Беспроводные телекоммуникационные системы

3. Если s(t)S(щ), то

4. Если s(t)S(щ) и f(t)=ds/dt, то f(t)F(щ)=jщS(щ).

5. Если s(t)S(щ) и g(t)=?s(t)dt, то g(t)G(щ)=S(щ)/jщ.

6. Если u(t)U(щ), v(t)V(щ) и s(t)=u(t)v(t), то

.

Сигнал находится по спектру с помощью обратного преобразования Фурье

.[4]

Рассмотрим спектры некоторых сигналов.

1. Прямоугольный импульс.

Рис.2.1. Спектр прямоугольного импульса.

2. Гауссовский импульс.

s(t)=Uexp(-вt²)

Рис.2.2. Спектр гауссовского импульса.

3. Сглаженный импульс

С помощью численного интегрирования находим спектр S(щ).

S(0)=2.052 S(6)=-0.056

S(1)=1.66 S(7)=0.057

S(2)=0.803 S(8)=0.072

S(3)= 0.06 S(9)=0.033

S(4)=-0.259 S(10)=-0.0072

S(5)=-0.221 S(щ)=S(-щ)

Рис. 2.3. Спектр сглаженного импульса.

2.2 Корреляционные свойства сигналов

Для сравнения сигналов, сдвинутых во времени, вводят автокорреляционную функцию (АКФ) сигнала. Она количественно определяет степень отличия сигнала u(t) и его смещенной во времени копии u(t - ф) и равна скалярному произведению сигнала и копии:

Непосредственно видно, что при ф=0 автокорреляционная функция становится равной энергии сигнала: B_u(0)=E_u.

Автокорреляционная функция четна: B_u(ф)=B_u(-ф).

При любом значении временного сдвига ф модуль АКФ не превосходит энергии сигнала |В_u(ф)|?B_u(0)=E_u.

АКФ связана со спектром сигнала следующим соотношением:

.

Верно и обратное:

.

Для дискретного сигнала АКФ определяется в следующем виде:

и обладает следующими свойствами.

Дискретная АКФ четна: B_u(n)=B_u(-n).

При нулевом сдвиге АКФ определяет энергию дискретного сигнала:

.

Иногда вводят взаимнокорреляционную функцию (ВКФ) сигналов, которая описывает не только сдвиг сигналов друг относительно друга по времени, но и различие в форме сигналов.

ВКФ определяется следующим образом

для непрерывных сигналов и

для дискретных сигналов. [4]

Рассмотрим АКФ некоторых сигналов.

1. Последовательность прямоугольных импульсов

Рис. 2.4. АКФ последовательности прямоугольных импульсов.

2. 7-позиционный сигнал Баркера

B_u(0)=7, B_u(1)= B_u(-1)=0, B_u(2)= B_u(-2)=-1, B_u(3)= B_u(-3)=0, B_u(4)= B_u(-4)=-1, B_u(5)= B_u(-5)=0, B_u(6)= B_u(-6)=-1, B_u(7)= B_u(-7)=0.

Рис. 2.5. АКФ 7-позиционного сигнала Баркера.

3. 8-позиционные функции Уолша

Функция Уолша 2-го порядка

B_u(0)=8, B_u(1)= B_u(-1)=3, B_u(2)= B_u(-2)=-2, B_u(3)= B_u(-3)=-3, B_u(4)= B_u(-4)=-4, B_u(5)= B_u(-5)=-1, B_u(6)= B_u(-6)=2, B_u(7)= B_u(-7)=1, B_u(8)= B_u(-8)=0.

Рис. 2.6. АКФ функции Уолша 2-го порядка.

Функция Уолша 7-го порядка

B_u(0)=8, B_u(1)= B_u(-1)=-7, B_u(2)= B_u(-2)=6, B_u(3)= B_u(-3)=-5, B_u(4)= B_u(-4)=4, B_u(5)= B_u(-5)=-3, B_u(6)= B_u(-6)=2, B_u(7)= B_u(-7)=-1, B_u(8)= B_u(-8)=0.

Рис. 2.7. АКФ функции Уолша 7-го порядка.

2.3 Типы сложных сигналов

Сигнал - это физический процесс, который может нести полезную информацию и распространяться по линии связи. Под сигналом s(t) будем понимать функцию времени, отображающую физический процесс, имеющий конечную длительность Т.

Сигналы, у которых база В, равная произведению длительности сигнала Т на ширину его спектра, близка к единице, называются «простыми» или «обыкновенными». Различение таких сигналов может быть осуществлено по частоте, времени (задержке) и фазе.

Сложные, многомерные, шумоподобные сигналы формируются по сложному закону. За время длительности сигнала Т он подвергается дополнительной манипуляции (или модуляции) по частоте или фазе. Дополнительная модуляция по амплитуде используется редко. За счет дополнительной модуляции спектр сигнала Дf (при сохранении его длительности Т) расширяется. Следовательно, для такого сигнала B=T Дf>>1.

При некоторых законах формирования сложного сигнала его спектр оказывается сплошным и практически равномерным, т.е. близким к спектру шума с ограниченной шириной полосы. При этом функция автокорреляции сигнала имеет один основной выброс, ширина которого определяется не длительностью сигнала, а шириной его спектра, т.е. имеет вид, аналогичный функции автокорреляции шума с ограниченной полосой частот. В связи с этим такие сложные сигналы называют шумоподобными. [5]

Шумоподобные сигналы получили применение в широкополосных системах связи, так как: обеспечивают высокую помехозащищенность систем связи; позволяют организовать одновременную работу многих абонентов в общей полосе частот; позволяют успешно бороться с многолучевым распространением радиоволн путем разделения лучей; обеспечивают лучшее использование спектра частот на ограниченной территории по сравнению с узкополосными системами связи.

Известно большое число различных шумоподобных сигналов (ШПС). Тем не менее, выделяют следующие основные ШПС: частотно-модулированные сигналы; многочастотные сигналы; фазоманипулированные сигналы; дискретные частотные сигналы; дискретные составные частотные сигналы.

Частотно-модулированные сигналы (ЧМ) являются непрерывными сигналами, частота которых меняется по заданному закону (рис. 2.8.).

Рис. 2.8. ЧМ сигнал.

В системах связи необходимо иметь множество сигналов. При этом необходимость быстрой смены сигналов и переключения аппаратуры формирования и обработки приводят к тому, что закон изменения частоты становится дискретным. При этом от ЧМ сигналов переходят к ДЧ сигналам.

Многочастотные (МЧ) сигналы являются суммой N гармоник u₁(t)…u_N(t), амплитуды и фазы которых определяются в соответствии с законами формирования сигналов (рис. 2.9.).



Рис. 2.9. МЧ сигнал.

МЧ сигналы являются непрерывными и для их формирования и обработки трудно приспособить методы цифровой техники.

Фазоманипулированные (ФМ) сигналы представляют последовательность радиоимпульсов, фазы которых изменяются по заданному закону (рис. 2.10., а). Обычно фаза принимает два значения (0 или р). При этом радиочастотному ФМ сигналу соответствует видео-ФМ сигнал (рис. 2.10., б).

Рис. 2.10. ФМ сигнал.

ФМ сигналы весьма распространены, т.к. они позволяют широко использовать цифровые методы при формировании и обработке, и можно реализовать такие сигналы с относительно большими базами.

Дискретные частотные (ДЧ) сигналы представляют последовательность радиоимпульсов (рис. 2.11.), несущие частоты которых изменяются по заданному закону.

Рис. 2.11. ДЧ сигнал.

Дискретные составные частотные (ДСЧ) сигналы являются ДЧ сигналами, у которых каждый импульс заменен шумоподобным сигналом.

На рис. 2.12. изображен видеочастотный ФМ сигнал, отдельные части которого передаются на различных несущих частотах. [6]

Рис. 2.12. ДСЧ сигнал.

2.4 Производные системы сигналов

Производным сигналом называется сигнал, который получается в результате перемножения двух сигналов. В случае ФМ сигналов перемножение должно осуществляться поэлементно или, как чаще называют, посимвольно. Система, составленная из производных сигналов, называется производной. Среди производных систем особое значение имеют системы, построенные следующим образом. В качестве основы используется некоторая система сигналов, корреляционные свойства которой не вполне удовлетворяют требованиям к КФ, но которая обладает определенными преимуществами с точки зрения простоты формирования и обработки. Такая система называется исходной. Затем выбирается сигнал, который обладает определенными свойствами. Такой сигнал называется производящим. Умножая производящий сигнал на каждый сигнал исходной системы, получаем производную систему. Производящий сигнал следует выбирать так, чтобы производная система была действительно лучше исходной, т.е. чтобы она обладала хорошими корреляционными свойствами. Комплексная огибающая производного сигнала S^м_m(t) равна произведению комплексных огибающих исходных сигналов U_m(t) и производящего сигнала V_м(t), т.е. S^м_m(t)= U_m(t)V_м(t). Если индексы изменяются в пределах m=1..M, м=1..H, то объем производной системы сигналов L=MH.

Выбор производящих сигналов определяется рядом факторов, в том числе и исходной системой. Если сигналы исходной системы широкополосные, то производящий сигнал может быть широкополосным и иметь малые уровни боковых пиков функции неопределенности, близкие к среднеквадратическому значению. Если же сигналы исходной системы узкополосные, то достаточно выполнения неравенства F_V>>F_U (F_V - ширина спектра производящих сигналов, F_U - ширина спектра исходных сигналов) и требования малости боковых пиков АКФ.

Возьмем в качестве исходной - систему Уолша. В этом случае производящие сигналы должны быть широкополосными и иметь хорошие АКФ. Кроме того, производящий сигнал должен иметь столько же элементов, что и исходные сигналы, т.е. N=2^k элементов, где k - целое число. Этим условиям в целом удовлетворяют нелинейные последовательности. Поскольку основным является требование малости боковых пиков АКФ, то в классе нелинейных последовательностей были отобраны наилучшие сигналы с числом элементов N=16, 32, 64. Эти сигналы показаны на рис. 2.13. На рис. 2.13. указаны также значения числа блоков м для каждого производящего сигнала. Они близки к оптимальному значению м₀=(N+1)/2. Это и является необходимым условием получения хорошей АКФ с малыми боковыми пиками.

Рис. 2.13. Производящие ФМ сигналы.

Объем производной системы равен объему системы Уолша N. Производные системы обладают лучшими корреляционными свойствами, чем системы Уолша. [6]

3. Модуляция сложных сигналов

3.1 Геометрическое представление сигналов

Рассмотрим геометрическое или векторное представление сигналов. Определим N-мерное ортогональное пространство как пространство, определяемое набором N линейно независимых функций {ш_j(t)}, именуемых базисными. Любая функция этого пространства может выражаться через линейную комбинацию базисных функций, которые должны удовлетворять условию

,

где оператор называется символом Кронекера. При ненулевых константах K_j пространство именуется ортогональным. Если базисные функции нормированы так, что все K_j=1, пространство называется ортонормированным. Основное условие ортогональности можно сформулировать следующим образом: каждая функция ш_j(t) набора базисных функций должна быть независимой от остальных функций набора. Каждая функция ш_j(t) не должна интерферировать с другими функциями в процессе обнаружения. С геометрической точки зрения все функции ш_j(t) взаимно перпендикулярны.

В ортогональном сигнальном пространстве проще всего определяется Евклидова мера расстояния, используемая в процессе обнаружения. Если волны, переносящие сигналы, не формируют подобного пространства, они могут преобразовываться в линейную комбинацию ортогональных сигналов. Можно показать, что произвольный конечный набор сигналов {s_i(t)} (i=1…M), где каждый элемент множества физически реализуем и имеет длительность T, можно выразить как линейную комбинацию N ортогональных сигналов ш₁(t), ш₂(t), …, ш_N(t), где N M, так что

где

.

Вид базиса {ш_j(t)} не задается; эти сигналы выбираются с точки зрения удобства и зависят от формы волн передачи сигналов. Набор таких волн {s_i(t)} можно рассматривать как набор векторов {s_i}={a_i1, a_i2, …,a_iN}. Взаимная ориентация векторов сигналов описывает связь между сигналами (относительно их фаз или частот), а амплитуда каждого вектора набора {s_i} является мерой энергии сигнала, перенесенной в течение времени передачи символа. Вообще, после выбора набора из N ортогональных функций, каждый из переданных сигналов s_i(t) полностью определяется вектором его коэффициентов s_i=(a_i1, a_i2, …,a_iN) i=1…M. [2]

3.2 Методы фазовой манипуляции сигналов (ФМ2, ФМ4, ОФМ)

Фазовая манипуляция (PSK) была разработана в начале развития программы исследования дальнего космоса; сейчас схема PSK широко используется в коммерческих и военных системах связи. Сигнал в модуляции PSK имеет следующий вид:

Здесь фаза ц_i(t) может принимать M дискретных значений, обычно определяемых следующим образом:

Самым простым примером фазовой манипуляции является двоичная фазовая манипуляция (ФМ2). Параметр E - это энергия символа, T - время передачи символа. Работа схемы модуляции заключается в смещении фазы модулируемого сигнала s_i(t) на одно из двух значений, нуль или р (180⁰). Типичный вид сигнала ФМ2 приведен на рис. 3.1.a), где явно видны характерные резкие изменения фазы при переходе между символами; если модулируемый поток данных состоит из чередующихся нулей и единиц, такие резкие изменения будут происходить при каждом переходе. Модулированный сигнал можно представить как вектор на графике в полярной системе координат; длина вектора соответствует амплитуде сигнала, а его ориентация в общем M-арном случае - фазе сигнала относительно других M - 1 сигналов набора. При модуляции ФМ2 (рис. 3.1.б)) векторное представление дает два противофазных (180⁰) вектора. Наборы сигналов, которые могут быть представлены подобными противофазными векторами, называются антиподными. [2]

Рис. 3.1. Двоичная фазовая манипуляция.

Еще одним примером фазовой манипуляции является модуляция ФМ4 (М=4). При модуляции ФМ4 параметр E - это энергия двух символов, время T - время передачи двух символов. Фаза модулированного сигнала принимает одно из четырех возможных значений: 0, р/2, р, 3р/2. В векторном представлении сигнал ФМ4 имеет вид, показанный на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Сигнал ФМ4 в векторном представлении.

Рассмотрим еще один вид фазовой манипуляции - относительную фазовую манипуляцию (ОФМ) или дифференциальную фазовую манипуляцию (DPSK). Название дифференциальная фазовая манипуляция требует некоторого пояснения, поскольку со словом «дифференциальный» связано два различных аспекта процесса модуляции/демодуляции: процедура кодирования и процедура обнаружения. Термин «дифференциальное кодирование» употребляется тогда, когда кодировка двоичных символов определяется не их значением (т.е. нуль или единица), а тем, совпадает ли символ с предыдущим или отличается от него. Термин «дифференциальное когерентное обнаружение» сигналов в дифференциальной модуляции PSK (именно в этом значении обычно используется название DPSK) связан со схемой обнаружения, которая зачастую относится к некогерентным схемам, поскольку не требует согласования по фазе с принятой несущей.

В некогерентных системах не предпринимаются попытки определить действительное значение фазы поступающего сигнала. Следовательно, если переданный сигнал имеет вид

то принятый сигнал можно описать следующим образом.

Здесь б - произвольная константа, обычно предполагаемая случайной переменной, равномерно распределенной между нулем и 2р, а n(t) - шум.

Для когерентного обнаружения используются согласованные фильтры; для некогерентного обнаружения подобное невозможно, поскольку в этом случае выход согласованного фильтра будет зависеть от неизвестного угла б. Но если предположить, что б меняется медленно относительно интервала в два периода (2Т), то разность фаз между двумя последовательными сигналами не будет зависеть от б.

Основа дифференциального когерентного обнаружения сигналов в модуляции DPSK состоит в следующем. В процессе демодуляции в качестве опорной фазы может применяться фаза несущей предыдущего интервала передачи символа. Ее использование требует дифференциального кодирования последовательности сообщений в передатчике, поскольку информация кодируется разностью фаз между двумя последовательными импульсами. Для передачи i-го сообщения (i=1,2,…,M) фаза текущего сигнала должна быть смещена на ц_i=2рi/M радиан относительно фазы предыдущего сигнала. Вообще, детектор вычисляет координаты поступающего сигнала путем определения его корреляции с локально генерируемыми сигналами cosщ₀t и sinщ₀t. Затем, как показано на рис. 3.3., детектор измеряет угол между вектором текущего принятого сигнала и вектором предыдущего сигнала.

Рис. 3.3. Сигнальное пространство для схемы DPSK.

Схема DPSK менее эффективна, чем PSK, поскольку в первом случае, вследствие корреляции между сигналами, ошибки имеют тенденцию к распространению (на соседние времена передачи символов). Стоит помнить, что схемы PSK и DPSK отличаются тем, что в первом случае сравнивается принятый сигнал с идеальным опорным, а во втором - два зашумленных сигнала. Отметим, что модуляция DPSK дает вдвое больший шум, чем модуляция PSK. Следовательно, при использовании DPSK следует ожидать вдвое большей вероятности ошибки, чем в случае PSK. Преимуществом схемы DPSK можно назвать меньшую сложность системы. [2]

3.3 Модуляция с минимальным частотным сдвигом.

Одной из схем модуляции без разрыва фазы является манипуляция с минимальным частотным сдвигом (MSK). MSK можно рассматривать как частный случай частотной манипуляции без разрыва фазы. Сигнал MSK можно представить следующим образом.

Здесь f₀ - несущая частота, d_k=±1 представляет биполярные данные, которые передаются со скоростью R=1/T, а x_k - это фазовая постоянная для k-го интервала передачи двоичных данных. Отметим, что при d_k=1 передаваемая частота - это f₀+1/4T, а при d_k=-1 - это f₀-1/4T. В течение каждого Т-секундного интервала передачи данных значение x_k постоянно, т.е. x_k=0 или р, что диктуется требованием непрерывности фазы сигнала в моменты t=kT. Это требование накладывает ограничение на фазу, которое можно представить следующим рекурсивным соотношением для x_k.

Уравнение для s(t) можно переписать в квадратурном представлении.

Синфазный компонент обозначается как a_kcos(рt/2T)cos2рf₀t, где cos2рf₀t - несущая, cos(рt/2T) - синусоидальное взвешивание символов, a_k - информационно-зависимый член. Подобным образом квадратурный компонент - это b_ksin(рt/2T)sin2рf₀t, где sin2рf₀t - квадратурное слагаемое несущей, sin(рt/2T) - такое же синусоидальное взвешивание символов, b_k - информационно-зависимый член. Может показаться, что величины a_k и b_k могут изменять свое значение каждые T секунд. Однако из-за требования непрерывности фазы величина a_k может измениться лишь при переходе функции cos(рt/2T) через нуль, а b_k - только при переходе через нуль sin(рt/2T). Следовательно, взвешивание символов в синфазном или квадратурном канале - это синусоидальный импульс с периодом 2T и переменным знаком. Синфазный и квадратурный компоненты сдвинуты относительно друг друга на T секунд.

Выражение для s(t) можно переписать в иной форме.

Здесь d_I(t) и d_Q(t) имеют такой же смысл синфазного и квадратурного потоков данных. Схема MSK, записанная в таком виде, иногда называется MSK с предварительным кодированием. Графическое представление s(t) дано на рис. 3.4. На рис. 3.4. а) и в) показано синусоидальное взвешивание импульсов синфазного и квадратурного каналов, здесь умножение на синусоиду дает более плавные переходы фазы, чем в исходном представлении данных. На рис. 3.4. б) и г) показана модуляция ортогональных компонентов cos2рf₀t и sin2рf₀t синусоидальными потоками данных. На рис. 3.4. д) представлено суммирование ортогональных компонентов, изображенных на рис. 3.4. б) и г). Из выражения для s(t) и рис.3.4. можно заключить следующее: 1) сигнал s(t) имеет постоянную огибающую; 2) фаза радиочастотной несущей непрерывна при битовых переходах; 3) сигнал s(t) можно рассматривать как сигнал, модулированный FSK, с частотами передачи f₀+1/4T и f₀-1/4T. Таким образом, минимальное разнесение тонов, требуемое при модуляции MSK, можно записать следующим образом:

что равно половине скорости передачи битов. Отметим, что разнесение тонов, требуемое для MSK, - это половина (1/T) разнесения, необходимого при некогерентном обнаружении сигналов, модулированных FSK. Это объясняется тем, что фаза несущей известна и непрерывна, что позволяет осуществить когерентную демодуляцию сигнала. [2]

Рис. 3.4. Манипуляция с минимальным сдвигом: а) модифицированный синфазный поток битов; б) произведение синфазного потока битов и несущей; в) модифицированный квадратурный поток битов; г) произведение квадратурного потока битов и несущей; д) сигнал MSK.

3.4 Квадратурная модуляция и ее характеристики (QPSK, QAM)

Рассмотрим квадратурную фазовую манипуляцию (QPSK). Исходный поток данных d_k(t)=d₀, d₁, d₂,… состоит из биполярных импульсов, т.е. d_k принимают значения +1 или -1 (рис. 3.5.а)), представляющие двоичную единицу и двоичный нуль. Этот поток импульсов разделяется на синфазный поток d_I(t) и квадратурный - d_Q(t), как показано на рис. 3.5.б).

d_I(t)=d₀, d₂, d₄,… (четные биты)

d_Q(t)=d₁, d₃, d₅,… (нечетные биты)

Удобную ортогональную реализацию сигнала QPSK можно получить, используя амплитудную модуляцию синфазного и квадратурного потоков на синусной и косинусной функциях несущей.

С помощью тригонометрических тождеств s(t) можно представить в следующем виде: s(t)=cos(2рf₀t+и(t)). Модулятор QPSK, показанный на рис. 3.5.в), использует сумму синусоидального и косинусоидального слагаемых. Поток импульсов d_I(t) используется для амплитудной модуляции (с амплитудой +1 или -1) косинусоиды. Это равноценно сдвигу фазы косинусоиды на 0 или р; следовательно, в результате получаем сигнал BPSK. Аналогично поток импульсов d_Q(t) модулирует синусоиду, что дает сигнал BPSK, ортогональный предыдущему. При суммировании этих двух ортогональных компонентов несущей получается сигнал QPSK. Величина и(t) будет соответствовать одному из четырех возможных сочетаний d_I(t) и d_Q(t) в выражении для s(t): и(t)=0⁰, ±90⁰ или 180⁰; результирующие векторы сигналов показаны в сигнальном пространстве на рис. 3.6. Так как cos(2рf₀t) и sin(2рf₀t) ортогональны, два сигнала BPSK можно обнаруживать раздельно. QPSK обладает рядом преимуществ перед BPSK: т.к. при модуляции QPSK один импульс передает два бита, то в два раза повышается скорость передачи данных или при той же скорости передачи данных, что и в схеме BPSK, используется в два раза меньшая полоса частот; а так же повышается помехоустойчивость, т.к. импульсы в два раза длиннее, а следовательно и больше по мощности, чем импульсы BPSK. [2]



Рис. 3.5. Модуляция QPSK.

Рис. 3.6. Сигнальное пространство для схемы QPSK.

Квадратурную амплитудную модуляцию (KAM, QAM) можно считать логическим продолжением QPSK, поскольку сигнал QAM также состоит из двух независимых амплитудно-модулированных несущих.

При квадратурной амплитудной модуляции изменяется как фаза, так и амплитуда сигнала, что позволяет увеличить количество кодируемых бит и при этом существенно повысить помехоустойчивость. Квадратурное представление сигналов является удобным и достаточно универсальным средством их описания. Квадратурное представление заключается в выражении колебания линейной комбинацией двух ортогональных составляющих - синусоидальной и косинусоидальной (синфазной и квадратурной):

s(t)=A(t)cos(щt + ц(t))=x(t)sinщt + y(t)cosщt, где

x(t)=A(t)(-sinц(t)),y(t)=A(t)cosц(t)

Такая дискретная модуляция (манипуляция) осуществляется по двум каналам, на несущих, сдвинутых на 90⁰ друг относительно друга, т.е. находящихся в квадратуре (отсюда и название).

Поясним работу квадратурной схемы на примере формирования сигналов четырехфазной ФМ (ФМ-4) (рис. 3.7).

Рис. 3.7. Схема квадратурного модулятора.

Рис. 3.8. 16-ричное пространство сигналов (QAM-16).

Исходная последовательность двоичных символов длительностью Т при помощи регистра сдвига разделяется на нечетные импульсы y, которые подаются в квадратурный канал (cosщt), и четные - x, поступающие в синфазный канал (sinщt). Обе последовательности импульсов поступают на входы соответствующих формирователей манипулированных импульсов, на выходах которых образуются последовательности биполярных импульсов x(t) и y(t) с амплитудой ±U_m и длительностью 2T. Импульсы x(t) и y(t) поступают на входы канальных перемножителей, на выходах которых формируются двухфазные (0, р) ФМ колебания. После суммирования они образуют сигнал ФМ-4.

На рис. 3.8. показано двухмерное пространство сигналов и набор векторов сигналов, модулированных 16-ричной QAM и изображенных точками, которые расположены в виде прямоугольной совокупности.

Из рис. 3.8. видно, что расстояние между векторами сигналов в сигнальном пространстве при QAM больше, чем при QPSK, следовательно, QAM является более помехоустойчивой по сравнению с QPSK,

3.5 Реализация квадратурных модемов

Модем предназначен для передачи/приема информации по обычным телефонным проводам. В этом смысле модем осуществляет роль интерфейса между компьютером и телефонной сетью. Его основная задача заключается в преобразовании передаваемой информации к виду, приемлемому для передачи по телефонным каналам связи, и в преобразовании принимаемой информации к виду, приемлемому для компьютера. Как известно, компьютер способен обрабатывать и передавать информацию в двоичном коде, то есть в виде последовательности логических нулей и единиц, называемых битами. Логической единице можно поставить в соответствие высокий уровень напряжения, а логическому нулю -- низкий. При передаче информации по телефонным проводам необходимо, чтобы характеристики передаваемых электрических сигналов (мощность, спектральный состав и т.д.) соответствовали требованиям приемной аппаратуры АТС. Одно из основных требований заключается в том, чтобы спектр сигнала лежал в диапазоне от 300 до 3400 Гц, то есть имел ширину не более 3100 Гц. Для того чтобы удовлетворить этому и многим другим требованиям, данные подвергаются соответствующему кодированию, которым, собственно, и занимается модем. Существует несколько способов возможной кодировки, при которых данные можно передавать по абонентским коммутируемым каналам. Эти способы отличаются друг от друга, как скоростью передачи, так и помехоустойчивостью. В то же время, независимо от способа кодировки, данные передаются по абонентским каналам только в аналоговом виде. Это означает, что для передачи информации используется синусоидальный несущий сигнал, который подвергается аналоговой модуляции. Применение аналоговой модуляции приводит к спектру гораздо меньшей ширины при неизменной скорости передачи информации. Аналоговая модуляция -- это такой способ физического кодирования, при котором информация кодируется изменением амплитуды, частоты и фазы синусоидального сигнала несущей частоты. Существует несколько базовых способов аналоговой модуляции: амплитудная, частотная и относительная фазовая. В модемах используются перечисленные способы модуляции, но не по отдельности, а все вместе. К примеру, амплитудная модуляция может использоваться совместно с фазовой модуляцией (амплитудно-фазовая модуляция). Главная проблема, возникающая при передаче информации по абонентским каналам, -- это повышение скорости. Скорость ограничивается шириной спектральной полосы пропускания канала связи. Однако имеется способ, позволяющий значительно повысить скорость передачи информации без увеличения ширины спектра сигнала. Основная идея такого способа заключается в использовании многопозиционного кодирования. Последовательность бит данных разбивается на группы (символы), каждой из которых ставится в соответствие некоторое дискретное состояние сигнала. Например, используя 16 различных состояний сигнала (они могут отличаться друг от друга, как по амплитуде, так и по фазе), можно закодировать все возможные комбинации для последовательностей из 4 бит. Соответственно 32 дискретных состояния позволят закодировать в одном состоянии группу из пяти бит. На практике для повышения скорости передачи информации используется в основном многопозиционная амплитудно-фазовая модуляция с несколькими возможными значениями уровней амплитуды и сдвига фазы сигнала. Такой тип модуляции получил название квадратурной амплитудной модуляции (КАМ). В случае КАМ состояния сигнала удобно изображать на сигнальной плоскости. Каждая точка сигнальной плоскости имеет две координаты: амплитуду и фазу сигнала и представляет собой закодированную комбинацию последовательности бит. Для повышения помехоустойчивости квадратурной амплитудной модуляции может использоваться так называемая треллис-модуляция (Trellis Code Modulation, ТСМ) или, иначе, решетчатое кодирование. При треллис-модуляции к каждой группе бит, передаваемых за одно дискретное состояние сигнала, добавляется еще один избыточный треллис-бит. Если, к примеру, информационные биты разбиты на группы по 4 бита (всего возможно 16 различных комбинаций), то в сигнальной плоскости размещается 16 сигнальных точек. Добавление пятого треллис-бита приведет к тому, что возможных комбинаций окажется 32, то есть количество сигнальных точек увеличится вдвое. Однако не все комбинации бит являются разрешенными, то есть имеющими смысл. В этом и заключается идея треллис-кодирования. Значение добавляемого треллис-бита определяется по особому алгоритму. Расчетом добавляемого треллис-бита занимается специальный кодер. На принимающем модеме для анализа поступающих последовательностей битов предназначен специальный декодер -- так называемый декодер Витерби. Если принимаемые последовательности являются разрешенными, то считается, что передача происходит без ошибок и треллис-бит просто удаляется. Если же среди принимаемых последовательностей встречаются запрещенные последовательности, то при помощи особого алгоритма декодер Витерби находит наиболее подходящую разрешенную последовательность, исправляя, таким образом, ошибки передачи. Итак, смысл решетчатого кодирования -- ценой сравнительно небольшой избыточности повысить помехоустойчивость передачи. Использование треллис-кодирования позволяет главным образом, защитить от перепутывания именно соседние в сигнальном пространстве точки, которые как раз более всего подвержены возможности «перепутаться» под действием помех.

4. Характеристики приема сигналов в телекоммуникационных системах

4.1 Вероятности ошибок различения M известных сигналов

Под обнаружением сигнала в радиоэлектронике понимают анализ принятого колебания y(t), завершающийся вынесением решения о наличии или отсутствии в нем некоторой полезной составляющей, которую и называют сигналом. Различение М сигналов определяют как анализ принятого колебания y(t), заканчивающийся принятием решения о том, какой именно из М сигналов, принадлежащих указанному заранее множеству S{s₀(t), s₁(t), …, s_M-1(t)} присутствует в y(t). Обнаружение сигнала есть частный случай различения двух сигналов, один из которых равен нулю на всем интервале наблюдения.

Пусть наблюдаемое колебание y(t) является реализацией случайного процесса, который имеет распределение W_y, т.е. n-мерную плотность вероятности (ПВ) W(y) [либо функционал ПВ W(y(t))], принадлежащее одному из М непересекающихся классов W_i (W_i?W_k=Ш, i?k, i, k=0, 1, …, M-1). Необходимо, пронаблюдав реализацию y(t), решить, какому из классов принадлежит W_y. Предположение о том, что W_yW_i, называют гипотезой H_i: W_yW_i. Решения, являющиеся результатом проверки гипотез, будем обозначать , где i{0, 1, …, M-1} - номер гипотезы, истинность которой декларируется принятым решением. Анализируемое колебание y(t) является результатом взаимодействия присутствующего в нем сигнала s_i(t) с мешающим случайным процессом (помехой, шумом) x(t): y(t)=F[s_i(t), x(t)]. От того, какой из М возможных сигналов присутствует в y(t), зависит ПВ ансамбля, которому принадлежит y(t), так что каждому s_i(t) соответствует некоторый класс W_i распределений ансамбля, представляемого y(t). Таким образом, гипотезы H_i трактуются как предположения о наличии i-го (и только i-го) сигнала в y(t). При этом решения , одно из которых служит итогом процедуры различения, есть утверждения о том, что в принятом колебании содержится именно i-й сигнал. Гипотезам H_i соответствуют классы W_i. Гипотезу H_i называют простой, если класс W_i содержит одно и только одно распределение. Любую другую гипотезу называют сложной. М сложных гипотез называют параметрическими, если соответствующие им классы отличаются друг от друга только значениями конечного числа параметров одного и того же распределения, описываемого известным законом. В противном случае гипотезы именуют параметрическими.

Рассмотрим различение М детерминированных ненулевых сигналов одинаковой энергии. При этом за основу будет принято правило максимального правдоподобия (МП)

оптимальное в том случае, когда критерием качества служит сумма условных вероятностей ошибок, либо полная вероятность ошибки при равных апостериорных вероятностях всех сигналов p_i=1/M.

При произвольном М различитель, придерживающийся правила МП, считает присутствующим в y(t) сигнал, наименее удаленный от y(t) в смысле евклидова расстояния или, что при одинаковых энергиях сигналов равносильно, имеющий с y(t) максимальную корреляцию . Если рассматривать сигналы s₀(t), s₁(t), …, s_M-1(t) как пучок векторов, расположенный в М-мерном пространстве, то для того чтобы по возможности уменьшить вероятность перепутывания i-го сигнала с k-м, следует максимально «раздвинуть» i-й и k-й векторы. Таким образом, оптимальный выбор М детерминированных сигналов сводится к поиску такой конфигурации пучка М векторов, в которой минимальное евклидово расстояние между парой векторов было бы максимальным: min d_ik=max (i?k). Так как при равенстве энергий, т.е. длин векторов

,

где с_ik - коэффициент корреляции i-го и k-го сигналов, Е - энергия сигнала, то требование максимума минимального расстояния тождественно условию минимума максимального коэффициента корреляции в множестве сигналов S{s₀(t), s₁(t), …, s_M-1(t)}. Предельно достижимый минимум максимального коэффициента корреляции устанавливается довольно легко. Просуммировав с_ik по всем i и k, получим

где неравенство следует из неотрицательности квадрата под интегралом. Кроме того, в сумме слева М слагаемых при i=k равны единице, а остальные М(М-1) не больше с_макс=max с_ik (i?k). Поэтому М+М(М-1)с_макс?0 и с_макс?-1/(М-1).

Конфигурацию из М векторов, в которой косинус угла между любой парой векторов равен -1/(М-1), называют правильным симплексом. Если эти векторы взять в качестве М сигналов, то полученный детерминированный ансамбль при равновероятности всех s_i(t) обеспечит минимум полной вероятности ошибки P_ош, что и решает вопрос об оптимальном выборе М сигналов. При М>>1 выполняется соотношение -1/(М-1)?0, и поэтому при большом числе различаемых сигналов ортогональный ансамбль практически не проигрывает симплексному в значении P_ош.

Последовательность вывода точного выражения для вероятности ошибки различения М сигналов с произвольными с_ik такова. Плотность вероятности (ПВ) системы случайных величин z₀, z₁, …, z_M-1 есть М-мерный нормальный закон, для задания которого достаточно знать средние всех z_i и их корреляционную матрицу. Для средних при истинности гипотезы H_l имеем . Корреляционный же момент i-й и k-й корреляций равен N₀Eс_ik/2. После того как М-мерная ПВ найдена, ее М-кратный интеграл по области z_l?z_i, i=0, 1, …, M-1, позволяет получить вероятность правильного решения при условии истинности H_l. Сумма таких вероятностей, деленная на М (с учетом равновероятности сигналов), будет полной вероятностью правильного решения P_пр, связанной с P_ош очевидным равенством P_ош=1-P_пр. Получаемый таким образом М-кратный интеграл в ряде важных случаев удается свести к однократному. Так, для любых равнокоррелированных (равноудаленных) сигналов (с_ik=с, i?k)

В практических расчетах это выражение используют редко из-за необходимости численного интегрирования. Полезна его оценка сверху, для вывода которой будем считать, что истинна гипотеза H_l. При этом ошибка происходит всегда, когда истинно хотя бы одно из событий z_i>z_l, i?l. Вероятность ее P_ошl, равная вероятности объединения событий z_i>z_l, i?l, по теореме сложения вероятностей,

и в силу неравенства Буля не больше первой суммы справа. Так как каждое слагаемое этой суммы есть вероятность перепутывания двух сигналов [s_l(t) с s_i(t)], то для равноудаленных сигналов

Здесь - отношение сигнал/шум на выходе фильтра, согласованного с s_i(t) при гипотезе H_i, - вероятность перепутывания двух сигналов. При равновероятных сигналах (p_i=1/M) приходим к так называемой аддитивной границе полной вероятности ошибки

Использование этого выражения оправдывается, с одной стороны, асимптотическим сближением его правой части и P_ош по мере роста требований к качеству различения (P_ош>0), а с другой - тем, что, выбирая необходимую энергию сигналов (минимальное значение q) исходя из правой части выражения, разработчик всегда действует с известной перестраховкой, гарантируя удержание фактической вероятности ошибки ниже цифры, принятой им при расчете. [9]

4.2 Вероятности ошибок различения M флуктуирующих сигналов

Далеко не всегда наблюдатель подробно априори осведомлен о различаемых сигналах. Чаще ему заранее не известны не только номер присутствующего в анализируемой реализации сигнала, но и значения каких-либо параметров (амплитуды, частоты, фазы и пр.) каждого из М возможных сигналов. Сами сигналы при этом уже не являются детерминированными, поскольку параметры их не заданы; соответствующую задачу различения называют различением сигналов с неизвестными параметрами.

Рассмотрим решение этой задачи на примере различения сигналов со случайными начальными фазами. Такие сигналы описываются моделью

s_i(t; ц)=Re{_i(t)exp[j(2рf₀t+ц)]},

где f₀ - известная центральная частота; ц - случайная начальная фаза с априорной ПВ W₀(ц); (t) =S(t)e^jг(t) - комплексная огибающая сигнала s(t), являющегося реализацией s(t; ц) при ц=0: s(t)=s(t; 0); S(t) и г(t) - известные законы амплитудной и угловой модуляции. Применению правила МП должно предшествовать вычисление функции (функционала) правдоподобия (ФП) W(y(t)|H_i), т.е. усреднение ФП W(y(t)|H_i, ц), построенной для детерминированных сигналов с фиксированной фазой ц по всем ее возможным значениям с учетом априорной ПВ W₀(ц). При равномерной ПВ фазы W₀(ц)=1/(2р), |ц|?р, с учетом равенства энергий всех различаемых сигналов W(y(t)|H_i) представляет собой модифицированную функцию Бесселя нулевого порядка:

где c - коэффициент, содержащий сомножители, не зависящие от i, а - модуль корреляции комплексных огибающих принятого колебания y(t) и i-го сигнала. Монотонность функции I₀(·) на положительной полуоси позволяет перейти к достаточной статистике Z_i и записать правило МП в виде

Таким образом, оптимальный различитель М сигналов равной энергии со случайными начальными фазами должен вычислить все М величин Z_i и, если максимальной из них является Z_k, принять решение о присутствии в y(t) k-го сигнала. Это означает, что содержащимся в наблюдаемом колебании y(t) считается тот сигнал, комплексная огибающая которого имеет наибольшую по модулю корреляцию с комплексной огибающей y(t).

Точные формулы для вероятностей ошибок различения М произвольных сигналов достаточно громоздки даже при М=2, однако в приложениях чаще других встречаются ансамбли сигналов, ортогональных в усиленном смысле. Последнее означает, что любые два несовпадающих сигнала s_i(t; ц_i), s_k(t; ц_k) ортогональны при любых значениях начальных фаз:

?s_i(t; ц_i)s_k(t; ц_k)dt=0 при любых ц_i, ц_k и i?k,

или, что эквивалентно, ортогональны детерминированные комплексные огибающие этих сигналов:

.

Условие ортогональности в усиленном смысле жестче обычного требования ортогональности, фигурировавшего ранее в применении к детерминированным сигналам. Так, два отрезка косинусоиды, сдвинутые на угол ±р/2, являясь ортогональными в обычном смысле, не ортогональны при изменении сдвига фаз, т.е. в усиленном смысле. В то же время сигналы, не перекрывающиеся по времени или по спектру, ортогональны и в усиленном смысле.

Если обратиться сначала к различению двух сигналов, нетрудно понять, что противоположная пара, минимизирующая P_ош в классе детерминированных сигналов, в задачах, где начальные фазы сигналов случайны, неприемлема. Действительно, единственным признаком, по которому различаются противоположные сигналы, является знак, т.е. присутствие или отсутствие в начальной фазе слагаемого р. Однако, когда перед поступлением на различитель каждый из сигналов приобретает случайный фазовый сдвиг, попытки использовать начальную фазу, в качестве характерного признака сигнала, бессмысленны, и в различителе от неинформативной величины ц приходится избавляться. Таким образом, можно прийти к выводу, что в классе М?2 сигналов со случайными фазами симплексные ансамбли оптимальными свойствами не обладают. Оптимальными же оказываются именно ансамбли сигналов, ортогональных в усиленном смысле: каждый из таких сигналов вызывает отклик на выходе только одного из фильтров приемной схемы, и поэтому перепутывание i-го сигнала с k-м произойдет лишь в том случае, когда огибающая шума на выходе k-го согласованного фильтра (СФ) будет иметь значение, превосходящее значение огибающей суммы сигнала с шумом на выходе i-го СФ. Нарушение условия ортогональности в усиленном смысле приведет к появлению реакции на i-й сигнал на выходе не только i-го, но и других СФ, например k-го, в результате чего выброс огибающей на выходе k-го СФ, больший значения Z_i, станет более вероятным.

Чтобы найти вероятность перепутывания p₀₁ s₀(t; ц) с s₁(t; ц) при различении двух сигналов, необходимо проинтегрировать совместную ПВ Z₀, Z₁ при гипотезе H₀ W(Z₀, Z₁|H₀) по области Z₁>Z₀. Для ортогональных в усиленном смысле сигналов величины Z₀ и Z₁ независимы, поэтому W(Z₀, Z₁|H₀)=W(Z₀|H₀)W(Z₁|H₀). Одномерные же ПВ Z₀ и Z₁ известны: при истинности H₀ Z₀ как огибающая суммы сигнала с шумом имеет обобщенную рэлеевскую ПВ; Z₁ как огибающая только шума является рэлеевской случайной величиной. Перемножив эти ПВ, после интегрирования полученной ПВ W(Z₀, Z₁|H₀) и с учетом очевидного равенства p₀₁=p₁₀ для полной вероятности ошибки различения двух равновероятных ортогональных в усиленном смысле сигналов со случайными фазами получим

Повторение рассуждений пункта 4.2. (для детерминированных сигналов) приводит к аддитивной границе

которой, как правило, и пользуются для оценки вероятности ошибки, если число равновероятных ортогональных в усиленном смысле сигналов М?2. [9]

4.3 Расчет ошибок различения M сигналов с неизвестными неэнергетическими параметрами

Рассмотрим задачу различения «М» ортогональных сигналов с неизвестным временным положением в асинхронных системах связи с кодовым разделением каналов. Решение о наличии сигнала в канале выносится по методу максимального правдоподобия. Найдем вероятность ошибки различения с учетом выбросов шума на интервале возможных временных задержек сигналов.

Предположим, что имеется «М» абонентов системы связи, каждый из которых использует свой сигнал. Наибольшую помехоустойчивость при передаче информации в таких условиях обеспечивают симплексные сигналы. При М>>1 помехоустойчивость такой системы сигналов практически совпадает с помехоустойчивостью системы ортогональных сигналов, для которых

Здесь E_kf - энергия сигнала f_k. Условие ортогональности, которое можно назвать «ортогональностью в точке», на практике требует системы единого времени для организации синхронной связи. В асинхронных системах используются ортогональные в усиленном смысле сигналы, для которых при всех значениях ф_k и ф_m

Если R_km(ф_k, ф_m)<0.25 - 0.3, то можно считать ансамбль сигналов практически удовлетворяющим условию ортогональности.

Будем рассматривать систему сложных сигналов {f_k(t)}, k=1…M ортогональную при произвольном сдвиге. Среди сложных сигналов весьма широкое применение получили фазоманипулированные (ФМ) сигналы с комплексной огибающей вида

где a_i - код последовательности, u₀(t) - форма огибающей элементарной посылки, Д - ее длительность. В случае прямоугольной формы огибающей элементарной посылки автокорреляционная функция (АКФ) имеет вид:

Здесь R₀(ф)=(1-|ф|/Д). В окрестности максимума АКФ R(ф)= R₀(ф)=(1-|ф|/Д). На входе приемника после прохождения многолучевого канала полезный сигнал может быть записан как

д_n - относительная задержка сигнала по лучу с номером n, ф - неизвестное время прихода, которое находится внутри интервала [T₁,T₂]. е_n=A_n/A₀ - относительная амплитуда «n»-го луча, параметр н имеет смысл числа дополнительных лучей распространения. Относительные задержки д_n>Д, т.е. лучи разделяются при обработке сложного сигнала. При н=0 сигнал имеет вид s(t)=A₀f(t-ф₀).

Рассмотрим алгоритм обработки. На вход приемника поступает смесь

x(t)=s_k(t-ф_0k)+з(t), (t[0,T_Н]),

где s_k(t) - один из возможных сигналов, k=1…M, ф_0k - временная задержка сигнала, з(t) - белый гауссовский шум с нулевым средним значением и спектральной плотностью мощности N₀/2. Необходимо вынести решение, какой из M возможных сигналов присутствует на входе приемника. Рассмотрим приемник без компенсации многолучевости. Линейная часть такого приемника содержит М каналов, в которых формируются статистики вида

Выражение для L_k(ф_k) можно переписать в боле удобном для анализа виде

Здесь и в последующих формулах индекс k для краткости опускается, если исследуются характеристики одного канала, z₀²=2A₀²E_f/N₀ - энергетическое отношение сигнал/шум, S(ф-ф₀)=?f(t-ф) f(t-ф₀)dt/E_f - нормированная сигнальная функция, N(ф)=?n(t)f(t-ф)dt - нормированная шумовая функция с нулевым средним значением, единичной дисперсией и корреляционной функцией <N(ф')N(ф'')>=S(ф'-ф''). Огибающая сигнальной функции S(ф-ф₀) есть АКФ.

Согласно алгоритму максимального правдоподобия решение в пользу сигнала с номером m выносится, если sup L_m(ф_m)?sup L_k(ф_k). Для нахождения вероятностей правильных и неправильных решений по этому правилу необходимо вычислить распределение абсолютных максимумов процессов L(ф) на интервале [Т₁,Т₂].

Рассмотрим методику расчета вероятности ошибки различения M сигналов с неизвестными параметрами при однолучевом распространении сигналов (или в схеме оптимального сложения сигналов). Обозначим через H_k=sup L_k(ф_k) - величину абсолютного максимума статистики на выходе k-го канала приемника. Совместное распределение случайных величин {H₁,H₂,..H_M} запишем как w(u₁,u₂,..u_M). Условие ортогональности для сигналов f_k(t) в статистическом смысле означает независимость случайных величин H_k, k=1..M. Тогда вероятность правильного решения по алгоритму максимального правдоподобия можно записать