Разработка электронного учебника по дисциплине "Методы и алгоритмы обработки результатов экспериментальных исследований"
Обзор средств создания электронных обучающих систем. Требования к системе проектирования "электронного учебника". Разработка теоретической части и интерактивных примеров. Классификация средств создания электронных учебников. Принципы изложения материала.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 10.01.2013 |
| Размер файла | 7,8 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Интерактивные примеры, помимо списка, могут вызываться из того места в теории, где описывается алгоритм, проиллюстрированный примером.
Так же, в каждом примере есть кнопка «Назад», которая возвращает пользователя к списку примеров (Рисунок 1.2.2). Это сделано для удобства навигации между примерами, независимо от теоретической части учебника.
интерактивный электронный учебник
Рисунок 1.2.2 - Навигация внутри примеров
Перемещаться между теоретическими главами можно, как используя оглавление, так и кнопку «Далее», расположенную в конце каждой темы, тогда в левом фрейме откроется страница следующей главы.
Так же, в любой момент можно вернуться к списку тем, нажав кнопку «Оглавление» в верху учебника
.
Рисунок 1.2.3. - кнопка «Далее»
Рисунок 1.2.4. - Кнопка «Оглавление»
1.3 Разработка системы хранения информации
Каждая глава учебника хранится в отдельном HTML файле, но для начала работы достаточно запустить файл BEGIN.htm, откроется титульный лист, откуда можно будет перейти непосредственно к учебнику.
Скрипты интерактивных алгоритмов собраны в отдельной папке Sources (Рисунок 1.3.).
Рисунок 1.3. - Состав файлов
1.4 Разработка и отладка теоретической части и интерактивных примеров
За теоретическую основу для электронного учебника были взяты следующие главы пособия «Методы и алгоритмы обработки результатов экспериментальных исследований»:
- Глава 1. Введение
- Глава 4. Методы и алгоритмы математической обработки результатов эксперимента
В качестве основы для разработки интерактивных примеров, иллюстрирующих теоретический материал, были выбраны следующие четыре алгоритма из курса:
- Построение статической (тарировочной) характеристики датчика первичной информации.
- Нахождение параметров эллипса рассеивания
- Апостериорная оценка характеристик точности измерительных систем
- “Гребневый” смещенный алгоритм
Далее приводится теоретическая часть только тех разделов, где были использованы интерактивные примеры (оригинальная нумерация сохранена).
2. Понятие эксперимента. Классификация экспериментов
Эксперимент является важнейшей частью научных исследований, с помощью которого осуществляется изучение окружающего нас мира. Такое утверждение нуждается в определении самого понятия эксперимента. Однако, следует признать, что сделать это сколько-нибудь удовлетворительно не представляется возможным, поскольку определение должно содержать ответ на единственный вопрос: как осуществить эксперимент?
Приведем некоторые определения понятия эксперимента, взятые из различных источников, опубликованных в разные годы:
“Эксперимент - научно поставленный опыт, наблюдение исследуемого явления в точно учитываемых условиях, позволяющих следить за ходом явления и воссоздать его каждый раз при повторении этих условий“. (БЭС, 2-е издание т.48, 1957г.).
“Эксперимент- чувственно-предметная деятельность в науке, осуществляемая теоретически познанными средствами. В научном языке термин «эксперимент» обычно используется интуитивно в значении, общем для целого ряда сопряженных понятий: опыт, целенаправленное наблюдение, воспроизведение объекта познаний и т.п. “. (Философская энциклопедия, т. 5, М. «Советская энциклопедия», 1970г.)
“Эксперимент - способ изучения явлений в точно установленных условиях, позволяющих воспроизводить и наблюдать эти явления. Он является способом материального воздействия человека на объект, способом практического освоения действительности'. (Краткий словарь по философии, М. 1982г.).
“Эксперимент - метод познания, при помощи которого в контролируемых и управляемых условиях исследуются явления природы и общества”. (БЭС, 2-е издание, 1997г.).
Аналогичные определения содержатся и в зарубежных публикациях. Так в Оксфордском словаре 1958г. эксперимент определяется как действие или операция, предпринятые для обнаружения нового или проверки гипотезы, или иллюстрации известной истины. И тут же, “эксперимент процедура, метод или последовательность действий, принятые в состоянии неуверенности относительно того, отвечают ли они цели”.
Или ещё одно определение из американской энциклопедии (Encyclopedia Americana, v.10, 1944г.):
“Эксперимент - операция, предназначенная для обнаружения истины, принципа или эффекта или после их обнаружения для уточнения или иллюстрации. Он отличается от наблюдения тем, что наблюдение является действием в большей или меньшей степени контролируемым человеком”.
Анализ такой малой подборки определений понятия эксперимента показывает, что ни одно из них не содержит ответа на поставленный вопрос: как можно осуществить эксперимент?
Очень трудно воспринимать утверждение о том, что эксперимент есть предметно-чувственная деятельность, осуществляемая познанными средствами. Во-первых, если, например, исследователь имеет дело с радиоактивными излучениями то, что он предметно чувствует? Во-вторых, экспериментальные установки не всегда являются теоретически познанными средствами, а о создании точно учитываемых условий воспроизведения изучаемого явления говорить вообще не приходится.
Осознание принципиальной невозможности создания точно учитываемых условий проведения эксперимента и использования установок с полностью или частично известными характеристиками привело к возникновению математической теории оптимального эксперимента.
Эта теория дает ответ на поставленный вопрос, если его переформулировать следующим образом: какой эксперимент следует считать хорошим в смысле полученных результатов, а какой плохим?
Что же касается компактного определения понятия эксперимента, то его возможно лучше и не искать, а использовать метафоричное определение, данное Жоржем Кювье (1769-1832г.г.). Он определял задачи эксперимента следующим образом: “наблюдатель слушает природу, экспериментатор вопрошает и принуждает её разоблачиться” (БЭС, 1-е издание т.63, 1933г.).
Добавим лишь, что этот процесс должен осуществляться так, чтобы привести к наилучшим результатам. Ясно, что получаемые результаты будут зависеть как от полноты учитываемых факторов, так и от организации самого эксперимента.
Эти факторы, используются при построении гипотетических моделей реальных процессов, явлений или объектов. Обычно в качестве таких моделей используются математические модели, построение которых является почти искусством в том смысле, что вопрос об эквивалентности модели реальному явлению, это вопрос, который экспериментатор задает “природе”, а ответ на него содержится в результатах эксперимента.
Организация же эксперимента - его планирование, это главным образом “технический вопрос”, который неразрывно связан с методами математической обработки его результатов.
Все эксперименты по признаку “цель эксперимента” могут быть разбиты на 2 класса, представленные на рис.1.1
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис.2.1
В экстремальных экспериментах исследователя интересуют условия, при которых изучаемый процесс удовлетворяет некоторому критерию оптимальности. Например, определение таких параметров системы автоматического управления (допуски на значения параметров), при которых она решала бы задачу оптимального быстродействия.
В экспериментах по выяснению механизмов явлений исследователя интересуют вопросы нахождения (подтверждения принятых) математических моделей процесса, явления или реального объекта.
В дальнейшем интерес будет представлять именно этот класс экспериментов, а потому необходимо продолжить классификацию экспериментов.
Если в качестве признака классификации использовать располагаемый объём априорной информации об исследуемом явлении, то структурная схема классификации экспериментов по выявлению механизмов процессов протекающих в объектах принимает вид, приведенный на рис.2.1.2.
Эксперименты по выявлению структуры математических моделей явлений и связанные с ними задачи математической обработки информации называются задачами структурной идентификации.
Эксперименты же по определению значений параметров принятой математической модели явлений и связанные с ними задачи называются задачами параметрической идентификации.
Задачи, возникающие при организации таких экспериментов к настоящему времени изучены с разной степенью полноты, а используемый при этом математический аппарат различается по сложности.
Способы организации эксперимента не многочисленны и связаны с принципами статического и последовательного планирования.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис.2.2
На рис.2.3 приведены схемы статического и последовательного способа организации эксперимента.
Размещено на http://www.allbest.ru/
а). - статический способ организации эксперимента
Размещено на http://www.allbest.ru/
б). - последовательный способ организации эксперимента
Рис.2.3
Анализ этих схем показывает, что наличие обратной связи в схеме последовательного способа организации эксперимента позволяет в процессе его проведения изменять условия для улучшения результатов или же досрочно его прекращать, если качество результатов достигло необходимого уровня.
2.1 Проблемы, возникающие при организации эксперимента, и специфические особенности задач математической обработки результатов эксперимента
Высокий уровень развития вычислительных средств позволяет значительно расширить возможности экспериментальных исследований. Существующие экспериментальные установки содержат, по крайней мере, одну вычислительную машину, осуществляющую по определенным правилам стратегию проведения эксперимента, преобразование результатов и их интерпретацию.. Они по существу являются некими информационно-управляющими комплексами с развитыми средствами диалога.
На рис.2.4 приведена достаточно грубая не претендующая на полноту схема, но дающая представление об основных проблемах, возникающих при реализации последовательного способа организации эксперимента.
К таким проблемам, в первую очередь, относятся [49]:
- Проблема построения математических моделей объектов, используемых как при решении задач оптимального планирования эксперимента, так и при построении алгоритмов обработки его результатов.
- Проблема наблюдаемости, связанная с выбором набора измеряемых процессов при наличии некоторых энергетических ограничений, например, на производительность вычислительной машины. Решение этой проблемы позволяет ставить задачу об оптимальном управлении процессом проведения измерений.
- Проблема идентифицируемости объекта, решение которой гарантирует определение свойств объекта по результатам эксперимента.
- Проблема формирования алгоритмов обработки результатов эксперимента в “реальном времени”, решение которой дает гарантию реализации последовательной схемы организации эксперимента.
- Проблема влияния ошибок воспроизведения условий эксперимента имитатором на качество решения проблемы определения свойств объекта.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис.2.4
Перечисленные проблемы к настоящему времени исследованы с различным уровнем полноты.
О решении первой проблемы уже упоминалось и сложность ее в основном определяется сложностью разделения факторов на существенные и несущественные.
Результаты решения второй проблемы приведены в многочисленных публикациях, которые для линейных объектов приводят к условиям наблюдаемости Р. Калмана. Вместе с тем следует отметить, что в постановках классических задач наблюдаемости предполагались известными свойства объекта, поскольку исторически они возникли при решении проблем управления. В задачах же экспериментальных исследований свойства объекта предполагаются не полностью известными, а потому проверить выполнимость условий наблюдаемости Р.Калмана затруднительно. В работе [47] обсуждается один из возможных подходов к решению этой проблемы.
Одна из задач управления процессом функционирования информационно-измерительной системой при выполнении условий наблюдаемости и ограничениях на производительность вычислительной машины поставлена и решена в работе [50].
Результаты решения проблемы идентифицируемости линейных систем, при выполнении условия измерения всех координат вектора состояния объекта, также отражены в многочисленных публикациях. Условия идентифицируемости при измерении только первой координаты вектора состояния приведены в работе [44].
Проблеме формирования алгоритмов обработки результатов эскперимента посвящено огромное число публикаций, в которых для различных объемов априорной информации как о свойствах объекта и ошибок измерения, так и требований предъявляемых к времени решения задач обработки строятся алгоритмы, которые до недавнего времени, как казалось, существенно отличаются друг от друга. Однако, как было показано в работе [41],алгоритмы обработки относятся к одному из трех основных классов:
- Абсолютно оптимальные алгоритмы.
- Алгоритмы оптимальные на классе функций потерь.
- Абсолютно оптимальные на классе алгоритмы.
Проблема влияния ошибок воспроизведения условий эксперимента имитатором на результат решения задачи определения характеристик объекта слабо изучена. Одна из возможных постановок такой проблемы приведена в работе [48].
Из всех перечисленных выше проблем интерес будет представлять только проблема формирования алгоритмов для решения задачи возникающих в различных предметных областях при математической обработке результатов эксперимента. Многие из них имеют совпадающие математические постановки, а потому обладают одинаковыми особенностями, которые следует учитывать при анализе результатов решения.
Для иллюстрации этого высказывания приведем ряд простейших примеров.
Пример №1.1. По результатам измерений выхода апериодического звена, содержащих малые аддитивные ошибки, изменяющиеся по закону ,и известному входному воздействию x(t), определить значение коэффициента усиления этого звена.
Решение
Известно, что апериодическое звено описывается математической моделью вида
Где y(t) - выход рассматриваемого объекта.
Тогда результат измерения представляется в виде , где - малая величина.
Очевидно, что алгоритм нахождения значения коэффициента усиления будет иметь вид
Этот алгоритм должен использовать результаты измерения у и, вычисленные по этим измерениям, значения производных
Задача состоит в том, чтобы оценить влияние ошибок измерений на результат определения значения коэффициента усиления k.
Предположим, что измерения y(t) осуществляются на промежутке времени [0,2], а отличие y(t) от z(t) определяется по правилу
,
тогда
.
Следовательно, замена y(t) на z(t) при вычислении k не приводит к значительным ошибкам.
Совсем иначе обстоит дело, при замене в этом алгоритме на .
Действительно
,
но
и, следовательно,
.
Поскольку может быть достаточно большой, то и ошибка от замены на может быть велика.
Пример № 1.2 Задача выявления скрытых периодичностей выхода системы.
Выявление скрытых периодичностей, т.е. распознавание спектральной структуры реальных процессов по результатам их измерений, является важнейшей задачей математической обработки. В настоящее время главной областью приложений методов выявления скрытых периодичностей стало изучение периодических вибраций. Анализ виброграмм позволяет выявить периодические компоненты и, следовательно, дает возможность обнаружить основные источники вибраций.
Решение
Пусть выход системы представим в виде ряда
Тогда, если удалось каким-либо способом определить коэффициенты an, то задача может считаться решенной. Пусть такое решение найдено и оно имеет вид
где - малое число. Будем также считать, что , тогда в разложении для y(t) коэффициенты an должны быть заменены на сn, и решение задачи принимает вид
При анализе полученного решения , для определенности будем считать, что отличие сn от an определяется по правилу
,
тогда
За счет выбора эту величину можно сделать сколь угодно малой.
Вместе с тем, если отличие от определять по правилу
,
то
Но эта величина может быть сколь угодно большой, так как при t=0 ряд расходится.
Таким образом, и в этой задаче обнаруживается влияние на результат математической обработки результатов эксперимента малых ошибок либо измерений, либо вычислений.
Подмеченное явление не случайно, оно появляется всякий раз, когда возникают так называемые обратные задачи, к которым относится большинство задач математической обработки. Эти задачи уже по своей постановке относятся к некорректным задачам [23].
Пример №1.3. Построение статической (тарировочной) характеристики датчика первичной информации.
Замечание. Под статической характеристикой понимается зависимость между входом и выходом датчика в установившемся режиме.
Решение.
Пусть измерения выхода производятся при заданных входных воздействиях
где Х - множество допустимых входных воздействий (диапазон изменения измеряемых процессов) и эти измерения содержат некоторые ошибки, которые по своей природе являются случайными. Результаты такого эксперимента представлены на рис.1.5.
Знание статических характеристик совершенно необходимо для расшифровки, например, телеметрических измерений, поскольку их использование позволяет по выходному сигналу датчика, имеющего обычно электрическую природу, восстановить значение измеряемого параметра (температуру, давление и т.п.).
На первом этапе решения задачи математической обработки результатов эксперимента, выбирается с точностью до неизвестных и не измеряемых параметров , аппроксимирующая функция (класс аппроксимирующих функций), например, класс линейных или квадратичных функций.
Пусть для определенности зафиксирован класс линейных аппроксимирующих функций, в котором каждая функция имеет вид
.
Тогда соотношение, связывающее измерения с неизвестными параметрами будет иметь вид
,
где i - ошибка измерения, реализовавшаяся в i-м эксперименте
Но тогда
Эти соотношения могут быть записаны в векторно-матричной форме
,
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис.2.5
Где - вектор измерений,
- вектор неизвестных параметров,
- вектор ошибок измерений,
- матрица измерений.
По своей структуре оно является линейным алгебраическим уравнением относительно неизвестного вектора параметров . Вместе с тем необходимо отметить, что оно обладает некоторыми особенностями, не позволяющими напрямую использовать классические методы решения таких уравнений.
Действительно, поскольку представление символизирует лишь наличие аддитивной ошибки измерения , то приведенное соотношение эквивалентно и в случае невырожденности матрицы (понятие невырожденной матрицы определено только для квадратных матриц) для нее существует обратная С-1 такая, что , но тогда и, следовательно,
Но у матрицы С не может существовать обратной в обычном смысле, поскольку она прямоугольная. Казалось бы это препятствие можно преодолеть, если умножить левую и правую части соотношения слева на СТ, тогда и матрица будет уже квадратной, но утверждение о ее невырожденной надо доказывать. С другой стороны, если она даже не вырождена, то появляется другая проблема, которая состоит в следующем.
Решение зависит от реализовавшихся значений ошибок измерений , которые определяются набором . Если этот набор изменить, то можно ожидать и изменения решения т.е. значений параметров аппроксимирующей функции. Но исследуемый датчик остался тем же, а, следовательно, поставленная задача будет иметь множество решений.
Такая ситуация не может считаться удовлетворительной.
Для преодоления этого препятствия заметим, что наличие ошибок измерений не позволяет получить точное решение, но тогда остается искать приближенные решения, а уже среди них находить наилучшее. Нахождение такого наилучшего решения это по существу указание процедуры определения крайнего элемента в последовательности
где - какое-то приближенное решение. В этой последовательности элементы ранжированы по их качеству так, что крайние правый или левый элементы являются наилучшими, а потому, они и будут искомыми.
Для проведения ранжирования необходимо задать (выбрать) функцию критерия качества решения, по значениям которой должны сравниваться любые два элемента этой последовательности. Задание функции критерия качества не является простой задачей, во-первых, потому, что отсутствует информация о взаимном расположении хотя бы одного решения относительного искомого истинного значения вектора параметров , во-вторых, такой выбор определяет потери, которые могут возникнуть при неправильном выборе решения [10], и, в-третьих, выбор конкретной функции критерия во многом будет определять и сложность алгоритма математической обработки результатов эксперимента. При задании этой функции можно, например, руководствоваться следующими соображениями.
Пусть любое приближенное решение, тогда по длине (квадрату длины) вектора , называемого вектором невязки, можно судить о качестве приближенного решения.
Поскольку, квадрат длины вектора невязки задается соотношением
то , если (знак означает предпочтение).
Отсюда следует, что наилучшее приближение должно являться решением экстремальной задачи
В рассматриваемом случае определить тип экстремальной задачи не представляет труда.
Действительно, положительно-определенная квадратичная форма относительно , а поверхность, описываемая этой формой, является эллиптическим параболоидом, лежащим выше плоскости . Эта поверхность имеет одну экстремальную точку и эта точка является точкой минимума. Поэтому искомое наилучшее является решением следующей экстремальной задачи
и это решение единственное.
Теперь становится ясным и путь нахождения алгоритма вычисления , который использует необходимые условия экстремума функции многих переменных
или в координатной форме
,.
Приведенные необходимые условия минимума в векторно-матричной форме для рассматриваемой задачи имеют вид
или в развернутой координатной форме
,
Эта система алгебраических линейных уравнений, как было показано, имеет решение и оно единственное. Для его нахождения можно было бы воспользоваться известными методами линейной алгебры, связанными с обращением матрицы коэффициентов системы алгебраических уравнений. Но, ради упрощения выкладок, поступим следующим образом.
Заметим, что , но тогда преобразование переводит все точки отрезка в симметричные относительно 0 точки отрезка .
Замечание. Ниже для того, чтобы не вводить новых обозначений везде будет сохранено обозначение
Но тогда полученная система принимает вид
,
и, следовательно,
,
Соотношения для определения наилучших приближённых значений и , в дальнейшем будут называться алгоритмами обработки измерений, а сами наилучшие приближения оценками неизвестных параметров и , которые обозначаются следующим образом: - оценка параметра, -оценка параметра .
2.2 Анализ свойств решения задачи математической обработки результатов эксперимента
Оценка статической характеристики датчика первичной информации, полученная аппроксимацией результатов эксперимента в классе линейных функций имеет вид
, .
Замечания. 1). Совершенно ясно, что при выборе другого класса аппроксимирующих функций получится и другой результат.
2). Сравнивать качество решений можно только внутри выбранного класса аппроксимирующих функций.
Первый вопрос, который всегда возникает у специалиста по математической обработке результатов эксперимента, это вопрос о том, вносит ли сам алгоритм обработки дополнительные ошибки в решения поставленной задачи. Наличие ошибок вносимых алгоритмом математической обработки результатов эксперимента обычно достаточно легко устанавливается.
Для этого поступают следующим образом. Предполагают, что ошибки измерения отсутствуют и тогда, если результат обработки совпадает с истинными, но неизвестными значениями параметров, то алгоритм не вносит дополнительных ошибок. Такие алгоритмы называются несмещёнными.
Наличие свойства несмещённости, например, у алгоритма получения оценки определяется следующим образом: в алгоритме получения оценки параметра вместо соотношения используется тогда
и, следовательно, предлагаемый алгоритм не вносит дополнительных ошибок в результат обработки измерений, а потому он является несмещённым. Совершенно аналогично доказывается несмещённость алгоритма получения оценки .
Кроме того, алгоритмы математической обработки результатов экспериментальных исследований могут обладать свойством линейности или не обладать им. Тогда они называются линейными и нелинейными алгоритмами соответственно.
Поскольку специалист, разрабатывающий алгоритмы обработки результатов эксперимента интересуется ими как объектами исследования, которые описываются некоторыми математическими соотношениями, в том числе и дифференциальными, то возникают задачи связанные с их устойчивостью и сходимостью.
Методы же исследования таких задач, доведённые до конструктивных методик, наиболее просты для линейных объектов. По этой причине алгоритмы, обладающие свойствами линейности, представляют наибольший интерес.
Определение №1.1. Алгоритм L называется линейным, если выполняется условие
, для любых x1, x2 X
где и некоторые числа.
Так как полученные алгоритмы являются несмещенными, то можно сделать вывод о том, что существует некая величина, называемая ошибкой оценки, которая обусловлена только наличием ошибок измерения .
Для определённости будем анализировать только свойства оценки .
Итак,
,
но
=1 + ,
где
- ошибка оценки,
Сравнение левых и правых частей полученных соотношений, приводит к выводу о том, что
Для проведения дальнейшего анализа свойств полученной оценки необходимо увеличить объем априорной информации о свойствах ошибки измерения. Такое увеличение достигается, например, введением дополнительной гипотезы о статистических свойствах ошибки измерения.
Ради простоты предположим, что i N(0, 2), где символ обозначает гауссовский закон распределения с нулевым средним и дисперсией
Тогда
а, потому
Заметим, что оценки удовлетворяющие условию называются несмещёнными. Наличие этого свойства у оценки означает, что она совпадает хотя бы в среднем с истинным, но неизвестным значением параметра
Второе же соотношение задает дисперсию оценки , которая для несмещённой оценки характеризует некую меру точности полученной оценки (степень доверия), но тогда при выполнении условия несмещённости оценки истинное значение параметра 1 с вероятностью 0,9977 лежит в интервале
.
Если же оценка смещена, т.е., где a - некоторое неизвестное смещение, то сформулированное утверждение о нахождении в указанном интервале в общем случае несправедливо рис.1.6.
Размещено на http://www.allbest.ru/
f()
Размещено на http://www.allbest.ru/
f()
Рис.2.6
1
M =
Обрабатывая результаты эксперимента, экспериментатор стремится получить оценку с наименьшей дисперсией, которая зависит от величины 2, определяемой классом точности измерительных систем. Поэтому, на первый взгляд, казалось бы, что выбор соответствующей измерительной системы это единственный путь к достижению поставленной цели, но высокоточные измерительные системы достаточно дороги, что снижает эффективность экспериментальных исследований. Однако, существует и другой более экономичный путь, который связан с рациональной организацией эксперимента - его планированием.
Действительно, если выбирать таким образом, чтобы ряд , расходился при , то. Оценки, обладающие такими свойствами, называются состоятельными. Это свойство гарантирует улучшение их точности по мере увеличения числа измерений привлекаемых к обработке.
В качестве примера рассмотрим простейшие из возможных вариантов размещения xi на интервале .
1. Равномерное размещение.
Пусть
и
но
и, следовательно,
,
а, потому
2. Неравномерное размещение.
Пусть теперь
Но тогда
,
а, потому
.
Итак, равномерное размещение на отрезке в принципе позволяет за счет привлечения к обработке дополнительных измерений улучшать оценки, в то время как при использовании второго способа размещения точность вычисляемых оценок не может быть лучше чем
Анализ приведённых примеров, иллюстрирующих различные аспекты использования математических методов обработки результатов эксперимента, показывает, что их объединяет, во-первых, единая цель получения информации о значениях ненаблюдаемых параметров и во-вторых, общность возникающих при их решении проблем. Эти проблемы в основном связаны с наличием ошибок измерения и их свойствами. Наличие ошибок измерения исключает возможность определения истинных значений, интересующих параметров математической модели объекта исследования и приводит к необходимости использования их наилучших приближённых значений (оценок). С другой стороны приведённые примеры показывают, что при формировании алгоритмов математической обработки существенно используется различная априорная информация, как о свойствах исследуемого объекта задаваемых соотношениями, связывающими результаты измерений с ненаблюдаемыми параметрами, так и об ошибках измерения. В дальнейшем такие соотношения будут называться математическими моделями объектов исследования.
Интерактивный пример. Построение статической (тарировочной) характеристики датчика первичной информации. Зависимость скорости от времени (Листинг скриптового кода реализации МНК алгоритма см. «Приложение А», блок схема алгоритма см. «Приложение Б»)
В качестве модели рассмотрим равномерное прямолинейное движение. Измерения пройденного пути проводятся через равные промежутки времени, с определенной погрешностью.
S = S0 + vt + ж
Задача алгоритма, по измерениям пройденного пути определить параметры движения - скорость и начальную точку пути, при этом известны время движения и количество измерений.
Рисунок 2.1.2.1 - ввод исходных данных
Для наглядной демонстрации работы алгоритма МНК, в первую очередь необходимо сгенерировать измерения пути с погрешностью, наиболее приближенные к реальной ситуации. Для этого задаются истинные значения искомых параметров, скорости и начальной точки пути, а так же математическое ожидание и дисперсия погрешности измерения. Ошибка распределяется по гауссовскому закону, пользователь может корректировать параметры распределения, в зависимости от рассматриваемой ситуации.
Как видно из Рисунка 2.1.2.1, кнопка «Построить график» строит график зависимости пути от времени, соответствующим истинным значениям параметров . При генерации ошибки строится график гаусовского распределения ошибки. (Рисунок 2.1.2.2.)
Рисунок 2.1.2.2. - Генерация ошибок измерений
После чего, при помощи кнопки «Построить график с ошибкой», можно увидеть результат наложения сгенерированных погрешностей на истинные значения, в каждой точке измерения. Таким образом, получаем измерения с погрешностью, по которым, при помощи МНК алгоритма, можно восстановить параметры движения (Рисунок 2.1.2.3.). Их истинным значением будет то, которое пользователь задал в начале.
Рисунок 2.1.2.3. - График измерений с погрешностью и оценки параметров
После получения приблизительных значений оцениваемых параметров строится эллипс рассеивания. Для нахождения центра эллипса необходимо рассчитать математическое ожидание определенного количества оценок (это количество так же задается пользователем) (Рисунок 2.1.2.4).
Рисунок 2.1.2.4 - Эллипс рассеивания
При каждом повторном нажатии кнопки «Построить эллипс рассеивания» генерируются новые значения погрешностей, и рисуется новый эллипс. Это позволяет пользователю увидеть пределы рассеивания оценок параметров, в зависимости от заданной дисперсии распределения ошибки (Рисунок 2.1.2.5).
Рисунок 2.1.2.5 - Эллипс рассеивания для D = 5
Методы и алгоритмы математической обработки результатов эксперимента
Характеристики точности МНК-оценок
Поскольку МНК-оценки параметра не смещены, то степень доверия к ним может определятся ковариационными матрицами оценок.
Для тройки , по определению ковариационной матрицы, будем иметь
Замечания. 1). Очевидно, что тройка является частным случаем тройки при К=Е, но тогда для тройки .
2). Характеристики точности МНК-оценок зависят от значения , которое априорно может быть и не задано. Но тогда возникает необходимость в его апостериорной оценке.
Утверждение. для любых и , где любая оценка, принадлежащая множеству линейных несмещенных оценок
Доказательство.
Доказательство этого утверждения состоит из двух этапов. На первом этапе находится условие, при выполнении которого любая оценка будет несмещенной.
Оценка является линейной оценкой тогда и только тогда, когда она представима в виде где матрица размера .
Поскольку , то для несмещенности линейной оценки достаточно выполнение условия , где - единичная матрица.
Ковариационная матрица линейной несмещенной оценки с учетом того, что
,
имеет вид
На втором этапе доказывается неравенство , которое эквивалентно неравенству
Ковариационной матрицей МНК- оценки является , поэтому
.
Теперь осталось только доказать, что матрица
Замечание. 1).Неравенство означает, что матрица неотрицательно определена.
2). Матрица называется неотрицательно определенной тогда и только тогда, когда для всех векторов
При доказательстве будем использовать только условие
Тогда
где .
Из того, что и свойств скалярного произведения, следует
Это означает, что матрица является ковариационной.
Смысл доказанного утверждения состоит в том, среди всех линейных алгоритмов МНК-агоритм дает наилучшие оценки ненаблюдаемых параметров
Рассмотрим теперь простейшие примеры нахождения МНК-оценок.
Пример №4.5. Построить МНК-оценку для величины активного сопротивления R при его m-кратном измерении для двух случаев
а) и б)
где .
Решение
а) Для задачи имеем
Это означает, что .
Но тогда
,
.
Поскольку, полученная МНК-оценка является несмещенной, а , то является состоятельной оценкой.
б) Для задачи имеем
и
.
Для вычисления матрицы воспользуемся следующим утверждением.
Утверждение. Если
, то .
Доказательство
Умножим теперь правую и левую части этого соотношения справа на (B + MLN), тогда
Аналогичный результат получится, если левую и правую части исходного соотношения умножить слева на .
Этим и заканчивается доказательство сформулированного утверждения. Установив соответствие, между
и ,
Получим
К=А; Е=В; С=М; 1=L; .
Но тогда
и, следовательно,
но тогда
Далее
.
Поэтому
и
.
Полученная оценка в этом случае не обладает свойством состоятельности.
Пример №4.6. Пусть матрица имеет вид .
Найти параметры эллипса рассеяния.
Решение.
Для нахождения параметров эллипса рассеяния вычислим в начале матрицу . В силу симметрии матрицы , присоединенная матрица Q* будет иметь вид
, поскольку , то .
Длины полуосей эллипса рассеяния есть корни квадратные из собственных значений матрицы , удовлетворяющие уравнению .
Для поставленной задачи
,
а потому
, но тогда и .
Следовательно, полуоси эллипса рассеяния будут иметь длины
,
Направление этих полуосей в параметрическом пространстве задается собственными векторами матрицы , которые являются нетривиальными решениями () однородной системы
.
Эта система имеет нетривиальное решение на собственных значениях матрицы . Поскольку таких значений два , то и собственных векторов будет также два.
Для собственного значения имеем
или
.
Положим , тогда .
Итак, собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид
.
Для собственного значения имеем
или
.
Положим , тогда .
Итак, собственный вектор соответствующий собственному числу имеет вид
Проверим утверждение о том, что собственные вектора задают направление полуосей эллипса рассеяния в параметрическом пространстве.
Поскольку полуоси эллипса ортогональны, то проверке подлежит выполнение условия ортогональности векторов и
.
Имеем
.
При выбранной точности вычисления можно утверждать, что .
Пример №4.7. Пусть матрица . Найти параметры эллипса рассеяния.
Решение
Построение
.
.
, но тогда .
Нахождение длин полуосей эллипса рассеяния
,
или .
Но тогда
и, следовательно, а потому
Нахождение направлений полуосей.
Направления полуосей задаются собственными векторами матрицы .
Для собственного значения , получаем
или
Пусть , тогда и, следовательно, .
Для собственного значения получаем
или . Пусть , тогда . Итак,
Условия ортогональности, как нетрудно проверить, выполняются
Эллипс рассеяния представлен на рис.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис.
Апостериорная оценка характеристик точности измерительных систем
Уже отмечалось, что алгоритмы метода наименьших квадратов не зависят от значения , определяющего характеристики точности информационно-измерительной системы, но это значение учитывается при вычислении ковариационной матрицы МНК-оценки. Значение , если оно не задано или задано так, что ему не слишком можно доверять, может быть оценено апостериорно.
В этой ситуации верно следующее утверждение.
Утверждение. Несмещенной оценкой в модели является оценка
,
Где m - число проведенных измерений
n - размерность вектора оцениваемых параметров .
Доказательство.
Пусть , тогда
и
,
но
Поэтому
.
Определим теперь
.
Известно [20],[31], что и ,
тогда
Итак
.
Пример №4.8 [9]. Получить апостериорную оценку по измерениям
Модель измерения задана и имеет вид
Измерения проводились в точках
.
Решение.
МНК- оценки для параметров имеют вид
Но тогда
,
где m=6; n=2 и, следовательно,
.
На самом деле ошибки измерения выбирались из таблицы случайных чисел распределенных по гауссовскому закону N(0,1). Для формирования измерений был построен имитатор объекта с параметрами .
Анализ полученного решения показывает, что уже при шести измерениях получилась достаточно хорошая апостериорная оценка , но выборки, предъявляемые к обработке всегда имеют значительно большую длину, а потому следует ожидать значительного улучшения значения .
“Гребневый” смещенный алгоритм, порождаемый МНК-алгоритмом
В рассмотренных задачах совместной обработки информации с помощью МНК-алгоритма процесс нахождения оценок неизвестных параметров сводился к решению линейной алгебраической системы нормальных уравнений. При больших размерностях векторов измерений и оцениваемых параметров приходится использовать численные методы, для реализации которых существуют хорошо отлаженные и эффективные программы, однако, для выбора какой-то определенной программы и правильной интерпретации результатов очень важно представлять основные трудности, возникающие при численном решении систем алгебраических уравнений [21], [33].
Одной из основных и принципиальных особенностей численных методов является возникновение ошибок округления, природа которых связана с возможностью записи в регистр вычислительной машины или в ячейку ее памяти только чисел с конечным числом знаков. Увеличение числа разрядов приводит к увеличению точности вычислений, но не может ликвидировать эту проблему.
Ошибки округления при выполнении большого числа арифметических операций накапливаются, но этот процесс трудно контролировать, поскольку исследование свойств арифметических операций с приближенными числами является большой проблемой. Процесс накопления ошибок округления может явиться причиной получения решений отличающихся сколь угодно сильно от решения полученного при использовании не округленных чисел.
Другой особенностью численных методов решения системы нормальных уравнений является то, что правые ее части, а возможно и элементы матрицы коэффициентов при искомых параметрах известны с некоторыми погрешностями, природа которых целиком определяется наличием случайных ошибок в результатах измерений и ошибками задания модели.
Действительно, если элементы матрицы коэффициентов не могут быть заданы точно, то возможно стирание четкой границы между вырожденными и невырожденными матрицами Q системы нормальных уравнений и появление матриц, которые образуют класс почти вырожденных матриц. К этому классу относятся такие матрицы, изменяя элементы которых в пределах заданной точности, можно получить как невырожденные, так и вырожденные матрицы.. В последнем случае говорят о плохой обусловленности матриц, количественная характеристика которой обычно задается специальным образом, вводимым числом о6условленности
Числа обусловленности обладают следующими свойствами
где и наибольшее и наименьшее
Возможность возникновения плохо обусловленной матрицы Q приводит к неустойчивости алгоритмов численного решения системы нормальных уравнений, нарушает гарантию нахождения единственной МНК-оценки параметра и порождает проблему ее преодоления.
Так, например, если у используемого для решения системы вычислительного устройства длина разрядной сетки равна N (для определенности в десятичной системе исчисления), то численные осложнения наступают тогда, когда [21].
Решение этой проблемы может быть достигнуто либо использованием высокоточных численных методов, либо методов, которые “корректируют” элементы матрицы . При этом, вообще говоря, такая “коррекция” должна привести к тому, что гарантируемое МНК- алгоритмом свойство несмещенности оценок будет отсутствовать. Подобные методы обычно называются методами регуляризации [23].
Пусть по каким-либо причинам допустимо возникновение некоторого смещения оценки, то тогда можно поставить задачу о модернизации МНК-алгоритма. Решение этой задачи предполагает такое целенаправленное изменение элементов матрицы Q, при котором учитываются заданные ограничения на величину допустимого смещения оценки неизвестного параметра . Одной из таких модернизаций МНК является гребневый МНК алгоритм. Для стандартной задачи функция критерия оптимальности имеет вид
Рис.
-аппроксимация (а)
-аппроксимация , (б)
-аппроксимация (в)
Учитывая, что , приведенный критерий может быть преобразован следующим образом
Поскольку
и
то
Где - минимальное значение критерия оптимальности, достигаемое при - член, который в некоторой степени определяет допустимую величину смещения оценки.
Существует целое множество векторов , удовлетворяющих соотношению
При заданном смещении , минимизация одного из возможных критериев, например, квадрата длины вектора приводит к задаче на условный экстремум
Ее решение сводится к нахождению минимума функции Лагранжа
где множитель Лагранжа.
Необходимые условия экстремума имеют вид
или
Отсюда
Вектор называется “гребневой” оценкой параметра
Нетрудно видеть, что при а при малых k оценки "почти совпадают". Основное преимущество “гребневого” МНК-алгоритма состоит в том, что “гребневая” МНК-оценка определяется однозначно, когда матрица плохо обусловлена.
Для иллюстрации работы этого алгоритма приведем простейший пример.
Пример №4.10. Проводится m-кратное измерение активного сопротивления R так, что
Найти “гребневую” МНК-оценку , если задано допустимое смещение
Решение
Заметим, что здесь отсутствует явление плохой обусловленности, но допускается смещение оценки.
Известно, что , а в соответствии с “гребневым” МНК- алгоритмом “гребневая” МНК- оценка должна иметь вид
Для нахождения k используется ограничение, которое принимает вид
или
отсюда
Поэтому “гребневой” оценкой искомого параметра будет
Покажем теперь, что оценка действительно смещена на величину
Действительно
Это означает, что “гребневый” алгоритм недооценил истинное значение активного сопротивления, на величину
Интерактивный пример «Эллипс рассеивания» (Листинг скриптового кода реализации МНК алгоритма см. «Приложение А», блок схема алгоритма см. «Приложение Б»)
Пользователем задается матрица Q размерностью 2х2.
После нажатия кнопки «Вычислить значения» запускается скрипт, при помощи которого вычисляются параметры эллипса рассеивания. Программа выводит промежуточные значения расчетов: промежуточную матрицу Q* , обратную матрицу , ее собственные значения, длины полуосей эллипса и собственные вектора и (Рисунок 2.2.2.1.)
Рисунок 2.2.2.1. - Параметры эллипса рассеивания
Далее проводится проверка на ортогональность векторов и , значение должно быть приближено к нулю.
После нажатия кнопки «Построить эллипс» на экран выводится эллипс рассеивания, соответствующий заданной матрице (Рисунок 2.2.2.2).
Рисунок 2.2.2.2 - Построение эллипса рассеивания
Интерактивный пример «Апостериорная оценка характеристик точности измерительных систем».
Пользователем задаются МНК-оценки для параметров , а так же точки х, в которых проводятся измерения. Точки измерения вводятся последовательно и должны быть разделены пробелами.
Из реальных значений параметров и точек измерения, при помощи добавления погрешностей, генерируется вектор измерений, приближенный к реальным условиям. Ошибки измерения распределяются по гауссовскому закону, пользователь может задать математическое ожидание и дисперсию распределения. (Рисунок 2.2.3.1)Количество погрешностей соответствует количество точек измерения и определяется анализом длины строки, вводимой пользователем.
Рисунок 2.2.3.1 - Ввод исходных данных
Далее подсчитываются МНК оценки параметров, на основе смоделированных измерений. Выводится искомая апостериорная оценка и априорная оценка, соответствующая заданной дисперсии (Рисунок 2.2.3.2).
Рисунок 2.2.3.2 - Вычисление апостериорной оценки
Для наглядности и возможности сравнения обе оценки помещены рядом. Пользователь может увидеть, как при увеличении количества точек измерения, значение апостериорной оценки будет приближаться к значению априорной.
Интерактивный пример «"Гребневый" смещенный алгоритм, порождаемый МНК-алгоритмом».
Пользователем задаются параметры модели
- Сопротивление R
- Количество измерений m
- Допустимое смещение a0
Из реальных значений параметров и точек измерения, при помощи добавления погрешностей, генерируется вектор измерений, приближенный к реальным условиям. Ошибки измерения распределяются по Гауссовскому закону, пользователь может задать математическое ожидание и дисперсию распределения. (Рисунок 2.2.4.1)
Рисунок 2.2.4.1 - Ввод данных пользователем
Далее подсчитывается МНК оценка параметра R, используя ограничение
,
рассчитывается и выводится промежуточное значение k.
Далее по формуле
рассчитывается и выводится на экран итоговая «гребневая оценка» параметра R. (Рисунок 2.2.4.2)
Рисунок 2.2.4.2 - Вывод «гребневой» оценки.
Тестирование и отладка
При программировании могут быть допущены ошибки, которые принадлежат к одному из следующих типов:
- Синтаксические ошибки. Они связаны с применением в программе конструкций, не отвечающих требованиям используемого языка.
- Логические ошибки. Они связаны с несоответствием программы алгоритму решения поставленной задачи.
Тестирование системы проводилось на всем протяжении разработки системы.
Первый этап тестирования можно прекращать, когда есть уверенность, что большая часть синтаксических ошибок и аварийных остановов устранена. Этот этап тестирования выполнялся в процессе написания программ. Каждая программа в процессе разработки запускалась блоками для проверки правильности написания на промежуточных этапах и устранения ошибок на ранних этапах.
Второй этап тестирования можно прекращать, когда большая часть функциональности проверена и работает. Остальные несоответствия будут устраняться в процессе написания сопроводительной документации.
После разработки и дополнения интерфейсной части проводилась проверка на правильное вычисление результатов расчетов программой. Это проводилось путем сравнения информации в окнах интерфейса и результатов ручных расчетов.
И наконец, третий этап тестирования можно прекращать, когда основные расчетные тесты дают правильные результаты.
Для отладки исполняемых сценариев применялись средства отладки среды Opera Dragonfly 7.0. Для отладки гипертекстовой разметки учебника - Opera 10.0 и Kompozer. Среда включает широкий спектр новейших средств для локализации всех типов ошибок.
В результате тестирование и отладки программы признаны годными к эксплуатации.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Современная степень развития коммуникационных ресурсов открыла перед разумным человечеством новые горизонты на поле образовательной деятельности, но при этом поставила и новые задачи. Решение одной из них - суть проделанной работы.
В последние годы все мы стали свидетелями появления сначала англоязычных, а затем и отечественных электронных энциклопедий, предоставляющих пользователям принципиально новые "степени свободы" нежели их традиционные, "бумажные" аналоги. Отсюда уже один шаг оставался до попыток создать принципиально новые учебные пособия - электронные учебники. В настоящее время, когда процесс создания таких учебников уже вышел за рамки отдельных частных экспериментов, когда предпринимаются активные попытки внедрить их в учебный процесс, и на этом пути уже накоплен некоторый опыт, можно, наконец, говорить о том, что определение самого термина "электронный учебник" и его концепция, которую первопроходцы-энтузиасты нащупывали практически вслепую, начинает, наконец, проясняться.
Результат проделанной работы - электронный учебник, выполненный при помощи средств гипертекстовой разметки и интерактивных сценариев Javascript. Он соответствует эргономическим требованиям к компьютерным средствам обучения. При сегодняшнем сложном состоянии с учебниками, электронную версию легко записать на носитель информации и пользоваться им на домашнем компьютере. Если при этом учебник положить на сервер, то к нему может быть обеспечен неограниченный доступ.
Целью данной работы было разработать электронный учебник по курсу «Методы и алгоритмы обработки результатов экспериментальных исследований», раздел «совместные алгоритмы обработки информации».
Требовалось разработать четыре интерактивных примера к данному электронному учебнику: Построение статической (тарировочной) характеристики датчика первичной информации, Параметры эллипса рассеяния, Апостериорная оценка, “Гребневый” смещенный алгоритм.
Для этого было необходимо:
- произвести обзор теоретического материала по методам представления алгоритмов
- разработать структуру представления алгоритма
- написать алгоритмы программ-скриптов
- отладить программы-скрипты
- разработать пользовательский интерфейс
Для достижения поставленных целей и решения предложенной задачи была проделана следующая работа:
- Детально изучена методика создания компьютерных обучающих интерактивных систем, которая была в дальнейшем использована при разработке собственного компьютерного приложения.
- Изучены наиболее популярные средства разработки электронных учебников.
- Проведен сравнительный анализ этих инструментальных сред с целью выявления системы, наиболее отвечающей требованиям, предъявляемым при разработке учебника.
- Проведен анализ теоретического материала предлагаемого к изучению студентам и выбран материал для первоочередной реализации в компьютерном учебнике.
- Были созданы четыре примера к данному электронному учебнику.
- Созданы алгоритмы программ. По алгоритмам написаны и отлажены программы, имитирующие выполнение операций.
- Был разработан пользовательский интерфейс электронного учебника и структура представления информации. Разметка учебника была реализована средствами HTML.
- Программы прошли тестирование и отладку.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Особенности электронных учебных пособий и основные принципы их создания. Сбор и подготовка исходного материала для электронного учебного пособия. Разработка структуры электронного пособия. Выбор программ и разработка интерфейса электронного учебника.
дипломная работа [738,5 K], добавлен 27.06.2012Электронный учебник как средство самообразования. Основные этапы проектирования электронного учебника. Методика использования электронных учебников. Язык гипертекстовой разметки HTML. Структура электронного учебника по дисциплине "Численные методы".
дипломная работа [4,9 M], добавлен 02.05.2012Основные критерии выбора инструментальных средств создания электронных учебников. Структурная организация и режимы работы электронных учебников. Создание электронного учебника "Табличный процессор MS Excel". Расчет экономической эффективности проекта.
курсовая работа [2,9 M], добавлен 01.06.2015Структурные элементы электронного учебника. Основные этапы разработки электронного учебника. Варианты структуры электронного образовательного издания. Подготовка электронного издания к эксплуатации. Методическое обеспечение электронного учебника.
презентация [506,5 K], добавлен 28.12.2014Разработка проекта мультимедийного электронного учебника по дисциплине "Компьютерные сети". Формирование требований пользователя. Структура входных и выходных данных, алгоритмы обработки. Рабочая документация: исходные модули, предварительные испытания.
курсовая работа [227,8 K], добавлен 09.03.2013Концептуальные основы разработки электронного учебника на основе гипертекстовых технологий. Архитектура учебного пособия. Этапы построения электронного учебника "Информатика" и его структура. Анализ практического использования электронного учебника.
дипломная работа [104,9 K], добавлен 02.05.2012Понятие электронного учебного пособия. Виды электронных учебных изданий, дидактические требования к ним. Компонент основной формы "Button1". Поэтапная разработка мультимедийного электронного учебника по дисциплине "Компьютерные сети", его интерфейс.
курсовая работа [613,6 K], добавлен 31.01.2016- Разработка электронного практикума по дисциплине "Математика" в программе Microsoft Office FrontPage
Отличительные признаки электронного учебника от печатного. Преимущества и недостатки компьютерных систем обучения. Аспекты применения информационных технологий в образовании. Типы педагогических программных средств. Этапы создания электронного практикума.
курсовая работа [3,0 M], добавлен 28.05.2015 Внедрение информационных технологий в систему образования. Понятие, отличительные признаки, виды, структура и предназначение электронного учебника. Принципы его создания и основные этапы разработки в интегрированной среде программирования Delphi.
дипломная работа [2,3 M], добавлен 03.07.2015Использование программы Microsoft Word 2010 при создании электронного учебника. Структура учебника, навигация, полнотекстный поиск, защита информации от изменений. Алгоритм разработки программного продукта. Описание технологических средств учебника.
контрольная работа [196,9 K], добавлен 06.05.2014
