Разработка единого системного подхода к решению задачи оптимального оценивания

Анализ графиков для различных значений ?² показывает, что метод N-кратного дифференцирования на основе ряда Котельникова обеспечивает высокую точность косвенного оценивания локальных характеристик движения летательного аппарата при достаточно малых объемах сетки интерполяции. При этом наивысшая точность достигается в середине интервала [-Т, Т]. При аналогичном расчете для метода скользящего среднего при тех же исходных данных видно, что вычислительная процедура уже при ?² = 1,5 становится неустойчивой.

О преимуществах рассмотренного в разделе 2 математического аппарата свидетельствует также анализ единичных дисперсий ошибок оценивания величин Для метода скользящего дифференцирования (при заданном уровне методической погрешности)

а для подхода, основанного на применении ряда Котельникова,

Используя исходные данные иллюстративного примера убеждаемся, что применение ряда Котельникова позволило снизить дисперсию ошибки оценивания радиальной скорости в 19,5 раза.

Следует отметить, что полученные в иллюстративном примере оценки являются единичными. Дальнейшее повышение точности может быть достигнуто путем оптимальной статистической обработки семейства единичных замеров.

3 Метод оценивания числовых характеристик полезных сигналов на фоне сингулярных помех в классе функций с финитным спектром

3.1 Общие положения

В настоящем разделе в классе функций с финитным спектром разработан метод оптимального вычисления операторов - кратного дифференцирования, позволяющий формировать несмещенные значения соответствующих производных, инвариантные к сингулярным погрешностям входных данных. Получены оценки сверху на методическую и флуктуационную погрешности вычислений. Дан иллюстративный пример.

При решении широкого круга математических и прикладных задач зачастую возникает необходимость - кратного дифференцирования функций, заданных на некоторой системе точек [4, 5, 12].

В работе [4], с использованием интерполяционной формулы Котельникова развит математический аппарат - кратного дифференцирования в классе функций с финитным спектром, получены оценки сверху на соответствующие погрешности вычислений. Однако в [4] отсчеты значений дифференцируемых функций полагались известными точно. Вместе с тем, на практике вычислительный процесс всегда сопровождается ошибками, при этом результирующая погрешность входных данных в общем случае содержит как случайную, так и сингулярную составляющие. Известно, что оптимальное решение данной задачи можно получить в рамках метода наименьших квадратов (МНК). Однако непосредственное применение последнего зачастую приводит к решению задач высокой размерности либо к получению смещенных оценок из-за наличия сингулярных погрешностей.

С учетом вышесказанного вполне правомерно поставить вопрос о развитии полученных ранее результатов и разработке универсального метода оптимального оценивания значений операторов - кратного дифференцирования, позволяющего формировать несмещенные оценки соответствующих производных, устойчивые к сингулярным погрешностям входных данных. Требование устойчивости вычислительных алгоритмов к сингулярным погрешностям является принципиально важным, поскольку нескомпенсированность последних практически полностью обесценивает получаемые результаты и приводит к невозможности достоверной интерпретации вычислительного эксперимента [2, 3, 23, 24, 27]. Решению вышеперечисленного круга проблем посвящена настоящая работа.

3.2 Математическая постановка задачи

Пусть функция представима в виде

(3.1)

где - вектор неизвестных отсчетов функции

, 0,

= .

Зададим сетку , узлам которой ставятся в соответствие значения

 (3.2)

где и - соответственно сингулярная и случайная составляющие результирующей погрешности в узле .

Для описания сингулярной погрешности воспользуемся следующей моделью

, (3.3)

где - вектор неизвестных коэффициентов,
- вектор линейно-независимых функций.

В дальнейшем помимо (3.2) нам потребуется следующая векторная форма записи

, (3.4)

где ,

,

Считаем, что случайный вектор характеризуется нулевым математическим ожиданием и корреляционной матрицей .

Введем следующий оператор -кратного дифференцирования :



где , то есть рассматривается вопрос, связанный с вычислением значений функции и ее производных до - го порядка включительно в центральной точке интервала .

Поставим задачу оптимального оценивания значений данного оператора на основе конечномерной выборки (3.4), содержащей сингулярную и случайную погрешности. Искомый оптимальный оператор - кратного дифференцирования значения которого близки (в смысле определяемого ниже критерия оптимальности) к значениям будем искать в виде

(3.5)

где - вектор оценок искомых производных в точке ,

- матрица искомых коэффициентов оптимального оператора .

В дальнейшем полагаем, что составная матрица

, где

и имеет ранг, равный , то есть поставленная выше задача разрешима.

Корреляционная матрица оценки (3.5) для принятой модели случайного вектора находится по правилу

(3.6)

Требуется найти вид матрицы оператора , которая обеспечивает минимизацию следа матрицы (то есть величины

, где - диагональные члены матрицы ), а

также выполнение условия несмещенности оценки значений линейного оператора

(3.7)

и условия инвариантности оператора к сингулярным ошибкам измерений

 , (3.8)

где - нулевой вектор-столбец размерности .

Ставится также задача проанализировать влияние неадекватности модели (3.1) на результаты оптимального оценивания значений оператора - кратного дифференцирования.

3.3 Решение задачи

С учетом (3.1), (3.5), и (3.7), замечая, что , имеем

, (3.9)

откуда вытекает следующее условие несмещенности

, (3.10)

где - нулевая матрица размерности

,

.

Принимая во внимание (3.8), получим

, (3.11)

откуда вытекает следующее условие инвариантности

. (3.12)

Для компактности последующих выкладок введем следующие обозначения:

, , , , , , - единичная матрица

размерности . С учетом данных обозначений, а также полагая, что система уравнений (3.10), (3.12) совместна, сформулируем и докажем следующую теорему.

Матрица линейного оператора - кратного дифференцирования , обеспечивающая минимизацию следа корреляционной матрицы и выполнение условий несмещенности (3.10) и инвариантности (3.12), определяется по следующей формуле [9, 10, 14, 15]:

, (3.13)

где ,

(3.14)

- для ;

(3.15)

- для ;

(3.16)

- для , - целая часть числа .

Доказательство осуществляется в соответствии с методом множителей Лагранжа.

С учетом (3.1) для оптимальной оценки минимальный след матрицы находится по следующему правилу

, (3.17)

где

, (3.18)

. (3.19)

Соотношения (3.13) - (3.16), а также (3.17) - (3.19) составляют математическую основу развитого оптимального метода инвариантного оценивания значений операторов - кратного дифференцирования при наличии во входных данных как случайных, так и сингулярных ошибок.

Несложный анализ показывает, что необходимыми и достаточными условиями практической реализуемости данного метода являются:

- наличие ненулевых матриц в (3.13) и невырожденность исходных матриц поставленной задачи ;

- совместность условий несмещенности (3.7) и инвариантности (3.8), то есть базисные функции в (3.1) и (3.3) должны быть линейно независимыми и , следовательно, составная матрица должна иметь ранг, равный ;

- количество узлов в (3.2) должно превышать общее число неизвестных коэффициентов в моделях (3.1) и (3.3), то есть >

3.4 Оценка методической погрешности

Дадим теперь оценку методической погрешности оптимального оценивания, обусловленной неадекватностью принятой математической модели (3.1). Пусть истинная функция имеет следующее аналитическое представление

(3.20)

при этом функцию считаем интегрируемой в квадрате на всей вещественной оси, для которой [29]

, (3.21)

где при при.

Пусть для функции выполняются следующие ограничения:

0, 1, . (3.22)

Введем меру отклонения функций и :

. (3.23)

Опираясь на результаты второго раздела можно получить ряд оценок сверху на методические погрешности. Так, отклонение функций и при выполнении ограничения (3.22) удовлетворяет неравенству

. (3.24)

Соответственно для оценки погрешности - кратного дифференцирования введем меру отклонения функций и в точке :

. (3.25)

Для погрешности - кратного дифференцирования, обусловленной усечением ряда Котельникова функции в пространственной области, при выполнении условия (3.22) справедлива оценка

, (3.26)

где .

Введем результирующую погрешность - кратного дифференцирования в точке :

, (3.27)

где - погрешность, обусловленная переходом от функции с нефинитным спектром к функции с финитным спектром (усечение в частотной области), - погрешность, обусловленная переходом от к функции с финитным спектром (усечение в пространственной области).

Отклонение функций и в точке удовлетворяет неравенству

.(3.28)

Найдем теперь среднее значение методической ошибки, полагая, что для истинной модели справедливо следующее представление

, (3.29)

где - остаточный член.

Используя символ математического ожидания и учитывая, что

и , найдем среднее значение методической ошибки - кратного дифференцирования:

, (3.30)

где .

Непосредственно из (3.29) и (3.30) следует, что методическая погрешность целиком определяется свойствами линейных операторов и , а также величиной остаточного члена и его дискретного аналога . Следует отметить, что минимизация результирующей погрешности оценивания значений оператора , которая характеризуется величинами и , достигается на практике путем рационального варьирования параметрами и . В качестве такой результирующей погрешности можно, например, принять следующую величину

=. (3.31)

3.5 Сравнительный анализ разработанного метода с методом наименьших квадратов

Рассмотрим случай, когда и , следовательно, . Оценка вектора в соответствии с классическим МНК имеет вид [23]

(3.32)

Принимая во внимание, что , оптимальная оценка вектора с учетом (4.1) находится следующим образом

(3.33)

С учетом того, что в рассматриваемом случае получаем

(3.34)

Поскольку (где - оптимальная оценка вектора , построенная согласно развиваемому в статье подходу), то с учетом (3.34) имеем

(3.35)

Анализ формул (4.33) и (4.35) показывает, что для случая, когда , оценки по методу МНК и оценки, соответствующие разработанному методу, совпадают. Данный вывод не является неожиданным, поскольку обе оценки являются несмещенными, при этом

где и - корреляционные матрицы оценок (4.33) и (4.35) соответственно.

Основное достоинство развиваемого в статье подхода состоит в том, что он не требует увеличения размерности решаемой задачи при построении оптимальных несмещенных оценок, инвариантных к сингулярным погрешностям. Можно сказать, что развит модифицированный МНК, обладающий внутренним свойством инвариантности к сингулярным погрешностям измерений заданного класса.

3.6 Результаты вычислительного эксперимента

Рассмотрим задачу оптимального оценивания при наличии сингулярной и флуктуационной помех для следующих исходных данных:

, , , , , и , , , то есть , , , .

Принимая , , , с учетом (1.2) в узлах сетки имеем

, .

Поскольку в данном случае рассматривалась задача оценивания сглаженного значения функции и ее первой производной в средней точке отрезка .

При моделировании вектор случайных погрешностей полагался распределенным по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и корреляционной матрицей

, где - заданная положительная константа.

Кроме того, полагалось, что на отрезке выполнялось тождественное равенство , то есть . Вычисления проводились с точностью .

Раскроем далее основные вектора и матрицы (здесь и далее числа округлены до третьего знака после запятой) с учетом специфики рассматриваемого примера:

, ,

, ,

,

.

Исходя из условий практической реализуемости развитого метода, сформулированных во втором параграфе, в данном примере система базисных функций выбрана линейно независимой. При этом ранг расширенной матрицы равен 6, что обеспечивает совместность условий несмещенности и инвариантности.

Искомая матрица выглядит так

.

Для принятых исходных данных имеем следующие значения дисперсий ошибок оценивания: (для ).

Рассмотрим теперь более общий случай, когда для заданного отрезка число - произвольное число натурального ряда, то есть . Примем также , .

Для моделирования на ЭВМ случайных погрешностей

использовался датчик случайных чисел, генерирующий квазислучайную последовательность с нормальным распределением, характеризующимся нулевым математическим ожиданием и соответствующей дисперсией .

Результаты моделирования отображены в виде таблицы, показывающей зависимость результирующих оптимальных оценок и , а также евклидовой нормы вектора сингулярной ошибки от числа для и соответственно. При этом указанные оценки формировались путем усреднения единичных оценок величин и , полученных на основе пятидесяти реализаций, генерируемых датчиком случайных чисел.

Таблица 3.1

4	15.157	1.226	0.684	0.989	0.208
10	20.686	1.124	0.314	0.996	0.189
20	27.717	1.032	0.263	0.998	0.121
30	33.321	1.021	0.097	0.999	0.016
40	38.114	1.007	0.028	1.000	0.009
50	42.371	1.000	0.007	1.000	0

Анализ результатов моделирования показывает инвариантность получаемых оценок к сингулярным погрешностям (в условиях отсутствия случайных погрешностей результаты расчетов совпадают с точными значениями ) и высокую степень устойчивости к случайным возмущениям.

Развитый метод является основой для решения задач оптимального оценивания значений операторов - кратного дифференцирования в классе функций с финитным спектром. Метод позволяет существенно повысить устойчивость вычислительных процедур как к случайным, так и к сингулярным ошибкам заданного класса.

Основное достоинство предложенного подхода состоит в том, что, в отличие от абсолютного большинства известных методов [2, 3, 23-25, 28, 30], в данном случае не требуется увеличения размерности решаемой задачи при построении оптимальных несмещенных оценок, инвариантных к сингулярным погрешностям.

Достоинством метода также является его универсальность, поскольку решение получено в конечно - аналитическом виде, допускающем компактную векторно-матричную форму записи, что весьма удобно при практической реализации на базе цифровых вычислительных машин различных классов.

Поскольку возможность применения полученных в работе результатов тесно связана с понятием «наблюдаемости» (разрешимости) поставленной задачи, то в практических случаях выбор подпространства сингулярных ошибок можно производить, опираясь на результаты работ [2, 3, 16], в которых дано всестороннее теоретическое и прикладное обоснование понятия «наблюдаемости».

Выводы и рекомендации

В дипломной работе решалась задача развития оптимального метода линейного оценивания различных числовых характеристик полезных сигналов в классе ФФС по результатам измерений, содержащих как флуктуационную, так и сингулярную помеху. Дан всесторонний анализ возможности использования известной теоремы отсчетов (ряда Котельникова) для решения задач интерполяции, аппроксимации и дифференцирования как ФФС, так и других классов функций, которые нельзя отнести к классу ФФС. Получены различные оценки сверху на методические погрешности, обусловленные рядом ограничений на полезные сигналы как во временной, так и в частотной областях.

Результаты вычислительных экспериментов наглядно подтверждают эффективность развитого метода для обработки измерений при наличии сингулярных и флуктуационных погрешностей. Найденная векторно-матричная форма представления основного результата допускает несложную практическую реализацию как на универсальных, так и специализированных ЭВМ.

Развитый метод может найти широкое применение в различных областях гражданского и военного назначения, связанных с автоматизацией процессов сбора, хранения и обработки измерительной информации, подверженной воздействию различного рода помех естественного и искусственного происхождения. Полученные результаты без особых финансово-экономических затрат могут быть реализованы как в существующих, так и перспективных информационно-измерительных системах различного типа.

Применение метода целесообразно при оценивании характеристик динамичных информационных процессов, например, траекторий летательных аппаратов на участках маневра, входа в плотные слои атмосферы, посадки. Кроме того, метод может быть использован при обработке измерительной информации в комплексированных навигационных системах, в которых, как правило, при переходе от одной измерительной структуры к другой возникают высокодинамичные переходные процессы и каждый измеритель характеризуется своей сингулярной помехой.

Полученные в дипломной работе результаты хорошо согласуются с известными подходами, применяемыми при оптимальной и квазиоптимальной обработке измерений.

Материалы, полученные в дипломной работе, нашли отражение в статьях [5-8] и докладах на научных конференциях различного уровня [9-15].

Перечень сокращений

В настоящей пояснительной записке применяются следующие обозначения и сокращения:

- ФФС - функция с финитным спектром;

- МНК - метод наименьших квадратов;

- СП - сингулярная помеха;

- ИИС - информационно - измерительная система;

- ФШ - флуктуационный шум.

Библиографический список

1. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.1.M.: Наука, 1966.

2. Брандин В.Н., Васильев А.А., Худяков С.Т. Основы экспериментальной космической баллистики. М-^: Машиностроение, 1974.

3. Брандин В.Н., Разоренов Г.Н. Определение траекторий космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1978.

4. Булычев Ю.Г., Бурлай И.В. Оптимальное вычисление производных различных порядков в классе функций с финитным спектром. - Журнал вычислительной математики и математической физики, 2000, т.40, № 4, С.505-516.

5. Булычев В.Ю., Булычев Ю.Г., Лапсарь А.П. Алгоритм оценки вектора состояния управляемых технических объектов на основе теоремы Котельникова // Автометрия, 2010, Т. 46, № 3, стр. 30 - 40.

6. Булычев В.Ю., Булычев Ю.Г., Манин А.П., Семенов И.Г. Прикладные аспекты теории нелинейной фильтрации в задачах оценивания движения ЛА // Общероссийский НТ журнал «Полет», Москва, 2010, №6, стр. 52 - 60.

7. Булычев В.Ю., Булычев Ю.Г., Мозоль А.А., Помысов А.С., Семенов И.Г. Компенсация систематических ошибок измерений на основе инвариантов движения объекта // Известия вузов. Радиоэлектроника, Киев, 2010, Т. 53, №9, стр. 18 - 26.

8. Булычев Ю.Г., Булычев В.Ю., Мозоль А.А., Пархоменко Н.Г. Использование непрерывных групп преобразований в задачах синтеза следящих измерителей // Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2011, Вып. 1,стр. 9 - 16.

9. Булычев Ю.Г., Булычев В.Ю., Елисеев А.В., Мозоль А.А., Помысов А.С., Сергеев М.Ю. Алгоритм обработки измерений по полной выборке в условиях структурно-параметрической неопределенности модели помех// Современные проблемы радиоэлектроники. Материалы III международной конференции. Секция 2. Ростов-на-Дону. - 2010, стр. 100 - 102.

10. Булычев Ю.Г., Булычев В.Ю., Елисеев А.В., Мозоль А.А., Помысов А.С., Глянько В.Е. Метод параметрической идентификации модели информационного процесса, инвариантный к сингулярной помехе // Современные проблемы радиоэлектроники. Материалы III международной конференции. Секция 2. Ростов-на-Дону. - 2010, стр. 106 - 109.

11. Булычев Ю.Г., Булычев В.Ю., Челахова Т.Н., Челахов В.М., Декомпозиционный подход к решению плохообусловленных задач параметрической идентификации // X Международная научно-практическая конференция «Моделирование. Теория, методы и средства». Новочеркасск. ЮРГТУ. - 2010, стр. 125 - 132.

12. Булычев Ю.Г., Булычев В.Ю., Челахова Т.Н., Челахов В.М. Вопросы интерполяции, аппроксимации и дифференцирование в классе функций с финитным спектром // Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования: тезисы докладов VIII международной научной конференции. Владикавказ. - 2010, стр. 81.

13. Булычев Ю.Г., Булычев В.Ю., Челахова Т.Н., Челахов В.М. Декомпозиционный подход к решению плохообусловленных задач параметрической идентификации // Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования: тезисы докладов VIII международной научной конференции. Владикавказ. - 2010, стр. 266.

14. Булычев Ю.Г., Булычев В.Ю., Челахова Т.Н., Челахов В.М. Вычислительная схема инвариантно-несмещенного оценивания значений линейных функционалов // Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования: тезисы докладов VIII международной научной конференции. Владикавказ. - 2010, стр. 267 - 268.

15. Булычев В.Ю., Кийко А.С., Касьянов Е.Е. Оптимальное обобщенное оценивание без расширения пространства состояния // Сборник трудов VIII Всероссийской научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Информационные технологии, системный анализ и управление». Таганрог. - 2010, стр. 315 - 320.

16. Булычев Ю.Г., Манин А.П. Математические аспекты определения движения летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 2000.

17. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1987. 248 С.

18. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и связь. 1986. 512с.

19. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ. Справочное пособие. Киев: Наук, думка, 1986.584с.

20. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1978. 832 с.

21. Леонов В.А., Поплавский Б.К. Метод линейных преобразований идентификации динамических систем. - Техническая кибернетика, 1990, № 2, С. 73-79.

22. Леонов В.А., Поплавский Б.К. Фильтрация ошибок измерений при оценивании линейного преобразования полезного сигнала. - Техническая кибернетика, 1992, № 1, С. 163-164.

23. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математической обработки наблюдений. - М.: Физматгиз, 1962.

24. Лысенко Л.Н., Нгуен Танг Кыонг.Теоретические и прикладные аспекты синтеза мультиструктурных схем рекуррентной обработки информации в навигационных системах летательных аппаратов. - Известия АН. Теория и системы управления, 1997, № 6, С.38-48.

25. Рао С.Р. Линейные статистические методы и их применение. М.: Наука, 1974. 548 с.

26. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989

27. Тихонов А.Н., Уфимцев М.В. Статистическая обработка результатов экспериментов. - М.: Издательство МГУ, 1988.

28. Тихонов В.И., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов. М.: Сов. радио, 1975. 704с.

29. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Финитные функции в физике и технике. М.: Наука, 1971.

30. Ширман Я.Д., Манжос В.Н. Теория и техника обработки информации на фоне помех М.: Радио и связь. 1981. 416 с.

Размещено на Allbest.ru