	0,00	56,99	7,55	3906,25	0,00	29489,75
16	0,00	-7,02	0,00	49,27	7,02	3906,25	0,00	27419,43
						?=	164296,84	164296,84

?V=Vн-Vв= 0 м3

Картограмма земляных работ приведена в приложении А.

7.2 Вычисление объемов по регулярной ЦМР

Для подсчета объема по регулярной ЦМР воспользуемся стандартным инструментом программы Surfer -- Volume.

Вычисление объемов по твердым телам, ограниченным верхней и нижней поверхностями. Верхняя и нижняя поверхности определяются файлом сетки или плоскостью постоянной Z. Когда указываются два файла сетки, то файлы сетки должны иметь те же пределы XY и то же количество строк и столбцов.

Верхняя поверхность не должна быть выше нижней поверхности во всех точках, но верхняя поверхность может опуститься ниже нижних поверхностей в некоторых местах. Пустые области на верхней или нижней поверхности исключаются из рассмотрения при расчетах объема.

Для этого перейдем в меню «Grid» > «Volume…».

Рисунок 7.6. - Расположение инструмента «Объем»

Откроется окно выбора поверхности, относительно которой необходимо посчитать объемы.



Рисунок 7.7. - Выбор поверхности

После нажатия на «ОК» открывается окно «Grid Volume», в котором предлагается указать либо плоскую поверхность (отметка Z), либо подгрузить заранее созданную. В нашем случае будем подгружать заранее созданную наклонную площадку с заданными уклонами.

Рисунок 7.8. - Параметры подсчета объема

Далее программа производит расчеты и выдает отчет о вычислениях.

Объем рассчитывается тремя методами: правила трапеции, метод Симпсона и метод 3/8 Симпсона.

Общий объем является суммой положительного объема [насыпи] и отрицательного объема [выемки].

Положительный Объем [насыпь] является объем материала в тех местах, где верхняя поверхность выше нижней поверхности. Отрицательный Объем [выемка] - это объем материала в тех местах, где верхняя поверхность находится ниже нижней поверхности. Чистый объем [насыпь-выемка] разница между насыпью и выемкой.

Теперь рассмотрим три метода подсчета объемов поподробнее.

Разница в расчете объема по трем различным методам показывает точность расчетов объема. Если все три значения объема достаточно близки, истинный объем близок к этим значениям. Если три значения несколько отличаются, то должен использоваться новый файл с большей плотностью сетки, прежде чем снова выполнить расчет объема. Чистый объем может быть представлен как среднее из трех значений.

В этой программе объем вычисляют, сначала интегрируя по X (столбцы), чтобы получить площади под отдельные строки, а затем, интегрируя по Y (строки), чтобы получить конечный объем. Программа использует 3 алгоритма для подсчета объема

· метод трапеции

Ряд коэффициентов {1,2,2,2,...,2,2,1}

(7.6)

· метод Симпсона

Ряд коэффициентов {1,4,2,4,2,4,2,...,4,2,1}

(7.7)

· метод 3/8 Симпсона

Ряд коэффициентов {1,3,3,2,3,3,2,...,3,3,2,1}



(7.8)

Где - шаг столбцов сетки

- расстояние между рядами сетки

- значение в строке i и в столбце j

Рассмотрим вычисление объемов для первых трех способов. Сведем данные в таблицу 7.2.

Таблица 7.2. - Объемы

	Kriking	Radial Basis Functions - multiquadric	Radial Basis Functions - natural cubic spline
Общий объем:
метод трапеций	27821.22	28328.08	28998.69
метод симпсона	27823.48	28324.35	28989.91
метод 3/8 симпсона	27820.50	28325.15	28991.77
Выемка/насыпь:
Выемка, м3	176457.19	177805.14	180684.47
Насыпь, м3	148636.23	149477.31	151686.03
Чистый объем, м3	27820.96	28327.83	28998.44

Относительную погрешность вычисленного объема можно оценить путем сравнения результатов трех методов и выразить в процентах от среднего значения. В SURFER относительная погрешность определяется с помощью следующей формулы:

RE = (LR - SR)*100 / AVER, (7.9)

где RE - относительная погрешность;

LR - наибольший из результатов, полученных тремя методами;

SR - наименьший из результатов, полученных тремя методами;

AVER - среднеарифметическое трех результатов.[5]

Таблица 7.2. - Относительная погрешность

Метод	Выемка, м3	Насыпь, м3	Чистый объем, м3	Относительную погрешность вычисленного объема
По квадратам	164296,84	164296,84	0,00	-
Kriging	176457.19	148636,23	27820,96	0,003%
RBF - Natural Cubic Spline	180684.47	151686.03	28998.44	0,002%
RBF - Multiquadric	177805.14	149477.31	28327.83	0,006%



Заключение

В ходе сравнения программных продуктов, можно сделать вывод о том что выбор ПО зависит от предъявляемых к ним требований и сферы применения.

Третий раздел описывал способы получения информации для последующей обработки в САПР. С современными средствами измерений, которые почти все оснащены флеш-картами, способными обмениваться информацией с ПК, импорт данных происходит довольно просто и примитивно.

Векторизация растровых изображений, в частности оцифровка горизонталей. В нашем случае мы пользовались обыкновенной полилинией с заданной высотой, обрывы, откосы оцифровывали 3D-полилинией. Ведь Проводили оцифровку в программном комплексе Autocad.

Построение ЦМР в пятом разделе и ее визуализация различными способами выполнена успешно.

Был проведен анализ по результатам построения и определен наилучший метод построения поверхности для данного участка местности. В седьмом разделе выполнен расчет объемов земляных работ различными методами с оценкой точности.



Список использованной литературы

1. Википедия [Электронный ресурс]; Параметр доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Система_автоматизированного_проектирования; Дата доступа:10.11.2014;

2. Компас [Электронный ресурс]; Параметр доступа: http:// http://secret.kompas3d.su; Дата доступа: 16.11.2014;

3. Википедия [Электронный ресурс] Параметр доступа:https://ru.wikipedia.org/wiki/SolidWorks; Дата доступа:27.11.2014;

4. Википедия [Электронный ресурс]; Параметр доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Autocad; Дата доступа:25.11.2014;

5. Введение в автоматизированное проектирование [Электронный ресурс]; Параметр доступа: http://seniga.ru/index.php/uchmat/57-indorcadroad/127-1.html; Дата доступа:27.11.2014;

6. Русский САПР. Группа компаний [Электронный ресурс] Параметр доступа: http://rusapr.ru/prod/progs/element.php?ID=584; Дата доступа:01.12.2014;

7. Esti Map. [Электронный ресурс] Параметр доступа:http://www.esti-map.ru/программноеобеспечение/векторизаторы/MapEdit/76/Default.aspx; Дата доступа:02.12.2014;

8. Растровая модель данных [Электронный ресурс]. Параметр доступа: http://gis-laris.narod.ru/rastrvektr.htm; Дата доступа:03.12.2014;

9. В.В. Хромых, О.В. Хромых. Цифровые модели рельефа. - Томск, «ТМЛ-Пресс», 2007.;

10. Компания «КРЕДО-ДИАЛОГ» [Электронный ресурс] Параметр доступа: http://www.credo-dialogue.com/.; Дата доступа:08.12.2014;

11. GeoniCS Топоплан-Генплан-Сети-Трассы-Сечения-Геомодель 10 [Электронный ресурс] Параметр доступа: http://www.csoft.ru/catalog/ soft/geonics/geonics-10.html.; Дата доступа:09.12.2014;

12. К.Ю. Силкин. Учебно-методическое пособие для вузов «Геоинформационная система GoldenSoftwareSurfer 8». - Издательско-полиграфический центр ВГУ, 2008. ;

13. ГКИНП (ГНТА) - 02-036-02. «Инструкция по фотограмметрическим работам при создании цифровых топографических карт и планов». Москва, 2002. ;

14. WebSearch [Электронный ресурс] Параметр доступа: http://www.datuapstrade.lv/rus/spss/section_6/2/; Дата доступа:19.12.2014.

Размещено на Allbest.ru